Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели линейных звеньев со сложными запаздываниями 17
1 Линейное звено с дробно—рациональной передаточной функцией 17
2 Линейные звенья, содержащие запаздывания 29
3 Функционирование звена со сложными запаздываниями в различных пространсвах допустимых входов 36
Глава 2. Моделирование переходных процессов 46
4 Переходные процессы в динамических системах 46
5 Метод простых дробей 51
6 Моделирование импульсных характеристик 58
7 Асимптотика нулей квазиполиномов 66
Глава 3. Моделирование колебательных процессов 85
8 Периодическая задача для линейного звена со сложными запаздываниями 85
9 Моделирование импульсно - частотных характеристик и колебательных процессов 94
Заключение 101
Литература 102
Приложение 110
- Функционирование звена со сложными запаздываниями в различных пространсвах допустимых входов
- Моделирование импульсных характеристик
- Периодическая задача для линейного звена со сложными запаздываниями
- Моделирование импульсно - частотных характеристик и колебательных процессов
Введение к работе
Актуальность работы. Динамические системы используют для моделирования различных объектов во многих областях знаний. Одним из основных при изучении динамической системы является вопрос о переходных и колебательных процессах системы. Знание переходных процессов позволяет изучить поведение системы при переходе от одних устойчивых режимов к другим, описать характеристики устойчивости системы. Колебательные процессы являются важнейшим видом функционирования динамической системы, широко распространенным в физике, технике, биологии и др.. Моделированию и изучению переходных и колебательных процессов посвящены работы Я.З.Цыпкина [51], Л.Заде, Ч.Дезоера [18], Е.Н. Розенвассера [41], Я.Н.Ройтенберга [43], А.А. Первозванского [34] и др..
Реальные явления часто содержат различные запаздывания и поэтому их моделирование приводит к уравнениям с последействием, содержащим несколько дискретных запаздываний, распределенные запаздывания, случайные запаздывания или их комбинации. Теория дифференциальных уравнений запаздывающего типа, созданная и развитая благодаря работам А.Д. Мышкиса [31], Р. Беллмана [7], Дж. Хейла [49], Л.Э. Эльсгольца [55], Н.В. Азбелева [1] и др., стала важной составной частью современного естествознания.
Переходные и колебательные процессы в системах, содержащих запаздывания, имеют ряд особенностей. Поведение таких систем обладает сложной динамикой, здесь возможны появление незатухающих, в том числе хаотических колебаний, слипание решений и т.д.» Вопросы моделирования переходных и колебательных процессов в системах с запаздываниями изучались в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова [4], Е.Н. Розенвассера [41] и др..
Многие вопросы моделирования переходных процессов и колебательных процессов в системах, содержащих запаздывания, еще далеки от своего окончательного решения. Точные решения модельных уравнений удается получить лишь в исключительных случаях. Поэтому существенную роль при моделировании объекта играют способы приближенного или численного построения решений. Особенно актуальны разработки методов математического моделирования переходных и колебательных процессов, обладающих той или иной общностью, позволяющие изучать динамику широкого класса систем.
Исследование режимов функционирования динамических систем, содержащих те или иные запаздывания во всей полноте, с учетом всех факторов и параметров, существующих для модели, возможен лишь в исключительных случаях. Поэтому здесь естественным представляется подход "упрощенных" моделей. При этом возникает цепочка (иерархия) всё более полных моделей, учитывающих всё большее число факторов и таковых, что изучаемая модель будет предельным случаем упрощенных моделей.
Одним из основных преимуществ иерархии упрощенных моделей является возможность простого описания сложного объекта с помощью нескольких основных параметров. Естественно, возникает вопрос о том, какие уровни моделей разумно использовать в тех или иных случаях. Другими словами, необходимо определить оптимальное число параметров, знание которых позволяет с достаточной полнотой описать поведение изучаемого объекта.
Диссертационая работа посвящена обоснованию подхода основанного на иерархии упрощенных моделей, в задачах моделирования переходных и колебательных процессов динамических систем, содержащих запаздывания сложной природы.
Цель работы. Изучение вопросов математического моделирования переходных и колебательных процессов в линейных и нелинейных системах со сложными запаздываниями на основе аппроксимации процессов импульсными и переходными функциями, импульсно-частотными характеристиками элементарных звеньев, содержащих простейшие запаздывания, а также на основе экспоненциальных решений модельных уравнений.
Методы исследования. Используются методы математического моделирования, методы теории функционально-дифференциальных уравнений, теории обобщенных функций, теории управления, теории систем, методы приближенного исследования операторных уравнений.
