Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Анализ исходных данных. постановка научной задачи 19
1.1 Обзор методов прогнозирования экономических показателей 19
1.2 Анализ особенностей динамики объемов спроса, цен и дохода Исходные данные 26
1.3 Математическая постановка задачи исследования 39
1.4 Выводы по главе 1 46
ГЛАВА 2 Математические методы восстановления функции спроса 48
2.1 Метод восстановления функции объемов потребительского спроса 48
2.2 Алгоритм метода восстановления функции спроса 50
2.3 Блок-схема алгоритма метода восстановления функции спроса 52
2.4 Выводы по главе 2 56
ГЛАВА 3 Алгоритмы прогнозирования цен 57
3.1 Математическая модель динамики цены 58
3.2 Алгоритм прогнозирования цены-, оенованный апостериорного риска 64
3.3 Алгоритм прогнозирования цены, основанный на решении стохастического дифференциального уравнения 68
3.4 Алгоритм прогнозирования цены, основанный на модификации фильтра Калмана-Бьюси 71
3.5 Алгоритм прогнозирования цены, основанный на разложении Карунена-Лоэва 74
3.6 Выводы по главе 3 76
ГЛАВА 4 Оценка и анализ характеристик качества прогнозирования 77
4.1 Организация вычислительного эксперимента 77
4.1.1 Прогнозирование цен 78
4.1.2 Прогнозирование потребительского дохода 82
4.1.3 Восстановление функции объемов потребительского спроса 84
4.1.4 Прогнозирование объемов потребительского спроса 86
4.2. Анализ результатов 90
Заключение 92
Литература 94
- Анализ особенностей динамики объемов спроса, цен и дохода Исходные данные
- Блок-схема алгоритма метода восстановления функции спроса
- Алгоритм прогнозирования цены, основанный на решении стохастического дифференциального уравнения
- Прогнозирование потребительского дохода
Введение к работе
Актуальность темы
Предметом исследования является прогнозирование оптимальных объемов
потребительского спроса в условиях недетерминированности рынка.
Недетерминированность рынка означает, что цена и денежный доход могут меняться случайно, а величина спроса на товар или услугу - в зависимости от их соотношения и потребительских предпочтений индивида или группы потребителей.
К настоящему времени предложено достаточно большое количество статистических математических моделей прогнозирования экономических показателей, в том числе прогнозирования спроса, цены, дохода
Принцип прогнозирования сводится к следующему Имеется совокупность (выборка) наблюдений случайной величины (по цене, доходу, спросу) к текущему моменту времени Т. По этой совокупности прогнозируется ее значение на момент времени T+h Прогнозное значение вычисляется как условное математическое ожидание при предположениях о стационарности временного ряда и постоянстве параметров модели
Существующие экономико-математические модели прогнозирования основаны на экспоненциальном сглаживании, авторегрессионных методах и скользящем среднем, а также их комбинациях (методы Бокса-Дженкинса), на параметрических регрессионных методах, моделях рыночного равновесия, на решении оптимизационной задачи с критериальным функционалом, заданным в виде функции полезности потребителя.
Все приведенные методы хорошо зарекомендовали себя в условиях стабильного функционирования рынка и экономики в целом. Однако они не подходят для нестабильных рынков, к которым относится исследуемый в работе рынок потребительских товаров с характерными скачками и флуктуациями объемов спроса и цен на товары
В то же время возникает много задач исследования и прогнозирования экономических показателей именно в условиях нестабильных рынков
Таким образом, поиск новых и универсализация имеющихся подходов в прогнозировании объемов спроса, когда и цены, и доход не являются постоянными величинами, представляется актуальной задачей Решение такой задачи и охватывает тема настоящей диссертационной работы.
Цель и задачи исследования
Целью диссертационной работы является разработка комплекса математических моделей, методов и алгоритмов восстановления функции объемов потребительского спроса и прогнозирования цен в условиях нестационарности рынка.
Для ее достижения в работе ставятся и исследуются следующие задачи:
Построение математической модели динамики цен.
Прогнозирование значений вектора цен
Прогнозирование величины потребительского дохода
Восстановление функции объемов потребительского спроса.
Прогнозирование объемов потребительского спроса на фиксированный набор продуктов.
