Содержание к диссертации
Введение
1 Математическое моделирование движения влаги в почвах с фрактальной организацией 20
1.1 Уравнения движения почвенной влаги и сопутствующие им начально-краевые условия 20
1.2 Математическая модель влагосодержания слоя и обобщенное уравнение Филипа 30
1.3 Модель влагосодержания слоя, основанная на уравнении Аллера, и анализ ее чувствительности 37
1.4 Математическая модель движения влаги с заданной разностью значений градиента влажности на границах почвенного слоя 47
1.5 Математическая модель запаса почвенной влаги, основанная на линеаризованном уравнении Ричардса 50
2 Математические модели солевого режима почв с фрак тальной структурой 55
2.1 Основные уравнения модели и определение начально-краевых условий 55
2.2 Установившийся модельный вариант распределения солей в почвенном слое 63
2.3 Нестационарная математическая модель солепереноса 70
3 Задача коши и нелокальная краевая задача для обобщенного дробно осцилляционного уравнения 82
3.1 Обобщенная модель Ричардса движения почвенной влаги 82
3.2 Задача Коши для обобщенного осцилляционного уравнения 84
3.3 Нелокальная краевая задача для обобщенного осцилляционного уравнения 87
3.4 Задача Коши для дробного осцилляционного уравнения с флуктуирующей силой, линейно зависящей от объемной влажности 93
Заключение 96
Список литературы
- Модель влагосодержания слоя, основанная на уравнении Аллера, и анализ ее чувствительности
- Математическая модель запаса почвенной влаги, основанная на линеаризованном уравнении Ричардса
- Установившийся модельный вариант распределения солей в почвенном слое
- Задача Коши для обобщенного осцилляционного уравнения
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время достигнут определенный успех в разработке компьютерно реализуемых математических моделей процессов фильтрации в пористых средах с фрактальной организацией и памятью Стало реальностью, что в основе этих моделей лежат дифференциальные уравнения дробного порядка как по временной, так и по пространственной переменной, и их разностные аналоги Этим обусловлен рост внимания исследователей к фрактальному анализу, дробному исчислению и актуальность развития методов решения начальных и краевых задач для таких уравнений, выступающих в качестве математических моделей процессов переноса в средах с фрактальной структурой. Эти задачи исследовались в работах А М Нахушева, В.А Нахушевой, Л И Сербиной
Значительный интерес представляет разработка физически обоснованных математических моделей, учитывающих влияние фрактальной структуры почвы на их водный и солевой режимы Влажность почвы является одним из наиболее быстро изменяющихся во времени t свойств почвы На важность математического моделирования процессов поступления влаги и растворимых солей в почву, их перераспределение, расходование и совместное движение обратили внимание многие исследователи С Ф Аверьянов, А М Нахушев, Л И Сербина, С В Нерпин, П Я Полубаринова-Кочина Основы рассмотрения водного режимов были заложены Г Н Высоцким
Водно-солевой режим почв выступает важнейшей подсистемой системы автоматизированного проектирования мелиоративных систем
Известно, что почвенный раствор представляет собой структруиро-ванные фрактальные коллоидные образования, наличие которых существенно влияет на многие свойства почв в том числе на их инфильтра-ционные и фильтрационные характеристики Известно так же влияние влажности, одной из важнейших характеристик почв, на фрактальные свойства почвенных коллоидов
Таким образом, проведение фундаментальных исследований по теме диссертационной работы является актуальным
Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ ПМА КБНЦ РАН по научному направлению «Математическое моделирование нелокальных экстремальных процессов в системах с фрак-
тальной структурой и памятью», № гос регистрации 0120 0 508755
Цель работы. Основная научная цель работы - разработка принципиально новых компьютерно реализуемых и прогностической значимости математических моделей динамики водного и солевого режимов в почвах, содержащих фрактальные коллоидные структуры
Методы исследования. Методологической базой диссертации является теория дробного интегро-дифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля), а также использованы теория интегральных уравнений, теории локальных и нелокальных линейных дифференциальных уравнений параболического и смешанного типов; методы теории фильтрации в пористой среде и физики почв
Научная новизна. В диссертации впервые разработаны и исследованы качественно новые математические модели движения влаги и солей в почвах с фрактальной организацией
Практическая и теоретическая ценность Основные положения работы, касающиеся компьютерно реализуемых математических моделей, могут сыграть важную роль при решении задач гидрогеологического прогнозирования водно-солевого режима почв
Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре по проблемам современного анализа, информатики и физики НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - Нахушев А М.), на III Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», (Нальчик - 2006 г ), на Международном форуме молодых ученных «Актуальные проблемы современной науки», (Самара, 2006 г )
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в pa-J ботах [1] - [5]
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 12 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 36 наименований, и изложена на 102 страницах
Модель влагосодержания слоя, основанная на уравнении Аллера, и анализ ее чувствительности
Зависимость фрактальной размерности почвы от влажности существенно может повлиять на процесс нестационарного движения влаги в этой капиллярно-пористой среде. Обычно движение влаги в почве моделируется нелинейным уравнением диффузии, основанном на законе Дар-си. Оно имеет следующий вид [14]:
Здесь w = w(x,t) - влажность в долях единицы, х - глубина, t- время, D = D(w) - коэффициент диффузитивности. Уравнение (1.1.1) - существенно нелинейное уравнение в частных производных параболического типа.
