Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов теории чувствительности 18
Введение 18
1.1. Теория чувствительности . 19
1.1 1 Создание и развитие теории чувствительности 19
1 1 2 Задачи и методы теории чувствительности 20
1 2. Алгоритм чувствительности 22
1 2 1 создание алгоритма чувствительности 22
1 2 2 применение алгоритма чувствительности 23
1 2 3 некоторые модификации алгоритма чувствительности 29
Выводы 29
Глава 2. Решение задачи идентификации на основе алгоритма чувствительности 31
Введение . .. ... 31
2.1. Содержательная сущность и математическая постановка задачи идентификации . 32
2 2. Общие результаты 36
2 2 1. Задача идентификации математической модели объекта 36
2 2 2 Описание алгоритма чувствительности 37
2 2 3 Подходы к заданию начальных условий для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и начальных приближений неизвестных параметров 42
2 2 31 задание начальных условий для решения дифференциального уравнения 42
2 2 3 2 задание начальных приближений неизвестных параметров 43
2 24 блок-схема алгоритма чувствительности для реализации его на пк 44
Выводы 47
Глава 3. Модифицированный алгоритм чувствительности 48
Введение . ... 48
3 1 Содержательная сущность модифицированного алгоритма чувствительности
З 2 Сходимость модифицированного алгоритма чувствительности. 59
З 3 обусловленность матриц и помехоустойчивость алгоритма 65
3 3 1 Результаты исследований на примере уравнения нелинейного маятника 69
3 3 2 результаты исследований на примере уравнения химической реакции 76
3 4. ИССЛЕДОВАНИЕ влияния метрики (3.1.1) на обусловленность матриц гильберта 79
3 4 i Постановка задачи аппроксимации функций алгебраическими полиномами и формирование обобщенных матриц гильберта .81
3 4 2 Некоторые результаты исследований обобщенных матриц гильберта 85
3 4 3 Тестовый пример решения задачи аппроксимации с применением обобщенных матриц гильберта 89
Выводы . . 97
Глава 4. Применение модифицированного алгоритма Чувствительности 99
Введение . 99
4.1 Применение модифицированного алгоритма чувствительности к нахождению плотности распределения дефектных центров по энергии ионизации в кристалле титаната висмута 100
4.1 2 Теоретическая модель 102
4 1 3 Аппроксимация экспериментальных данных 104
4.1 4 Плотность распределения дефектных центров 107
4 2. Аналитическое описание экспериментальных данных калориметрического Анализа угля с применением обыкновенных дифференциальных уравнений и Модифицированного алгоритма чувствительности . По
4 2 1 Описание и анализ процесса определения теплотворной способности угля калориметром ІКА с4000а . 111
4 22 Применение модифицированного алгоритма чувствительности к построению процесса выделения тепла при сжигании угля 114
4 3. Применение модифицированного алгоритма чувствительности для аппроксимации выходной характеристики тензопреобр азов ателей давления 119
4 3 1 Методика проведения исследований 120
4 3 2. Применение модифицированного алгоритма чувствительности 122
4 4 построение математической модели процесса тепловлажностной обработки железобетонных изделий с применением модифицированного алгоритма чувствительности 124
44 1 Анализ существующего производства.. . 125
4 4 2 Постановка задачи
4 4 3 Оборудование и методика проведения испытаний 130
4 4 4 Применение модифицированного алгоритма чувствительности 131
4 5. Модифицированный алгоритм чувствительности руководство к лабораторной работе . .. .. 133
45 1 Описание программных средств . ... 133
452 Порядок выполнения лабораторной работы 138
4 5 3 Пример выполнения лабораторной работы 139
4 54 Методические указания 141
Выводы 142
Заключение 143
Библиографический список
- Создание и развитие теории чувствительности
- Подходы к заданию начальных условий для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и начальных приближений неизвестных параметров
- Результаты исследований на примере уравнения нелинейного маятника
- Аналитическое описание экспериментальных данных калориметрического Анализа угля с применением обыкновенных дифференциальных уравнений и Модифицированного алгоритма чувствительности
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Идентификация объектов в настоящее время является обязательным элементом и наиболее сложной стадией выполнения ряда прикладных проектов. Оперативное и адекватное решение ее проблем создает необходимые условия эффективного практического использования математических методов и сложных наукоемких технологий. Разработка методов и алгоритмов идентификации приобретает в настоящее время исключительно важное значение для фундаментальной науки. Развитие теории идентификации в классическом направлении сейчас также актуально и практически значимо, как и 50-е годы XX века, когда она зарождалась под влиянием насущных проблем практики. Постоянная необходимость в оптимизации процесса решения практических проблем за счет рациональной идентификации стимулирует прогресс теории в классическом направлении. В связи с этим по-прежнему актуальны для фундаментальной науки такие области исследования, как математические методы параметрической и непараметрической идентификаций, математическая теория структурной идентификации, математическое моделирование систем, математические проблемы управления с оперативным идентификатором, методологии идентификации при известной адекватной математической постановке практической проблемы.
