Содержание к диссертации
Введение
1. Туннелирование в низкоразмерных квантовых системах 18
1.1. Общие сведения о квантовом транспорте и туннелировании . 18
1.2. Общие вопросы квантового моделирования 24
1.3. Простейшая модель для описания процессов переноса заряда в квантовом кольце 30
1.4. Интерференция резонансных состояний в квантовых кольцах . 34
1.5. Результаты исследования моделей туннелирования 38
1.6. Постановка задачи о временной динамике волновых функций электронов двумерного квантового кольца в переменном магнитном поле 40
1.7. Вариационный метод как инструмент получения собственных функций для метода расщепления по физическим факторам . 43
1.8. Управление локализацией волнового пакета в пространстве . 45
2. Метод расщепления в задаче о динамике волновой функции электронов в квантовых кольцах 48
2.1. Стационарные состояния электронов в квантовых кольцах в постоянном магнитном поле 48
2.2. Метод расщепления в задаче о движении волнового пакета в поле электромагнитной волны 55
2.3. Алгоритм метода расщепления по физическим факторам в задаче о временной динамике волновой функции 58
2.4. Конечно-разностные схемы для решения нестационарного уравнения Шредингера 60
2.5. Программный комплекс Time Dynamics Calculator (TiDyCal) для расчетов динамики волновых пакетов 66
2.6. Расчеты временной динамики волновых функций и сопоставление результатов 68
2.7. Оценки погрешности при использовании схем расщепления 73
2.8. Оценка сравнительной эффективности методов 79
2.9. Временная динамика волновых функций электронов трехмерного квантового кольца в переменном магнитном поле 84
3. Построение базисных функций для расчетов в областях конечного размера в методе расщепления по физическим фак торам 90
3.1. Вариационный метод 92
3.2. Алгоритм применения вариационного метода для расчетов собственных волновых функций 96
3.3. Примеры расчета вариационного набора для метода расщепления по физическим факторам 105
3.4. Решение нестационарного уравнения Шредингера для квантовой ямы с бесконечно высокими стенками в цилиндрической геометрии в магнитном поле 110
4. Управление туннелированием электронов в концентрических квантовых кольцах 113
4.1. Решение задачи на собственные значения 115
4.2. Некоторые особенности энергетической структуры в «двуямном» потенциале 119
4.3. Туннелирование волнового пакета в «двуямном» потенциале 123
4.4. Оценка количества собственных функций и собственных значений для расчетов туннелирования волнового пакета 127
4.5. Управление положением волнового пакета в потенциале квантового кольца с помощью магнитного поля 130
4.6. Управление туннелированием в «двуямном» потенциале с помощью магнитного поля 134
Заключение 141
Литература 143
- Общие вопросы квантового моделирования
- Метод расщепления в задаче о движении волнового пакета в поле электромагнитной волны
- Алгоритм применения вариационного метода для расчетов собственных волновых функций
- Некоторые особенности энергетической структуры в «двуямном» потенциале
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке и обоснованию экономичных численных методов решения нестационарного уравнения Шредингера. В работе рассматриваются вопросы построения численно-аналитических алгоритмов на основе принципа расщепления по физическим факторам, предлагается реализация этих алгоритмов в современных системах компьютерной математики, проводится сравнение точности и эффективности расчета при сопоставимых вычислительных ресурсах с существующими методами, применяемыми для решения уравнения Шредингера, приводятся примеры расчета характеристик модельных систем.
Актуальность темы диссертации. В современных условиях практически во всех областях знаний применяется математическое моделирование. Математические модели, которые детально описывают исследуемые реальные процессы, обычно достаточно сложны. Основные проблемы и сложность задач математической физики обусловлена их нелинейностью, многомерностью и наличием нескольких одновременно протекающих процессов, часто требующих разных временных масштабов для их анализа.
Получить точные аналитические решения таких задач удается лишь в некоторых исключительных случаях. В большинстве подобных ситуаций применяются приближенные, например, конечно-разностные методы. Для их эффективного использования конечно-разностные методы должны обладать основополагающими свойствами аппроксимации, устойчивости, сходимости и экономичности.