Оценка и анализ характеристик качества методов прогнозирования с последующей экономической интерпретацией результатов и формулировка предложений по возможности адаптации методов и алгоритмов к различным конкретным условиям.
Для решения поставленных задач прогнозирования цен и потребительского спроса был выбран рынок продовольственных товаров г Твери за 1997-2002 гг.
На чащнту BbiHocirrf и
Комплекс, математических моделей, обеспечивающий решеїше задач
описания динамик» цены; Г" наци0ИальКЛЯ
ВОССТаЯОВЛеННЯ фуНКЦИИ Объемов Потребительского Сі*" " ей илрвКД I
- прогнозирования цен к объемов потребительского спроф гіиімВшгі */_- !
Комплекс включает:
Математическую модель динамики цены, сформированную в виде стохастического дифференциального уравнения на основе предположения о том, что случайные изменения цены описываются винеровским и пуассоновским случайными процессами.
Метод прогнозирования цены, основанный на минимизации апостериорного риска потерь, вызванных ошибками прогнозирования;
Метод прогнозирования цены, основанный на модификации метода последовательных приближений Пикара, для решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего динамику значений цены во времени с учетом флуктуационной и скачкообразной случайной составляющей
Метод прогнозирования цены, основанный на модифицированном фильтре Калмана-Бьюси Модификация касается уравнения состояния, описывающего динамику значений цены во времени с учетом флуктуационной и скачкообразной случайной составляющей.
5. Метод восстановления функции объемов потребительского спроса, основанный на
решении дифференциального уравнения Слуцкого посредством раскрытия общего
решения в виде кубического сглаживающего сплайна по двумерной выборке.
Научная новизна и значимость результатов исследования Основные результаты:
Разработана математическая модель динамики цены, в которой, в отличие от известных, учитываются скачкообразные изменения рыночных цен. Разработаны алгоритмы прогнозирования цены, реализующие
- минимизацию риска потерь от ошибок прогнозирования;
экстраполяцию решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего динамику цены во времени,
разложение процесса динамики цены в базисе собственных функций;
оптимальную фильтрацию нестационарного процесса в рамках теории Калмана-Бьюси. Разработан алгоритм восстановления функции объемов потребительского спроса.
Полученные результаты расширяют теоретическую и инструментальную базу прогнозирования потребительского спроса и цен в условиях нестационарности и изменчивости определяющих их факторов, когда рыночные механизмы отличаются от их существующих моделей
Все полученные результаты являются новыми.
Практическая значимость работы
Результаты диссертационного исследования могут быть использованы на практике для прогнозирования объемов потребительского спроса и цен в масштабах региона в условиях рынка, для анализа поведения потребителя на основе статистических данных и восстановления его функции объемов спроса на фиксированный набор товаров, а также при создании пакетов прикладных программ анализа нестационарных временных рядов экономических показателей.
Погрешность прогнозов при прогнозировании цен предложенными методами составляет порядка 10%, погрешность прогноза величины оптимального спроса не превышает 20%.
Методы исследования
В процессе исследования нашли применение методы математического анализа, элементы теории случайных процессов, методы решения систем дифференциальных уравнений, экономического и статистического анализа.
Достоверность результатов
Все сформулированные теоретические положения имеют строгое математическое доказательство. Построенные математические модели тестируются и сравниваются с существующими на основе эмпирических данных и применения статистических критериев, разработанных в математической статистике.
Апробация работы
Основные идеи и результаты работы докладывались и обсуждались на научно технических конференциях МКБ «Электрон» (2000, 2001 гг.), на конференции, посвященной 70-летию акад. В.А. Мельникова (1999 г), на научно-исследовательских семинарах Межведомственного суперкомпыотерного центра (2002 г) и факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова (2002 г.)
Публикации
Основные результаты работы опубликованы в 6 статьях и в виде тезисов 3 докладов на научно-технических конференциях.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 100 листах, содержит 11 рисунков и 19 таблиц. Список литературы составлен из 88 источников.
Анализ особенностей динамики объемов спроса, цен и дохода Исходные данные
Ограничением прогнозирования на основе регрессионного уравнения, тем более, парного, служит условие стабильности или, по крайней мере, малой изменчивости других факторов и условий изучаемого процесса, не связанных с ними. Если резко изменится внешняя среда протекающего процесса, прежнее уравнение регрессии потеряет свое значение.
