Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование магнитного поля рассеяния 10
1.1. Прямая задача магнитостатики как математическая модель магнитного поля рассеяния 10
1.2. Разложение магнитного поля рассеяния в ряд по гармоническим функциям 16
1.3. Аналитические приближённые модели магнитного поля рассеяния от дефектов границы ферромагнетика 18
1.4. Метод конечных элементов для двухмерного оператора Лапласа и пакеты прикладных программ для его реализации 30
1.5. Решение прямой задачи магнитостатики методом граничного интегрального уравнения 50
Глава 2. Постановка обратной геометрической задачи магнитостатики в магнитном контроле 59
2.1. Определение геометрических параметров дефекта поверхности по приближённым аналитическим моделям магнитного поля 59
2.2. Повышение устойчивости решения методом наименьших квадратов 64
2.3. Обратная задача магнитостатики 71
2.4. Постановка обратной геометрической задачи магнитостатики 80
2.5. Формальная математическая модель локального восстановления формы границы ферромагнетика ...84
Глава 3. Математическое моделирование восстановления магнитного ноля рассеяния по измерениям в отдельных точках пространства 89
3.1. Регистрация магнитного поля магниточувствительными элементами 89
3.2. Локальная реконструкция магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках 91
3.3. Критерии адекватности восстановления магнитного поля рассеяния 123
3.4. Взаимосвязь спектров Фурье функции формы границы ферромагнетика и пространственного распределения магнитного поля рассеяния 135.
3.5. Реконструкция магнитного поля в ферромагнетике по измерениям в воздухе, вблизи идеальной границы 144
Глава 4. Методы приближённого решения обратной геометрической задачи магнитостатики 150
4.1. Построение алгоритма реконструкции формы границы по измерениям магнитного поля рассеяния со стороны дефектной границы ферромагнитного изделия 150
4.2. Реконструкция границы ферромагнетика по регистрации магнитного поля рассеяния с противоположных сторон изделия 169
4.3. Определение геометрических параметров дефектов поверхности без полной реконструкции формы границы 182
Глава 5. Моделирование влияния внешнего магнитного поля на процесс выключения электрического тока в цепях с нелинейной индуктивностью 190
5.1. Магниточувствительные элементы и их соответствие требованиям, предъявляемым при восстановлении поля рассеяния 190
5.2. Моделирование влияния внешнего магнитного поля на нестационарные процессы в электрических цепях с нелинейной индуктивностью 192
5.3. Экспериментальное исследование влияния внешнего магнитного поля на нестационарные процессы при переключении тока в колебательном контуре с нелинейной индуктивностью 200
5.4. Микропроцессорное управление многоэлементным преобразователем 215
Заключение 221
Список литературы 226
Приложение 1 245
- Разложение магнитного поля рассеяния в ряд по гармоническим функциям
- Повышение устойчивости решения методом наименьших квадратов
- Локальная реконструкция магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках
- Реконструкция границы ферромагнетика по регистрации магнитного поля рассеяния с противоположных сторон изделия
Введение к работе
Для повышения надёжности изделий машиностроения в практике мирового производства широкое применение нашли методы неразрушаюшего контроля. Магнитные методы контроля, основанные на взаимосвязи магнитного поля рассеяния с конфигурацией контролируемого ферромагнитного изделия, являются одними из наиболее перспективных, благодаря их высокой чувствительности и бесконтактному характеру контроля.
В металлургии и машиностроении широкое распространение получила магнитная дефектоскопия поверхности изделий, т. е. обнаружение поверхностных трещин, коррозионного разрушения и т. п. В процессе контроля, наряду с обнаружением дефектов поверхности, необходимо принять решение о допустимости или недопустимости эксплуатации контролируемого изделия с обнаруженными дефектами. Это решение принимается на основе анализа зарегистрированного пространственного распределения магнитного поля рассеяния с учётом некоторой априорной информации о свойствах дефектов, характерных для данной технологии и материала изделия.
