Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Основы математической модели сердечно-сосудистой системы .
1.1 Формальное описание системы кровообращения 27
1.2 Математические модели основных элементов графа сердечнососудистой системы.
1.2.1 Вывод квазиодномерных по пространству уравнений гемодинамики 28
1.2.2 Характеристическая форма уравнений гемодинамики 34
1.2.3 Граничные условия и условия сопряжения 37
1.3 Построение линейных аналогов математических моделей элементов сердечно-сосудистой системы.
1.3.1 Вывод линеаризованных гемодинамических уравнений (ЛТД уравнений) 39
1.3.2 Линейный аналог условий сопряжения и краевых условий. 42
Глава 2 Линейный анализ уравнений гемодинамики на одном ребре и в отдельной вершине графа .
2.1 Решение задачи Коши для двух линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа с постоянными коэффициентами.
2.1.1 Постановка задачи 43
2.1.2 Преобразование системы к уравнению второго порядка 44
2.1.3 Каноническая форма записи уравнений 48
2.1.4 Интегральное тождество 49
2.1.5 Построение решения задачи Коши
2.2 Задача Коши для ЛТД уравнений 57
2.3 Смешанная задача для ЛГД уравнений в вершине графа.
2.3.1 Математическая постановка задачи 58
2.3.2 Решение задачи. Коэффициенты отражения и прохождения.
2.3.3 Некоторые общие свойства коэффициентов отражения и прохождения 66
2.3.4 Коэффициенты для вершины фильтрации 68
2.3.5 Коэффициенты для вершины ветвления сосудов 68
2.4 Краевая задача для ЛГД уравнений на одном ребре графа.
2.4.1 Постановка краевой задачи 75
2.4.2 Решение краевой задачи методом продолжений 76
2.4.3 Качественный анализ свойств решения краевой задачи 83
2.4.4 Числовые значения коэффициента усиления в случае граничных условий частного вида 86
2.4.5 Частный случай решения краевой задачи на одном ребре. 88
2.4.6 Разностная задача для амплитуды волн скорости 89
2.5 Решение неоднородных ЛГД уравнений на одном ребре графа. 2.5.1 Частное решение неоднородных ЛГД уравнений 92
2.5.2 Общее решение задачи Коши для неоднородных ЛГД уравнений 93
2.5.3 Постановка и решение вспомогательной задачи 95
2.5.4 Общее решение неоднородных ЛГД уравнений на ограниченном ребре 96
2.5.5 Условие резонанса в решении неоднородных ЛГД уравнений на ограниченном ребре 97
2.6 Влияние трения о стенки на характер решения на одном ребре графа.
2.6.1 Описание метода исследования влияния трения о стенки сосуда на характер течения жидкости в сосуде 101
2.6.2 Постановка задачи Коши для уравнений гемодинамики в безразмерных переменных 102
2.6.3 Приближенное аналитическое решение задачи Коши для линеаризованных уравнений гемодинамики с трением 103
2.6.4 Метод возмущения по параметру при решении уравнений гемодинамики с трением 106 2.6.5 Эволюция пульсовой волны 111
Глава 3 Решение линеаризованных уравнений гемодинамики на графе сосудов .
3.1 Аналитическое решение ЛГД уравнений на конечном промежутке времени для произвольного графа сосудов.
3.1.1 Математическая постановка задачи 129
3.1.2 Построение аналитического решения задачи 130
3.2 Краевая задача на графе из двух ребер.
3.2.1 Постановка краевой задачи 134
3.2.2 Метод продолжений в применении к краевой задаче на графе из двух ребер 136
3.2.3 Рекуррентные соотношения для волн скорости на графе из двух "равновременных" ребер 143
3.2.4 Постановка и решение разностной задачи для волн скорости на двух "равновременных" ребрах 157
3.2.5 Решение краевой задачи на графе из двух ребер с кратными "характерными" временами 162
3.3 Краевая задача на графе «тройник».
3.3.1 Постановка краевой задачи 166
3.3.2 Метод продолжений в применении к краевой задаче на графе «тройник» 167
3.3.3 Аналитическое решение краевой задачи на графе из трех «равновременных» ребер 175
3.4 Система функциональных уравнений с запаздывающими аргументами 183
3.4.1 Рекуррентное соотношение для системы однородных функциональных уравнений 185
3.4.2 Рекуррентное соотношение для системы неоднородных функциональных уравнений 192
3.5 Решение краевой задачи на произвольном графе.
3.5.1 Постановка краевой задачи 193
3.5.2 Метод продолжений в применении к краевой задаче на произвольном графе 195
3.6 Примеры численного решения краевых задач для уравнений гемодинамики на графе.
3.6.1 Численное решение краевой задачи на графе из двух ребер. 200
3.6.2 Численное решение краевой задачи на графе «тройник». 207
3.6.3 Численное решение краевой задачи на графе из трех сосудов, соединенных последовательно 209
3.6.4 Численное решение краевой задачи на графе из четырех ребер с циклом 211
Глава 4 Математическое моделирование некоторых практических задач .
4.1 Математическое моделирование неспецифического аортоартериита.
4.1.1 Обзор этапов моделирования болезни 213
4.1.2 Расчет стационарного течения в сосудах большого круга кровообращения 214
4.1.3 Коэффициенты прохождения и отражения для сосудов артериальной части кровеносной системы человека 216
4.1.4 Маршруты распространения пульсовой волны 219
4.1.5 Краткое медико-физиологическое описание неспецифического аортоартериита 224
4.1.6 Общие принципы моделирования синдромов неспецифического аортоартериита 227
4.1.7 Моделирование синдрома стенозирования нисходящей грудной аорты (коарктационного синдрома) 228
4.2 Математическое моделирование гемодинамических факторов развития аневризм в артериальных сосудах.
