Содержание к диссертации
Введение
К методу замораживания в теории линейных систем разностных уравнений
Об асимптотической устойчивости линейной системы разностных уравнений 59
Об экспоненциальной устойчивости нулевого решения почти линейной системы разностных уравнений 68
Характеристики роста решений линейных систем разностных уравнений
Достаточные условия прочности вверх старшего характеристического показателя линейной диагональной системы разностных уравнений 74
Показатель Даламбера и его свойства 76
Аналоги оценок Ляпунова, Богданова и Важевского для линейных систем разностных уравнений 87
О приведении линейной системы разностных уравнений к линейной системе с единичной матрицей коэффициентов, линейной системе с эрмитовой матрицей 91
Об аналогии в теории возмущения линейных систем дифференциальных и разностных уравнений при
линейном возмущении 96
Аналог понятия интегральной разделенности в теории линейных систем разностных уравнений 100
7. Аналог обобщенной формулы Абеля для линейного однородного разностного уравнения п - го порядка 109
ГЛАВА III О малом изменении различных характеристик решений линейных систем дифференциальных уравнений
1. О приведении линейной системы второго порядка к треугольной системе с совпадающими диагональными коэффициентами 116
2. О приведении линейной системы дифференциальных уравнений к треугольной системе с интегрально близкими диагональными коэффициентами 126
3. Об устойчивости характеристических векторов одного класса линейных систем произвольного порядка 129
4. О малом изменении характеристических показателей линейной системы второго порядка 140
5. О диагонализуемости линейной системы дифференциальных уравнений 143
6. О малом изменении характеристических показателей правильной линейной системы 148
ГЛАВА IV Некоторые непрерывные и дискретные модели с переменными коэффициентами, описывающие динамику численности биологических популяций
1. Устойчивость стационарных состояний некоторых популяционных моделей с переменными коэффициентами 154
2. Точки равновесия неавтономной модели Лотки 4 Вольтерра при наличии убежища для жертвы 166
3. О положениях равновесия некоторых неавтономных разностных уравнений 174
4. О циклах дискретного периодического логистического уравнения 183
5. Методы исследования устойчивости положений равновесия неавтономных систем и примеры их применения 189
ГЛАВА V Алгоритмы и комплекс программ по исследованию устойчивости решений некоторых математических моделей динамики численности биологических популяций
1. Циклы дискретного периодического уравнения 202
2. Исследование устойчивости нетривиального положения равновесия неавтономной дискретной экспоненциальной модели "хищник-жертва" 210
3. Исследование устойчивости точек покоя неавтономной модели "Consensus" 211
4. О численном интегрировании системы обыкновенных дифференциальных уравнений с сохранением положения равновесия и его асимптотической устойчивости 212
Заключение 217
Литература
- Об экспоненциальной устойчивости нулевого решения почти линейной системы разностных уравнений
- Аналоги оценок Ляпунова, Богданова и Важевского для линейных систем разностных уравнений
- О приведении линейной системы дифференциальных уравнений к треугольной системе с интегрально близкими диагональными коэффициентами
- Точки равновесия неавтономной модели Лотки 4 Вольтерра при наличии убежища для жертвы
Введение к работе
Актуальность темы. В понятие динамической системы ранее вкладывали чисто механическое содержание. Под динамической системой понимали совокупность тел, взаимодействие которых описывается системой дифференциальных уравнений, вытекающих из законов Ньютона. В результате длительной эволюции научных представлений понятие динамической системы становилось шире, охватывая объекты разной природы. О динамической системе в современном понимании говорят в том случае, если можно указать набор величин (динамических переменных), характеризующих состояние системы, а значения этих переменных в любой последующий момент времени можно получить из исходного набора с помощью оператора эволюции системы. В такой постановке вопроса планетная система, биологические популяции, химические реакции, электрические цепи, модели конкуренции в экономике - это динамические системы. В связи с увеличением сложности современных задач из различных областей теории динамических систем их чисто аналитическое исследование становится затруднительным и невозможным. Решения дифференциальных и разностных уравнений лишь в редких случаях можно получить в виде аналитической формулы. И даже если это возможно, то далеко не всегда такое решение можно проанализировать с качественной точки зрения. Актуальным становится совмещение численного эксперимента с различными аналитическими методами исследования. Использование компьютера позволило получить новые интересные результаты в области качественной теории дифференциальных и разностных уравнений. Отметим, что применение компьютерных методов не должно ограничиваться простым моделированием. Оно должно базироваться на глубоком предварительном теоретическом исследовании.
Диссертация посвящена разработке фундаментальных основ математического моделирования, обоснованию математических методов при исследовании устойчивости решений динамических систем. Разрабатываются численные методы и комплексы программ для решения задач в этой области. В качестве объектов приложения теоретических исследований изучаются модели динамики численности биологических популяций.
