Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитический обзор методов оценивания показателей таблиц дожития 13
1.1. Прямые методы построения таблиц дожития 14
1.2. Косвенные методы построения таблиц дожития 18
1.2.1. Модель Гомперца-Мейкема 19
1.2.2. Модель Хелигмена-Полларда 19
1.2.3. Модельные таблицы ООН 20
1.2.4. Региональные таблицы Коула-Демени 21
1.2.5. Модельные таблицы Ледерман 22
1.2.6. Логит-система Брасса 23
1.2.7. Модифицированная модель Брасса 26
1.3. Основные преимущества и недостатки прямых и косвенных методов
оценивания показателей таблиц дожития. Комбинированный подход...28
1.4. Эффективность методов оценивания показателей таблиц дожитияЗО
1.5. Основные выводы и заключения к главе 33
Глава 2. Комбинированный метод. оценивание эффективности методов построения таблиц дожития .36
2.1. Комбинированный метод построения таблиц дожития 36
2.1.1. Выбор оптимальных весовых коэффициентов 41
2.1.2. Упрощенный метод оценивания оптимальных весовых коэффициентов 45
2.2. Оценивание вероятностей умереть комбинированным методом с
использованием имитационного моделирования 53
2.2.1. Оценивание весовых коэффициентов брассовских оценок с использованием имитационных процедур 53
2.2.2. Применение имитационных процедур для искусственного получения таблиц дожития 58
2.3. Сглаживание оценок показателей таблиц дожития малочисленного населения 65
2.4. Исследование эффективности оценивания таблиц дожития. Оценивание диапазона возможных случайных изменений показателей дожития 69
2.5. Основные результаты и выводы к главе 72
Глава 3. Алгоритм метода. апробация метода на примере реальных населений с малыми числами смертных случаев 76
3.1. Алгоритмы вычислительной реализации традиционных и предложенных в работе методов исследования смертности населения с малыми числами смертных случаев 76
3.1.1. Алгоритм построения таблиц дожития прямыми методами 76
3.1.2. Алгоритм оценивания таблиц дожития с помощью лигит-системы У. Брасса 78
3.1.3. Алгоритм построения таблиц дожития комбинированным методом '. 80
3.1.4. Алгоритм генерации повозрастных чисел умерших 83
3.1.5. Алгоритм получения интервальных оценок для показателей таблиц дожития 85
3.2. Описание алгоритма работы пакета программ «ОПТД» 86
3.2. Апробация метода на примере населения городов и районов Карачаево-Черкесской республики 91
3.2.1. Применение традиционных методов к оі{ениванию таблщ дожития КЧР 92
3.2.2. Применение комбинированного метода к оцениванию таблиц дожития для городов и районов КЧР 96
3.2.3. Оценивание стандартных отклонений для показателей таблиц дожития городов и районов КЧР 100
3.3. Апробация метода на примере населения Исландии 105
3.3.1. Применение модели Брасса для построения таблиц дожития населения Исландии 106
3.3.2. Применение комбинированного метода для построения таблиц дожития населения Исландии 109
3.3.3. Оценивание стандартных отклонений для показателей таблиц дожития Исландии 111
3.4. Основные выводы и заключения к главе 114
Заключение 116
Библиографический список
- Модель Гомперца-Мейкема
- Выбор оптимальных весовых коэффициентов
- Сглаживание оценок показателей таблиц дожития малочисленного населения
- Алгоритм оценивания таблиц дожития с помощью лигит-системы У. Брасса
Введение к работе
Одно из фундаментальных свойств народонаселения — его постоянное самовозобновление в процессе последовательной смены поколений. Понимание объективного характера закономерностей воспроизводства населения и его составляющих, а также знание их тенденций позволяют демографии разрабатывать рекомендации относительно общих направлений и конкретных мероприятий социальной и демографической политики [57, 60, 76, 85, 86, 89].