Эффективным средством приближенного решения многомерных задач математической физики являются методы расщепления. В их основе лежит процедура расщепления исходной многомерной задачи на несколько взаимосвязанных упрощенных задач, существенно облегчающих программирование, допускающих возможности распараллеливания и структурирования вычислений. Важный вклад в развитие методов расщепления начиная с 50-х годов прошлого века был сделан в работах А.А. Самарского, Н.Н. Яненко, Г.И. Марчука, С.К. Годунова, В.И. Агошкова, О.М. Белоцерковского, Ж.-Л. Лионса, Р. Рихтмайера, К. Мортона и др.
Для методов расщепления одним из основных положений является понятие суммарной аппроксимации многомерного уравнения системой одномерных уравнений, позволяющее производить расщепление не только по пространственным переменным, но и по отдельным физическим факторам, отражающим специфику задачи и выделяющим качественные особенности протекающих процессов.
Особенно интересной является ситуация, в которой расщепленные модельные задачи удается решить аналитически, хотя бы частично, а для оставшейся части получить численное решение. Как показывает опыт, получаемые при этом комбинированные численно-аналитические методы являются более эффективными и экономичными в сравнении с традиционными конечно-разностными схемами.
Примером такой ситуации является процедура решения нестационарного уравнения Шредингера. Подобный подход в задаче о движении свободного электрона в поле электромагнитной волны в сочетании с методом Галеркина для решения получившейся стационарной задачи предлагается, например, в работах Е.А. Волковой, А.М.Попова и А.Т. Рахимова.
В условиях нанотехнологической революции, охватившей в настоящее время многие отрасли науки и техники, огромное внимание уделяется исследованию физических и химических свойств низкоразмерных квантовых систем, глобул и кластеров. Эксперименты показывают зависимость физических свойств наноразмерных и мезоскопических объектов от размеров наночастиц и кластеров, но универсальная зависимость пока не установлена. Перспективы манипуляции с отдельными атомами и их группами при создании и получении новых конструкционных материалов, полупроводниковых приборов, устройств для записи и передачи информации открывают новые возможности и горизонты технологического прогресса. В этих условиях становится особенно актуальной возможность математического моделирования мезоскопических объектов с целью исследования их структуры, предсказания поведения в различных условиях, прогнозирования и оценки перспектив получения материалов с заранее заданными свойствами. Огромное количество научной литературы, посвященной математическому моделированию нанообъектов, указывает на актуальность изучения таких систем.
В диссертации рассматриваются низкоразмерные квантовые системы, такие как квантовые точки, кольца и проволоки, находящиеся в магнитном поле. Такого рода системы интересны как с фундаментальной точки зрения, как объекты, на которых можно проверить особенности макроскопических квантовых эффектов, например, эффект Ааронова-Бома и возможности существования незатухающих токов. Экспериментальные работы последних лет говорят о значительном прогрессе в создании подобных систем. В настоящее время удается получать как отдельные квантовые объекты, так и целые организованные конгломераты низкоразмерных систем. Тем не менее, неослабевающий интерес с точки зрения исследования квантовых явлений представляют именно отдельные «базовые» объекты, такие как квантовые точки и квантовые кольца.
Возможности практического использования такого рода систем связаны, например, с современными тенденциями микроминиатюризации элементной базы и созданием оптоэлектронных приборов, в которых передача сигнала осуществляется прохождением небольшой группы заряженных частиц или даже отдельных электронов. Как известно, процесс проникновения частиц сквозь соответствующие барьеры в нанокластерах - это процесс туннелирования, и исследование закономерностей такого процесса представляет безусловный интерес для разработки и проектирования оптоэлектронных приборов. Одной из модельных систем, рассматриваемых в данной работе, является система концентрических квантовых колец, помещенных во внешнее постоянное или переменное магнитное поле.
