Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Стохастическая внешняя среда 20
1.1. Коагуляция в открытых системах 20
1.2. Скачкообразная динамика источников и стоков 21
1.3. Скачкообразная динамика скорости коагуляции 24
ГЛАВА 2 Статистическое описание систем при случайньгх воздействиях 27
2.1. Формулы дифференцирования статистических средних 28
2.2. Анализ систем, возмущаемых скачкообразными воздействиями 29
ГЛАВА 3 Коагуляция в стохастических средах (модель симметричного д-шума) 38
3.1. Кинетическое уравнение для плотности вероятности и его стационарное решение 38
3.2. Стохастический источник 42
3.3. Стохастический источник, линейный сток 48
3.4. Постоянный источник, стохастический сток 50
3.5. Синфазная схема включений стохастических источника и стока 52
3.6. Противофазная схема включений стохастических источника и стока 54
3.7. Флуктуации ядра коагуляции 56
3.8. Численное моделирование коагуляции в системе мономер-димер-тример 58
ГЛАВА 4 Модель несимметричного д-шума 61
4.1. Кинетическое уравнение для плотности вероятности 61
4.2. Стохастический источник 62
4.3. Несимметричные флуктуации скорости коагуляции 65
ГЛАВА 5 Диффузия в стохастической среде 68
5.1. Нестационарные эффекты в динамике частицы в стохастической слоисто-неоднородной среде 68
5.2. Динамика облака частиц при стохастической модуляции коэффициента диффузии 79
Заключение 83
Приложение 86
Литература
- Скачкообразная динамика источников и стоков
- Анализ систем, возмущаемых скачкообразными воздействиями
- Синфазная схема включений стохастических источника и стока
- Несимметричные флуктуации скорости коагуляции
Скачкообразная динамика источников и стоков
С необходимостью рассмотрения процессов коагуляции и диффузии встречаются в различных областях науки и техники (к примеру, в химической технологии, биофизике, астрономии, при решении проблемы очистки от аэрозольных или коллоидных загрязнений и т.п.). С основными результатами и обширной библиографией по этим вопросам можно ознакомиться в [1-18]. Особое значение теория коагуляции имеет в физике атмосферного аэрозоля, поскольку, наряду с процессами турбулентного рассеяния и конденсационного роста (испарения), коагуляция является основным физико-химическим механизмом эволюции аэрозоля в атмосфере [4]. Известно, что влияние аэрозольной компоненты атмосферы на различные геофизические процессы и явления чрезвычайно велико. В настоящее время уже молено считать доказанным существенное влияние на климат Земли стратосферного аэрозольного слоя, широко дискутируется проблема влияния на климат тропосферной аэрозольной компоненты. В связи с проблемой охраны окружающей среды большое значение имеют вопросы антропогенного загрязнения атмосферы аэрозольными примесями. При этом большую роль коагуляция играет в таких важнейших процессах самоочищения атмосферы, как седиментация (гравитационное осаждение) и влажное вымывание тонкодисперсионной аэрозольной компоненты. Поскольку условия, сопровождающие коагуляцию атмосферного аэрозоля, достаточно часто реализуются в подходящем для нас аспекте, то для иллюстрации мы будем широко привлекать примеры, имеющие отношение к физике приземного слоя атмосферы.
Резкое возрастание интереса к процессам агрегации обусловлен и другими причинами. В частности, интенсивно исследуются модели, приводящие к образованию фрактальных структур [19] (см. также [20-22]). Значительная часть этих исследований была стимулирована моделью диффузионно-ограниченной агрегации (мо дель Виттена - Сандера [23]), которая и сейчас остается активно применяемой при исследовании агрегации и неравновесного роста (см., например, [24-26]).
Важной научно-практической задачей является возможность управления процессом коагуляции. Здесь решающую роль играет изучение влияния условий, в которых эти процессы происходят. Условия эти, как правило, изменяются с течением времени, и часто стохастически. Стохастичность внешних (или внутренних) условий агрегации должна, на наш взгляд, приниматься во внимание при построении реалистичных моделей. Как будет показано, это открывает дополнительные возможности при решении проблемы управления процессом.