Исследованиям непрерывной зависимости решения от начальных данных на бесконечном промежутке посвящены классические работы A.M. Ляпунова, И.Г. Малкина, О. Перрона, К.П. Персидского, Н.Г. Четаева и др. Когда мы применяем теоремы об устойчивости по первому приближению, мы сталкиваемся с проблемой проверки правильности линейной системы. Нужно уметь также вычислять характеристические показатели реше-
ний системы первого приближения. Характеристический показатель, введенный Ляпуновым, оценивает изменение модуля функции на бесконечности по сравнению с экспонен-той. С целью дальнейшего уточнения поведения функции на бесконечности разными авторами вводились и изучались другие характеристики: нижний показатель (О. Перрон), характеристическая степень (Б.П. Демидович), характеристический вектор (Хоанг Хыу Дыонг), центральные показатели (Р.Э. Виноград), генеральные показатели (П. Боль), экспоненциальные показатели, сигма-показатели (Н.А. Изобов) и другие показатели. Одной из основных задач первого метода Ляпунова является оценка изменения характеристических (и других показателей) линейной системы
x = A(t)x, xeRn, ДО є С [О, W), sup \\A(t)\\
при различных возмущениях. С практической точки зрения интерес представляют результаты, которые удается сформулировать в терминах коэффициентов системы.
В теории линейных систем большую роль играют введенные и изученные A.M. Ляпуновым правильные системы дифференциальных уравнений. Эти системы включают в себя приводимые и почти приводимые системы (Б.Ф. Былов) и играют ведущую роль в теории устойчивости по первому приближению. Понятие правильности системы в непрерывном случае было обобщено в работах Б.П. Демидовича (вполне правильные системы) и работах Хоанг Хыу Дыонга (правильность т - го порядка). Понятие правильной линейной системы в дискретном случае, введенное на основе показателей О. Перрона, было дано Ю.Г. Остаповым. Им же получены некоторые свойства подобных систем. Позднее в своих работах В.Б. Демидович дал современное определение правильной конечно-разностной линейной системы
x(t +1) = A(t)x(t) (2)
где xeRn, d&tA(t)*0, teZ+, sup \\A(t)\\
Определение правильности по Ляпунову дается в терминах характеристических показателей решений рассматриваемой системы. С практической точки зрения проверка правильности линейной системы вызывает определенные затруднения, так как характеристические показатели в общем случае не известны. Получение достаточных признаков различных видов правильности системы остается актуальным и в настоящее время.
Устойчивость характеристических показателей тесно связана с интегральной раз-деленностью линейной системы. Введение этого понятия, изучение свойств интегрально разделенных систем имеет достаточно длинную историю, которую можно проследить по
работам О. Перрона, Дж. Лилло, Б. Ф. Былова, Р.Э. Винограда, К. Палмера, И. У. Бронштейна, В.Ф. Черния, В.М. Миллионщикова, Н.А. Изобова, И.Н. Сергеева и многих других авторов. Определение интегральной разделенности (Б.Ф. Былов) апеллирует к фундаментальной системе решений, следовательно, проверка интегральной разделенности системы, как и проверка правильности, затруднительна. Продолжение исследований в этой области остается актуальным. Получение достаточного признака интегральной разделенности линейной системы дает достаточные условия устойчивости характеристических показателей, что во многих случаях упрощает применение первого метода Ляпунова. Отметим, что дискретный аналог интегрально разделенных систем (2) еще не рассматривался, следовательно, такие системы еще не изучались.
Одна из основных проблем теории разностных уравнений - это устойчивость их решений. Вопросы устойчивости получили всестороннее развитие в работах О.Перрона, В. Хана, А. Халаная, Д. Векслера, П.В. Бромберга, И.М. Рапопорта, П.И. Коваля, В.Б. Демидовича, Д.И. Мартынюка, И.В. Гайшуна, М.И. Гиля, С. Элайди, Р.А. Прохоровой, Г.А. Леонова и многих других авторов. К настоящему времени эти исследования достигли уровня, сравнимого с теорией устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений. Интерес представляют дискретные аналоги свойств решений систем дифференциальных уравнений.
Теоретические результаты диссертации иллюстрируются на примере динамики численности биологических популяций. Математическое моделирование в этой области имеет достаточно длинную историю и восходит к Леонарду Фибоначчи (задача о числе кроликов) и Томасу Мальтусу, автору нашумевшей концепции о том, что скорость изменения численности населения с течением времени t пропорциональна ее текущей численности. Классические модели Ферхюльста, Лотки-Вольтерры, Колмогорова, Риккера предполагают постоянство коэффициентов математических моделей. Поведение траекторий в окрестности стационарных точек популяционных моделей исследуется проще с помощью теорем об устойчивости и неустойчивости по первому приближению для автономных систем. В реальных биологических сообществах коэффициенты рождаемости и смертности не постоянны. Интерес представляет случай периодического изменения мальтузианских коэффициентов, что соответствует сезонным изменениям в природе. Актуальными являются исследования для неавтономных биологических моделей с учетом заповедников, пассивных стадий жизнедеятельности и т.д.
