Метод разделения переменных при построении оптимального и гарантированного управления в однотипных дифференциальных играх и в задачах управления с помехой Гущин, Денис Васильевич

Введение к работе

Актуальность работы. Актуальным направлением математического моделирования управления динамическими системами при наличии воздействия со стороны неконтролируемых помех, о которых известны лишь области их изменения, является подход, основанный на том, что помехам предписывается поведение, ухудшающее показатель качества, в соответствии с которым моделируется управление. Такой подход приводит к рассмотрению задачи построения управления в рамках теории игр. Такие задачи имеют своим источником многочисленные задачи из механики и других областей знаний. Актуальность этих задач, их теоретический интерес и прикладное значение обеспечивает интенсивное развитие теории дифференциальных игр, составляющее основу алгоритмов синтеза оптимальных и гарантированных управлений.

Степень разработанности темы исследования. Становление теории дифференциальных игр связано с работами зарубежных ученых P. Aii- зекса, А. Брайсона, У. Флеминга. Основопологающий вклад в развитие дифференциальных игр внесли работы академиков Н.Н. Красовского и Л.С. Понтрягина и представителей их научных школ: Э.Г. Альбрехта,

1. В. Кряжимского, А.Б. Куржанского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина, Н.Н. Субботиной, В.Е. Третьякова, В.Н. Ушакова и Р.В. Гамкрелидзе, М.И. Зеликина, Е.Ф. Мищенко и других отечественных математиков.

Изучением конфликтных задач об управлении объектами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, занимались М. Барди, Е.Н. Баррон, В.Д. Батухтин, Т. Башар, Р. Беллман, С.А. Бры- калов, Н.Л. Григоренко, П.Б. Гусятников, В.Н. Жуковский, Н.А. Зенкевич, Н. Калтон, А.Ф. Клейменов, А.Н. Красовский, Ю.С. Ледяев, Дж. Лейтман, Н.Ю. Лукоянов, П.Л. Лионе, А.С. Мищенко, М.С. Никольский, Г. Ольдстер,

2. C. Пацко, Н.Н. Петров, Л.А. Петросян, Г.К. Пожарицкий, Е.С. Половин- кин, Б.Н. Пшеничный, A.M. Тарасьев, В.Н. Ухоботов, А. Фридман, Xo-K)- Ши, А.А. Чикрий, А.Ф. Шориков, Р. Эллиот и другие ученые.

В работах А.А. Меликяна, А.Н. Ченцова, Ф.Л. Черноусько и других при изучении конфликтно-управляемых задач развит подход, основанный на коррекции программных управлений.

Цель диссертационной работы. Целью исследования является обоснование метода разделения переменных для однотипных дифференциальных игр со смешанными ограничениями на выбор управления и для однотипных задач управления при наличии помехи, который позволяет получить аналитическое решение для ряда задач об игровой встрече и управления механическими системами переменной массы, испытывающими воздействие со стороны неконтролируемой помехи.

Для достижения данной цели в диссертации решены следующие задачи:

1. 1. Предложен метод разделения переменных для однотипных дифференциальных игр с заданным моментом окончания и со смешанным ограничением на управление. Этот метод позволяет получить простую реализацию построения управления в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от фазового состояния, а вторая - от текущего времени и начального запаса ресурсов.

   2. Обоснован метод разделения переменных при построении оптимального и гарантированного управлений в однотипных задачах, содержащих определенные условия выпуклости.

   3. На основе этого метода разработан алгоритм для решения однотипных дифференциальных игр. Найдена зависимость диаметра разбиения ломаных, моделирующих движение, от допустимой погрешности значения целевой функции.

   4. Метод разделения переменных модифицирован для задач управления с помехой и с произвольным выпуклым терминальным множеством.

   5. Этот метод апробирован на решении дифференциальной игры, которая является модификацией известной в теории дифференциальных игр задачи "мальчик и крокодил".

   6. Полученные решения реализованы в виде комплекса программ с наглядным интерфейсом, позволяющим применять его в учебном процессе.