Идея магнитного контроля качества ферромагнитных материалов и изделий принадлежит академику А. Н. Крылову, который применил эти методы в начале XX столетия для контроля корпусных деталей в судостроении. Теоретические основы магнитной дефектоскопии были заложены в 30х - 40ч годах прошлого века в работах В. К. Аркадьева, Р. И. Януса, С. В. Вонсовского, А. Б. Сапожникова и других исследователей.
В России исследованиями закономерностей формирования магнитных полей рассеяния от дефектов поверхности ферромагнитного изделия занимаются В. Е. Щербинин, Н. Н. Зацепин, В. В. Дякин, В. Ф. Мужицкий, И. А. Новикова, А. С. Шлеенков и другие исследователи. За рубежом аналогичные исследования проводили F. Forster, G. Zizelmann, I. Uetake, H. Ito, Y. Uno, K. Orito и другие.
Физической основой взаимосвязи формы ферромагнетика с пространственным распределением магнитного поля рассеяния является задача магнитостатики. Теоретические и экспериментальные исследования, практика применения магнитных методов позволяют заключить, что закономерности формирования магнитных полей рассеяния, составляющие предмет прямой задачи магнитостатики, в основном могут считаться установленными. Совершенствование методики регистрации магнитных полей рассеяния в дефектоскопии позволили существенно повысить чувствительность и помехозащищённость оборудования.
Оценка опасности обнаруженного дефекта поверхности в настоящее время производится при помощи сопоставления магнитного поля рассеяния с полем эталонного дефекта, что в ряде случаев является причиной неправильной браковки изделий. Дальнейшее развитие методов магнитного контроля поверхности, связанное с повышением достоверности при браковке, может быть достигнуто на основании реконструкции границы ферромагнетика в месте обнаруженной неоднородности.
Практика магнитного контроля показывает, что определение геометрических параметров неоднородности границы ферромагнетика характеризуется неустойчивостью результатов. Это обусловлено тем, что дефекты различной формы могут вызывать близкие распределения магнитных полей рассеяния. Восстановление формы границы ферромагнитного тела по пространственному распределению поля рассеяния тесно связано с решением обратной задачи магнитостатики, которая часто является некорректной. Благодаря работам А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, В. Я. Арсенина и других исследователей разработаны методы решения некорректных задач и сформулированы условия, позволяющие выделить область их условной корректности. Применительно к магнитному контролю известна только одна постановка обратной задачи магнитостатики, выполненная В В. Дякиным. однако, как отмечает сам автор, методы решения этой задачи в настоящее время отсутствуют.
Цель диссертационной работы заключается в разработке устойчивых методов реконструкции формы границы ферромагнетика, более полно использующих информативность пространственного распределения магнитного поля рассеяния, имеющих существенное значение для развития теоретических основ магнитного контроля поверхности изделий.
6 Диссертационная работа направлена на повышение надёжности методов магнитного контроля поверхности снижением вероятности ошибок при браковке изделий за счёт реконструкции формы границы изделия на основе разработанных методов решения обратной геометрической задачи магнито-статики.
Научная проблема диссертационного исследования состоит в постановке обратной геометрической задачи магнитостатики и разработке устойчивых методов её решения.
Исследования проводились по следующим направлениям. Ш 1. Адаптация методики восстановления гармонической функции на осно- вании измерений в отдельных точках к магнитному контролю поверхности изделий.
2. Постановка обратной геометрической задачи магнитостатики примени тельно к магнитному контролю и обоснование её условной корректности. ф 3. Разработка устойчивых методик для приближённой локальной рекон- струкции формы границы дефекта контролируемой поверхности.
Разработка устойчивых методов для оценки геометрических параметров дефектов границы по приближённой реконструкции пространственного распределения магнитного поля рассеяния.
Теоретическое и экспериментальное исследование влияния внешнего магнитного поля на преобразование энергии при выключении тока в электрических цепях, содержащих нелинейную индуктивность, для создания миниатюрных многоэлементных преобразователей.