Кроме того, к числу главных ограничений регрессионных методов относятся следующие. Прежде всего, эти методы применяются для относительно краткосрочного прогнозирования. Они не позволяют предсказывать эволюцию спроса, так как не способны выявлять какие-либо качественные изменения в структуре спроса. В лучшем случае, они способны быстро учесть уже произошедшие изменения. Поэтому их называют адаптивной прогнозной моделью, Прогнозные ошибки этих методов объясняются тем, что в момент вычисления прогноза подразумевалось, что существующие тенденции сохранятся в будущем, что редко оправдывается в реальной экономической ситуации. Тем не менее, для многих случаев такой апостериорный прогноз оказывается полезным при условии, что имеется достаточно времени для адаптации и рыночная ситуация не подвержена резким изменениям, вызванным внешними технологическими, политическими и социальными факторами.
Прогноз, полученный подстановкой в уравнение регрессии ожидаемого значения фактора, называют точечным прогнозом. Вероятность точной реализации такого прогноза мала. Необходимо сопроводить его значение средней ошибкой прогноза или доверительным интервалом прогноза, в который с достаточно большой вероятностью попадают прогнозные оценки. При использовании уравнений регрессии прогнозные расчеты следует проводить для оптимистических и пессимистических оценок исходных параметров, получая, таким образом, оптимистические и пессимистические оценки прогнозируемого параметра. Реальная прогнозная оценка должна находиться между ними.
Простейшими методами прогнозирования экономических показателей на основе статистической информации об их динамике являются экстраполяционные методы, основанные на анализе временных рядов. Анализ временных рядов направлен на выявление трех видов закономерностей изменения данных: трендов, цикличности и сезонности, выявление причин изменения значения показателя в прошлом с последующим переносом полученных закономерностей на будущее.
Тренд характеризует общую тенденцию в изменениях показателей ряда. Те или иные качественные свойства развития выражают различные уравнения трендов: линейные, параболические, экспоненциальные, логарифмические, логистические и другие. После теоретического исследования особенностей разных форм тренда необходимо обратиться к фактическому временному ряду, тем более что далеко не всегда можно надежно установить, какой должна быть форма тренда из чисто теоретических соображений. По фактическому динамическому ряду тип тренда устанавливают на основе графического изображения, путем осреднения показателей . динамики, на основе статистической проверки гипотезы о постоянстве параметра тренда.
В отличие от прогноза на основе регрессионного уравнения прогноз по тренду учитывает факторы развития только в неявном виде, и это не позволяет проигрывать разные варианты прогнозов при разных возможных значениях факторов, влияющих на изучаемый признак. Зато прогноз по тренду охватывает все факторы, в то время как в регрессионную модель невозможно включить в явном виде достаточно большое число факторов, которыми нельзя пренебречь при прогнозировании.
Циклический характер колебаний экономических показателей характеризуется длительным периодом, сезонный — более коротким (в течение года). Параметры цикличности или сезонности могут быть рассчитаны в рамках существующих моделей [77] и применяться при прогнозировании объемов спроса вместе с трендовой моделью.
Итак, из проведенного краткого обзора существующих методов прогнозирования можно заключить, что существующие методы прогнозирования ориентированы на работу в стационарных условиях, которые характерны для совершенного рынка и не учитывают воздействия случайных факторов, вызывающих резкое изменение структуры динамики показателя. В условиях нестабильности рынка для повышения точности прогнозирования таких экономических показателей как спрос и цена требуются методы, учитывающие нестационарность факторов, определяющих изменения прогнозируемых показателей. Разработка таких методов и составляет цель настоящего исследования.
Далее в работе будут проанализированы исходные данные задачи исследования, а именно, динамика объемов спроса, цены и дохода с целью определения характера и законов распределения вероятностей случайных воздействий для дальнейшего учета в моделях их прогнозирования.
Блок-схема алгоритма метода восстановления функции спроса
Следуя структуре решения задачи о прогнозировании потребительского спроса, перейдем к следующему этапу - рассмотрению методов прогнозирования цен. В начале построим математическую модель динамики цены какого-либо товара. Затем в рамках этой модели рассмотрим методы и схемы алгоритмов прогнозирования цены. Необходимым условием при построении модели динамики и, методов прогнозирования: будет их ориентация на условия нестационарности. Это означает, что временной ряд, характеризующий динамику цены должен быть смоделирован нестационарным случайным процессом. Это справедливо, когда не выполняются условия стационарности в широком смысле: где pt - параметрическая зависимость цены от времени, K(t,s) -корреляционная функция. Зависимость первого и второго момента от значения параметра t, обусловливают нестационарность процесса.
