Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Полуобратные матрицы и матричные пучки
1.1 Свойства полу обратных матриц и методы их вычисления 27
1.2 Матричные пучки и блочное представление матриц 34
1.3 А—матрицы 46
1.4 Обусловленность матриц и некоторые матричные неравенства 50
ГЛАВА 2 Преобразования дифференциально-алгебраических
2.1 Постановка задачи и некоторые свойства дифференциально-алгебраических систем 53
2.2 Алгоритмы понижения индекса для линейных систем 66
2.2.1 Понижение индекса 66
2.2.2 Выбор начальных данных 73
2.2.3 Устойчивость преобразований 74
2.3 Переход к интегральным уравнениям 77
2.4 Метод возмущения 81
2.5 Нелинейные системы 89
2.6 Системы высокого порядка 104
ГЛАВА 3 Численное решение дифференциально-алгебраических систем
3.1 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений 110
3.1.1 Одношаговые методы 111
3.1.2 Многошаговые методы 113
3.2 Блочные методы 114
3.3 Особенности численного решения ДАС 121
3.4 Блочно-коллокационные методы 131
3.5 Регуляризирующие свойства разностных схем 141
3.6 Комбинированные разностные схемы 145
ГЛАВА 4 Интегральные и интегро-дифференциальные системы
4.1 Особенности интегральных систем четвертого рода 152
4.2 Блочные методы численного решения интегральных уравнений Вольтерра первого рода 162
4.2.1 Постановка задачи 162
4.2.2 Интерполяционные методы 163
4.2.3 Экстраполяшгонные методы 169
4.3 Численное решение систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода 172
4.4 О преобразовании интегральных систем с ядром типа свертки 183
4.5 Системы со слабой особенностью в ядре 189
4.6 Интегро-дифференциальные системы типа Вопьтерра 195
4.7 Регуляризация интегральных систем 205
Приложение : 211
Заключение 227
Литература
- Матричные пучки и блочное представление матриц
- Алгоритмы понижения индекса для линейных систем
- Особенности численного решения ДАС
- Численное решение систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода
Введение к работе
Начало развития теории ДАС относится к началу-середине 70-х годов [12], [13], [122]. Из более ранних работ отметим следующие: [60], [41]. В первой из этих работ были рассмотрены линейные системы высокого порядка с постоянными коэффициентами, а во второй было предложено использовать теорию матричных пучков при изучении систем вида (0.0.5). Первые работы, положившие начало систематическому изучению ДАС были [12], [122]. В конце 70-х - начале 80-х годов сложились математические школы в СССР ( Бояринцев Ю.Е.), ГДР ( Maerz R.), США ( Gear С. W.), специализирующиеся на изучении свойств ДАС и построении численных алгоритмов для них. Несколько позднее появился круг специалистов и в других странах: Канада ( Ascher U.), Венесуэла ( Aravelo С.) , Швеция ( Lotsted Р.), Швейцария ( Наігег Б., Lubich С.) и др.
Матричные пучки и блочное представление матриц
К настоящему времени устоялся термин "дифференциально-алгебраические уравнения" [122] ("дифференциально-алгебраические системы" ДАС ), которого мы будем придерживаться в дальнейшем. Данный термин появился в связи с тем, что в первой статье [122], положившей систематическое исследование таких систем за рубежем, были рассмотрены системы с матрицей типа (0.0,2). Начало развития теории ДАС относится к началу-середине 70-х годов [12], [13], [122]. Из более ранних работ отметим следующие: [60], [41]. В первой из этих работ были рассмотрены линейные системы высокого порядка с постоянными коэффициентами, а во второй было предложено использовать теорию матричных пучков при изучении систем вида (0.0.5). Первые работы, положившие начало систематическому изучению ДАС были [12], [122]. В конце 70-х - начале 80-х годов сложились математические школы в СССР ( Бояринцев Ю.Е.), ГДР ( Maerz R.), США ( Gear С. W.), специализирующиеся на изучении свойств ДАС и построении численных алгоритмов для них. Несколько позднее появился круг специалистов и в других странах: Канада ( Ascher U.), Венесуэла ( Aravelo С.) , Швеция ( Lotsted Р.), Швейцария ( Наігег Б., Lubich С.) и др.