Решение дифференциальных уравнений численными методами основано на сведении этих уравнений к уравнениям в конечных разностях. Важной проблемой, возникающей при такой замене, является проблема сохранения качественных характеристик иссле-
дуемых систем. Переход от непрерывных уравнений к разностным уравнениям может повлечь существенное изменение свойств решений системы, в частности, может нарушиться устойчивость. Вопросами согласованности между свойствами решений непрерывных и дискретных уравнений, а также вопросами коррекции разностных схем для обеспечения этой согласованности занимались В.И. Зубов, П.И. Коваль, К. Деккер, Я. Вервер, М.А. Скалкина, А.П. Жабко, А.Ю. Александров и многие другие авторы. С практической точки зрения актуальной является задача по выделению классов систем, для которых сохранение качественных характеристик при дискретизации имеет место и без дополнительной коррекции разностных схем. Для решения ряда задач кроме согласованности между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле устойчивости требуется также сохранение таких характеристик, как устойчивость по отношению к постоянно действующим возмущениям, границы бассейна аттрактора и др. Особый интерес представляют системы дифференциальных уравнений, нулевые решения которых асимптотически устойчивы в целом (глобально асимптотически устойчивы).
Цель работы. Разработка фундаментальных основ математического моделирования в области теоретического обоснования качественного исследования решений систем дифференциальных и разностных уравнений. Получение критериев существования асимптотически устойчивых решений нелинейных дифференциальных и разностных уравнений. Построение алгоритмов нахождения циклов дискретных уравнений с заданной точностью, проверка устойчивости циклов. Разработка комплекса проблемно-ориентированных программ, позволяющих с помощью новых теоретических результатов и известных численных и аналитических методов решать задачи в области качественной теории дифференциальных и разностных уравнений. Разработка и обоснование численных методов исследования на примере динамики численности биологических популяций.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
С помощью метода замораживания найти достаточные условия асимптотической
устойчивости линейной системы разностных уравнений и достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения почти линейной системы разностных уравнений. Разработать программу для исследования на асимптотическую устойчивость положения равновесия неавтономной дискретной экспоненциальной модели "хищник-жертва", корректность которой базируется на этом теоретическом результате.
С целью теоретического обоснования качественного исследования решений мате-
матических моделей получить достаточные признаки интегральной разделенности,
диагонализуемости, малого изменения различных характеристик роста решений
линейных систем дифференциальных уравнений. Найти дискретные аналоги оценок Ляпунова, Богданова, Важевского характеристических показателей. Ввести дискретный аналог понятия интегральной разделенности для линейных систем разностных уравнений, изучить свойства таких систем.
Для дискретного периодического логистического уравнения получить оценку сни-
зу числа положительных циклов, отличных от положения равновесия. Разработать программу по нахождению циклов этого уравнения с заданной точностью. В программе предусмотреть возможность изменения периода коэффициентов, самих коэффициентов уравнения. Реализовать проверку устойчивости (неустойчивости) циклов, а в случае устойчивости цикла возможность уточнения границ его бассейна.
Найти достаточные условия существования и асимптотической устойчивости по-
ложительного положения равновесия модернизированной неавтономной модели Лотки-Вольтерры, в которой часть популяции жертвы недосягаема для хищника. Получить условия согласованности между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле сохранения положения равновесия и его асимптотической устойчивости при использовании численных методов решения систем дифференциальных уравнений.
Получить признаки устойчивости положений равновесия некоторых неавтономных
систем и рассмотреть их приложение с точки зрения влияния линейной схемы введения пассивных стадий жизнедеятельности на устойчивость положительного положения равновесия некоторых неавтономных моделей биологических сообществ. Для неавтономной модели "Consensus" найти достаточные условия существования положительного асимптотически устойчивого положения равновесия. Написать программу, иллюстрирующую этот теоретический результат.
Разработать комплекс программ для нахождения положений равновесия и перио-
дических решений некоторых классов динамических систем, в программах предусмотреть проверку устойчивости этих решений. Провести исследования, касающиеся точности нахождения элементов циклов методом итераций. При численном решении систем дифференциальных уравнений учитывать сохранение положения равновесия и его асимптотической устойчивости.