Теоретические исследования основаны на общих положениях и законах Ф электродинамики с применением аппарата дифференциального и интеграль- ного исчислений, векторного анализа, уравнений математической физики, теории поля, теории обобщённых функций, а также на применении методов решения некорректных задач, численных методов решения краевых задач, методов математического моделирования и вычислительного эксперимента.
Все экспериментальные измерения проводились стандартными методами, приборами, аттестованными метрологической службой.
В первой главе диссертационной работы приведены постановки прямой задачи магнитостатики применительно к магнитному контролю поверхности, представления решений прямой задачи в виде рядов, приближённые решения в аналитической форме, численные методы конечных элементов и граничных интегральных уравнений для решения прямой задачи магнитостатики.
Во второй главе исследуются причины погрешности определения геометрических параметров дефектов на основании аналитических моделей магнитных полей рассеяния. Дана постановка обратной геометрической задачи магнитостатики и определена область её условной корректности.
В третьей главе рассмотрена адаптация методов, нашедших применение в геофизике, для реконструкции пространственного распределения магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках пространства. Методами математического моделирования исследованы причины потери устойчивости при восстановлении распределения магнитного поля. Предложены критерии адекватности при измерении и восстановлении магнитного поля. Для неоднородиостей границы малой амплитуды в линейном приближении установлена взаимосвязь спектров Фурье функции формы границы и пространственного распределения магнитного поля. Рассмотрена реконструкция магнитного поля в ферромагнетике по измерениям в отдельных точках в воздухе вблизи идеальной границы.
Четвёртая глава посвящена методам приближённого решения обратных задач магнитостатики. В линейном приближении, при малых гармонических амплитудах функции формы границы, предложен метод решения обратной геометрической задачи по измерениям магнитного поля в воздухе со стороны дефектной границы. В нелинейном приближении, при значительных амплитудах, предложен метод коррекции спектра. Рассмотрен метод приближённого решения обратной геометрической задачи по измерениям с противоположных сторон изделия. Предложен устойчивый метод определения геомет-
8 ричсских параметров неоднородности границы, в частности оценка снизу для глубины дефекта.
Пятая глава посвящена исследованиям нового принципа построения преобразователей магнитного поля на основе нестационарных процессов в нелинейном колебательном контуре, позволяющем создавать многоэлементные преобразователи с микроминиатюрными магниточувствительными элементами. Предлагается микропроцессорное управление работой многоэлементного преобразователя.
На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные соискателем: математическая модель взаимосвязи пространственного распределения магнитного поля рассеяния с формой неоднородности границы ферромагнетика; формулировка и доказательство теоремы единственности решения и выбор области условной корректности обратной геометрической задачи магнитостатики; методика контроля адекватности при измерении и реконструкции поля рассеяния; определение взаимосвязи спектров Фурье функции формы границы и пространственного распределения поля рассеяния; алгоритм приближённой реконструкции формы границы ферромагнетика по магнитному полю рассеяния с дефектной стороны изделия при малых возмущениях формы границы; алгоритм приближённой реконструкции формы границы ферромагнетика с коррекцией Фурье-спектра магнитного поля при значительных возмущениях формы границы; алгоритмы приближённой реконструкции формы границы ферромагнетика по регистрации магнитного поля рассеяния с противоположных сторон изделия и по магнитному полю со стороны бездефектной границы; метод устойчивого определения нижней границы глубины дефекта; результаты теоретического и экспериментального исследования влияния внешнего магнитного поля на нестационарный процесс при вы- ключении электрического тока в колебательном контуре с нелинейной индуктивностью; - новый преобразователь для регистрации магнитных полей рассеяния. т-
Разложение магнитного поля рассеяния в ряд по гармоническим функциям
В теории уравнений в частных производных [2] показано, что гармоническая функция может быть представлено в виде ряда, члены которого представляют гармонические функции, т.е. сами являются решениями уравнения Лапласа. Пусть протяжённость прямоугольной области D в направлении оси ох. Ве 2л- , „ „ личину (о = — оудем называть основной пространственной частотой. Будем полагать, что дефект границы единственный и расположен на верхней границе ферромагнетика достаточно протяжённого вдоль оси ох. Расположим прямоугольную область D в воздухе симметрично над дефектом границы ферромагнетика. Магнитное поле рассеяния, созданное дефектом, весьма быстро спадает при удалении от центра дефекта. Размеры области D выберем настолько большими, что на боковых границах области магнитным полем от дефекта можно пренебречь. В этих условиях в разложении скалярного магнитного потенциала отсутствуют слагаемые, содержащие множитель ехр(±а хЬ).