К настоящему времени вышло и продолжает выходить большое число работ, затрагивающих те или иные аспекты теории ДАС. Отметим, что даже для перечисления этих работ потребовалось бы несколько десятков страниц. Например, вышедшая в 1996 г. монография [149] насчитывает свыше четырехсот источников литературы практически без учета работ советских (российских) математиков. Ниже приведена схематическая таблица, которая, на взгляд автора, наиболее полно отражает направления в тематике ДАС.
В ряде случаев [10], [90] в качестве возмущающих матриц C,C(t), G(t, x) выбирают В,B(t),df(t, х)/дх соответственно. Такие возмущения охватывают весьма узкий класс задач: системы с постоянными коэффициентами, или ДАС индекса один, в исключительных случаях более высокого индекса. В работах [90], [121], [133] предложены методы возмущения для линейных ДАС (0.0.6) и некоторых квазилинейных систем вида (0.0.7), индекса выше единицы, которые сходятся к точному решению задач (0.0.6) и (0.0.7) соответственно при условии, что пучки матриц \A(t) + B(t) и XA(x,t) + df(x,t)fdx— регулярные.
Дразина выписывалась явная формула решения системы (0.0.10). Попытки перенести эту технику на линейные ДАС с переменными коэффициентами закончились неудачей. Назовем основную из этих причин: если для ДАС (0.0.10) структура решения связана со структурой матрицы Я, а для ДАС (0.0.5) - с кро-некеровой структурой матричного пучка АА + В, [10], [41], то для ДАС (0.0.6) за очень редким исключением такая связь отсутствует. Более того, регулярность ( сингулярность ) пучка XA(t) + B(t) для ДАС (0.0.6) не дает практически никакой информации о существовании и единственности решения (за исключением ДАС индекса один). В деталях данное направление представлено в работах [10], [11], [91]. В данных работах предлагалось к исходной системе (0.0.6) присоединять к ее производных, где к— не превосходит max iankA(t). Работы [30], [31], [33] посвящены построению разностных схем для начальной задачи системы (0.0.6). В статьях [86], [88], [89], [115] и монографиях [90], [91], [149] предложены методы "разрешения" исходной системы относительно х1 (t).
Перейдем теперь к описанию структуры диссертации. Она состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы. # Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена тео Ш рии полуобратных матриц и матричных пучков. В первом параграфе приведены известные определения и алгоритмы вычисления различных полуобратных матриц. В следующем параграфе приведены свойства пучков переменных матриц. Доказан ряд лемм о блочном представлении некоторых матриц и матричных пучков. Третий параграф посвящен А— матрицам. Введено определение А— матриц, обладающих доминантным свойством и доказан ряд утверждений для таких матриц. В следующем параграфе приведены оценки числа обусловленности некоторого класса матриц.
Вторая глава посвящена редукции ДАС к "более легким", с точки зрения численного решения, задачам. В первом параграфе рассмотрена линейная задача (0.0.6), подчеркнут ряд ее характерных особенностей, введен ряд определений и доказано несколько утверждений относительно существования и единственности решений некоторого класса линейных ДАС высокого порядка. В следующем параграфе предложена редукция системы (0.0.6) к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Описан алгоритм выбора начальных данных ф для исходной системы (0.0.6) и доказано, что предложенная редукция обладает свойством устойчивости. В третьем параграфе предложена редукция линейной ДАС к "более легким", с точки зрения численного решения, системам интегральных уравнений Вольтерра, т.е. построен левый регуляризатор [49, с.173-174]. В четвертом параграфе предложен метод возмущения для линейной ДАС. В отличие от известных алгоритмов возмущений [10], [90], [121], [133], данный метод не требует регулярности матричного пучка XA(t) + B(t). Пятый параграф посвящен нелинейным ДАС (0.0.4). В нем подчеркнуты трудности f " изучения вопросов существования и единственности решения таких систем, введено определение индекса. Выделен класс квазилинейных ДАС, для которого предложена редукция к системам ОДУ. Подчеркнуто, что на основе данного подхода можно строить численные методы решения некоторых систем нелинейных уравнений. Для ДАС, имеющих Хессенбергову форму индекса г, предложен алгоритм сведения к ДАС, имеющим Хессенбергову форму индекса г — 1. В шестом параграфе рассмотрены линейные ДАС высокого порядка с постоянны # ми матричными коэффициентами. На основе А— матриц, обладающих ф доминантным свойством, введено определение индекса таких систем и предложен алгоритм перехода к линейным системам обыкновенных дифференциальных уравнений того же порядка, что и исходная система.