Научная новизна. В работе для широкого класса динамических систем со сложными запаздываниями: предложен метод математического моделирования импульсных и переходных характеристик, основанный на иерархии упрощенных моделей; предложен метод математического моделирования импульсно-час-тотных характеристик и колебательных процессов; разработаны алгоритмы построения переходных и колебательных процессов, программно реализованные в среде MATLAB; дано теоретическое обоснование функционирования линейных звеньев в различных пространствах входных сигналах; получены оценки скорости сходимости аппроксимирующих рядов к решениям основных уравнений.
Практическая и теоретическая ценность. В работе предлагается теоретическое обоснование метода математического моделирования переходных и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями. Предлагаемый метод может быть использован в задачах приближенного построения переходных и колебательных процессов широкого класса динамических систем, содержащих запаздывания различной природы. Полученные результаты доведены до расчётных формул, позволяющих эффективно изучать динамику переходных и колебательных процессов. Предложены алгоритмы и программы численного исследования эволюции динамической системы при различных входных сигналах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 9 параграфов, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 114 страниц, включая 30 рисунков. Библиография содержит 73 наименования.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на второй Всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB" (г. Москва, ИПУ РАН, 25-26 мая 2004 г.), на Международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы" (г.Стерлитамак, 24-28 июня 2003г.), на Международной научной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (г.Воронеж, 30 июня - 4 июля 2003г.), на VIII Уральской региональной научно-практической конференции "Проблемы физико-математического образования в вузах России на современном этапе" (г.Магнитогорск, МаГУ, 18-19 марта 2004 г.), на Региональной научно-технической конференции "Новые программные средства для предприятий Урала" (г.Магнитогорск, 9-11 декабря 2003 г.), на Региональной конференции "Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике" (г.Уфа, 1-2 июня, 2001г.), на научных семинарах Башгосуниверситета (руководитель - д.ф.-м.н., профессор Султанаев Я.Т.), на научных семинарах Сибайского института БГУ (руководитель - д.ф.-м.н., профессор Юмагулов М.Г.).
Публикации. Основные работы опубликованы в работах [б5]-[73].
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Функционирование звена со сложными запаздываниями в различных пространсвах допустимых входов
Рассмотрим линейное звено W, описываемое уравнением х = Wu. При описании функционирования звена наряду с понятиями состо яния, передаточной функции, уравнения вход-выход и др., важным является понятие переходных процессов. В общей постановке это понятие может быть сформулировано следующим образом: пусть при t t0 вход щ(і) звена был нулевым uG(t) = 0, при этом ему соответствовал нулевой выход xG(t) = О, который был устойчивым. Далее, при t = tо значение входа щ{і) скачкообразно изменилось так, 0, что либо либо щ(і) - это мгновенный единичный импульс, который моделируется как 5 - функция Дирака. В этом случае выход звена также изменится. При этом обычно возможны две ситуации. Эти ситуации схематично изображены на Рис 4.1 а и б. Первая ситуация связана с тем, что выход xa(t), изменившись при t tQ, через некоторое время возвращается к нулевому состоянию. Вторая ситуация связана с тем, что выход Q(0» изменившись при t , через некоторое время переходит к новому устойчивому состоянию х\. Процесс перехода выхода Xo(t) от одного устойчивого состояния к другому называется переходным процессом. Конечно, можно рассматривать и более общие постановки, связанные, например, со следующими ситуациями: а) вместо нулевых начальных входов щ(і) и выходов х$(і) рассма тривать произвольные входы и выходы, в частности, периодиче ские функции. б) при t to вход uo(t) не обязательно должен быть ступенчатой функцией или 5-функцией. Он может, в частности, быть непре рывной, периодической функцией. Однако, такие ситуации в естественной постановке могут быть сведены к рассмотренным выше. Ниже в основном будут изучаться переходные процессы, схематично изображены на Рис.4.1а. Приведенные иллюстрации фактически говорят о том, что рассматриваемая динамическая система будет в определенном смысле устой-чивой. В этой связи напомним некоторые понятия теории устойчивости. Пусть W - линейное звено, определяемое уравнением x(t) = Wu(t). Как уже отмечалось выше (см. п. 1.1.4), выход x(t) по входу и(ї) определяется, вообще говоря, неоднозначно. Он будет определяться однозначно при t (ь если в момент Q известно состояние XQ звена W. Поэтому выход звена W естественно записывать равенством х = x[t,XQ, и)), t t$. Пусть состояние XQ этого звена выбрано так, что при нулевом входе uo(i) = 0 выход звена также является нулевым: x(t,xQ,uo{t)) = 0, t t0.