Диффузионная модель предполагает отсутствие электрического поля, изотермии вдоль потока влаги, постоянство концентрации растворенных веществ и, что если в начальный момент времени t = 0 задана непрерывная по глубине влажность w(x,0) = (p{x), 0 х г, (1.1.2) то возникает поток влаги из более влажных в менее влажные слои. В случае, когда влажность меняется в небольшом диапазоне, например при О х є г, можно положить, что D(w) = а2 = const и переписать уравнение (1.1.1) в виде dw 2d2w
Изменение фрактальной размерности с глубиной, очевидно, должно сопутствовать изменению коэффициента влагопроводности в почвенном слое 0 х г или в фильтрующей почвенной колонке длины г. Если это принять во внимание, то уравнение (1.1.1) заменится уравнением движения влаги под дей В случае, когда скорость v(w) = ствием гравитационных сил является постоянной, уравнение (1.1.5) принимает вид [10]:
В основе моделей (1.1.3) и (1.1.6) лежит закон Дарси, исключающий наличие потоков против потенциала влажности и излома на кривой фрактальной размерности.
Уравнение движения влаги в почвах с фрактальной структурой можно получить, если модифицировать известную схему М.Аллера [25], приводящую к уравнению
Действительно, пусть разность фе — ф эффективного потенциала фе по терминологии [8] и капиллярного потенциала влажности ф пропор -24 циональна "фрактальной скорости изменения влажности" dQtw(x, т), где 9$ - оператор дробного (в смысле M.Caputo) дифференцирования по t порядка а є]0,1[ с началом в начальный момент времени t — 0 [8,с.Н]. Таким образом, - влагосодержание несущего слоя [0, г] в момент времени t от начального О до расчетного Т; кц не зависит от х. Тогда уравнение (1.1.14) можно приближенно заменить уравнением следующего вида:
Пусть 9 = Q(x,t) - объемная влажность почвы или запас влаги в точке х в момент времени t; D(Q) -диффузитивность почвенной влаги, которая определяется как отношение коэффициента влагопроводности к дифференциальной влагоемкости при соответствующей влажности. Тогда уравнение Ричардса в отсутствие гравитационного давления приобретает вид [23, с.203] где со и р -характеристики модели почвы, со = const О, р = const О, a U - время, когда объемная влажность достигает максимально допустимого значения в процессе искусственного или естественного орошения, то нелинейное уравнение (1.1.24) можно аппроксимировать уравнением
Уравнение (1.1.26) как дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка смешанного типа является уравнением движения жидкости: оно гиперболического типа при подъеме объемной влажности, т.е. при t U и эллиптического типа при падении объемной влажности, например, при испарении с поверхности почвы после прекращения орошения.
