Содержание к диссертации
Введение
1 Вспомогательные сведения 25
1.1 Относительно р-ограниченные операторы 25
1.2 Относительно р-секториальные операторы 28
1.3 Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова 35
1.4 Банаховы многообразия и векторные поля 37
1.5 Функциональные пространства 41
1.6 Полулинейные эволюционные уравнения 45
1.7 Некоторые результаты нелинейного функционального анализа 47
2 Уравнение Корпусова—Плетнера—Свешникова 51
2.1 Квазистационарные траектории 51
2.2 Задача Шоуолтера - Сидорова 56
2.3 Постановка задачи 60
2.4 Морфология фазового пространства 64
2.5 Несуществование и неединственность решения задачи Шоуолтера - Сидорова 69
2.6 Результаты численных экспериментов 71
3 Система уравнений Плотникова 77
3.1 Квазистационарные полутраектории 77
3.2 Постановка задачи 85
3.3 Единственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова 90
3.4 Неединственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова 94
3.5 Результаты численных экспериментов 102
Список литературы
- Относительно р-секториальные операторы
- Функциональные пространства
- Морфология фазового пространства
- Единственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова
Введение к работе
Постановка задач
Пусть О С 1", n G N - ограниченная область с границей дО, класса С. В области Q, х Ш рассмотрим уравнение
(Л- V2H = aV2u + P(V,uVu), (0.1.1)
моделирующее метастабильпые процессы в жидком двухкомпонент-ном полупроводнике. Параметры а, {З, А б №. характеризуют свойства полупроводника, причем если знаки параметров а и (3 для нас безразличны, то о знаке Л следует сказать особо ввиду его важности для дальнейшего. Параметр Л = к/г2, где к - коэффициент электрической поляризуемости, а г2 - некоторая положительная постоянная отвечающая за другие свойства полупроводника. Так вот, квазистационарные процессы в полупроводниках возможны только при условии отрицательности коэффициента к. Причем именно в данном случае возможен пробой полупроводника, наблюдаемый экспериментально ([32], гл.2, п.1 и п.2).
Впервые уравнение (0.0.1) было получено в работе [21], поэтому в дальнейшем оно будет называться по имени авторов - уравнением Корпусова - Плетнера - Свешникова [уравнением КПС). В этой же работе была установлена однозначная разрешимость уравнения (0.0.1) при краевых условиях Дирихле на границе dQ х R и начальном условии вида
(Л - V2)(u(x, 0) - щ(х)) = 0, х Є ft, (0.1.2)
но только в случае положительности параметра Л, что влечет обратимость дифференциального оператора при производной по времени в уравнении КПС. Нашей задачей является качественное и численное исследование данной начально-краевой задачи при любых (в том числе и отрицательных) значениях параметра Л.
Кроме уравнения КПС в области Q, х Ш.+ рассмотрим систему уравнений
vt = Av- Aw, 0 = v + Аги + Sw - /Зги3, (0.1.3)
представляющей один из вариантов модели фазового поля в рамках мезоскопической теории в предположении, что время релаксации равно нулю. Параметры (3 и 5 характеризуют фазовый переход, причем 5 = (2а2)-1, где Є R+ - поверхностное натяжение, а Є Ш+ - мера ширины зоны фазового перехода (так называемая длина взаимодействия) [75], [82], [84], [91]. Содержание и знак параметра (З Є К в дальнейшем несущественны, главное, что /3^0.
Поскольку систему уравнений (0.1.3) (с точностью до линейного изоморфизма, предложенного В.Е. Федоровым [62]) впервые построил, глубоко и обстоятельно изучал П.И. Плотников с учениками [30], [31], то в дальнейшем мы будем называть (0.1.3) системой уравнений Плотникова. В цитированных работах [30], [31] установлено существование решения начально-краевой задачи
v(x,0) = v0(x), х Є Г2; (0.1.4)
(-^ + Xv)(ж, t) = (-^ + Xw)(я, t) = 0, (ж,і) єдПхШ+- (0.1.5)
и поставлен вопрос о единственности решения. Нашей задачей является качественное и численное исследование разрешимости задачи (0.1.3)-(0.1.5) и единственности ее решения при различных значениях параметра 6.
Методы исследования
Качественное исследование предложенных в предыдущем параграфе задач облегчается тем обстоятельством, что они обе в подходящим образом подобранных банаховых пространствах Яи^ редуцируются к полулинейному уравнению Соболевского типа
Lu = Mu + N{u). (0.2.1)
К настоящему времени условия однозначной разрешимости задачи Коши
и(0) = щ (0.2.2)
для уравнения (0.2.1) достаточно хорошо изучены [89]. В частности если оператор М (L,p) - ограничен или сильно (L,p) - секториален, то пространства KhJ расщепляются в прямые суммы it = it0 0 it1, $ = т?0^1 так, что действия операторов L и М тоже расщепляются, т.е. L Є Цй^^ПЦй1^1) и М Є СЦІР^ПСІІІІ1,^1). Это обстоятельство дает возможность уравнение (0.2.1), где, возможно, kerL т^ {0}> редуцировать к регулярному уравнению
u = Su + F(u), (0.2.3)
определенному, возможно, не на всем пространстве ІІ, а только на
некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнения (0.2.1).