4.2.1 Моделирование стационарного течения в артериальной части церебрального кровообращения 238
4.2.2 Моделирование гемодинамических факторов образования аневризм в сосудах Виллизиева круга 247
4.2.3 Моделирование гемодинамических факторов образования аневризм в сосудах артериальной части большого круга кровообращения 256
Заключение 260
Приложение
- Характеристическая форма уравнений гемодинамики
- Построение решения задачи Коши
- Метод продолжений в применении к краевой задаче на произвольном графе
- Моделирование синдрома стенозирования нисходящей грудной аорты (коарктационного синдрома)
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Математическое моделирование движения жидкости по системе эластичных сосудов представляет собой актуальную задачу с широкой областью практического применения. В частности, моделирование применимо при исследовании течения крови по сердечно-сосудистой системе. К настоящему времени накоплен большой объем данных о строении и функциях сосудистой системы, различных видах регуляции кровообращения, сформулированы основные принципы организации системы управления кровообращением. Но многие закономерности деятельности сердечно-сосудистой системы всё ещё нуждаются в дальнейших исследованиях. Кроме того, в настоящее время заболевания сердечно-сосудистой системы имеют широкое распространение даже среди людей в молодом возрасте. Известно, что ряд заболеваний сердечно-сосудистой системы происходят из-за нарушений в распространении пульсовых волн (в диссертации это волны давления и скорости) и их воздействия на стенки кровеносных сосудов. Поэтому, исследование кровеносной системы человека и на текущий момент является одной из важных задач современной фундаментальной науки, что и обуславливает актуальность исследовательских работ в этом направлении.
В данной работе предложен и практически реализован подход, позволяющий в аналитической форме с помощью формул приближенно описать процесс распространения пульсовых волн давления и скорости по сердечно-сосудистой системе человека.
Предмет, цель и задачи работы. В работе вся замкнутая система кровообращения или любая выделенная ее часть представляется в виде графа, состоящего из ребер и вершин. Ребра графа соответствуют отдельным крупным сосудам кровеносной системы или жгутам функционально однородных более мелких сосудов. Вершинам графа приписаны функциональные свойства либо участков ветвления кровеносных сосудов, либо мышечных тканей, либо отдельных органов живого организма. Сосуды считаются достаточно протяженными по сравнению со своими поперечными размерами (диаметром). Это допущение позволяет использовать для математического описания процесса протекания крови квазиодномерное приближение. Описание движения крови в сосудах кровеносной системы в рамках квазиодномерного приближения основано на законах сохранения массы и импульса (количества движения). В дифференциальной форме эти законы принимают вид двух эволюционных по времени, пространственно одномерных дифференциальных уравнений в частных производных. Пространственная переменная представляет собой координату вдоль оси сосудов, объединенных в граф. В качестве третьего уравнения обычно используют соотношение, связывающее площадь поперечного сечения сосуда и трансмуральное давление (разница давлений внутри и снаружи сосуда) в сосуде. Именно в этом уравнении, которое называют уравнением состояния, учитываются все присущие конкретному типу сосуда свойства. Такой закон может учитывать как эластичные свойства сосуда, так и эффекты продольного растяжения и изгиба. Полная математическая модель сердечно-сосудистой системы, помимо модели, описывающей течение крови по сосудам, должна содержать и модель участков сопряжения (бифуркации) сосудов. При построении математической модели бифуркации сосуда предполагают, что в области сопряжения сосудов выполняется закон сохранения массы крови и закон сохранения энергии. Однако, ряд исследований показывает, что в местах бифуркации сосуда нередки образования вихревых течений, которые приводят к диссипации кинетической энергии. Поэтому, обычно вместо закона сохранения энергии используются полуэмпирические соотношения, такие, например, как непрерывность давления в сосудах в местах их соединения, или непрерывность интеграла Бернулли.
Из физиологических исследований известно, что в артериальной части сосудистой системы человека от аорты вплоть до резистивных сосудов наблюдается небольшое, примерно 10% уменьшение величины среднего фонового значения давления крови. Кроме того, в норме пульсационное отклонение давления от среднего значения составляет примерно 20%. Такой диапазон изменения давления позволяет надеяться на возможность использования апробированного в математической физике аппарата построения линейного приближения для исходной нелинейной системы дифференциальных уравнений. Такой подход и был реализован в данной работе. Была проведена линеаризация относительно средних, фоновых значений всех величин, входящих как в дифференциальные уравнения, описывающие движение крови по сосудам, так и в дифференциально-алгебраические соотношения, являющиеся математическими моделями узлов бифуркации сосудов и различных органов, составляющих сердечно-сосудистую систему. В результате, приближенное описание процесса протекания крови по сосудистой системе, в рамках линейного приближения свелось к системе уравнений гиперболического типа с постоянными коэффициентами. Решать эти уравнения необходимо на совокупности одномерных отрезков, объединенных в граф. При этом в вершинах графа должны быть выполнены, соответствующие функциональному назначению этих вершин, условия согласования искомых решений дифференциальных уравнений на различных ребрах графа. К этому добавляются еще начальные и граничные условия на искомые решения.