Вопросы здоровья и продолжительности жизни были и остаются в центре общественного внимания [1, 27, 29]. Помимо прочего, такое внимание вызвано тем, что с продолжительностью жизни населения связываются успехи в социальном развитии, достигнутые обществом. Это, а также важнейшая роль смертности в воспроизводстве населения, определяют постоянный и пристальный интерес демографии к теме моделирования смертности и продолжительности жизни [3, 4, 12, 14, 47, 48, 74, 88, 90].
В практике при анализе смертности большое значение имеет изучение возрастных и половых особенностей смертности. Это связано как с важностью изучения этих особенностей в контексте социальной политики, так и с необходимостью подготовки сценариев развития смертности по полу и возрасту для целей демографического прогнозирования.
Традиционные подходы к моделированию смертности заключаются в построении таблиц дожития, которые представляют собой модель процесса вымирания когорты родившихся [43, 46, 49, 57, 60, 61, 67, 80, 85, 90]. Таблицы дожития строятся на основе набора условных вероятностей дожития до возраста х + \, тех, кто дожил до возраста х. Эти вероятности, как правило, оцениваются на основе эмпирических данных по численности населения, подверженному риску умереть, и числам умерших в каждом возрасте. При этом традиционно модели смертности игнорируют различия между теоретической вероятностью и эмпирической частотой смертных случаев. Такой подход хорошо работает только в случаях, когда рассматриваются большие
совокупности людей, т.к. в силу закона больших чисел различия между вероятностью события и его эмпирической частотой появления во многом стираются. Небольшие отклонения эмпирических частот от теоретических успешно устраняются с помощью различных методов сглаживания и усреднения [77, 79].
Указанный подход, при котором частота события отождествляется с его вероятностью, не подходит для анализа смертности малочисленных населений (десятки тысяч человек), т.к. эмпирические частоты проявляют большой разброс вокруг теоретических значений. Между тем, анализ смертности в малочисленных населениях является весьма важной задачей [20, 52, 53, 64, 68]. Её актуальность определяется многими причинами, вт.ч.:
Неоднородностью реальных населений.
Необходимостью анализа и сопоставления смертности у малочисленных народов.
Необходимостью исследования географических и социальных особенностей смертности.
Необходимостью исследования малочисленных населений в исторической демографии.
Необходимостью анализа смертности малочисленных населений России, поскольку, согласно Федерального закона от 6 октября 2003 года №131-Ф3 «Об общих принципах организации местного самоуправления в Российской Федерации» полномочия органов местного самоуправления расширенны, и в условиях кризисной демографической ситуации органами исполнительной власти многих субъектов Российской Федерации принимаются программы демографического развития, для реализации и мониторинга которых требуется информация о текущей и перспективной демографической ситуации не только на региональном, но и субрегиональном уровне.
Сходная ситуация наблюдается в случае анализа смертности в населениях с низкой смертностью, а также в старших возрастных группах. В первом случае использование прямых методов будет неэффективным в силу небольшого числа
случаев смерти. Во втором случае мала численность населения, подверженного риску умереть.
В отмеченных случаях, когда традиционные прямые методы являются неэффективными, используются различные косвенные методы, основанные на моделях зависимости показателей смертности от возраста. В частности, одной из наиболее часто используемых моделей является реляционная модель У.Брасса. Она позволяет для исследуемого населения с помощью «стандартной» таблицы дожития и двух параметров, которые оцениваются из исходных данных, получать искомые показатели таблицы дожития [5, 31, 34].
Общим недостатком косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития является неспособность отразить особенности возрастной структуры смертности исследуемого населения, нехарактерные для используемых моделей зависимости смертности от возраста. В возрастах с большим числом людей использование косвенных методов может привести к большим ошибкам, чем ошибки связанные с конечным объёмом выборки.
Отмеченные проблемы моделирования смертности и оценивания показателей таблиц дожития для населения с малым числом случаев смерти во всех или некоторых возрастах, делают актуальной задачу разработки нового более гибкого подхода к построению таблиц дожития, который сочетал бы в себе преимущества как прямых, так и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития [92, 97, 101, 102].