При исследовании задачи (0.2.1), (0.2.2) была получена ее однозначная разрешимость только в случае, если точка щ лежит в образе С - диффеоморфизма, определенного на области О1 С it1 [36], [37]. Другими словами потребовалось, чтобы фазовое пространство локально было бы банаховым С - многообразием. Здесь же была сформулирована проблема изучения морфологии (т.е. структуры, строения, устройства) фазовых пространств полулинейных уравнений Соболевского типа. К настоящему времени в этом направлении получен ряд интересных результатов. Именно показано, что в ряде прикладных задач [38], [41], [42], [44], [50], [51] фазовым пространством служит простое банахово С - многообразие, моделируемое подпространством it1. Напомним, что банахово С - многообразие называется простым, если любой его атлас эквивалентен атласу, содержащему единственную карту. Другими словами, банахово С -многообразие является простым, если оно "почти"не отличается от подпространства it1.
Между тем в работах Р.Е. Шоуолтера [86] и независимо от него Н.А. Сидорова [52], [53], [54] была поставлена и изучена новая начальная задача для уравнений вида (0.2.1)
Ци(0) - щ) = 0, (0.2.4)
которая впоследствии стала называться задачей Шоуолтера - Сидорова. Очевидно, что если оператор L непрерывно обратим, то зада-
ча (0.2.4) для уравнения (0.2.1) корректна тогда, когда корректна задача (0.2.2). Наконец, нетрудно убедиться, что если оператор М (L, 0) - ограничен или (L, 0) - секториален, а фазовым пространством уравнения (0.2.1) служит простое банахово С - многообразие, то утверждение об эквивалентности задач (0.2.2) и (0.2.4) для уравнения (0.2.1) остается в силе.
Другое дело, если фазовое пространство уравнения (0.2.1) не является простым. Г.А. Свиридюком [34] показана возможная неединственность решения задачи Шоуолтера - Сидорова для полулинейных уравнений Соболевского типа вида (0.2.1). Применив описанный выше метод фазового пространства к моделям (0.1.1) и (0.1.3), нам удалось подтвердить гипотезу Г.А. Свиридюка и установить неединственность их решений.
Кроме основного в данной диссертации метода фазового пространства мы широко используем, во-первых, теорию линейных уравнений Соболевского типа и порождаемых ими вырожденных групп и полугрупп операторов [89]; во-вторых, такие мощные средства нелинейного функционального анализа как теорему о неявной функции (см. например, [28]) и теорему Вишика - Минти - Браудера (см. теорию монотонных операторов в [9]); в-третьих, теорему Копій как для случая векторных полей на банаховых многообразиях [24], так и для случая полулинейных эволюционных уравнений в банаховых пространствах [67]. И наконец, красной нитью через всю диссертацию проходит идеология теории особенностей Уитни [4], [73], [74].
Поскольку диссертация кроме качественных исследований содержит еще и результаты численных экспериментов, подтверждающих феномен неединственности решения моделей (0.1.1) и (0.1.3), здесь необходимо еще упомянуть метод Галеркина [7], лежащий в основе наших экспериментов.
Актуальность темы диссертации
Впервые уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, появились в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Первым, кто начал систематическое изучение начально-краевых задач для линейных уравнений вида (0.2.1), где L и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по "пространственным" переменным, а оператор N = О, был С. Л. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. В 1954 году в работе [55] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Результаты этой работы стали началом систематических исследований в данном научном направлении.
В настоящее время теория уравнений Соболевского типа переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. С.Л. Соболев, в основном, занимался линейными уравнениями, и его нынешние ученики и последователи составляют обширную и разветвленную научную школу [1], [15], [77], [78]. Наибольший прогресс был достигнут в области линейных уравнений Соболевского типа, именно здесь находится
большинство из вышедших монографий.
В монографии В.Н. Врагова [8] впервые выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для линейных уравнений вида (0.2.1), где L и М -дифференциальные операторы по пространственным переменным.
В монографии А. Фавини и А. Яги [76] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения
xt Є А(х)
с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение Соболевского типа вида (0.2.1), если М - (L, сг)-ограниченный оператор в случае устранимой особой точки в бесконечности. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.
В монографии Г.В. Демиденко, СВ. Успенского [10] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в
операторной форме могут быть записаны следующим образом:
1-і AoDltu + Y^ Ai-kD^u = /,
где До, Л\, . , Лі - линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (хі,...,хп), причем оператор Ло не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная
суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.
Монография И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова и С. В. Попова [83] посвящена исследованию разрешимости краевой нелокальной задачи для неоднородного линейного уравнения (0.2.1), где операторы L, М - самосопряженные и определенные в гильбертовом пространстве. Доказано существование сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (условия ортогональности) решение краевой задачи является гладким.
В монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенкова [81] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.
Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А.И. Кожанов [79], в частности, рассматривает уравнения вида
(I-A)ut = Bu + f(x,t),
где А и В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.
Несмотря на то, что большинство работ относятся к линейным уравнениям соболевского типа, исторически первой является монография Р.Е. Шоуолтера [86], в которой рассматриваются как линейные уравнения, так и полулинейные вида (0.2.1) дифференциально-операторные уравнения, определенные в полугильбертовых пространствах, т.е. пространствах, имеющих нехаусдорфову топологию. Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами.
