Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум Дерябин Сергей Львович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Одномерное истечение газа в вакуум 30

1. Разлет газового шара или цилиндра 30

2. Одномерное истечение в вакуум нормального газа 51

3. Одномерное истечение газа в вакуум в условиях самогравитации 63

Глава II. Многомерное истечение газа в вакуум 79

4. Трехмерное истечение газа в вакуум из состояния покоя 79

5. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа 95

6. Эволюция закрученных газовых объемов, примыкающих к вакууму. 115

7. Истечение газа в вакуум в случае линейчатой свободной поверхности 133

8. Трехмерное истечение газа в вакуум в условиях действия внешних массовых сил 152

Глава III. Течения газа с особенностями на границах волны разрежения 162

9. Истечение газа в вакуум с косой стенки 162

10. Истечение газа в вакуум при последовательном убирании двух стенок 179

11. Истечение газа в вакуум из конуса 199

Заключение 216

Список литературы

• Одномерное истечение в вакуум нормального газа
• Одномерное истечение газа в вакуум в условиях самогравитации
• Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа
• Истечение газа в вакуум при последовательном убирании двух стенок

Введение к работе

Диссертация 1 посвящена разработке аналитических методов математического моделирования истечения идеального газа в вакуум. Исследуются основные конфигурации одномерных и многомерных течений, возникающие при истечении в вакуум политроппого газа, а также газа с другими уравнениями состояния. В частности, моделируется эволюция примыкающих к вакууму течений газа, которые испытывают воздействие внешних массовых сил или гравитируют по Ньютону. Кроме этого рассматриваются смежные проблемы, связанные с появлением в исследуемых течениях бесконечных градиентов.

Значительная часть физических процессов и явлений, происходящих в сплошных средах, описывается с помощью систем дифференциальных или интегродифферепциальпых уравнений с частными производными. Такие уравнения - это сложный математический объект исследования, особенно если они нелинейные или имеют особенности. Построение и исследование решений нелинейных уравнений с частными производными в настоящее время ведется с помощью двух подходов: аналитического и численного.

Численные методы решения развиваются очень активно, что в первую очередь связано с наличием мощных процессоров. Однако для многих нелинейных задач, решения которых обладают различными особенностями (большие градиенты, малые или очень большие значения плотности, состыковка областей с принципиально различными значениями параметров потока, наличие особых точек на границах областей существования решений и т.д.), применение численных методов зачастую не дает надежных результатов.

Исследование нелинейных задач с помощью аналитических методов имеет свои принципиальные трудности, в основе которых лежат все тс же особенности решений нелинейных задач. Эти затруднения связаны во многих случаях с отсутствием строго доказанных фактов о существовании решений и знаний об их свойствах. Очень осложняет положение большой объем выкладок и построений, необходимых для практического применения аналитических подходов. К тому же, не очень велик и сам набор эффективных аналитических методов исследования нелинейных задач: метод дифференциальных связей [158]; групповой анализ нелинейных уравнений с частными производными [131]; представление решений в виде рядов [35, 156]; различные асимптотические разложения и некоторые другие аналитические подходы.

В данной диссертации математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум проводится с помощью аналитического исследования решений нелинейных начально-краевых задач, в том числе с использованием различных сходящихся рядов Одним из самых важных результатов аналитических исследований служит установление и выявление физических и газодинамических эффектов, которые трудно (а порой и невозможно) предсказать с помощью численных расчетов. Это, в свою очередь, позволяет строить вычислительные процедуры, учитывающие особенности решений конкретных математических моделей. Яркий пример подобных вычислительных процедур - это разностная схема С.К. Годунова [73] и ее модификации, построенные па базе точного решения задачи о распаде разрыва уже почти полвека используемые при численном решении задач газовой динамики.

Начальным этапом математического моделирования был и остается выбор математической модели. В настоящей диссертации исследуется система уравнений газовой динамики, являющаяся системой гиперболического типа. Поскольку в работе исследуются газовые течения либо без ударных волн, либо до момента их возникновения, то основным элементом при построении сложных конфигураций течений служат характеристические поверхности -поверхности слабых разрывов. У системы уравнений газовой динамики имеются две звуковые характеристики, каждая кратности один, а также контактные характеристики, которые в зависимости от размерности задачи имеют кратность от нуля до трех. При учете более сложных физических эффектов математическая модель, то есть система уравнений газовой динамики, усложняется. В частности, при учете сил гравитации по Ньютону приходится рассматривать интегро-дифференциальную систему, у которой подынтегральная функция имеет известную особенность.

Среди всех краевых задач для нелинейных систем уравнений с частными производными особое место занимают задачи со свободными границами. На таких границах заданы значения некоторых искомых функций (как правило, давление), но положение самих границ и законы их движения заранее не известны, и они - искомые элементы в соответствующих начально-краевых задачах. К таким задачам со свободными границами и относятся задачи об истечении газа в вакуум, рассматриваемые в настоящей диссертации.

Сформулируем две основные задачи, исследуемые в диссертации:

1). Задача о распаде специального разрыва, при котором возникает истечение газа в вакуум;

2). Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму.

Постановки этих задач следующие.

Задача о распаде специального разрыва. Пусть в момент времени t = Ц поверхность Г, проходящая через точку ур = {х\,х\,х\}, отделяет находящийся по одну сторону от Г идеальный газ от вакуума (рис. 01). В этот момент времени і = to известны распределения параметров газа: р = ро{х) - плотность газа; V = Vo(x) - вектор скорости газа; S = SQ(X) - энтро пия. Предполагается, что плотность газа ро(х) всюду больше нуля, в том числе /?о(х)г 0. В момент времени t = to начинается движение газа, определяемое заданными при t = t$ распределениями ро, Vo, SQ, которое в дальнейшем называется фоновым течением. В частности, фоновое течение может быть однородным покоем. В тот же начальный момент времени і = ц помимо начала движения фонового течения поверхность Г мгновенно разрушается и начинается истечение части газа в вакуум. Возмущения, возникшие в результате мгновенного разрушения поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Гі, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны волна разрежения примыкает к вакууму: /?0(х)г0 = 0, где Го - заранее неизвестная свободная поверхность, являющаяся границей, разделяющей волну разрежения и вакуум (рис. 02).

В задаче о распаде специального разрыва требуется построить фоновое течение и волну разрежения, а также найти законы движения Гі и Го Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму. Пусть в некоторый момент времени t to по одну сторону от заданной поверхности Г известны параметры газа p\t=to = А (х); Vt=fo = V0(x); S\t=to = 50(х), а по другую сторону от Г - вакуум, причем ро(х)г = 0 (рис. 03).

В задаче о непрерывном примыкании газа к вакууму требуется при t to определить закон движения самой свободной поверхности Го и построить течение в ее окрестности.

Если начальные распределения параметров газа ро(х), Vo(x), So(x) и поверхность Г задаются функциями, аналитическими в окрестности точки х° = { і,Ж2,Жз}, то в решении задач свободная поверхность Г0 (хотя бы некоторое время) будет гладкой. Такая задача называется квазиодномерной, поскольку какое-то время основные свойства течений будут близки к свойствам одномерных течений, примыкающих к вакууму.

Другой случай в задаче о распаде специального разрыва - задача с угловой точкой на свободной поверхности - можно получить двумя способами.

Во-первых, начальные распределения газодинамических параметров могут быть аналитическими функциями, но точка х° при этом является угловой точкой исходной поверхности Г (рис. 04), то есть начальная поверхность Г состоит из двух или из большего числа разных частей.

Вторая возможность появления угловой точки на Го : исходная поверхность Г задается одной аналитической функцией, но начальные распределения газодинамических параметров или их производные терпят разрыв (например плотность газа (рис. 05)).

Сложность исследованию задачи о распаде специального разрыва придают следующие обстоятельства:

- необходимо с помощью задания специальных граничных условий описать особенность решения, которая имеет место в момент мгновенного убирания стенки Г, то есть в момент времени t = to (в момент распада разрыва);

- при описании примыкания волны разрежения к фоновому течению возникает характеристическая задача Коши, когда начальные данные задаются на характеристической поверхности, и следовательно, определитель матрицы перед вектором выводящих с этой поверхности производных равен нулю;

- необходимость построения нелокального решения начально-краевой задачи в том числе для того, чтобы определить закон движения свободной поверхности и найти значения параметров газа во всей области течения от Гі до Г0.

В задаче о непрерывном примыкании газа к вакууму сложности следующие:

- начальные данные задаются на характеристике кратности, равной числу уравнений в системе уравнений газовой динамики;

- в течении возникают бесконечные производные от газодинамических параметров, поскольку градиентная катастрофа имеет место не только в волнах сжатия, но также и в рассматриваемых волнах разрежения.

Все указанные обстоятельства существенно осложняют описание течений численными методами особенно в начальные моменты времени после распада разрыва, а также в непосредственной окрестности границы "газ-вакуум".

Работы предшественников.

Математическому описанию движения сплошной среды, в той или иной мере связанному с моделированием истечения газа в вакуум, посвящен ряд работ. Эти работы (может быть несколько условно) можно разбить на две части. В первой - исследуются общие свойства используемых математических моделей. Вторая группа работ, посвящена приложениям.

Для работ из первой части выделены следующие разделы: гиперболические уравнения и системы; характеристическая задача Коши; транспортные уравнения и градиентная катастрофа; вырожденные замены переменных.

Во второй части обсуждаются результаты, полученные но следующим направлениям: течения со свободной границей, в том числе формирующиеся под действием массовых сил; задача о распаде разрыва; задача об истечении газа в вакуум.

Гиперболические уравнения и системы

Теоремы существования и единственности решений у различных начально-краевых задач для линейных и нелинейных гиперболических систем уравнений приведены во многих учебниках по теории уравнений с частными производными и по газовой динамике [120,121,125,132,134,136,172,175]. Теорема Ковалевской (ее доказательство изложено в [120,134]) применима к системам гиперболического типа, поскольку те заведомо являются системами типа Ковалевской: при записи системы в нормальном виде в правой части не возникают производные более высокого порядка, чем производные в левой части.

Характеристическая задача Коши

Такая задача возникает, когда, во-первых, ставится задача Коши, то есть на конкретной поверхности задаются начальные данные для всех искомых функций. Во-вторых, по заданным начальным данным из системы дифференциальных уравнений невозможно определить выводящие с несущей начальные данные поверхности производные всех искомых функций. Эта ситуация возникает, когда обращается в нуль определитель матрицы, которая стоит перед вектором выводящих производных.