Равенство (1.1.30) выступает в качестве нелокального краевого условия для уравнения движения жидкости (1.1.26), которое при р — 1 имеет следующий вид: -30 1.2 Математическая модель влагосодержания слоя и обобщенное уравнение Филипа Предположим, что известно влагосодержание S(t) в начальный момент времени 6(0) = 50 (1.2.1) и нелокальное краевое условиями (1.1.2) и граничными условиями второго рода
Формула (1.2.16) идентична уравнению Филипа [23, с. 191]. В уравнении Филипа Sp означает коэффициент пропорциональности, который характеризует поглощающую способность почвы и часто называемый со-противностью, имеющий размерность см/ сут; коэффициент пропорциональности Ар отражает фильтрационную способность почв и имеет размерность см/сут. В связи с этим уравнение (1.2.15) естественно назвать обобщенным уравнением Филипа для почв с фрактальной характеристикой а.
Сравнение формулы (1.2.15) с формулой Филипа показывает, что они связаны преобразованием т = t2n масштаба времени. Это является одним из подтверждений адекватности предложенной модели суммарной инфильтрации реальному процессу (см. рис.
Теорема 1.2. Для почв с фрактальной организацией с постоянными коэффициентом диффузитивности и коэффициентом Аллера, с уравнением движения влаги (1.3.1) и граничными условиями (1.3.2) и (1.3.3) в качестве математической модели влагосодержания почвенного слоя 0 х г можно принять решение задачи Коши (1.2.1) для уравнения (1.3.4), единственное и устойчивое решение 8(t) которой задается формулой (1.3.5). Если градиент влажности представим в виде (1.3.10), то S(t) определяется по формуле (1.3.15), если же соблюдено (1.3.16), то справедливо представление (1.3.17), которое при є = а совпадает с (1.3.18).
Математическая модель запаса почвенной влаги, основанная на линеаризованном уравнении Ричардса
Значительный интерес представляет разработка математических моделей, учитывающих влияние фрактальной структуры почвы на их водный и солевой режимы. На важность установления функциональной связи между водным и солевым режимами почв в процессе совместного движения воды и солей при полном насыщении почвогрунтов с растворимыми солями обратили внимание многие исследователи [1], [2], [15].
В качестве уравнения одномерного движения солей рассматривалось дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа ди _ д2и ди ,, . ,п л л. где и = u(x,t) - концентрация c(x,t) [г/л] почвенного раствора в точке х почвенного слоя 0 х г мощности г в момент времени t 0 [сут]; х - расстояние [м] от поверхности; а = co/mi - фактическая скорость движения воды в порах грунта; со - постоянная скорость фильтрации [м/сут]; mi - порозность; ит - предельная концентрация насыщения; Ь - коэффициент растворимости [1/сут]; Дь - коэффициент конвективной (фильтрационной) диффузии [м2/сут].
Уравнение (2.1.1) предполагает линейное движение солей и воды вдоль оси абсцисс х и независимость интенсивности растворения содер -56 жащихся в твердой фазе почвы солей от их объема и поверхности. Из этого уравнения следует, что изменение во времени концентрации солей в любой точке х равно поступлению солей в результате разности концентрации почвенного раствора, переноса солей движущейся водой и вследствие растворения твердой фазы солей и поступления их в раствор. При малых значениях коэффициента растворимости, когда рассматриваются хорошо растворимые соли и малое их содержание в твердой фазе, в уравнении (2.1.1) можно пренебречь числом Ь(ит — и) или заменить его выражением
Известно, что почвенный раствор представляет собой структурированное коллоидное образование. В настоящее время разработаны методы, позволяющие наблюдать коллоидные структуры непосредственно в почвах, получить информацию о фрактальной размерности почв [19].
Уравнение движения (2.1.1) не учитывает, что почвогрунт, как правило, имеет фрактальную структуру [22]. Учет этого фактора принципиально меняет уравнение движения солей, превращая его в дифференциальное уравнение движения солей дробного порядка следующего вида:
Как установлено в [21], "почвенные коллоидные структуры чаще всего представляют собой массовые фракталы", показатель Порода, т.е. число х в соотношении lg J(k) —nigh, характеризующем зависимость интенсивности рассеяния нейтронов J (к) от передаваемого импульса к при реализации метода малоуглового рассеяния нейтронов для нахождения фрактальной размерности объектов. Для массовых фракталов число я совпадает со значением фрактальной размерности fi = D.
Поскольку фрактальная размерность почв дает интегральную характеристику их коллоидной структуры, то в первом приближении можно положить, что а как показатель порядка уравнения (2.1.3) пропорционален или совпадает с фрактальной размерностью D.
