Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы изучения гидродинамических течений; вейвлет-анализ данных; нейросетевая обработка и распознавание образов (обзор литературы) 14
1.1 Методы изучения гидродинамических течений 14
1.2 Вейвлет-преобразование 22
1.3 Нейронная сеть, как метод статистического анализа многопараметрических данных : 27
1.4 байесовы сети 31
1.5 основные выводы к главе i : 32
ГЛАВА 2. Описание расчетов и используемых расчетных схем 33
2.1 Описание расчетов, полученных по программе nut 33
2.2 Статистическое распределение ширины зоны перемешивания при развитии процессов рт-неустойчивости 37
2.3 Расчеты, проведенные по программе мах 41
2.4 Основные выводы к главе 2 46
ГЛАВА Предобработка данных 47
3.1 Учет пространственной информации с помощью вейвлет-кодирования исходных полей 47
3.2 Сжатие информации, метод главных линейных компонент 52
3.3 Получение фильтров прямого преобразования 57
3.4 Построение фильтров прямого преобразования по процессам, рассчитанным по программе мах 74
3.5 Основные выводы к главе 3 75
ГЛАВА 4. Кластерный анализ данных. карты кохонена ..81
4.1 Карты кохонена как способ визуализации многомерного пространства 81
4.2 Кластеризация состояний процессов, представленных в пространстве главных компонент с помощью самоорганизующихся карт кохонена 86
4.3 Критерий выбора представления. Энтропия данных 91
4.4 Построение предиктора 97
4.5 Анализ расчетов, проведенных по программе мах 102
4.6 Сравнительный анализ двух численных схем 106
4.7 Предиктор для совместной базы данных 111
4.8 Совместный анализ процессов с разным числом атвуда 112
4.9 Основные выводы к главе 4 '. 114
Заключение 115
Приложение 1 118
Приложение 2 120
Приложение 3 121
Литература
- Вейвлет-преобразование
- Статистическое распределение ширины зоны перемешивания при развитии процессов рт-неустойчивости
- Получение фильтров прямого преобразования
- Кластеризация состояний процессов, представленных в пространстве главных компонент с помощью самоорганизующихся карт кохонена
Введение к работе
Изучение турбулентных течений, вызванных гидродинамическими неустойчивостями, имеет большое практическое и научное значение. Классическим примером такой неустойчивости является неустойчивость Релея-Тейлора [1-3] (РТ-неустойчивость), которая возникает, когда тяжелую субстанцию помещают над легкой, а вся система при этом находится во внешнем силовом поле (например, ртуть, налита на поверхность воды в поле силы тяжести). Тяжелая среда начинает проникать в легкую в виде струй, а легкая - подниматься в тяжелую, образуя "пузыри", при этом перемешивание сред может развиваться разными путями в зависимости от вида начального возмущения границы их раздела. Задачей близкой по постановке к задаче Релея-Тейлора является неустойчивость Рихтмайера-Мешкова [4-6]. Разница состоит в том, что в первом случае система постоянно находится во внешнем силовом поле, а во втором - получает импульсное воздействие.
Задача предсказания конфигураций полей физических величин на поздних временах развития неустойчивостей по форме начальной конфигурации границы раздела сред представляет большой практический интерес. В частности, данная проблема возникла при изучении задачи инерциального термоядерного синтеза.
Чтобы получить энергию в термоядерном синтезе, необходимо нагреть топливо до термоядерных температур и удерживать ее достаточно долго, чтобы энергия, выделенная в результате синтеза, была больше затраченной на нагрев и удержание. Количественно это требование описывается критерием Лоусона [7], который накладывает условие на конечную плотность топлива п и время удержания т :
/іг>1014 с/ , /см
Одним из предполагаемых способов достижения зажигания
термоядерного горючего является метод инерциального термоядерного
5 синтеза, основанный на сжатии вещества. Основные положения инерционного
термоядерного синтеза сформулированы в работах [8-12]. На рис.1 представлена схема зажигания топлива, в которой для нагрева и сжатия вещества используется мощное лазерное излучение. Термоядерное топливо находится внутри более плотной оболочки. Излучение падает на внешнюю поверхность оболочки мишени, вызывая абляцию вещества с ее поверхности. Испарение и абляция в свою очередь задают ускорение оболочки вовнутрь мишени.