Процесс коагуляции представляет собой объединение (слияние, слипание) в одну частицу нескольких при их столкновении (взаимодействии). Для не слишком плотных дисперсных сред основной вклад в процесс их эволюции вносят только парные столкновения. Тройные и более высокого порядка столкновения при этом условии маловероятны, поэтому их вкладом пренебрегают. В дальнейшем ограничимся исследованием таких сред, для которых предположение об основном вкладе в процесс коагуляции парных столкновений является заведомо справедливым.
Эволюция дисперсной системы под влиянием парной коагуляции исследуется в двух аспектах. Во-первых, с точки зрения микрофизики, когда путем изучения возможных траекторий анализируется вероятность парного столкновения и последующего слияния двух произвольных частиц. Во-вторых, с точки зрения кинетики, когда для уже установленной (заданной) вероятности парного столкновения анализируется эволюция концентрации частиц. Микрофизика броуновской коагуляции в настоящее время хорошо изучена (см., например, [27-29]). Нас будет интересовать в первую очередь кинетическая постановка задачи.
Наиболее простым вариантом кинетической теории коагуляции в дисперсных системах является теория, основанная на использовании кинетического уравнения Смолуховского [30]. Основные условия, при которых это уравнение обычно записывают, могут быть сформулированы следующим образом: дисперсная система настолько разрежена, что можно рассматривать лишь парные столкновения, и, более того, чтобы на элементарные процессы сближения, столкновения и слипания двух частиц пренебрежимо мало влияли другие частицы (приближение парной коагуляции);
характерное время сближения и слипания пары частиц существенно меньше характерного времени изменения спектра размеров (масс) частиц дисперсной системы; существуют какие-то случайные силы, перемешивающие дисперсную систему таким образом, чтобы поведение частиц между актами коагуляции, включая процесс их сближения, было статистически некоррелированым.
Отметим, что ограничения, при которых применимо уравнение Смолуховско-го, не являются чрезмерно жесткими и для многих физических ситуаций реализуются с достаточной точностью. Поэтому оно весьма широко используется в исследованиях проблемы эволюции самых разнообразных дисперсных систем (см., например, [12-15]).
Обозначим концентрацию j-меров в системе в момент времени t через Cj(t). Два процесса приводят к изменению С3 со временем. Во-первых, путем коагуляции j — n-меров с n-мерами происходит формирование j -меров. Вторым процессом, изменяющим величину Cj, является исчезновение j-меров путем их коагуляции с частицами произвольного размера. Таким образом, динамика концентрации j-меров описывается уравнением:
Анализ систем, возмущаемых скачкообразными воздействиями
Ячейковая конвекция не является единственным механизмом переноса аэрозоля к области слоя инверсии. Конвекция зарождается в неустойчиво стратифицированном слое, образующемся у поверхности земли при нагреве ее солнечным излучением, и является механизмом, с. помощью которого потенциальная энергия слоя переходит в кинетическую энергию вертикальных и горизонтальных движений. Начальными импульсами для развития конвекции служат микромасштабные возмущения, всегда присутствующие в приземном слое. При неустойчивой стратификации эти возмущения быстро вырастают до размеров крупных вихрей, называемых терминами. Под действием сил плавучести термики приобретают значительные скорости подъемам могут "пробивать" слой инверсии, проникая в расположенный выше устойчивый слой [83]. При этом осуществляется транспорт приземного аэрозоля, т.е. включается источник частиц. В отличие от ячейковой конвекции, в ней нельзя выделить какую-то упорядоченную структуру, и расположение элементов конвекции является полностью случайным. Рассматриваемая конвекция является одной из форм термической турбулентности и имеет широкий спектр размеров турбулентных вихрей. При этом она является важным для процессов коагуляции фактором тепло- и массопереноса в атмосфере.
Еще одним примером возмущения свободной (т.е. не искаженной источниками и стоками, флуктуациями скорости и т.д.) коагуляции может служить процесс образования в атмосфере мелкодисперсной фракции аэрозоля в результате фото-химических реакций [84]. При определенной закрытости неба облаками такую ситуацию в наблюдаемой области коагуляции можно трактовать как наличие в системе стохастически включающегося источника мелких частиц.