Для решения многих классов задач управления и идентификации используется широко известный среди специалистов по автоматическому управлению и специалистов, занимающихся проблемами идентификации исследуемых процессов, явлений, объектов и т. п., алгоритм чувствительности (будем называть его базовым или стандартным). На его основе можно с единых позиций подходить к вопросам идентификации различных классов динамических объектов (непрерывных, дискретных, сосредоточенных,
7 распределенных и др.), а также решать краевые задачи алгоритмического конструирования оптимальных регуляторов.
В стандартном алгоритме чувствительности (САЧ) в критерии качества подстройки оценок неизвестных параметров обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) используется метрика, учитывающая расстояние между экспериментальными данными и решением этого уравнения, но не учитывающая расстояние между производной, вычисленной по экспериментальным данным, и производной решения уравнения. Настоящая работа направлена на устранение данного пробела, а именно на создание нового алгоритма, который будем называть модифицированным алгоритмом чувствительности (МАЧ). Это позволит применять данный алгоритм в тех задачах, где необходимо описать как экспериментальные данные, так и производную с наименьшей суммарной ошибкой аппроксимации. Кроме этого, плохая обусловленность матриц, возникающих при подстройке неизвестных параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью алгоритма чувствительности, привела к идее о модификации данного алгоритма с целью улучшения обусловленности матриц.
Цель работы. Целью диссертационной работы является синтез, исследование, программная реализация и применение МАЧ подстройки неизвестных параметров ОДУ, являющегося обобщением САЧ.
Задачи исследований. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе необходимо решить следующие задачи:
построить новый критерий качества подстройки неизвестных параметров ОДУ;
построить рекуррентный процесс, реализующий МАЧ;
исследовать полученный МАЧ на сходимость, обусловленность и помехоустойчивость;
применить критерий, используемый в МАЧ, для формирования обобщенных матриц Гильберта;
использовать МАЧ для решения прикладных задач.
Методы исследований. Для решения поставленных научных задач использовались элементы математического анализа, методы решения ОДУ, численные методы, методы функционального анализа и методы системного программирования.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:
1) МАЧ, позволяющий:
оценить неизвестные параметры ОДУ;
получить решение и производную решения ОДУ с заданной точностью описывающие экспериментальные данные и производную, вычисленную по этим данным;
получить более устойчивую к ошибкам систему линейных алгебраических уравнений, которая формируется в результате подстройки неизвестных параметров, и лучше обусловленную матрицу, которая возникает при этом;
2) программный комплекс, реализующий МАЧ и позволяющий:
производить оценку неизвестных параметров ОДУ;
строить графики и выводить значения погрешностей аппроксимации функции и ее производной;
проводить исследования нового алгоритма на скорость сходимости и точность аппроксимации экспериментальных данных и производной в зависимости от выбора значений начальных условий, начальных приближений неизвестных параметров и значения весового коэффициента, варьируя который придавать больший вес одной из двух составляющих метрики, используемой в МАЧ;
алгоритм для формирования обобщенных матриц Гильберта, являющихся лучше обусловленными, по сравнению с обычными матрицами Гильберта;
применение МАЧ для оценки плотности распределения дефектных центров, определяющих примесное поглощение света по энергии их ионизации;
применения МАЧ к обработке экспериментальных данных процессов калориметрии и тепловлажностной обработке железобетонных изделий, а также для уменьшения погрешности, обусловливаемой нелинейностью выходной характеристики тензопреобразователей давления, позволяющие снизить затраты в производстве.
Практическая ценность работы. В ходе проведенного исследования разработаны структура, математическое, информационное и программное обеспечение МАЧ.
Полученные результаты диссертационной работы можно рекомендовать для изучения динамики многомерных объектов с целью оптимального управления ими. Результаты следует применять там, где необходимо аппроксимировать не только экспериментальные данные, но и первую производную, а также при решении следующих задач:
1) выбор экономически эффективных систем управления реальными объектами;
получение реальных динамических параметров самолетов, кораблей и др. объектов;
расчет оптимальных значений параметров различных устройств, например, радиотехнических устройств, форма выходной переменной которых должна иметь минимальное отклонение от заданной;
изучение математических моделей трансформации прошедших через какую-либо среду или отраженных от ее поверхности сигналов;
исследование функционального состояния органов и систем человека и животных в медицине, биологии и физиологии.
Реализации и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы успешно реализованы и получены следующие разработки:
Методика применения МАЧ с целью нахождения плотности распределения дефектных центров по энергии ионизации в кристалле титаната висмута использована на кафедре электронных приборов факультета электронной техники ТУСУРа.
Программный модуль, в основе которого лежит МАЧ, автоматизации калориметрического процесса установлен на ОАО «Западно-Сибирский Испытательный Центр» г. Прокопьевска Кемеровской области. Данный модуль позволяет значительно сократить по времени весь анализ пробы угля.
Методика аппроксимации выходной характеристики тензорезисторного преобразователя давления с использованием МАЧ внедрена на ОАО «Манотомь» г. Томска. Методика позволяет уменьшить погрешность в тензорезисторном сенсоре давления, обусловливаемой нелинейностью выходной характеристики.
