Содержание к диссертации
Введение
1 Одномерная обратная задача для уравнения акустики 25
1.1 Сведение к задаче нахождения акустической жесткости 25
1.2 Сведение обратной задачи к операторному уравнению 26
1.3 Исследование оператора Л 30
1.4 Исследование обратной задачи 42
1.5 Метод итераций Ландвебера 54
1.6 Метод наискорейшего спуска 59
2 Начально-краевые задачи для двумерных уравнений эллиптического и параболического типов 64
2.1 Сведение начально-краевой задачи для уравнения Лапласа к обратной задаче и операторному уравнению 64
2.2 Исследование оператора Л для уравнения Лапласа
2.3 Условная корректность задачи Коши для уравнения Лапласа. 72
2.4 Метод наискорейшего спуска для уравнения Лапласа . 72
2.5 Сведение начально-краевой задачи для двумерного уравнения параболического типа к обратной задаче и операторному уравнению 79
2.6 Исследование оператора Л для параболического уравнения . 81
2.7 Метод наискорейшего спуска для параболического уравнения 88
3 Численное приложение для начально-краевой задачи для уравнения Лапласа 91
Список литературы 101
- Сведение обратной задачи к операторному уравнению
- Метод итераций Ландвебера
- Сведение начально-краевой задачи для уравнения Лапласа к обратной задаче и операторному уравнению
- Сведение начально-краевой задачи для двумерного уравнения параболического типа к обратной задаче и операторному уравнению
Введение к работе
*
В работе рассмотрены следующие задачи: слабонекорректная одномерная обратная задача акустики(ОЗА) и сильно некорректные начально-краевые задачи для двумерного уравнения Лапласа(НКЗУЛ) и двумерного уравнения параболического типа(НКЗПУ) . Задачи записываются в операторном виде
Л(Ф)=С, (0.0.1)
где А соответствующий оператор, действующий из г в Li. Исследуются следующие градиентные методы решения задачи (0.0.1)
метод наискорейшего спуска (МНС) - (ОЗА, НКЗУЛ, НКЗПУ)
метод итераций Ландвебера (МИЛ) - (ОЗА)
В первой главе рассматривается обратная задача для уравнения акустики.
Постановка обратной задачи для уравнения акустики. Пусть p(z) > 0 плотность акустической среды, c(z) > 0 скорость распространения акустических воли в среде, v(z,t) акустическое давление. Предположим, что до момента времени t = 0 среда находилась в покое
«|*<о = 0. (0.0.2)
i#
\^ И пусть в момент времени і = 0 на границе полупространства z > 0 вклю-
чен источник мгновенного типа
v,|,m> = оВД. (0.0.3)
#
Здесь 5(t) дельта-функция Дирака.
Известно, что функция v(z,t) удовлетворяет уравнению
.-2,.4.. .. №).
c-z{z)vti = vzz - ~vz, z > 0, t > 0. (0.0.4)
P\z)
Прямая задача заключается в определении акустического давления v(z, t),
по известным функциям p{z) плотности среды и c(z) скорости распростра
нения акустических волн.
^^ Обратная задача состоит в определении коэффициентов уравнения (0.0.4)
(или каких-либо их комбинаций) по измеренному на границе z — 0 акустическому давлению
«(+0, *) = /(*) (О-О-5)
Эта задача относится к задачам определения коэффициентов гиперболических уравнений и систем по некоторой дополнительной информации об их
Щ- решении. По типу дополнительной информации, задаваемой относительно
решения прямой задачи, обратные задачи для гиперболических уравнений можно разделить на три основные группы (С.И.Кабанихин, 1988[14]): кинематические, спектральные и динамические. В кинематических обратных задачах в качестве дополнительной информации задаются времена прихода возмущений от источников к поверхности исследуемой среды. При этом измерения могут проводиться как на всей поверхности, так и на неко-
А торой ее части; источники возмущений могут пробегать всю поверхность
(или некоторую ее часть) либо располагаться внутри исследуемой среды.
#
В спектральных обратных задачах в качестве дополнительной информации задаются собственные значения соответствующих дифференциальных операторов и квадраты норм соответствующих собственных функций (при этом возможны и другие варианты задания дополнительной информации).
В динамических обратных задачах в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой, как правило времениподобной, поверхности.
Методы исследования динамических обратных задач для гиперболических уравнений можно разделить на прямые и итерационные (S.I.Kabanikhin, A.D.Satybaev, M.A.Shishlenin, 2004 [49]).
К прямым можно отнести следующие методы: Гельфанда-Левитана, граничного управления, обращения конечно-разностных схем и линеаризации, которые позволяют определять решение в некоторых конкретных точках среды. В 1962 г. А.С.Алексеевым [1] впервые был рассмотрен ряд математических постановок обратных задач теории распространения упругих волн. Обнаружилась их связь с одномерными обратными спектральными задачами, рассмотренными И.М.Гельфандом и Б.М.Левитаном (1951), а также М.Г.Крейном (1951, 1954 и работы других лет). В работе А.С.Алексеева(1967 [2]) идея обращения разностных схем впервые сформулирована в явном виде как один из возможных численных методов решения обратных задач для дифференциальных уравнений. Было предложено заменить все соотношения в исходной дифференциальной обратной задаче на их конечно-разностные аналоги. Получившуюся при этом систему (вообще говоря, нелинейных) алгебраических уравнений очень часто оказалось возможным решать достаточно быстро и эффективно, используя вольтерровость основных уравнений акустики, электродинамики, теории упругости. Такие исследования были проведе-
#
#
*
?r
„6~ ны в работах А.С.Алексеева, В.И.Добринского(1975 [4]), где установлена связь метода Кюнетца с дискретным аналогом метода Гельфанда-Левитана, СИ.Кабанихина(1988 [14]). В зависимости от расположения источников и приемников возмущений волновые процессы можно классифицировать следующим образом: внутренняя и внешняя задачи просвечивания, внутренняя и внешняя задачи локации. В работе А.С.Алексеева, В.С.Белоносова(1998 [3]) доказана полная эквивалентность этих задач. Показано, что любая из них может быть сведена к любой другой при помощи явных формул и преобразования Фурье. Поэтому результаты, полученные ранее для отдельных задач, применимы к решению остальных.