Проблема такого способа зажигания состоит в том, что процесс сжатия является неустойчивым. Здесь наблюдаются три области, где возможно возникновение гидродинамических неустойчивостей. Первая - на внешней поверхности оболочки: при использовании абляционного давления для сжатия мишени до высокой плотности фактически предпринимается попытка ускорить плотную среду, толкая ее более легкой средой (веществом, испаряющимся с поверхности оболочки). Такой процесс приводит к возникновению классической неустойчивости Релея-Тейлора. Вторая область неустойчивости возникает на стадии сжатия веществом оболочки термоядерного топлива, то есть при торможении более тяжелого вещества оболочки легким термоядерным горючим. Это опять приводит к возникновению Релей-Тейлоровской неустойчивости. Третья область находится в центре мишени, где сильно нагретое топливо низкой плотности окружено более холодным топливом более высокой плотности.
Область 2
Область 1
Рис.1 Схема лазерного сжатия термоядерного топлива
По сравнению с классической постановкой задачи при сжатии мишени ситуация усложняется переменным ускорением, сжимаемостью перемешиваемых сред, теплопроводностью и сферической геометрией системы. Тем не менее, в ряде случаев задача близка к классической. На рис.2 приведен график зависимости радиуса мишени от времени в численном расчете лазерного термоядерного синтеза. В данном случае мишень состояла из оболочки, слоя льда из дейтерий-тритиевой смеси и слоя D-Т-газа. Верхний график, нарисованный пунктирной линией, показывает зависимость от времени расстояния от центра мишени до границы раздела оболочки и D-Т-льда. Нижний график показывает зависимость от времени расстояния до границы раздела D-Т-льда и D-Т-газа. Из графиков видно, что на большом отрезке сжатие можно считать линейным по времени, что соответствует постоянному ускорению.
О,0бп
DT-ice-DT-gas/
0,05-
~ "DT-ice- pusher.
time, ns
Рис.2 График зависимости радиуса мишени от времени при инерциальном
термоядерном синтезе.
В настоящее время теоретическое исследование турбулентных течений движется в двух направлениях: прямое численное моделирование (расчет по уравнениям гидродинамики) и построение параметрических моделей, основанных на статистическом осреднении исходных уравнений и применении полуэмпирических зависимостей для замыкания системы. Первый подход связан с большими вычислительными затратами, что ограничивает возможность его применения в ряде практических задач. Во втором подходе пока не удалось добиться исчерпывающего описания развития турбулентного перемешивания, а существующие на сегодняшний день модели имеют достаточно узкие области применения.
Таким образом, в ряде задач возникает ситуация, когда модели с малым числом параметров - так называемый параметрический подход (parametric method) — не дают полного описания, а расчеты на достаточно подробной сетке
8 — непараметрический подход (nonparametric method) — практически сложно применить. В этом случае можно прибегнуть к так называемому полупараметрическому подходу (semiparametric method), в котором модель имеет, с одной стороны, достаточное число степеней свободы, чтобы хорошо описывать исследуемые явления, но, с другой стороны, количество параметров позволяет современным вычислительным машинам быстро производить расчеты по построенной схеме.
Построение полупараметрических моделей традиционно ведется путем обобщения и статистического анализа экспериментальных данных. На первом этапе создается математическая модель, имеющая достаточно большое число адаптивных параметров, чтобы заведомо можно было достичь необходимого качества описания. Далее ей предъявляются данные, и адаптивные параметры модели корректируются согласно некоторому математическому критерию так, чтобы модель наилучшим образом описывала эти данные [13]. Процесс корректировки весов в теории обучения называется обучением модели, а используемое для этого множество данных - обучающим множеством.