Объектом исследования в диссертационной работе является процесс смертности.
Предметом исследования являются методы оценивания показателей таблиц дожития.
Целью диссертационной работы является исследование существующих методов, а также разработка нового метода, алгоритмов и пакета программ для
оценивания показателей таблиц дожития в условиях малого числа случаев смерти, сочетающих достоинства прямых методов и метода У. Брасса.
Задачи исследования можно определить следующими пунктами:
Исследовать применимость традиционно используемых прямых и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития при малом числе случаев смерти.
Разработать комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, сочетающий в себе достоинства прямых методов и метода У. Брасса.
Разработать алгоритм оценивания стандартных ошибок для оценок показателей таблиц дожития.
Разработать методику оценивания эффективности методов построения таблиц дожития.
Создать пакет программ, позволяющий различными методами оценивать показатели таблиц дожития и для полученных показателей оценивать стандартные ошибки.
Провести сравнительный анализ традиционно используемых методов и предложенного комбинированного метода в ситуациях малого числа случаев смерти.
Для решения поставленных в диссертационной работе задач использованы понятия и методы математической демографии, теории вероятностей и математической статистики, теории оптимизации, аппарата имитационного моделирования и численные методы.
Научная новизна работы состоит в следующем: 1. На основе метода Чанга и метода Брасса разработан комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, позволяющий, с одной стороны, использовать в полной мере исходную информацию, с другой стороны, восполнить недостающие данные.
Обоснован выбор весовых коэффициентов комбинированного метода, в котором весовые коэффициенты определяются из условия минимума квадратичных ошибок комбинированных вероятностей умереть.
Предложена методика увеличения диапазона применимости логит-системы Брасса, за счет подбора наиболее походящего стандарта из эмпирических таблиц дожития.
Предложена методика оценивания стандартных ошибок показателей дожития с использованием аппарата имитационного моделирования, позволяющая осуществлять сравнительный анализ эффективности методов оценивания показателей таблиц дожития.
Разработан пакет программ, позволяющий с помощью традиционных методов, а также с помощью комбинированного метода вычислять оценки показателей таблиц дожития и для получаемых показателей оценивать стандартные ошибки.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечиваются использованием моделей математической демографии, методов теории вероятностей и математической статистики, теории имитационного моделирования, численных методов, а также строгостью математических выкладок и непротиворечивыми результатами проведённых вычислительных экспериментов.
Предлагаемые методы могут быть полезны в областях традиционного использования таблиц дожития: анализ смертности, прогнозирование численности и структуры населения, трудовых ресурсов, моделирование и анализ системы пенсионного и социального обеспечения, актуарные расчеты и др.
Основные положения, выносимые на защиту: 1. Комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, в котором оценки возрастных вероятностей умереть вычисляются как
средневзвешенные прямых и брассовских оценок возрастных вероятностей умереть.
Расширение диапазона применимости логит-системы Брасса за счёт подбора «стандартной» таблицы дожития.
Методика оценивания стандартных ошибок показателей таблиц дожития, использующая имитационные процедуры и методы математической статистики.
Пакет программ, позволяющий с помощью различных традиционных методов, а также с помощью комбинированного метода, оценивать показатели таблиц дожития и для полученных показателей оценивать стандартные ошибки.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:
III Всероссийских Межвузовских научных чтениях «Математические и статистические методы в экономике и естествознании» (РГЭА «РИНХ», Ростов-на-Дону, 2001)
научно-практической конференции аспирантов и студентов КЧГТА «Решение научно-технических и социально-экономических проблем современности» (КЧГТА, Черкесск, 2002);
IV Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2004);
Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (КБНЦ РАН, Нальчик-Эльбрус, 2004);
VIII региональной конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону» (Ставрополь, СевКавГТУ, 2004);
III школе молодых ученных «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (КБНЦ РАН, Нальчик-Эльбрус, 2005);
XXXIV научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов за 2004 год (Ставрополь, 2005)
научно-методическом семинаре кафедры математики и кафедры прикладной математики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии.