В случае линейных гиперболических систем В.М. Бабич [15, 16], Д. Людвиг [184], Р. Курант [120] разработали метод представления решений в виде обобщенной бегущей волны - бесконечного ряда по специальным системам функций, зависящим от tp, где if = 0 - это уравнение характеристической поверхности исходной линейной гиперболической системы. Фактически этот метод есть постановка характеристической задачи Коши для линейной задачи и представление ее решения в виде специальных рядов. При соответствующей замене независимых переменных эти ряды становятся обычными рядами Тейлора, коэффициенты которых последовательно определяются из рекуррентных соотношений. Часть из этих соотношений являются алгебраическими, часть - обыкновенными дифференциальными уравнениями. В случае аналитичности входных данных задачи В.М. Бабич [16] и Д. Людвиг [184] доказали сходимость этих рядов в малом. Д. Людвиг свел вопрос о сходимости обобщенной бегущей волны к вопросу о существовании аналитического решения у линейной характеристической задачи Коши, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке. Для этого случая Дж. Дафф [179] и Д. Людвиг [184] доказали соответствующие аналоги теоремы Ковалевской.

В нелинейном случае для системы уравнений газовой динамики постановки конкретных характеристических задач Коши в случае, когда данные на характеристике взяты из однородного покоя или однородного движения с постоянной скоростью, были впервые рассмотрены в работе А.А. Дородницына [93] и в работе Л.В. Овсянникова [12G]. В этих работах А.А. Дородницыным и Л.В. Овсянниковым построены представления решений соответствующих задач виде степенных рядов с рекуррентно определяемыми коэффициентами и доказана их сходимость. Однако с точки зрения теории уравнений с частными производными это две принципиально разные характеристические задачи Коши.

В работе А.А. Дородницына [93] для описания сверхзвуковых двумер пых стационарных течений решение поставленной характеристической задачи Коши построено в случае, когда у части бесконечных рядов коэффициенты определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. И поэтому решение такой характеристической задачи Коши обладало дополнительным произволом.

В работе Л.В. Овсянникова [126] доказана сходимость ряда, описывающего стационарное осесимметричное течение Мейера в окрестности оси симметрии, на которой система уравнений имеет известную особенность: 1/г. В этом случае коэффициенты ряда определялись из разрешенной в явном виде системы линейных алгебраических уравнений и поэтому дополнительного произвола в решении данной характеристической задачи Коши нет.

Позже работы А.А. Дородницына [93], в которой коэффициенты рядов определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, в работе Е.Н. Зубова и А.Ф. Сидорова [101], а также в работах А.Ф. Сидорова [147 - 149] в пространстве годографа в виде формальных степенных рядов (в последующем названных авторами характеристическими рядами) построены потенциальные дву- и трехмерные нестационарные течения в задачах о плавном вдвижении поршня в покоящийся однородный газ и об обтекании тел сверхзвуковым однородным потоком газа. При этом коэффициенты рекурреитно определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Сходимость построенных формальных рядов в работах Е.Н. Зубова, А.Ф. Сидорова не была доказана. Как и обобщенная бегущая волна, так и характиристические ряды являются решениями соответствующих характеристических задач Коши, которые при стандартной замене переменных становятся обычными рядами Тейлора с рекурреитно определяемыми коэффициентами. Сходимость рядов из работ [101, 147 - 149), а также рядов, решающих характеристическую задачу Коши стандартного вида в общем случае квазилинейной аналитической системы, была доказана СП. Баутиным [17, 21, 22]. В последующем методика решения различных характеристических задач Коши, возникающих в задачах газовой динамики, была применена в работах А.Ф. Сидорова [72, 150, 151, 156, 180], СП. Баутина [18 - 20, 22 - 27, 29-44, 47-65], И.А. Башкирцевой [66, 67], И.Б. Гаврилушкина [72], С.Л. Дерябина [49 - 54, 74 - 92], А.Л. Казакова [55 - 57, 104, 105], М.Ю. Козманова [107, 108], З.Л. Ольхи [133,188], А.В. Рощупкина [58,137] Л.И. Рубиной [141], СС Титова [168, 170], Ю.Ю. Чернышева [59 - 62, 174], Н.П. Чуева [176], С.А. Ягупова [63 - 65, 177, 178]. Заметим, что указанный подход успешно применен не только для случая гиперболической системы уравнений газовой динамики, но так же и для описания течений как теплопроводного невязкого [42 - 44, 59 - 62, 174], так и теплопроводного вязкого газа [30 - 34]. Представление решений нелинейных уравнений с частными производными в случаях, когда одна из рассматриваемых задач фактически является характеристической задачей Коши с дополнительным произволом в решении, имеются в работах В.А. Куликовского [119] и В.М. Тешукова [162, 164 - 166].

Характеристическая задача Коши, близкая к рассмотренной в работе Л.В. Овсянникова [126] с точки зрения отсутствия дополнительного произвола в решении, а также близкая по методике доказательства сходимости рядов, решающих эти задачи, возникает при описании тепловых волн, распространяющихся по холодному фону (см. [46]). Применение методологии характеристических рядов к построению тепловых волн было предложено А.Ф. Сидоровым в [152], в которой для нелинейного уравнения теплопроводности в одномерном плоскосимметричном случае доказано существование и единственность аналитического решения при задании закона движения фронта тепловой волны в виде многочлена от і или от ехр(—/tf), к = const 0. В работе СП. Баутина [28] при заданной произвольной аналитической функции a(i), определяющей фронт движения тепловой волны, доказано существование и единственность аналитического решения у нелинейного уравнения теплопроводности, а также приведено обобщение данного результата как на многомерный случай, так и на другие уравнения параболического типа. В работе А.Ф. Сидорова [153] сформулирована теорема о существовании тепловой волны при заданном специальном краевом режиме, однако эта теорема осталась недоказанной (см. [156]). В работах СП. Баутина [45, 46] доказано существование и единственность аналитического решения у нелинейного уравнения теплопроводности (в том числе многомерного) при заданном произвольном аналитическом краевом режиме с отличной от нуля в момент t = 0 производной по времени. Построение тепловых волн в течениях теплопроводного вязкого газа приведено в работе СП. Баутина [33].

Транспортные уравнения и градиентная катастрофа

Решения нелинейных систем уравнений с частными производными имеют некоторые свойства, принципиально отличающиеся от свойств решений линейных систем уравнений с частными производными. Одним из таких свойств решений нелинейных гиперболических уравнений является градиентная катастрофа: в некоторый конечный момент времени частные производные искомых функций неограниченно растут, хотя сами искомые функции при этом остаются ограниченными. Наиболее содержательные и физически осмысленные примеры градиентных катастроф имеются в газовой динамике: градиентная катастрофа обязательно возникает в волнах сжатия, но так же она может возникнуть из-за других внешних причин, в частности, геометрических. Например, когда к центру или к оси симметрии движется вся волна разрежения, включая свободную границу. Градиентная катастрофа так же происходит в момент прихода в точку г = О слабого разрыва, отделяющего однородный покой от волны разрежения, распространяющейся в этом случае вместе со свободной поверхностью в сторону увеличения г. Работа Б. Римапа [135, 190], а также работы А. Гюгонио [183] и О. Рэлея [189] положили начало аналитическим исследованиям свойств решений уравнений газовой динамики, в том числе по описанию явления градиентной катастрофы. В частности, в простой центрированной волне Римапа точно определяется время и место градиентной катастрофы [132, 136, 159]. Однако для определения момента возникновения градиентной катастрофы можно не строить полностью какое-либо решение системы уравнений газовой динамики. Для этого бывает достаточно знать значения первых производных, выводящих с какой-либо звуковой характеристики, разделяющей искомое и заданное течения. Уравнения, описывающие поведение таких производных, называются транспортными.

Имеется достаточно много работ, посвященных получению транспортных уравнений и исследованию их свойств. В книге Р. Куранта [120] для случая линейных гиперболических систем получено транспортное уравнение и указано на возможность получения подобного уравнения для квазилинейной системы. В случае квазилинейной системы двух уравнений с двумя независимыми переменными в работе И. Нитше [187] получено транспортное уравнение и исследованы свойства его решений. В работах А. Джеффри [181, 182] для квазилинейной системы произвольного порядка со многими независимыми переменными получено транспортное уравнение и для случая одномерных течений приведены формулы, определяющие время и место возникновения градиентной катастрофы. В работе А.Н. Крайко [ill] результаты из [181] обобщены на случай одномерных нестационарных неравновестных течений газа. А.Ф. Сидоровым в случае двумерных [144] и трехмерных [145, 146] течений политрошюго газа, непрерывно примыкающих к однородному покою, выписаны транспортные уравнения и найдены их решения. В работе СП. Ба-утина [38] транспортные уравнения и их решения для системы уравнений газовой динамики в цилиндрически- и сферически- симметричном случаях получены при построении первых коэффициентов рядов, решающих характеристические задачи Коши, с помощью которых описываются течения газа при движении одномерных непроницаемых поршней.

В работах Л.И. Рубиной [138, 139] для системы уравнений магнитной газовой динамики, а также для произвольной квазилинейной гиперболической системы со многими независимыми переменными (в случае характеристической поверхности постоянной кратности больше единицы) получены и проинтегрированы системы транспортных уравнений. Тем самым Л.И. Рубина получила универсальные законы распространения слабых разрывов по однородному фону. В работе [140] Л.И. Рубина также исследовала поведение слабых разрывов, распространяющихся по областям центрированных волн Римана и Прандтля-Майера.

В работах СП. Баутина [42, 43] рассмотрены транспортные уравнения и их решения, описывающие явление градиентной катастрофы на звуковых и контактных характеристиках в течениях теплопроводного невязкого газа, а также на контактной характеристике в случае теплопроводного вязкого газа [30].