Алгоритмы итерационных методов основаны на многократном решении соответствующей прямой задачи и ей сопряженной. Основные идеи метода сопряженного оператора прямой задачи, предложенного Г.И.Марчуком(1964 [26]), изложены в работе А.С.Алексеева(1967 [2]) в специализированном для обратных сейсмических задач виде. Первые численные результаты по решению одномерной динамической обратной задачи сейсмики опубликованы в работе A.Bamberger, G.Chavent, P.Lailly(1979 [37]).
Основным результатом первой главы является оценка скорости сходимости итераций Ландвебера, которая в отличие от предшествующих работ (M.Hanke, A.Neubauer, O.Scherzer,1995 [41], S.LKabanikhin, R.Kowar, O.Scherzcr;1998 [47], S.LKabanikhin, K.T.Iskakov, M.Yamamoto,2001 [45]) получена здесь "в целом"(то есть, для произвольной, но фиксированной глубины /) и без предположения о малости постоянной в основном условии сходимости (1.5.2). Данный результат стал возможен благодаря сведению исходной обратной задачи к такой системе нелинейных интегральных уравнений вольтерровского типа, которую удалось исследовать в соответству-
#
'#'
ющем пространстве Ь^{1) (см. Раздел 1.2).
В Разделе 1.1 обратная задача (0.0.2)-(0.0.5) сводится к следующей
с'(х)
Щі — ихх г^их> я > 0, t > 0, (0.0.6)
а{х)
u\t<o s0, а: > 0, (0.0.7)
иг(+М = 7'ОД, *>0, (0.0.8)
и(+0, *) = /(*)» *>0, (0.0.9)
где по дополнительной информации (0.0.9) надо найти решение u(x,t) и акустическую жесткость среды а(х) > 0.
В разделе 1.2 обратная задача (0.0.6)-(0.0.9) сводится к операторному уравнению Л(Ф) = G, где Л(Ф) = Ф + <6(Ф), а ? нелинейный оператор вольтерровского типа. В разделе 1.3 исследованы следующие свойства операторов Л и ІЗ:
Лемма 0.0.1. Предполоэ/сим, что оператор Л определен формулами (1.2.11)-(1.2.Ц) и пусть /' Є L2(0,2l). Тогда Л : L2{1) -* L2(0 и имеют место следующие оценки:
Ііа(ф)ііі2(д(0)<ф?-і,
\\В2(Ф)\\1М<\Ы-1,
іа(*)Е,№о<5(^+Д«1 + |«!.
«te Ф. := ||Ф||(І) йм Ф Є L2(l), /З := «/'Ц^
21)-
щ Лемма 0.0.2. Если Ф Є Ь2{ї), f Є -^2(0,2^), то оператор А, определяе-
мый (1.2.11)-(1.2.Ц), дифференцируем по Фреше и Д'(Ф)Ф - Ф + #'(Ф)Ф
'#
(?ЛЯ Ф Є -^2(/), ^Б
#
а;
ВДф - \J [Фз(0 ф2(0 + ф2(0 ФзК)] de,
#,
#3(Ф)Ф = 2#2(Ф)Ф [/'(2а:) + В4(Ф)} + 2В(Ф)Ф
В2(Ф)-+-
*
'#
Й(Ф)Ф - У[Фз(0 Фі(Є, 2а: - 0 + ФзЙ) Фі«, 2х - )]rf, о
причем Я! : 1/2(/) —* Д-^2(/), ^2(/))-
Более того, имеют место следующие оценки, б которых Ф* = ||Ф||(/) .*
н^1'(ф)ф|іі2(А(0) < «г<#.
І!В2'(Ф)Ф|ІІ(о,«) < «W.
1|Вз'(Ф)ФЩ(ад < 8(/3 + 4;)4>Ж + 16Ф<
Лемма 0.0.3. Пусть оператор Л определяется (1.2.11)-(1.2.Ц), /' 2(0}21), тогда для любого Ф Є Ьг(0 оператор Л'(Ф) : г(/) —* -^г(/) имеет сопряженный оператор [АГ(Ф)]* : 1^(/) —* Ьз(/)7 действующий на W Є Ьз(/) следующим образом:
'-*?
[ЛІ(Ф)]*^ - VTa - ІФ3W і У VKx(e, і + д: - ^^ + | ^i(U - а;+ «#
ft(.,(i±-)+I].w(i±-) ,
*
[A№)]*W = W2 + ~Ф3(х) J iw2(t) + 2Wz(0 [/'(20 + 04(Ф)«)] } df,
a: / [ 2—
'#
- Ф2<х) Wa(0 - 2Ф2(г). Wa(0 [/'(20 + В4(Ф)(Є]
4Фі(ж,2-а:)
%(Ф)«) + і
WaK) У #,
и имеют место оценки:
*
ІІРі'(Ф)] W||i2(A(0) < 2MV^J + 2(ФІ 4- 4,)-^ ІІЙ'(Ф)]^111(0,0 < ^WC + 2/3 + 2ФЙ,
ll[^(*)]^||i2{W) < зи?ф;( + /? + і + зф}).
В разделе 1.4 доказана теорема о корректности в окрестности точного решения:
Теорема 0.0.1 (о корректности в окрестности точного решения).
ш1 Пусть f Є //2(0,2/) и для некоторых І > 0, G Є Ьг(0 Ф* L2(l) - решение
задачи -4(Ф) — G, где Л определяется (1.2.11), (1.2.Ц), тогда найдется такое 5 > 0, что для любого Gs Є B(G,5,0) существует единственное Ф6 Є L2(l) решение Л(Ф$) = G5, непрерывно зависящее от G5.
В разделах 1,5-1.6 доказаны теоремы сходимости исследуемых итерационных методов (МНС, МИЛ) и получены оценки скорости сходимости этих методов к точному решению.
*
^ Теорема 0.0.2 (о сходимости итераций Ландвебера). Пусть I > 0 и
для G Є L2(l) существует Ф* Є L2(l)- решение задачи Л(Ф) = G. Тогда
*
'#
-10-найдется такое 5* > 0, а* > 0, что если Ф^ Є Л(Ф*,о~*,0), а Є (0, а*), то итерации Ландвебера фЕт+11 :
ф[т+1] = ф[т] _ а{д '(фН)]*[Д(фМ) _ С] (0.0.10)
сходятся к Ф* решению задачи А(Ф) = G при т -> оо и при любых г\ Є (0,1/2) верна оценка
\Ф* - ф№\\2 < vSl 0.0.11)
где v* :=
aOj-277)
Є (0,1).