По теме диссертации соискатель проходил стажировки в «Центре по изучению проблем народонаселения» экономического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (2005 и 2006 гг.)
По теме диссертационной работы опубликовано 13 работ. Среди них: две статьи в рекомендованных ВАК РФ периодических изданиях, одна в тематическом сборнике статей, одна в электронном журнале, допущенном ВАК РФ (письмо №01-56-05-103 от 26.05.1998) для публикации содержания диссертаций, две в сборниках по итогам проведения международных научно-практических конференций и семинаров, 6 в сборниках по итогам проведения научно-практических конференций. Общий объём публикаций составляет 2.35 п.л., из них автору принадлежит 1.32 п.л.
Теоретические и практические результаты диссертационной работы были использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект №05-06-80432 «Разработка математических моделей и методов оценивания показателей воспроизводства малочисленного населения».
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографического списка, содержащего 105 наименований, и пяти приложений.
Модель Гомперца-Мейкема
Первый набор модельных таблиц дожития был разработан Отделом Населения Секретариата ООН в 1950-х годах [34, 44, 70]. Этот набор, который впоследствии был издан в пересмотренной форме, был получен на основе 158 эмпирических таблиц дожития отдельно для мужского и женского пола. Модельные таблицы создавались в предположении, что величина каждого 5qx (вероятность смерти в возрастном интервале (х, х + 5) таблицы дожития) является квадратичной функцией предыдущей величины 5qx_5 (за исключением первых двух возрастных групп - 1д0 и Aqx - все другие группы будут иметь по пять лет протяженности). Из этого предположения следует, что знание вероятности смерти в любом возрасте позволяет оценивать вероятности смерти в остальных возрастах. Таким образом, таблицы дожития ООН представляют собой модель смертности с одним параметром.
Основным недостатком этих модельных таблиц является то, что квадратичная функция одного параметра, используемая при построении таблиц, не всегда обеспечивает удовлетворительную аппроксимацию исходных данных, что приводит к смещению оценок коэффициентов регрессионных уравнений. При этом само смещение имеет тенденцию к увеличению за счет цепного эффекта, возникающего из-за взаимосвязанности уравнений регрессии. Вторым недостатком модельных таблиц ООН является их однопараметричность. Это означает, что с их помощью невозможно описать особенности режимов вымирания, нехарактерные для таблиц дожития, которые были использованы при создании модельных таблиц ООН.
Вторую попытку построения модельных таблиц дожития предприняли А. Коул и П. Демени в 1966 году [2, 7, 8, 34, 62, 70]. Из первоначального набора в 326 эмпирических таблиц дожития были отобраны 192 таблицы для обоих полов. Из рассмотрения были исключены таблицы дожития, в которых показатели смертности показали большие отклонения от средних показателей. Все 192 отобранные таблицы дожития были построены по данным регистрации и переписей населения. Большинство таблиц были построены для стран целиком, однако были включены несколько таблиц дожития для отдельных регионов, т. к. в них были выявлены существенные отличия в характере смертности, которые сохранялись достаточно долгое время.
Предварительный анализ таблиц показал, что их можно разделить на четыре группы с различными характерами вымирания. Эти группы были названы «Север», «Юг», «Восток» и «Запад» из-за господства в каждой категории таблиц из европейских стран, принадлежащих различным регионам. Таблицы, составившие группу «Запад» характеризуют наиболее общие закономерности, близкие к первым таблицам ООН. Таблицы, вошедшие в другие группы, обобщают наиболее характерные отклонения от этих закономерностей.
Опыт работы с модельными таблицами Коула-Демени показал, что они не могут описывать режимы вымирания, наблюдаемые в большинстве развивающихся стран, потому, что их таблицы дожития не учитывались при создании набора модельных таблиц.