Аналитическое решение прямой задачи магнитостатики известно для очень узкого класса формы границы ферромагнетика. Эти решения мало пригодны для рассмотрения особенностей формирования магнитных полей рассеяния во всём многообразии дефектов поверхности контролируемых деталей. В связи с этим, широкое развитие получили аналитические приближённые методы решения задачи магнитостатики на основе моделирования формы дефекта. В общих чертах этот способ решения сводится к следующему. На основании исследования реально встречающихся на практике неоднородностей границы делается вывод о некоторой общей форме этих дефектов, возникающих при определённых условиях Таким образом, задаётся геометрическая форма дефекта поверхности. Эта форма характеризуется некоторым количеством геометрических параметров (глубина, пол у раскрытие, угол наклона и т.п.). Далее следует приближённое аналитическое решение задачи магнитостатики, которое строится на основе формализма «магнитных зарядов». Поверхностные «магнитные заряды» [3-5] имеют место при наличии границы раздела линейных магнитных сред с различной магнитной проницаемостью. Объёмные магнитные заряды [3-5] возникают при рассмотрении нелинейного ферромагнетика. Для получения адекватного приближённого аналитического решения необходимо определить распределение поверхностных «магнитных зарядов» по поверхности неоднородности границы изделия, которое требует знания величины нормальной к границе компоненты напряжённости магнитного поля.
Не претендуя на полноту обзора, остановимся на наиболее распространенных аналитических моделях полей рассеяния, которые в настоящее время лежат в основе магнитной дефектоскопии. Одна из первых моделей поверхностного дефекта рассмотрена В.К.Аркадьевым в работе [6]. Особенно интенсивно исследуется топография магнитного поля дефекта в воздухе в 60 - 70е годы XX века. В частности этой проблеме посвящены работы Н.Н.Зацепина, В.Е.Щербинина, Ф.Фёрстера, А.И Пашагина, И.А.Новиковой и других исследователей [7-33]. Экспериментальное исследование топографии магнитного поля рассеяния от естественных поверхностных дефектов в ферромагнитных телах проведено Н.Н.Зацепиным [7]. Особенности топографии магнитного поля рассеяния от поверхностных дефектов исследованы в работах [9,10]. В работе [10] было показано, что на остаточной намагниченности изделия, в определённом диапазоне полей, поле поверхностного дефекта может изменять свое направление. Отмечено, что эффект не наблюдается для магнитожёстких материалов и для глубоких дефектов. Полученные результаты полностью согласуются с работой Р.И.Януса [34]. Наиболее важные результаты, на мой взгляд, были получены в работе [35], где предложена довольно простая модель поверхностного дефекта, получившая широкое признание. В дальнейшем мы будем пользоваться этой моделью для сравнения с другими приближёнными методами моделирования магнитных полей рассеяния, поэтому рассмотрим её подробнее. Дефект поверхности моделируется прямоугольной канавкой шириной 2/ и глубиной /?, расположенной перпендикулярно поверхности ферромагнетика рис. 6. В основе модели лежит гипотеза о равномерном распределении поверхностных «магнитных зарядов» на перпендикулярных к намагничивающему полю гранях дефекта.