   Научная новизна. Разработан и обоснован метод разделения переменных - новый метод построения оптимального и гарантированного управлений в однотипных дифференциальных играх со смешанными ограничениями и в однотипных задачах управления с помехой.

   Для задач, обладающих определенными свойствами выпуклости, установлено, что оптимальное управление в однотипных дифференциальных играх и в задачах управления с помехой можно строить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от текущего времени и начального запаса ресурсов, а вторая - от фазового состояния. В прикладных задачах управления системой переменного состава это означает, что расход топлива строится программным образом, а направление относительной скорости выброса топлива зависит от реализовавшегося фазового состояния. Такой метод построения назван в диссертации методом разделения переменных.

   На основе предложенного метода на ЭВМ реализован и зарегистрирован комплекс программ для решения однотипной дифференциальной игры со смешанными ограничениями.

   Теоретическая значимость. В диссертации рассматриваются однотипные дифференциальные игры и задачи управления с помехой. Под однотипными в диссертации понимаются задачи, в которых правая часть уравнений движения может быть представлена в виде суммы управлений двух игроков, вектограммы которых являются шарами. К такому виду с помощью замены переменных сводятся известные в теории игр задачи "изотроп-

   ные ракеты" и ее вариант при отсутствии трения "мальчик и крокодил", а также контрольный пример Л.С. Понтрягина ². В них вектограммы игроков являются шарами, зависящими от времени. Линейная задача управления с помехой, в которой целью построения управления является минимизация модуля заданной линейной функции, с помощью линейной замены переменных также сводится к задаче рассматриваемого типа. Вопросы построения цены и оптимальных управлений для таких однотипных игр рассмотрены в работах В.И. Ухоботова' и в совместной работе С.Р. Алеевой и В.И. Ухо- ботова. Рассматриваемые в диссертации однотипные задачи усложнены тем, что вектограммы игроков зависят еще от оставшегося запаса ресурсов, которые используются для формирования управления. В ряде случаев получаемые игры становятся нелинейными. Такие задачи возникают при управлении механическими системами переменного состава, в которых не перерасход начального запаса топлива приводит к интегральному ограничению на выбор управления. Так, если величина относительной скорости выброса реактивной массы постоянна, а величина тяги ограничена заданным числом, то получается задача со смешанными ограничениями на выбор управления.

   В диссертации разработан алгоритм построения оптимального и гарантированного управлений в однотипных дифференциальных играх со смешанными ограничениями и в однотипных задачах управления с помехой.

   Практическая значимость. В диссертации приведены практические примеры дифференциальных игр и задач оптимального управления, в которых оптимальное и гарантированное управления строятся согласно предложенному подходу разделения переменных.

   Метод разделения переменных апробирован на нахождении аналитического решения модификации известной в теории дифференциальных игр задачи "мальчик и крокодил".

   Разработан программный комплекс, реализующий предлагаемый в диссертации метод построения оптимального и гарантированного управлений в однотипных дифференциальных играх со смешанными ограничениями и в задачах управления с помехой.

   Методология и методы исследования. При построении оптимального и гарантированного управлений в однотипных дифференциальных играх со смешанными органичениями и в задачах управления с помехой под реализовавшимся движением понимается пучок функций, каждая из которых является равномерным пределом некоторой последовательности ломаных при диаметре измерения, стремящемся к нулю.

   Для доказательства сформулированных утверждений применялись методы математического и выпуклого анализа, математического моделирования, оптимизации и численные методы, теория многозначных функций.

   Поставленные задачи решены в диссертации методом разделения переменных, разработанным автором. Управления в задачах строятся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от фазового состояния, а вторая - от текущего времени и начального запаса ресурсов.

   При обосновании метода разделения переменных фиксировалась составляющая управления, зависящая от времени. Рассматривалась задача с геометрическими ограничениями. Функция цены игры для этой задачи зависит от выбранной составляющей управления. При наличии условия выпуклости обосновывается существование минимального значения функции цены по выбранной составляющей управления.