Теорема 0.0.3 (о сходимости МНС). Пусть I > 0 и для G Х^гСО
%
существует решение Ф* Є ЬгО) задачи А(Ф) = G. Тогда можно указать
такое <5* > 0 что, если
фМ Б(ф*,5*,0), то итерации метода наискорейшего спуска сходятся и верна оценка
ЦфИ _ ф*||2 < М12^т^2, (0.0.12)
Во второй главе рассматриваются начально-краевые задачи для урав-
ҐЖі нения Лапласа и уравнения параболического типа.
Постановка начально-краевой задачи для уравнения Лапласа.
В области О :— {(х, у) Є Ш2 \ х Є (0,1), у Є (0,1)} рассматриваем следующую систему
Ди = 0, (x,y)eQ, (0.0.13)
*(0,їО = >М, У Є (ОД), (0.0.14)
^k; «х(0,у)-0, у Є (0,1), (0.0.15)
и(ж,0) = и(г, 1) = 0, з;Є (0,1). (0.0.16)
К этой задаче сводятся плоские задачи Коши для уравнения Лапласа, которые, как известно, имеют широкое практическое применение, например, в задаче определения потенциала электростатического поля, искусственно созданного внутри Земли.
Как известно (М.М.Лаврентьев, 1956 [18]), рассматриваемая задача некорректна по Адамару. Решение задачи Коши для уравнения Лапласа единственно, но неустойчиво. Если мы возьмем функции
(рг(у) = а sin(ny), <р2(у) = О,
то решениями задачи (0.0.13)-(0.0.16) будут, соответственно, функции
ux(x,y) = a-sm(ny) , u2{x,y) = Q.
Таким образом, разность <рі(у) — <>2(у) может быть мала за счет выбора а, а разность решений щ(х,у) — иг{х,у) может неограниченно расти за счет выбора п. То есть задача (0.0.13)-(0.0.16) некорректна, а именно, неустойчива к малым изменениям данных.
Для того, чтобы постановка задачи была корректной, необходимо сузить класс рассматриваемых решений. Устойчивость плоской задачи в классе ограниченных решений впервые доказал T.Carleman(1926 [39]). Из результатов работы T.Carleman(1926 [39]) непосредственно следуют оценки, характеризующие эту устойчивость. Оценки, характеризующие устойчивость пространственной задачи в классе ограниченных решений, впервые были получены М.М.Лаврентьевым(1955 [17]) для гармонических функций, заданных в прямом цилиндре и обращающихся в нуль на образующих. Данные Коши брались на основании цилиндра. Аналогичные оценки для произвольной пространственной области с достаточно гладкой границей были получены М.М.Лаврентьевым(1955 [17]) и немного позже С.Н.Мергеляном(1956 [27]) для функций внутри сферы. Примерно в то же
-12-
время Е.М.Ландис(1956 [24]) получил оценки, характеризующие устойчи-
гікї.
вость пространственной задачи для произвольного эллиптического уравнения. В работе L.E.Payne(1975 [53]) доказана условная устойчивость для произвольного эллиптического уравнения для более общей области. Позже С.П.Шишатский (М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, С.П.Шишатский, 1980 [21]) и А.Л.Бухгейм(1988 [8]) рассмотрели общие эллиптические уравнения в операторной форме и получили похожие оценки.
#
После того, как установлена корректность постановки, естественно встает вопрос о создании эффективного метода решения задачи. Под эффективным методом понимается алгоритм, дающий возможность решить следующую задачу.
В ограниченной области Q (плоской или пространственной) рассматривается следующая задача Коши для эллиптического оператора L:
Чг0 = <Р,
— |г0=^>
где Г0 часть границы Q, и - нормаль к Го. Требуется по известным функциям (риф определить функцию и внутри области П с некоторой гарантированной точностью.
Первые результаты, относящиеся к построению эффективного алгоритма для решения задачи опубликованы одновременно в работах Carlo Pucci (1955 [54]) и М.МЛаврентьва (1955 [17]). В работе М.М.Лаврентьева(1956 [18]) предложен ряд методов эффективного решения задачи. Первый метод для решения плоской задачи в классе ограниченных функций получен из
^7 формулы Карлемана. Второй метод предложен для решения плоской зада-
/M
чи в другой метрике, доказана устойчивость. Для пространственной задачи получены оценки, характеризующие ее устойчивость в классе ограниченных решений, а предложенный метод эффективного решения пространственной задачи годен и для решения плоской задачи и поэтому может быть назван третьим методом решения плоской задачи.
В работе А.К.Маловичко(1956 [25]) проанализирован ряд методов решения задачи, сведенной к интегральному уравнению первого рода: разложение в ряд, сведение к системе алгебраических уравнений, линеаризация, численное интегрирование, сеточный метод, основанный на теореме о главном значении для гармонических функций и др..
R.Lattes и J.-L.Lions(1967 [51]) предложили метод квазиобращения для решения некорректных задач. J.-L.Lions(1968 [52]) рассмотрел метод граничного управления для решения задач для эллиптического уравнения. Если целевой функционал содержит граничное значение функции, то управлением является.нормальная производная и наоборот, если целевой функционал содержит нормальную производную, то управление есть значение функции на границе. В.М.Березкин(1973) и В.И.Аронов(1973) сделали обзор наиболее современных геофизических методов решения рассматриваемой задачи и предложили их модификации.