Методы исследования. В диссертации используются классические методы теории устойчивости систем дифференциальных и разностных уравнений, в частности, метод триангуляции Перрона-Винограда линейной системы, "метод замораживания", предложенный В.М. Алексеевым и развитый в работах Р.Э. Винограда, Н.А. Изобова, Л.Д. Зам-
ковой, М.И. Гиля и других авторов. Используются методы, разработанные Б.Ф. Быловым, Р.Э. Виноградом, В.М. Миллинщиковым, Н.А. Изобовым, Л.Я. Адриановой и другими авторами для получения признаков устойчивости характеристических показателей и характеристических векторов Хоанг Хыу Дыонга. При исследовании моделей динамики численности изолированных и взаимодействующих популяций применяются теоремы A.M. Ляпунова об устойчивости по первому приближению и разработанные позднее дискретные аналоги этих теорем. Используются классические численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, методы отыскания корней нелинейных уравнений. Комплекс программ для персонального компьютера написан автором.
Научная новизна.
Получены новые результаты в теории устойчивости решений систем дифференциальных и разностных уравнений. Эти результаты позволили найти новые достаточные условия асимптотической устойчивости положений равновесия динамических систем, в частности, популяционных моделей.
Разработаны алгоритмы и сформирован комплекс программ, которые позволяют применять известные аналитические и численные методы для нахождения положений равновесия и периодических решений систем дифференциальных и разностных уравнений. В программах предусмотрена проверка устойчивости (неустойчивости) этих решений, определение границ бассейна устойчивого решения.
Разработаны новые модели динамики численности биологических популяций, в которых учитывается переменность мальтузианских коэффициентов, пассивные стадии жизнедеятельности, наличие убежища для жертвы.
Все результаты, представленные в диссертации, строго доказаны, имеют теоретический характер и получены автором самостоятельно.
Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные теоретические результаты являются значимым вкладом в разработку фундаментальных основ, на которых базируется применение математического моделирования, численных методов и комплексов программ при решении прикладных задач, связанных с устойчивостью решений динамических систем. Практическое приложение теоретических результатов продемонстрировано на примере математических моделей, описывающих динамику численности биологических популяций. Создан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения численных расчетов. Разработанные алгоритмы и комплекс программ позволяют получить качественные характеристики решений динамических систем. Предлагаемые подходы и методы можно использовать для прогнозирования развития экологических систем, в частности, при исследовании динамики популяций с учетом заповедников, пас-
сивных стадий жизнедеятельности и т.д. Проведенные исследования могут быть использованы в учебном процессе, в частности, при подготовке спецкурсов для студентов и аспирантов.
Достоверность теоретических результатов обеспечивается применением апробированного математического аппарата, корректностью математических выкладок, согласованностью с ранее полученными результатами других авторов, результатами расчетов на вычислительных машинах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры обыкновенных дифференциальных уравнений (проф. В.А. Плисе) Санкт - Петербургского государственного университета, на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета (проф. А.В. Язенин), на семинаре кафедры математического анализа НовГУ (проф. А.П. Солдатов), на семинаре "Обобщенные решения нелинейных интегро-дифференциальных и разностных уравнений" (проф. ЕЮ. Панов) (НовГУ).
Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях: IV Уральская региональная конференция "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения", Уфа, 1989 г., III, IV, V международные конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", Обнинск, 2006 г., 2008 г. и 2011 г., XIV международная конференция "Математика. Экономика. Образование" и IV международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения", Ростов-на-Дону, 2006 г., III международная научная школа "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ", Саранск, 2007., XV международная конференция "Математика. Образование", Чебоксары, 2007 г., XVIII международная конференция "Математика. Экономика. Образование" и VI международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения", Ростов-на-Дону, 2010 г., международные научно-методические конференции "Математика в вузе" в Санкт - Петербурге в 1998 г., в Тирасполе в 1999 г., в Великом Новгороде в 2000 г., в Пскове в 2001 г., в Великих Луках в 2002 г., в Петрозаводске в 2003 г., в Санкт - Петербурге в 2004 г., в Великом Новгороде в 2005 г., в Пскове в 2006 г., в Мурманске в 2007 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 39 работ, из них 15 статей в журналах, входящих в перечень, рекомендованный ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций. Получены два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ. При участии автора подготовлены 3 отчета по НИР.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, основной части, содержащей пять глав, которые подразделены на 24 параграфа, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 246 страниц. Список литературы включает 244 наименования.
Об экспоненциальной устойчивости нулевого решения почти линейной системы разностных уравнений
В этом случае говорят, что система (0.1) приводима к системе (0.3) или что матрицы A(t) и B{t) кинематически подобны.