Цель данной работы состоит в построении обучаемой математической модели описания процессов" перемешивания Релея-Тейлора; разработке алгоритмов и написании программы, реализующей данную модель; обучении созданной программы на множестве расчетов; проверке принципиальной состоятельности применения данного подхода к задаче предсказания поздних состояний процессов развития РТ-неустойчивости по их начальным возмущениям; поиске фундаментальных характеристик состояний процессов, дающих их компактное описание.
В работе в качестве обучающего множества данных используются результаты численных экспериментов ~ расчетов двумерного перемешивания Релея-Тейлора, проведенных по программам NUT [14] и МАХ [15]. Их описание будет дано ниже (главы 1, 2). С помощью этих кодов было получено
9 множество расчетов РТ-перемешивания, проведенных для различных начальных условий. Была разработана обучаемая модель, реализованная и обученная в среде МАТЛАБ. Получено компактное представление процессов перемешивания Релея-Тейлора, удобное для анализа этих данных созданной моделью.
Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения, приложений и списка литературы.
Первая глава содержит обзор наиболее распространенных на сегодняшний день методов исследования РТ-неустойчивости и описание используемого в данной работе статистического анализа. Приведены базовые модели развития гидродинамических неустойчивостей, используемых для описания различных стадий перемешивания, а также описаны численные схемы расчета турбулентных течений — программа NUT, созданная в Институте математического моделирования (Москва) и программа МАХ, созданная в РФЯЦ ВНИИТФ (Снежинск). Дано краткое описание используемого в работе математического аппарата - вейвлет-анализа и методов кластерной обработки данных.
Во второй главе описываются расчеты развития неустойчивости Релея-Тейлора, используемые в данной работе, а также расчетные методики, с помощью которых они были проведены. Расчеты проводились по двум программам (NUT и МАХ), форма начального возмущения границы раздела сред задавалась суперпозицией гармонических функций. В работе использовались расчеты с различным спектральным составом начального возмущения. Возмущения границы раздела сред задавались 6-ю, 8-ю и 10-ю гармониками, порядковые номера которых соответствовали простым числам:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 Амплитуды гармоник выбирались по одному из двух
законов: в первом случае линейно убывали с ростом волнового вектора, во втором — оставались постоянными. Выбор фаз этих гармоник является
случайным. Рассматривалось перемешивание различных пар газов, а именно: гелий-ксенон, аргон-ксенон. Расчеты представлены в виде набора полей распределения физических величин в дискретные моменты времени.
В этой главе проводится статистический анализ поведения ширины зоны перемешивания для поздних моментов времени в зависимости от начальной ширины зоны перемешивания. При этом исследуются расчеты, проведенные для одной и той же пары газов, начальные возмущение границы раздела которых имеют одинаковый спектральный состав (гармоники, составляющие форму начального возмущения, во всех случаях входят в нее с одной и той же амплитудой, а отличие состоит в выборе фаз этих гармоник).
В третей главе описывается схема обработки полей плотности, характеризующих состояние процесса, которая состоит из двух последовательных линейных преобразований: вейвлет-преобразования полей плотности [16], в результате которого каждое поле было представлено вектором коэффициентов разложения по вейвлетгфункциям, и выделения главных линейных компонент в представленных таким образом данных.
В результате был найден набор функций, по. которым можно разложить все поля плотности, благодаря чему достигается их сжатое описание. Полученные базисные функции задаются численно в виде массива аппроксимирующих коэффициентов. Внешний вид базисных функций зависит от типа вейвлета, с помощью которого осуществляется предобработка картин распределения плотности. В этой главе графически приводятся базисные функции, построенные с использованием на этапе предобработки вейвлета Добешиї (dbl) или функции Хаара и вейвлета Добеши2. Внешний вид полученных базисных функций в этих двух случаях различен, но общим является то, что разложение любой картины распределения плотности в основном содержится в небольшом количестве (порядка нескольких десятков)
и коэффициентов разложения. Следует отметить, что эти коэффициенты стоят
при функциях, отвечающих за большие масштабы структур плотности.