Звено VK называется устойчивым по Ляпунову, если для Vio и для Ve 0, 35 — S(e,to) 0 такое, что при \х — XQ\ 5 и \u(t)\ 6 при t to следует неравенство \x{t,x,u{t))\ є при t to. Другими словами, звено W является устойчивым, если малому изменению состояния входа отвечает малое изменение выхода. Звено W называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, ес-ли, во-первых оно устойчиво и, во-вторых, для Vio и для Ve 0, 35 — 5(є, to) О такое, что при \х — XQ\ 8 и \u(t)\ — 0 при t — со следует, что \x(t,х,u(t))\ —У 0 при і — оо. Другими словами, звено W является асимптотически устойчивым, если оно, во-первых, устойчиво, и, во-вторых, если выход u(t), немного изменившись при t = tQ, далее стремится к нулю, то выход х(), также немного изменившись при t = tQ, далее также стремится к нулю. Для линейного звена свойство асимптотической устойчивости является глобальным, т.е. это решение асимптотически устойчиво в большом. Выражение "в большом" означает, что асимптотическая устойчивость выполняется для всех начальных состояний и не ограничена состояниями, достаточно близкими к нулевому состоянию. Ниже будет предполагаться, что звено W является асимптотически устойчивым. Выше, в 1, было введено понятие импульсной характеристики как нормальной реакции звена на обобщенный вход u(t) — S(t), где 6(t) -функция Дирака. При изучении переходных процессов, наряду с импульсной характеристикой, важным является понятие переходной характеристики линейного звена. Приведем здесь необходимые понятия. Пусть при t О вход Uu(t) и выход xo(t) звена W были нулевыми. Переходной характеристикой k(t) линейного звена W называют реакцию ее на воздействие вида (4.1), т.е. на функцию Хевисайда. Переходная характеристика k(t) равна интегралу от импульсной характеристики h(t), т.е.:
Моделирование импульсных характеристик
Одним из основных в периодической задаче для линейных стационарных звеньев является понятие импульсно-частотной характеристики (ИЧХ) (см., например, [23, 41]), определяемое как Т-периодическая реакция звена на Т -периодическую последовательность бесконечных мгновенных импульсов. При этом указанная последовательность может быть описана как обобщенная функция где 5(t) - это 5-функция Дирака. Функция (8.8) может задаваться и в виде ряда Фурье
Пусть для звена W с передаточной функцией (2.9) выполнено условие (8.2), т.е. в звене W отсутствует Т-резонанс. Тогда (см. теорему 3.2) единственной Т-периодической реакцией звена W на входной сигнал u(t) — Sj{t) будет обобщенная функция Следуя [41], обобщенную функцию (8.10) будем называть импульсно-частотной характеристикой (ИЧХ) звена W в задаче о Т-периодических решениях.
Особая значимость ИЧХ подчеркивается утверждением 3) теоремы из которого следует, что в важном случае, когда п m, функция (8.10) является рядом Фурье обычной классической функции, суммируемой в квадрате на интервале (0, Т), и которая посредством равенства (8.7) позволяет строить Т-периодические выходы звена W при любом Т-периодическом входе u(t) Є L 2{0,T). В настоящем параграфе изучаются функциональные свойства ИЧХ звена W в случае, когда п т. Рассмотрим функцию (3m{t), фигурирующую в правой части уравнения (2.5). Так как по предположению она имеет ограниченное изменение на отрезке [0, г] то имеет место (причем единственное) представление j3m(t) = Pmc(t) + 0md(t) ) ГДЄ Pmc(t) Непрерывная фуНКЦИЯ ограниченной вариации, a /3md{t) - функция скачков. При этом, если x(t) - суммируемая по мере pmd(t) функция, то верно равенство h j где $j - точки разрыва функции скачков Pmd(t), a bj - соответствующие скачки этой функции. Если же функция x(t) является Т-периодичесю то последнее равенство может быть переписано в виде где постоянная А может быть равной нулю (если точка t = 0 является точкой непрерывности функции Pmd{t)). При этом множество содержит не более чем счетное число элементов. 0 По функции pmd{t) и целому числу к 0 определим класс Ер функций x(t) таких что: а) при к 1 функция х (t) является к — 1 раз непрерывно диффе ренцируемой на [О, Т); б) для і Є (0,T)/fi существует производная xh(t), при этом для определенной на множестве [0,Т)Д2 функции g(t) = xk(t) существуют односторонние пределы ?