Для решения задачи о смещении старшего показателя вверх и младшего вниз линейной системы (0.1) под действием возмущений Р.Э. Виноград ввел понятия центральных функций и центральных показателей. Остановимся коротко на этих понятиях и свойствах, следуя монографиям [3, 25] и статьям [26, 50, 74, 90, 150, 151, 157, 173, 175]. Рассмотрим семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций: Р = {рх (t)}, \рх (tj К, зависящее от параметра х непрерывно в том смысле, что из х-» х0 следует px(t)- рХо (t) равномерно по крайней мере на каждом конечном отрезке [0; t]. Параметр х может пробегать некоторое компактное (в частности, конечное) множество.
Определение 0.3. Ограниченная измеримая функция R(t) называется верхней или С - функцией для семейства Р, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функцию R(t): t t \px{T)dT DR \{R{r) + E)dT s s ( ) или коротко px(t) R(t), где DRe - константа, общая для всех рх и t s,HO, вообще говоря, зависящая от выбора R и є 0. Совокупность R всех верхних функций называется верхним классом или С — классом семейства Р. Вычисляя для каждой верхней функции ее верхнее среднее R и беря затем нижнюю грань по всему классу R, находим число Q= inf R, (0.4) R(t)eR которое называется верхним центральным или С - числом семейства Р.
Ввиду условия ограниченности R(t) С - число всегда существует и заключено в границах - К Q К. Если нижняя грань (0.4) достигается, т.е. существует такая С - функция R0(t), что R0 R ДЛЯ всех R(t)eR, то эта функция одна образует верхний класс и С - число совпадает с R0 .
Аналогично вводится понятие нижней или с — функции семейства Р = {рМ [25. С. 109].
Определение 0.4. Ограниченная измеримая функция r{t) называется нижней или с - функцией для семейства Р, если равномерно для любой функции этого семейства px{t) r{i), т.е. \рх{т) іт сігє+\{г{т)-є)(іг с J S константой drs, вообще зависящей от выбора r(t) и є 0, но общей для всех рх еР и t s. Совокупность г всех с - функций называется нижним или с -классом семейства Р, а число u =supr (0.5) г нижним центральным или с - числом данного семейства.
Если в множествах верхних и нижних функций выделить подмножества констант и взять в (0.4) и (0.5) inf и sup по этим подмножествам, то мы получим определение верхнего особого Q.Q и нижнего особого со0 показателей. Оказывается изучение нижних классов и чисел целиком сводится к изучению верхних. Всякая верхняя функция семейства P = {px(t)}, взятая с обратным знаком, служит нижней для семейства {- px(t)} и обратно, отсюда следует, что Q_P = -Юр, 0_Р = -QP. Рассмотрим теперь линейную систему х = A{t)x с ограниченной и кусочно-непрерывной матрицей A(i), пусть x(t) - решение системы. Можно рассмотреть семейство функций P = {px(t)}, px(t) = —lnbc(/), IW Vl )- Для dt этого семейства выполняются все ранее рассмотренные условия при определе нии центральных функций и центральных чисел. Только теперь центральные числа удобно называть центральными показателями системы. Определение 0.5. Функции r(t) и R{t) называются соответственно нижней и верхней для системы (0.1), если они ограничены, измеримы и осуществляют оценки / t t -dr, + \{r{r)-s)dr \px{r)dT D + l{R(r) + s)dr s s s для всех t s и xes или (сзаменой e d, eD на d и D) Иногда последнее неравенство удобно иметь в терминах матрицы Коши / \ и / мі 1М )1 1 1 М1 X\t,s) системы. Так как [X(/,.yJ = max . 1 и ———-7 = min . " х \\х[ - М Ш [25.С.148], то верхние функции R(t) осуществляют оценку х(ґ,.у) DRs exp \{R{T ) + Є )dv, а нижние функции r{t) осуществляют оценку s t X l(t,s)\ Dreexp j(-r{r) + є)dr. Число QA = infR называется верхним центральным показателем системы, а число соА= sup г называется нижним центральным показателем системы.
Аналоги оценок Ляпунова, Богданова и Важевского для линейных систем разностных уравнений
Эта модель свободна от основного недостатка вольтерровской модели -отсутствие устойчивого предельного цикла, но излишняя общность затрудняет качественное описание.
В большинстве реальных популяций довольно значительным оказывается запаздывающее действие факторов регулирующих численности. В случае непрерывных моделей эти эффекты учитываются с помощью дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами.
Ясно, что реальности более соответствует представление о численности как о дискретной величине. Если условия среды остаются постоянными и численность одного поколения целиком определяется численностью предыдущего (модели популяций с неперекрывающимися поколениями), то xn+i =/{хп).
Дискретное логистическое уравнение имеет вид хп+1 = Ахп (і - хп). Оно достаточно реалистически описывает динамику численности некоторых биологических популяций. Первоначально анализ дискретных моделей xn+l = f(xn) не выходил за рамки исследования на устойчивость неподвижных точек. В 1974 году при исследовании экспоненциальной модели хп+х =Ахпехтр(-ахп), введенной Риккером [230] при изучении популяций некоторых лососевых рыб, А.П. Шапиро [189] и R.M. May [219] открыли такие явления, как первая серия ветвлений цикла и хаотический режим.