В работе [16] исследуется пространственное распределение магнитного поля рассеяния от дефектов, сечения которых имеют форму несимметричных треугольника и трапеции. Приводятся выражения для нормальной и тангециальной компонент магнитных полей этих дефектов. Авторы [17] рассмотрели влияние протяжённости дефекта на величину его магнитного поля. В работе приведены выражения для нормальной и тангециальной составляющих поля рассеяния от дефектов конечной протяжённости / в направлении, перпендикулярном намагничивающему полю.
Повышение устойчивости решения методом наименьших квадратов
В предыдущем параграфе мы рассматривали определение геометрических параметров из решения система линейных алгебраических уравнений типа (2.4), (2.6). Измерение магнитного поля производилось в количестве точек равном количеству искомых геометрических параметров. Семейство -зависимостей тангецнальной компоненты магнитного поля от раскрытия при различных глубинах дефекта. которых обычно существенно превосходит количество искомых геометрических параметров В этом случае система уравнений получается переопределённой. Для решения таких систем предлагается применять метод наименьших квадратов [64]. Суть метода сводится к следующему. Пусть для точек измерения с координатами ут, \xmi\ имеется совокупность измерений некоторой компоненты магнитного поля рассеяния И (хтпут).
Для определения параметров, при которых достигается минимум функционала F\Pj) можно применить встроенную функцию МАТЛАБ находящую минимум функции нескольких переменных fmm.s(xi,X2,...). Эта функция [65], использующая симплекс-метод Нелдера - Мида, реализует один из лучших прямых методов минимизации функций ряда переменных, не требующий вычисления производных функции. Он сводится к построению симплекса в п - мерном пространстве, заданного (п-1) вершиной. В двухмерном пространстве симплекс является треугольником. На каждом шаге итераций выбирается новая точка решения внутри или вблизи симплекса. Она сравнивается с одной из вершин симплекса. Ближайшая к этой точке вершина симплекса обычно заменяется этой точкой. Таким образом, симплекс перестраивается и обычно позволяет найти новое, более точное положение точки решения. Процесс повторяется, пока размеры симплекса не ста-нут меньше заданной погрешности решения.
В рассмотренном случае параметры дефекта, полученные функцией fmins(X[,X2,..X с точностью до 10 6 совпадают с размерами модельного дефекта. При некоторых отклонениях измеренных значений, вызванных, напри ф мер, погрешностью измерения, естественно полагать, что функционал (2.7) при значениях \р,\ близких к параметрам дефекта будет иметь минимум. Такой пример проиллюстрирован на рис. 42, где приведён график зависимо сти функционала от размеров дефекта, для экспериментальных данных имеющих относительную погрешность до 10 %. Из приведённых данных видно, что функционал характеризуется не единственным минимумом. Зна чения геометрических параметров, найденные по минимуму функционала, несколько отличаются от заданных размеров дефекта, h 1,2.ш/,/ 0,18.іш . Основной причиной, препятствующей широкому применению метода Ф наименьших квадратов, является отклонение формы реального дефекта от формы, положенной в основу модели магнитного поля рассеяния. На рис 43 приведён график функционала /7(/ /) рассчитанного по модели (1.13) при определении магнитного поля для дефекта в форме прямоугольной канавки методом конечных элементов.. Влияние погрешности измерения магнитного поля на функционал метода наименьших квадратов. в процесс определения параметров дефектов, уже в этом случае приводит к весьма значительной ошибке в определении, прежде всего глубины дефекта. Так при относительной погрешности 10% ошибка определения глубины может превысить 100%.
На практике, реальный дефект имеет форму, значительно отличающуюся от положенной в основу аналитической модели магнитного поля рассеяния. Это может стать причиной очень больших ошибок в определении размеров дефектов. На рис. 44 приведён график функционала 1г{рА для определения размеров дефекта по модели магнитного поля (1.13). Дефект представляет собой клиновидную трещину с параметрами: h = 0,5.ш/,й = 0,05мм .
Магнитное поле рассчитывалось методом конечных элементов. Определение параметров дефекта функцией fmins(xi,x2.-..) дало значения: h = 0,19.ш/, b = 0,023.u.i/, что значительно отличается от истинных значений.
