Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние проблемы изучения механизма оползневых деформаций в склонах и откосах - 10
1.1. Постановка задачи - 10
1.2 Общие положения - 12
1.3 Локальные методы расчета коэффициента устойчивости оползневого объекта. Математические модели грунта - 15
1.3.1 Устойчивость откосов по методу круглоцилиндрической поверхности скольжения - 15
1.3.2 Устойчивость откосов по методу горизонтальных сил Маслова - Берера - 19
1.3.3 Устойчивость откоса по методу равнопрочного откоса (метод Fp), метод В.В. Соколовского - 20
1.3.4 Устойчивость откосов при развитии областей локальных сдвигов в их основании - 22
1.3.5 Оценка устойчивости численным методом - 23
1.3.6 Графический метод многоугольника сил - 24
1.3.7 Математические модели грунта - 30
1.4 Региональные методы оценки и прогноза устойчивости склонов - 32
1.4.1 Метод оползневого потенциала - 35
1.4.2 Метод регрессионного анализа и метод
анализа ритмичности оползневого процесса - 40
1.4.3 Метод анализа ритмичности оползневого процесса - 41
1.5 Выводы - 42
Глава 2. Разработка математической модели устойчивости оползневого склона на основании анизотропной модели грунта - 44
2.1. Постановка задачи - 44
2.2 Анизотропная математическая модель грунта - 45
2.2.1 Общие положения - 45
2.2.2 Синтез анизотропной модели - 46
2.3 Определение устойчивости оползневого склона с учетом анизотропности грунта - 55
2.3.1 Расчет устойчивости откоса по методу круглоцилиндрической поверхности скольжения. Аналитическое решение, общий случай - 55
2.3.2 Частный случай (изотропная модель грунта,
блоковый и поверхностный оползень) - 65
2.3.3 Частный случай (анизотропная,
круглоцилиндрическая модель) - 72
2.4 Выводы - 80
Глава 3 Разработка комплекса программ для расчета устойчивости склона (Кзап) - 83
3.1 Алгоритм работы программы - 83
3.1.1 Блок получения данных о склоне и выбор шага разбивочной сетки - 86
3.1.2 Блок кусочно-линейной аппроксимации - 87
3.1.3 Блок расчета Кзап - 99
3.1.4 Блок динамического расчета склона - 101
3.1.5 Блок построения карты вероятности
образования оползня - 108
3.2 Выводы - 118
Заключение - 120
Список литературы
- Локальные методы расчета коэффициента устойчивости оползневого объекта. Математические модели грунта
- Оценка устойчивости численным методом
- Синтез анизотропной модели
- Блок получения данных о склоне и выбор шага разбивочной сетки
Введение к работе
Актуальность
Среди стихийных бедствий и катастроф природного характера оползни
стоят на четвертом месте после засух, наводнений и землетрясений. Более
половины всего материального ущерба, причиняемого оползнями, связано с
ошибками, допущенными при расчете устойчивости склонов и
проектировании противооползневых сооружений. Основным
количественным показателем устойчивости склонов является коэффициент запаса устойчивости, показывающий отношение удерживающих и смещающих сил действующих на участок склона. В случае если смещающие силы больше, склон считается неустойчивым, образуется оползень.
Разработка надежных противооползневых сооружений - весьма сложная задача, успешное решение которой невозможно без количественной оценки устойчивости склонов и развития склоновых деформаций, основанной на комплексе математических моделей, описывающих различные стадии оползневого процесса. Однако, несмотря на то, что начало работ по исследованию оползней приходится на шестидесятые годы прошлого века, получение такой оценки связано с большими трудностями, а именно: сложностью и многофакторностью оползневых явлений; обилием переменных величин, определяющих ход оползневых процессов; отсутствием физически обоснованных зависимостей, дающих строгое математическое описание этих процессов.
Так результаты расчетов устойчивости склонов, как правило, оказываются оптимистическими даже в тех случаях, когда имеется явная неустойчивость - живой оползень. Зачастую расчетные коэффициенты устойчивости превышали единицу, то есть показывали избыток устойчивости, в то время как должны были показывать равновесие удерживающих и сдвигающих сил - равняться единице.
В то же время применять противооползневые мероприятия к любому склону экономически невыгодно, потому что при современном состоянии техники строительства стоимость противооползневых сооружений очень высокая и применение их экономически оправданно не везде и не всегда.