В данной работе построено аналитическое решение поставленной начально-краевой задачи для системы гиперболических уравнений на графе сосудов на конечном временном промежутке. Данное решение представляет самостоятельный интерес, так как позволяет продвинуться в изучении качественной структуры гемодинамических течений. Это аналитическое решение позволяет не только воспроизводить известные физиологические закономерности, но и может быть использовано при диагностике сердечно-сосудистых заболеваний по клиническим симптомам, которыми служат наблюдаемые нарушения в распространении пульсовой волны. Найденное решение представляет собой суперпозицию бегущих волн, приходящих в каждое сечение сосудистой системы в результате многократных преобразований в узлах бифуркации сосудов кровеносной системы. Установлено, что в вершинах графа, где происходит скачкообразное изменение свойств ребер (например, сечения сосуда, его эластичности) наблюдается эффект частичного прохождения и отражения распространяющихся волн давления и скорости с изменением их амплитуд и фазы. Получены выражения общего вида для коэффициентов, связывающих амплитуды волн до и после момента прохождения вершин графа сердечно-сосудистой системы. Установлен ряд свойств этих коэффициентов.
Аналитическое решение задачи о распространении волн давления и скорости на графе эластичных сосудов является хорошей тестовой задачей для верификации реальной точности и надежности численных методик решения нелинейных уравнений гемодинамики. В диссертации было проведено сравнение результатов численных расчетов ряда модельных задач для нелинейных уравнений гемодинамики, с аналитическими решениями, полученными в данной работе для линеаризованных уравнений гемодинамики. Сравнение показало, что при небольших амплитудах пульсовой волны наблюдается достаточно хорошее совпадение аналитического решения и численного. Сопоставляя результаты математического моделирования распространения волн давления и скорости на графе эластичных сосудов с известными физиологическими закономерностями, можно судить также и о степени соответствия рассматриваемого графа сосудов реальной системе кровообращения. Учитывая, что в медицинской литературе указывается только диапазон, в котором значение параметра сосуда может варьироваться, аналитическое решение задачи о распространении пульсовой волны позволяет корректировать значения параметров ребер графа для более адекватного воспроизведения графов реальной сердечно-сосудистой системы.
Показано, что решение линеаризованных уравнений гемодинамики, как в отдельных сосудах, так и на графе в целом может иметь качественно различный характер в зависимости от конкретного набора значений параметров, характеризующих сосудистую систему и течение крови в ней. Сформулированы условия и найдено количественное значение управляющей комбинации параметров, при которых происходит резонансный рост амплитуд колебаний давления и скорости течения жидкости в кровеносной системе. Показано, что характер поведения амплитуды пульсовой волны определяется значениями определителей матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения в каждой вершине графа. Если произведение этих определителей для всех вершин графа по модулю больше единицы, то амплитуда пульсовой волны давления на рассматриваемом графе растет с течением времени.
В работе также исследуется однородная краевая задача для системы линеаризованных уравнений гемодинамики с не равной нулю правой частью в уравнении движения. С помощью такой постановки задачи моделировалась ситуации, когда кровеносный сосуд помещен в силовое внешнее поле, переменное по пространству и времени. Если сила, приложенная к сосуду, в каждой его точке является периодической по времени, то может возникнуть явление резонанса. Важно знать, какая внешняя сила может вызвать резонанс, а какая нет. Найдены точные аналитические решения задачи при различных правых частях в уравнении движения. Сформулированы условия отсутствия резонанса, которые налагаются на внешнюю силу и на параметры сосуда - фоновую скорость течения и фоновую скорость распространения малых возмущений. В частности показано, что если внешняя сила зависит только от времени, то резонанс отсутствует.
В линейном приближении проведено исследование влияния вязкости жидкости, проявляющейся в рамках используемой квазиодномерной модели в виде трения, заданного в уравнении движения параметрическим выражением, на процесс распространения пульсовых волн давления и скорости. Получено приближенное аналитическое решение задачи Коши для уравнений гемодинамики с вязким трением. Для решения задачи использованы метод Римана и метод возмущения по параметру. С помощью этих подходов получено линейное по малому параметру аналитическое решение уравнений гемодинамики с вязким трением. Установлено, что влияние вязкого трения на течение жидкости в эластичном сосуде проявляется в основном в виде торможения фонового течения всей жидкости и уменьшении в течение времени по экспоненциальному закону амплитуды начального возмущения давления и скорости. Фоновое давление вдоль сосуда мало чувствительно к появлению вязкого трения при рассмотренных характерных для артериальной части сосудистого русла значениях параметров самого сосуда и протекающей по нему жидкости.
Было проведено сравнение результатов численного решения уравнений гемодинамики на графе сосудов с соответствующими аналитическими решениями ЛГД уравнений. Показано, что выводы линейной теории относительно качественных особенностей течения совпадают с результатами численных расчетов.
Результаты медицинских исследований ряда заболеваний показывают, что основными симптомами некоторых заболеваний сердечно-сосудистой системы служат нарушения в распространении пульсовых волн. Эти нарушения могут носить разнообразный характер. При ряде заболеваний (например, неспецифический аортоартериит) наблюдается ослабление пульсации в ряде периферийных артерий. В ряде случаев возможны и противоположные симптомы – возрастание пульсового давления, увеличение скорости распространения пульсовой волны (например, при атеросклерозе грудной аорты). В работе приводятся результаты математического моделирования распространения пульсовой волны по артериальной части большого круга кровообращения. Приведены результаты математического моделирования поражения сосудистого русла при неспецифическом аортоартериите. Результаты математического моделирования поражения системы кровообращения при неспецифическом аортоартериите, качественно согласуются с известными в медицинской литературе симптомами данного заболевания. В работе были получены количественные зависимости степени проявления симптоматики заболевания от величины поражения сосудистой системы.