Впервые системы транспортных уравнений, которые в одномерном случае описывают поведение производных, выводящих со свободной поверхности, разделяющей газ и вакуум, выписаны и проанализированы в работе Я.М. Каждана [102] и в его совместных с Ю.В. Житниковым работах [94, 95]. В работах [24 - 26] СП. Баутиным получена аналогичная система транспортных уравнений в одномерном и в двумерном случаях и сведена к одному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка. При численных расчетах этого уравнения показано, что при определенных значениях входных параметров задачи градиентная катастрофа наступает в момент фокусировки свободной поверхности в центр симметрии, а в других случаях бесконечные значения производных возникают на свободной поверхности еще до момента ее фокусировки. С.Л. Дерябиным в работах [74 - 79, 82, 88] получены и исследованы транспортные уравнения при трехмерном истечения газа в вакуум, в том числе в условиях действия внешних массовых сил, а работах СЛ. Дерябина [82], С.Л. Дерябина и Н.П.Чуева [91] — для случая одномерных течений и в условиях самогравитации. В работе С.С Титова [169] в виде сходящихся рядов с особенностями построены решения системы транспортных уравнений на свободной границе в случае разлета в вакуум газового шара.

Вырожденные замены переменных

При исследовании решений нелинейных систем уравнений с частными производными, включая систему уравнений газовой динамики, часто используются вырожденные замены переменных: при переходе от исходных независимых переменных, обозначенных как х, к новым независимым переменным у, якобиан преобразования на одной из новых координатных плоскостей (например, у\ = 0) равен пулю

J =

Д(х)

1/1=0

= 0.

Одна из простейших вырожденных замен такая:

У\ = ех\ У2 = х2] J

Омі USL

дх\ дх2

ду2 др

дх\ 0X2

Vi о 0 = У\ В этом случае соответствующая новая координатная плоскость становит ся характеристической поверхностью, поскольку справедливо равенство _д__ _д_ дх\ дух и на поверхности у\ = 0 зануляется коэффициент перед производной по Уі. И тогда, в частности, становится возможным применение методики построения решения характеристической задачи Коши с соответствующим дополнительным произволом. Кроме этого, в газовой динамике построение автомодельных решений, включая центрированные волны Римана и Прандт-ля-Майера, фактически является использованием специальных конкретных вырожденных замен переменных. Одной из целей использования вырожденных замен переменных является раскрытие особенностей у цилиндрически-и сферически-симметричных течений в окрестности точки г — 0, что достаточно хорошо разработано в случае обыкновенных дифференциальных уравнений [106].

Таким образом, несмотря на некоторое математическое единство идеи использования вырожденных замен переменных, цели их введения могут разными: 1) получение характеристической задачи Коши; 2) избавление от особенности в исходной системе уравнений; 3) то же самое по отношению к начальным или граничным условиям; 4) внесение конкретных особенностей в искомое решение и расширение тем самым класса используемых функций.

При первом подходе возможно существенное увеличение произвола в решении. Это позволяет получить больший класс частных решений или удовлетворить большему числу краевых условий, что повышает область применимости математической модели. В работах О.В. Коковихиной и А,Ф. Сидорова [109]; Л.Г. Корзупина и М.Ю. Филимонова [110]; А.Ф. Сидорова, Л.Г. Кор-зунина и М.Ю. Филимонова [180]; С.С. Титова [167, 168, 170] решения различных нелинейных задач, включая газодинамические, строились в виде рядов по специально подобранным базисным функциям. Основное достоинство этих рядов — дополнительный произвол, возможно позволивший бы удовлетворить дополнительному краевому условию. Заметим, что использование произвола в построенных решениях для точного удовлетворения произвольным заданным краевым условиям в настоящее время остается нерешенной проблемой. Фактически, в основе специальных рядов, использованных в перечисленных работах, лежит вырожденная замена переменных, что показано в работах СП. Баутина [30 - 34]. К этому подходу также близка и идея введения дополнительной независимой неременной тина у = \пх, использованная в работах СП. Баутина, С.С. Титова (см., напр., [23], [171]).

При реализации второй из целей введения вырожденных замен переменных - раскрытие особенности типа 1/г в исходной системе уравнений -наиболее часто используется введение автомодельных переменных. С точ ки зрения математического формализма вначале делается замена переменных = rfta, г = t, а затем полагается д/дт = 0. Такой подход убирает особенность типа 1/г из одномерных уравнений газовой динамики [131] и существенно упрощает задачу. Анализ размерностей во многих случаях определяет значение константы а и позволяет получить решения ряда важных одномерных задач [142], например, задачи о сильном точечном взрыве. Применению автомодельных решений в задачах газовой динамики, помимо упомянутой книги Л.И. Седова [142], посвящено много работ. Это труды: К.В. Брушлинского и Я.М. Каждана [71]; И.Е. Забабахина и В.А. Симоненко [97]; Я.М. Каждана [103]. Более сложная, но и более содержательная ситуация возникает при введении нестационарных автомодельных переменных, когда рассматривается случай д/дт ф 0. Тогда размерность исходной задачи не понижается, но зато появляется возможность удовлетворить дополнительному краевому условию. Например, в работах СП. Баутина и А.Л. Казакова [55 - 57], а также в работах А.Л. Казакова [104, 105] исследована задача об отражении волны сжатия от оси или центра симметрии, решение которой строится в виде сходящихся рядов. В работе С.Л. Дерябина [88] об эволюции закрученных газовых течений внесение особенности типа 1/г в искомые функции позволило убрать особенность этого типа у системы уравнений газовой динамики.

К третьему направлению введения вырожденных замен переменных с целью убирания особенностей из начальных данных или из краевых условий также можно отнести автомодельные решения типа центрированных волн Римана и Прандтля-Майера, которые применяются, в частности, для описания решений задачи о распаде произвольного разрыва в плоскосимметричном случае (когда в начальный момент времени имеется разрыв [132, 136]), а также в задаче о неограниченном безударном сжатии плоского слоя (когда в финальный момент времени образуется особенность [132, 159]). Многомерные решения с подобными особенностями использовались В.М. Тешуковым в работах [1С2 - 166] с применением более сложных конструкций при описании распада произвольного разрыва на криволинейной поверхности. Одним из эффективных способов убирания особенности из начальных данных, в частности, в задаче о распаде специального разрыва и в задаче о безударном сильном сжатии оказалась перемена ролями зависимых и независимых переменных. Когда в физическом пространстве есть начальный или финальный разрыв плотности в виде условия вертикали, то перемена ролей плотности газа и одной из пространственных переменных позволяет перенести особенность в само преобразование; а у искомого решения в новом функциональном пространстве особенность отсутствует. Этот прием был использован СП. Баутиным в [20] для описания ранее не встречавшихся цилиндрически и сферически-симметричных течений газа, имеющих особенность, аналогичную особенности центрированной волны Римана. Эти течения возникают при мгновенной остановке вдвигающегося в газ поршня. Позже этот прием использовался для описания истечения газа в вакуум, когда имеется особенность, аналогичная особенности в центрированной волне Римапа, в следующих работах: А.Ф. Сидорова [151], СП. Баутина (24 - 27], СП. Баутина и С.Л. Дерябина [50 - 54], С.Л. Дерябина [74 - 90], С.Л. Дерябина и Н.П. Чуева [91, 92]. Так же этот подход для убирания особенности типа условия вертикали применялся при описании безударного сильного сжатии газа в работах: СП. Баутина [35 - 37, 44, 47], СП. Баутина и А.В. Рощупкина [58], СП. Баутина и Ю.Ю. Чернышева [59, 60], СП. Баутина и С.А. Ягупова [G3 - 65], А.В. Рощупкина [137], Ю.Ю. Чернышева [174], С.А. Ягупова [177, 178].

Четвертая из идей использования вырожденных замен переменных предполагает использование достаточно сложных вырожденных замен с тем, чтобы особенности внести в вид искомых функций. Построение различных асимптотических разложений часто использует именно этот подход. Например, в работах Я.М. Каждана [102], Ю.В. Житникова и Я.М. Каждана [94, 95] с помощью достаточно сложных асимптотических разложений исследовалось одномерное истечение газа в вакуум. В работе А.Ф. Сидорова [155] и в его совместной с О.Б. Хайруллиной работе [157] построено одно точное автомодельное течение, описывающее конический разлет газа или безударное сильное сжатие газа в окрестности оси вращения и имеющее конкретную особенность. Детально это решение исследовано И.А. Башкирцевой в работе [67]. В работах А.Н. Крайко [116, 117] с помощью специальных замен переменных построено течение, возникающее при отражении слабого разрыва от оси или центра симметрии в предположении о непрерывности искомого течения. В книге СП. Баутина, С.Л. Дерябина [54] для полного построения решения задачи распаде специального разрыва при одномерном разлете газа в вакуум в окрестности оси или центра симметрии использовались нестационарные автомодельные переменные и одновременно с этим вносились конкретные особенности в искомые функции. Это позволило убрать особенность из системы уравнений и получить аналитические краевые условия. Решение начально-краевой задачи построено в виде ряда, коэффициенты которого получены в явном виде.

Течения со свободной границей, в том числе формирующиеся под действием массовых сил

Исследованием движений сплошной среды с учетом сил гравитации занимались П.Г. Дирихле, Р. Дедекинд, Б. Риман. Они изучали фигуры равновесия вращающейся идеальной несжимаемой жидкости. Сюда относятся и классические работы об определении формы Земли, восходящие еще к И. Ныо тону. Обзор некоторых из этих результатов можно найти в [122, 124, 173]. Исследованию неустановившихся движений жидкости со свободной границей в точной постановке для уравнений идеальной жидкости, включая теоремы существования и единственности, посвящены работы Л.В. Овсянникова [127 - 130]. Так же Л.В. Овсянникову принадлежат постановка и первые результаты в задаче о малых возмущениях неустановившихся движений жидкости со свободной границей, полученные в [127]. Исследованию корректности этих задач и устойчивости их решений посвящены работы В.К. Андреева [1 -14]. Имееется много работ по описанию схлопывания полости в несжимаемой жидкости (см., напр., кн. Е.И. Забабахипа и И.Е. Забабахина [96]).

В монографиях К.П. Станюковича [159], Л.И. Седова [142] рассматривается движение гравитирующего газового шара как модель для описания поведения звездных образований. М.Л. Лидовым [123] в явном виде найдено точное решение для сферически симметричного течения гравитирующего газа с переменной плотностью. В работах О.И. Богоявленского [69, 70] рассмотрена динамика адиабатических течений с однородной деформацией гравитирующего газового эллипсоида. Исследованию адиабатических течений с однородной деформацией при учете сил гравитации и магнитного поля посвящены работы А.Г. Куликовского [118], А.Д. Зубова и В.А. Симоненко [99, 100]. Численное исследование гравитационого сжатия вращающегося газового шара проведено А.Ю. Бисяриным и А.Д. Зубовым в [68]. Работа Nishida Т. [18G] содержит обзор некоторых результатов по математическому описанию истечения газа в вакуум. В ней, в частности, приведен результат Makino Т. [185] разрешимости начально-краевых задач для эволюции самогравитирую-щих газовых звезд.