Такое сжатое представление данных позволяет более оперативно обрабатывать информацию. Кроме того, некоторые базисные функции имеют наглядную физическую интерпретацию, что может сыграть важную роль в понимании физической сути процесса перемешивания. Из коэффициентов разложения полей по базисным функциям в дальнейшем составлялись векторы, играющие роль входных векторов нейронной сети, используемой для прогноза развития течений.
Четвертая глава посвящена кластерному анализу данных, представленных векторами, состоящими из коэффициентов разложения полей плотности по базисным функциям. В ней показано, что такое представление процессов удобно для предсказания течений, так как траектории расчетов в нем обладают устойчивостью. Устойчивость заключается в том, что если начальные состояния каких-то процессов близки по евклидову расстоянию, то и последующие состояния этих процессов так же будут близкими. Таким образом, утверждается, что в данных присутствует некоторая определенность, позволяющая прогнозировать движение процессов в пространстве коэффициентов разложения по базисным функциям.
В этой главе предложен критерий выбора отображающей вейвлет-функции для предобработки полей плотности, основанный на сравнительном анализе устойчивости процессов в различных представлениях (представлениях, полученных при использовании различных функций для отображения полей распределения плотности). Критерий основан на энтропийном анализе данных. По этому критерию будет сделана оценка предсказательных свойств некоторых пространств, полученных с помощью наиболее распространенных вейвлетов, а так же с помощью Фурье-разложения полей.
12 Также в этой главе описывается принцип построения программы
(предиктора), предсказывающей конфигурации плотности процессов на
поздние моменты времени по форме начального возмущения границы раздела
сред. В основе предиктора лежит обучаемая нейросетевая модель. Такая
модель содержит множество неопределенных параметров, которые перед
эксплуатацией программы нужно доопределить - провести обучение.
Обучение состоит в предъявлении программе множества примеров развития
неустойчивости Релея-Тейлора, в результате статистической обработки
которых модель фиксирует- значения корректировочных параметров.
Приводятся результаты предсказаний предиктора: при предъявлении
программе начальной конфигурации поля плотности нового неизвестного ей
процесса программа выдает состояние процесса обучающей выборки,
наиболее близкое по ее мнению к тем, которые должны получится в результате
численного расчета.
Проводится кластерный анализ множества расчетов, а также
сравнительный анализ процессов, полученных по различным численным
методикам и процессов с различным числом Атвуда.
На защиту выносятся следующие результаты работы, полученные автором:
Методика анализа экспериментальных (расчетных) данных, основанная на совместном использовании вейвлет-преобразований, метода главных линейных компонент и кластеризации с помощью самоорганизующихся карт Кохонена, которая позволяет группировать изображения по их "внешнему" сходству.
Базовые конфигурации полей плотности (базисные функции), по которым можно разложить все картины распределения плотности, что
13 приводит к упрощенному сжатому описанию процессов развития неустойчивости Релея-Тейлора.
Доказательство ближнего порядка корреляции в турбулентных течениях, проведенное на основе энтропийного анализа устойчивости процессов РТ-перемешивания в представлениях различных вейвлет-преобразований.
Алгоритмы преобразования исходных полей плотности в векторы коэффициентов разложения по базисным функциям, разработанные и реализованные в среде МАТЛАБ,
Программа-предиктор, предсказывающая распределение плотности, соответствующее состоянию процесса на заданный момент времени по распределению плотности этого процесса в начальный момент, реализованная в среде МАТЛАБ.
Основные результаты исследований автора, пртіведенньїе в диссертации, опубликованы в статьях [17-20], в виде препринтов [21-24], в сборниках трудов конференций [25-27], а также представлены в докладах конференций: IV и V Харитоновских чтениях 2002, 2003, [28, 29]; ХХІХ-ХХХІ Звенигородских конференциях по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу [30-32]; 9-th International Workshop on the Physics of Compressible Turbulent Mixing, Cambridge, UK 19-23 July 2004 [33]; Международном семинаре по супервычислениям и математическому моделированию-2004 [32], Научных сессиях МИФИ-2004, -2005 [35-36].