В работе также представлены результаты математического моделирования процесса развития гемодинамических течений с растущей во времени амплитудой пульсовой волны в сосудах Виллизиева круга и магистральных артериях грудной и брюшной полости. Установлено, что на графе Виллизиева круга мозговых артерий находится ряд вершин бифуркации сосудов, для которых определители матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения, по модулю больше единицы. Оказалось, что эти вершины соответствуют местам наиболее частого возникновения аневризм артериальных сосудов. Приведены результаты расчетов гемодинамических течений в артериальной части большого круга кровообращения. Показано, что при определенных условиях в артериальной части сосудистой системы могут возникать колебания давления с растущей во времени амплитудой. Замечена взаимосвязь между местами локализации аневризм и характерными числовыми значениями определителей матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения в соответствующих вершинах графа. Сформулировано достаточное условие реализации режима течения в кровеносной системе, при котором происходит рост амплитуд пульсовых волн.
Научная новизна, теоретическое и прикладное значение. В диссертации впервые получены следующие основные результаты:
1. В линейном приближении построено аналитическое решение задачи о распространении пульсовых волн давления и скорости на всем графе сердечно-сосудистой системы;
2. Показана возможность существования двух различных режимов распространения пульсовых волн по графу сосудов. Получено достаточное условие развития на графе режима с растущей во времени амплитудой пульсовых волн. Установлено соответствие участков графа, на которых выполняется это достаточное условие, с местами наиболее частого возникновения аневризм в сосудистой системе человека;
3. Установлены количественные закономерности влияния вязкости, задаваемой параметрическим выражением, на процесс распространение пульсовых волн;
4. Показано, что существует принципиальная возможность использования полученных в диссертации результатов для количественного описания симптоматики ряда заболеваний, поражающих сосудистую систему человека.
Работа носит теоретический и прикладной характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях по математическому моделированию сердечно-сосудистой системы человека.
Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались:
на научных семинарах кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова;
на научном семинаре в Институте прикладной математики имени М.В.Келдыша РАН;
на V национальной конференции по медицинской физике и инженерии «Медицинская физика - 2001», Москва, 2001г;
на Международной Российско-Японской рабочей встрече по актуальным проблемам вычислительной механики, Санкт-Петербург, 2002г;
на Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2002г;
на III съезде нейрохирургов России, Санкт-Петербург, 2002г;
на Тихоновских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2003г;
на Международной Российско-Индийской рабочей встрече по высоко производительным вычислениям в науке и индустрии, Москва, 2003г;
на Третьей всероссийской с международным участием школе-конференции по физиологии кровообращения, Москва, 2004г;
на X научной конференции Современные проблемы вычислительной математики и математической физики, Москва, 2004г;
на Четвертой всероссийской с международным участием школе-конференции по физиологии кровообращения, Москва, 2008г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 10], список которых помещен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Изложение материала диссертации структурировано следующим образом. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения, содержит 90 рисунков, 9 таблиц и 2 диаграммы. Библиография насчитывает 110 наименований.
Характеристическая форма уравнений гемодинамики
Данная работа связана с разработкой математического аппарата, предназначенного для исследования кровообращения в организме человека в целом под действием периодически сокращающегося сердца.
Упрощенное описание системы кровообращения имеет следующий вид. Кровь нагнетается сердцем в разветвляющуюся систему сосудов (аорта, артерии и так далее). Область, в которой соединяются несколько сосудов, назовем узлом ветвления сосудов. Сосуды соединяются с мышечными тканями и конкретными органами человека. После прохождения тканей и органов, кровь по венозной части сосудистой системы вновь поступает в сердце. В системе кровообращения можно условно выделить несколько групп элементов, ее составляющих. В рассматриваемой постановке выделено четыре группы, а именно, сердце, сосуды, узлы ветвления сосудов и ткани.
Формально система кровообращения описывается графом, состоящим из ребер и вершин. Ребра графа соответствуют отдельным крупным сосудам кровеносной системы или жгутам функционально однородных мелких сосудов. Вершинам графа приписаны функциональные свойства либо участков ветвления кровеносных сосудов, либо мышечных тканей, либо отдельных органов живого организма. При этом две вершины графа оказываются выделенными (условно назовем их «выходом» из сердца и «входом» в сердце) и являются, соответственно, начальной и конечной вершинами графа.
Пронумеруем вершины графа произвольным образом, потребовав лишь только, чтобы нумерация была сквозной, начинающейся, например, с нуля и до некоторого максимального номера. Пронумеруем также ребра графа. Будем считать ребра направленными отрезками. Направление ребра определяют номера вершин, которые его ограничивают (от меньшего номера к большему номеру). Граф будем считать заданным, если определено количество и нумерация вершин, количество и нумерация ребер, номера вершин, являющихся началом и концом каждого ребра, номера ребер, соединяющихся в каждой вершине, а так же начало и конец графа.
Каждому элементу заданного графа нужно сопоставить свою математическую модели. Заметим, что эти модели могут существенно различаться даже для разных элементов одного и того же типа.