Анализ данных фрактальных размерностей зональных почв, полученных в работе [21] методом малоуглового рассеяния нейтронов, показывает, что D удовлетворяет неравенству 2.4 D 3.22.
Основная цель этого параграфа - качественный анализ уравнения в частных производных дробного порядка а как математической модели движения солей для всех а Є]п — 1, n], п = 1,2,..., сделав особый акцент на случае, когда 2.4 а 3.22.
При хорошо растворимых солях и малом их содержании в твердой фазе уравнения (2.1.1) и (2.1.3) можно заменить следующими уравнени -58 ями: ди д2и ди . m=Dkw-aTx (2-L4) = DfdSAU)-a . (2.L5) В дальнейшем будем предполагать, что реализована процедура обез-размеривания зависимых и независимых переменных, а также всех параметров исследуемых задач. Предполагается также известным распределение концентрации почвенного раствора в начальный момент времени t = 0: и{х,0) = т(х), 0 х г, (2.1.6) и начальная эпюра солесодержания такова, что т{х) Є С[0, г] П С2]0, г[ в случае уравнения (2.1.4) и т(х) Є С"]0,г[, т п\х) 6 L[0,r] в случае уравнения (2.1.5).
Наряду с условием Копій в задачах оптимального управления вод-носолевыми режимами важную роль играет нелокальное условие вида В области Q уравнение (2.1.4) является уравнением в частных производных второго порядка параболического типа. Уравнение (2.1.5) относится к классу нагруженных уравнений с частными производными дробного порядка а по пространственной переменной х.
Функция 5 = 5(t) означает "математическое ожидание" содержания почвенного раствора (солей) в слое мощности г. Предполагается, что функция S(t) принадлежит классу С1 [О, Т] функций, непрерывно дифференцируемых на временном сегменте [О, Т].
В классе достаточно гладких решений и = u(x,t) из уравнения (2.1.3) в силу (2.1.7) получаем
Исследование начально-краевых задач для уравнения (2.1.19) проводится по указанным ранее схемам, выражая функцию w = Djux через S {t) + bS(t). В случае, когда задано нелокальное краевое условие S(t) = rexp(-bt), 0 t T, функция 8(t) удовлетворяет уравнению показательного роста 6 {t) + b5{t) = 0. Поэтому, при соблюдении этого краевого условия уравнение (2.1.19) переходит в уравнение которое относится к типу уравнений, исследуемых в следующей третьей главе.
Установившийся модельный вариант распределения солей в почвенном слое
Как замечено в работе [21], "в целом ряде случаев значение фрактальной размерности достигает 3, что является предельной величиной для фрактальных объектов" и "такое значение может характеризовать переход от массовых к поверхностным фракталам" [5]. Величина 3 является предельной и для уравнений (2.2.2) и (2.2.4). При а = 3 эти уравнения записываются следующим образом:
Уравнение (2.2.23) было объектом исследования работы [24], и его решение v(х), удовлетворяющее условию (2.2.24), можно выписать в явном виде через функцию типа Миттаг-Леффлера.
Действительно, поскольку порядок а — 1 дифференциального уравнения (2.2.23) удовлетворяет неравенству т — 1 а — 1 т, то (см. [18, с.601]) функция v(x) представима формулой где ОД задается формулой (2.1.7) и означает среднее солесодержание в почвенном слое мощности г, a ip(t) - заданная достаточно гладкая функция времени t Є [0, Г].
Пусть б 2 [0, г] - класс всех функций и = и(х, t), принадлежащих для любого t [0, Т] пространству L[0, г] по пространственной переменной х вместе со своими производными до второго порядка. Тогда действие оператора д$х на функцию и(х, t) при 1 а 2 определяется, как и ранее, следующим образом отлично от нуля при а 0. При а = 0 оно равно г +1/Г(3 + /3). Согласно (2.1.6),(2.1.7) условие Копій для уравнения (2.3.9) задается равенством 8(0) =г, (2.3.10) где среднее значение концентрации почвенного раствора определяется формулой т = - / r(x)dx. о С учетом (2.3.10) из (2.3.9) получаем i(i) = rexpQ«), ,? ( ) = ї ехр git). (2.3.11) найденное значение () из (2.3.11) в равенство (2.3.8), приходим к эффективной хорошо реализуемой на компьютере формуле, определяющей распределение солей в почвенном слое мощности г
Таким образом, доказано, что единственное решение и(х, t) уравнения солепереноса (2.3.1), удовлетворяющее начальному условию (2.3.10) и краевым условиям (2.3.2) и (2.3.17), определяется формулами (2.3.21), (2.3.23).