Программное обеспечение, выполненное в виде программного модуля на языке C++, в основе которого лежит МАЧ, внедрено на ОАО
«Железобетонные конструкции № 100» г. Томска. Данная разработка позволяет аппроксимировать и отслеживать процесс затвердевания железобетонных конструкций в пропарочной камере, строить математическую модель данного процесса, прогнозировать его исход во время тепловлажностной обработки железобетонных конструкций.
Руководство к лабораторной работе и программное обеспечение с применением МАЧ внедрено на кафедре информационно-измерительной техники факультета вычислительных систем ТУСУРа для студентов, обучающихся по специальности 220301 - Автоматизация технологических процессов и производств, по дисциплине «Моделирование систем». Руководство и программа позволяют ознакомиться с данным алгоритмом и провести его экспериментальное исследование.
Программная реализация МАЧ, выполненная в системе программирования C-H-Builder, позволяющая проводить исследования алгоритма на скорость сходимости и точность аппроксимации экспериментальных данных и производной для различных ОДУ.
Во всех случаях результаты прошли экспертную проверку и признаны полезными.
Основные научные положения, выносимые на защиту. К основным научным положениям, выносимым на защиту, относятся:
МАЧ, позволяющий оценить неизвестные параметры ОДУ произвольного ограниченного порядка;
программный комплекс, реализующий МАЧ и позволяющий находить решение и производную, описывающие с заданной точностью экспериментальные данные и производную, вычисленную по этим данным, соответственно;
3) оценка для плотности распределения дефектных центров, определяющих примесное поглощение по энергии их ионизации, построенная на основе эмпирической гладкой функции спектральной зависимости примесного поглощения света в кристалле титаната висмута и ее производной, полученных на основе МАЧ;
4) модификация матриц Гильберта и оценка чисел их обусловленности.
Апробация результатов диссертации. Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных научно-практических конференциях «Современные техника и технологии» (Томск, 2004, 2005); Всероссийских научно-практических конференциях «Электронные средства и системы управления» (Томск, 2003, 2004); Региональных научно-технических конференциях «Научная сессия ТУСУР» (Томск, 2003, 2004).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы 19 печатных работ: 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК; 7 депонированных в ВИНИТИ рукописей; 2 зарегистрированные разработки в отраслевом фонде алгоритмов и программ; 9 публикаций в рецензируемых сборниках трудов конференций, из них 1 публикация была представлена на английском языке.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертационная работа состоит из вводной части, четырех глав, каждая из которой содержит введение и заключение, заключительной части, списка литературы, включающего 151 наименований, и 3-х приложений. Материал изложен на 172 страницах.
13 Во введении обосновывается актуальность темы, ставится цель и основные задачи исследования, раскрываются научная новизна и практическая ценность работы, формулируются положения, выносимые на защиту.
В первой главе на основании обзора отечественной и зарубежной литературы рассмотрены вопросы, связанные с методами и задачами теории чувствительности (ТЧ), в основе которых лежит использование функций чувствительности (ФЧ), по существу представляющих собой градиенты показателей качества системы по некоторым совокупностям параметров, характеризующих саму систему и внешнюю среду. Рассмотрены вопросы, связанные с созданием и развитием ТЧ, которая сформировалась как самостоятельное научное направление в шестидесятых годах прошлого столетия в связи с бурным развитием теории и практики адаптивных (самонастраивающихся) систем управления (СУ), создаваемых для эффективной работы при наличии параметрических возмущающих воздействий. Обсуждены вопросы, связанные с созданием и применением САЧ.
В ТЧ в 70-х годах прошлого столетия возникла необходимость в создании алгоритма, требующего умеренного количества вычислений (например, как в градиентном алгоритме) и обладающего высокой скоростью сходимости. Такой алгоритм для минимизации определенного класса функционалов был предложен в 1961 году математиками С. Н. Соколовым и И. Н. Силиным и был назван алгоритмом линеаризации. По причине динамичности объекта существенным элементом алгоритма является получение и решение уравнений чувствительности. Из-за этой специфичности алгоритм линеаризации стали называть алгоритмом чувствительности. Отмечено, что в САЧ подстройка параметров осуществляется на основе той же информации, что и в градиентных алгоритмах, но перемещения по каждой координате совершаются оптимальным (в смысле выбранного критерия квадратичного вида) образом, т. е. среди всех градиентных методов данный алгоритм является наилучшим. Аналогичная ситуация возникает в методах наискорейшего спуска и квазилинеаризации, в которых используется
14 одинаковая информация, но гораздо большего объема, чем в предыдущем случае.
В конце главы приведен ряд работ, в которых в основном показана принципиальная возможность применения САЧ для решения тех или иных задач параметрической идентификации.