Алгоритмы понижения индекса для линейных систем
В данной главе предложены и обоснованы алгоритмы сведения дифферендиально-алгебраических систем высокого индекса к более "легким", с точки зрения численного решения, задачам, в том числе ж к системам обыкновенных дифференциальных уравнений.
Таким образом, сколь угодно малые возмущения матрицы Л, не меняющие ее ранг и не меняющие индекс исходной системы ( не меняющие структуру решения), изменяют сам тип решения довольно сильно.
Если Л, В являются постоянными матрицами, то система (2.1.1) имеет решение типа Коши тогда и только тогда, когда пучок матриц ХЛ + В— регулярный. В этом случае индекс системы совпадает с индексом матричного пучка ХЛ + В. Отметим, что по данной тематике опубликовано достаточно много работ ( см. напр. первые из них [10], [12] ) В случае переменных коэффициентов матриц A(t)yB(t) данное утверждение, вообще говоря, не верно.
Подбирая матрицу A(t) таким образом, что det A(t) = 0, detA(t) ф О, Vi Є [0,1], получим, что, несмотря на регулярность пучка XA(t) + A (t), вышеприведенная система имеет неединственное решение, т.е. решение не типа Коши.
При d ф 0 матричный пучок \A{t)+B(t) имеет индекс 2, а при d — 0 пучок матриц является сингулярным, т.е. det(XA(t) + B(i)) = 0; с другой стороны, при d — 1 однородная система (2.1.8) с нулевыми начальными данными имеет семейство решений вида ж і = —tv(t), х% = w(t), где v(t)— любая непрерывно-дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию v(Q) = 0. Таким образом, при d = 1 система (2.1.8) имеет семейство решений не типа Коши,
При d = 0, несмотря на то, что пучок XA(i) + B(t) является сингулярным, непосредственные выкладки показывают, что система (2.1.8) имеет единственное решение на любом [с, d] С (—оо, оо), и не зависит от начальных данных. В терминах определения 2.1.1, как нетрудно показать, матрицы Ф(), Л"о(,т), K-\(t), Ki(t) равны Ф(і) — Ко(іут) = 0,
Kl{t)-[l/(d-l) 0 J w- o 1/(1 -d) J Хорошо известно [86], [118], что для систем вида (1), имеющих решение типа Коши и с веществ енно-аналитическими матрицами Л(і), В(і)7 существуют веществ енно-аналитические, невырожденные для любого t Є [0,1] квадратные Простые выкладки показывают, что данная система имеет индекс два и ее решение представимо в виде (2.1.4).
V 92 - тд1 } Однако для системы (2.1.12) не существует непрерывных матриц P(2).Q(2). приводящих ее к каноническому виду (2.1.11). Замечание. Данный пример является частным случаем системы, которая приведена в монографии [14&, с.24]. В работе [83] указан класс задач (2.1.1), (2.1.2) с регулярным пучком матриц, имеющих решение типа Копти индекса 1. Доказательство. Для доказательства достаточно заметить,, что матрицы Е — А{і)Аг{і) ж Е — A (t)A(i) имеют постоянный ранг и являются идемпотентными, следовательно, матричные пучки \{Е - А (t)A(t)) + Е ж \(E — A{t)A (t)) + E имеют простую структуру ( удовлетворяют критерию "ранг-степень") для любого t Є [0,1]. Таким образом, входные данные рассматриваемых в следствии задач удовлетворяют условиям леммы 2.1.1. Подставляя в формулу (2.1.4) с 0, g(t) = 0, убеждаемся в справедливости следствия. Замечание. Точки, в которых нарушено третье з словие леммы, будем называть особыми точками. Через такие точки может проходить не одно решение задачи (2.1.1), (2.1.2).
Можно показать, что для системы (2.1.8) не существует левого ре гуляризирующего оператора первой степени вида.