Приблизительно к 1990-му году все подходы к решению задачи Коши
для уравнений эллиптического типа оказалось возможным разделить на
две основные группы. Одну группу составляют методы, основанные на
введении задачи в класс корректности по А.Н.Тихонову (М.М.Лаврентьев,
1962 [19]; Л.А.Чудов, 1962 [35]; П.Н.Вабищевич, 1978 [9]; М.В.УревД985
W [33]), другую - методы, использующие универсальные регул я ризу ющие ал-
горитмы, получаемые с помощью параметрического функционала Тихоно-
%
#
-14-ва, что часто приводит к изменению оператора рассматриваемой задачи. Необходимо отметить, что наибольшее распространение и основные успехи в практическом применении получила вторая группа методов. В рамках этого подхода применяют различные варианты регуляризованных алгоритмов, использующих сведение задачи либо к решению интегральных уравнений первого рода, либо к представлению искомого поля в области рядом, либо к построению конечно-разностных регуляризованных алгоритмов (А.Н.Тихонов, В.Б.Гласко и др., 1968 [32]; А.Н.Тихонов, В.Б.Гласно, 1975; [31] Л.С.Франк, Л.А.Чудов, 1965 [34]; А.Б.Бакушинский, 1974 [36]).
Итерационные методы в последнее время находят все более широкое применение в практике решения различных некорректно поставленных задач математической физики. Эти методы обладают рядом несомненных достоинств, к которым относятся простота вычислительных схем, их однотипность для задач с линейными и нелинейными операторами, высокая точность решения и т.п.. Важным достоинством является также то, что они допускают простой учет существенных для задач ограничений на решение непосредственно в схеме итерационного алгоритма (например, ограничений на неотрицательность решений, монотонность и т.п.). В.работе В.А.Козлова, В.Г.Мазьи, А.В.Фомина(1991 [16]) предлагается метод решения рассматриваемой задачи, основанный на альтернирующей итерационной процедуре, которая представляет собой последовательное решение корректных смешанных краевых задач для исходного уравнения. Одним из преимуществ этого метода является сохранение исходного уравнения. Доказывается сходимость метода и его регуляризующие свойства, получаемые выбором соответствующих граничных условий. Для эллиптических задач и систем порядка 2т регуляризирующие свойства получены в Соболевских пространствах Нт. Основным ограничением является требование самосо-
%
-15-пряженности дифференциального оператора. Предлагаемый метод имеет общий характер и может быть распространен на широкий круг аналогичных некорректно поставленных краевых задач математической физики. В работе S.I.Kabanikhin, A.L.Karchevsky(1995 [46]) рассмотрено эллиптическое уравнение вида V(fc(x)V«) — q(x) = f{x), х Q С W1 и предложен оптимизационный метод решения, где для определения данных Кош и использовалась альтернирующая прямая задача, что требует более сильную регулярность данных и решения. Представлены теоретические результаты сходимости и устойчивости метода. Для численных расчетов предложен метод конечных разностей, который не имеет оптимальный порядок сходи-
,v мости. В работе Dinh Nho Нао, D.Lesnic(2000 [42]) предложен другой вари-
чт ационный метод решения задачи Коши для уравнения Лапласа. Заданные
*
граничные условия на части границы Г\ рассматриваются как управление г) в постановке прямой задачи для определения данных Коши на части Го-Для минимизации целевого функционала используется метод сопряженных градиентов с правилом остановки, предложенным А.СНемировским(1986 [28]), которое обеспечивает оптимальный порядок сходимости. В силу линейности уравнения Лапласа для численных расчетов используется метод конечных элементов.
Другой итерационный метод для параболических и эллиптических
задач, не обязательно самосопряженных, был предложен G.Bastay,
V.A.Kozlov, B.O.Turesson(2000 [38]). В этом методе решаются корректные
задачи для операторов L и L*: полученные изменением граничных усло
вий. Доказано, что если данные заданы точно, то метод сходится в L2 к
решению исходной задачи. В случае неточных данных доказано, что ал-
^ горитмы регуляризуют рассматриваемую задачу. Основным ограничением
является отсутствие общих точек у Го и Г \ Го, где Г - граница О. В ра-
%
боте Т. Johansson(2003) оператор L не обязательно самосопряженный, Го и Г \ Го имеют общие точки. Поэтому никакой из предложенных выше методов неприменим. Предложен метод, основанный на то же идее достижения регуляризирующего свойства за счет выбора подходящих граничных условий. На каждом шаге решаются смешанные задачи для L и L* с данными Дирихле на Vi = Г\Го и данными Неймана на Го- Корректность этих задач установлена в весовом ^-пространстве. Вес имеет вид г9-2, где функция г есть расстояние до граничных точек границы Го, /3 - действительное число из интервала (1/2, 3/2). Сходимость доказана тоже в вышеупомянутом пространстве.
Завершая краткий обзор предшествующих результатов, перечислим основные группы имеющихся методов решения 3КУЛ (или НКЗУЛ):
Метод Карлемана-Лаврентьева. В области П С Е2 рассматривается следующая задача Кош и для урав-
нения Лапласа:
Аи = 0,
.ди ..
< ап, ап - О,
Го ті—>со
«|г, = 0, Г0 С Гі,
причем \\u\\l2 < М, всюду в ЩМ > 0 - некоторая заданная константа). Требуется по заданным последовательностям функций (рп и чисел ап определить и внутри области Q.
При помощи конформных отображений и решения задачи Дирихле исходная постановка задачи сводится к НКЗУЛ в прямоугольнике Q := (0,тг) х (0,1), где Г0 = {(х,у) : у = 0}, Гі = {(х,у) : х = 0}и{(х,у): х = тг}и{(х,у): у = 0}.
'!
-17-Метод заключается в следующем;
— определяются коэффициенты Фурье для функций tpn(x), то есть
числа ani,... ,апк,...
<Аг(я) = ^anksmkx]
— методом последовательных приближений определяется число z из
— определяются числа
0"пк
— для построенной последовательности функций
#
00 _
п{х, у)^У2~г-$\іку- sin кх
#
^Wl
получается следующая оценка
У |«(а:,у) -^ripdar < (2М)2^ а^у - у2. о
Метод квазиобращеиия Lattes-Lions.
В области П с границей Го и Гі (О находится по одну сторону от Го и Гі) рассматривается следующая задача
Lu = О,
^|г0 = <Л ди
где г/ - внешняя нормаль к Го-
-18-Трсбуется "вычислить "функцию и, исходя из заданных функций (р и ф.
Введем o6o3Ha4eHHfl(R.Lattes , J.-L.Lions,1969):
d(x, Гі) — расстояние от точки х до Гі, х Є Q, Єо — "малое"положительное число,
AW*) = і
1, если d(x, Гі) > 2єо,
х єО,
0, если сї(ж, Гі) < єо, непрерывно меняется от 0 до 1 в остальной части П.