Вейвлет-преобразование
Теория вейвлет-преобразования (wavelet transformation) была разработана в начале 90 годов прошлого века. Давно известные способы представления сигналов, такие как Фурье-разложение, не во всех случаях были пригодны для описания свойств объектов. Если нам изначально дан временной ряд, то его Фурье-образ дает частотное представление этого ряда. Можно сказать, что вейвлет-преобразование является промежуточным представлением между временным и частотным. Идея этого преобразования заключается в разложении анализируемого сигнала на элементарные функции (всплески), локализованные во времени. Каждый такой всплеск имеет свой характерный временной масштаб и свое местоположение на временной оси. Все эти всплески подобны друг другу, поскольку получаются из одной функции - материнского вейвлета путем изменения масштаба и пространственного сдвига. Вейвлеты относительно независимо были предложены в различных научных дисциплинах. Можно выделить следующие работы, относящиеся к разным областям науки, в которых были разработаны прототипы этой техники: чисто математическая работа Кальдерона (формула обращения Кальдерона) [58], физика (когерентные состояния для (ax + b)-группы в квантовой механике, первоначально построенные Аслаксеном и Клаудеров в [59]), техника (КЗ фильтры Эстебана и Геланда [60]), Веттерли [61] цифровая обработка сигналов, Морле [62] анализ сейсмических данных. Базовая идея разложения сигнала по сумме элементарных функций, полученных из одной функции-прототипа, по всей видимости, принадлежит Фурье. Фундаментальной работой по теории вейвлет-преобразований можно считать книгу [16].
Основным недостатком Фурье-преобразования является чувствительность такого представления к локальным выбросам в сигнале. Локализованный всплеск может сильно изменить Фурье-портрет объекта. Фурье-преобразование удобно использовать для анализа однородных сигналов, свойства которых не сильно меняются во времени. В нашем случае приходится анализировать двумерный объект (картины распределения физических величин), которые имеют сильно негармоничную структуру. Локальная особенность, которая находится в одной области рассматриваемого фрейма, может физически никак не коррелировать со структурами, которые находятся в другой, эти структуры могут отличаться по своим спектральным свойствам. Фурье портрет всего объекта в целом не будет отражать спектральные особенности отдельных участков.
Первым шагом к решению этой проблемы было построение оконного Фурье-преобразования [16], когда объект разбивается на отдельные участки и в каждом из них берется Фурье-образ. Рассмотрим одномерную функцию f(s), его оконное Фурье преобразование можно записать следующим образом: На практике при анализе сигналов более распространен дискретный вариант, когда частота и время пробегают дискретный ряд значений(7 = я/0,й) = т(У0):
Для локализации по времени здесь используется функция g(t) с компактным носителем или оконная функция [16].
Вейвлет-образ функции /{/) получается путем свертывания анализируемого сигнала с локализованными в пространстве функциями и дает похожее частотно-временное представление: И для случая, когда параметры вейвлета ц/ дискретные значения: \ 0 )
В ряде случаев вейвлет-преобразование имеет преимущество перед оконным Фурье-преобразованием. Это хорошо видно на примере, приведенном в книге [16]. Рассмотрим функцию: fit) = sin(2mv) + sin(2nv2t) + y($(t -/,)+ ?(/-12)), которая представляет собой сумму двух гармоник и двух локализованных во времени пульсаций. На практике, когда мы имеем дело с сигналами, задаваемыми отсчетами, данная функция будет выглядеть следующим образом: (г-/Х )=К(Ф( ). принимают только \ « f{t) sm{27CVlnt0ysm(27uv2nt0) + a(Snni + )
На рис. 1.2a к, = 500Гч, і/, =1кГц, /о=1/8000с, а = 1.5, л2-«1 =32 (это соответствует времени между двумя пульсациями 4 миллисекунды). Далее, на рис. 1.26, 1.2в, 1.2г приводятся спектрограммы, полученные путем оконного Фурье преобразования с различной шириной окна, соответственно, 12,8мсек, 6,4мсек и 3,2мсек. Здесь время меняется по горизонтали, частота — по вертикали, уровень насыщенности серого цвета указавает на абсолютное значение Фурье-коэффициента в данной точке. При уменьшении ширины окна разрешение двух чистых тонов становится хуже, в то время как две пульсации проявляются более четко.