Одномерные и многомерные нестационарные движения газа в поло внешних массовых сил при наличии свободной границы рассматривались в работах СП. Баутина [18, 19]. В работах С.Л. Дерябина [78, 79] исследовались трехмерные задачи об истечении газа в вакуум с учетом произвольной внешней массовой силы. Решения этих задач были построены в виде сходящихся степенных рядов во всей области волны разрежения, включая свободную границу газ-вакуум. В работах С.Л. Дерябина и Н.П. Чуева [91], С.Л. Дерябина [82] аналогичные результаты получены для одномерных течений идеального политрошюго газа, гравитирующего по Ньютону. В работе Н.П. Чусва [170] при исследовании трехмерных течений идеального политрошюго газа, гравитирующего по Ньютону, рассматривалась интегро-дифференциальная система. В виде степенного ряда было построено формальное решение задачи об эволюции закрученного газового шара и доказана аналитичность коэффициентов этого ряда. В этой работе получен приближенный закон движения свободной границы газ-вакуум для вращающегося гравитирующего газово го шара. Оказалось, что при определенных соотношениях параметров газа и угловой скорости вращения шар принимает форму сплюснутого эллипсоида, симметричного относительно оси вращения. При других соотношениях параметров газа и скорости вращения происходит сжатие шара вдоль оси вращения и одновременный разлет в перпендикулярных направлениях - шар превращается в плоскую фигуру, ограниченную расширяющимся вдоль обеих осей эллипсом.

Задача о распаде специального разрыва

Задачи о распаде специального разрыва — это частный случай классической задачи о распаде разрыва (см. напр., [132, 136]). В случае плоской симметрии решением задачи о распаде специального разрыва является центрированная волна Римана, состыкованная с однородным покоем.

Как уже отмечалось, такие задачи о распаде специального разрыва решаются, в частности, при перемене ролей зависимых и независимых переменных. А.Ф. Сидоровым в [151] использованы ранее построенные в пространстве годографа характеристические ряды [101,147] для описания решения задачи о распаде специального разрыва. Сходимость рядов в окрестности звуковой характеристики в работе А.Ф. Сидорова [151] обеспечивали теоремы, доказанные СП. Баутиным в [17,21], а сходимость рядов в окрестности свободной границы в [151] не исследовалась. Впервые в случаях цилиндрической и сферической симметрии полное решение задачи о распаде специального разрыва для описания истечения газа в вакуум как решение характеристической задачи Коши в специальном функциональном пространстве с дополнительным краевым условием вертикали получено СП. Баутиным в [24]. Решение построено в виде степенных рядов и доказано, что область сходимости этих рядов покрывает всю зону волны разрежения от слабого разрыва до свободной поверхности. Также получен точный закон движения свободной поверхности. Затем подобные задачи были решены в многомерных случаях СП. Баутиным [26, 27], СП. Баутиным и С.Л. Дерябиным [49 - 54], С.Л. Дерябиным [74 -90], С.Л. Дерябиным и Н.П. Чуевым [91]. Позже часть из этих решений была использована СП. Баутиным для описания безударного сильного сжатия газа (см., напр., [35, 44]).

В работах В.М. Тешукова [162 - 166] рассмотрены задачи о распаде произвольного разрыва на криволинейной поверхности, когда по обе стороны от поверхности разрыва плотность газа больше нуля в случае общих пространственных течений нормального газа, которые либо являются характеристическими задачами Коши, либо одно из составляющих искомого кусочно-аналитического решения есть решение характеристической задачи Коши. В указанных работах В.М. Тешукова не только построены решения таких характеристических задач Коши, но и доказаны их существование и единствен ность в классе аналитических и кусочно-аналитических функций. При этом методами, отличными от примененных в работах [22, 24], для некоторых решений детально описана область существования решений.

Задача об истечении газа в вакуум

Известны три точные решения системы уравнений газовой динамики, описывающие процесс истечения газа в вакуум, который в начальный момент времени был однороден и покоился внутри конкретных геометрических тел: 1) простая центрированная волна Б. Римана [132,136] с линейными профилями скорости газа и скорости звука газа и с постоянной скоростью движения свободной поверхности; 2) двумерное решение В.А. Сучкова [160], описывающее истечение в вакуум с косой стенки при согласованных значениях показателя 7 и Угла наклона стенки; 3) трехмерное решение А.Ф. Сидорова [143] - истечение из многогранника при согласованных значениях 7 и ДВУХ-гранных углов. У течений газа, описываемых последними двумя точными решениями, все части свободной границы движутся с постоянной скоростью. Все три перечисленные решения являются автомодельными. Использование точных решений возможно для описания только очень ограниченного круга газодинамических задач, а для исследования достаточно общих ситуаций эти решения, как правило, применить не удается.

В работах Я.М. Каждана [102], Ю.В. Житиикова и Я.М. Каждана [94, 95] различные автомодельные решения и асимптотические разложения применяются для описания цилиндрически и сферически симметричного истечения газа в вакуум. В работах СП. Баутина [24 - 27], а также в совместных с С.Л. Дерябиным работах [49 - 54] при t to рассматриваются одно- и двумерное истечения газа в вакуум в различных ситуациях, в том числе и в случае произвольного уравнения состояния р = p fip, S) с аналитической функцией f{ptS).

В книге Я.Б. Зельдовича и Ю.П. Райзсра [98] приближенное аналитическое исследование течений газа в задаче о разлете шара или цилиндра дало следующие результаты. В главных порядках при больших значениях времени имеет место инерционный разлет, приближенно описываемый автомодельными решениями с произвольными функциями, которые отражают предысторию неавтомоделыюй стадии расширения газа в вакуум. При этом траектории частиц являюся прямыми, вдоль которых плотность уменьшается по степенному закону от времени. Распределение плотности по радиусу не меняется с течением времени, а только растягивается с ростом г, оставаясь подобным самому себе. В серии работ А.Н. Крайко [112 - 115] исследовались такие конфигурации течений, которые либо возникают при одномерном истечении газа в вакуум, либо могут быть использованы для описания подобных течений. В частности, в работе А.Н. Крайко [113] изучаются асимптотиче ские закономерности нестационарного течения газа при его свободном расширении в вакуум, и получены главные слагаемые, описывающие поведение траекторий частиц газа и плотности газа. В работе А.Н. Крайко [114] система уравнений газовой динамики интегрируется в первом приближении, а также строятся решения с неполной автомодельностыо, когда только часть искомых функций зависит от автомодельной переменной. Кроме этого, в упомянутой работе установлена асимптотика второго приближения цилиндрически-и сферически-симметричного истечения газа в вакуум.

С.Л. Дерябиным [74 - 79] построено обобщение центрированной волны, испольуемое для описания трехмерного истечения газа в вакуум, в том числе в условиях действия внешних массовых сил. В работе С.Л. Дерябина [82], а также в работе С.Л. Дерябина и Н.П. Чуева [91] указанное обобщение простой волны переносится на случай одномерных течений в условиях самогравитации. И.А. Башкирцевой [Щ для передачи одномерного истечения газа в вакуум применены методы ускорения сходимости рядов. Детальная структура коэффициентов этих рядов и их сходимость установлены ранее в работах СП. Баутина [24, 25]. Л.И. Рубиной в [141], по-видимому, впервые в случае состыковки одномерной простой волны Римана с соответствующим двумерным автомодельным течением поставлена характеристическая задача Коши и сведением к теореме из [21] доказано существование у нес решения. Благодаря этому Л.И. Рубиной построено кусочно-составное решение задачи об истечении газа в вакуум с гладкой стенки. В работе А.Ф. Сидорова [154] одно известное точное решение задачи об истечении газа в вакуум с особенностью в момеит t = to состыковано с волной сжатия, имеющей особенность в другой момент времени t = ti to. В.М. Тешуковым доказано существование в целом вплоть до свободной поверхности решения задачи Гурса для уравнения плоских конических течений [161].

Основная цель дайной диссертации - моделирование различных течений идеального политроп ного газа, примыкающих к вакууму. Эта цель достигается с помощью последовательного решения следующих задач:

- построение с помощью рядов решений квазиодномерных задач о распаде специального разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму;

- исследование областей сходимости построенных рядов;

- установление точного закона движения свободной поверхности;

- выявление тех особенностей и особых точек течений, которые имеют место на свободной поверхности и на слабом разрыве;

- исследование свойств течений в окрестностях этих особых точек;

- построение течений, имеющих на свободной поверхности угловые точки;

- исследование течений политропного газа в условиях действия внешних массовых сил и гравитирующих по Ньютону;

- рассмотрение течений газа с другими уравнениями состояния;

При решении сформулированных задач используется методология характеристической задачи Коши и представление ее решения в виде степенных рядов. Но поскольку большинство из построенных в работе решений имеют какие-либо особенности, то для их раскрытия часто делаются вырожденные замены переменных (например, с использованием логарифмов или дробных степеней) и строятся ряды в специальных пространствах.

Кроме этого, проводится исследование особых точек в построенных течениях: центры симметрии, угловые точки свободных поверхностей и звуковых характеристик - в этих точках решения, как правило, теряют аналитичность. Для состыковки различных течений производится переразложение построенных решений в окрестностях особых точек. При этом, как правило, невозможно полное описание сложных течений с помощью функций, аналитических во всей рассматриваемой области. В этом состоит ограниченость используемого метода представления решения характеристической задачи Коши в виде рядов.

Исследования, проведенные в диссертации, привели к созданию единой методики решения задач об истечении газа в вакуум. Эта методика состоит из следующих основных моментов.

1. Введение вместо декартовой системы координат другой координатной системы, обусловленной конкретной геометрической и газодинамической ситуацией.

2. Перемена ролей у зависимых и независимых переменных для описания течений, возникающих в задаче о распаде специального разрыва и имеющих в физическом пространстве бесконечные значения производных.

3. Постановка начально-краевых задач в пространстве специальных независимых переменных. Как правило, эти задачи являются характеристическими задачами Коши, которые удается свести к стандартному виду.

4. Представление решений полученных характеристических задач Коши в виде рядов с рекуррентно определяемыми коэффициентами. При этом коэффициенты для части искомых функций находятся при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а для остальных - из решения систем линейных алгебраических уравнений с отличным от нуля главным определителем.