Применение факторного анализа позволило Ледерман и Бреас выделить пять самых важных факторов, объясняющих различия в режимах вымирания 154 эмпирических таблиц дожития, использовавшихся при создании модельных таблиц ООН [24, 34, 70]. Первый фактор связан с общим уровнем смертности, второй характеризует отношение между детской и взрослой смертностью; третий характеризует особенности смертности в старших возрастах, четвертый объясняет смертность детей до 5 лет, и, наконец, пятый отражает дифференциацию мужской и женской смертности в возрастах от 5 до 70 лет.
Позднее, Ледерман предложила семейство одно- и двухпараметрических таблиц дожития, основанных на регрессионном анализе тех же 154 эмпирических таблиц дожития. Модельные таблицы дожития были получены с помощью оценивания вероятностей смерти 5qx для обоих полов через логарифмические регрессионные уравнения для моделей с одним параметром:
Выбор оптимальных весовых коэффициентов
Ключевым в комбинированном методе (2.4) является обоснованный выбор весовых коэффициентов, зависящих как от конкретного исследуемого населения, так и от возраста. Для решения задачи оценивания весовых коэффициентов предлагается следующий подход.
Рассмотрим класс комбинированных оценок возрастных вероятностей умереть (2.4). Для получения эффективной оценки qx будем использовать веса, соответствующие минимуму квадратичной ошибки. Для нахождения квадратичной ошибки qx необходимо выяснить степень корреляции оценок qxch) и qxb . Очевидно, что оценки, полученные прямыми методами и по модели Брасса, будут коррелированными, т.к. обе эти оценки проводятся на основе одной и той же выборки. Однако, для нахождения оценки qxcH) используются данные только по одному возрастному интервалу, а для нахождения оценки qxh) используются данные по всем возрастам. Из этого следует, что исходные данные по отдельному возрасту слабо влияют на оценку qxb . Поэтому разумно предположить, что оценки qxcll) и qxb) имеют небольшую корреляцию, и при подсчёте квадратичной ошибки оценки qx ею можно пренебречь. Обоснование выбора весовых коэффициентов комбинированного метода даёт следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть оценки qxcK) и qxb) некоррелированны. Тогда оптимальные, в смысле минимума квадратичной ошибки оценки qx, весовые коэффициенты комбинированного метода coxch) и а хЬ) будут обратно пропорциональны величинам квадратичных ошибок прямых и брассовских оценок возрастных вероятностей умереть uxch) и ихЬ)", с одним и тем же Коэффициентом ПрОПОрЦИОНаЛЬНОСТИ, Т.Є. (Ох = -, (Ох = -, Х = (0,Х), г их их некоторое положительное число.
Доказательство. Учитывая (2.4) и то что a xch) + a xb) = 1, получим следующее выражение для нахождения квадратичной ошибки оценок qx: где: qx — истинные (неизвестные) вероятности умереть, M(qx-qx)2 — математическое ожидание квадрата отклонения комбинированных оценок вероятностей умереть дх от своих истинных значений qx.
В силу того, что процесс вымирания, описываемый таблицей дожития, происходит по схеме Бернулли: каждый человек доживает до следующего возраста, подвергаясь риску умереть qx, то оценки долей доживающих до следующего возраста подчиняются биномиальному закону распределения. Учитывая, что возрастные вероятности умереть qx при прямом подходе оцениваются непосредственно из исходных данных, имеем, что M(qxch)) = qx, т.е. qxch) являются несмещёнными оценками для qx. Учитывая также некоррелированность оценок gxcll) и qxb для второго слагаемого в (2.8) можно записать:
Замечание. Оценка (2.15) указывает на то, что квадратичная ошибка комбинированного метода будет наиболее эффективной по сравнению с наилучшей из прямой и брассовской оценок, если обе упомянутые оценки имеют одинаковые стандартные ошибки, т.е. к = 1 (в этом случае квадратичная ошибка комбинированного метода вдвое меньше). Если же, напротив, два упомянутых традиционных метода дают оценки, значительно различающиеся по эффективности (т.е. к«1 или к»1), то комбинированный метод оказывается лишь незначительно эффективнее лучшего из двух традиционных методов.