Статистическое распределение ширины зоны перемешивания при развитии процессов рт-неустойчивости
Одной из интегральных характеристик текущего состояния процесса является ширина зоны перемешивания. Эта величина была введена следующим образом: функция плотности (функция значений поля плотности от пространственных переменных х и z) в разрезе, сделанном вдоль вертикальной оси, как следует из формулы (2.1), имеет максимум в области тяжелой субстанции вблизи границы раздела сред. Согласно той же формуле легкая жидкость имеет минимум плотности вблизи границы раздела. На рис.2.3 показан усредненный по х разрез функции плотности для нулевого и 25-го моментов времени одного из рассматриваемых процессов. Расстояние между минимумом и максимумом усредненного по горизонтальной координате вертикального разреза функции плотности будем называть шириной зоны перемешивания
На рис.2.4 приведены гистограммы значений ширин зоны перемешивания 32-х процессов, где гистограмма, изображенная. белым цветом отвечает величинам зон перемешивания начальных состояний процессов, а черным -конечных. На гистограммах рис.2.5 и рис.2.6 по оси абсцисс откладываются ширины начальных (рис.2.5) и конечных (рис.2.6) зон перемешивания, а по оси ординат — количество процессов, чьи соответственно начальные и конечные состояния попали в соответствующий диапазон ширин.
Из гистограммы 2.4 можно заметить, что, как правило, большая начальная зона перемешивания приводит к большей конечной зоне. Однако такая тенденция не четко выражена, и, очевидно, что зависимость имеет нелинейный и случайный характер. Нелинейность хорошо видна из гистограммы рис.2.7, где по оси абсцисс откладываются отношения конечных ширин зон перемешивания к начальным, а по оси ординат - количество процессов, попавших в соответствующий диапазон этих отношений. Линейная зависимость привела бы к тому, что все процессы имели бы одинаковое отношение ширин зон перемешивания, однако эта величина имеет распределение, напоминающее распределение Гаусса.
Геометрия расчетов, полученных с помощью программы МАХ [15], практически совпадает с геометрией расчетов, проведенных по NUT (рис.2.1), за тем исключением, что ширина фрейма (длина отрезка ОС) L = 72 мм. На верхней (АВ) и нижней (DE) границах системы задается условие непротекания. На вертикальных границах (АЕ и BD) также задается условие непротекания (в отличие от расчетов по NUT, где на боковых стенках были заданы периодические граничные условия). Расчеты были выполнены в РФЯЦ ВНИИТФ (г. Снежинск) Анучиным М.Г.
Принципиальная разница между двумя используемыми в работе программами состоит в том, что NUT использует эйлерову схему, а МАХ -лагранжеву (см. Главу 1). Для описания термодинамических свойств газов в программе МАХ применяется уравнение состояния совершенного газа в виде: р і р представлен последовательностью из четырнадцати картин распределения плотности. Всего база данных включает 10 процессов, полученных с помощью численного кода МАХ для пары газов Не-Хе. Для задания начального возмущения использовалось 6, 8, и 10 гармоник, причем в пяти процессах амплитуды гармоник убывали с ростом волнового вектора по закону ак = 0,8, а в пяти других брались постоянными: a = const. Соответствующие фазы и амплитуды приведены в таблице в приложении 2.
На рис.2.8-2.10 представлены начальные возмущения (слева) и соответствующие им конечные состояния (справа) для некоторых процессов. Рис.2.8 демонстрирует развитие расчета, начальное возмущение в котором задавалось 6-ю гармониками, а их амплитуды убывали по закону ак = 0,8, на рис.2.9 возмущение задавалось 10-ю гармониками ак = 0,$ и на рис.2.10 a = const, для задания амплитуды возмущения использовались 10 гармоник.
Аналогичные по постановке расчеты были проведены по программе МАХ для пары газов Аг-Хе. Ниже (рис.2Л 1-2.13) таюке приводятся начальные и соответствующие им конечные состояния для некоторых процессов. Процессы выбраны так, что формы начального возмущения границы раздела фаз совпадают с формами начального возмущения в расчетах для пары газов Не-Хе представленными на рис.2.8-2.10.