Моделирование передачи сигнала в подобных системах невозможно без временного описания процессов туннелирования, что означает необходимость рассмотрения нестационарной задачи. В связи с этим, актуальными становятся исследования временной динамики волновых функций электронов в квантовых точках и квантовых кольцах. Созданию алгоритмов, позволяющих производить расчеты временной динамики с высоким уровнем точности, посвящена данная диссертация.
Предлагаемый подход основан на использовании потенциалов специфического типа, которые воспроизводят такие модельные низкоразмерные системы как квантовые точки и квантовые кольца, а также некоторые другие. Класс подобных потенциалов определяет стационарные задачи, относящиеся к точно-решаемым моделям. Используя этот факт, в некоторых случаях представляется возможным распространить предлагаемый подход на потенциалы с ограниченной областью определения, а также более сложные потенциалы, образованные комбинациями простых потенциалов квантовых колец и точек, с сохранением эффективности используемого метода.
«Двуямные» потенциалы как модельные широко используются в различных областях физики, химии, биологии и других наук, например, для расчета характеристик туннелирования и определения скоростей химических реакций, свойств радиоактивного распада. Наиболее изученными являются случаи, когда потенциалы как функции координат состоят из конечных или бесконечных наборов кусочно-постоянных функций или 8-функций Дирака. Аналитическое решение такой стационарной задачи на собственные значения для уровней энергии и волновых функций хорошо известно. Для решения стационарной задачи в остальных случаях (даже, когда потенциал составлен из двух парабол) вычислять собственные значения приходится, используя численные методы. Предлагаемое семейство схем расщепления для метода расщепления по физическим факторам в комбинации с разложением по базисным функциям стационарной задачи, несомненно, может быть использовано для моделирования временной динамики систем на основе «двуямных» потенциалов.
Проведение расчетов в квантовомеханических задачах в современных условиях часто проводится с использованием комплексов программ на основе существующих пакетов символьной математики, таких как MathCAD или Mathematica. Несмотря на широкие возможности современных пакетов, для решения физически интересных задач туннелирования электронов в наноструктурах использования какого-то одного пакета недостаточно: требуется создание комбинированной системы или написание отдельного комплекса (кода) программ, ориентированного на задачи с указанной спецификой.
Цель работы и задачи исследования:
Построение решения нестационарного уравнения Шредингера численно-аналитическим методом расщепления по физическим факторам для
моделирования временной динамики волновых функций электронов квантовых колец.
Модификация численно-аналитических методов на основе метода расщепления по физическим факторам для задач моделирования временной динамики волновых функций электронов квантовых колец, в том числе для случаев с конечной областью определения.
Реализация алгоритма для получения наборов базисных функций для использования в методе расщепления по физическим факторам на конечном носителе.
Разработка программного комплекса для расчетов временной динамики волновых функций электронов низкоразмерных квантовых систем.
Демонстрация возможностей метода расщепления по физическим факторам на примере моделирования процессов туннелирования электронов в системе двух концентрических квантовых колец.
Основные результаты, выносимые на защиту:
Модель управления туннелированием электронов между кольцами в системе двух концентрических колец с помощью магнитного ПОЛЯ.
Семейство численно-аналитических схем для решения нестационарного уравнения Шредингера на основе метода расщепления по физическим факторам для задачи о туннелировании электронов в концентрических квантовых кольцах.
Реализация алгоритма построения набора базисных функций с помощью вариационного метода для вычислений методом расщепления по физическим факторам в области конечного размера.
Алгоритм и комплекс программ для расчетов временной динамики волновых функций электронов квантовых колец в переменном магнитном поле с использованием компьютерных систем символьной математики.
Практическая ценность результатов работы
Разработанный подход на основе метода расщепления по физическим факторам является эффективным средством решения нестационарного уравнения Шредингера для модельных потенциалов квантовых точек и квантовых колец.
Изучение временной динамики волновых функций электронов позволяет планировать и интерпретировать результаты экспериментов для низкоразмерных квантовых систем, находящихся в переменном магнитном поле.