Таким образом, задача нахождения оптимальных весовых коэффициентов сводится к задаче оценивания квадратичных ошибок для оценок вероятностей умереть qxch) и qxbK В работе рассматривается два подхода к оцениванию квадратичных ошибок: упрощённый метод и метод на основе имитационного моделирования с применением итерационных процедур. В качестве начального приближения для процесса итераций в работе используются результаты упрощённого расчета квадратичных ошибок, что значительно уменьшает количество итераций и снижает затраты машинного времени при программной реализации алгоритма.
Сглаживание оценок показателей таблиц дожития малочисленного населения
При построении таблиц дожития малочисленного населения оцениваемые показатели могут проявлять значительные случайные колебания, в силу чего актуальна задача сглаживания показателей смертности, на основе которых оцениваются показатели таблицы дожития. В настоящей работе рассматривается проблема сглаживания возрастных вероятностей умереть - qx.
Наиболее часто на практике используется метод скользящих средних. В случаях, когда оценки qx в соседних возрастах обладают существенно различающимися дисперсиями, этот метод неэффективен. Действительно, заметим, что этот метод является частным случаем метода наименьших квадратов, когда предполагается, что функция тренда для сглаживаемых показателей линейна и выполняется условие гомоскедастичности, т.е. условие равенства дисперсий для всех наблюдений. Между тем для малочисленного населения условие гомоскедастичности вероятностей дожития до следующего возраста не выполняется по ряду причин: - оценки qx в различных возрастах строятся на основе данных по населению разной численности, что приводит к разным дисперсиям этих оценок; - сами вероятности для разных возрастов различны (т.к. процесс дожития/смертности в таблице дожития происходит по схеме Бернулли, то оценки вероятностей дожития до следующего возраста подчиняются биномиальному закону распределения и дисперсии этих показателей зависят от самих вероятностей и оцениваются по формуле ах =qx(l-qx)/nx, где пх — численность населения возраста х ); - из-за особенностей сбора и качества исходной статистической информации (например, особенности миграции в предпенсионных и пенсионных возрастах могут существенно влиять на качество демографической статистики смертности для малочисленного населения).
В этой ситуации разумно использовать взвешенный метод наименьших квадратов, суть которого заключается в том, что вклад каждого показателя смертности «взвешивается» соответственно среднеквадратическому отклонению этого показателя. Ответ на вопрос о том, как именно должно осуществляться подобное сглаживание, даёт следующая лемма.