Во второй главе представлен метод аналитического описания экспериментальных данных, основанный на использовании в качестве аппроксимирующих операторов ОДУ и хорошо известного среди специалистов, занимающихся проблемами идентификации и оценивания параметров математических моделей процессов и объектов, САЧ. Изложена содержательная сущность и математическая постановка задачи аппроксимации экспериментальных данных и выбор класса ОДУ для ее описания. Рассмотрен САЧ, а именно: поставлена задача идентификации математической модели объекта и описан сам алгоритм, который является итерационным методом расчета динамических параметров нелинейных (в том числе и линейных) математических моделей непрерывных и дискретных, сосредоточенных и распределенных объектов. Сделан акцент на том, что САЧ основан на использовании хорошо известного в численном анализе метода линеаризации и так называемых ФЧ по неизвестным параметрам ОДУ. Изложены подходы к заданию начальных условий для решения ОДУ и начальных приближений неизвестных параметров, приведена блок-схема, позволяющая наглядно представить итерационную процедуру САЧ.
В третьей главе предложена модификация САЧ. Одно из направлений в развитии ТЧ - усовершенствование хорошо известного в данной теории алгоритма чувствительности. Причина неудовлетворенности САЧ заключается в том, что в данном алгоритме в критерии качества подстройки неизвестных параметров ОДУ используется метрика, не учитывающая расстояние между производной, вычисленной по экспериментальным данным, и производной решения данного уравнения с найденными оценками. В МАЧ предложен новый
15 критерий качества подстройки искомых параметров, который позволяет убрать данный недостаток. Здесь применены рассуждения второй главы относительно получения САЧ, в результате чего получен модифицированный алгоритм.
На основании проведенных исследований получено, что предложенный алгоритм обладает высокой скоростью сходимости, которая зависит от того, насколько близко к истинным параметрам выбрано начальное приближение неизвестных параметров ОДУ. Исследования показали, что модифицированный алгоритм обладает более высокой помехоустойчивостью. Показано, что использование данного алгоритма позволяет улучшить обусловленность матрицы системы уравнений, возникающей при оценивании неизвестных параметров ОДУ. Показано, что изменение параметра р в интервале [0,1]
позволяет влиять на число обусловленности данной матрицы. Базовый алгоритм чувствительности является лишь частным случаем нового алгоритма. При значении параметра р-\ модифицированный алгоритм превращается в стандартный. Данное обстоятельство позволяет расширить область применения предложенной в данной работе модификации алгоритма.
Был получен алгоритм для формирования называемых в данной работе обобщенных матриц Гильберта с применением выше упомянутого нового критерия качества подстройки неизвестных параметров. Оказалось, что эти матрицы лучше обусловлены и более помехоустойчивы, по сравнению с обычными матрицами Гильберта.
В четвертой главе рассмотрены вопросы, связанные с применением МАЧ к решению различных прикладных задач. Данная глава состоит из пяти самостоятельных разделов. Полученные результаты иллюстрируются графиками и таблицами.
В первом разделе произведена оценка для плотности распределения дефектных центров, определяющих примесное поглощение по энергии их ионизации, построенная на основе эмпирической гладкой функции спектральной зависимости примесного поглощения света в кристалле титаната
висмута и ее производной, полученных на основе модифицированного алгоритма чувствительности. По найденной оценке плотности распределения дефектных центров можно судить о качестве кристаллов и производить их отбор для каких-либо целей,
Во втором разделе предложен метод аналитического описания экспериментальных данных калориметрического анализа теплотворной способности угля, основанный на использовании в качестве аппроксимирующих операторов ОДУ 3-го порядка и МАЧ оценивания их порядков и параметров. Наличие подобного описания открывает широкие возможности для формулирования задачи прогнозирования и управления длительностью процесса калориметрического анализа проб угля, что в свою очередь позволяет существенно ускорить данный процесс.
В третьем разделе решена задача аппроксимации выходной характеристики тензорезисторного преобразователя давления с применением ОДУ 3-го порядка и МАЧ, с целью уменьшения погрешности, обусловливаемой нелинейностью выходной характеристики. Полученные результаты позволяют компенсировать температурную погрешность в измерительном преобразователе давления.
В четвертом разделе проведены эксперименты, связанные с применением МАЧ к построению математической модели процесса тепловлажностной обработки железобетонных изделий. Используя модифицированный алгоритм и ОДУ 3-го порядка, был аппроксимирован процесс набора прочности железобетонных изделий на всем этапе пропаривания, т. е. подобрано такое дифференциальное уравнение, решение которого с высокой точностью описывает процесс пропаривания железобетонного изделия на всем интервале его тепловлажностной обработки. Это дает возможность уменьшить расход электроэнергии и воды, что, в свою очередь, позволяет снизить себестоимость изготавливаемых железобетонных изделий.
В пятом, заключительном разделе главы предложены руководство и программа к лабораторной работе с применением МАЧ. Они предназначены для обучения студентов специальности 220301 - «Автоматизация технологических процессов и производств (в приборостроении)» данному алгоритму и экспериментальному его исследованию, а именно изучению вопросов, связанных со сходимостью и точностью подстройки неизвестных параметров дифференциального уравнения в зависимости от изменения значения параметра р є [0,1], начальных условий и приближений.
В заключение диссертации представлены основные результаты исследований.