Динамику численности популяций часто исследуют с помощью математических моделей с постоянными коэффициентами. Поведение траекторий в окрестности стационарных точек популяционных моделей исследуется проще с помощью теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению для автономных систем. Для неавтономных систем применение аналогичных теорем вызывает затруднение в связи с отсутствием общих методов определения характеристических чисел решений системы первого приближения, а также установления правильности этой системы. В последнее время разработаны методы численной оценки ляпуновских показателей [88], [158].
Автором получены коэффициентные признаки устойчивости и неустойчивости стационарных состояний некоторых популяционных моделей с переменными коэффициентами. Рассмотрены случаи, когда эти коэффициенты имеют предел при t - +оо или это периодические функции, удовлетворяющие условию Липшица с достаточно малой постоянной Липшица. Исследованы как непрерывные, так и дискретные модели.
При изучении динамики численности биологических популяций как изолированных, так и взаимодействующих часто приходится учитывать, так называемые, пассивные стадии (ПС) жизнедеятельности (В.Г. Ильичев). При наступлении неблагоприятных условий (смена времени года, резкое уменьшение рациона питания и т.д.) многие биологические особи как простейшие, так и высокоразвитые переходят из активного состояния в пассивное. Они прекращают полностью или частично воспроизводство себе подобных, падает внутривидовая конкуренция, жертвы практически не встречаются с хищниками. В работах [77, 76] рассмотрена линейная схема модельного описания механизма образо 38 вания пассивных стадий (ПС-механизм). Проведено исследование устойчивости изолированной и взаимодействующих популяций (конкуренция, хищничество и т.д.) с учетом данного фактора. В этой работе исследуются автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Случай периодического изменения окружающей среды с учетом обмена "активное состояние - пассивное состояние" рассмотрен в работе [79]. В работе [238] рассматривается вопрос об устойчивости двухвидовой конкурентной системы, имеющей возрастную структуру, с каннибализмом и заповедниками. Доказаны локальные устойчивость и глобальная аттрактивность неотрицательных положений равновесия системы. Показано, что наличие заповедников существенно влияет на положение равновесия и устойчивость системы. Наследуемые свойства неавтономных динамических систем и их приложение в моделях конкуренции рассмотрены в работе [78]. В работе [198] рассматривается модель рыбных запасов в виде системы автономных дифференциальных уравнений dx — = гх dt - 7хх + агу - qEx, ( г 1- К) + (TjX - (72У, dy (л У — = sy\ 1 - — dt { L (0) 0, y(0) 0, описывающая динамику популяций рыб в зоне свободной ловли (х) и заповедной зоне (у). Устанавливаются условия существования у системы нетривиальной точки равновесия и ее глобальной асимптотической устойчивости по отношению к решениям, начинающимся в положительном квадрате.
Отметим работу А.С. Сумбатова [180], в которой рассматриваются уравнения Вольтерра при условии, что часть популяции жертвы, пропорциональная плотности хищника, недосягаема для него. Отыскиваются равновесные решения и исследуется их локальная устойчивость.
О приведении линейной системы дифференциальных уравнений к треугольной системе с интегрально близкими диагональными коэффициентами
Известно, что линейная система дифференциальных уравнений (0.1) x = A(t)x, xeR\ A(t)ec(R+] sup (r) Af teR+ унитарным преобразованием приводима к линейной системе с эрмитовой матрицей коэффициентов [42. С. 229]. В вещественном случае систему (0.1) ортогональным преобразованием можно привести к системе с симметричной матрицей коэффициентов. Приведем соответствующие рассуждения [106], которые несколько отличны от рассуждений в выше упомянутой монографии [42]. Лемма 2.4.1. Если матрица коэффициентов системы (0.1) косоэрмитова, т.е. A (t) = -A(t), (2.4.1) то у системы (0.1) существует унитарная фундаментальная матрица.
Доказательство. Пусть X{t) - произвольная фундаментальная матрица системы (0.1). Из условия (2.4.1) следует, что система (0.1) совпадает со своей сопряженной системой, а следовательно, скалярное произведение любых двух решений системы (0.1) постоянно. В частности, норма любого решения системы (0.1) также постоянна. Применим к X(t) процесс ортогонализации Шмидта. Представим X(t) в виде [45. С. 178-180] X{t) = U(t)R(t), (2.4.2) где U{t) - унитарная матрица, R(t) - верхняя треугольная матрица. Покажем, что R{t) - постоянная неособая матрица. Так как IdetХ\ = ldett/1 Ideti?! = Ideti?! 0, то R - неособая матрица. Имеем
Индукцией убеждаемся, что %к и еА, к = \,...,п являются решениями линейной системы (0.1). Из формул (2.4.3) следует, что R(t) - постоянная матрица, а следовательно, матрица U{t) в (2.4.2) - фундаментальная матрица системы (0.1), т.к. она связана с фундаментальной матрицей X{t) неособым правосторонним постоянным матричным множителем R. Фундаментальная матрица Lf(t) унитарна по построению.