Научная новизна работы
Предлагаемый набор численно-аналитических схем для метода
расщепления по физическим факторам обладает более высокой
эффективностью для рассматриваемого класса задач при сопоставимых
вычислительных ресурсах по сравнению с традиционными конечно-
разностными методами, используемыми для решения уравнения Шредингера.
Получены наборы собственных функций и собственных значений для задачи туннелирования электронов в системе двух концентрических квантовых колец, описываемой «двуямными» потенциалами.
Впервые предложена модель управления туннелированием электронов в системе двух концентрических колец с помощью переменного магнитного поля.
Достоверность результатов обеспечивается:
использованием фундаментальных физических законов, описывающих динамику поведения частиц в микромире;
сопоставлением с известными результатами других авторов и соответствием известным частным решениям и промежуточным результатам;
тестированием предлагаемого в работе метода на ряде модельных задач;
аккуратным учетом точности воспроизведения значений имеющих место интегралов движения в процессе моделирования временной динамики волновой функции.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 7 российских и международных конференциях:
Региональная Студенческая Конференция «Математическое Моделирование», 18-19 мая 2006 г., г. Обнинск.
Международная конференция «Математическая физика и её приложения», 8-13 сентября 2008 г., г. Самара.
2-я Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов «Информационные системы и технологии 2009», 15 мая 2009 г., г. Обнинск.
2-я Всероссийская конференция «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях», 27-29 мая 2009 г., г. Москва.
7-я Национальная конференция «Рентгеновское, Синхротронное излучения, Нейтроны и Электроны для исследования наносистем и материалов. Нано-Био-Инфо-Когнитивные технологии», 16-21 ноября 2009 г., г. Москва.
Вторая международная конференция «Математическая физика и её приложения», 29 августа - 4 сентября 2010 г., г. Самара.
V Международная конференция «Математические идеи П. Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания», 14-18 мая 2011 г., г. Обнинск.
Личный вклад соискателя. Все результаты работы, выносимые на защиту, получены лично соискателем или при его непосредственном участии, а именно:
реализованы расчеты временной динамики волновых функций электронов двумерных и трехмерных квантовых колец в переменном магнитном поле в программных комплексах Mathcad и Mathematica;
разработан и реализован алгоритм построения базисов в системе Mathematica;
рассчитаны собственные волновые функции и уровни энергии для систем, описываемых «двуямными» потенциалами, в магнитных полях с различными значениями напряженности с помощью системы Mathematica;
на основе проведенных расчетов продемонстрирована возможность управления туннелированием электронов в системе двух концентрических квантовых колец с помощью магнитного поля.
Список научных публикаций. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 публикациях (включая 5 статей из списка ВАК) и докладах на российских и международных конференциях.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 158 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 117 наименований и 4 приложений.
Общие вопросы квантового моделирования
Как было отмечено ранее, для определения характеристик квантового устройства необходимо исследовать процессы транспорта заряженных частиц в системе, что в большинстве случаев выполняется на основе энергетической структуры. В связи с чем выделяют два основных аспекта, которые необходимо учитывать при квантовом моделировании: параметры энергетической структуры системы должны вычисляться с очень высокой степенью точности; формализм описания квантового транспорта должен учитывать основные физические законы и принципы квантовой механики.
При расчетах энергетических спектров для квантовых объектов могут учитываться внешние (влияние магнитного и/или электрических полей) и внутренние силы (взаимодействие электронов) одновременно [30 - 32], что существенно осложняет формализм описания. В некоторых случаях удобно использовать упрощающие подходы и приближения. Однако, отсутствие совместимости с основными принципами квантовой механики может привести к непригодности модели.
Существующие модели, учитывающие квантовые эффекты при транспорте заряженных частиц, могут быть классифицированы как динамические или когерентные модели и кинетические модели.