   На основе предложенного подхода в диссертации построены алгоритмы решения задач однотипных дифференциальных игр и задач управления с помехой.

   На защиту выносятся следующие основные положения:

   1. 6. 1. Разработан метод разделения переменных для построения оптимального и гарантированного управлений в однотипных дифференциальных играх со смешанными ограничениями и в однотипных задачах управления с помехой.

         2. Предложенный метод обоснован для дифференциальных игр и задач управления, обладающих определенными условиями выпуклости и однотипностью в цели и в уравнениях движения.

         3. Для ломаных, задающих движение в однотипной дифференциальной игре, найдена зависимость диаметра разбиения от допустимой погрешности значения целевого функционала.

         4. Метод разделения переменных модифицирован для задач управления с помехой и с произвольным выпуклым терминальным множеством.

         5. Построено аналитическое решение задачи управления точкой переменного состава, которая является модификацией игры "мальчик и крокодил".

         6. Разработан программный комплекс для решения дифференциальной игры со смешанными ограничениями на выбор управления.

         Степень достоверности результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью постановки задач, корректным использованием математического аппарата. Алгоритм предложенного в диссертации метода апробирован при решении модификации известной в теории дифференциальных игр задачи "мальчик и крокодил".

         Полученные в работе исследовательские результаты согласуются с результатами других авторов.

         Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтення- XXI" (Воронеж, 2010), Всероссийской конференции, посвященной 80 - летию со дня рождения В.И. Зубова, "Устойчивость и процессы управления" (Санкт - Петербург, 2010), Международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова, "Алгоритмический анализ неустойчивых задач "(Екатеринбург, 2011), конференции, посвященной 90 - летию со для рождения академика Е.Ф. Мищенко, "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление"(Москва, 2012).

         Основные результаты работы обсуждались на научных семинарах кафедры теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета (Челябинск, 2010-2012), научном семинаре отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН им. Н.Н. Красов- ского (Екатеринбург, 2013).

         Комплекс программ, реализующий алгоритм разделения переменных для построения оптимального и гарантированного управлений в однотипных дифференциальных играх и в задачах управления с помехой, зарегистрирован в Объединенном фонде электронных ресурсов "Наука и образование"при Российской Академии Образования (ОФЭРНиО).

         Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и приложения. Нумерация глав сквозная. Главы разбиты на параграфы, которые имеют двойную нумерацию - первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа в главе. Нумерация формул в параграфах тройная. Объем работы 102 страницы, библиография содержит 106 наименований.

         Похожие диссертации на Метод разделения переменных при построении оптимального и гарантированного управления в однотипных дифференциальных играх и в задачах управления с помехой

         

         Адаптивное управление в задачах с неизвестным уровнем динамической помехиГанебный Сергей Александрович

         

         Итерационно-операторный метод нелинейной компенсации и построение персептронных моделей фильтров импульсных помехДегтярев, Сергей Андреевич

         Теория, методы и алгоритмы моделирования гарантированного результата в задачах управления движением с помехой и с неопределенностьюУхоботов, Виктор Иванович

         

         Методы оптимального разделения потоков сложных сигналов и их применение в асинхронных системах связиФедоткин Алексей Николаевич

         Оптимальное управление в повторяющейся биматричной игре с конечной памятью и в поведенческой модели фирмыСеменищев Алексей Андреевич

         Применение моделирования статистических игр в задаче оценивания параметра гипергеометрического распределенияИванов, Михаил Анатольевич

         Методы теории компромиссных игр в задачах управления воздушным движениемЗолотухин, Вячеслав Владимирович

         

         Алгоритмы и программный комплекс решения задач теории кооперативных игр. Ядерные решения дискретных кооперативныхигрОганян Лев Сергеевич

         Математическое моделирование задач поиска методами теории игрГарнаев, Андрей Юрьевич

         

         Оптимальное управление и математическое моделирование в стохастических задачах механикиЮрченко Даниил Вадимович