На основании проведённого исследования при помощи вычислительного эксперимента и опубликованных результатов других авторов [66,67] можно заключить, что метод наименьших квадратов несколько повышает точность определения размеров дефектов, за счёт усреднения погрешностей измерений магнитного поля при увеличении количества измерений. Однако, присущие методу аналитического моделирования ошибки, обусловленные несоответствием формы дефекта, положенной в основу модели, и формы реального дефекта очень существенно сужают область применимости данного метода на практике. Кроме того, эти ошибки метода не могут быть обнаружены непосредственно по результатам измерения.
Локальная реконструкция магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках
Для восстановления магнитного поля по измерениям в отдельных точках пространства обратимся к свойствам этого поля, которые проистекают из решения прямой задачи магнитостатики. Причиной возникновения магнитного поля в пространстве является источник намагничивающего поля #„. Если форма границы ферромагнетика имеет поверхностный дефект, то это становится причиной рассеяния поля намагничивания на неоднородности границы и порождает магнитное поле рассеяния от дефекта Вс/{х,у). Таким образом, общее магнитное поле в рассматриваемой задаче представимо в виде суммы B(x,y)=Bo+Bd(xty). (3.5) Следует отметить, что магнитное поле дефекта В (х у) быстро спадает при удалении от порождающей его неоднородности границы ферромагнетика
Если граница ферромагнетика хорошо представима плоскостью, то в качестве намагничивающего поля удобно выбрать однородное поле, параллельное этой плоскости, а прямую задачу магнитостатики целесообразно рассматривать в декартовой системе координат. Для применения численных методов ведём в рассмотрение прямоугольную область Q, часть которой занимает ферромагнитная среда. Другая часть, заполненная воздухом, отделена от ферромагнетика границей Г. Геометрия задачи представлена на рис. 48,
Скалярный магнитный потенциал, подчиняется уравнению Лапласа и должен удовлетворять условиям на внутренней и внешней границах области П . На внутренней границе выполняются условия непрерывности скалярного магнитного потенциала и ташециальной компоненты напряжённости магнитного поля (1.3). Обычно рассматривается смешенная постановка задачи магнитостатики, в которой на части внешней границы задаётся значение потенциала (условие Дирихле), а для другой части внешней границы задаются условия однородного внешнего намагничивающего поля В$ (условия Неймана).
Для восстановления пространственного распределения магнитного поля рассеяния в воздухе, рассмотрим вспомогательную задачу магнитостатики на области Q рис, 48. Так как физическому измерению подлежат только компоненты магнитного поля, будем рассматривать задачу относительно тангециальной компоненты поля рассеяния // /, которая тоже является гармонической функцией. На верхней границе области Q И"с/ обращается в ноль. На боковых границах области П равны нулю её" нормальные производные аналогично предыдущей задаче. На нижней границе области Q значение функции H"j подлежат экспериментальному определению. В процессе проведения вычислительного эксперимента находим величину тангециальной компоненты магнитного поля от дефекта ## = Н"{хпУт)-\ на основании решения прямой задачи магнитостатики на прямой у Ут в равноотстоящих 2/V точках измерения {лгЛ . Совокупность значений // /,} является входным вектором для модели реконструкции магнитного поля рассеяния.
Соотношения (3.10), (3.12), (3.13) и (3.14) совместно с определением коэффициентов (3.11) из разложения Фурье измеренных значений компоненты магнитного поля составляют модель восстановления магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках.