Получение фильтров прямого преобразования
В результате проделанного преобразования каждый момент времени любого из процессов будет задан набором значений координат, в пространстве главных компонент \CX,C2,».,CN). Процедура построения данного преобразования состоит из двух последовательных шагов: вейвлет-разложения полей плотности и умножения векторов вейвлет-коэффициентов на матрицу поворота. Объединив эти два последовательных действия в одно, можно получить фильтры главных компонент, которые при свертке с ПОЛЯМИ плотности дают значения соответствующих им главных компонент. (Термин "фильтры главных компонент" был введен по аналогии с фильтрами вейвлет-функций.)
Добавим в выражение для главных компонент функциональные произведения базисных функций самих на себя ( //k{x,y)\t{x,y)) = jy/k(x,yfdxdy, которые по определению равны единице: СГ =са0, Ut =itct{t(x,y)\t{x,y))Uik -Щ = Затем операцию интегрирования вынесем за сумму. .у " і,у
В результате получим скалярное произведение четырех векторов, которое можно представить в следующем виде: СГ = ЦРЛ УШ У У- const, N Здесь учтено, что ра= с%і//к(х,г), и введены фильтры главных компонент N (=] Следует отметить, что эти фильтры ортогональны между собой: N N \Fl(x,z)Fj(x,z)dxdz = j fcz t/ fcz fik = Так как поле плотности в нашем случае задано дискретно, то естественно, что интеграл по пространственным переменным заменяется конечными суммами.
Ниже (рис.3.4 — ЗЛО) приведены некоторые фильтры главных компонент, построенных в пространстве вейвлета Добешиї. При их построении база расчетов была расширена до 640 процессов с помощью зеркального отображения фреймов относительно вертикальной оси и их трансляций вдоль горизонтальной. Последнее возможно благодаря периодичности граничных условий на боковых стенках. Такое искусственное увеличение базы данных позволило получить фильтры достаточно гладкой формы.
В работе [18] автором было показано, что значение первой главной компоненты (ПГК) коррелирует с такими физическими величинами, как время, ширина зоны перемешивания, внедренная масса и т.п. На рис.3. Па приведены кривые, отображающие относительное изменение во времени ПГК (сплошная линия), внедренной массы (прерывистая линия), ширины зоны перемешивания (точка-тире) для одного из расчетов. На рис.3.116 построены аналогичные графики для тех же величин, усредненных по всем расчетам. Масштабы измерения физических величин подогнаны так, чтобы отклонение кривых от ПТК было минимально в среднем для всех процессов. Таким образом, относительно ПГК можно сказать, что эта величина монотонна по времени и подобно ширине зоны перемешивания, внедренной массе, потенциальной энергии, времени и т.д. является характеристикой "возраста" процесса. Следует однако отметить, что такое поведение ПГК наблюдается только в представлении вейвлета Добешиї.
Сходство поведения первой главной компоненты и других характеристик "возраста " процесса можно объяснить исходя из внешнего вида соответствующего ей фильтра. В начальный момент времени практически вся масса сосредоточена в верхней части фрейма (рис.3.4), где матричные элементы фильтра имеют сильно отрицательные значения и, соответственно, для ранних состояний процессов значения первой главной компоненты будут иметь большое по модулю отрицательное значение. По мере перетекания тяжелой жидкости в область пространства, где изначально находилась легкая субстанция, значение ПГК будет расти.