Начиная с работ Р.Е. Шоуолтера стало принято как абстрактные уравнения вида (0.2.1), так и их конкретные интеушретации (например, (0.1.1), (0.1.3)) называть уравнениями соболевского типа. К настоящему времени данная терминология стала общепринятой [22], [29], [45], [46], [80], [85], [89]. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов " вырожденные дифференциальные уравнения"[76], [81], "неклассические дифференциально-операторные уравнения"[83], "дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно старшей производной" [10], "псевдопараболичес-кие"и "псевдогиперболические"уравнения [10], [79] и "уравнения не типа Коши - Ковалевской"[25], [69]. Исследование подобных уравнений в первую очередь связано с исследованием задач гидромеханики, физики плазмы, физики атмосферы. [27]
В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [9] теория монотонных операторов применяется при исследовании и приближенном решении краевых задач для нелинейных дифференциаль-
пых уравнений с частными производными, которые трактуются как операторные уравнения или операторные дифференциальные уравнения в рефлексивных банаховых пространствах.
В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Сишщииа и М. А. Фалалеева [87] изучены полулинейные уравнения и их обобщения. Разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта, а также доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Копій для неоднородного уравнения (0.1.2) с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор N (типа ограничений). Показано существование ги-периодического решения задачи Коши для неоднородного уравнения (0.1.2) с замкнутыми плотно определенными операторами и ^-периодической неоднородностью.
В монографии А.Г. Свешникова, А.Б. Алынина, М.О. Корпусова, Ю.Д. Плетнера [32] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, как в классическом, так и в сильном и слабом обобщенном смыслах, широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных высоких порядков, включая псевдопараболические уравнения и уравнения Соболевского типа. В случае локальной разрешимости для ряда классов задач получены двусторонние оценки времени разрушения решений. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы решений конкретных задач.
В монографии Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова [2] предме-
том изучения является алгебро-дифференциальные неоднородные системы вида (0.2.1) с прямоугольной или вырожденной при всех t Є [0, Т] матрицей L(i). Доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для алгебро-дифференциальных систем вида (0.2.1) с регулярной и сингулярной парой постоянных {га х п)-матриц L и М [68].
Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свиридюком. В его совместной с В.Е. Федоровым монографии [89] вводятся и изучаются относительно спектрально ограниченные операторы и порождаемые ими разрешающие группы, выделяются достаточные (а в некоторых случаях и необходимые) условия относительно спектральной ограниченности. Также вводятся в рассмотрение относительно р - секториальные операторы и порождаемые ими аналитические разрешающие полугруппы и относительно р - радиальные операторы и порождаемые ими сильно непрерывные разрешающие полугруппы. В эту монографию вошли результаты Т.А. Бокаревой [3], Л.Л. Дудко [11], А.В. Келлер [19], В.Е. Федорова [61], А.А. Ефремова [12], Г.А. Кузнецова [23]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации С.А. Загребиной [13], СВ. Брычева [5], А.А. Замышляевой [14], И.В. Бурлачко [6] и докторская диссертация В.Е. Федорова [62].
В рамках данного направления исторически первой была диссертация Т.Г. Сукачевой [59], в которой линейный метод СВ. Зубовой и К.И. Чернышева [16] был обобщен на полулинейную ситуацию
исчерпывающим образом. В дальнейшем Т.Г. Сукачева сосредоточилась на исследовании задачи Копій для неавтономных полулинейных уравнений Соболевского типа [45], [47], [48], [57], [58]. Следующим нелинейным исследованием стала диссертация М.М. Яку-иова [72], в которой установлена простота фазового пространства уравнения Осколкова и различных его модификаций. Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений Соболевского типа посвящена диссертация В.О. Казака [17]. В диссертации Н.А. Маиаковой [26] исследовались достаточные условия разрешимости задачи Шоуолтера -Сидорова (0.1.5) оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений Соболевского типа. Посредством метода Галер-кина в ней построены приближенные решения задач оптимального управления. В диссертации В.В. Шеметовой [71] исследовалась разрешимость линейных и полулинейных уравнений Соболевского типа, заданных на конечных ориентированных графах. Диссертация О. Г. Китаевой [20] посвящена обобщению теоремы Адам ара-Перрона для полулинейных уравнений Соболевского типа. В диссертации Д.Е. Шафранова [70] исследовалась разрешимость задачи Коши для линейных и полулинейных уравнений Соболевского типа в пространствах к - форм, определенных на гладких римановых многообразиях без края.
Теоретическая и практическая значимость
Основное содержание диссертации - качественное исследование морфологии фазовых пространств двух неклассических задач математической физики, возникших в последнее время, - это уравнение Корпусова - Плетнера - Свешникова и система уравнений Плотникова. Впервые обнаружено, что фазовые пространства (при некоторых, критических, значениях параметров) расположены на многообразиях, имеющих особенности - складку и сборку Уитни соответственно. Установлена связь между наличием особенностей и единственностью решений физически осмысленной задачи ТТТоуол-тера - Сидорова, т.е. отмечены области начальных данных, при которых задача имеет одно, два или три решения. Полученные результаты носят окончательный характер, т.е. содержа/г исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, носящих прикладной характер. В целом результаты диссертации реализуют программу исследований, намеченную Г.А. Свиридюком.