Моделирование процесса восстановления магнитного поля рассеяния производилось в среде МАТЛАБ с применением встроенного пакета прикладных программ pdetool. Методами вычислительного эксперимента проведены исследования восстановления магнитного поля по измерениям в отдельных точках пространства [114-117]. В качестве объекта восстановления приведём магнитное поле рассеяния от дефекта поверхности ферромагнетика, имеющего форму, представленную на рис. 48. Размеры дефекта составляют: полураскрытие Ь = 0,\ мм, глубина И = 0,\мм. Величина магнитной проницаемости ферромагнетика принята // = 100- Размеры области Q выбирались методом последовательных приближений, анализируя уровень магнитного поля рассеяния на средине расстояния между дефектом и внешней границей. Протяжённость области вдоль оси ОХ выбрана равной L = SMM. Вертикальный размер области 3 мм. Безразмерное значение магнитного і кия и нормированное значение скалярного магнитного потенциала обеспечивалось выбором величины намагничивающего поля равной единице. Заданная относительная погрешность вычисления не превышает 0,0001. Для обеспечения такой точности при вычислении компонент магнитного поля необходимо достаточно плотно разбивать область решения прямой задачи магнитостатики триангуляционной сеткой. Применялась встроенная в пакет система неоднородного распределения плотности триангуляционного разбиения. Точность расчёта методом конечных элементов контролировалась сравнением решения с решением, полученным при удвоенной плотности триангуляции. Количество триангуляционных элементов при разбиении области решения прямой задачи магнитостатики находилось в пределах \0У - 2,510\
В пакете предусмотрены специальные процедуры для корректного нахождения компонент поля по пространственному распределению скалярного потенциала: pdegrad и pdeprtni, что существенно повышает точность вычисления полей. На рис. 50 - 52 приведены графики безразмерного магнитного поля рассеяния, вычисленные в 4096 точках на расстояниях 0,05 мм, 0,2 мм и 1,2 мм от границы ферромагнетика соответственно. Из сопоставления графиков магнитного поля можно заметить, что мелкие подробности в пространственном распределении поля рассеяния, наблюдаются непосредственно вблизи дефекта (провал на максимуме на рис. 50). При удалении от границы ферромагнетика эти подробности могут быть утеряны вследствие весьма быстрого экспоненциального спада амплитуды гармоник с высокими пространственными частотами в соответствии с (3.14). Для предотвращения потери информации необходимо обеспечить измерение магнитного поля как можно ближе к контролируемой поверхности. На практике непосредственный контакт с изделием может быть недостижим или весьма нежелателен по технологическим соображениям. Тем не менее, необходимо прилагать все усилия для уменьшения зазора между контролируемой поверхностью и чувствительными элементами регистрирующей части.
Методика реконструкции магнитного поля рассеяния начинается с построения пространственного спектра Фурье регистрируемой компоненты магнитного поля. Измеренная величина компоненты безразмерного магнитного поля пересчитывается в значение поля рассеяния вычитанием намагничивающего поля, т. е. единицы. Для вычисления коэффициентов разложения Фурье существуют алгоритмы дискретного преобразования Фурье [118-120]. Наибольшую эффективность имеет алгоритм быстрого преобразования Фурье [118 ], который отличается высокой производительностью и скромными требованиями к объему оперативной памяти.
Реконструкция границы ферромагнетика по регистрации магнитного поля рассеяния с противоположных сторон изделия
Рассмотренная в предыдущем параграфе методика реконструкции границы ферромагнетика не полностью использует информацию о форме границы, заключённую в пространственном распределении магнитного поля рассеяния. В ряде случаев изделие имеет небольшую толщину, и геометрия изделия позволяет наблюдать магнитное поле с противоположной стороны изделия. Схематически это показано на рис. 106. Будем полагать, что граница ферромагнетика на стороне, противоположной дефекту, идеальна. Магнитное поле рассеяния, наблюдаемое у этой границы, сформировано дефектом сначала в ферромагнетике, а затем на границе ферромагнетика трансформировано в воздух. Наиболее ценную информацию о дефекте содержит магнитное поле рассеяния в ферромагнетике, потому, что оно сформировано в большей степени донной частью дефекта. Однако, мы лишены возможности регистрировать это магнитное поле непосредственно в ферромагнетике, на заданном расстоянии от дефекта.