'#
Метод заключается в следующем:
— в области 0,Єо = {х Є Сі : d(xiTi) < єо} определяем функцию иЄо как решение следующей корректной задачи
V{MlLu) = 0,
^|г0 = <Р,
ди. .
*
— получаем щ = и в области О,
Оператор ISM1* L четвертого порядка внутри области Оео, который вырождается на промежуточной границе d(x, Г\) = Sq, так что, кроме условий и|г0 = у?, |^|г0 = Фі не нужно никаких других граничных условий.
Методы, использующие универсальные регуляризиющие алгоритмы, получаемые с помощью параметрического функционала Тихонова.
-19- Альтернирующий итерационный процесс Козлова-Мазъи.
В области Г2 с границей Г = ГоиГі рассматривается следующая задача
Ди = 0,
«ІГо = >» ди
где v - единичная внешняя нормаль к Г. Требуется найти приближение и с хорошей точностью.
Метод заключается в следующем:
— задается приближение ф^> — |^|Гі и решается следующая кор
ректная задача
Ди = О, и\Го = tp,
— по построенному приближению и(> решается следующая коррект
ная задача
Ди = 0, ди
— по построенному приближению и^ решается следующая коррект-
-20-ная задача
Ди = 0,
«ІГо = Ч>> ди. ди^.
Приближение и(к> Є Rk{f, кф, ф(>) принадлежит пространству Я1 (О) и семейство операторов Rk(-, , ^(0)) : #1/2(Г0) х (Я1/2^))* ь+ Я1(0), к = 0,1,... регуляризует исходную задачу в пространстве
Оптимизационный метод Кабанихина-Карчевского.
В области Г2 С R" с границей Г = Г0 U Гі (в случае п > 2 пересечение Го и Гі является гладкой самонепересекающейся кривой) рассматривается следующая задача:
Lu = f,
u\r0 = V,
ди.
&> = *'
где v - внешняя нормаль к Г.
Требуется найти функцию и в области О, по известным функциям <р и ф.
Основная идея:
— рассматривается следующая прямая задача:
Lu = /,
(ди , . .. (0-0.17)
fe+ №)u)|r = X,
~ где p(x) > 0, p(x)\n = О;
требуется найти и в области Q по известной функции % на Г;
— вместо исходной задачи рассматривается следующая обратная к
(0.0.17) задача
Lu = f, (^+ЯаОТІг = Х,
где по дополнительной информации
и\Го = <р (0.0.19)
*gl требуется определить функции х на Гі и и в области П (так как
ХІг, = #
— обратная задача решается минимизацией следующего функциона
ла
#
J{X] = fj (u-
'Го
градиентным методом. Метод заключается в следующем:
задается начальное приближение Хо 1га Г(Хо|г0 = ф)\ пусть Хк уже известно, решается прямая (корректная) задача (0.0.17) с Хк вместо х\
по найденному приближению щ решается задача
(-^ + p(x)v)\T = ^t
#
*
-22-где
Аго = 2(и|го-У>),
Яіч - о,
с щ вместо и, из которой находится v^;
вычисляется градиент Jf[x] = Vk',
методом наискорейшего спуска или сопряженных градиентов определяется следующее приближение Хк+1 со следующей оценкой
О < J[xh-i] - J*< j , 1, С = const > 0, lim J[xk] ~ J*.
В основе всех этих методов лежит общая идея замены исходной некорректной задачи семейством корректных задач. В результате усовершенствования подходов к решению рассматриваемой задачи последняя свелась к решению некоторой обратной задачи(З.І.КаЬапікпш, A.L.Karchevsky, 1995 [46]), что, можно сказать, естественно, так как любая некорректная задача является обратной к некоторой прямой (корректной) задаче (S.I.Kabanikhin, A.D.Satybaev, M.A.Shishlenin, 2004 [49]). А идея последовательного решения некоторой вспомогательной задачи и ей сопряженной есть ничто иное как суть градиентных методов, применяемых к решению обратных задач.
В разделе 2.1 исходная НКЗУЛ рассматривается как обратная к следующей прямой задаче
Ди = 0, (і,л)єП, (0.0.20)
ux(0,y) = 0, 3/6(0,1), (0.0.21)'
*
-23-
и(1,у) = г}(у), у Є (0,1),. (0.0.22)
u(z, 0) = «(я, 1) = 0, а; є (0,1), (0.0.23)
где по заданной функции rj надо определить функцию и.
'у Обратная задача состоит в следующем: по дополнительной информации
«(0,у) = р(у), У Є (0,1), (0.0.24)
определить функцию г)(у) из соотношений (0.0.20)-(0.0.23).
В операторном виде обратную задачу можно записать следующим образом
*
Л(Ф) = а
В разделе 2,2 на введенном классе обобщенных решений исследуются свойства оператора А, а именно, доказаны
Теорема 0.0.4 (о существовании обобщенного решения прямой задачи). Если 7] Є L2(0,l), то задача (0.0.20)-(0.0.23) имеет единственное обобщенное решение и L>2(Q) и верна оценка
Теорема 0.0.1. Если у Є 2(0,1), то решение прямой задачи имеет след и(0, у) Є 1^2(0,1) и верпа оценка
І«(0,г/)||іі2(о,і)<ІМІа(о,і)- 0-0.26)
В разделе 2.3 приведена доказанная М.М.Лаврентьевым(1956 [18]) теорема, характеризующая устойчивость плоской задачи Коши для уравнения Лапласа в классе ограниченных решений.
В разделе 2.4 доказана теорема сходимости МНС по функционалу
-24-Теорема 0.0.2 (о сходимости МНС по функционалу). Пусть для
G Є Хг(0,1) существует решение Ф* Є 1^(0,1) задачи Л(Ф) — G, тогда итерации МНС сходятся по функционалу и верна оценка
7(фН+і]) < /зт+і/(фРЧ)) (3 = \\1 - АЛ*\\ Є (0,1). Показано, что итерации метода наискорейшего спуска
с остановкой по принципу невязки будут отстоять от точного решения обратной задачи не далее, чем начальное приближение.