Покажем теперь, что систему (0.1) унитарным преобразованием можно привести к линейной системе с эрмитовой матрицей коэффициентов. Представим матрицу A(t) системы (0.1) в виде суммы эрмитовой и косоэрмитовой матриц
Пусть U(t) - унитарная фундаментальная матрица системы х = D{t)x. Сделаем в системе (0.1) замену л: = U(t)y, получим
Матрица коэффициентов этой системы эрмитова в силу эрмитовости С и унитарности U. Заметим, что U ограничена в силу U = D(t)U и U(t) - действительно ляпуновское преобразование. Нетрудно показать, что аналогичный результат имеет место и для линейных систем разностных уравнений [106] х(п + \)=А(п)х{п), detA(n) 0, xeRm, п є 0,1,2.... Действительно, если матрица А(п) системы (1.1.1) унитарна, то у нее существует унитарная фундаментальная матрица ф{п) = ф{0)1\А{к), ф(0) = Е. Этот факт непосредственно вытекает из унитарности произведения унитарных матриц. Лемма 2.4.2. Любая невырожденная матрица может быть представлена в виде произведения эрмитовой и унитарной матриц. Справедливость этого утверждения фактически содержится в утверждении теоремы 8 [38. С. 249]. Возможность такого представления и многие другие результаты установлены в работе Де Брейна и Секереша [16. С. 243] с использованием логарифмов от матриц. Справедливость последней леммы можно установить также следующим образом. Пусть А — произвольная невырожденная матрица. Матрица АА является положительно определенной эрмитовой матрицей. Пусть ЯХ,...,Я п собственные числа этой матрицы, тогда существует унитарная S такая, что АА =Sdiag[Alt...,A„]S-1. Рассмотрим B = AA =Sdiag[ylX ,..., [T \S l. Матрица В тоже является положительно определенной эрмитовой матрицей. Положим А = В(В-ХА) = В-С. Непосредственно проверяется, что матрица С унитарна. Действительно, С = А (в 1 J = А В 1 = А ХАА В-Х = А В 1 = А ХВ = С х. Теорема 2.4.1. Система (1.1.1) унитарным преобразованием приводима к системе с эрмитовой матрицей коэффициентов.
Доказательство. Представим матрицу А(п) В виде произведения эрмитовой С{п) и унитарной D{n) матриц. Пусть U{n) - унитарная фундаментальная матрица системы x(n + l) = D(n)x{n), тогда замена х(п) = U{n)y{n) приводит систему (1.1.1) к системе у{п +1) = U l (п + \)C{n)U{n + l)y(n) с эрмитовой матрицей коэффициентов.
Из теорем 2.3.1 и 2.3.2 мы видим, что аналогом линейной системы дифференциальных уравнений с кососимметричной матрицей коэффициентов является линейная система разностных уравнений с ортогональной матрицей коэффициентов. Первая из этих систем приводима к системе с нулевой матрицей [45. С. 157]. Оказывается, что линейная система разностных уравнений с ортогональной матрицей приводима к системе с единичной матрицей [98].