Коэффициент запаса устойчивости определяется как отношение удерживающих и смещающих сил. Величина смещающих сил определяется через величину силы веса действующую на грунт и угол наклона поверхности склона. На практике сколько-нибудь большая ошибка при определении смещающих сил обычно исключена.
Следовательно, на точность определения коэффициента запаса устойчивости оказывает влияние точность определения удерживающих сил.
В настоящее время при проведении расчетов устойчивости склона обычно используют модели изотропного грунта (программные комплексы Plaxis, Ansys, методы, рекомендованные для инженерных расчетов). В то же время ряд авторов (Мушкетова И.В., Худяева И.Е., Нифантова А.П., Рогозина И.С.) в своих исследованиях указывают на анизотропность грунта в природной обстановке.
Разница между сопротивлением грунта срезу при горизонтальном и вертикальном срезе для Ульяновской обл. составляет около 12,5%. То есть грунт является анизотропным.
Таким образом, разработка математической модели анизотропного грунта является возможным резервом повышения точности расчета устойчивости склона и является актуальной задачей.
Цель и задачи исследования
Целью диссертационной работы является повышение достоверности и надежности прогнозов длительной устойчивости природных склонов и
техногенных откосов на основе создания и исследования новых математических моделей грунта.
Для достижения указанной цели в работе решались следующие задачи:
анализ существующих методов определения устойчивости склона и математических моделей грунта, их классификация;
обоснование применения и разработка математических моделей анизотропного грунта;
модификация существующего метода определения устойчивости склона для учета анизотропной модели грунта. Получение аналитического решения для нахождения коэффициента устойчивости склона;
разработка программного продукта для определения устойчивости склона.
Методы исследования
При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, случайных процессов и полей, математической статистики, а также численные методы, методы изучения сопротивления сдвигу глинистых пород, результаты физического и математического моделирования. При разработке программного обеспечения применялись методы объектно-ориентированного проектирования программных систем.
Научная новизна положений, выносимых на защиту
Впервые:
разработана классификация методов определения устойчивости склона по способу определения удерживающих сил действующих на грунт;
предложена и исследована математическая модель анизотропного грунта;
предложена модификация метода определения устойчивости склона -метод круглоцилиндрической поверхности с учетом анизотропности грунта;
определены способы увеличения скорости расчета коэффициента запаса устойчивости склона.
Достоверность обеспечивается хорошим согласованием результатов расчета и экспериментальных данных, тестовой отработкой программы, сравнением результатов моделирования на основе различных математических моделей.
Практическая значимость работы
Рассматриваемые задачи возникли из практических потребностей повышения точности и надежности расчетов при определении коэффициента длительной устойчивости природных склонов и искусственных откосов. Полученные результаты можно использовать при строительстве зданий и сооружений в оползневой зоне, при проверочных расчетах существующих склонов и откосов. Математические модели, полученные в результате исследования, применялись при проектировании башен сотовой связи и использовались Дармштадским университетом Прикладных Наук (Германия) при проведении расчетов оползней.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [8]—[12], [89], [103] из них 1 статья в рекомендуемом ВАК журнале, 1 тезисы докладов.
Краткое содержание работы
В первой главе проводится обзор и анализ основных методов определения коэффициента запаса устойчивости. Показано, что, несмотря на значительное количество существующих методов определения устойчивости
склона, число катастроф, связанных с оползневыми объектами, указывает на недостаточную их точность. Показано, что, для адекватного описания процесса развития оползня необходимо разработать модель анизотропного грунта, позволяющую отобразить срез грунта по всей поверхности скольжения оползня.
Во второй главе разработана модель анизотропного грунта по параметрам угла внутреннего трения и сцепления грунта. Показана ее адекватность. Получено аналитическое решение нахождения коэффициента запаса устойчивости методом круглоцилиндрической поверхности скольжения.
Для проверки адекватности данной формулы проведена серия опытов по срезу грунта в различных плоскостях. Практические и теоретические результаты показали хорошее согласование. Ошибка составляла не более 3%.
В третьей главе разработаны алгоритмы и показаны результаты работы программного продукта для расчета устойчивости склона.