Такой переход осуществим следующим путем: продифференцируем систему (2.2.1) и умножим ее на левый проектор к матрице А (либо наоборот, вначале умножим систему (2,2.1) на левый проектор к А, а затем продифференцируем). В силу того, что результат умножения левого проектора к матрице А на А является нулевой матрицей, то получим систему первого порядка. Складывая полученную систему с исходным уравнением (2.2.1), умноженным на некоторую матрицу, в итоге получим систему типа (2.2.2). Т.е. фактически действуем на систему (2.2.1) линейным дифференциальным оператором вида M+R/ (d/dt) ( или M+{d/dt)RA), где М— некоторая (пхп)— матрица, a RA : RAA 0, ranki? = п — rankA. Здесь мы ограничимся рассмотрением операторов вида с невырожденной матрицей перед производной, т.е. нулевого индекса.
В настоящем параграфе предложен достаточно простой алгоритм перехода от задачи (2.1.1),(2.1.2) высокого индекса к системам линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, для которых теория численного решения достаточно хорошо разработана ( см. напр. [38], [54]), т.е. предложена левая регуляризация [49] исходной задачи. Далее поступим следующим образом. Продифференцируем систему (2.3.2) и умножим это равенство на матрицу Е — А\А . Полученную систему сложим с системой (2.3.2). Продолжим вышеописанный процесс г раз, где г— индекс исходной системы (2.1.1). Данный процесс запишем в виде цепочки равенств. При достаточной гладкости входных данных и постоянном ранге матриц Aj, получим систему интегральных уравнений второго рода, т.е. с невырожденной матрицей Аг перед x(t). Докажем это. Для этого достаточно показать, что, если индекс системы (2.1.1) равен г. то индекс системы.
Впервые метод возмущения, который заключается в переходе от нахождения решения задачи (2.1.1),(2.1.2) с постоянными п х п— матрицами А и Б к нахождению решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с невырожденной, но "близкой" к вырожденной, матрицей перед производной, был предложен в работе [10 ,с.103]. В дальнейшем методы возмущений для задачи (2.1.1)-(2.1.2) и для некоторого класса задач вида принципиально неприменимы вышеописанные алгоритмы в силу того, что матрица A(t) 4- eC(t)B(t) будет всегда вырожденной для любых і (—со. со) и для любой матрицы C(t). Ниже предложен алгоритм возмущения исходной задачи, который применим и для систем с сингулярным пучком матриц \A(t) + B(t).
На взгляд автора, это определение несколько неудачное. Для того, чтобы определить х (і) как вектор-функцию от x(t) и t, необходимо решить систему нелинейных уравнений (2.5.14) относительно х (t). Некоторые трудности, связанные с нахождением решения системы нелинейных уравнений, приведены выше.
Если исходная система (2.5.20) "плохо обусловлена", т. е. метод Ньютона сходится очень медленно ( или сходимость вообще отсутствует )-, то этот факт можно интерпретировать как жесткую систему (2.5.21), а для численного решения жестких систем ОДУ явным методом Эйлера весьма существенно ограничение на шаг интегрирования. Поэтому довольно эффективными методами решения плохо обусловленных систем (2.5.20) оказались некоторые неявные методы численного интегрирования систем (2.5.21), например неявный метод Эйлера.
Для численного решения данной системы применим метод Ньютона, причем в качестве начального приближения х+1 можно выбрать линейную комбинацию ІХІ — х;_і и, как показал ряд численных экспериментов, достаточно ограничиться одной итерацией.