В п, 3.5 мы рассматривали методику восстановления магнитного поля в ферромагнетике по измерениям в воздухе вблизи идеальной границы. Обратимся теперь к реконструкции границы ферромагнетика на основе приближённого восстановления магнитного поля рассеяния, сформированного донной частью дефекта в ферромагнетике [87-89, 91,137] и воспользуемся условием непрерывности скалярного магнитного потенциала на границе ферромагнетик - воздух. Рассмотрим сначала магнитный потенциал от дефекта при геометрии задачи представленной рис. 106. Потенциал магнитного поля на расстоянии 0,01 мм от границы ферромагнетика со стороны дефекта приведён на рис. 107, На рис. 108 приведён магнитный потенциал со стороны противоположной дефекту, на расстоянии 0,01 мм от границы. Сопоставление этих потенциалов показывает, что у противоположной стороны изделия наблюдается очень сильное затухание пространственных высокочастотных гармонических компонент, очевидно, существенная трудность будет состоять в их правильном восстановлении. Этот вывод подтверждается и видом спектра, представленного на рис. 109 (для поля со стороны дефекта) и на рис. 110 (для поля со стороны, противоположной дефекту). При реконструкции магнитного поля рассеяния с противоположных сторон изделия возникает ещё и другое осложнение, связанное с тем, что магнитный потенциал непосредственно не измеряется и восстанавливается с точностью до аддитивной постоянной. В процессе реконструкции дефекта границы ферромагнетика необходимо определить общий уровень отсчёта скалярного магнитного потенциала для магнитных полей со стороны дефекта и с противоположной стороны.
Восстановив магнитное поле в воздухе, над дефектом можно построить аппроксимацию потенциала Ф%гаі(х У)- пространственному спектру магнитного поля в воздухе с противоположной стороны дефекта в соответствии с соотношением (3.37) строим спектр магнитного поля рассеяния в ферромагнетике.
Для проверки предложенной методики решения был проведён вычислительный эксперимент. Магнитное поле дефекта моделировалось прямой задачей магнитостатики с намагничивающим полем равным единице, магнитной проницаемостью ферромагнетика ju = 100, размеры дефекта соответствуют изображённому нарис. 106. Разность магнитных потенциалов фаниц ферромагнетика определялась из решения задачи магнитостатики. Измерения напряжённости магнитного поля моделировались на расстояниях 0,01 мм от границы. Для определения спектра потенциала магнитного поля в ферромагнетике спектр, полученный на расстоянии 0,01 мм, трансформировался на уровень границы и далее по соотношению (3.37) определялся спектр потенциала в ферромагнетике как функция у. Область восстановления дефекта выбрана на отрезке [-1 1] с шагом 0,05 мм. Были получены аппроксимации потенциалов ф"„а](х,у) и p"}f(x,y). При трансформации спектров, особенно за пределы границы ферромагнетик - воздух, может иметь место неустойчивость. Для её устранения были приняты следующие меры. Со стороны дефекта спектр был ограничен пространственной частотой 31,42 мм 1. Кроме того, при нарушении монотонности изменения потенциалов дальнейшая экстраполяция производилась линейно. Для магнитного поля со стороны, противоположной дефекту, сложность состояла в том, что наведённые высокочастотные компоненты, при короткой базе преобразования, безнадёжно искажают спектр. Для существенного уменьшения уровня наведённых помех был выбран период разложения 16 мм, а спектр Фурье определялся по 4096 точкам. На рис. 112 приведён результат реконструкции формы дефекта по из мерениям магнитного поля с противоположных сторон изделия. Следует отметить хорошее качество реконструкции формы границы. Однако применение этого метода ограничено конструктивными особенностями изделия (допускает или не допускает регистрацию магнитного поля с противоположных сторон) и толщиной изделия. Допустимая толщина изделия определяется экспоненциальным затуханием гармонических компонент магнитного поля при удалении от границы (3.37), она зависит от чувствительности преобразователей магнитного поля, но практически не может превосходить нескольких размеров дефекта. Кроме того, следует отметить, что при достаточной чувст ф вительности регистрирующей аппаратуры, возможна реконструкция по из мерениям магнитного поля только с противоположной стороны дефекта.