При построении и исследовании моделей элементов сердечно-сосудистой системы важную роль играют точные и приближенные аналитические решения. Эти решения могут использоваться, например, как тесты для верификации методик численного решения. Вместе с тем они представляют большой самостоятельный интерес с позиции изучения качественной структуры и общих свойств гемодинамических течений в сердечно сосудистой системе.
Сосуды будем считать достаточно протяженными по сравнению со своими поперечными размерами (диаметром), что позволяет использовать для их математического описания квазиодномерное приближение [27].
В качестве пространственной координаты х выберем длину дуги (оси сосуда), проходящей через центры круговых сечений сосуда. Пусть S(x,t) -площадь поперечного сечения сосуда, зависящая от координаты х и времени t. Скорость движения крови будем считать направленной вдоль оси сосуда, одинаковой во всем круговом сечении сосуда и обозначим ее как u(x,t). Давление внутри сосуда будем обозначать р(х, t). Плотность крови р считаем постоянной (несжимаемая жидкость).
Используем в дальнейшем выявленное в физиологии свойство артериальных сосудов кровеносной системы человека. Известно, что с увеличением давления р(х, t) монотонно растет площадь поперечного сечения сосуда. Эта зависимость между площадью поперечного сечения сосуда S(x, і) и давлением в сосуде p(x,t) является нелинейной. Сосуд может расшириться лишь до некоторой характерной для каждого из сосудов величины. С уменьшением давления внутри сосуда происходит уменьшение площади поперечного сечения до некоторого минимального значения площади поперечного сечения сосуда. Характерный вид зависимости площади поперечного сечения сосуда S(x,t) от величины давления в сосуде p(x,t) представлен графически на рисунке 1.1.
В основу описания движения крови в сосудах кровеносной системы положим законы сохранения массы и импульса (количества движения).
Рассмотрим в два близких момента времени t и t + At элемент сосуда, заключенный между двумя круговыми поперечными сечениями, имеющими координаты х и х+Ах (Рисунок 1.2). Предположим, что жидкость в выделенном элементе сосуда движется по направлению координатной оси х из области с большим давлением внутри сосуда в область с меньшим давлением. То есть, давление в сечении х больше чем давление в сечении х + Ах и площади поперечных сечений удовлетворяют неравенству S(x,t) S(x + Ax,t). Пусть выражение r{x,t) обозначает радиус кругового сечения, имеющего координату х и площадь S(x,t) = 7ir2(x,t).
Построение решения задачи Коши
Решим задачу Коши для однородных линеаризованных уравнений гемодинамики (1.12). Будем искать функции p(x,t) и u(x,i), удовлетворяющие следующим условиям: р,+ирх+рс2их=0, ut н—рх + иих = 0 , -со х +оо ,t 0 р р(х,0) = Ф(х), и(х,0) = Ч (х) ,-х х +оо. (2.35) Задача (2.35) является частным случаем рассмотренной ранее задачи (2.1). Пусть параметры, имеющиеся в задаче (2.1), принимают следующие значения: ап= рс — 2 a2i= — yi(x,t) = p(x,t), Р y2(x,t) = u(x,t), у(х) = Ф(х), у2(х) = Ч (х), bu=bl2=b2l=b22=0, w (x,t) = 0, w2(x,t)-0. Тогда задачи (2.35) и (2.1) совпадают и можно использовать ранее полученные результаты для задачи (2.1). В соответствии с формулами (2.2), (2.5), (2.8), (2.11), (2.12) имеют место равенства Л+ =й + с,Л =u-c,g+(x,t) = g (x,t) = 0, ju = v = 0, G+(x,t) = G (x,t) = 0 тЛ рс 1 рс f 1 і 1 L- , L l = у = 0 г\г ггг " рс - рс 1 1 При этом в соответствии с формулами (2.32), (2.33) и (2.34) функции р(х, 0 и и(х, t), являющиеся решением задачи (2.35), имеют вид Л_Ф(х-ХУ) + Ф(я--ХУ) _VFQ-XV)-X1/0-IY) p{x,t) - - V рс , _ 2 2 _ (2.36) , ч Ф(х-Л+і)-Ф(х-А-і) x(x-A+t) + x(x-A) u(x,t) = — + . 2рс 2
Из формул (2.36) следует, что значения функций р(х ,ґ) и u(x ,t ) при фиксированных величинах переменных х и t равны комбинациям значений функций Ф и 4і, определяющих начальные данные задачи. В рассматриваемую точку О ,О в плоскости независимых переменных х и t начальные данные сносятся по характеристикам х-яи = х -1+ґ и x-I t = x + l t из двух точек с координатами (x -A+t ,o) и [х -Л ґ,0). Из формул (2.36) так же видно, что решением задачи (2.35) являются линейные комбинации двух бегущих волн. А именно, бегущей волны f+[x-X+t)=—_zo(x-A+t)+vf(x-l+t) и волны рс f (x-X t)= -oix-Vn+ ix-A t). Используя эти волны, формулы (2.36) рс можно записать в следующем виде: p(x,t) = -(f\x-rt)-r(x-Xj), u(x,t) = -(f+(x-A+t) + f-(x-A )). (2.37)
Рассмотрим граф, состоящий из одной вершины и п направленных неограниченных ребер (и 1), соединяющихся в этой вершине. Занумеруем ребра числами от 1 до п. На каждом из ребер введем свою систему координат. Направление координатной оси на ребре примем за направление этого ребра. Не ограничивая общности, начало координат на каждом ребре совместим с вершиной. Тогда на ребрах, направленных к вершине, координаты точек будут иметь отрицательные значения, а на ребрах, направленных от вершины, координаты точек имеют положительные значения (Рисунок 2.2). Введем для каждого ребра параметр zt 0 = 1,...,и), который принимает значение арифметического знака "+" для ребер входящих в вершину и значение знака "-" для ребер выходящих из вершины.