Практическая же значимость заключается в том, что данные результаты должны учитываться при проведении численных расчетов. Необходимость этого обстоятельства уже была отмечена в конечномерном варианте линейной теории уравнений Соболевского типа [26], [39], [40]. Проведенные нами численные эксперименты также подтверждают данную необходимость.
Апробация
Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2005) [92], студенческой конференции ЧелГУ в 2005 году (г. Челябинск) [93], Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика посвященной тридцатилетию ЧелГУ (г. Челябинск, 2006) [101], Всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Самара, 2007) [95], Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И.Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения "(г. Новосибирск, 2007) [96], Международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (г. Стерлитамак, 2008) [98], Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева „Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (г. Новосибирск, 2008) [99]. Также результаты докладывались на семинаре по уравнениям Соболевского типа профессора Г. А. Свиридюка в ЮУрГУ (г. Челябинск) и на семинаре чл.-корр. РАН И.А. Шишмарева в МГУ им. М.В. Ломоносова.
Краткое содержание диссертации
Диссертация, кроме введения и списка литературы, содержит три главы. Список литературы содержит 101 наименование.
Первая глава состоит из семи параграфов и содержит формули-
ровки теорем и определения, которые используются для получения основных результатов диссертации. Первый и второй параграфы содержат сведения из [89]. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р - ограниченных операторах. Во втором параграфе вводятся определения решения, фазового пространства, аналитических разрешающих полугрупп и групп операторов, теоремы о существовании аналитических разрешающих полугрупп и групп операторов для линейных уравнений вида (0.2.1), а также определения и теоремы об относительно р - секториальных операторах. В третьем параграфе содержатся определение решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1) и теорема существования и единственности решения обобщенной задачи Шоуолтера Сидорова для уравнения (0.2.1) [49]. В четвертом параграфе рассматриваются следующие определения: карты, атласа, банахова Ск - многообразия, касательного расслоения Ск - многообразия, векторного поля и теорема Коши [24]. В пятом параграфе определяются пространства Соболева [56], пространства с негативной и позитивной нормами и приводятся теоремы вложения Соболева и Кондра-шова - Реллиха [60], [66]. В шестом параграфе рассматриваются две теоремы вложения, вводятся определение решения задачи Коши для полулинейного эволюционного уравнения и теорема существования и единственности этого решения [67]. Седьмой параграф содержит сведения из [9], [28], а именно определения радиально непрерывного, монотонного, коэрцитивного оператора, теорему Вишика - Минти —
Браудера, определение и свойства производной Фреше, теорему о неявной функции, а также определение к - сборки Уитни [90].
Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена вопросам несуществования и неединственности решения задачи Шоуолтера-Сидорова для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова. В первом параграфе вводятся понятия решения задачи Копти для уравнения Соболевского типа (0.2.1), фазового пространства, квазистаци-опарной траектории уравнения (0.2.1), проходящей через точку щ и доказывается теорема существования и единственности квазистационарной траектории уравнения (0.2.1.), проходящей через точку щ. Во втором параграфе содержатся определение решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1), доказаны теоремы существования и единственности задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1) в случае тривиального и нетривиального ядра оператора L, но простого, фазового пространства, а также приведен пример в случае непростого фазового пространства. В третьем параграфе рассмотрено уравнение Корпусова - Плетнера - Свешникова. Подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (0.1.1) можно редуцировать к абстрактному уравнению (0.2.1). Доказана (L, 0) - ограниченность оператора М и бесконечная диффе-ренцируемость оператора N. В четвертом параграфе доказывается теорема о фазовом пространстве уравнения (0.1.1) в случаях тривиального и нетривиального ядер. В пятом параграфе доказывается теорема о том, когда задача Шоуолтера - Сидорова для уравне-
ния (0.1.1) имеет ровно одно, два различных и ни одного решения. Шестой параграф содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple 12.0. и пример его применения.
Третья глава состоит из пяти параграфов и посвящена вопросу неединственности решения задачи Шоуолтера - Сидорова для системы уравнений Плотникова. В первом параграфе строятся интерполяционные пространства, вводятся определения квазистационарной полутраектории уравнения (0.2.1), проходящей через точку щ, решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1), доказывается теорема существования и единственности квазистационарной полутраектории уравнения (0.2.1), проходящей через точку ?/0 и теорема существования и единственности решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1). Также здесь построены два примера, один в случае простого фазового пространства, в другом -фазовое пространство представляет собой сборку Уитни. Во втором параграфе рассмотрена система уравнений Плотникова. Подобраны функциональные пространства, при которых систему уравнений (0.1.3) можно редуцировать к абстрактному уравнению (0.2.1). Доказана (L, 0) - секториальность оператора М и бесконечная диф-ферепцируемость оператора N. В третьем параграфе доказывается теорема существования и единственности задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.1.3). В четвертом параграфе доказывается теорема о фазовом пространстве уравнения (0.1.3) и теорема о том,
когда Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.1.3) имеет ровно одно и три различных решения. Пятый параграф содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple 12.0. и пример его применения.
Публикации
Все результаты диссертации своевременно опубликованы [92] -[101], причем работа [100] опубликована в журнале, включенном в список ВАК по специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.