Для прогнозирования временных рядов, к которым относится и процесс динамики цены, обычно используют авторегрессионные методы, а также параметрические математические модели (см. раздел 1.1). Однако эти методы не позволяют учитывать случайное изменение факторов, не входящих в модель, но воздействующих на изучаемый процесс. Это неизбежно приводит к ошибкам в прогнозировании. В связи с этим, развитие методов прогнозирования, ориентированных именно на нестационарные процессы, должно позволить снизить потери от ошибок в тех случаях, когда происходит скачкообразное изменение динамики цены.
Полученное прогнозное значение вектора цен вместе с величиной ожидаемого потребительского дохода определят исходные данные для вычисления объемов потребительского спроса в задаче его прогнозирования по восстановленной функции спроса. С учетом результатов главы 2 эта задача перейдет в стадию своего решения стандартным приемом (глава 4).
Прогнозирование нестационарных случайных процессов является актуальной задачей в современной математической экономике [29,82]. Информация о будущих значениях цен на товары, котировках акций или курсе национальной денежной единицы во многом способствует выработке оптимальной модели поведения экономического субъекта на рынке. Существующие методы, реализованные в пакетах программ обработки статистической информации и описанные в литературе [77,85], ориентированы в основном на ряды, в которых присутствует случайная компонента, вызывающая колебания цены около своего тренда, В этом случае применение авторегрессионных методов или методов скользящего среднего бывает достаточно для получения достоверного прогноза, но при возникновении скачков цены, вызванных внешними факторами, необходимо применять методы ориентированные на прогнозирование в условиях нестационарности. Ниже будут предложены математическая модель динамики цены на основе случайных процессов двух типов, методы и алгоритмы прогнозирования цены для условий нестационарности.
Рассмотрим процесс изменения цены на рынке на какой-либо товар. При этом будем считать, что кроме накопленной статистики для исследования недоступна никакая другая информация о затратах на производство, об уровне инфляции и других макро и микроэкономических факторах влияющих на цену. На фиксированном временном отрезке его цена может быть постоянной, испытывать незначительные случайные колебания вокруг какого-либо значения или тренда, скачкообразно изменить свое значение на случайную величину. Два первых вида поведения цены складываются в краткосрочном периоде на рынках, регулируемых государством и чисто конкурентных рынках. В третьем случае рынок либо монополизирован, либо находится в сильной зависимости от внешних факторов, таких как процентная ставка, валютные котировки и (или) некоторые неэкономические факторы.
Пусть для произвольной производящей или реализующей товар фирмы изменение цен во времени осуществляется пропорционально величине избыточного спроса [34] где избыточный спрос z(t) представляет собой разность между спросом и предложением x(t) - y(t). Поскольку спрос в главе 1 был определен как функция цены p(t) и потребительского дохода I(t), представим z(t) зависимостью вида скорость изменения цен во времени - непрерывная функция по переменной t, определяющая тренд цены и восстанавливаемая по статистической информации для каждого товара по выражениям (3.11)-(3.12).
Теперь рассмотрим случай, когда цены колеблются около своего тренда, вследствие аддитивного воздействия на них случайных факторов, и будем считать, что приращения цены - независимые величины. На цену отдельного товара влияет множество таких случайных факторов: изменение оптовых цен на сырье, перенос торговой точки в другой район, появление новых или уход с рынка старых конкурентов и т.д. Как следствие, на цену по региону оказывает влияние число факторов, пропорциональное числу фирм-продавцов. Воздействие каждого отдельного фактора невелико и между собой они, как правило, не зависимы. В результате, на основании центральной предельной теоремы можно утверждать, что в краткосрочном периоде закон распределения приращений процесса изменения цен близок к нормальному. Будем считать, что трендовая составляющая не оказывает влияния на случайную и, наоборот, случайные изменения не влияют на характер тренда. Тогда выражение для цены можно записать в разностной форме
Алгоритм прогнозирования цены, основанный на решении стохастического дифференциального уравнения
Здесь номером 1 обозначен метод Холта с параметрами х=0.5, (3=0.1, номером 2 -метод Брауна (Linear) с параметром сс=0.9.