Аналогичные результаты для параболического уравнения приведены в
Сведение обратной задачи к операторному уравнению
Для того, чтобы постановка задачи была корректной, необходимо сузить класс рассматриваемых решений. Устойчивость плоской задачи в классе ограниченных решений впервые доказал T.Carleman(1926 [39]). Из результатов работы T.Carleman(1926 [39]) непосредственно следуют оценки, характеризующие эту устойчивость. Оценки, характеризующие устойчивость пространственной задачи в классе ограниченных решений, впервые были получены М.М.Лаврентьевым(1955 [17]) для гармонических функций, заданных в прямом цилиндре и обращающихся в нуль на образующих. Данные Коши брались на основании цилиндра. Аналогичные оценки для произвольной пространственной области с достаточно гладкой границей были получены М.М.Лаврентьевым(1955 [17]) и немного позже С.Н.Мергеляном(1956 [27]) для функций внутри сферы. Примерно в то же время Е.М.Ландис(1956 [24]) получил оценки, характеризующие устойчивость пространственной задачи для произвольного эллиптического уравнения. В работе L.E.Payne(1975 [53]) доказана условная устойчивость для произвольного эллиптического уравнения для более общей области. Позже С.П.Шишатский (М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, С.П.Шишатский, 1980 [21]) и А.Л.Бухгейм(1988 [8]) рассмотрели общие эллиптические уравнения в операторной форме и получили похожие оценки.
После того, как установлена корректность постановки, естественно встает вопрос о создании эффективного метода решения задачи. Под эффективным методом понимается алгоритм, дающий возможность решить следующую задачу.
В ограниченной области Q (плоской или пространственной) рассматривается следующая задача Коши для эллиптического оператора L: где Г0 часть границы Q, и - нормаль к Го. Требуется по известным функциям (риф определить функцию и внутри области П с некоторой гарантированной точностью. Первые результаты, относящиеся к построению эффективного алгоритма для решения задачи опубликованы одновременно в работах Carlo Pucci (1955 [54]) и М.МЛаврентьва (1955 [17]). В работе М.М.Лаврентьева(1956 [18]) предложен ряд методов эффективного решения задачи. Первый метод для решения плоской задачи в классе ограниченных функций получен из формулы Карлемана. Второй метод предложен для решения плоской задачи в другой метрике, доказана устойчивость. Для пространственной задачи получены оценки, характеризующие ее устойчивость в классе ограниченных решений, а предложенный метод эффективного решения пространственной задачи годен и для решения плоской задачи и поэтому может быть назван третьим методом решения плоской задачи. В работе А.К.Маловичко(1956 [25]) проанализирован ряд методов решения задачи, сведенной к интегральному уравнению первого рода: разложение в ряд, сведение к системе алгебраических уравнений, линеаризация, численное интегрирование, сеточный метод, основанный на теореме о главном значении для гармонических функций и др.. R.Lattes и J.-L.Lions(1967 [51]) предложили метод квазиобращения для решения некорректных задач. J.-L.Lions(1968 [52]) рассмотрел метод граничного управления для решения задач для эллиптического уравнения. Если целевой функционал содержит граничное значение функции, то управлением является.нормальная производная и наоборот, если целевой функционал содержит нормальную производную, то управление есть значение функции на границе. В.М.Березкин(1973) и В.И.Аронов(1973) сделали обзор наиболее современных геофизических методов решения рассматриваемой задачи и предложили их модификации. Приблизительно к 1990-му году все подходы к решению задачи Коши для уравнений эллиптического типа оказалось возможным разделить на две основные группы. Одну группу составляют методы, основанные на введении задачи в класс корректности по А.Н.Тихонову (М.М.Лаврентьев, 1962 [19]; Л.А.Чудов, 1962 [35]; П.Н.Вабищевич, 1978 [9]; М.В.УревД985 W [33]), другую - методы, использующие универсальные регул я ризу ющие ал горитмы, получаемые с помощью параметрического функционала Тихоноа, что часто приводит к изменению оператора рассматриваемой задачи. Необходимо отметить, что наибольшее распространение и основные успехи в практическом применении получила вторая группа методов. В рамках этого подхода применяют различные варианты регуляризованных алгоритмов, использующих сведение задачи либо к решению интегральных уравнений первого рода, либо к представлению искомого поля в области рядом, либо к построению конечно-разностных регуляризованных алгоритмов (А.Н.Тихонов, В.Б.Гласко и др., 1968 [32]; А.Н.Тихонов, В.Б.Гласно, 1975; [31] Л.С.Франк, Л.А.Чудов, 1965 [34]; А.Б.Бакушинский, 1974 [36]).
Метод итераций Ландвебера
В.работе В.А.Козлова, В.Г.Мазьи, А.В.Фомина(1991 [16]) предлагается метод решения рассматриваемой задачи, основанный на альтернирующей итерационной процедуре, которая представляет собой последовательное решение корректных смешанных краевых задач для исходного уравнения. Одним из преимуществ этого метода является сохранение исходного уравнения. Доказывается сходимость метода и его регуляризующие свойства, получаемые выбором соответствующих граничных условий. Для эллиптических задач и систем порядка 2т регуляризирующие свойства получены в Соболевских пространствах Нт. Основным ограничением является требование самосопряженности дифференциального оператора. Предлагаемый метод имеет общий характер и может быть распространен на широкий круг аналогичных некорректно поставленных краевых задач математической физики. В работе S.I.Kabanikhin, A.L.Karchevsky(1995 [46]) рассмотрено эллиптическое уравнение вида V(fc(x)V«) — q(x) = f{x), х Q С W1 и предложен оптимизационный метод решения, где для определения данных Кош и использовалась альтернирующая прямая задача, что требует более сильную регулярность данных и решения. Представлены теоретические результаты сходимости и устойчивости метода. Для численных расчетов предложен метод конечных разностей, который не имеет оптимальный порядок сходимости. В работе Dinh Nho Нао, D.Lesnic(2000 [42]) предложен другой вариационный метод решения задачи Коши для уравнения Лапласа. Заданные граничные условия на части границы Г\ рассматриваются как управление г) в постановке прямой задачи для определения данных Коши на части Го-Для минимизации целевого функционала используется метод сопряженных градиентов с правилом остановки, предложенным А.СНемировским(1986 [28]), которое обеспечивает оптимальный порядок сходимости. В силу линейности уравнения Лапласа для численных расчетов используется метод конечных элементов.