Благодарности
В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Свиридюку за неоценимую помощь в работе над диссертацией; коллективу кафедры уравнений математичексой физики ЮУрГУ за ценные советы и конструктивную критику. Особую благодарность выражаю моей семье: маме Гульсине Минабутдиновне за самоотверженность и понимание, мужу Эльдару Рафаильевичу, папе Фариту Файзелхаковичу и брату Альберту Фаритовичу за поддержку и веру в успех.
Относительно р-секториальные операторы
Пусть it и $ - банаховы пространства, оператор L є (il, 30, а оператор М Є С/(it; #). Рассмотрим линейное уравнение Соболевского тина Lu = Ми. (1.2.1)
Решением уравнения (1.2.1) будем называть вектор-функцию и Є C(R+;it), удовлетворяющую этому уравнению. Решение и — u(t) уравнения (1.2.1) назовем ослабленным решением задачи Коши и(0) = щ (1.2.2) (в смысле С.Г. Крейна [63]), если u(t) — при t —» 0+. Определение 1.2.1 Множество ф С It называется фазовым пространством уравнения (1.2.1), если (і) любое решение и = u{t) уравнения (1.2.1) лежит в ф поточечно, т. е. u(t) Є ф при всех t Є R+; (іі) при любом щ Є ф существует единственное ослабленное решение задачи Коши (1.2.2) для уравнения (1.2.1).
Заметим, что если фазовое пространство уравнения (1.2.1) существует, то оно единственно. И еще, если существует оператор L l Є (#,11), то фазовое пространство уравнения (1.2.1) совпадает с пространством It.
Определение 1.2.2 Отображение U Є С(R+; (11)) называется полугруппой разрешающих операторов уравнения (1.2.1), если (i) uaUb = Us+t при всех s,t Є R+; (іі) при любом г о Є It вектор-функция u(t) = и щ есть решение уравнения (1.2.1).
Полугруппа разрешающих операторов называется аналитической, если семейство \Ub : t Є М+} имеет аналитическое продолжение в некоторый сектор, содержащий луч Ш+ с сохранением свойств (і), (іі) определения 1.2.2. В дальнейшем отождествим полугруппу разрешающих операторов уравнения (1.2.1) с ее графиком {Ub : t Є К.+} и назовем полугруппой уравнения (1.2.1). Если полугруппа {U1 : t Є М_і_} аналитична, то корректно можно определить ее ядро kert/" = {ір Є ІІ : и1 р = 0 при некотором t Є R+} и образ im U = {w Є it : lim [/ = u}. Аналитическая полугруппа уравнения (1.2.1) называется аналитической разрешающей полугруппой уравнения (1.2.1), если ее образ совпадает с фазовым пространством этого уравнения.
Здесь p q=0 q=0 называются соответственно правой р-резолъвентой и левой р-резоль-вентой оператора М относительно оператора L (коротко, правой (L, р)-резольвентой и левой (L,p)-резольвентой оператора М). Заметим еще, что если р = 0 и существует оператор L l Є ($;!&), то оператор М (L, 0) — секториален точно тогда, когда оператор L lM Є С1{ЩМЬ 1 Є Cl{$)) секториален [36], [37]. Однако, как мы увидим ниже, оператор М может быть (L, 0)— секториальным и в случае ker L ф {0}.
Теорема 1.2.1 Пусть оператор М (L:p)-секториален. Тогда существует единственная аналитическая разрешающая полугруппа уравнения (1.2.1). Искомая полугруппа представима в виде интеграла типа Данфорда Тейлора U = - [ RZtM dti, t є R+ (1.2.3) 27гг J г где контур Г = {/І Є С : arg(/z — b)\ = впри некоторомb а}, t eR+. Если рассмотреть эквивалентное (1.2.1) уравнение LLa{M)f = M(aL - М)-1/, а є pL(M), (1.2.4) то его аналитической разрешающей полугруппой будет Положим 11(5) = kert/ kerF ),!!1 1) = imt/ (imF#). Нетруд но показать, что it0 Я1 = Я0 Я1, $ Ф Ї1 = $ Ф З1, причем очевидно, что it0 Я1 С Я и S-0 С $. В дальнейшем нам потребуется условие Я0 Я1 = Я (3 ф З"1 = 3). (А1) Условие (А1) имеет место либо в случае, когда оператор М сильно (L,p) — секториален справа (слева), либо когда пространство Я (#) рефлексивно (теорема Яги-Федорова [64]). Обозначим через Lk {Мк) сужение оператора L (М) на іік (іік П domM), к = 0,1. Определение 1.2.4 Оператор М называется сильно (Ь,р) - сек-ториалъным справа (слева), если он (Ь,р) - секториален и const RLM{M){\L-M)-lMu У и Є dom М, А П Ы 9=0 где const = const (и) о (существует плотный в $ линеал $ такой что POT14t M(XL - M)- LLM{M)f р V/ єї, А П Ы q=0 где const = const(/)), a X,fiq Є SQ(M),Q = 0,1,...,p. Теорема 1.2.2 Пусть оператор М (L,p)-секториален и выполнено (А1). Тогда операторы Lk Є (ilk;$k), Mk є Cl(&k\$k), k = 0,1, причем существует оператор MQ1 Є (5;Я0).