Примером еще одного механизма стохастического включения источника частиц может служить генерация частиц поверхностью земли или воды при достижении скорости ветра пороговых значений [85-89].
Скачкообразная динамика скорости коагуляции На процесс коагуляции существенное влияние могут оказывать и другие факторы. Наряду с массой, система обменивается со своим окружением и энергией. Объектом такого влияния в этом случае оказывается скорость процесса коагуляции, которая также может меняться скачкообразно.
Поскольку гидродинамическое поле крупной частицы неоднородно, то на движение мелких частиц в этом поле всегда будет оказывать влияние их инерция. Возможны два режима движения мелкой частицы в неоднородном гидродинамическом поле крупной - докритийескигі, и сверхкритаческигЧ [84]. В докритическом режиме траектории мелких частиц не пересекаются с поверхностью крупной частицы (нет осаждения мелких частиц на крупную). При сверхкритическом мелкие частицы за счет инерции сталкиваются с поверхностью крупной и образуют единый кластер. Таким образом, при сверхкритическом режиме включается дополнительный механизм коагуляции - инертюнное осаждение.
Коагуляцию частиц в какой-то степени усиливает турбулентность среды. Турбулентные пульсации могут способствовать перебросу частицы из области дально-действующих сил взаимного отталкивания в область, где действуют силы взаимного притяжения. Природа этих сил может быть различной. В среде, температура которой неоднородна, при характерных размерах неоднородностеи, меньших или сравнимых с размерами частиц, появляется термофор етическая сила, пропорциональная градиенту температуры и действующая в направлении ее уменьшения. Вследствие этого может наблюдаться осаждение частиц на более холодные, так называемая термопрештитаиия. Известно, что в среде с неоднородностями парциального давления, сравнимыми с размерами частиц, возникает сила, пропорциональная градиенту парциального давления, действующая в направлении его уменьшения - диффузиофорез. Для броуновских частиц аналогичные явления называются термодиффузией и бародиффузией.
Определенное влияние на коагуляцию могут оказывать внешние электрические поля. Электрические силы взаимодействия между частицами ответственны за электростатическую коагуляцию. Эти силы могут возникнуть как из-за электрического заряда самих частиц, так и под действием внешнего электрического поля. Внешнее поле может создать наведенный дипольный момент, при этом все ориентированные диполи будут взаимно притягиваться, что усиливает коагуляцию. При стохастических изменениях напряженности внешнего поля скорость коагуляции также будет флуктуировать.
Силы взаимодействия между частицами возникают также при испарении или конденсации частицы в среде. Из-за испарения частица и окружающая среда охлаждаются, в результате чего возникают термофоретические силы притяжения. Концентрационное поле испаряющегося вещества (например, водяной пар) в силу диффузиофореза действует на другие частицы в направлении от испаряющейся частицы. Наличие газовой среды приводит к возникновению градиента парциального давления газа, приблизительно равного по величине градиенту парциального давления испаряющегося вещества. Кроме того, в среде возникает гидродинамическое течение смеси от испаряющейся частицы - стефановское течение. Оно будет уносить аэрозольные частицы от испаряющейся. Все эти силы называют силами Фаси. В зависимости от конкретной ситуации силы Фас.и могут как препятствовать, так и способствовать коагуляции частиц [84], вследствие чего изменяется ее скорость.
Проведенный обзор физических механизмов влияния внешней среды на динамику коагуляции далеко не полон. Однако ясно, что разнообразие подобных механизмов осложняет моделирование динамики реальных дисперсных систем. Упрощение моделирования может быть достигнуто введением в рассмотрение эффек тивной стохастической среды, в которую погружена рассматриваемая система. С математической точки зрения воздействие, среды на систему частиц характеризуется пространственно-временной зависимостью коэффициентов динамических уравнений. Применительно к задаче статистического описания процессов коагуляции эффективная среда интерпретируется в терминах стохастических включений эффективных источников и стоков. Как будет показано ниже, такое обобщение модели Смолуховского (1.1) приводит к появлению особенностей в динамике агрегирующей системы, определяемых средней частотой флуктуации параметров эффективной стохастической среды.