В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
Локальные методы расчета коэффициента устойчивости оползневого объекта. Математические модели грунта
Основным количественным показателем, используемым при локальной оценке и прогнозе устойчивости склонов, является коэффициент устойчивости (коэффициент запаса устойчивости), представляющий собой отношение сумм удерживающих и сдвигающих сил, действующих по поверхности предполагаемого смещения оползневого тела (при круглоцилиндрической поверхности смещения отношение сил заменяется отношением моментов тех же сил).[30]
К удерживающим относятся реактивные силы сопротивления грунта сдвигу и, при наличии поддерживающих сооружений, силы воспринимаемого ими оползневого давления, а также те из активных сил, которые направлены в сторону, обратную направлению предполагаемого оползневого смещения. Активные силы включают тангенциальные составляющие веса пород и сооружений, находящихся над поверхностью оползневого смещения, а также фильтрационные силы (в случаях, когда поверхность оползневого смещения пересекает водоносные горизонты), гидростатические силы, вибрационные и сейсмические нагрузки.
Сдвигающими считаются те активные силы, которые направлены по направлению предполагаемого оползневого смещения.[79]
Склон или его элемент (откос, уступ и др.) считается устойчивым, если коэффициент его устойчивости Ку 1 [3,4]. В соответствии со СНиП 2.01.15-90 «Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов. Основные положения проектирования» значение Ку может изменяться от 1,25 до 1,1 для основного сочетания нагрузок и от 1,20 до 1,05 для особого сочетания нагрузок в зависимости от степени ответственности инженерной защиты и состояния склона. Величина Ку = 1 соответствует предельному равновесию, наблюдающемуся в моменты начала и завершения оползневого смещения.[71]. В дальнейшем вместо Ку в тексте встречается термин коэффициент запаса устойчивости Кэш имеющий тоже значение, что и Ку.
Устойчивость откосов по методу круглоцилиндрической поверхности скольжения
Расчет сводится к отысканию по формуле (1.1) круглоцилиндрической поверхности скольжения с наименьшим коэффициентом запаса. Местоположение первого центра вращения О і определяется следующим образом (рис. 1.3). От подошвы откоса (точка А) откладывают прямую под углом а к откосу; из точки В (бровка откоса) проводят горизонталь и от этой горизонтали откладывают угол (3. Пересечение линий, отложенных под углами аир, принимают за точку (Oi центр вращения первой круглоцилиндрической поверхности скольжения.
После того как рассчитан коэффициент запаса по первой кривой скольжения с центром вращения Oi другие центры вращения отыскиваются следующим образом.
Ниже подошвы откоса на глубине, равной высоте откоса Н, от точки А (подошва откоса) по горизонтали откладывают расстояние 4,5 Н и получают точку М. Соединяя точку М с центром вращения первой дуги скольжения Oi получают прямую, на которой следует располагать все исследуемые центры вращения (рис. 1.3). Наиболее вероятное положение центра вращения с наименьшим коэффициентом запаса устойчивости будет на этой прямой в районе положения точки Оь
Однако в настоящее время этот сложный расчет по отысканию положения центра вращения с наименьшим коэффициентом запаса устойчивости может быть исключен. Н. Янбу предложил график дающий возможность сразу определить положение центра вращения наиболее опасной кривой скольжения.
Кроме того, без большой погрешности (около 10% в сторону завышения коэффициента запаса), принимая cos aj = 1, формула (1.3) может быть записана в более простом виде
Оценка устойчивости численным методом
Массив, расположенный выше поверхности скольжения, разбивается вертикальными линиями на ряд отсеков. Величина и количество отсеков подбираются в соответствии с геологическим строением, морфологией склона и формой поверхности смещения. В пределах каждого отсека поверхность скольжения принимается плоской (рис. 1.7).
2. На любой выделенный описанным выше образом отсек (например, на отсек № 2, см. рис. 1.7) действуют тангенциальная Т2 и нормальная N2 составляющие силы Q2 - веса призмы породы в объеме отсека, а также силы Ei и Е2 со стороны соседних отсеков; по поверхности возможного смещения отсека действуют реакции со стороны этой поверхности, равные силам сцепления C2L2 и трения tg (P2R2 и нормальная реакция R2. Равнодействующая силы трения и нормальной реакции поверхности будет равна: S2 = -sjl + tg(p2 , а угол ее наклона к нормали поверхности смещения составит угол ф2. Силами, сдвигающими массив по поверхности оползания, будут тангенциальные составляющие Tj сил Q;, если они направлены в сторону возможного смещения массива. Все остальные силы являются силами, или непосредственно не влияющими на устойчивость (сила Nj), или сопротивляющимися возможному смещению.