Пусть на каждом ребре выполнены однородные ЛТД уравнения (1.11) Pi,+uiPiXi+pcfuiXj=0, ui,+—Pix.+"iuix.= zixi , . i = l,...,n, (2.38) Р а в начальный момент времени выполняются начальные условия Рі(хі,0) = рі(хі), иі(хі,0) = щі(хі), ZiXi 0, i = l,...,n. (2.39) Здесь: t - время; xt - пространственная координата вдоль ребра с номером і; Pi(xt,t) - отклонение давления в сосуде с номером / от стационарного значения давления pt = const; м,(х,,г) - отклонение скорости течения от стационарного значения йі = const; а=Е. l-sfc), Ki = dS pf/ечного сечения сосуда от давления в сосуде. Функции # ;Ог-) и y/j(xj) - заданные начальные возмущения стационарного значения давления и скорости, соответственно. Скорости стационарных течений будем считать такими, что
Пусть в вершине графа, являющейся граничной точкой xj = 0 для каждой из координатных осей на ребрах графа, выполнены дополнительные условия вида: fjzi(siui( t) + s,piUiPi(0,t)) = 0, (2.40) аі/?1(0,0 + Д«1(0,0 = ад-(0,0 + Д"/(0,0» 0, і = 2,...,п. (2.41) Совокупность соотношений (2.38), (2.39), (2.40) и (2.41) представляют собой рассматриваемую задачу.
Остановимся на дополнительных условиях (2.40) и (2.41). Соотношение (2.40), например, является результатом линеаризации соотношения выражающего условие сохранения массы вещества в вершине графа, которое в рассматриваемом случае имеет вид zД. (р. + pt (0, t))(ui + и; (0, t)) = 0. i=i Соотношения (2.41) появляются при линеаризации условий вида gi(Pi+Pi(0,t),ul+u1(0,t)) = gi(pi+pi(0,t),ui+ui(0,t)), i = 2,...,n, где gi - заданные функции. Так, например, если на границах сосудов, входящих в вершину графа, выполняется условие равенства давлений, то функции gi=Pi+Pi(.Q t) i = \,...,n. Тогда коэффициенты at , Д в (2.41) имеют следующие значения а.=1, Д.=0, i = l,...,n. (2.42) Если на границах сосудов, входящих в вершину графа, выполняется условие равенства интеграла Бернулли [3], то g. = —— v " + — v , i = \,...,n и 2 р тогда коэффициенты в (2.41) принимают значения а)=—, Д="і, i = l,...,n. (2.43) Р В случае, если вершина графа соответствует участку фильтрации через ткань [3], то п = 2 и 5гі=-гЛ(р,+/7,(0,оХ"і+"і(0,О) + (л+А(0»О)5 g2=kD(p2+p2(0,t)), где kD - коэффициент тканевой фильтрации. При этом коэффициенты а:, Д в (2.41) равны: aY=kD- zxspXux, Д = -zxsx, a2=kD, Д2 = 0. (2.44) 2.3.2 Решение задачи. Коэффициенты отражения и прохождения Общим решением дифференциальных уравнений (2.38) на каждом і ребре графа, в соответствии с (2.37), является суперпозиция двух бегущих волн произвольного вида. Одна из них / (x J.t) распространяется по направлению ребра, а вторая f7{%. -A:t) в противоположном направлении. 7 if если Z, ="+", [Г, если Z, ="+", Введем обозначения /. =\ и f ={ [fr, если z, =»-", {/;, если Z, ="-". Тогда общее решение уравнений (2.38) может быть записано в виде: P,(xnt) = zl [fl\xl-J4 t)-fr (xi-Ir,t))t иі(хі,() = (хі-Я;-() + /ГЧхі-Я:Ч)), (2.45) где Л.1 =ui+zjcn i:z = й. - z.c;., i = \,...,n.
Отметим, что в силу (2.38) zixi 0, / 0. Тогда, в случае дозвукового стационарного течения (то есть когда г7,. с.) комбинация yl=xi -Л- t, являющаяся аргумент функции // в соотношениях (2.45), принимает значения удовлетворяющие условию z,. (. 0, а комбинация yi = xi - Apt, являющаяся аргументом функции f Zi, может принимать любые значения из интервала (-со, + оо). Подберем вид функций f 1 и /р на всей области их определения так, чтобы для функций pt(xt,t), u x t) из (2.45) выполнялись начальные условия (2.39) и дополнительные условия (2.40), (2.41).
Метод продолжений в применении к краевой задаче на произвольном графе
Решением дифференциальных уравнений (2.67), в соответствии с (2.37), является суперпозиция двух бегущих волн произвольного вида. Введем обозначение /+ (х - A+t) для волны, распространяющейся по направлению ребра, и f {x-X t) для волны, распространяющейся в противоположном направлении. Здесь Л+=и+с 0 и Я =й-с 0 для дозвуковых фоновых течений (и с).