Кроме того, в работе показано, что изучая вероятностные характеристики системы коагулирующих частиц можно оценивать параметры эффективной среды, что важно с практической точки зрения.
При математическом моделировании процессов коагуляции и диффузии в нестационарной стохастической среде будем использовать аппарат формул дифференцирования (ФД) статистических средних [82], весьма удобный для анализируемого в диссертации класса задач. Метод ФД рассматривается (кратко) в следующей главе.
Синфазная схема включений стохастических источника и стока
Область физических приложений полученных в этом параграфе результатов достаточно широка. Примером вывода частиц из области агрегации может служить механизм гравитационного осаждения, действие которого способствует выводу из области протекания агрегационных процессов кластеров, достигших определенного размера. Другим механизмом, обеспечивающим вывод частиц из „игры", может служить влажное вымывание. Физика механизмов стока частиц может быть самой разнообразной, и не описываться, в общем случае, той простой линейной зависимостью, которая была использована в настоящем параграфе. Нашей задачей здесь было проследить за типичными следствиями, к которым приводит совместное действие стохастического источника и детерминированного стока.
Постоянный источник, стохастический сток [102] Рассмотрим систему с постоянным источником (для простоты считаем в (3.1.3) /(і) = 1), в которой моделирующая работу стохастического стока функция g(t) = = (1 + a{t)). В этом случае в (3.1.4)
Примером подобной динамики вывода частиц из области протекания агрегационных процессов могут служить прорывы через верхнюю границу слоя перемешивания перегретых локальных объемов воздуха, способных если не подавлять седиментацию полностью, то существенно ослаблять ее. Если изучать процесс коагуляции вблизи слоя перемешивания, то в качестве постоянного источника можно рассматривать седиментацию из более верхних слоев атмосферы. Взаимодействие этих двух факторов может заметно трансформировать спектр частиц по размерам. В безразмерных переменных є, к и S = стационарное распределение (3.1.7) имеет вид: где С - нормировочная постоянная. Распределение задано на промежутке, границы которого задаются стационарными точками, определяемыми из уравнения (3.1.4) при а = +1 и а = — 1 . При этом получаются четыре точки 7V"ij2 = N± ж N3,4 = ±\/«5 Две из которых (JV_ и —у/к) лежат в отрицательной области N и являются нефизическими. Носителем распределения Wcr(N) является множество [0,iV+] П [0,л/к] и, поскольку точка N+ лежит левее точки л/к, N Є [О, ./V+]. Фазовое пространство параметров е,8,к разбивается на области поверхностью є = 2л/62 -\- 4к с различным поведением в окрестности граничной точки NTp. При N — 0 + 0 полученное, распределение обращается в ноль по линейному закону. Поведение функции Wcr в области правой граничной точки определяется соотношением между параметрами задачи E,S,K. При этом WCT стремится к бесконечности (но интегрируема), если є 2уР + 4/с и обращается в ноль в противном случае. Численное исследование показывает, что имеется два типа стационарных распределений: монотонное и немонотонное. Среди немонотонных встречаются распределения с одним (максимум) и с. двумя (максимум и минимум) экстремумами. Наличие и количество экстремумов определяется действительными положительными корнями алгебраического уравнения (3.1.8), которое в рассматриваемо случае является уравнением 4-го порядка. Условия существования экстремумов могут быть выписаны в явном виде, но из-за громоздкости не приводятся. Фазовое пространство дополнительно структурируется поверхностью є = єкр( 5, к) , отделяющую область монотонного поведения функции WCT(N) (см. Рис.8).
Анализ характерных видов распределения показывает, что процессы коагуляции превалируют при "частых" включениях "слабого" стохастического стока (большие є и малые S), о чем свидетельствует резкий максимум плотности вероятности в области малых значений счетной концентрации. Повышение интенсивности поступления частиц в систему по сравнению с темпом коагуляции и их выводом в результате релаксации приводит к "размыванию" максимума и росту вероятности для больших значений N. При уменьшении частоты включения стока в условиях медленной релаксации возможен режим, при котором счетная концентрация равномерно распределена на некотором промежутке. Дополнитель но может быть выделен случай, є = 2л/82 -+ 4к, когда на правой границе функция WCT принимает ненулевое значение.