5. Установление локальной сходимости рядов сведением к теореме о существовании и единственности аналитического решения у характеристической задачи Коши стандартного вида.

6. Детальный анализ структуры коэффициентов рядов с целью выявления их особенностей, а также полиномиальной структуры коэффициентов по каким-либо переменным и описание на этой основе области сходимости рядов.

7. Установление свойств решений, в том числе определение точного закона движения свободной границы и значений газодинамических параметров на ней.

8. Построение решения характеристической задачи Коши в физическом пространстве в случае непрерывного примыкания газа к вакууму, когда кратность характеристики, несущей начальные данные для этой задачи, совпадает с числом уравнений в исходной системе уравнений с частными призвод-ными.

9. Выявление особенностей, которые возникают на свободной поверхности, с помощью исследования системы транспортных уравнений, описывающих поведение первых выводящих со свободной поверхности производных.

10. С помощью специальных вырожденных замен переменных внесение конкретных особенностей в решения для построения течений в окрестностях особых точек, включая ось или центр симметрии.

В диссертации проведено законченное исследование одномерных и многомерных задач об истечении газа в вакуум. Разработаны теоретические положения по методологии исследования этих задач. Тем самым решена научная проблема по адекватному моделированию истечения идеального газа в вакуум.

Это потребовало формулировки новых начально-краевых задач, а именно, характеристических задач Коши с данными на звуковых характеристиках и на кратных характеристиках как в физическом, так и в специальном функциональном пространствах.

Поскольку в начальные моменты времени после распада специального разрыва, а также в окрестности границы "газ-вакуум" исследование этих задач численными методами практически невозможно, разработана методология аналитического решения сформулированных задач.

В основе этой методологии лежит доказательство существования локально-аналитических решений начально-краевых задач и их конструктивное построение в виде степенных рядов с рскуррентно вычисляемыми коэффициентами.

Далее для описания всей картины течения построенные решения состыковываются между собой непрерывно или приближенно. Это позволило с большой степенью достоверности представить всю картину истечения газа в вакуум, выявить возникающие особенности и, в частности, во многих случаях получить точный закон движения границы "газ-вакуум" и значения параметров газа на ней.

Практическая ценность работы определяется ее важностью с точки зрения приложений. Построенные решения могут использоваться для:

1. Описания процесса разлета газового шара, а также его схлопывания под действием самогравитации;

2. Исследования эффектов кумуляции при схлопывании полости в сплошной среде. Именно такие течения возникают в некоторых физических экспериментах при получении больших локальных значений плотности специальных сред, в том числе для инициирования термоядерного синтеза. Кроме того, подобные течения возникают при кавитации воздушных пузырьков на гребных винтах и подводных крыльях;

3. Исследования различных струй, включая кумулятивные, границы которых априори являются свободными;

4. Описания процессов неограниченного сжатия газа. Исследование процессов либо неограниченного, либо очень сильного сжатия газа имеет принципиальное значение для многих физических экспериментов по осуществлению управляемого термоядерного синтеза.

Кроме того полученные в диссертации результаты можно использовать для правильной постановки начально-краевых задач и граничных условий в численных исследованиях задач со свободными границами.

И наконец, построенные решения могут использоваться для тестирования численных методик.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается:

математически строгой постановкой начально-краевых задач;

построением в виде рядов полных разложений решений этих задач и их исследованием;

доказательством теорем о свойствах областей сходимости построенных решений - то есть математически строго доказанными фактами.

Личный вклад автора.

Постановка одномерных начально-краевых задач о распаде специального разрыва и их решения, приведенные для полноты изложения в §1 пункте 1.2, получены СП. Баутиным [25]. Задачи об истечении в вакуум нормального газа, представленные в §2, решены автором совместно с СП. Баутиным в работе [53], в которой автору принадлежат постановка задачи, построение решения и анализ структуры коэффициентов ряда, а СП. Баутиным доказана теорема 2.2. Задачи об истечении в вакуум газа гравитирующего по Ньютону (§3) решены автором совместно с Н.П. Чуевым [91], а также исследованы автором в работе [82]. В работе [91] автору принадлежат постановка задач, построение решений и доказательство всех теорем, а Н.П. Чуевым исследовалась задача о непрерывном примыкании газа к вакууму. Исследования в совместных работах [49, 50, 51] проведены автором и СП. Баутиным с равным творческим вкладом. В совместно с СП. Баутиным опубликованной книге [54]:

автором единолично написаны §§4-9,11, 12; автором совместно с СП. Баути-ным написаны введение, §§2, 3, 10, заключение и библиографический обзор; СП- Баутиным единолично написаны §§1, 13-16.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в 24 печатных работах, куда входят: одна книга [54], издательства Наука, а также 12 статей [49-51, 53, 74, 75, 78, 79, 82, 85, 88, 91), опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях.

Результаты диссертации докладывались на IX Всероссийской школе - семинаре "Аналитические методы в газовой динамике" (Свердловск 1982 г.), Всесоюзной конференции "Многомерные задачи механики сплошной среды" (Красноярск 1982 г.) Всесоюзной конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Москва 1990 г.), Международной конференции "Free-boundary problems in continuum mechanics" (Новосибирск 1991 г.), Всероссийских школах - семинарах "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (Екатеринбург 1992 г., Саров 1994 г., Уфа 1998 г., Абрау-Дюрсо 2004 г.), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Пермь 2001 г.), VII, VIII Международных конференциях "Заба-бахинские научные чтения", (Снежинок 2003, 2005 гг.), Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения академика А.Ф. Сидорова "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", (Екатеринбург 2003 г.), Всероссийской конференции, приуроченной к 85-летию академика Л.В. Овсянникова "Новые математические модели механики сплошной среды", (Новосибирск 2004 г.), Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", (Новосибирск 2005 г.).

Диссертация состоит из введения трех глав и заключения. Список литературы содержит 191 наименование. Объем диссертации 227 страниц.

Во Введении обосновывается актуальность исследуемых в диссертации задач. Приводится обзор литературы по изучаемой и смежной тематике. Кратко излагается содержание диссертации.

Глава I (§§ 1 — 3) посвящена исследованию одномерных течений полит-ропного газа и газа с другими уравнениями состояния.

В §1 рассматриваются одномерные изэнтропические течения идеального политропного газа, возникшие при разлете в вакуум первоначально однородного и покоящегося газового шара или цилиндра. Вначале для полноты изложения приводится ранее построенное СП. Баутиным [25] решение задачи о распаде специального разрыва, описывающее течение в окрестности Го во все моменты времени, а в окрестности фокусирующей в центр или на ось симметрии поверхности Гі - только до момента ее фокусировки. Затем для раскрытия особенности течения в момент фокусировки поверхности Гі с использованием вида решений транспортных уравнений выбрано специальное функциональное пространство и решение в нем построено в виде сходящихся рядов вплоть до момента фокусировки поверхности слабого разрыва на ось или в центр симметрии включительно. Доказывается, что в физическом пространстве области сходимости этих рядов носят секториальиый характер и с их помощью нельзя получить распределения параметров газа в момент времени t — t (момент фокусировки слабого разрыва на ось или в центр симметрии). В физическом пространстве в окрестности оси или центра симметрии построено в виде ряда еще одно течение, примыкающее через слабый разрыв к покоящемуся газу. Это решение является фактически переразложением предыдущего решения по другим переменным. У этого ряда хотя и не доказана сходимость, но детально исследована структура коэффициентов и показана аналитичность коэффициентов в области между двумя характеристиками: пришедшей на ось или в центр симметрии и отраженной. Поскольку переразложение проводилось в окрестности оси или центра симметрии (особой точки), то оба построенных решения удалось состыковать только приближенно.

В §2 исследуются одномерные течения идеального нормального газа в предположении, что на функцию, задающую уравнение состояния, наложены некоторые условия, которые позволяют построить решения начально-краевых задач в виде сходящихся рядов. Детальный анализ структуры коэффициентов рядов показал: при малых t область сходимости рядов содержит всю волну разрежения - от слабого разрыва до свободной поверхности включительно, и каждая частица газа па Го движется с постоянной скоростью.

В §3 исследуются одномерные течения идеального политроиного газа в предположении, что на массу газа действует ньютоновское тяготение. Решения построены в виде сходящихся рядов и доказано, что область сходимости этих рядов содержит всю волну разрежения - от слабого разрыва до свободной поверхности включительно. В задаче о схлопывании одномерной полости показано, что свободная поверхность "газ-вакуум" движется с постоянной скоростью, такой же, как и при отсутствии гравитации. В задаче о разлете газа установлено, что закон движения свободной поверхности совпадает с законом движения частиц в поле притяжения материальной точки.

Глава II (§§ 4—8) посвящена исследованию трехмерных течений идеального политропного газа в случае аналитических начальных данных и гладкой начальной поверхности раздела газ-вакуум. Исследования показали, что можно выделить два принципиально различных случая: вектор скорости газа не лежит или лежит в касательной плоскости к исходной поверхности Г. В четвертом и пятом параграфах исследуется первая ситуация, а в шестом и седьмом — вторая. В восьмом параграфе полученные результаты обобщаются на случай действия внешних массовых сил.

В §4 рассматривается частный случай трехмерного истечения в вакуум, когда исходная поверхность отделяет вакуум от однородного покоящегося газа. В этом случае неодномерность задачи связана только с неодномерной геометрией исходной поверхности раздела. По изложенной ранее методике решения задач о распаде разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму построены в виде сходящихся рядов и доказано, что свободная поверхность некоторое время будет двигаться с постоянной скоростью. Исследование транспортных уравнений позволило найти моменты времени, когда на свободной поверхности возникают бесконечные производные. Также была найдена зависимость критических значений 7 = 7 (&i fo) (&1Д2 —главные кривизны исходной поверхности раздела): если 7 7 то первая особенность на Го возникает на том луче, на котором достигается минимум всех радиусов кривизны исходной поверхности Г в момент образования угловой точки на Го; если 7 7 i то градиентная катастрофа возникает на том же луче, но еще до момента образования угловой точки па Го.