Под коэффициентом устойчивости понимают отношение всех тангенциальных сил Т д, сопротивляющихся смещению, ко всем тангенциальным силам Тсдв, стремящимся вызвать смещение.
Для того чтобы весь массив имел коэффициент устойчивости К, необходимо, чтобы для каждого отсека выполнялось условие Туд-КТСдВ=0.
3. При составлении условий равновесия вместо тангенциальной составляющей Т, силы Q, принимаем величину КТ„ если сила Т стремится сдвинуть массив (отсеки № 1,2, 4), и не меняет значения силы Т„ если она сопротивляется смещению (отсек №3).
Наиболее простым является допущение, что силы Е направлены горизонтально. Можно принять угол наклона к горизонту сил Е, равным углу наклона поверхности возможного смещения в отсеке, в котором находится центр тяжести всего массива.
Если известно направление реакции поддерживающего сооружения, то наклон к горизонту направлений сил Е следует брать равным наклону реакции сооружения.
4. Для каждого отсека величина и направление сил Nj, Т\, С„ L, и EL_i известны. При этом сила Ец известна в результате решения задачи для предыдущего отсека, если иметь в виду, что в первом отсеке сила EL.\ отсутствует. Величины сил Е; и Si, заданные своими направлениями, являются неизвестными и находятся в результате построения для каждого отсека многоугольника сил. Задача определения оползневого давления в ос новании склона при заданном коэффициенте устойчивости решается для каждого отсека последовательным построением многоугольников сил, аналогичных показанным на рис. 1.7.
Силы EL-I являются общими сторонами многоульников для данного отсека и предыдущего, и при переходе от одного отсека к другому следует лишь менять направление силы EL-i, являющейся реакцией данного отсека на предыдущий, на обратное, так как в этом случае сила Ец передается от предыдущего отсека на данный. Сила Ej, определенная для последнего отсека, представляет собой полное оползневое давление, которое развивается в основании склона при заданном коэффициенте устойчивости.
Примечание. Если при построении многоугольника сил в каком-то і-ом отсеке сила Ej стала равной нулю или приняла отрицательное значение, т.е. исчезла или стала силой сдвигающей вместо поддерживающей (что невозможно, если в грунте не могут возникать растягивающие напряжения), то это показывает, что часть массива от начала и до границы где-то внутри данного отсека имеет не только заданный коэффициент устойчивости, но даже избыток. В том случае, когда сила Е имеет в і-ом отсеке направление в сторону смещения, при построении многоугольника сил для следующего І+1 отсека Е; в этот многоугольник не включается, если растягивающие напряжения не допускаются; при допущении растягивающих напряжений учитывается лишь часть силы Ej, при которой растягивающие напряжения не превосходят допускаемых.
5. Для определения коэффициента устойчивости К откоса, следует задаваясь различными значениями К, определить значение Е для последнего отсека путем построения многоугольников сил. По полученным данным строят кривую изменения Е (для последнего отсека). Степень устойчивости откоса будет соответствовать такому коэффициенту устойчивости К, при котором Е=0, т.е. искомой величиной коэффициента устойчивости будет абсцисса точки пересечения кривой E=f(K) с осью абсцисс К. Для построения кривой E=f(K) следует брать такие значения К, при которых значение Е было как положительным, так и отрицательным. [34,41]
Синтез анизотропной модели
В настоящее время существует большое число разнообразных методов определения устойчивости оползневого склона. Вместе с тем точность определения коэффициента устойчивости полученного с помощью этих методов не всегда достаточна. Частично это объясняется неполной адекватностью моделей грунта. Так из наиболее распространенных моделей грунта, применяемых в численных методах (модель Кулона-Мора, модель консолидации грунта, модель ползучести грунта, модель Кулачкова, модель скального грунта...), анизотропность грунта (параметры С, ф) не учитывается (в модели скального грунта учитывается анизотропность в нескольких плоскостях среза).