Сравнение с результатами прогнозирования дает основание заключить, что оценки качества прогнозирования новым методом превосходят результаты прогнозирования известными методами. Кроме того, полученные оценки объемов потребительского спроса достаточно хорошо отражают реальную динамику этого экономического показателя. Таким образом, в численном эксперименте подтверждается адекватность предложенного метода.
Получим прогноз объемов спроса на 2000 год. Будем исходить из того, что предпочтения остались прежними, то есть, коэффициенты функции объемов оптимального спроса не изменились. Воспользуемся этими коэффициентами, приведенными в таблице 4.8, а так же прогнозом цен и дохода из таблиц 4.4, 4.6. Для вычислений будем использовать формулу (4.2). Результат расчетов представим в виде таблицы 4.13. Таблица 4.13 Ожидаемые значения объемов спроса на 2000 г.
Рассчитанные для ошибок прогнозирования цен, потребительского дохода и объемов спроса характеристики качества прогнозирования, такие как среднее значение, среднеквадратическое отклонение, стандартное отклонение и доверительный интервал (с доверительной вероятностью 0,95) приведены в таблицах 4.2,4.3,4.7, 4.11,4,12.
На основании этих оценок можно сделать вывод, что при прогнозировании цен методами Холта и Брауна в долгосрочном периоде происходит значительное ухудшение характеристик качества прогнозирования, в то время как, у предложенных в работе методов ухудшение менее значительно, и они продолжают обеспечивать точность в интервале ±10%. При прогнозировании спроса точность составляет ±20%.
Результаты проведенного численного эксперимента подтверждают перспективность предложенных численных методов и соответствующих им алгоритмов прогнозирования таких нестационарных случайных процессов как цена. Точность прогнозов не уступает, а в отдельных случаях (см. таблицы 4.2, 4.3, 4.11-4.12) превосходит точность прогнозирования известными авторегрессионными методами. Применение алгоритма восстановления функции объемов потребительского спроса кубическим сплайном, выявило наиболее точную аппроксимацию параметров функции объемов спроса (4.2), определенной для каждого продукта из набора, приведенными в таблице 4.8.
Следует отметить, что с течением времени происходит изменение потребительских предпочтений (снижается точность прогнозирования). В связи с этим необходимо корректировать параметры функции объемов спроса путем пересчета параметров кубического сплайна всякий раз, когда будет превышено допустимое отклонение при прогнозировании.
Проведенное исследование позволяет сформулировать следующие выводы. 1. Материальное производство и производство услуг составляет основу функционирования экономической системы. В связи с этим одним из важнейших вопросов математической экономики является прогнозирование экономических показателей, связанных с производством и потребительским выбором. К таким показателям прежде всего относятся объем потребительского спроса на заданный набор продуктов, доход потребителя, а также цены продуктов. 2. В настоящее время для целей прогнозирования используется широкий спектр математических моделей и методов. Одним из возможных направлений повышения точности прогнозирования в нестационарных условиях является более широкое применение результатов теории случайных процессов и основанных на них алгоритмов. 3. Предложенный в работе метод и алгоритм восстановления функции спроса по статистической информации о значениях цен, дохода и соответствующих объемах спроса за определенный период в прошлом позволяет восстанавливать функцию объемов спроса как кубический сплайн, не привлекая потребителя для выявления системы его предпочтений, а используя информацию о произведенных им выборах. 4. Модель динамики цены, построенная с учетом случайных воздействий флуктуационного и скачкообразного характера адекватно отражает поведение цены в условиях нестационарности рынка. 5. На базе изложенной модели динамики цены разработаны методы прогнозирования цены товара в условиях нестационарности, не уступающие, а в ряде случаев превосходящие известные авторегрессионные методы по точности. 6. Дальнейшее исследование целесообразно проводить в направлении расширения класса используемых в модели товаров и услуг, а также создание комплекса программного обеспечения для принятия управленческих решений об оптимальном производстве на основе статистической информации, предложенных методов прогнозирования цен, восстановлении, функции спроса и моделей производственного процесса.