Кроме (Al) нам потребуется еще одно условие оператор 1 Є (31; Я1), (Л2) которое выполняется либо в случае, когда оператор М сильно (L, р) — секториален, либо когда он (L,p) — секториален, выполнено (А1) и З1 = imLi. Если выполнены условия (А1) и (А2), то существует операторы Я = М0 % Є (it) и S = L Mi Є Cl.
Определение 1.2.5 Оператор М называется сильно (L,p) - сек-ториальным, если он сильно (L, р) - секториален слева и const {XL-M)-lLLM{M) А П Ы 7=0 при любых X,fjLq Є SQ(M),q = 0,1,...,p. Определение 1.2.6 Оператор А Є Cl(ii) называется секториаль-ным, если (г) существуют константы аЄКи#є(,7г) такие, что сектор Sa,e(A) = {/І Є С : \arg(fj, -й) й, а}с р(А); (И) существует константа К Є М+ такая, что 1М-лПа11) - v ) Теорема 1.2.3 Пусть оператор М (L,p)— секториален и выполнены (А1), (А2). Тогда оператор Н нилъпотентен степени не выше р, а оператор S секториален.
Функциональные пространства
Пусть пространства it =) Ъ — И -1, а операторы L, М и N определены формулами (2.3.4) и (2.3.5). Рассмотрим полулинейное уравнение Соболевского типа Lu = Mu + N{u), (2.4.1) для которого поставим задачу Коши гі(0) = щ. (2.4.2)
Пусть а є Ж\{0}, тогда в силу теоремы 2.3.1 оператор М (L,0) - ограничен. Пусть Л ф. {А&}, тогда kerL = {0}, и в силу теорем 2.3.2 и 2.1.1 фазовым пространством уравнения (2.4.1) служит все пространство it. Фиксируем сказанное.
Лемма 2.4.1 При любых а Є R\{0}, (З Є R и А Є R\{A/;} фазовым пространством уравнения (2.4.1) является пространство it. Далее построим L - спектр оператора М. o-L{M) = l j-k к Є N\0 : A = A,} j . Как и ожидалось, он ограничен, поэтому по формулам (1.1.1) построим проекторы Р и Q. - =X Таким образом проекторы имеют следующий вид P = I-{;(pi)(ph Q = I-{;(pt)ipi. (Заметим, что символом I обозначены, вообще говоря, разные единичные операторы, поскольку они действуют на пространствах it и $ соответственно). Построим множество ЯЯ = {иЄІІ: ((Ми+ #(«)) , ) = О, А = А,} и пространства it0 = ker L = span{(/?i : A = A }, И1 = {« Є ЇХ : {щщ) = 0, Л = Az}. Возьмем произвольную точку и Є il, тогда в силу теоремы 1.1.1 и = (xpi + v, где v = Pw Є it1, а Є R. Точка и Є 9DT точно тогда, когда ь ь 6 -/5а2 / (pnpfxdx — /За I (pivx(pixdx - (За I v(pfxdx— а Ь -pJv dx + aaX O
Заметим, что если (3 = 0, то с необходимостью а — 0, т.е. множество 9Я и подпространство it1 совпадают. Этот случай в настоящее время рассмотрен очень детально и вошел в учебники [49]. Поэтому в дальнейшем считаем (З Є R\{0}.
Преобразуя получившееся уравнение, получим ь ъ у ІИІІз + «fvrfdx + ) + IJvWx = 0, (2.4.3) а а где через -І обозначена норма в пространстве L%. Введем в рассмотрение функционал ь ь A(v) = (J v pfdx + j)2- INlL/ v2 Pi b, a a A : it1 — Ж, и построим множество ill = {v Є U1 : A(v) 0}. Возьмем точку v Є il+, тогда уравнение (2.4.2) имеет два решения «- = \Ы\ ь! -f -Jvtfdx - у/Му) А+=К [ -% - f Vtfdx + у/Ції) (2.4.4) , Г „„ Л _i_ . ГХйл \ Построим множества 9Я+(_) = {«Gii: u = a+(_)(v)ipi +v, v Є il+}. Поскольку ЯЯ+(_) 0 и 9Л+ U 9Я_ С 971, то тем самым доказана Лемма 2.4.2 Пусть А Є {А }, тогда при любых а, (З Є Ж\{0} множество Ш ф 0. Итак, условие (2.1.5) выполнено. Приступим к проверке условия (2.1.6). Возьмем точку щ Є 9Jt+(-) и найдем оператор ії . Поскольку щ = а+(_)(г о) +г о, где г о U+, то оператор HUo в данном случае выглядит следующим образом: voipfdx-h-. Оператор Нщ : Ж —» К и равен оператору О (т.е. вырожден) точно тогда, когда функционал Л (г о) = 0 (см. (2.4.4)). Таким образом, из теоремы 2.1.2 и леммы 2.4.2 следует Лемма 2.4.3 Пусть А Є {А }, тогда при любых a, ft Є М\{0} множество 9Я+ U ЯЯ_ является фазовым пространством уравнения (2.4.1). Теорема 2.4.1 Пусть а, {З Є М\{0} и (і) А {А/с}. 7Ьг 9а фазовим пространством уравнения (2.4.1) является все пространство 11. (іі) А Є {А }. Тогда фазовым пространством уравнения (2.4.1) является множество 9Я+иЗЯ_; каждая компонента которого 9Л+ и 9Я_ биективно проектируется на множество 11+.