Рассмотрим систему, в которой работа источника и стока модулируется одним и тем же стохастическим процессом. При этом источник включается и выключается одновременно с включением и выключением стока. Тогда в уравнении (3.1.3)
Для него остаются в силе полученные в 3.4 результаты относительно границ областей с немонотонным поведением И/СТ(ЛГ) и допустимых геометрических образов для стационарных распределений. Отличие состоит в характере поведения функции WCT(N) в окрестности левой граничной точки, где она обращается в ноль, имея нулевую производную. Фазовое пространство в этой задаче обладает более сложной структурой, определяемой поведением действительных положительных корней уравнения (3.1.8). В частности, область монотонного поведения содержится в области поведения с двумя экстремумами, и отделена от нее поверхностями
При "редких" переключениях стохастического источника и стока характерное время их работы существенно больше характерного времени процесса коагуляции. Акты ввода и вывода частиц происходят реже, чем акты их слипания. В системе преобладают процессы коагуляции, что определяет малое значение N как наиболее вероятное. При увеличении частоты переключений мономеры поставляются в систему чаще, чем они успевают коагулировать. Максимум функции распределения "размывается" и смещается в сторону больших значений счетной концентрации.
Противофазная схема включений стохастического источника и стока [99, 100] Рассмотрим систему, в которой источник и сток работают в „иротивофазе", т.е. источник выключается в момент включения стока. Подобный режим работы источника и стока реализуется при переносе через слой перемешивания локальных объемов воздуха, обогащенных аэрозолем, обусловленном мезомасштабными вихрями, возникающими вблизи слоя инверсии в результате сдвиговой неустойчивости. Эти объемы препятствуют седиментации (выключают сток), выполняя при этом роль источника [103]. Сходным образом можно, по-видимому, описывать процессы коагуляции вблизи жерла действующего вулкана. Для моделирования таких ситуаций определим в уравнении (3.1.3)
Несимметричные флуктуации скорости коагуляции
Параметр є = v/\o физически характеризует степень слоистости на масштабах динамических процессов. Случаю є 1 отвечает крупномасштабная слоевая структура, поскольку на динамических временах 1/Ло частица находится лишь в одном слое, при є 1 имеем мелкомасштабную слоевую структуру, в которой динамика броуновской частицы формируется в результате ее движения в нескольких слоях. Положение минимума т , как видно из Рис.21, характеризуется монотонно убывающей функцией є. В узкой области малых є функция т резко растет, причем в асимптотике є — 0 функция т логарифмически расходится. Рис. 20 показывает, как глубина и положение минимума среднеквадратичных флуктуации скорости зависят от безразмерных параметров є и к (Рис.20 - /с=0.9). Видно, что наибольший эффект проявляется в области, где ;/ А0 и к та 1 (До та т), то есть в области, где соизмеримы характерные частоты задачи. В этой области параметров различие между стационарным значением х-2ст — ж20 = 1 и ( (т )) достигает 12% и динамика перехода на стационар затягивается до т 3 (Рис.20)). При к та 1 (или а та Л0) модель (5.1.1) описывет стохастическую слоисто-неоднородную среду, где слои с \oc(t)\ = и та Л0 являются слабо дисеипативным и броуновское движение в них описывается известным процессом Винера (V = f(t)). Для стохастических слоев, характеризуемых линейной диссипацией, параметр к 1 и функция (х2(т)) отличается (при к = 0.1) на временах г та 1 от стационарного значения х-2ст лишь в третьем знаке. С ростом приведенной частоты є среднеквадратичные флуктуации скорости броуновской частицы быстро достигают своего стационарного значения. Представляет интерес сравнить поведение среднеквадратичных флуктуации координаты для однородной и неоднородной сред. Уравнение для (x 2(t)), где х - координата броуновской частицы после усреднения по гауссовскому шуму f(t) принимает вид:
Видно, что асимптотическое поведение среднеквадратичных флуктуации координаты частицы на больших временах в стохастической слоисто-неоднородной среде не отличается от случая однородной среды. И в том и в другом случае (x 2(t)) - линейная функция t. При этом, однако меняется, и существенным образом, тангенс угла наклона прямой к оси времени. Для неоднородной среды угол наклона асимптоты (x 2(t)) к оси t больше угла наклона этой функции для стохастически однородной среды, поскольку функция В при любых значениях параметров є и к превышает 1. Таким образом, среднеквадратичные флуктуации координаты броуновской частицы в стохастически слоисто-неоднородной среде растут быстрее. Эффект роста значителен в области, где к, 1. Например, 0(1,0.9) = 5.17. При ; 1 функция О - 1 и { 2{t)) представлено поведение среднеквадратичных флуктуации координаты для различных значений и в сравнении со случаем однородной среды.