Другой итерационный метод для параболических и эллиптических задач, не обязательно самосопряженных, был предложен G.Bastay, V.A.Kozlov, B.O.Turesson(2000 [38]). В этом методе решаются корректные задачи для операторов L и L : полученные изменением граничных усло вий. Доказано, что если данные заданы точно, то метод сходится в L2 к решению исходной задачи. В случае неточных данных доказано, что алгоритмы регуляризуют рассматриваемую задачу. Основным ограничением является отсутствие общих точек у Го и Г \ Го, где Г - граница О. В ра боте Т. Johansson(2003) оператор L не обязательно самосопряженный, Го и Г \ Го имеют общие точки. Поэтому никакой из предложенных выше методов неприменим. Предложен метод, основанный на то же идее достижения регуляризирующего свойства за счет выбора подходящих граничных условий. На каждом шаге решаются смешанные задачи для L и L с данными Дирихле на Vi = Г\Го и данными Неймана на Го- Корректность этих задач установлена в весовом -пространстве. Вес имеет вид г9-2, где функция г есть расстояние до граничных точек границы Го, /3 - действительное число из интервала (1/2, 3/2). Сходимость доказана тоже в вышеупомянутом пространстве. Завершая краткий обзор предшествующих результатов, перечислим основные группы имеющихся методов решения 3КУЛ (или НКЗУЛ): Метод Карлемана-Лаврентьева. В области П С Е2 рассматривается следующая задача Кош и для уравнения Лапласа:
Сведение начально-краевой задачи для уравнения Лапласа к обратной задаче и операторному уравнению
Правилами устройства и безопасной эксплуатации грузоподъемных кранов установлены предельные нормы износа быстроизнашивающихся деталей мостовых кранов, при достижении которых эксплуатация кранов запрещается.
Дефекты, при наличии которых ходовые колеса кранов и тележек выбраковываются: 1. Трещины любых размеров. 2. Выработка поверхности реборды до 50 % от первоначальной толщины. 3. Выработка поверхности катания, уменьшающая первоначальный диаметр колеса на 2 % 4. Разность диаметров колес, связанных между собой кинематически, более 0,5 %. Дефекты, при наличии которых выбраковываются шкивы тормозные: 1. Трещины и обломы, выходящие на рабочие и посадочные поверхности. 2. Износ рабочей поверхности обода более 25% от первоначальной толщины. Крановые блоки выбраковываются при износе ручья блока более 40% от первона чального радиуса ручья [52]. Перечень быстроизнашивающихся деталей мостовых кранов приведен в приложении 1. Наибольший интерес с точки зрения повышения износостойкости и долговечности вызывают ходовые колеса, т.к. они подвержены интенсивному изнашиванию и являются наиболее металлоемкими. Износ остальных быстроизнашивающихся деталей представляет собой частные случаи износа ходовых колес. Поэтому далее, при рассмотрении вопроса о технологии восстановления работоспособности деталей мостовых кранов и увеличению их износостойкости, будет проведено исследование относительно ходовых колес кранов, как наи- более сложных объектов восстановления и упрочнения изношенных функциональных поверхностей из комплектующих мостовых кранов.
Результат эксплуатационного разрушения ходового колеса зависит от преобладания какого-либо из факторов изнашивания. В условиях работы грейферных кранов возможны следующие варианты: абразивный износ, коррозионно-механическое изнашивание, усталостный износ, адгезионное изнашивание.
Абразивный износ возникает при трении функциональных поверхностей деталей по поверхностям подкрановых колес под воздействием частиц клинкера, гипса, шлака и бетона, попадающих в место износа в виде частиц.
Коррозионно-механическое изнашивание протекает при трении материалов, вступающих в химическое взаимодействие с активной средой. Для стальных ходовых колес такой средой являются водяные пары, насыщающие окружающую среду.
Усталостный износ определяется циклическим деформированием микрообьемов материала деталей под воздействием высоких удельных нагрузок и вызывает возникновение трещин и отделение частиц материала.
Адгезионное изнашивание возникает вследствие действия межповерхностных сил, молекулярного сцепления на поверхности раздела. Такой износ возникает при трении скольжения, когда скорости относительного перемещения поверхностей малы, а удельные давления превышают предел текучести материала. При этом происходит пластическое деформирование, разрушение и удаление частиц с трущихся поверхностей.
Степень разрушающего воздействия каждого из приведенных факторов зависит от нагрузок, воздействующих на ходовое колесо. Сопротивление перекатыванию Wo колеса по рельсу (направляющей) при отсутствии проскальзывания рассчитывается по формуле 1.1 где В - ширина рабочей поверхности рельса, м. При проскальзывании колес относительно рельса к значению сопротивления, определяемому по формуле (1.1), следует добавлять значение сопротивления AWn В общем случае при отклонениях диаметров колес и при разных скоростях приводов (при раздельном приводе) где F - радиальная нагрузка на колесо; Di, D2 - диаметры колес, сої, 2 - угловые скорости вращения колес; Dcp, юср - средние значения соответствующих величин; f — коэффициент трения скольжения, для пары сталь по стали f = 0,15 [54]. Степень износа колес в значительной мере зависит от правильности их установки. Непараллельность осей колес способствует интенсивному по ребордам и беговой дорожке износу. Интенсивность изнашивания крановых ходовых колес достигает до 15 мкм/ч [7]. Наиболее изнашиваемыми элементами ходовых колес являются поверхности качения и реборды, т.е. те поверхности, которые контактируют с рельсами. Ниже приведены фотографии отдельных ходовых крановых колес с различными комбинациями видов износа. Съемка произведена на грейферных кранах технологического тракта производства ЗАО «Белгородский цемент». Изношенные участки на них отмечены засветленными областями.