С учетом лемм 2.4.1 и 2.4.3 в доказательстве нуждается только утверждение о биективной проекции. Однако это доказательство вытекает из доказательства леммы 2.4.2, поскольку для любого вектора г?о Є il\_ существуют точно два вектора щ+ — a+(v0) + VQ Є ЯЯ+ и щ_ — а_(г 0) + VQ Є 9Я_.
С другой стороны, для любого вектора 0+(-) Є 9ft+(_) существует единственный вектор vo Є it , равный PWQ+(-).
Замечание 2.4.1 Итак, если Л Є {А } и точка г о Є 9Я+и9Я_, то существует единственное решение задачи (2.4.1), (2.4.2). Если Л є {А } и точка Wo . 9Я, то очевиден факт несуществования решения задачи (2.4.1), (2.4.2). Таким образом, остается неизученной задача (2.4.1), (2.4.2) в том случае, когда начальные значения лежат во множестве ЗЯ\(ЯЯ+ иЯЯ_), которое уместно назвать точками складки Уитни фазового пространства уравнения (2.4.1).
Морфология фазового пространства
Пусть пространства it =V 2 -5 = 2_1 а операторы L,M и N определены формулами (2.3.4) и (2.3.5). Тогда, как показано в п. 2.3, уравнение (2.3.1) и условия (2.3.2) редуцируются к полулинейному уравнению Соболевского типа Lu = Mu + N(u). (2.5.1) В п. 2.4 для уравнения (2.5.1) была рассмотрена задача Коши и(0) = v0: (2.5.2) причем доказана ее однозначная локальная разрешимость в случаях, когда либо А {А } и начальное значение VQ выбирается произвольно из пространства it, либо А Є {А } и начальное значение можно выбирать только из множества 9Я+ U ШТ_. Однако физически осмысленной для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова является не задача Коши, а задача Шоуолтера - Сидорова L(u(0) - щ) = 0, (2.5.3) которая в оригинальной постановке выглядит следующим образом: ъ / [А(и(0) - u0)v + (и(0) - uQ)xvx] dx = О, а . при всех V Є ІІ.
Главной целью данной работы является исследование феноменов несуществования и неединственности решений задачи (2.5.1), (2.5.3). Однако начнем с описания тех случаев, когда решение задачи (2.5.1), (2.5.3) существует и единственно. Лемма 2.5.1 При любых а Є М\{0}; (З Є М, А Є M\{Afc} и щ Є il существует единственное решение задачи (2.5.1), (2.5.3).
Доказательство очевидно, поскольку в данном случае существует оператор L l Є (#;!(.), и в силу этого задача (2.5.1), (2.5.3) эквивалентна задаче (2.4.1), (2.4.2). Таким образом, утверждение леммы следует из леммы 2.4.1.
Теперь пусть а, /З Є М\{0} и А Є {А }. Построим множества ЯІ = {v Є it1 : A{v) 0} и Uj = {v Є Я1 : A(v) = 0}. Теперь выберем произвольно вектор щ Є 9Я и рассмотрим его проекцию WQ = PWQ. Пусть окажется, что и\ Є 11+. Точка г в этом случае служит образом двух точек щ+ Є 9Я+ и гіо- Є 9К-, ito+ = a+(ul)(pi + г/0+ и w0- = a_(iij) # + гі0+.
В силу теоремы 2.4.1 существуют два единственных решения и+ = u+(t) и и- = u-(t) задач Коши 1/+(0) = щ+ и гг_(0) = ио- для уравнения (2.5.1), которые являются двумя различными решениями задачи (2.5.1), (2.5.3). Фиксируем сказанное в виде следующего утверждения.
Лемма 2.5.2 При любых а,/? ]R\{0}, А Є {А } и щ є il таких, что Рщ Є il+ существуют два различных решения задачи (2.5.1), (2.5.3).
Теперь пусть окажется, что и\ Є Я]_. Тогда задача (2.5.1), (2.5.3) не будет иметь ни одного решения, поскольку ни при каком а Є Ж. точка VQ = аїрі + и\ не будет лежать во множестве 9#, т.е. не будет удовлетворять уравнению (2.4.2). Если же окажется, что точка и\ Є itg, то имеющаяся в нашем распоряжении теория пока недостаточна для изучения такого случая. Итак, с учетом всего сказанного справедлива следующая Теорема 2.5.1 При любых ех, /З Є М\{0} и (і) А Є M\{Afc} существует точно одно решение задачи (2.5.1), (2.5.3) при любых щ Є Я. (И) А Є {Хк} существует два различных решения задачи (2.5.1), (2.5.3) при любых wo Є Я таких, что Рщ Є іі\. (Ні) А Є {Afc} не существует ни одного решения задачи (2.5.1), (2.5.3) при любых щ Є Я таких, что Рщ Є ЯІ.
На основе теоретических результатов, полученных во второй главе диссертации, для подтверждения нетривиальности фазового пространства задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова, в системе компьютерной математики Maple 12.0. разработана программа, которая позволяет:
1. По заданным коэффициентам а, (3, А на основе метода Галер-кина находить численное решение задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения Корпусова -- Плетнера - Свешникова (по умолчанию используется метод Рунге—Кутта 4 или 5 порядка, модифицированный Фелбергом).