Общие свойства моделей. Согласно общим представлениям квантовой механики, электрон находится в некотором квантовом состоянии, которое характеризуется волновой функцией состояния. В гетероструктуре волновая функция частицы (электрона) задается с помощью амплитуды волны, волнового вектора, энергии и фазы. Временная динамика волновой функции описывается нестационарным уравнением Шредингера. Квантовое моделирование устройства
Взаимодействие между электроном и оптическим фононом может разрушить фазовую когерентность электрона и вызвать «перемешивание» состояния с другими состояниями микрочастиц системы. Тогда говорят о некогерентных взаимодействиях и смешанных электронных состояниях. Взаимодействующие частицы теряют связь по фазе с исходными состояниями и, следовательно, на практике сложно проследить изменение волновой функции электрона для отдельно взятой частицы. Согласно статистической квантовой теории, смешанное состояние может характеризоваться матрицей плотности, вигнеровской функцией распределения или функцией Грина. Любая модель квантового транспорта содержит модельную функцию, воспроизводящую электронные состояния в квантовой системе. Элементы моделирования квантового устройства представлены на рисунке 1.1.
Результаты расчета модельной функции для заданных условий (граничных, начальных и др.) позволят определить искомые физические величины, например, энергетические свойства системы, характеристики туннелирова-ния и другое. Выбор модельной функции определяет используемый формализм, а значит и возможности применяемой модели.
Модельной функцией в когерентных динамических моделях является огибающая функция (envelope function), в кинетических моделях в качестве модельной функции принимается матрица плотности, функция Вигнера или функция Грина. В рамках соответствующего формализма модельные функции по-разному воспроизводят физические процессы, которые происходят в системе. К таким процессам могут относится подбарьерное прохождение, отражение и рассеяние электрона. В зависимости от выбранной модели формулируется одно уравнение или система уравнений, которые включают элементы, ответственные за описание свойств системы. Основным уравнением обычно является нелинейное дифференциальное или интегро-дифференциальное уравнение. Решение подобного уравнения требует значительных вычислительных ресурсов, а также программирования высокого уровня.
Для полноты описания физического процесса к основному уравнению добавляются граничные условия, учет которых производится в соответствии с выбранной моделью описания.
Во многих физических системах эволюцию во времени можно представить с помощью соответствующих уравнений движения. Для описания процессов транспорта в низкоразмерных квантовых структурах такими уравнениями являются: уравнение Шредингера, уравнение Больцмана, уравнение Дайсона и другие.
Различия в модельных подходах. Модели на основе огибающей функции очень полезны для изучения наноэлектронных устройств, благодаря своей простоте, вычислительной эффективности и возможностям моделирования важных свойств приборов. Подобные модели основываются на прибли жении эффективной массы, при котором внутренний потенциал кристалла включается в эффективное взаимодействие носителей заряда с внешним воздействием [6; 33]. Приближение эффективной массы в значительной степени упрощает описание транспорта носителей заряда в полупроводниковых устройствах. Для того, чтобы учесть квантовые явления, используется уравнение Шредингера, из которого могут быть получены уровни энергии и огибающие волновые функции, описывающие состояния электрона.
Вид уравнения Шредингера выбирается, исходя из свойств системы и внешних воздействий на систему. Для решения уравнения Шредингера обычно применяются численные и аналитические методы. Однако, для специфических систем, описываемых потенциалами прямоугольной квантовой ямы, гармонического осциллятора и некоторых других систем, может быть получено аналитическое решение. К уравнению Шредингера добавляются соответствующие граничные и начальные условия, а для контроля точности производимых вычислений применяется проверка условия сохранения нормировки волновой функции.
Для изолированных квантовых систем применяется консервативный гамильтониан, а граничные условия, как правило, формулируются, исходя из постановки задачи. С другой стороны, для моделирования специфических особенностей устройств не всегда требуется сложнейший формализм, поэтому могут быть использованы различные приближения, в частности замена рассматриваемой области конечного размера на бесконечный интервал позволяет получить аналитическое решение уравнения Шредингера для системы изолированного квантового кольца в магнитном поле [34].