Создание и развитие теории чувствительности
Впервые проблема чувствительности систем автоматического управления (САУ) была сформулирована в работе Г. Боде [12] при изложении свойств линейных систем с обратной связью, Более детально вопросы чувствительности были рассмотрены впоследствии в связи с исследованиями точности счетно-решающих устройств. Формирование ТЧ как самостоятельного научного направления в технической кибернетике относится к шестидесятым годам прошлого столетия в связи с бурным развитием теории и практики адаптивных (самонастраивающихся) СУ, создаваемых для эффективной работы при наличии параметрических возмущающих воздействий.
К началу 1972 года вопросам чувствительности были посвящены лишь две монографии [16,149]. Эти монографии сыграли в свое время важную роль в пропаганде ТЧ как самостоятельного научного направления. ТЧ становится самостоятельным и достаточно четко очерченным разделом технической кибернетики, имеющим в то же время тесные органические взаимосвязи с многочисленными смежными дисциплинами. Наряду с «чистыми автоматчиками» ТЧ берут на вооружение специалисты в области надежности, контроля, диагностики и испытаний объектов и СУ. Это является следствием того, что центр тяжести исследований автоматических систем в современной технической кибернетике постепенно переносится из пространства «входные-выходные сигналы» в более широкое пространство, включающее в себя наряду с характеристиками входных и выходных сигналов характеристики оператора системы. Необходимость изучения свойств оператора и его влияния на качество работы системы вызывается постоянным усложнением объектов автоматизации и непрерывным повышением требований к точностным и надежностным характеристикам систем.
В последующие годы проблема чувствительности в той или иной постановке затрагивалась в теории ошибок (погрешностей), в вычислительной математике и в теории счетно-решающих устройств, в теории стрельбы и баллистике снарядов и ракет, теории электрических и электронных цепей, в теории возмущений (например, в классической механике) и т. д.
ТЧ САУ были посвящены три международных симпозиума (1964, 1968 гг. -Югославия, 1979 г. -Италия), 1-й и 2-й Ленинградские симпозиумы (1971, 1979 гг.) и Всесоюзная школа-семинар (1975 г.). На 4-м и 5-м Всесоюзных совещаниях в Киеве (1971 и 1976 гг.) кроме вопросов теории инвариантности широко обсуждались проблемы ТЧ. Постепенно методы ТЧ становятся универсальным аппаратом исследования СУ, Это привело к резкому росту числа публикаций по применению методов ТЧ к системам различной природы (техническим, биологическим, социально-экономическим и т. п.). В России опубликовано несколько сот работ такой направленности. Проблеме чувствительности уделяется большое внимание на страницах как зарубежной, так и отечественной периодической технической литературы.
Подробный обзор работ, относящихся к проблеме чувствительности и выполненных до 1971 г., приведен в [17,18,47,48,63,66,120-122,149]. Однако с того времени появилось значительное количество публикаций [24,92,130,150], посвященных дальнейшему развитию ТЧ. Расширился круг теоретических и прикладных задач, решаемых с помощью методов ТЧ. В настоящее время функции и коэффициенты чувствительности используются для идентификации, контроля, испытаний, распределения допусков; анализа точности СУ и радиоэлектронной аппаратуры с учетом разброса параметров, анализа устойчивости, синтеза параметрически инвариантных и малочувствительных СУ; для решения задач оптимального управления, адаптивного управления, идентификации объектов, испытания и настройки СУ и радиоэлектронной аппаратуры, распределения допусков на параметры элементов систем и т. д.
Анализ указанных задач показывает, что их обязательными элементами являются ФЧ к изменению параметров системы и дополнительное движение [49] (задачи анализа точности и устойчивости). Исходным соотношением при малых изменениях параметров является следующее представление дополнительного движения AI(S): AI(S) = V(S)Aq, (1.1.1) где V(S) - матрица чувствительности, Aq - вектор параметрических возмущений, вызвавших Д/(5), S - независимая переменная (время, частота и т. д.). Причем, в одних задачах при заданных ФЧ ищется дополнительное движение или изменение параметров, в других - оценка дополнительного движения сочетается с нахождением изменения параметров (задачи адаптивного управления, алгоритмы численной оптимизации). При таком рассмотрении большинство задач, решаемых с привлечением ФЧ, можно объединить в следующие три группы [36]: 1) прямые задачи ТЧ. В них по заданным ФЧ и изменениям параметров оценивается дополнительное движение; 2) обратные (инверсные) задачи ТЧ. В них по заданным ФЧ и дополнительному движению оцениваются изменения параметров; 3) смешанные задачи ТЧ охватывают задачи, процесс решения которых включает элементы прямых и обратных задач.
В соответствии с рассмотренными задачами ТЧ методы данной теории можно разбить на следующие группы: 1) анализ чувствительности; 2) прямые и обратные задачи ТЧ; 3) синтез систем с учетом требований нечувствительности; 4) чувствительность оптимальных систем; 5) применение ТЧ в других задачах автоматического управления.
Как видно, выделяют три группы задач и пять групп методов ТЧ. Одним из методов ТЧ является алгоритм параметрической идентификации, описанный в следующем разделе.
Подходы к заданию начальных условий для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и начальных приближений неизвестных параметров
Рассмотрим способы задания начальных условий, с помощью которых решаются дифференциальные уравнения. Данные условия необходимы для того, чтобы определить значения констант в полученном решении уравнения.