2. Получить графическое изображение этого приближенного решения, которое показывает нетривиальность фазового пространства.
Для реализации вычислительных алгоритмов программы использовались встроенные функции и стандартные операторы языка программирования Maple 12.0. Для получения графического изображения подключен пакет plots.
В полосе (0,7г) х Ж. рассмотрим уравнение Корпусова - Плетнера - Свешникова Хщ - щхх = аихх + (3{иих)х. (2.6.1) и начально - краевую задачу L{u(0) - щ) = 0, (2.6.2) и(0, t) = и(тг, t) = 0, t є R (2.6.3) для него. Решение начально - краевой задачи (2.6.1)-(2.6.3) будем искать в виде галеркинской суммы m um(t, x) = Y М ) Рк, rn 1, (2.6.4) где { :} - ортонормированное в смысле Z/2 множество собственных функций, соответствующие собственным значениям Хк однородной задачи Дирихле для оператора - на (0,7г). Легко подсчитать, что Vk = Ук{х) = у \ sin(fcz), &Хк = -к2.
Единственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова
Итак, мы редуцировали задачу (3.2.1), (3.2.2), (3.2.7) к задаче (3.1.1), (3.1.8). Как показано в н.3.1, прежде чем решать задачу Шоуолтера - Сидорова (3.1.8) для уравнения (3.1.1), необходимо сначала рассмотреть задачу Коши (3.1.2). А при рассмотрении задачи Коти удобно воспользоваться концепцией фазового пространства. Оператор М сильно (L, 0) - секториален (теорема 3.2.1), поэтому в силу замечания 1.2.1 и следствия 1.2.1 ker L = it0, а оператор Н = О. Значит, в нашем случае все решения уравнения (3.1.1) являются квазистационарными полутраекториями, т.е. лежат поточечно во множестве ъ ъ Ш = {и Є На I vrfdx = / {wxrjx — 5wq + /3w37])dx+ a a +\(w(a)r}(a) + w(b)j](b))}. Приступим к изучению множества Ш1. Для этого введем в рассмотрение пространства 9?м = 2їїм = И 1, так что теперь Ям = 2?м х 2ЇЇМ Лемма 3.3.1 Пусть /3, А є R+, 5 Є (0, z i), тогда для любого вектора v Є IIа существует единственный вектор w Є 2#м такой, что и = со/(г , w;) Є 9Я.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим вспомогательный оператор ь (A(w),rj) = / (% - 5w7/ + f3w3T])dx + А(гу(а)?7(а) + w(b)rj(b)), a w,rj Є 2ЇЇМ) domA = 2JJM, a (, ) _ скалярное произведение в і 2-Обозначим через S) пространство, сопряженное к 2їїм относительно двойственности (,). Покажем, что оператор А : 2Вм —+ ) биективен. Отсюда в силу непрерывности вложения Яа С 9) сразу следует результат теоремы. Поскольку K H )i c(iNk + iHfe)iWk, где константа с Є Ш+ зависит от /3, , А и констант вложений 2Пм L4 - Ьф - , и не зависит от w к г), то тем самым доказано действие оператора А : 2їїм - Д. Теперь применим следствие 1.7.1. Прежде всего отметим, что оператор А : ЇЇОм — $) коэрцитивен, т.е. lira (A(w),w) HI1, = lim If (wi - Sw2 + j3wA \ dx+ ( b \ 1/2 +X(w2{a) + w2(b))) I f{w2x + w2)dx J = +00. Кроме того, оператор А строго монотонен, т.е. (A(wi) - А(ги2), wi — w2) = ь = (wi - w2)l — 6(wi — w2)2 + (3{w\— w2)2 (w\ - W1IV2 + wl) dx a +A [Oi - w2)2(a) + (гуі - w2)2{b)} 0, как только wi ф w2. Наконец, покажем гладкость оператора А, т.е. что его производная Фреше Afw Є С(ЇЇОм] ft) в любой точке w Є 2Вм-Действительно, ь \(AU, Ч)\ = /(6, - 5 + 3/) + А(«а)і7(а) + «%(&)) а где, как и выше, константы с±, с2 зависят только от /?, 5, А и констант вложения. Стало быть, оператор А непрерывно дифференцируем, а отсюда, очевидным образом, следует его радиальная непрерывность. Лемма доказана. Итак, оператор А, построенный при доказательстве леммы 3.3.1, оказался биекцией; значит, существует обратный оператор А 1 ) — 2Пм- Рассмотрим этот оператор более внимательно.
Лемма 3.3.2 В условиях леммы 3.3.1 оператор А"1 Є С(із;Ш?м) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства, в силу обнаруженной ранее биекции A : WM — и вложений ЇЇОм — IIа - fj, достаточно использовать теорему о неявной функции (теорема 1.7.2). При доказательстве предыдущей леммы было доказано, что при любом w Є WM производная Фреше оператора А в точке w A w Є C(WM\&)-Далее, применив теорему 1.7.1 в данном случае (т.е. установив аналогично предыдущему доказательству коэрцитивность, строгую монотонность и очевидную непрерывность оператора A w при любом, но фиксированном w Є 2їїм) получим биективность оператора A w : 2Пм А отсюда и из ранее установленной непрерывности A w, в силу теоремы Банаха, получим, что (А )"1 Є (із;2їїм)