Допустим, что в течение ряда лет в естественных или длительного орошения условиях наблюдается устойчивое засоление почв. Пусть на поверхность почвы ежегодно поступает слой воды 52 (м) с минерализацией U2 = ri2 и испаряется слой воды Si (м) с нулевой минерализацией.
Через V2 и v\ обозначим среднегодовые интенсивность (скорость в м/сут) поступления и расходования воды. Предположим, что минерализация почвенного раствора на глубине г известна и равна щ. При этих допущениях в уравнениях (2.1.4) и (2.1.5) для концентрации u = u(x,t) можно принять ди vi- v2 — = 0, о = , ot т где т - скважная, или средняя объемная влажность, и рассмотреть стационарную модель солепереноса (см.2.2). Примем а 0. Это означает, что v\ щ, то есть имеет место подпитывание почвенного слоя грунтовыми водами. Тогда уравнения (2.1.4) и (2.1.5) примут вид:
Пусть а ~ произвольным образом фиксированное число из полусегмента п — 1 < а < п, п = 1,2,...; Dftx - как и ранее, оператор дробного интегрирования порядка — її при ju<0 и дифференцирования порядка \i при fi > 0 с началом в точке 0 и с концом в точке х > 0 [8, с.9], [18]. 5п[0,г] - класс всех функций и = и{х), принадлежащих пространству L[0, г] (функций, измеримых на сегменте 0 < х < г, для которых существует конечный интеграл Лебега) вместе со своими производными dn до п-го порядка; д%х = DQX п~т^~ регуляризованный оператор дробного дифференцирования порядка а, область определения которого принадлежит Sn[0,r]. Непосредственным обобщением уравнения Ричардса
Рассмотрим неоднородное обобщенное дробное осцилляционное уравнение LQw = doxu(t) + шаи(х) = f(x), 0 < х < г, ш- const > 0, (3.2.1) которое является модельным и важным вариантом уравнения (3.1.5). Через ЛС[0,г] обозначим класс всех абсолютно непрерывных на сегменте [0, г] функций, а через АСп[0,г] - класс всех функций и(х), непрерывно дифференцируемых на [0, г] до порядка п — 1, причем u(n-V(x)GAC[0,r]. Решение и(х) уравнения (3.2.1) назовем регулярным, если оно принадлежит АСп[0, г] [8, с.242]. Нетрудно доказать справедливость следующей леммы. Лемма 1. Пусть DQ~Q/() Є C]0,r], и(х) - регулярное решение уравнения (3.2.1) и DQ~au(t) Є Є С]0,г], тогда и(х) будет принадлежать классу Сп]0, г] функций, непрерывно дифференцируемых на полусегменте О < х < г до порядка п. Действительно, пусть и(х) - регулярное решение уравнения (3.2.1). К обеим частям равенства (3.2.1) применим оператор DQ~U . Поскольку абсолютно непрерывная функция и^п~^(х) имеет почти всюду суммируемую производную, то и^п\х) Є L[0,r], и для почти всех х Є [0, г]
Задача Коши для обобщенного осцилляционного уравнения
Пусть а произвольным образом фиксированное число из полусегмента п — 1 а п, п = 1,2,...; Dftx - как и ранее, оператор дробного интегрирования порядка — її при ju 0 и дифференцирования порядка \i при fi 0 с началом в точке 0 и с концом в точке х 0 [8, с.9], [18]. 5п[0,г] - класс всех функций и = и{х), принадлежащих пространству L[0, г] (функций, измеримых на сегменте 0 х г, для которых существует конечный интеграл Лебега) вместе со своими производными dn до п-го порядка; д%х = DQX п т регуляризованный оператор дробного дифференцирования порядка а, область определения которого принадлежит Sn[0,r]. Непосредственным обобщением уравнения Ричардса
Рассмотрим неоднородное обобщенное дробное осцилляционное уравнение LQw = doxu(t) + шаи(х) = f(x), 0 х г, ш- const 0, (3.2.1) которое является модельным и важным вариантом уравнения (3.1.5). Через ЛС[0,г] обозначим класс всех абсолютно непрерывных на сегменте [0, г] функций, а через АСп[0,г] - класс всех функций и(х), непрерывно дифференцируемых на [0, г] до порядка п — 1, причем u(n-V(x)GAC[0,r].