Рассмотрим два подхода к заданию начальных условий: 1, В качестве начальных условий можно использовать оценки ДО) = у\, да) у2 - уг /2#0) у3 - 2у2 + ух - - - = — -, —= - = — ——, ..., вычисленные на основе dt At dt2 АГ экспериментальных данных, где At - шаг дискретизации аргумента t Недостатком данного подхода является тот факт, что сами экспериментальные данные, как правило, снимаются с погрешностью с измерительного устройства, следовательно, начальные условия в данном случае вычисляются с ошибкой.
Оптимальные начальные условия при решении дифференциального уравнения можно найти, если в качестве критерия подстройки использовать метрику S = [(y-yflH(y-y)P min , (2.2.15) т. е. на каждой итерации, кроме подстройки неизвестных параметров а, осуществлять подстройку начальных условий у0. В отличие от предыдущего случая, начальные условия на каждой итерации будут меняться.
Предпочтительность использования того или иного способа задания начальных условий зависит от поставленной задачи. Если необходимо аппроксимировать экспериментальные данные быстро, не задаваясь при этом целью достичь высокой точности, то можно выбрать первый способ. Если же нам крайне важна точность описания экспериментальных данных, то в данном случае следует выбрать второй способ.
Рассмотрим способы задания начальных приближений неизвестных параметров дифференциального уравнения.
Для их определения можно использовать несколько подходов:
1- Подход основан на использовании априорной информации [97]. В данном случае необходимо наличие информации о параметрах. Учитывая эту информацию, подстраиваем оценки неизвестных параметров ОДУ, т, е. решаем задачу (2. L9).
2. Задачу (2.1,9) можно решить с помощью симплексного алгоритма [97]_ Сущность его сводится к следующему. Произвольный набор параметров вектора а берем за центр симплекса и по каждой составляющей Строим исходный симплекс и в каждой его точке вычисляем значение метрики S, заданной в виде (2,1,9), решая при этом наше исходное дифференциальное уравнение с заданными граничными условиями. Затем худшую точку симплекса заменяем лучшей (с меньшим значением вектора а выбираем интервал варьирования - размер симплекса. S) и т. д. до попадания в окрестность экстремума S. Большие размеры симплекса позволяют проскочить мелкие локальные экстремумы и выделить окрестность глубокого (который может оказаться глобальным) минимума S. В последнем симплексе точку, соответствующую наименьшему значению S, берем за центр нового симплекса; уменьшаем его размер и вновь движемся к экстремуму S В результате получаем набор начальных приближений параметров а, более близкий к решению задачи (2,1,9), причем дробление размера симплекса можно осуществлять несколько раз. Полученное решение является начальным приближением для САЧ, позволяющее с высокой скоростью и точностью отыскивать минимум метрики X
Как правило, мы не обладаем априорной информацией, поэтому первый подход к заданию начальных приближений неизвестных параметров дифференциального уравнения не всегда может быть применен. Если же такая информация имеется, то при ее использовании алгоритм сходится достаточно быстро. Второй подход, хотя он и трудоемок, позволяет эффективно подобрать параметры. С его помощью минимум метрики 5 достигается довольно быстро.
Блок-схема - это способ задания алгоритма в графической форме, представляющий собой совокупность блоков, соединенных друг с другом линиями. Форма блока определяет тип действия, а текст внутри блока дает детальное толкование конкретного действия. Стрелки на линиях, соединяющих символы схемы, указывают последовательность выполнения команд, предусмотренных алгоритмом.
Блок-схемы при создании алгоритмов очень эффективны с точки зрения наглядности. За счет этого, они упрощают создание эффективных алгоритмов, понимание работы уже созданных, и как следствие их оптимизацию. Существование стандартов на типы используемых блоков позволяет легко адаптировать алгоритмы, созданные в виде блок-схем, на любые, существующие на сегодняшний день, языки программирования- Поэтому, при разработке алгоритмов, нет необходимости привязываться к синтаксису определенного языка- Использование блок-схем позволяет предотвратить неправильное программирование алгоритмов Как было сказано в параграфе 2.2-2, САЧ является итерационным, и на каждой его итерации выполняется конечная последовательность вычислительных операций. Представим их в виде блок-схемы, которая может использоваться для реализации данного алгоритма на ПК-
Результаты исследований на примере уравнения нелинейного маятника
Как известно [109], при численном решении систем линейных алгебраических уравнений даже точными методами возникает несколько источников неточности решения. Одним из них является необходимость округления чисел в процессе вычисления. При этом может случиться, что по ходу вычисления придется столкнуться с явлением исчезновения значащих цифр в результате вычитания двух величин, близких друг к другу. Исчезновение значащих цифр может быть причиной настолько значительного снижения точности результата, что из-за этого иногда бывает необходимо изменить схему вычисления или переделать работу с большим числом значащих цифр в промежуточных выкладках. Второй источник появляется в условиях, когда система линейных уравнений возникает в процессе решения практической задачи, так что элементы матрицы ее коэффициентов, так же, как и свободные члены, заданы лишь приближенно, т. е. с некоторой погрешностью. Неточность самих исходных данных порождает ошибки в решении, так как изменение коэффициентов системы в пределах заданной точности влечет за собой изменение решения.