Модели с применением огибающей волновой функции классифицированы как динамические модели из-за того, что они описывают динамическое поведение системы, основанное на нестационарном уравнении Шредингера. Дан ный подход не позволяет учитывать внутренние взаимодействия между квазичастицами, такие как неупругое рассеяние на фононах. Поэтому необходимо использовать кинетическое уравнение (например, уравнение Больцмана), в котором внутренние силы явно или неявно учитываются с помощью, так называемого, интеграла столкновений, записываемого в правой части уравнения.
Существуют также вариации и модификации моделей, ориентированные на учет специальных возможностей (эффектов пространственного распределения заряда, многоканальных эффектов и др.), которые могут улучшить получаемые результаты, например, с помощью использования подхода самосогласованного поля и усложнения алгоритма расчета, который будет учитывать, помимо уравнения Шредингера в приближении эффективной массы, уравнение Пуассона.
Метод расщепления в задаче о движении волнового пакета в поле электромагнитной волны
Алгоритм применения вариационного метода для расчетов собственных волновых функций
Для расчетов с использованием различных схем расщепления был разработан специальный программный комплекс. Схема комплекса представлена на рисунке 2.4. Комплекс включает несколько модулей.
Входной модуль подготавливает данные для последующих расчетов. Необходимо задать используемые параметры и константы, такие как: постоянную Планка, скорость света, массу электрона, стартовую точку волнового пакета Го, параметры ограничивающего потенциала V{r) и др. В данном модуле также должна быть задана зависимость напряженности магнитного поля от времени. Если H(t) = HQ = const, то сразу можно определить и другие параметры, например, магнитную длину an или частоту колебаний в магнитном поле иос. В противном случае, будут использоваться массивы данных величин; каждый элемент массива соответствует одному моменту времени. И, наконец, в зависимости от выбранной схемы расщепления задается набор собственных функций: без учета магнитного поля, с учетом магнитного поля и «варьируемый» базис. В последнем варианте необходимо подготовить серию наборов, каждая из которых будет отвечать одному значению напряженности магнитного поля. Модули А и Б на рисунке 2.4 как раз предназначены для подготовки таких наборов для специальных случаев - потенциалов с ограниченной областью определения и «двуямных» потенциалов, соответ ственно. Все входные данные используются при расчете волновых функций в последовательные моменты времени. Описание основного программного элемента в системе Wolfram Mathematica 8.0 представлено в приложении 1. Помимо волновых функций, модуль отслеживает постоянство нормы на каждом временном шаге. Модуль выходных данных предназначен для обработки получаемых значений волновых функций. С помощью данного модуля рассчитывается плотность вероятности и производится визуализация полученных результатов. С помощью разработанного алгоритма были рассчитаны волновые функции электронов в последовательные моменты времени для случаев: слабого магнитного поля, сильного магнитного поля, переменного магнитного поля. Параметры потенциала V(г) выбраны такими, как указано в [34]. Как было отмечено в [103], применение фиксированной сетки является более эффективным, чем подвижной, несмотря на то, что у использования подвижной сетки есть свои преимущества (например, нет необходимости предварительно оценивать область, где будет перемещаться искомое решение). В данной работе координатное пространство было разбито на 100 узлов (область рассмотрения в каждом случае была разной), а по времени рассматривалось 350 итераций. Нулевое магнитное поле. Параметры расчета - положение и полуширина гауссовского пакета [а = 50, г о = 1000 нм), угловой момент (то = 0) и границы области расчета (Ri = 400 нм, i?2 = 1400 нм). На рисунке 2.5 про демонстрировано перемещение волнового пакета в пространстве с течением времени. Как видно из рисунка, рассматриваемый случай сходен с движением волнового пакета в гармоническом потенциале [103]. Центр пакета движется по классической траектории, решение, согласно работе [34], удовлетворяет нестационарному уравнению Шредингера точно. По оси времени рассматривается интервал времени 2То = 47Г/UJQ равный двум периодам колебаний в потенциале V{r). Уровни энергии для случая слабого магнитного поля показаны на рисунке 2.1 (слева) и определяются из выражения (2.15).