Решение и(х) уравнения (3.2.1) назовем регулярным, если оно принадлежит АСп[0, г] [8, с.242]. Нетрудно доказать справедливость следующей леммы. Лемма 1. Пусть DQ Q/() Є C]0,r], и(х) - регулярное решение уравнения (3.2.1) и DQ au(t) Є Є С]0,г], тогда и(х) будет принадлежать классу Сп]0, г] функций, непрерывно дифференцируемых на полусегменте О х г до порядка п. Действительно, пусть и(х) - регулярное решение уравнения (3.2.1). К обеим частям равенства (3.2.1) применим оператор DQ U . Поскольку абсолютно непрерывная функция и п (х) имеет почти всюду суммируемую производную, то и п\х) Є L[0,r], и для почти всех х Є [0, г]
В самом деле, из условия существования производной порядка п — а от функции f(x) и решения и(х) уравнения (3.2.3), которые принадлежат L[0,r], следует, что v№(x) Є L[0,r]. Условия (3.2.4) и (3.2.5) гарантируют почти всюду на [0, г] равенства [3, с.571):
К левой и правой частям равенства (3.2.3) применим оператор DQ U дробного интегрирования порядка п - а, а затем воспользуемся формулой (3.2.6). В результате получим равенство (3.2.1).
Лемма 3. Пусть f{x) Є C[0,r], D af(t) Є L[Q,r]. Тогда любое регулярное решение и(х) 2 соблюдены. Принимая это во внима -86 ние, легко увидеть, что доказательство леммы 3 по существу содержится уравнения (3.2.1) представляет собой решение следующей системы нагруженных уравнений: Функция /(ж) и решение и(ж) непрерывны на сегменте [0, г]. Поэтому условия (3.2.4) и (3.2.5) леммы в монографии [8, с. 243-245].
Тогда однородные уравнения, соответствующие уравнениям (3.3.5), имеют п — р независимых решений относительно Ci,C2, ..;Сп, которым соответствуют п независимых решений однородной краевой задачи B„(y) = 0, / = 1,2,...,п, (3.3.6) для уравнения (3.2.16). В силу теоремы Кронекера-Капелли система (3.3.5) совместна тогда и только тогда, когда р = ranga"J, (р"\\, то есть р равен рангу расширенной матрицы; система (3.3.5) тогда и только тогда имеет единственное решение, когда rangH=rangKVll=rc. (3.3.7)
Следовательно, нелокальная краевая задача (3.3.3) для уравнения (3.2.16) имеет, и притом единственное решение, тогда и только тогда, когда соблюдено условие (3.3.7). Особо рассмотрим уравнение (3.2.16) при п = 2, то есть при 1 а 2. Условия (3.3.3) при п = 2 имеют вид
Вывод базовых уравнений движения почвенной влаги и описание сопутствующих им начально-краевых условий.
Математическая модель влагосодержания почвенного слоя, содержащего фрактальные коллоидные структуры, и эффективные формулы для вычисления влагосодержания слоя, а также суммарной инфильтрации, существенно обобщающая формулу Филипа.
Исследование на разрешимость и чувствительность математической модели влагосодержания почвенного слоя, основанной на уравнении Аллера и теорема об единственном и устойчивом решении задачи Коши.
Математическая модель движения влаги с заданной разностью значений градиента влажности на границах почвенного слоя и теорема об алгоритме её разрешимости.
Математическая модель запаса почвенной влаги, основанная на линеаризованном уравнении Ричардса смешанного эллиптико-гипербо-лического типа, и конструктивная формула для его вычисления, содержащая функции Эйри первого и второго рода.