Тогда, соотношения (2.37), определяющие общее решение системы ЛГД уравнений, имеют вид: / / p{x,t) = -{r{x-X+t)-f-{x-X)), u(x,t) = (f+(x-A+t) + f-(x-A)). (2.68) Конкретная форма функций /+ и / на области определения каждой из них подбирается так, чтобы выполнялись заданные начальные и граничные условия задачи (2.67). В случае 0 х I и t О областью определения функции f+(x-X+t) является полуось (-оо,/], а область определения функции f (x-X t) представляет собой полуось [0,+ оо) .
Подстановка формул (2.68) в начальные условия задачи (2.67) позволяет определить /+ и f на отрезке [о,/], являющемся частью области определения каждой из этих функций: 1 рс f-{z) = q (z) + (z)f 0 z /. (2.69) рс Для нахождения функций /+ и /" на оставшихся частях области определения используются граничные условия. Граф, на котором решается задача, представляет собой одно ребро, ограниченное двумя вершинами. Одной вершине соответствует значение пространственной переменной х = 0, а второй вершине соответствует значение х = /. На вершину х = 0 волна f (x-X i) падает, а волна f+(x-X+t) уходит от этой вершины. Относительно вершины х = 1 волна f+(x-X+t) является падающей, а волна f(x-X t) уходящей. Используем граничное условие в точке х = 0 для определения уходящей от этой вершины волны /+, а граничное условие в точке х = I используем для определения уходящей от второй вершины ВОЛНЫ /".
Подставляя (2.68) в граничные условия задачи (2.67) и решая возникающее соотношение в вершине х = 0 относительно /+, а соотношение в вершине X = 1 относительно / , получаем следующую пару выражений: f+(-X+0 = kJ-(-X) + vlMl(t), (2.70) /й f-(l-Z) = k2f+(l-A+t) + v2Ju2(t), t 0. (2.71) axpc-px a2pc + p2 , Здесь A:, = _ , k2 = _ I__ L _ коэффициенты отражения волны ахрс+рх а2рс-/32 скорости, соответственно, от вершины х = О и вершины х = 1. Величины 2 2 v, = и v2 = - являются амплитудными множителями в /?, +ахрс /32 -а2рс слагаемых, характеризующих дополнительную генерацию волн в граничных вершинах рассматриваемого графа. Предполагается, что ни одна из комбинаций Д +а1рс, /?2 -а2рс не равна нулю. Случай равенства нулю хотя бы одного из этих выражений является вырожденным и не рассматривается. В соотношении (2.70) сделаем следующую замену переменной z = -A+t. Тогда (2.70) примет вид f4z) = k1f-( rz) + vlM ) ,z 0. (2.72) Я Я Сделав в (2.71) замену переменной z = l-X t, получим /-(2) = 2/+(AY+1Z) + V2 ( --L), Z /, (2.73) . / / где t = —- —. Я+ Я Соотношения (2.72) и (2.73) представляют собой систему двух функциональных уравнений, используемую для определения функций /+ и /". Эта система может быть записана в матричной форме. Для этого введем в \т ( Л /Г Г рассмотрение вектора-столбцы V = [f+ (z), f (z)j , V = f (— z), f+ (A+t +—z) V Л A, (kx 0 0 к, Л M = и матрицы T = G = ( z I z Y V0 V7J -".(T-) / — -—) V Я A A )
Тогда система уравнений (2.72), (2.73) принимают вид V = TgV + GM, отражающий тот факт, что волны уходящие от всех вершин рассматриваемого графа являются суперпозицией волн падающих на вершины графа и дополнительных волн, генерируемых в граничных вершинах. Элементами матрицы Tg являются коэффициенты отражения от всех вершин данного графа. Заметим, что detTg =кхк2. Вернемся к уравнениям (2.72), (2.73), которые представляют собой два т линейных соотношения. Заменим в (2.72) f (—-z), используя формулу (2.73). В результате получим отдельное соотношение для функции f+(z): Г(2) = кхк2Г(г + Я+ґ) + уіМі(- ) + у2кіМ2(- - ). (2.74) А Л Л Это соотношение выполняется для значений аргумента г 1-Л+ґ. Из соотношения (2.74) следует, что значение функции /+ в точке z вычисляется через значение этой же функции в точке, расположенной на числовой оси правее на величину X t . Аналогично можно получить отдельное соотношение и для функции /". Для л+ этого заменим в (2.73) /+(Ли +—7z), используя формулу (2.72). В результате Л получим для функции f (z): Г(2) = к1к2Г(2 + Л-(,) + у1к2Мі(-ґ- ) + у2М2(- - ). (2.75) л л л Соотношение выполнено в случае г -Л ґ. Из соотношения (2.75) следует, что значение функции / в точке z вычисляется через значение этой же функции в точке, расположенной на числовой оси левее на величину -X t . Дальнейшие построения выполним на базе соотношения (2.74). Отметим, что тот же самый конечный результат можно получить и с помощью соотношения (2.75). Итак, в соответствии с (2.74), значение функции /+ в любой точке z вычисляется через значение этой же функции в точке, лежащей на числовой оси правее на величину Xt . Отсюда следует, что для определения функции /+ на области значений аргумента (-со,/] достаточно знать ее на промежутке [1-Л+Ґ ,1].