В слабом магнитном поле состояние с т = 0 и, не имеющее орбитального момента, помещенное в центре системы при г = Го, с течением времени остается в покое. Смещение этого состояния на края системы приводит его в периодическое колебательное движение. В этом можно убедиться, анализируя следующие результаты. На рисунках 2.5 показано изменение плотности вероятностей во времени в течение двух периодов колебания, которые особенно хорошо отслеживаются по карте изолиний. Характер изменений формы волнового пакета позволяет утверждать, что в нулевом магнитном поле происходит крупномасштабное колебательное движение центра пакета с периодом, определяемым внешним приложенным потенциалом, на которое накладывается процесс сжатия-расширения относительно центра пакета.
Отметим анизотропию и более высокую степень деформации волнового пакета на каждом полупериоде колебаний. Принимая во внимание различия в параметрах UJQ, UJC И сопоставляя периоды колебаний в потенциале V{r) и в магнитном поле, можно сказать, что определяющее влияние на поведение волнового пакета оказывает именно магнитное поле. Градиент плотности вероятности по радиусу кольца существенно выше для внешней части волнового пакета, чем во внутренней. Степень сжатия волнового пакета на периферии кольца выше, чем в центре волнового пакета. Уровни энергии показаны на рисунке 2.2 (справа). Как видно из совокупности рисунков, характер движения волнового пакета в сильном магнитном поле значительно отличается от его поведения в слабом поле. В движении пакета по-прежнему присутствует периодичность, но теперь определяемая эффективным периодом колебаний в магнитном поле и поле внешнего потенциала. Амплитуда этого колебательного движения также намного меньше амплитуды колебаний в случае слабого поля. В то же время центр волнового пакета подвержен мелкомасштабным колебаниям, по-видимому, в силу линейности задачи отражающим взаимодействие составляющих его отдельных собственных функций.
Обратим внимание, что положения минимума потенциала и центра волнового пакета совпадают (400 нм). Тем не менее, в процессе движения мы также наблюдаем периодичность (сжатие - расширение), в силу постоянства поля. Естественно, период колебаний в данном случае другой. Как было отмечено выше - данное поведение волновой функции определяется магнитным полем.
Выполненные параллельно расчеты на основе симметричной конечно-разностной схемы и методом Нумерова в комбинации с методом стрельбы [104] повторяют полученные результаты для волновых функций и уровней энергии, что может служить подтверждением достоверности получаемых результатов.
Некоторые особенности энергетической структуры в «двуямном» потенциале
Результаты расчетов энергетической структуры должны быть проанализированы и проверены. Согласно стандартным представлениям, нижние уровни энергии в «двуямном» потенциале должны быть близки по своим значениям к значениям уровней энергии в «одноямном» потенциале схожей формы. Для случая сильного магнитного поля совпадение наблюдается вплоть до п = 4 между Е («двуямный» потенциал) и Ew\ (потенциал квантового кольца с характеристиками внутренней части). Также совпадают значения уровней энергии Е для п = 6 и EW2 (потенциал квантового кольца с характеристиками внешней части) для п = 0, что подтверждает правильность проводимых расчетов уровней энергии для исследуемой системы.
Примеры собственных волновых функций фп,о(г) Для случаев сильного магнитного поля. По виду волновой функции с п = 11 заметно ослабленное влияние барьера на уровень энергии с таким номером
Проанализируем также ситуацию при больших п. Когда п — ос, очевидно, что влияние барьера на энергетическую структуру должно исчезать, что видно по волновым функциям (рис. 4.4): для случая нулевого магнитного поля волновая функция с п = 11 практически не имеет деформаций, обусловленных барьером, разделяющим части потенциала. Аналогичный эффект имеет место и в случае сильного магнитного поля, но при большем п. Кроме того, при рассмотрении разницы между соседними уровнями энергии Еп = Еп+\ — Еп можно также проследить выход на постоянную величину при п — ос (рис. 4.6).