Кластеризация состояний процессов, представленных в пространстве главных компонент с помощью самоорганизующихся карт кохонена
Состояния процессов обучающей выборки образуют облако точек в К-мерном пространстве линейных комбинаций вейвлет-коэффициентов (главных компонент). Отобразив это облако на карту Кохонена можно увидеть, каким образом сгруппировались состояния, и проследить траектории развития процессов в этом пространстве. Результат такого отображения представлен на рисунке 4.3. При построении карт использовалась библиотека somtoolbox: http://www.cis.hut.fi/projects/somtoolbox/. Здесь были обработаны только расчеты, полученные по программе NUT. В обработке участвовали 64 процесса, 32 из которых получены в результате прямого численного расчета, а 32 других являются зеркальными отображениями первых относительно вертикальной оси. В данном случае для получения отображения использовался вейвлет Хаара, после чего пространство было сжато до 17 компонент. Окраской карты можно отображать распределение в пространстве значений той или иной характеристики данных. Карта на рис.4.За окрашена в соответствии с распределением первой главной компоненты, а окраска карты на рис.4.36 соответствует усредненным по одному кластеру значениям второй главной компоненты.
На картах приведены траектории шести процессов (три на одной и три на другой). Видно, что траектории процессов, выходящих из одного кластера очень близки, таким образом, отображенные процессы можно условно разбить на три группы - левую, правую и центральную (траектории процессов одной группы изображены на разных картах). Ниже (рис.4.4) показаны картины распределения плотности конечных состояний всех трех пар процессов. Здесь можно отметить, что конечные состояния процессов, отнесенных к одной группе визуально похожи.
Близость траекторий процессов, вышедших из одного кластера на карте, говорит о близости этих траекторий в исходном пространстве. Этот результат указывает на устойчивость траекторий в данном представлении, что в свою очередь говорит о возможности прогноза развития процессов РТ-перемешивания по их представлениям для нулевых моментов времени. То есть, если мы знаем, в какой области фазового пространства находится начальное состояние процесса, то с некоторой вероятностью можем указать, в какой области пространства окажется наш процесс на момент времени t.
По окраске карты в соответствии со значением первой главной компоненты (рис.4.За) можно сказать, что 111 К меняется по карте сверху вниз. Все процессы на этих картах также движутся сверху вниз, не допуская (за редким исключением) сильных отклонений в горизонтальном направлении. Таким образом, окраска карты в ПГК еще раз подтверждает сделанный ранее вывод о том, что первая компонента имеет физический смысл возраста процесса.
С другой стороны, из карты на рис.4.3б видно, что ВГК меняется в основном слева направо. Это опять же можно объяснить исходя из внешнего вида соответствующего ей фильтра. В большинстве расчетов развития неустойчивости Релея-Тейлора, струи тяжелой жидкости не отклоняются в горизонтальном направлении на величину, сравнимую с масштабом горбов и впадин фильтра для ВГК. Благодаря чему вторая главная компонента, часто не терпит сильных изменений в течение всего процесса.
Свойства представления зависят от типа вейвлета, осуществляющего отображение. При выборе представления предпочтение следует отдать тому, которое дает лучшее предсказание поведения траекторий процессов.
Для оценки предсказательных свойств представления проделаем следующую процедуру. Пусть у нас имеется" N процессов; проведем кластеризацию начальных состояний (состояний отвечающих нулевым моментам времени), жестко фиксировав число кластеров. При этом процессы распределятся по кластерам в некотором соотношении NliN2,...,N[ ={//,} ,,, где - число кластеров, а / - нумерует кластеры начальных состояний.
Задавшись тем же числом кластеров, проведем кластеризацию состояний, соответствующих моменту времени t. Пусть в нулевой момент времени в / -ом кластере находилось N, процессов, в момент времени с эти процессы некоторым образом распределились по кластерам NIJ(t),Ni:i(t)l...,Nfl(t)= {tyj( )} ., і (при этом Nu(t) = Nn J - нумерует кластеры состояний на момент времени /). Вероятность попадания процесса, находящегося изначально в /-ом кластере, в кластер j на момент времени t можно оценить следующим образом: Эта вероятность позволяет ввести энтропию "расхождения" процессов во временем: $1(0 = -р,МпРик). (4.5)
Энтропия (4.5) характеризует, насколько сильно расходятся процессы, вышедшие из кластера /. Она является мерой беспорядка — таким образом, чем энтропия больше, тем предсказательные свойства данного представления ниже. Для получения усредненной характеристики представления введем доверительный вес кластера — меру его "типичности"