Особенности численного решения ДАС
Теория разностных схем для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) x\t) = ф(х{1) )) t Є [0,1], х(0) = а (3.1.1) с достаточно гладкой, по совокупности аргументов, правой частью в настоящее время бурно развивается. По различным аспектам теории разностных схем для численного решения ОДУ продолжает выходить огромное число публикаций, перечислить которые невозможно. Поэтому приведем список учебной литературы [7], [47], [53], [56] и некоторые монографии [45], [64], [69], [77], [111], [131], [132], в которых проведен детальный анализ ряда проблем численного решения ОДУ и дана, обширная библиография. Хороню известно [7], [56], что если собственные числа матрицы перехода М в равенстве (3.1.10) лежат в единичном круге и на границе этого круга нет кратных собственных чисел, то разностная схема (3.1.8) сходится к точному решению исходной задачи со скоростью 0(hm), где т— порядок аппроксимации. Коэффициенты Щ, Е будем находить из условия аппроксимации (3.1.1). Некоторые вопросы выбора этих коэффициентов подробно изложены в [47], [55]. Каждая из формул (3.2.1) является s + m—1—шаговой, однако вся система является т — s—шаговой. Предполагается, что начальные значения .г і,.г 2, ...,жт_я-і заранее вычислены ( х$ — о- ). Такой выбор стартовой точки обеспечивает устойчивость разностных схем (3.2.1). Забегая вперед, скажем, что конкретная разностная схема с выбором стартовой точки по указанному алгоритму приведена несколько ниже. Каждая из схем (3.2.3) является 2-шаговой и аппроксимирует исходную задачу с третьим порядком точности. Однако в совокупности
Полагая значение ж і заранее вычисленным, XQ — а и смотря на (3.2.4) как на систему уравнений относительно ХІ+І,ХІ+2, і = 1,2,..., получим 2-шаговую разностную схему.
В данном разделе не рассмотрены вопросы о существовании и единственности решения нелинейных систем (3.2.3) и (3.2.4).Отметим только, что при достаточно малом h и при непрерывной правой части (3.1.1) данные системы имеют единственное решение. Доказательство этого факта аналогично доказательству, приведенному в работах [47], [131] для неявных методов РК и поэтому опускается. К настоящему времени достаточно хорошо известно, что прямое перенесение ряда результатов теории разностных схем для численного решения ОДУ на ДАС зачастую не всегда возможен в силу ряда причин, о которых пойдет речь в дальнейшем. Замечание. Для класса задач (3.3.2),(3.3.3), индекс которых совпадает с индексом пучка матриц \A(t) + B(t) и \дір(х , і)/дх + дф(х, t)/dx соответственно и при некоторых других предположениях в работах [6], [43], [95], [122], [127], [147], [149] рассмотрены вопросы о возможности применения известных многошаговых методов для численного решения данных задач. Казалось бы, выбирая разностные схемы (3.3.4),(3.3Аа), которые удовлетворяет условию а и аппроксимируют задачи (3.3.1) и (3.3.2) с порядком, большим индекса данных задач мы можем получить сходящийся к точному решению численный алгоритм. Однако, в общем случае, это не так.
Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что для разностных схем, основанных на формуле дифференцирования назад и имеющих более высокий порядок аппроксимации, также существует значение скалярного параметра d, при котором данные схемы формально применимы, но не являются сходящимися, из-за неустойчивости.
Покажем теперь, что для численного решения некоторого класса задач (3.3.1)-(3.3,3) можно отказаться от требования устойчивости разностных схем ( см. опр. 3.1.4), а требовать лишь аппроксимации любого порядка.
Если для численного решения начальной задачи для ОДУ можно применять явные, диагонально неявные и неявные методы РК, то для ДАС индекса выше единицы это не всегда возможно. Поясним выше-сказанное на конкретных примерах. Мы ограничимся частным случаем ДАС, а именно, ее линейным аналогом (3.3.2). Методы РК для таких задач имеют вид. Опуская несложные выкладки, легко убедиться, что СЛАУ (3.3.17) для данного случая является вырожденной для любого h и d — ±1. Более детальный анализ показывает, что существуют интервалы 1\ — [— 1 — є, —l+є], h = [1 — є 1+є] такие, что при d є 1\ или d Є /г данный метод является неустойчивым, хотя и формально применимым. Проведенные исследования показали, что аналогичные явления (численная неустойчивость или вырожденность СЛАУ относительно Xi,Xi. ...Xs при d ф\ ) присущи и ряду других неявных методов РК. Отметим, что в настоящее время достаточно хорошо исследованы методы РК для ДАС, имеющих хессенбергову форму индекса не выше трех [57], [97], [129], [130], [132], [149]. Что же касается численного решения задачи (3.3.3) и более общих нелинейных ДАС, то для них присущи все трудности линейных систем и, кроме того, проблемы численного решения нелинейных систем, связанные, в частности, с отсутствием квадратичной сходимости метода Ньютона-Канторовича и с выбором начального приближения итерационного процесса.