По рисунку 4.6 очень хорошо прослеживается влияние барьера на энергетическую структуру. В случае нулевого магнитного поля при малых значениях п величина Еп не постоянна из-за наличия сдвоенных уровней энергии. Но с увеличением п парные уровни начинают отдаляться друг от друга и, соответственно, разница энергии между парами уменьшается. В итоге при п 17 как таковых сдвоенных уровней не наблюдается.
Для случая сильного магнитного поля (рис. 4.6 справа) характерна несколько другая ситуация. Поскольку глубина ям не одинакова, то при малых п расщепления не наблюдается: разница Еп фиксирована (согласно рисунку Еп 2,2 мэВ) и соответствует «одноямному» потенциалу со схожими характеристиками. По мере возрастания п становится чувствительным влияние внешней, менее глубокой части потенциала, а значит, появляются сдвоенные уровни. Причем, величина расщепления достаточно велика по сравнению со случаем нулевого магнитного поля. Это объясняется значительной асимметрией эффективного потенциала. Прип 15 можно говорить о плавном росте расстояния между энергетическими уровнями. Однако очевидно, что, начиная с некоторого п, разница Еп выйдет на постоянную величину, которая будет находиться в интервале от 1, 7 до 2, 2 мэВ, согласно рисунку 4.6. При больших п влияние барьера, разделяющего внешнюю и внутреннюю части потенциала, минимально, но «ширина» потенциала превышает аналогичную величину для «одноямного» случая.
Рассмотрим движение электрона с эффективной массой/І = 0, 067ше, где те - масса электрона, и зарядом е в системе двух концентрических квантовых колец, пронизываемых магнитным полем. Будем считать, что г XQ -область, соответствующая внутреннему кольцу, а г XQ - область, соответствующая внешнему кольцу. В расчетах, представляемых в данной диссертации, хо = 524,9 нм.
Получив в предыдущем пункте собственные функции и собственные значения стационарной задачи, перейдем к рассмотрению нестационарного случая (1.12). Решение методом расщепления по физическим факторам для потенциала квантового кольца было получено в работе [75]. Плотность вероятности Р в выбранные моменты времени t\ 2 із Рассмотрим динамику движения волнового пакета в «двуямном» потенциале отдельно для случаев сильного и слабого магнитных полей, вычисляя волновую функцию с помощью соотношения (4.14) последовательно на каждом шаге по времени. Зафиксируем т = 0 для упрощения процедуры, т. е. exp(im ) = 1, и зависимость от ф дальше не рассматривается.
Плотности вероятностей нахождения электрона в левой и правой части «дву-ямного» потенциала для случаев слабого (слева) и сильного магнитного поля (в центре и справа). Как видно из совокупности рисунков, динамика вероятностей существенно зависит от влияния магнитного поля, а также от стартовой точки: при запуске пакета из внешней ямы туннелирование более вероятно, особенно в сильном магнитном поле
Последнее утверждение хорошо прослеживается из рисунка 4.9, где показаны вероятности, задаваемые формулами (4.17) -(4.19). Как видно из рисунка, для определенного стартового значения Го вероятность нахождения частицы за барьером превышает вероятность нахождения частицы перед барьером. Однако, с течением времени ситуация изменяется, и уже вероятность нахождения перед барьером превалирует. Аналогичную картину дает рассмотрение координаты центра волнового пакета.
Еще одним важным моментом является то, что в нулевом магнитном поле для частицы чуть легче преодолевать барьер из внешней части потенциала. Данная особенность объясняется несимметричностью выбранного типа потенциала. Однако, разница незначительна. Если рассмотреть случай сильного магнитного поля, то ситуация усугубляется. Как видно на рисунке 4.9, из-за того что форма эффективного потенциала существенно изменяется, переход из внутреннего кольца во внешнее крайне маловероятен, в то время как из внешнего кольца туннелирование происходит без «сопротивления» барьера.