Прогнозирование потребительского дохода
Основными результатами главы 3 являются следующие: 1. В динамике цены, рассматриваемой как нестационарный случайный процесс могут быть выделены детерминированная составляющая и две случайные составляющие, одна из которых описывает флуктуационное изменение цены, а вторая - скачкообразное. 2. В качестве модели динамики цены было предложено дифференциальное уравнение (3.7). 3. Были сформулированы условия, при которых существует траектория (3.10), являющаяся решением уравнения (3.7) и реализацией случайного процесса динамики цены. 4. Были рассмотрены четыре метода, позволяющие эффективно осуществлять прогнозирование в рамках построенной модели. Методы из разделов 3.2, 3.3 и 3.4 представляют собой модификации известных методов, ориентированные на получение прогноза цены в условиях поставленной задачи. В численном эксперименте, осуществленном в главе 4 осуществлено тестирование этих методов и сравнение их с существующими методами прогнозирования. Направленность предложенных методов на прогноз цен как нестационарного случайного процесса и результаты тестирования, дают основание рассматривать их как качественное расширение класса инструментов для решения задач прогнозирования экономических показателей. В главе обоснована организация вычислительного эксперимента с целью осуществления оценки и анализа характеристик качества прогнозирования экономических показателей, таких как цена, доход и объем потребительского спроса. Производится сравнение результатов прогнозирования с результатами, полученными. при применении существующих методов. Дается заключение и рекомендации по применению методов в реальных условиях. В параграфе проведена организация вычислительного эксперимента и излагается анализ численных характеристик оценок прогнозируемых показателей при реализации алгоритмов прогнозирования цен, дохода и восстановления функции объемов спроса в рамках решения задачи прогнозирования потребительского спроса. Вычислительный эксперимент разобьем на четыре этапа: 1. Прогнозирование цен. 2. Прогнозирование дохода. 3. Восстановление функции спроса. 4. Вычисление ожидаемых значений оптимального спроса. На каждом этапе будем получать характеристики качества прогнозирования предложенными методами: математическое ожидание ошибки, стандартное отклонение, а так же доверительные интервалы. Кроме того, там, где это возможно, будем использовать известные методы прогнозирования, производить их сравнение с предложенными в работе и давать рекомендации по применению. Результаты исследования будут представлены в виде таблиц и графиков. На основании статистических данных, пользуясь предложенными в главе 3 методами, осуществим прогнозирование цен на набор из 8 товаров. Обратимся к статистической информации. Данные о ценах и объемах потребительского спроса возьмем за период 1997-2002 гг. В этих таблицах номером 1 обозначен метод прогнозирования на основе тренда; 2 - метод Холта с параметрами а=0.9, р-0.1; 3 - метод Брауна (Linear) с параметром а=0.99; 4 - метод Брауна (Simple) с параметром а=0.99; 5 - метод экстраполяции на основе численного решения уравнения (12); 6 - метод прогнозирования с использованием разложения Карунена-Лоэва; 7 - метод, основанный на модифицированном фильтре Калмана- Бьюси; 8 - метод минимизации апостериорного риска при заданном значении минимальных средних потерь S(tk,p)=0. Проведем сравнение результатов работы всех методов в краткосрочном (на 1 месяц вперед) и долгосрочном периоде (до 12 месяцев вперед) в нестационарных условиях. Метод, основанный на модифицированном фильтре Калмана-Бьюси в долгосрочном периоде не применим, так как для получения прогноза требуется информация о значении цены в предыдущий период. Метод б, использующий корреляционную функцию процесса дает сильно смещенную оценку, но в долгосрочном периоде предпочтительнее методов 3,4, поскольку отслеживает динамику цены, хотя точность оценки в рассмотренном примере невелика ввиду грубой аппроксимации корреляционной функции и собственных функций. Метод Холта в долгосрочном периоде вырождается в линейный тренд, который дает приемлемые результаты при большом объеме базовой статистики динамики прогнозируемого показателя. Из сравнения результатов следуют выводы. 1. В краткосрочном периоде все методы (за исключением метода 6) дают практически одинаковые результаты, и могут быть использованы для практического применения. 2. В долгосрочном прогнозировании без корректировки авторегрессионные методы обладают большим среднеквадратическим отклонением от истины, чем методы, предложенные в главе 3.