Численное решение систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода
В данном разделе рассмотрены интегральные уравнения Вольтерра первого рода с достаточно гладким ядром и правой частью. В качестве характеристики некорректности таких задач выступает номер производной ядра, когда оно не обращается в ноль на диагонали. Для численного решения таких задач с конечным индексом некорректности предложены ( и в ряде случаев обоснованы) устойчивые блочные методы.
Так как уравнения Вольтерра являются частным случаем уравнений Фредгольма, то и регуляризирующие алгоритмы тихоновского типа, разработанные для уравнений Фредгольма, применимы для уравнения (4.2.1). Однако такой подход приводит к потере вольтерровости у регуляризированного уравнения, из-за чего значительно возрастает объем вычислительной работы. То есть при дискретизации регу-ляризированного уравнения получим систему линейных уравнений с квадратной матрицей, в то время как при дискретизации исходного уравнения (4.2.1) будем иметь нижнетреугольную матрицу. В настоящее время идут активные разработки численных методов решения задачи (4.2.1), у которой индекс некорректности не превышает единицы. Предложенные в работах [2], [3], [79], [107], [135], ,[142] алгоритмы используют специфику уравнения (4.2.1). Хорошо известно [7], что схема (4.2.10) устойчива, если выполнено условие: все собственные числа матрицы B lD лежат в единичном круге и на границе единичного круга нет кратных собственных чисел. Таким образом, устойчивость метода (4.2.5) численного решения задачи (4.2.1) зависит от собственных чисел матрицы B lD. В силу того, что разделенная разность г—го порядка для функции ip1 тождественно равна нулю, и учитывая формулы (4.2.6), получим, что у матрицы D р + 1 — г последних строк - нулевые. Поэтому предложенные выше алгоритмы будут устойчивыми для задачи (4.2.1) с г = 1.
Для одномерного уравнения второе условие теоремы означает, что либо K(t,t) ф 0, Щ Є [0,1], либо K(t,t) - 0, K t(t,r) \т=іф 0, Vi Є [0,1]. В работах [2], [3], [4] показано, что квадратурные формулы, основанные на методах прямоугольников (левых, правых и средних) сходятся к точному решению исходной задачи (п = 1) со скоростью 0(h), 0(h), и 0(h2)— соответственно для случая K(t,t) ф 0, Vi Є [0,1]. Если для численного решения такого уравнения примененить квадратурные формулы более высокого порядка, например, Грегори или Симпсона, то это приведет к расходящимся процессам [78], [142]. В случае K(ttt) = 0, K t{t,r) \т=іф 0, V Є [0,1], /(0) = / (0) = 0, численные методы, основанные на формулах левых или правых прямоугольников не сходятся к точному решению ввиду недостаточной аппроксимации. Если данные уравнения рассматривать не по отдельности, а как систему, то квадратурные формулы, основанные на методах левых (правых) прямоугольников, не являются сходящимися к точному решению (ввиду недостаточной аппроксимации второго уравнения). Методы, основанные на квадратурных формулах более высокого порядка (Симпсона и Грегори) ведут, для первого уравнения к расходящимся (неустойчивым) процессам. Хорошо известно, что решение системы (4.3.14), даже если оно существует, может отличаться от решения первоначальной задачи на "сколь угодно большую" величину ( подробности в первом параграфе данной главы и в статьях [3], [4] ). Сформулируем утверждение о том, что метод (4.3.4),(4.3.5) обладает регуляризируюпгим свойством, если шаг сетки h определенным образом связан с нормой погрешности правой части. В данном параграфе исследован класс систем интегральных уравнений типа Вольтерра четвертого рода с постоянной матрицей при неизвестной и ядром-матрицей типа свертки. Предложена схема построения линейного дифференциального оператора, в результате действия которого на исходное уравнение получается система интегральных уравнений второго рода.
Отметим, что для преобразования Лапласа необходимо точно вычислять ряд интегралов, что является весьма затруднительной задачей.
Другие интегральные преобразования, позволяющие проводить исследования на предмет единственности решения задачи (4.4.1), предложены в работах [8], [74], [92]. Эти преобразования предназначены для более широкого класса задач и их непосредственное применение к уравнению (4.4.1) нецелесообразно из-за сложности.
В работе [90] предложен метод редукции исходной задачи (4.4.1) к системе интегральных уравнений второго рода. Для осуществления такой редукции необходимо исследовать "/ - расширеную систему" размером (In х (I + 1)п).