В диссертации моделирование броуновского движения в слоисто-неоднородных стохастических средах осуществлялось через модуляцию коэффициента трения ступенчатой случайной функцией. Отметим в этой связи работы [117 - 119], где стохастически слоисто-неоднородная среда описывалась случайной модуляцией вынуждающей силы - модель диффузии в случайно-слоистой среде. Как было показано, процесс диффузии частицы в таких слоисто-неоднородных средах описывается, в общем случае, процессами немарковского типа. Лишь в частном случае, когда v — со (слоисто-неоднородная среда в виде „частой гребенки") процесс диффузии описывается обычным параболическим уравнением, с меньшим, чем в однородном случае, коэффициентом диффузии. Обсудим вкратце вопрос о виде кинетических уравнений для модели (5.1.1). Как и в цитированных выше работах, кинетическое уравнение для распределения P(V,t) описывает процесс немарковского типа. Стационарное распределение скорости броуновской частицы, в общем случае, является решением дифференциального уравнения третьего порядка. В частном случае слоисто-неоднородных сред в виде частой гребенки распределение имеет вид - нормировочная постоянная и 8 = Hindoo (с2/ 7) (причем 8 Ао). Это хорошо известное в теории вероятности бета-распределение Пирсона [120], т.е. равновесное распределение броуновской частицы в слоисто-неоднородной стохастической среде принципиально отличается от максвелловско-го, соответствующего стохастически однородной среде.
Численное исследование системы (5.1.3) проводится с привличением средств пакета MatLab [109]. Для удобства сравнительного анализа усредненной динамики частицы в стохастической среде из двух идентичных блоков составлена имитационная схема системы (5.1.3) для п — 1,..., 4, анализирующая динамику системы при различных значениях параметров. Интерфейс предусматривает введение входных значений средней толщины слоев, коэффициентов вязкости и диффузии.
Имитационная модель дает возможность графического представления динамики среднеквадратичных флуктуации скорости броуновской частицы, коэффициентов асимметрии 7i и эксцесса 72 где /лп = ((У — {V})71) - центральные моменты скорости частицы, а также сравнение динамики этих величин при различных значениях параметров задачи. Рисунки 23 и 24а иллюстрируют динамику 71 и 72 при 7 = 8и;/ = 10и фиксированном неслучайном Vo = л/2- Как видно из Рис.. 23, асимметрия начального распределения частицы по скоростям нарастает на малых временах, затем убывает до нуля. т.е. распределение становится симметричным. Кроме того, происходит сужение спектра флуктуации скорости броуновской частицы, и сглаженность верхней части распределения становится меньше, чем в однородном случае (72 0). Если начальная скорость частицы случайна, и имеет симметричное по V распределение, то 72 меняет знак (Рис. 246). Коэффициент эксцесса стремится к нулю при v —» со. Полное описание схемы приведено в Приложении.
Обобщенное уравнение диффузии Рассмотрим облако частиц в нестационарной стохастической среде. Изменение свойств среды будем моделировать стохастической модуляцией коэффициента диффузии. Пусть по-прежнему среда может находиться с равной вероятностью в одном из двух возможных состояний. В каждом из них считается однородной, т.е. коэффициент диффузии имеет постоянное фиксированное значение. Другими словами, рассмотрим стохастическое перемешивание по закону марковского Д-шума двух процессов классической диффузии. Для простоты ограничимся одномерным случаем. Обозначив коэффициент диффузии в каждом из состояний через Dj, 27