Сведение начально-краевой задачи для двумерного уравнения параболического типа к обратной задаче и операторному уравнению
По назначению различают следующие виды химико-термической обработки (ХТО): - для повышения износостойкости путем увеличения поверхностной твердости трущихся деталей (цементация, борирование и др.). ХТО этого вида применяют в первую очередь для повышения сопротивления абразивному изнашиванию; - для улучшения противозадирной стойкости металлов путем создания тонких поверхностных слоев, обогащенных химическими соединениями с активными элементами и предотвращающих схватывание и задир при трении (сульфидирование, сульфоцианирова-ние, селенирование, теллурирование, обработка в йодисто-кадмиевой соляной ванне). При ХТО этого вида поверхностная твердость не увеличивается, но улучшаются антифрикционные и противозадирные свойства. Снижение коэффициента трения происходит в среднем в 2 раза, а повышение противозадирной стойкости - в 5... 10 раз.
Азотирование широко применяют для обработки сталей всех классов. В результате азотирования повышается износостойкость, противозадирная стойкость, коррозионная стойкость, контактная прочность, твердость поверхности и сопротивление размягчению при высоких температурах. Основной недостаток, ограничивающий применение азотирования, - длительность технологического цикла обработки, а, следовательно, малая производительность. Значительно более производительный метод, не уступающий азотированию по эффективности упрочняющего действия, - цианирование. Оно осуществляется в жидких солевых ваннах, содержащих смеси цианистых солей натрия и калия. Несмотря на высокую эффективность, цианирование не получило широкого распространения вследствие высоких требований к технике безопасности.
Разработан процесс карбонитрации, характеризующийся малой токсичностью и более высокой производительностью. В отличие от азотирования сталей, поверхностные слои, получаемые при карбонитрации, обладают более высокими показателями пластичности и прочности сцепления с диффузионным подслоем [1].
Интенсивность изнашивания различных областей поверхностного слоя карбонитри-рованной стали существенно различается. При переходе от карбонитридного слоя к менее твердой основе интенсивность изнашивания возрастает. Интенсивность изнашивания кар-бонитрированных сталей 20,45 и 45Х на один-два порядка ниже интенсивности изнашивания тех же сталей, подвергнутых обычной закалке и старению, и на один порядок ниже для сталей, подвергнутых азотированию. С увеличением выдержки до 10 ч суммарная глубина упрочненного слоя возрастает вдвое от 0,1 до 0,2 мм. Износостойкость при этом увеличивается в 3... 5 раз.
Методы ХТО применяют для упрочнения углеродистых сталей. В результате обработки увеличивается износостойкость углеродистых и легированных сталей при повышенных температурах. Диффузионные поверхностные слои сохраняют твердость при высоких температурах. Высокая твердость азотированного слоя сохраняется приблизительно до температуры 500 С. Коэффициенты трения сталей, подвергнутых ХТО, достигают высоких значений, однако они ниже коэффициентов трения тех же сталей, закаленных, отпущенных и не подвергнутых ХТО. При увеличении температуры интенсивность изнашивания и коэффициент трения снижается, что обусловлено интенсификацией процессов окисления.
Борирование стали, как метод поверхностного упрочнения, позволяет получить твердость поверхности более высокую, чем после науглероживания или азотирования. Бориро-ванный слой толщиной 0,1...0,2 мм состоит из двух фаз ромбического борида FeB (16,25% В) и находящегося ниже слоя тетрагонального борида Fe B (8,48% В) с твердостью 1600... 1800 HV. Основной недостаток борированных слоев - хрупкость устраняется ведениєм в шихту небольшого количества меди, алюминия и других металлов. Поверхностная твердость снижается при этом на 200... 300 HV.
Нанесение боридных покрытий в условиях ударных нагрузок приводит к увеличению износа, по-видимому, вследствие высокой хрупкости боридного слоя. Более тщательное изучение влияния структуры двухфазных боридных слоев, образованных на углеродистой стали 45, показало, что борированный слой на глубине 40 мкм имеет пористое строение, а его твердость под поверхностью уменьшается, достигая 300 HV. Твердость слоев на большей глубине составляет 1400... 1800 HV. После удаления пористого слоя толщиной 40 мкм существенно повышается износостойкость. Ухудшение трибологических свойств двухфазных слоев боридов связано не только со свойствами фазы FeB, но и с высокой шероховатостью и хрупкостью тонкого приповерхностного слоя.
Методы электрохимической защиты поверхности применяют для создания антифрикционных износостойких покрытий на основе мягких и твердых металлов. При нанесении тонких (несколько мкм) гальванических покрытий Au, Ag, Pb, In, Cd за счет низкого сопротивления сдвигу материала покрытия и высокой прочности основы получаются низкие коэффициенты трения. Однако износостойкость таких тонких мягких покрытий невелика.
Для повышения износостойкости деталей машин, а также для их восстановления при ремонте широко применяют различные виды электролитического хромирования, никелирования, родирования. Хромовые покрытия характеризуются высокими износостойкостью и коррозионной стойкостью. Для восстановления размеров изношенных стальных и чугунных деталей целесообразно применять железнение. Недостаток железных покрытий - их хрупкость и низкая коррозионная стойкость. При соответствующей модификации структуры железных покрытий их свойства улучшаются. В целях снижения хрупкости, повышения износостойкости и создания мелкозернистой структуры применяют легирование марганцем и никелем.
Электрохимическое оксидирование (анодирование) применяют для получения оксидных пленок толщиной до 200 мкм на поверхности черных и цветных металлов (А1, Мп, Та, ТІ, Zr и др.). Образующаяся при анодировании оксидная пленка характеризуется высокими твердостью, износостойкостью, жаропрочностью и электроизоляционными свойствами. Анодирование поверхностей узлов трения приводит к существенному возрастанию коэффициентов трения по сравнению с коэффициентами трения для необработанных поверхностей.
В сочетании со смазочными материалами анодные покрытия дают значительный эффект - снижается трение, существенно повышается несущая способность покрытия и износостойкость. Хорошие результаты дает сочетание анодных покрытий с пластичными и твердыми смазочными материалами.
Разработан электрохимический метод селективного нанесения покрытий, позволяющий покрывать детали на участках, подверженных наибольшему изнашиванию или коррозии. Наносят покрытия при температуре 20 С, поэтому уровень остаточных напряжений невысок. Снижается также опасность водородного охрупчивания. Указанным способом наносят покрытия Си, Ag, Аи, Ni, Со.