Точки равновесия неавтономной модели Лотки 4 Вольтерра при наличии убежища для жертвы
Для интегрально близких функций верхний класс (и нижний класс) можно 00 (є) (є) (є) считать состоящим из одной функции рх(t) = р2{t) =... = рп(t) = p{t) p(t) [25. С. 111]. Для треугольной системы (3.2.2) центральные показатели со и Q определяются диагональными коэффициентами [25. С. 120]. Если у системы (3.2.2) диагональные коэффициенты интегрально близки, то Ф = Ху=... = Хn=Q. = bu(t), и показатели Ляпунова ЛХ=... = Яп устойчивы по теореме Былова - Изобова - Миллионщикова [26, 150]. При перроновских преобразованиях в вещественном случае имеет место равенство [25. С. 263] SpA{t) = SpB(t), поэтому p = t)=nbn{t)+Y4{bkk{t)-bn{t))= к=2 = nb )+ \im-\YJ(bM-bn(u))du = nbJt). Так как Теорема 3.2.1. Для того чтобы система (3.2.1) второго порядка была приводима к характеристические показатели и их устойчивость инвариантны относительно ляпуновских преобразований, то в случае приводимости системы (3.2.1) к треугольной системе (3.2.2) с интегрально близкими диагональными коэффициентами показатели системы (3.2.1) равны -SpA(t) и они устоичи п вы. треугольной системе (3.2.2) с интегрально близкими диагональными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы у системы (3.2.1) су 128 ществовало нетривиальное решение x(t) такое, что для любого є О существует постоянная DE 1 такая, что
Строим на основе этого решения перроновское триангулирующее преобразование. С одной стороны для t s О т.е. коэффициенты 622(ґ) и bn(t) интегрально близки. Необходимость вытекает из обращения теоремы Перрона. Теорема 3.2.2. Для того чтобы система (3.2.1) второго порядка была приводима к треугольной системе с интегрально близкими диагональными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы уравнение
Доказательство. Если обратиться к доказательству теоремы 3.1.1, то убеждаемся в том, что уравнение (3.2.4) равносильно Ъ1Х(t) = 0, а условие (3.2.5) равносильно интегральной близости b22(t) и bn(t). Следствие 3.2.1. Если система (3.2.1) второго порядка такова, что ( ) ( ) \а22 (t) - ах j (t\ = 0 и \ап (t) - a2l (tj = 0, то показатели системы (3.2.1) равны —SpA(t) = an(t) = a22(t) и они устойчивы. Действительно, для любого решения ф0{{) уравнения (3.2.4) и для всех t s 0 имеем t \((а22 - an)cos2 0 - (а]2 + a21)sin2 0)iw S t у\а22 -аи\ + \ап + a2i\)du s{t -є)+ DE, т.е. выполнено условие (3.2.5). Система (3.2.1) приводима к треугольной системе с интегрально близкими диагональными коэффициентами, а, следовательно, показатели системы равны и устойчивы. 3. Об устойчивости характеристических векторов одного класса линейных систем произвольного порядка В кандидатской диссертации автора [94. Теорема 5.1] показано, что если у линейной системы (0.1) с непрерывной и ограниченной на R+ матрицей A(t) существует базис решений такой, что cosZ(Xi(t), x,(t)] --є, 0 є -, ІФ], п 2, (3.3.1) 1 п-\ п-\ у рЩ к, i j, i,j = l,...,n, ttR+, (3.3.2) k \\xM 130 то показатели системы (0.1) прочны вверх, если, кроме того, система (0.1) правильна, то показатели ее устойчивы. Этот результат можно обобщить на случай характеристических векторов решений системы (0.1). Дальнейший материал этого параграфа представляет собой содержание статьи автора [116], посвященной этому вопросу. В этой статье в терминах решений правильной m-го порядка линейной системы дифференциальных уравнений получен достаточный признак кратности характеристического вектора Хоанг Хыу Дыонга этой системы, а также признак его устойчивости относительно линейных возмущений матрицы коэффициентов. Перейдем к содержанию этой статьи.
Для решения задачи об устойчивости по первому приближению A.M. Ляпуновым был предложен метод характеристических показателей. Этот показатель оценивает изменение модуля функции на плюс бесконечности по сравнению с функциями ехр(Яґ). Для уточнения поведения функции на бесконечности в качестве шкалы роста Б.П. Демидович [44] предложил рассматривать двупараметрическое семейство функций tm exp(/U). Он ввел понятие характеристической степени. С целью дальнейшего уточнения поведения функции /(/) на бесконечности Хоанг Хыу Дыонг [184] ввел понятие характеристического вектора (а0,а1,...,ак), первыми двумя компонентами которого являются характеристический показатель а0 и характеристическая степень ах соответственно. В качестве шкалы роста Хоанг Хыу Дыонг предложил рассматривать семейство функций
Одной из основных задач первого метода Ляпунова является оценка изменения характеристических показателей (и других показателей) вещественной линейной системы (0.1) при различных возмущениях коэффициентов системы. Напомним основные понятия и определения этой теории, которыми будем пользоваться. Пусть x(t) Ф 0 произвольная функция, определенная при t t0, x(t) eRn, n 1, и существуют конечные верхние пределы: а „= lim -1пЬс(Л, а ,= lim —ln(jc(/)ехрГ— or 0/)j, a t= lim lnx(fjexp(-a 0/)ra ...ln 24- 1), к = 2,...,w, где 1п0/ = ґ, \nxt = \nt, ln-f = ln(ln._if), j = \,...,m, тогда вектор a (m = a (m\x)= (a 0,...,a m) называется [184] характеристическим вектором m - го порядка функции x(t). Число t0 выбираем достаточно большим, чтобы обеспечить существование lnm t. Множество р } характеристических векторов решений системы (0.1) упорядочим по следующему правилу. Пусть а \")= (а оі -, иі) а 2т = (а 02,...,а т2), тогда а \т а 2т\ если существует такое значение j, что aj2 ajX, но а п= а а для / = 0,1,..., у -1.