Для построения анизотропной модели грунта, достаточной для учета основных особенностей поведения грунта при его работе в разных плоскостях (рассматривается только изменение параметров среза грунта ср и С), во второй главе будем решать следующие задачи: 1. Синтез анизотропной модели грунта; 2. Модификация метода круглоцилиндрической поверхности для учета анизотропности грунта; 3. Получение аналитического решения; 4. Сравнение точности нахождения Кзап относительно других методов. Закон, описывающий сопротивление глинистых грунтов сдвигу можно записать в следующем виде: Spw=Pxtg cpw+w+Cc (2.1) или Spw=Pxtgcpw+Cw, (2.2) где Spw- сопротивление глинистого грунта сдвигу при данной нагрузке Р и влажности w; Р - действующее нормальное напряжение; (pw - угол внутреннего трения грунта с влажностью w; C\v - общее сцепление грунта; Сс - структурное сцепление; Sw — сцепление связанности грунта с влажностью w. Т.к. параметры глин в естественных склонах могут быть анизотропными запишем формулу (2.2) в виде: Spwi=Pxtg cpwl +CNV1 , (2.3) где (pwl - общее значение угла внутреннего трения при угле среза (і) равном углу между горизонталью и нормалью к зеркалу среза; Cw, - общее сцепление при угле среза (і) равном углу между горизонталью и зеркалом среза [6, 15].
Будем искать значения параметров cpw и Cw для произвольной плоскости среза как функцию от значений в горизонтальной и вертикальной плоскости в виде X(i)=Xxxf(i)+X_r(i), (2.4) где і - угол между горизонталью и зеркалом среза; Xj. - значение параметра при i=90 (вертикальный срез); Х_ - значение параметра при i=0 (горизонтальный срез); f(i) и f "(і) некоторые неизвестные коэффициенты зависимые от і. Закон, описывающий сопротивление глинистых грунтов сдвигу можно записать в следующем виде: Spw=Pxtg cpw+w+Cc (2.1) или Spw=Pxtgcpw+Cw, (2.2) где Spw- сопротивление глинистого грунта сдвигу при данной нагрузке Р и влажности w; Р - действующее нормальное напряжение; (pw - угол внутреннего трения грунта с влажностью w; C\v - общее сцепление грунта; Сс - структурное сцепление; Sw — сцепление связанности грунта с влажностью w. Т.к. параметры глин в естественных склонах могут быть анизотропными запишем формулу (2.2) в виде: Spwi=Pxtg cpwl +CNV1 , (2.3) где (pwl - общее значение угла внутреннего трения при угле среза (і) равном углу между горизонталью и нормалью к зеркалу среза; Cw, - общее сцепление при угле среза (і) равном углу между горизонталью и зеркалом среза [6, 15].
Будем искать значения параметров cpw и Cw для произвольной плоскости среза как функцию от значений в горизонтальной и вертикальной плоскости в виде X(i)=Xxxf(i)+X_r(i), (2.4) где і - угол между горизонталью и зеркалом среза; Xj. - значение параметра при i=90 (вертикальный срез); Х_ - значение параметра при i=0 (горизонтальный срез); f(i) и f "(і) некоторые Определим некоторые характерные значения: 1. При i=90, Х= Х±, то есть f(90) = 1 a f Х90)=0; 2. При i=0, Х= Х_, то есть f(0) = 0 а Г (0)=1; 3. При i=45, Хх= Х_ то есть f(45) = 0,5 а Г(45)=0,5; 4. Физический смысл имеют коэффициенты f(i) и f \ї), при которых значение параметров Х(і) при любом неизвестные коэффициенты зависимые от і.
і лежит в границах значений Х± и Х_.
Для определения коэффициентов f(i) и f Л(і) были проведены сдвиговые испытания в срезных приборах для двух главных плоскостей -горизонтальной, вертикальной и вспомогательных: под углом 15, 30, 45, 60, 75 к горизонтали. Горизонталью образца считаем плоскость параллельную геоиду. Образцы для испытаний были взяты в границе зеркала оползня расположенного на правом берегу р. Волги с координатами: широта 542Г08.5", долгота 4824Л04.4" по Красовскому.
Сдвиговые испытания проводились по методике изложенной в ГОСТ5180-84 «Грунты. Методы лабораторного определения физических характеристик».
Блок получения данных о склоне и выбор шага разбивочной сетки
В методах такого типа происходит разбиение области триангуляции на ячейки - параллелепипеды [102,96,91,84,98] или треугольные пирамиды [88,85,101,90]. Далее производится триангуляция поверхности в каждой ячейке отдельно. Причем каждая ячейка триангулируется одним из заданных ранее способов, т.е. значения координат для треугольников просто «подставляются» из заранее заданной таблицы.