Получим явный вид функции /+ на отрезке [/-AV,/]. На сегменте [0,1], являющимся частью отрезка [1-Л+Ґ ,1], функция /+ уже определена ou соотношением (2.69). Для нахождения функции /+ на оставшемся промежутке Я [l-A+t ,0] воспользуемся соотношением (2.72). Аргумент —z функции /- в Я (2.72) в случае, когда l-Xf z 0, принадлежит промежутку [0,1], на котором, Я" 1 Я Я" в соответствии с (2.69), /"(—z) =—-ср(—z) + y/(—z). Подставляя выражение А+ f C Я+ А+ для функции /" в (2.72), получаем, что функция /+ на отрезке [1-Я+Ґ ,0] имеет следующий вид: f4z) = ki- cp( z) + 4/( z)) + v]Ml(- ). (2.76) рс Я+ Я+ ) Я+ Итак, вид функции /+ на отрезке [1-Я+ґ ,1] определяется формулами (2.69) и (2.76). Теперь, используя (2.74), (2.69) и (2.76), получим явное выражение для функции /+ на всей области значений ее аргумента. Пусть в соотношении (2.74) комбинация Я t +z, являющаяся аргументом функции /+, стоящей в правой части равенства, принадлежит сегменту [l-A+t ,1], на котором функция /+ определена соотношениями (2.69) и (2.76). Тогда сама переменная z , являющаяся аргументом функции /+, стоящей в левой части соотношения (2.74), принадлежит отрезку [1-2Я+Ґ ,1-Я+ґ]. На этом отрезке, в соответствие с (2.74), (2.69) и (2.76), функция /+ имеет вид:
Моделирование синдрома стенозирования нисходящей грудной аорты (коарктационного синдрома)
В данной части работы в линейном приближении проводится исследование влияния вязкости жидкости, проявляющейся в рамках используемой квазиодномерной модели в виде заданного параметрически в уравнении движения трения, на процесс распространения пульсовых волн давления и скорости.
Для этого, в нелинейных квазиодномерных уравнениях гемодинамики, в которых присутствует слагаемое, описывающее вязкое трение, осуществлен переход к безразмерным переменным. При обезразмеривании выбраны характерные для кровообращения в сердечно-сосудистой системе человека значения размерных, масштабных величин времени сердечного цикла, скорости кровотока, среднего давления в артериальной части сосудистой системы, кинематической вязкости и плотности крови, площади поперечного сечения магистрального артериального сосуда. В результате такого обезразмеривания в уравнении движения появляется малый числовой параметр, входящий в слагаемое, описывающее вязкое трение.
Используя как метод Римана, так и метод возмущения по параметру получено приближенное, линейное по малому параметру аналитическое решение задачи Коши для уравнений гемодинамики с вязким трением.
Установлено, что влияние вязкого трения на течение жидкости в эластичном сосуде проявляется в основном в виде торможения фонового течения всей жидкости и уменьшении в течение времени амплитуды локального начального возмущения давления и скорости. Однородное фоновое давление вдоль сосуда мало чувствительно к появлению вязкого трения при рассмотренных значениях параметров самого сосуда и протекающей по нему жидкости.
Рассмотрим один изолированный сосуд с тонкой эластичной стенкой. Пусть поперечный размер сосуда много меньше его длины. Жидкость, текущую по сосуду, будем считать несжимаемой и вязкой. Тогда, для математического описания течения жидкости по такому сосуду может быть использована система квазиодномерных уравнений гемодинамики [2, 27]:
Здесь: S - площадь поперечного сечения сосуда; U(x,t) - скорость движения жидкости вдоль сосуда; Р(х, t) - давление в жидкости внутри сосуда; р = const -плотность жидкости; х - независимая пространственная переменная, измеряемая вдоль оси сосуда; t - время, независимая переменная; FTP - сила трения в жидкости, которая в случае течения Пуазейля равна FTP = -8/zvC/ IS, где v - коэффициент кинематической вязкости.
Перейдем в системе уравнений (2.103) к безразмерным переменным. Для этого представим все входящие в уравнения (2.103) переменные в виде: t = tMt , х = хмх , S = SMS , U = UMU , Р = РМР . Здесь tM, хм, SM, UM, Рм - масштабные множители, имеющие ту же размерность, что и исходные переменные, at , х , S , U , Р - безразмерные переменные. Подставляя данное представление переменных в уравнения (2.103), предполагая выполненным соотношение хм = UMtM и без ограничения общности рассмотрения отбрасывая всюду далее штрихи у безразмерных переменных, получаем систему уравнений гемодинамики в безразмерных переменных: М+ и, +[/ +± = _Д, S = S(P). (2.104) dt дх dt дх р, дх S М „_ KVtM є = Здесь безразмерные параметры р, и є равны: р, = — Р V
Выберем в качестве масштабных множителей следующие величины: 1UJ tM=0,l сек - характерный масштаб времени для процессов, протекающих в течение одного циклического сокращения сердца человека; UM=20 см/сек - средняя величина линейной скорости крови в аорте человека; Рм=100 мм рт.ст. - среднее значение давления в артериальной части кровеносной системы человека; SM=4 см2 - среднее значение площади поперечного сечения аорты человека; /7=1 г/см3 - приближенное значение плотности крови человека; v=0,04 см2/сек - приближенное значение коэффициента кинематической вязкости крови человека. При этом, безразмерные параметры pt и є имеют следующие числовые значения: р =0,003, =0,025. Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений гемодинамики (2.104): dS dSU п dU TTdU 1 дР U dt дх dt дх p дх S S = S(P), -oo x +oo, t 0, (2.105) U(x, 0) = її + y/(x), P(x ,0) = p + p(x), - со x +oo . Здесь p, її - постоянные фоновые значения давления и скорости, а р(х) и у/(х) малые начальные отклонения от фоновых значений давления и скорости, соответственно.