Как это и принято в линейно алгебре и численных методах [109], для характеристики матрицы А9 под которой всюду ниже будем понимать матрицу [p-V " + (l-p)-V " ], сточки зрения ее обусловленности в настоящее время широко используются так называемые числа ее обусловленности, обозначаемые символом cond(A) и определяемые равенством следующего вида А-1 где 11 1 и соответствии с равенством - евклидовы нормы матриц А и А . Норма вычисляется в т ІИК ZS - (3-3-2) где т -размерность матрицы А, Обозначим через cond(Ap) число обусловленности при определенном параметре /7, где ре [ОД] - параметр, который используется в метрике (ЗЛ.1) для оценки неизвестных параметров дифференциального уравнения в МАЧ.
Проверка помехоустойчивости алгоритма осуществлялась следующим образом. Как это и принято в подобных ситуациях делать, предполагалось, что вместо всех истинных значений y{t), множество которых несчетно, у нас имелись только значения y(tt)9 удовлетворяющие равенству Kh) = y ) + s(t,). (3.3.3)
Здесь tt - дискретные, равностоящие значения аргумента t9 вычисляемые в соответствии с равенством ї +Дґ, i=l N + % t0 0.0; (3.3.4) где N - натуральное число, At - шаг дискретизации аргумента t, {1г) -значение ошибки в задании y(tt) Значения ошибок &(tt), i = l,N+l, которые вносились в решение y(t), получались с помощью стандартной процедуры rnorm(N 0 a\ входящей в состав математического пакета MathCad и генерирующей N нормально распределенных случайных величин с математическим ожиданием т=0 и заданным средним квадратическим отклонением сг, значение которого вычислялось в соответствии с равенством а = 0.0Їу- г. (33.5) Здесь у - среднее квадратическое значение истинных значений y(tt) решения уравнения, вычисляемое в соответствии с равенством у=[ Т.Ш2]2- (3.3.6)
Значения же ошибок, которые вносились в производную У(/), генерировались с помощью той же самой процедуры rnorm(N -1,0, т), где значение о- задавалось согласно равенству 0- = О.О1л/2-У Г. (3.3-7)
Здесь у - среднее квадратическое отклонение истинных значений y\tt) производной решенияу (/)? вычисляемое в соответствии с равенством 7 = tZC/( ,))2?- (3-3.8)
Замечание. Наличие множителя V2 в равенстве (33.7) обусловлено тем, что при вычислении оценок производной y (t) на основе зашумленных конечных приращений решения y(t) дисперсия ошибок вычисляемых значений оценок производной удваивается.
Введем следующие обозначения: 1) а = (а19а29.ш.9ап)т - вектор известных параметров дифференциального уравнения; 2) a=(al9a t t5„)T - вектор параметров дифференциального уравнения, полученных в результате их подстройки при применении МАЧ; 3) Да =/ (2,- ) - евклидова норма вектора Vi=i Аа-(а} -аг,а2 -аг ап -ап\ характеризующая расстояние между значениями оценок неизвестных параметров и их истинными значениями и, как известно из алгебры, принимающая строго равное нулю значение в случае равенства сравниваемых решений.
Как и в случае со сходимостью, невозможно аналитически исследовать помехоустойчивость алгоритма и обусловленность матриц систем уравнений, возникающих при оценивании неизвестных параметров ОДУ, поэтому мы вынуждены проводить исследования на примерах и делать выводы на основании полученных результатов.
В следующих параграфах приведены некоторые результаты выполненных нами исследований, связанных с вычислением чисел обусловленности матриц, возникающих при оценивании неизвестных параметров уравнений нелинейного маятника и химической реакции, взятых из работы А, И. Рубана [100], с применением МАЧ. На данных примерах проверена помехоустойчивость алгоритма.
Аналитическое описание экспериментальных данных калориметрического Анализа угля с применением обыкновенных дифференциальных уравнений и Модифицированного алгоритма чувствительности
Форма спектра поглощения для процесса фотовозбуждения электрона с глубокого донорного центра, характеризующегося локальным дискретным энергетическим уровнем в запрещенной зоне и имеющего энергию ионизации Ef, может быть аппроксимирована выражением [67] 44Ej -і (ft»/ ,)3 а П Е В ! (4Л.2) где коэффициент BEf = BaNEl пропорционален концентрации NEI центров с данной энергией ионизации. Если вклад в поглощение обусловлен центрами единственного типа, то коэффициент В0 может быть выражен через их сечение фотоионизации S как В0 = Нсо8. Большая степень дефектности ВТО может приводить к известному явлению, наблюдаемому в сильно легированных кристаллах - образованию хвоста плотности состояний вблизи разрешенных зон [64]. В этом случае локальные уровни дефектов перекрываются, и плотность распределения их концентрации по энергиям вблизи потолка валентной зоны может быть представлена в виде некоторой плавной функции 103 N(Ej). Это позволяет ввести коэффициент B(EI)dEl Sfi(oN{EI)dEn определяющий поглощение света, приходящееся на интервал энерги и ионизации dEj. Суммарный коэффициент поглощения для излучения с частотой Ф может быть найден в виде интеграла hoi [ft IF -1 і а{Пт) = Sha ЇЩЕ Щ r , -.dE,, (4.1.3) где энергия г равна расстоянию от уровня Ферми до дна зоны проводимости, к - постоянная Больцмана и Г - абсолютная температура,
В рамках использованных приближений плотность распределения дефектных центров N(ES) полностью определяет спектральную зависимость примесного поглощения. Для оценки функции N(Ej) из экспериментальных данных для a{haj) (рис. 4.1Л) воспользуемся рядом упрощений в соотношении (4.1.3).
Будем считать зарядовую компенсацию полной, тогда уровень Ферми должен располагаться в середине запрещенной зоны. Пренебрегая узкой областью вблизи уровня Ферми, \Ег-Е}\- ЪкТу где функция распределения электронов N(Ej) испытывает быстрые изменения, будем полагать, что JV(,)=1 при , ,11 ( )=0 pjaE Ep.
Множитель boJEj -\l{h(ojE7) в подынтегральном выражении имеет достаточно слабую частотную зависимость в области Ev tto) Е,. Заменим этот множитель ступенчатой функцией, отличной от нуля только на данном интервале, и равной его среднему значению, Ыка)/Е1 - ljitiojjE \- 0.196, на интервале \ fto)jEl 2. С учетом сделанных допущений выражение (4.1.3) принимает вид
Дифференцирование выражения (4.1.4) по Ьсо позволяет найти плотность распределения дефектных центров в явном виде
Таким образом, для определения плотности распределения дефектных центров по энергетическому положению соответствующих им уровней необходимы экспериментальные данные по спектральным зависимостям коэффициента примесного поглощения света и его первой производной.
В качестве методики аппроксимации представленных выше экспериментальных данных (рис. 4.1,1), с целью нахождения не только коэффициента примесного поглощения света, но и его первой производной по ha?, воспользуемся МАЧ.
Аппроксимация экспериментальных данных
Для аппроксимации экспериментальных данных, представленных на рис. 4.1.1, и производной, вычисленной по этим данным, воспользуемся ОДУ первого порядка, имеющим следующий вид: ± = f.exp[-b(x-Egf], (4.1.6) где 6=6-5, Е =3.08; а - неизвестный параметр, который будет оценен с помощью М АЧ. Подстройка неизвестного параметра а была осуществлена при значениях параметра р=\ и 0. 105 Рассмотрим результаты, когда значение параметра р = 1 На рис. 4,1.2 и 4ЛЗ представлены графики, описывающие экспериментальные данные и производную, соответственно. v 60 —у 20 17 18 19 1 ЗІ 11 23 24 1І It t Рис. 4A.2. Аппроксимация экспериментальных данных 400 —У у 2Q0 7г Га а Л Ї2 Л 24 Л Л t Рис. 4A3. Аппроксимация производной В данном случае экспериментальные данные описываются наилучшим образом, т. к. значение параметра р = 1 и, поэтому, в метрике, используемой в МАЧ для подстройки неизвестных параметров, остается только одно слагаемое, отвечающее за минимизацию расстояния между экспериментальными данными и решением уравнения- Нарис, 4Л-2 видно, что кривые практически совпадают. Ошибки 2 и 52 равны 9Л 47x10 и2Л80х10" соответственно.
Теперь представим результаты и соответствующие им графики на рис. 4Л.4 и 4Л-5, когда значение параметра р=0. IS 19 3 21 22 32 34 25 36
Здесь производная описывается наилучшим образом, т. к, значение параметра р=0 и, следовательно, в выше упомянутой метрике остается слагаемое, отвечающее за минимизацию расстояния между производной, вычисленной по экспериментальным данным, и производной решения уравнения. Ошибки 8г и 52 равны 9.180x10" и 2.151x10" соответственно.
Таким образом, используя МАЧ, можно аппроксимировать не только экспериментальные данные, но и производную, полученную по этим экспериментальным данным. При этом, чем меньше параметр р, тем точнее описывается производная; чем больше параметр р, тем точнее описываются экспериментальные данные.
Использование полученных выше данных для коэффициента поглощения при р=\ и его первой производной при /7=0, соответствующие аппроксимирующим функциям у и у1 (рис. 4.1.2 и 4.L5), позволяет оценить плотность распределения дефектных центров по энергетическому положению в запрещенной зоне кристалла из формулы (4,1,5). Для типичного значения сечения фотоионизации дефектных центров в кристалле титаната висмута 5=1.6-10-3 м2/Дж [56], рассчитанная зависимость N(EI) представлена точками на рис. 4Л.6. Отметим, что при расчете данной зависимости учитывалось наличие дополнительного поглощения, обусловленного процессами рассеяния света на оптических неоднородностях в кристалле, и не связанного с примесным поглощением. Принималось, что дополнительное поглощение не имеет спектральной зависимости в рассматриваемом диапазоне и составляет 0,21 см4.