В §5 рассматривается общий случай трехмерного истечения в вакуум, когда исходная поверхность отделяет вакуум от неоднородного движущегося газа. Здесь неодномерность задачи определяется как неодпомерной геометрией исходной поверхности раздела, так и изменением значений газодинамических параметров вдоль нее. Решения задач о распаде разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму построены в виде сходящихся рядов и доказано, что каждая частица на свободной поверхности некоторое время будет двигаться по своей прямой со своей постоянной скоростью

V = Vo(x) + -3j-co(x)n(x) Здесь п(х) — единичный нормальный вектор поверхности Г. Все результаты этого параграфа получены в предположении, что V • п ф 0, то есть вектор V не лежит в касательной плоскости к поверхности Г.

В §6 рассматривается случай трехмерного истечения в вакуум, когда вектор V лежит в касательной плоскости к поверхности Г, но не принадлежит поверхности Г. В этом случае с помощью преобразования Галилея вводится новая система координат, в которой начально-краевая задача сводится к задаче, рассмотренной в пятом параграфе. Детально исследован один частный случай таких течений, когда газовое тело в начальный момент времени является двумерным осесимметричным и начальные условия обеспечивают закрутку газа на свободной поверхности. Естественно, что возникновение подобных течений возможно только при специально подобранных начальных данных. Тем не менее, имеются содержательные примеры таких течений. Скажем, когда снаружи от осесимметричной поверхности находится газ, а внутри - вакуум, то такое течение можно использовать для приближенного моделирования нижней части закрученных потоков типа торнадо. Если снаружи от поверхности - вакуум, а внутри - газ, то полученное решение описывает головную часть закрученных струйных течений. С помощью сходящихся рядов построено решение начально-краевых задач и доказано, что свободная поверхность всегда движется от оси симметрии.

В §7 рассматривается случай трехмерного истечения в вакуум, когда поверхность Г является линейчатой и вектора V лежат на образующих этой поверхности. В этом случае доказано, что некоторое время свободная поверхность Го стоит на месте, то есть совпадает с Г, и частицы газа движутся вдоль образующих этой поверхности. Также доказано, что особенности в таких течениях возникают в двух ситуациях.

В первом случае бесконечные значения могут возникнуть у производных по переменной, изменяющейся вдоль образующих свободной поверхности (внутренней переменной поверхности Г). Этот момент времени совпадает с моментом возникновения особенностей у уравнений переноса и означает, что частицы газа, движущиеся вдоль Г, "набегают" одна на другую.

Во второй ситуации найдены соотношения между значениями параметров газа и функцией, задающей поверхность Г, при которых бесконечные значения возникают у производных по переменной, выводящей с поверхности Г. В этом случае особенности возникают у системы транспортных уравнений. Это означает, что происходит уплотнение среды примыкающей к свободной поверхности.

Исследование показало, что для струйных течений градиентные катастрофы на поверхности Г0 могут возникать по этим двум разным направлениям.

В §8 рассматривается общий случай трехмерного истечения в вакуум в условиях действия внешних массовых сил. С помощью специальной системы координат решения задач о распаде разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму построены в виде сходящихся рядов и тем самым доказано, что область сходимости рядов содержит всю волну разрежения — от слабого разрыва до свободной поверхности включительно. Закон движения свободной поверхности в этом случае определяется как решение задачи Кош и для заранее известной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Глава III (§§ 9 — 11) посвящена исследованию одномерных и многомерных течений идеального политропного газа в случае неаиалитических начальных данных или негладкой начальной поверхности раздела газ-вакуум.

В §9 рассматривается двумерный разлет идеального политропного газа в вакуум в случае, когда исходная поверхность раздела имеет угловую точку. В пространстве годографа в виде ряда строится двумерное решение, примыкающее к простой волне и являющееся решением одной характеристической задачи Коши стандартного вида. Доказывается, что область сходимости ряда в окрестности угловой точки носит секториальный характер и не дотягивается до свободной поверхности.

В §10 рассматривается следующая задача. Пусть прямые х = 0 и у = 0 являются непроницаемыми стенками. Идеальный политропный газ покоится в первой четверти, а в остальном пространстве - вакуум (рис. Об).

В момент t = 0 стенка х = 0 мгновенно разрушается и начинается истечение газа в вакуум вдоль стенки у = 0. Возникшее в реультате распада разрыва течение имеет следующую конфигурацию (рис. 07): в области 0 -вакуум; в области 1 - однородный покоящийся газ; в области 2 - простая центрированная волна Римана. Гог - прямая, отделяющая движущийся газ от вакуума (свободная поверхность), Гі2 - прямая, разделяющая движущийся и покоящийся газ (звуковая характеристика). В точках Л, В терпят разрыв первые производные от газодинамических параметров.

В момент t = t0 0 стенка у = 0 мгновенно разрушается и возникает сложная картина истечения в вакуум, составленная из одномерных и двумерных течений состыкованных между собой с помощью характеристик Гі2, Г13, Г24, Гзз, Гзб, Г45 (рис. 08): в области 0 - вакуум; в области 1 - покоящийся газ; в областях 2 и 3 - простые волны; в области 4 - течение, возникшее в результате распада разрыва на отрезке [А, В]; в области 5 - течение, возникшее в окрестности точки В в силу того, что в момент t = to производные от газодинамических параметров в точке В терпят разрыв. Свободная поверхность состоит из трех частей: Г02, lb) Г и имеет две угловые точки С и D.

Решение задачи о распаде разрыва построено в виде характеристических рядов в области 4. Доказана сходимость этих рядов вплоть до угловой точки С на свободной поверхности. Также доказано, что поверхность слабого разрыва Г24, отделяющая искомое течение от простой волны, и свободная поверхность Го4 являются прямыми. В виде сходящихся рядов построены характеристики Г25, Г45. Для течения в области 5 поставлена задача с данными на трех характеристиках: Г25, Г35, Г45- Однако для получившейся переопределенной задачи, имеющей в момент времени t = Ц особенность, решение пока не построено.

В §11 рассматривается течение, возникшее в результате разрушения конической поверхности, по одну сторону от которой находился вакуум, а по другую газ. Решение задачи о распаде разрыва построено в виде степенных рядов. Доказана сходимость этих рядов во всей области течения - от слабого разрыва до свободной поверхности включительно. Также доказано существование этого решения вплоть до момента фокусировки слабого разрыва на ось симметрии. В физическом пространстве получено переразложение этого ре шения в окрестности оси симметрии,

В Заключении на основе полученных результатов сформулированы выводы.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Для поставленных начально-краевых задач как в задаче о распаде специального разрыва, так и в задаче о непрерывном примыкания газа к вакууму в случае многомерных течений политропиого газа построены кусочно-аналитические решения, описывающие истечение газа в вакуум. В качестве одного из элементов составного решения построено обобщение простой центрированной волны Римана на случай (, х1т 2, з) Установлено существование и единственность аналитических решений во всей области волны разрежения от слабого разрыва до свободной поверхности включительно.

2. На основе анализа построенных решений определены законы движения свободной поверхности как в задаче о распаде специального разрыва, так и в задаче о непрерывном примыкания газа к вакууму. В многомерных течениях каждая частица газа па свободной поверхности движется по своей прямой со своей постоянной скоростью, В этом случае скорость истечения газа па свободной поверхности определяется как геометрией исходной поверхности раздела "газ-вакуум", так и начальными распределениями параметров газа на ней. В частном случае линейчатых свободных поверхностей доказано, что свободная поверхность до возникновения особенностей в течении стоит па место, а частицы газа движутся каждая со своей постоянной скоростью вдоль образующих этой поверхности.

3. Полученьт уравнений, описывающие поведение первых производных, выводящих со свободной поверхности, и исследованы их решения. Это позволило определить моменты времени и места возникновения в течениях газа градиентных катастроф, которые в свою очередь определили временные границы существования построенных решений, В том числе в случае разлета газа бесконечные значения производных возникают на поверхности фокусирующегося слабого разрыва, а на свободной поверхности никаких особенностей нет. В случае схлопывания одномерной полости, наоборот, бесконечные значения производных возникают на свободной поверхности. В общем случае трехмерных течений при исследовании систем транспортных уравнений для свободной поверхности найдена зависимость критических значений показателя адиабаты от главных кривизн исходной поверхности раздела 7 = 7 ( ь /) : если 7 7 \ т0 градиентная катастрофа наступает в момент появления угловой точки на свободной поверхности; если 7 7 3 то градиентная катастрофа возникает еще до этого момента.

В задаче о распаде специального разрыва и в задаче о гладком примыкании газа к вакууму полученные результаты обобщены: на случай одиомер пых течений нормального газа с достаточно общим уравнением состояния; на случай трехмерных течений политропного газа, который находится в поле действия внешних массовых сил; а также на па случай одномерных течений политропного газа, гравитирующего по Ньютону. В частности установлено, что при наличии внешней силы каждая частица на свободной поверхности движется как материальная точка в поле этой силы. Определена для са-могравитирующего газа ситуация, когда при разлете газ останавливается и после этого момента начинается схлопывание всей массы газа. Выявлено регулирующее воздействие гравитации на течение газа: отсутствие градиентной катастрофы па свободной поверхности до момента фокусировки газа па ось или в центр симметрии.

5. Построены решения задачи со специально подобранными начальными условиями, моделирующие закрученные и струйные течения. Установлено, что в случае закрученных течений свободная поверхность остается осесим-метричпой и всегда движется от оси симметрии. При исследовании систем уравнений переноса и систем транспортных уравнений показано, что особенности в струйных течениях возникают в двух ситуациях: 1) частицы газа, движущиеся вдоль свободной границы Го, набегают одна на другую и течение ггопрокидываетсятг; 2) градиентная катастрофа происходит за счет уплотнения среды, примыкающей к свободной поверхности Го- Следовательно, в струйных течениях градиентные катастрофы на поверхности Го возникают по разным направлениям.

6. Построены кусочно-составные течения, возникающие как при одновременном, так и при последовательном убирании в разные моменты времени двух взаимно пересекающихся плоскостей, отделяющих в начальный момент времени однородный покоящийся газ от вакуума. Установлено существование угловых точек на свободной поверхности, а также определены законы движения различных частей свободных поверхностей и поверхностей слабых разрывов.

7. Построены различные представления решений одномерных уравнений газовой динамики в окрестности оси или в центра симметрии и исследованы их свойства. Описано течение, возникшее в результате разрушения конической поверхности, по одну сторону от которой находился вакуум а по другую - однородный покоящийся газ. В частности, решение задачи о распаде специального разрыва вдали от точки фокусировки слабого разрыва на ось симметрии построено в виде сходящихся рядов во всей области течения, включая свободную поверхность. В окрестности точки фокусировки слабого разрыва установлено, что область сходимости рядов имеет секториальный вид. Также построено другое представление решения в окрестности оси симметрии, которое стыкуется с исходным однородным покоящимся газом.

В диссертации принята сквозная нумерация параграфов, некоторые них содержат пункты. Для формул и теорем используется тройная нумерация: первое число - номер параграфа; второе - номер пункта; третье - порядковый номер в пункте. Для рисунков применяется двойная нумерация: первое число - номер параграфа; второе - порядковый номер в параграфе. Формулировки строгих математических утверждений выделены курсивом, для обозначения векторов используется жирный шрифт, вводимые термины набраны рубленым шрифтом. Список литературы составлен в алфавитном порядке.

Одномерное истечение в вакуум нормального газа

Рассматривается газ с произвольными уравнениями состояния. Под уравнениями состояния понимаются функциональные связи между термодинамическими параметрами газа: давлением р, плотностью р7 энтропией 5, внутренней энергией е, температурой Т. Эти функциональные связи определяются в соответствующих физических экспериментах и должны удовлетворять основному термодинамическому тождеству TdS = de+pdV9 (2.1.1) где V = 1/р - удельный объем. Предполагается, что газ как термодинамическая система является двухпарзметрической средой. Это означает, что в качестве независимых с точки зрения термодинамики переменных можно взять любые две и тогда все остальные переменные будут выражаться через них с помощью уравнений состояния.

Достаточно часто в качестве таких независимых термодинамических переменных выбираются плотность газа и энтропия. В частности, давление задается в одном из двух видов P = P(V,S), p = p(p,S).

Использование удельного объема или плотности газа при задании давления обусловлено различными определениями нормального газа. В настоящее время употребляются, в основном, два определения нормального газа, различающиеся фактически только в одном моменте. Первое определение приведено в книге Б-Л. Рождественского и Н.Н. Японко [136], где предполагается выполнение неравенства pvv{V9S) Q.

Второе определение нормального газа, приведенное в книге Л.В. Овсянникова [132], требует, в частности, выполнения такого неравенства: рда(р,5) а

Кроме этого, в обоих подходах преполагается выполнение еще некоторых условий, в том числе условия возрастания давления с ростом плотности, то есть Pv(V,S) 0, рДЛ5) 0. Достаточно простые вычисления приводят к равенству V3pvv(V,S) = 2pp + pPpp (2.1.2) и, значит, имеет место следующее, приведенное в книге Л.В. Овсянникова, утверждение. Лемма 2.1.1. Нормальный по второй терминологии газ является нормальным и по первой терминологии: при выполнении неравенства pPi О выполняется и неравенство руу 0.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Приведем теорему, доказанную СП. Баутиным [54]

Теорема 2.1.1. Существование центрированной волны Римапа произвольной амплитуды (то есть при всех значениях р 0) эквивалентно выполнению неравенства руу О, то есть нормальности газа по первой терминологии.

Доказательство. Как известно, центрированная волна Римапа является изэнтропическим течением. Тогда скорость звука является функцией только плотности и c2{p)=Pp(piS)\s=const-Поэтому правая часть равенства (2.1.2) может быть переписана в виде С(Р) + С{Р) Р \ Ьр + РРрр - 2с2(р) + р [с2{р)] = 2с2(р) + 2рс{р)с {р) = 2рс{р) и, значит, с{р) с (р) + V3pvv = 2рс{р) Р J Раз предполагается, что при р 0 выполняется неравенство с(р) 0, то из полученного соотношения следует, что знак производной руу совпадает со знаком суммы С(Р) р с (р) + обозначаемой далее как а(р). Следовательно, нормальность газа по первой терминологии - выполнение неравенства руу 0 - эквивалентно выполнению неравенства

В центрированной волне Римана течение газа восстанавливается с помощью следующих формул {t - время, х - пространственная координата): j = u(p)±c(p); и(Р) = ± J - -dp, то есть х = ±\с(р)+ f -dp t J Р .

Знак выбирается в зависимости от направления движения волны. Полученное соотношение задает центрированную волну Рішана в неявном виде. Для того чтобы с помощью последней формулы при всех значениях р 0 и во все моменты времени t ф 0 течение в физическом пространстве восстанавливалось однозначно - р\щ = p{%ft) необходимо и достаточно, чтобы функция x1(p) = c(p) + JC- dp была взаимно однозначной, то есть строго монотонной: #i(p) 0 при р 0.

Сравнение полученных формул показывает, что функция а(р) является производной функции х\{р)\ х[(р) = а(р). Следовательно, центрированная волна Римана существует при всех значениях р О тогда и только тогда, когда выполняется неравенство х[(р) — а(р) 0, то есть когда руу 0. Теорема доказана.

С учетом приведенных леммы и теоремы в следующих пунктах данного параграфа будут предполагаться выполненными условия нормальности газа по второй терминологии. Л именно: функция p = p{p,S) в области {0 р +оо, & S S } удовлетворяет условиям p(ftS) 0, Рр(р,5) 0, PPP{p,S) Q, p5(p,S) 0, (2.1.3) lim pip, S) = 0, lim pip. S) = -fco, lim pip, S) — 0. При этом 5 , могут равняться =Foo соответственно. Скорость звука газа задается соотношением с= \/Pp{p,S).

Приведенные соотношения обеспечивают выполнения требований нормальности газа и по первой терминологии, А это, в свою очередь, обеспечивает существование как центрированной волны Римана произвольной амплитуды при всех і ф 0, так и ее обобщения на случай цилиндрически и сферически симметричных течений в некоторой окрестности момента і = 0 - момента распада специального разрыва и начала истечения газа в вакуум.

Одномерное истечение газа в вакуум в условиях самогравитации

Пусть в момент і = 0 сфера или цилиндр Г радиуса R 0 отделяет идеальный политропный, гравитирующий по Ньютону, газ от вакуума, В задаче о схлопывании одномерной полости предполагается, что газ находится снаружи, а внутри полости — вакуум. Если внутри цилиндра находится газ, а снаружи — вакуум, то это задача о разлете газа. При этом в момент t = 0 известны распределения параметров газа: и = и$(х) — скорость газа; S = SQ(%) — энтропия; р = ра(х) — плотность газа, где х — расстояние до оси или центра симметрии. Функции UQ, SQ, ро предполагаются аналитическими, а плотность газа всюду больше нуля, в том числе рр(я)г 0. В момент t = 0 начинается движение газа, определяемое заданными распределениями UQ, 5О, ро и которое в дгільнейшем будем называть фоновым течением.

Кроме этого, в момент t = 0 поверхность Г мгновенно разрушается и начинается истечение части газа в вакуум. Возмущения, возникшие в фоновом течении в результате мгновенного разрушения поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Гі, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны волна разрежения примыкает к вакууму: р(я)г0 = 0, где Го — свободная поверхность, отделяющая волну разрежения от вакуума. Требуется построить как фоновое течение, так и волну разрежения, а также найти законы движения Гі и Гд, то есть построить решение задачи о распаде разрыва в случае, когда в начальный момент времени неподвижная стенка Г отделяет газ от вакуума.

Одномерные течения рассматриваемого газа описываются системой pt + рхи + р{их + vf) - 0, І щ + иих + ±рх = F(x7t)} (ЗЛЛ) где X G С s tfl F(x}t) = -2Z/TT— I rvp{r,t)dTi p= , 7 = const 1. a

Здесь p — давление, G — гравитационная постоянная; и — показатель симметрии: i/=l— цилиндрическая; v = 2 сферическая. Если газовый объем разлетается, то а = 0. Если происходит схлопывапие одномерной полости, то а = #о(0 ГДС жо(0 неизвестный закон движения свободной поверхности

Для удобства дальнейшего исследования от системы интегро-дифференциальных уравнений (3,1.1) делается переход к системе дифференциальных уравнений с помощью введения дополнительной неизвестной функции F(X) t) — гравитационной силы. При дифференцировании F по t и х и учете уравнения неразрывности получаются два дифференциальных уравнения для F: Ft = 2v7rpGu, (3.1.2) Ft = -%F-2virpG, (31.3)

Система уравнений (3.1.1), (3.1.2), (3.1,3) является переопределенной, так как содержит пять уравнений для четырех неизвестных функций- Однако перекрестным дифференцированием уравнений (3.1.2), (ЗЛ.З) можно убедится, что она совместна. Переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе дифференциальных уравнений с помощью введения дополнительной неизвестной функции в одномерных задачах является широко известным. В частности, в книге Л.И, Седова [142] в качестве повой неизвестной функции выбиралась масса газа и после ее дифференцировании по переменной х получалось дифференциальное уравнение, аналогичное (ЗЛ.З). Но в настоящем исследовании этого оказалось недостаточно. Только благодаря получению эволюционного уравнения (3.1.2) удалось доказать основные теоремы 3. Далее в основном будет использоваться дифференциальное следствие (3.1.2). у—t

В качестве неизвестной функции вместо р удобно взять а — р 2 . Для построения фонового течения необходимо решить задачу Коши для системы (3.1.1), (3.1,2) с начальными данными при і = 0: v \t=o = uo(x)i s\t=o = SQ{X)I r\t=o = ao(x)9 (3.L4) F\t=o = JoM = -2wjr»po{r)dr a0 где яо = 0) если газ разлетается, а$ = Д, если происходит охлопывание одномерной полости.

Если ро{х) — аналитическая функция, то F$(x) есть аналитическая функция, не имеющая особенностей при х = 0. Поскольку рассматриваемая система (3.1.1), (3.1.2) является системой типа Ковалевской, а начальные данные — аналитические функции, то задача Коши имеет при малых і аналитическое решение, которое можно представить, например, в виде сходящихся рядов по степеням t с коэффициентами, являющимися аналитическими функциями от х в окрестности точки х = R. При помощи этого решения однозначно строится X\{t) — закон движения поверхности слабого разрыва Гі, являющейся звуковой характеристикой фонового течения, и определяются а\Гі=а{і), «Гі=«й, Гі=Л0- (3-1-5)

Здесь (Т0,и,50 —значения газодинамических параметров на Гі. В дальнейшем будут предполагатся известными; фоновое течение, поверхность Гі, значения сг,и? $, заданные с помощью аналитических функций.

Для построения волны разрежения, возникшей в результате распада специального разрыва, переменные х и т, как и в 1, меняются ролями- А именно: за независимые переменные возьмем , а, а за неизвестные функции - х, і/, s, F. Якобиан такого преобразования J = ха. В результате этой замены получается система xt = и + Z aua + vx -f, (3.1.6) х0щ - Z ula -(7- l)XaU f + фї82 Т + Issaa2 = XaF, x0st -і-(и-xt)sa = О, . Ft = -v?f + 2v7rG(u-xt)a .

Далее кратко приводится вывод четвертого уравнения системы. Заметим, что при этом используются оба дифференциальных следствия (3.1.2), (3.L3). Поскольку = - ; щ = -щ — f"$i то в новых переменных дифференциальные уравнения (3.1.2), (3.1.3) имеют вид Fa = xff{ZF + 2twGa&).

При подстановке Fa из первого уравнения во второе получается четвертое уравнение системы (3,1.6). В дальнейшем будет подтверждено, что на полученном решении уравнение для Fff выполняется тождественно.

Течение в области между 1\ и Го (в области волны разрежения) будет строиться как решение системы (3.1.6) с данными на характеристике Гі (3.1.5). Поскольку Гі - характеристика кратности один, то для получения единственного локально-аналитического решения необходимо задать одно дополнительное условие. Если бы поверхность Г убиралась медленно, то таким условием было бы условие непротекания на стенке. Если же поверхность Г убирается мгновенно, этим условием в пространстве переменных ( т, t) служит условие вертикали а(0, г) = Я. (3.1.7) Таким образом, для описания волны разрежения между Гі и Го имеется начально-краевая задача (31.5)-(3.1.7), которая в дальнейшем называется задачей о распаде специального разрыва.

Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа

Постановка задачи о распаде специального разрыва Пусть в момент времени t = 0 гладкая поверхность Г, проходящая через точку г0 = {я?, х\, #з}і отделяет однородный покоящийся газ от вакуума. При этом в момент і = 0 известны распределения параметров газа: VU0 = Vo(r), 5t=0 = 50(r), 4=0 = a0(r). (5-1-1)

Здесь V — вектор скорости газа, S — энтропия, а — функция, связанная с плотностью газа р соотношением a = p 1"2i у = const 1 — показатель политропы газа, г={я?і,а?2,а;з}- Функция, задающая поверхность Г, атакже функции VQS SQ1 7Q предполагаются аналитическими, а плотность газа всюду больше нуля, в том числе сго(г)р 0.

В момент і = 0 начинается движение газа, определяемое заданными при і = 0 распределениями Vo,5o,fTo; эт0 движение в дальнейшем будет называться фоновым течением.

Кроме этого предполагается, что в момент t = 0 поверхность Г мгновенно разрушается и начинается истечение части газа в вакуум. Возмущения, возникшие в фоновом течении в результате мгновенного разрушения поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Гі, - поверхностью слабого разрыва. С другой стороны волна разрежения примыкает к вакууму; 0о(г)г 0, где Го — свободная поверхность, являющаяся границей между волной разрежения и вакуумом.

Требуется построить фоновое течение и волну разрежения, а также найти законы движения Гі и Го, то есть построить решение задачи о распаде специального разрыва в случае, когда в начальный момент времени стенка Г отделяет от вакуума газ со строго положительными значениями плотности.

Рассмотрим систему уравнений, описывающую неизэптропические течения идеального политропного газа pi + Vgradp + pdWV = 0, Vt + (VV)V + igradp - О, (5.1.2) t 5 + Vgrad = 0.

Здесь p - давление, p = — y — уравнение состояния. Для удобства дальнейшего исследования в качестве искомой функции будем брать энтропийную функцию 5 = - .(5). Система (5,1.2) для искомых функций а, V, 5 записывается в форме Громеки-Лэмба. иг + V grada + adivV - О, V( + rotV x V + gradV2 + —Ljs mda2 + ± 72grads2 - О, (5.1.3) st + V - grads= 0. Вместо декартовых координат x\7 X2, #з делается переход к новым криволинейным координатам. Пусть поверхность Г задается параметрически яі = 0і(ь2) 2 = 2(6,6), 3 = 3(6 2) или в векторной форме Здесь в качестве і, 2 берутся внутренние переменные поверхности Г. Их, как и Щ можно выбрать ортогональными. Функции фі, ф2, фг предполагаются аналитическими в окрестности точки и такими, что Ф(і2 + Ф 22 ф 0, то есть точка (і — j, 2 = 2) не является особой точкой поверхности Г.

В предыдущем параграфе доказательство основных результатов удалось провести благодаря введению новых независимых переменных, связанных с геометрией исходной поверхности Г. Одна из координатных осей выбиралась в направлении нормали к поверхности Г, а две другие передавали внутреннюю геометрию поверхности Г В данном случае при введении новых независимых переменных необходимо учесть не только геометрию исходной поверхности Г, но и начальные распределения параметров газа на ней.

В системе (5.1.3) делается переход от декартовых координат х\, х%} Хз к новым неортогональным криволинейным координатам 7/, i, 2 по следующим формулам: = &(&,&)+ W&i&) (5-L4) или в векторной форме

Здесь R = {$i,X2iX$} — радиус-вектор произвольной точки пространства, а вектор V = {tt jV ,w } определяется формулой V,= Vo + zrr oSon г где n = {щ,П2,щ} - единичный нормальный вектор к поверхности Г, В дальнейшем будет показано, что каждая частица на свободной поверхности Го движется со скоростью V . Следовательно, скорость частиц газа па Го складывается из начальной скорости Vor и скорости, приобретенной частицей в результате распада разрыва и равной - гт {aosQn)

Таким образом, в введенной системе координат ь 2 - внутренние переменные исходной поверхности Г, а ; - расстояние от поверхности Г до произвольной точки пространства, измеряемое вдоль прямых с направляющими векторами V .

Истечение газа в вакуум при последовательном убирании двух стенок

Пусть в момент времени t = 0 две стенки (рис. 10.1) - прямая у — 0 » и полупрямая х = 0 при у 0 - отделяют от вакуума однородный со скоростью звука с = со 0 газ, покоящийся в первом квадранте плоскости хОу, то есть в области {х О, у 0}.

В момент времени t = 0 стенка, расположенная при х = 0, мгновенно убирается и начинается истечение газа в вакуум вдоль стенки у = О. Течение, возникшее в результате распада этого первого разрыва, является составным (рис. 10,2). В области 0 - вакуум, в области 1 - однородный покоящийся ц газ, в области 2 - центрированная волна Римана имеющая особенность в момент времени і = 0.

Звуковая характеристика Гі2, разделяющая однородный покой и центрированную волну, является вертикальной прямой, которая проходит через точку В(х = со , у = 0) и движется вправо с постоянной скоростью CQ - На Т\2 течения из областей 1 и 2 состыкованы непрерывным образом, но терпят разрыв первые производные газодинамических параметров по переменной х} выводящей С Гі2.

Свободная граница TQ2 - граница между газом и вакуумом - так же я в-ляетея вертикальной прямой, но проходящей через точку А с координатами х = —2с о /(7— 1), у = 0 и движущейся с, постоянной скоростью —2со/(7— 1) в сторону убывания переменной х.

В момент времени = о 0 мгновенно убирается вторая стенка у = и начинается дополнительное истечение газа в вакуум в направлении отри цательных значений переменной у. Именно это, возникшее в результате рас пада второго разрыва в момент — to, течение и является предметом рас смотрения данного параграфа, поскольку убираемая в этот момент времени стенка задается одной аналитической функцией у — 0. А вот течение, при мыкающее к этой стенке, является кусочно-составным: однородный покой и центрированная волна, состыкованные в точке В через слабый разрыв.

Далее предполагается, что во все моменты времени t to конфигурация течения, возникшего в результате распада второго разрыва, следующая (рис. 10.3).

В областях, помеченных на рис. 10.3 0, газа нет.

В области 1 - однородный покоящийся газ, отделенный от возникшей в момент времени = 0 центр про ванн ай волны (10,1.1) все той же, распространяющейся вправо, звуковой характеристикой Гі2. Только теперь эта звуковая характеристика ограничена снизу не точкой 5, а точкой F, имеющей координаты х = CQ, у = Q)(t — о) - Это связано с тем? что вверх по однородному покою будет распространяться звуковая характеристика Гіз, возникшая в момент = to распада второго разрыва на полуоси у = 0, х со о и являющаяся горизонтальной полупрямой: у = со( — Q) х c$t.

В области 2 - центрированная волна (10-1.1). С одной стороны она через звуковую характеристику Гіг примыкает к однородному покою, С другой стороны она граничит с вакуумом через свободную границу Где- Эта сво бодная граница - вертикальная полупрямая х — —2cot/(7 — 1)? у 0 -чья граничная точка С имеет координаты х = — 0) /(7 1) 2/ = 0. По известному в области 2 течению необходимо будет определить звуковую характеристику, распространяющуюся поперек этой центрированной волны в сторону увеличения значений переменной у и совпадающую в начальный для нее момент времени t = to с отрезком [А, В] на оси Ох (рис. 10.2). Далее показано, что эта искомая звуковая характеристика будет состоять из двух частей. Одна часть, которая обозначена как Г24, соединяющая точки С и Е7 порождена точками полуинтервала [А, В). Вторая часть, которая обозначена как Г253 соединяющая точки Е и F, является частью характеристического коноида, возникшего в точке В в момент і = t$ и распространяющегося по центрированной волне (10.1Л). Как показано далее, Т%\ во все моменты времени является прямой, проходящей через точки С и Е, координаты которых определяются однозначно,

В области 3 - возникшая в момент времени і — to вторая простая центрированная волна Рішана, имеющая особенность в момент времени і — tо и распространяющаяся в сторону убывания переменной у: c = grfe+ ( ТГ- » = - » = (7 (10Л-2)

Как уже было сказано, это течение отделено от однородного покоя слабым разрывом Гіз, который является во все моменты времени і і о горизонтальной полупрямой у = co(t — to): х О) » ограниченной слева точкой F с координатами х = cott у = c$(t — to).

От вакуума эта вторая центрированная полна отделена свободной границей Гоз, так же являющейся горизонтальной полупрямой у = -2со( - 0)/(7-1), я О) 0і ограниченной точкой D с координатами х = со Оэ У — 2CQ( — 0)/(7 1) и движущейся в сторону убывания переменной Ї/ с постоянной скоростью -2сь/(7-1).