(т;- ± 0) для любого ту Є fi; в) если функцию #() доопределить в точках множества U пра восторонними (левосторонними) пределами, то полученная функция будет иметь ограниченное изменение на [0, Т], а множество её точек ф разрыва на (0,Т) совпадет с множеством (8.12); г) имеют место равенства Те ор е ма 8.3. Пусть п — т 0 . Тогда импулъсно-частотная характеристика (8.10) линейного звена W принадлежит классу. Ео т 1. Следствие 1. Если в уравнении (2.5) (3m(t) является непрерывной # функцией ограниченной вариации , то импулъсно-частотная харак теристика (8.10) линейного звена W является п—т—1 раз непрерывно дифференцируемой на [0, Т) функцией, причем функция Gn-m l{t,T) имеет ограниченное изменение на [0, Т\, V Следствие 2. Пусть в уравнении (2.5) выполнено п — т 1. Тогда ИЧХ звена W имеет ограниченное изменение на [0, Т], мнооюество её точек разрыва на (0, Т) совпадает с множеством (8.12), причем выполнены равенства (8.13) и (8.14) при g(t) = G(t, Т). Импульсно-частотная характеристика линейного звена W со сложными запаздываниями была определена посредством своего ряда Фурье (8.10). Такое представление ИЧХ, весьма удобное в одних ситуациях, становится малопригодным или даже совершенно неприемлимым в других. В этой связи важным является получение других представлений ИЧХ. В настоящем параграфе обсуждаются вопросы разложения ИЧХ звена W в ряд по экспоненциальным решениям однородного для (2.5) уравнения.
Периодическая задача для линейного звена со сложными запаздываниями
Первый параграф главы 1 носит вводный характер. В нем приводятся необходимые сведения из общей теории систем, системного анализа (см., например, [18, 21, 23]), теории управления (см., например, [4, 11, 14, 33, 43, 51]) и теории дифференциальных уравнений (см., например, [3, 35, 37, 47]). Приводится описание функционирования различных динамических систем, вводится понятие состояния системы. Во втором параграфе главы 1 даются основные сведения о линейных звеньях, содержащих запаздывания различной природы. Приво дится ряд примеров систем, содержащие запаздывания. Описывается схема перехода от простейших уравнений к уравнению вида (0.1). Основные результаты первой главы содержатся в третьем параграфе. В нем последовательно дается описание функционирования звена в различных классах входных функций: для гладких входов, для непре рывных, локально суммируемых входов и др.. Наиболее общей ситуацией, по-видимому, является та, когда входы u{t) звена W принадлежат классу D обобщенных функций, т.е. u{t) представляют собой линейный непрерывный функционал на некотором основном пространстве D. Пусть основное пространство D — это пространство бесконечно дифференцируемых и финитных на числовой оси скалярных функций с обычным понятием сходимости. Обозначим через Dr+ совокупность всех обобщенных функций из D , обращающихся в ноль при t 0. Уравнение (0.1) может быть записано в виде сверточного уравнения значают A l(t). Здесь 5(t) - функция Дирака. Основным утверждением в главе 1 является следующая Теорема 1. При любых пит существует и причем единственное фундаментальное решение A x{t) уравнения (0.1). Для любых обобщенных входных сигналов u{t) Є D\ линейное звено (0.1) имеет единственный обобщенный выходной сигнал x(t) Є D +, пред-ставимый в виде Глава 2 посвящена вопросам моделирования переходных процессов в системах со сложными запаздываниями. Глава состоит из четырех параграфов. В четвертом параграфе приводятся необходимые сведения и понятия о переходных процессах в динамических системах (см. [4, 14, 34, 43, 51]). В частности, приводятся понятия импульсной и переходной характеристики линейного звена. Пусть W - это линейное звено с одним скалярным входом u(t) и одним скалярным выходом x(t).
Импульсной характеристикой h(t) линейного звена W называют нормальную реакцию звена на входной сигнал u(t) = 5(t). При этом под нормальной реакцией звена понимается обобщенный выход h(t) звена таким, что носитель обобщенной функции h{i) содержится на полуоси t 0.