Лемма 2.2. Пусть имеется набор некоррелированных величин Yx, Y2, ..., Yn (п —нечётное число), представляющие наблюдения в моменты времени /,, t2, ... „, и для каждой из величин известны оценки дисперсий О",2, (X2, ..., х„. Пусть также функция тренда линейна и переменная t принимает в средней точке значение f(„_i)/2 = 0 (этого условия всегда можно добиться шкалированием переменной t). Тогда сглаженное значение Yt =0 для величины Yt _п/2=о определяется значением функции регрессии для средней точки Yt =Q , определяемое формулой:
Примечание 2.1. В условиях леммы 2.2 мы пренебрегли корреляцией между наблюдениями. На практике при сглаживании оценок прямых вероятностей дожития корреляция между оценками в разных возрастах отсутствует, однако при сглаживании комбинированных вероятностей умереть наблюдается несколько иная картина. Оценки комбинированных вероятностей умереть будут коррелированны, поскольку коррелированны оценки брассовских вероятностей умереть. Роль этих корреляций будет доминировать, если брассовские весовые коэффициенты будут выше прямых. В такой ситуации среднеквадратические отклонения оценок комбинированных вероятностей умереть будут близки друг к другу, поскольку среднеквадратические отклонения брассовских оценок отличаются незначительно в соседних возрастах. А в такой ситуации оптимальное сглаживание (2.63) сводится к простому невзвешенному скользящему среднему. Действительно, заметим, что при условии гомоскедастичности (erf = Алгоритм комбинированного метода оценивания показателей таблиц дожития можно разбить на следующие этапы: 1. Из исходных данных по методу Чанга и с помощью логит-системы Брасса вычисляются оценки возрастных вероятностей умереть qdx и ь 2. Используя исходную возрастную структуру и брассовские вероятности умереть, оцениваются квадратичные ошибки вероятностей умереть метода Чанга— их = (qbx{\-qbx))l пх. 3. Вычисляются величины квадратичных ошибок брассовских вероятностей умереть как суммы двух составляющих (используется упрощённый подход, см. п. 2.1.2): величин систематических смещений брассовских вероятностей умереть (2.30), к которым может приводить использование выбранного стандарта; дисперсий брассовских вероятностей умереть (2.43). 4. Используя полученные оценки вероятностей умереть и оценки их квадратичных ошибок, вычисляются комбинированные оценки: =( -(1/ ) + -(1/11 ))/(1/ +1/ ). 5. При помощи метода простых итераций, уточняем полученные значения qx. В качестве начального приближения используются комбинированные оценки возрастных вероятностей умереть qyxnp, вычисленные при помощи упрощённого подхода. На каждой итерации вычисляются новые значения для квадратичных ошибок прямых и брассовских вероятностей умереть их, их. Квадратичные ошибки вероятностей умереть прямого метода вычисляются по формуле их = (qx(\-qx))lnx. Систематическая составляющая брассовских ошибок не меняется в процессе итераций, а дисперсии брассовских вероятностей дожития вычисляются с использованием аппарата имитационного моделирования (п. 2.2.1). Итерационный процесс не прекращается до тех пор пока р — расстояние между к-м и к + \-м приближениями решения системы (2.45) не станет удовлетворять неравенству p eps, где eps — малая величина. Для оценивания расстояния между приближениями используется следующее соотношение: р = max( A) - qxk ), х х = (о, X), где X — индекс старшей возрастной группы. 6. Комбинированные оценки возрастных вероятностей умереть сглаживаются с помощью «взвешенного» метода скользящих средних (п. 2.3). Этот этап может быть пропущен, если исследователь отказывается от сглаживания. 7. На основе полученных комбинированных оценок вероятностей умереть до следующего возраста, используя прямой метод Чанга, рассчитываются остальные показатели таблиц дожития. Работу алгоритма оценивания показателей таблиц дожития при помощи комбинированного подхода можно представить в виде схемы, представленной на рис. 3.3. На этой схеме жирными линиями выделены элементы, описывающие процесс уточнения получаемого решения с помощью итерационных процедур. умерших Имитирование процесса вымирания в каждом возрасте сводится к генерации числа умерших dx. В силу того, что оценки чисел умирающих в таблице дожития имеют биномиальный закон распределения, в работе для генерации чисел умерших используется алгоритм, опирающийся на метод обратной функции : 1. В качестве исходных данных для процесса имитаций используются вероятности смерти qx, полученные комбинированным способом, а также повозрастные числа живущих пх теоретического населения, равные повозрастным числам живущих в исследуемом населении. 2. Вычисляется F(1) = P(0), где Р(0) вычисляется по (2.55). Если выполняется условие Р(1) & О, то s = 0 и необходимо перейти к пункту 5 данного алгоритма, в противном случае необходимо перейти к следующему пункту. 3. Вычисляется вероятность того, что в результате имитирования процесса вымирания число умерших в возрасте х в теоретическом населении будет равняться его математическому ожиданиюАлгоритм оценивания таблиц дожития с помощью лигит-системы У. Брасса
Похожие диссертации на Комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития
