Содержание к диссертации
0 ВВЕДЕНИЕ 2
0.1 Актуальность темы диссертации 2
0.2 Цели исследования 4
0.3 Научная новизна полученных результатов 5
0.4 Практическая значимость результатов 6
0.5 Положения диссертации, выносимые на защиту . 7
1 АКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА ЗАКРЕПЛЕНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ 8
1.1 Акустическая диагностика закрепления круговой пла стины 8
1.1.1 Исторические замечания 8
1.1.2 Прямая задача 11
1.1.3 Постановка обратной задачи 16
1.1.4 Единственность решения обратной задачи . 17
1.1.5 Точное решение 21
1.1.6 Приближенное решение 24
1.1.7 Устойчивость решения 28
1.1.8 Пакет программ KRUG-PL 33
1.1.9 Примеры 39
1.2 Идентификация условий закрепления диска перемен ной толщины 46
1.2.1 Предварительные сведения 46
1.2.2 Прямая задача 47
1.2.3 Формулировка обратной задачи 51
1.2.4 Единственность решения 52
1.2.5 Точное решение 55
1.2.6 Приближенное решение 57
1.2.7 Устойчивость решения 61
1.2.8 Примеры 65
1.2.9 Заключительные замечания 68
1.3 Акустическая диагностика закрепления кольцевой мем браны 69
1.3.1 Постановка обратной задачи 69
1.3.2 Единственность решения обратной задачи . 70
1.3.3 Метод распознавания краевых условий . 73
1.3.4 Пакет программ KOLCEV-MEMBR 75
1.3.5 Пример 80
1.4 Диагностика закрепления кольцевой пластины по соб ственным частотам ее колебаний 82
1.4.1 Постановка обратной задачи 82
1.4.2 Единственность решения обратной задачи 87
1.4.3 Метод распознавания краевых условий . 93
1.4.4 Примеры 95
1.5 Другая математическая модель акустической диагно стики 102
1.5.1 Введение 102
1.5.2 Постановка обратной задачи 103
1.5.3 Метод распознавания краевых условий . 108
1.6 Отыскание к коэффициентов краевого условия по к собственным значениям 113
1.7 Акустическая диагностика одного из концов стержня 121
1.7.1 Постановка обратной задачи 121
1.7.2 Единственность решения обратной задачи . 125
1.7.3 Алгоритм определения краевых условий по собственным частотам 129
СТАТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА ЗАКРЕПЛЕНИЙ И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ 138
2.1 Статическая диагностика закреплений 138
2.1.1 Введение 138
2.1.2 Математическая постановка задачи восстановления краевых условий и ее корректность 140
2.1.3 Опознание закрепления и нагрузки кольцевой пластины по значениям прогибов 146
2.2 Единственность восстановления общих краевых условий 150
2.2.1 Введение 150
2.2.2 Теорема единственности 152
2.2.3 Контрпримеры 158
2.2.4 Алгоритм восстановления краевых условий 162
2.2.5 Случай, когда корни характеристического уравнения — константы 168
2.2.6 Случай, когда корни характеристического уравнения являются переменными 179
2.2.7 Другие результаты 182
Коэффициентная альтернатива 188
2.3.1 Общие теоремы 188
2.3.2 Акустическая диагностика концевых дисков вала202
2.3.3 Определение моментов инерции вращающихся дисков относительно оси вала 209
2.3.4 Диагностирование нагруженности механической системы с двумя степенями свободы 211
2.3.5 Акустическая диагностика нераспадающихся условий закрепления 214
Обратная задача Штурма-Лиувилля с нераспадающи мися краевыми условиями 219
2.4.1 Предварительные сведения 219
2.4.2 Пример, показывающий существенность условий теоремы Садовничего 225
2.4.3 Аналоги теорем единственности Борга для дифференциальных уравнений второго порядка с нераспадающимися краевыми условиями 228
2.4.4 О корректности обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями 232
2.5 Обратная спектральная задача для уравнения четвер того порядка 245
3 МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И КО ЭФФИЦИЕНТЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯДЫ ПО СОБ СТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ 250
3.1 Два метода вычисления коэффициентов 250
3.1.1 Задачи, приводящие к коэффициентной проблеме250
3.1.2 Обозначения 254
3.1.3 Вычисление коэффициентов с помощью сопряженного оператора 255
3.1.4 Вычисление коэффициентов с помощью сведения задачи к квадратичному пучку операторов 261
3.2 К решению одного класса спектральных задач для обык новенных дифференциальных уравнений 265
3.2.1 Введение 265
3.2.2 Обозначения 271
3.2.3 Определения 272
3.2.4 Описание используемых пространств 278
3.2.5 Сопряженный пучок операторов 287
3.2.6 Основной результат и его доказательство 294
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 301
ЛИТЕРАТУРА 304
Введение к работе
0.1 Актуальность темы диссертации .
В последнее время обществом стали предъявляться ббльшие требования к диагностике технических систем. Каждая новая модель автомобиля, авиалайнера или какой-либо технической системы оснащается современными системами диагностики. Ученые создают все новые и новые модели диагностики в целях обеспечения большей безопасности людей и быстрого обнаружения неисправности. Возникающие в последнее время новые техногенные катастрофы и опасности, связанные с изношенностью основных фондов, потребовали необходимости создания новых методов инженерного обследования и диагностики технического состояния строительных и других объектов, пострадавших в результате чрезвычайных ситуаций.
В настоящее время учеными достаточно хорошо разработаны акустические методы обнаружения трещин, определения формы области или размера предмета. Быстрыми темпами развивается и электронная диагностика технических систем. Однако вплоть до недав него времени задачи по диагностике состояния закреплений и нагруженности строительных объектов акустическими и статическими методами оставались вне поле зрения ученых. И специалисты МЧС при оценке состояния надежности закреплений и нагруженности объектов вынуждены были пользоваться преимущественно визуальными методами, близко приближаясь к объекту и подвергая свою жизнь опасности. Аналогичная ситуация сложилась и в диагностике закреплений и нагруженности технических систем. Для выявления неисправности или проверки надежности закрепления элементов системы специалисты вынуждены были прибегать к ее разборке, увеличивая затраты на диагностику, нарушая приработку деталей и долговечность системы.
Развитие и взаимопроникновение методов механики, математической физики, спектральной теории операторов, теории функций, алгебраической геометрии и современных компьютерных технологий привели к новым возможностям в диагностике, что позволило ставить и решать новые задачи. В частности, новые перспективы возникли в диагностике закреплений и нагруженности объектов, которая, как оказалось, находится на стыке этих наук. Стало ясно, например, что математические модели в акустической диагностике закреплений следует разрабатывать с помощью механики, затем формулировать как обратные задачи математической физики и спектральной теории операторов, которые уже решаются с помощью последовательного применения методов дифференциальных уравнений, теории целых функций, математического анализа, грас смановой и линейной алгебры и современными численными методами. Такой комплексный подход позволил изучить эти и другие математические модели, ответить на важные теоретические вопросы и создать на их основе пакеты программ для пользователей. Именно этой теме — разработке математических моделей акустической и статической диагностики закреплений и нагруженности объектов, а также их исследованию и посвящена настоящая диссертация.
0.2 Цели исследования
Основными целями исследования являются:
1) разработка и исследование математических моделей акустической диагностики закреплений и нагруженности пластин и стержней;
2) разработка математических моделей для определения недоступных для визуального осмотра закреплений пластин и балок по их видимым прогибам в нескольких точках; аналитическое и численное исследование этих моделей статистической диагностики;
3) доказательство корректности постановок математических задач, возникающих в соответствующих моделях; создание на их основе пакетов программ для пользователей;
4) решение проблемы вычисления коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша.
0.3 Научная новизна полученных результатов
Впервые сформулированы математические модели диагностирования вида закрепления мембран, стержней и пластин по собственным частотам их изгибных колебаний, показана корректность соответствующих задач, разработаны методы и пакеты программ для их решения.
Сформулированы математические модели диагностирования вида закрепления балок и пластин по значениям их прогибов в нескольких точках. Доказана корректность постановок соответствующих задач. Найдены точные и численные методы их решения.
Впервые поставлены и решены проблемы идентификации нераспадающихся краевых условий по спектру краевой задачи. На основе некоторых из этих результатов разработаны методы диагностирования сложных видов закреплений механических систем.
Получены новые результаты в классической теории обратных спектральных задач. Представлены явные решения обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями, позволяющие решать ее численно.
Впервые получены формулы вычисления коэффициентов разложения функций в ряды по производным цепочкам Келдыша, выписанные в терминах коэффициентов уравнения и краевых условий для широких классов спектральных задач, возникающих в механике.
0.4 Практическая значимость результатов
Разработанные математические модели и методы становятся основой акустической и статической диагностики недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем и строительных конструкций. Найденные формулы могут дать экономический эффект, связанный с оценкой опасности объекта без приближения к нему и без дорогостоящей его разборки. В некоторых чрезвычайных ситуаций правильное использование этих методов поможет сохранить человеческие жизни.
Предложены также методы, с помощью которых можно судить о величине сосредоточенных масс стержня или вала по собственным частотам изгибных колебаний или крутильных колебаний. Поскольку изменения величин масс могут характеризовать степень изношенности дисков, налипание инородных предметов и т.п., то найденные формулы позволяют выявлять необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.
О практической значимости исследований свидетельствует победа в конкурсах проектов по целевой программе "Интеграция" (этап 2001 года), РФФИ (2000-2003 годы), проекты 00-01-00068, 01-01-00996) и Министерства образования РФ (2003 год, проект Е02-1.0-77).
Результаты работы внедрены в научные исследования лаборатории "Механика твердого тела" Института механики УНЦ РАН и в учебный процесс кафедры дифференциальных уравнений Вашго-суниверситета.
0.5 Положения диссертации, выносимые на защиту
1) Математические модели акустической диагностики закреплений пластин, стержней и мембран; математические модели статической диагностики закреплений и нагруженности балок и пластин;
2) доказательство корректности постановок задач об отыскании вида и параметров закрепления струн, мембран, стержней и пластин; численные алгоритмы и программы для отыскания закреплений по собственным частотам изгибных колебаний; результаты численных исследований закреплений балок и пластин;
3) доказательство теорем о корректности, единственности и двойственности решений некоторых обратных задач Штурма-Лиувилля; численное исследование соответствующих задач;
4) решение проблемы вычисления коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша для широкого класса граничных задач; доказательство на этой основе возможностей численного исследования соответствующих задач.