С помощью импульсной характеристики может быть найдена реакция на любое входное воздействие u(t) по формуле:
Переходной характеристикой k(t) линейного звена W называют нормальную реакцию звена на воздействие вида х( ), где х( ) это функ-1 О, если t О. Пусть на вход линейного звена W подаётся сигнал u(t) = S(t) или u(t) = х(0 и МО нормальная реакция звена. Переходным процессом для линейного звена W будем называть поведение системы на промежутке [0,те), где те - время стабилизации системы. Другими словами, переходным процессом называют поведение функции h{t) на промежутке [0,7 ). Основным во второй главе являются пятой и шестой параграфы. В них даются основные положения предлагаемого метода моделирования переходных процессов линейном звене W.
Базовым является то положение теории управления и общей теории систем [18], которое подчёркивает важность возможности представления изучаемой системы или звена как соединения типовых или элементарных звеньев, порядок дифференцирования уравнений которых не выше второго. В работе обсуждаются вопросы такого представления. Основное внимание уделяется изучению случая п тп и связанной с ним возможностью разложения передаточной функции (0.4) в ряды по простейшим дробям.
Моделирование импульсно - частотных характеристик и колебательных процессов
Состоянием линейного звена W в момент to называют такой вектор 8 {to), знание которого позволяет однозначно найти выход x{t) звена при входе u(t) для всех t to.
Например, для интегрального звена (1.2) состоянием в момент to можно считать значение х(о). В процессе функционирования системы меняется не только вход и выход, но и ее состояние. Уравнение, описывающие динамику состояния звена, называют уравнением состояния звена. Например, для интегрального звена (1.2) уравнение состояния совпадает с самим уравнением (1.2). Ниже, наряду с указанными выше элементарными звеньями, также будет рассматриваться линейное звено, вход u(t) и выход я (і) которого являются вектор-функциями и связаны дифференциальным уравнением Передаточной функцией звена W называется такая функция W(p) комплексного переменного р, что если на вход звена подать функцию u(i) = ept у то среди выходов будет содержаться выход вида Другими словами, передаточная функция является коэффициентом усиления сигнала epi. Например, для пропорционального звена х = ku{t) передаточной будет функция W{p) = к, для интегрального звена передаточной является функция W{p) = -, для дифференциального звена - функ V ция W{jp) = р, для звена-задержки x(t) = u{t — г) - функция W{p) = Отметим, что если на вход звена подать функцию u{t) = е , то звено может иметь много различных выходов, а не только выход типа x(t) — W(p)ept. Другими словами, лишь один из выходов позволяет найти передаточную функцию. Вход u(t) и выход x(t) линейного звена ТУ может быть из различных пространств функций. Например, для интегрального звена x {t) = и вход u(t) естественно рассматривать в пространстве L\to, оо) локально суммируемых функций, а для дифференциального звена x(t) = и (І) - вход естественно рассматривать в классе C ic oo) непрерывно дифференцируемых, или в классе A[to, оо) абсолютно непрерывных функций. Множество функций U таких, что для любой u(t) Є U имеет смысл говорить о выходе x(t) = Wu(t) звена W называют пространством допустимых входов, а саму функцию u(t) - допустимым входом. При изучении функционирования линейных звеньев выбор пространства допустимых входов обычно определяется постановкой задачи. Если достаточно ограничиться гладкими функциями, то в качестве пространства допустимых входов можно использовать пространство типа Ск или даже С. Если же необходимо существенно расширить пространство допустимых входов, то естественно рассматривать измеримые функции или даже пространство D обобщенных функций. Рассмотрим линейное звено ЇУ, где в качестве пространства допустимых входов выбрано пространство обобщенных функций D . Важнейшим понятием линейного звена является понятие импульсной характеристики (ИХ). Пусть W - это линейное звено с одним скалярным входом u(t) и одним скалярным выходом x(t). Импульсной характеристикой h(t) линейного звена W называют нормальную реакцию звена на входной сигнал u(t) = $(t). При этом под нормальной реакцией звена понимается обобщенный выход h(t) звена такой, что носитель обобщенной функции h(t) содержится на полуоси ( 0. Например для пропорционального звена х = ки импульсная характеристика определяется как функция х = k5(t). Для интегрального звена х1 — и - ИХ равна функции Хевисайда Знание импульсной характеристики звена позволяет описать поведение выхода звена при любом входе. Например, если импульсная характеристика h(t) является регулярной обобщенной функцией, то выход x(t) звена W при некотором локально суммируемом входе u{t) будет Другими словами, если известна импульсная характеристика, то для описания динамики звена, само уравнение звена уже не обязательно. Поэтому, в практических задачах часто, вместо того, чтобы строить уравнение звена, находят импульсную характеристику звена. С этой целью на вход звена подают сигнал, моделирующий S - функцию, затем измеряют реакцию выхода. Он и будет импульсной характеристикой.