Для применения методов этого типа необходимо задать допустимую ошибку аппроксимации, на основе которой выбрать размер ячейки - куба или тетраэдра (если быть точным - то треугольной пирамиды, т.к. тетраэдрами нельзя «замостить» пространство без пропусков и наложений.) После этого с помощью уже известных таблиц триангуляции получить искомое множество треугольников. При этом процедура триангуляции каждой ячейки сводится к анализу значений функции в вершинах этой ячейки - другими словами, определяется, какие вершины лежат «внутри» поверхности, а какие -«снаружи». На основе этого можно сделать вывод о достаточности определения функции только в вершинах ячеек.
Наиболее известные ячеечные алгоритмы: метод Канейро (Caneiro)[88], метод [85], предложенный Гуэзеком (Gueziec), метод Скалы (Skala)[101], метод «Марширующих кубов» [102].
Метод предиктора-корректора (predictor-corrector)
Методы из этого класса основаны на добавлении к уже имеющемуся множеству точек триангуляции ещё одной, лежащей на касательной плоскости к заданной функции (это положение предиктора(ргесПсгог) -предсказанное) и затем передвижению её до визуализируемой поверхности (это положение корректора (corrector) - скорректированное).
При использовании методов [83,100] из этого класса, необходимо знать значение функции во всех точках пространства и найти хотя бы одну точку, принадлежащую искомой поверхности. Метод заключается в «наращивании» треугольников - на каждой итерации метода к уже существующему множеству треугольников добавляется еще один, построенный на ребре крайнего треугольника и предсказанной (а затем скорректированной по кривизне поверхности) точки на поверхности.
Мозаичные методы (preessellation methods & particle-based methods)
Суть таких методов [87,94,86] заключается в разбиении искомой поверхности на части дальнейшей их триангуляции. Разбиение на части в preessellation методах подразумевает разбиение поверхности на «примитивные» поверхности - фрагменты сфер и плоскостей. Разбиение на части в методах из плеяды particle-based - менее «интеллектуально» - ищутся только фрагменты плоскостей. При этом возникает проблема «соединения» уже «протриангулированных» частей. Чаще всего этот процесс сводится к подбору локальных по Делоне треугольников, соединяющих части искомой поверхности.
Определение: треугольник локален по Делоне, если его самая маленькая сфера ограничения не содержит никакую другую точку триангуляции, которая имеет ту же самую поверхностную ориентацию.
Достоинства и недостатки методов триангуляции
Основа методов первого типа - независимая триангуляция каждой ячейки с помощью таблиц триангуляции - является одновременно их сильной и слабой стороной. Высокая скорость работы этих методов делает их наиболее привлекательными по отношению к другим методам и дает возможность использовать их в интерактивных приложениях, но большим минусом считается их относительная индифферентность к поведению
Однако рассматриваемые алгоритмы имеют одну и ту же основу. Поэтому скорость и ошибка аппроксимации различаются несущественно [101]. Таким образом, анализ алгоритмов достаточно провести по следующим критериям - количество треугольников, «качество» треугольников. Алгоритм «Марширующие кубы» Алгоритм «Марширующие кубы», предложенный Лоренсеном [102], можно разбить на два этапа: 1. Разбиение области G пространства на конечное множество ячеек, поиск ячеек пересекаемых искомой поверхностью; 2. Аппроксимация поверхности в найденных ячейках. Две эти подзадачи являются независимыми. Рассмотрим их подробнее. Первый этап. Основные проблемы этого этапа заключается в следующем: 1. Разбить область G на ячейки; 2. Выбрать ячейки, которые пересекаются с искомой поверхностью.
После того как область G будет разбита на ячейки, значения функции, в общем случае, задающей поверхность будут известны только в вершинах этих ячеек. Таким образом, ячейка является главной структурной единицей во всех алгоритмах, на этом этапе.
В тех задачах, в которых функция, задающая поверхность задана таблицей на регулярной сетке, проблема разбиения области G на ячейки сразу отпадает, ввиду однозначности ее решения - ячейка должна быть параллелепипедом - для того, чтобы знать значения функции в вершинах ячейки.
