Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование и обработка серии искаженных атмосферой изображений .
1.1. Моделирование искаженных атмосферой изображений 20
1.1.1. Формирование изображений через атмосферу 20
1.1.2. Линейная оптическая система 23
1.1.3. Статистика атмосферной турбулентности 25
1.1.4. Алгоритм моделирования искаженных атмосферой независимых изображений...26
1.1.5. Результаты моделирования 30
1.2. Обработка длинной серии слабых астрономических изображений искаженных атмосферой 33
1.2.1. Краткая история вопроса 33
1.2.2. Постановка задачи и определение МТК 34
1.2.3. Дискретный случай МТК 36
1.2.4. Восстановление фазы 38
1.2.5. Инвариантность МТК к сдвигу и развороту 38
1.3. Тройные корреляции фотоотсчётных изображений 39
1.3.1. Детекторы фотоотсчётных изображений 39
1.3.2. Специфика фотонных пуассоновских изображений в МТК 40
1.4. Тройные корреляции искаженных атмосферой коротко-экспозиционных изображений 42
1.4.1. Коротко-экспозиционные и длинно-экспозиционные изображения 42
1.4.2. Параметр Фрида 42
1.4.3. Расчет средней передаточной функции ТК 44
1.5. Средний биспектр коротко-экспозиционных изображений 44
1.5.1. Ограничения и приближения для атмосферных параметров 44
1.5.2. Переход к парным корреляциям 47
1.5.3. Точность оценки фазы 47
1.6. Точность восстановления спектра по среднему биспектру 48
1.6.1. Точность восстановления модуля 48
1.6.2. Точность восстановления фазы. Одномерный случаи 49
1.6.3. Точность восстановления фазы. Двумерный случай 52
1.6.4. Сравнение методов восстановления изображения 52
1.6.5. Алгоритм обработки слабых изображений 53
1.7. Обработка длинной серии ярких изображений искаженных атмосферой 56
1.7.1. Специфика получения изображений 57
1.7.2. Математическое обоснование МТК 57
1.7.3. Восстановление изображения методом парных корреляций 58
1.7.4. Результаты обработки астрономических изображений 60
1.8. Обработка короткой серии ярких изображений искаженных атмосферой 62
1.8.1. Специфика задачи и методы ее решения 62
1.8.2. Известные практические методы решения 64
1.8.3. Недостатки известных астрономических методов 66
1.8.4. Метод слепой деконволюции и его обобщение 67
1.8.5. Метод совместной деконволюции 68
1.8.6. Обработка методом последовательных проекций 69
1.8.7. Вывод метода последовательных проекции из метода наименьших квадратов 71
1.8.8. Сходимость, однозначность и достоверность методов 74
1.8.9. Моделирование и обработка реальных изображений 77
1.9. Обработка серии ярких изображений объектов, быстро меняющих свой ракурс 80
1.9.1. Специфика задачи 80
1.9.2. Постановка задачи и математические критерии 81
11.9.3. Итерационная процедура решения 83
1.9.4. Сходимость, однозначность и достоверность метода 83
1.9.5. Моделирование и специфика обработки реальных изображений 84
Глава 2. Обработка одного кадра изображения, искаженных атмосферой и смазами .
2.1. Обработка изображений искаженных амплитудным смазом 89
2.1.1. Постановка проблемы 89
2.1.2. Переформулировка задачи 90
2.1.3. Однозначность решения 91
2.1.4. Алгоритм решения задачи 1 93
2.1.5. Сходимость алгоритма решения задачи 1 95
2.1.6. Алгоритм решения задачи 2 95
2.1.7. Сходимость алгоритма решения задачш2". 96
2.1.8 Математическое моделирование 97
2.1.9. Оптимизация параметров алгоритмов 98
2.1.10. Математическое моделирование и обработка реальных изображений 102
2.2. Обработка изображений, искаженных симметричным смазомг 105
2.2.1. Постановка задачи 105
2.2.2. Переформулировка задачи 106
2.2.3. Однозначность решения 106
2.2.4. Алгоритм восстановления 108
2.2.5. Сходимость алгоритма 108
2.2.6. Математическое моделирование и обработка реальных изображений : 109
2.2.7. Общий подход к задаче на основе метода наименьших квадратов 114
2.3. Обработка изображений искаженных дефокусировкой; 115
2.3.1. Постановка задачи 115
2.3.2. Переформулировка задачи 116
2.3.3. Однозначность восстановления 116
2.3.4. Алгоритм восстановления 117
2.3.5. Сходимость алгоритма 118
2.3.6. Математическое моделирование и обработка реальных изображений 118
2.3.7. Общий подход к задаче на основе метода наименьших квадратов 120
2.4. Обработка одного кадра изображения, искаженного случайными атмосферными искажениями и аддитивными шумами регистрации 121
2.4.1. Постановка задачи 121
2.4.2 Алгоритм восстановления 122
2.4.3. Сходимость алгоритма 123
2.4.4. Алгоритм восстановления путем проектирования на соответствующие множества 123
2.4.5. Математическое моделирование и обработка реальных и цветных изображений 124
2.5. Итерационное устранение неравномерного фона 127
Глава 3. Нетрадиционные приложения Фурье-методов обработки изображений .
3.1. Обработка изображений искаженных фазовым смазом 147
3.1.1. Постановка задачи 147
3.1.2. Алгоритм прямого решения 147
3.1.3. Теоретический алгоритм 148
3.1.4. Итерационные алгоритмы 148
3.1.5. Алгоритм сшивки фазы 148
3.1.6. Оптимальный алгоритм 149
3.1.7. Алгоритм встряски 154
3.1.8. Комбинированный алгоритм 155
3.1.9. Однозначность восстановления изображения: 158
3.1.10: Устойчивость к шумам 159
3.2. О восстановлении изображения по отношению модулей Фурье-спектра. 163
3.2.1. Постановка задачи 164
3.2.2. Метод экспоненциальной фильтрации 164
3.2.3. Однозначность восстановления 166
3.2.4 Астрономическая специфика 169
3.2.5. Однозначность восстановления изображения 169 3.2.6. Алгоритмывосстановления 171
3.3: Применение методов Фурье-оптики в офтальмологии 173
3.3.1. Постановка задачи 173
3:3.2. Математическая постановка задачи; 173
313:3. Расчет прохождения излучения через систему глаз-очки 174
3.3.4. Обзор известных технических решений: 175
3.3.5. Жидкокристаллические очки-. 176
3.4. Применение методов Фурье-оптики для задач художественного проектирования узоров тканей и гобеленов. 179
3.4. Г. Важность фазы.Фурье-спектра 179
3.4.2. Свойства фазовых распределений 180
3.4.3-. Алгоритм построения фазовых узоров 182
3.4.4. Алгоритм построения-амплитудных узоров 185
3.4.5. Подбор цветовой гаммы : 186
3.5. Обработка стереоизображений 191
3.5.1. Постановка задачи 191
3.5.2. Математическая постановка задачи 191
315.1. Алгоритм поиска сопряженных точек 193
3.5.1. Пирамидальный алгоритм 194
3.6. Использование информации о контурах изображений для построения вектора-признака и распознавания 199
3.6.1. Постановка задачи 199
3.6.2. Принцип формирования изображения. 200
3.6.3. Дифференциальные операторы выделения контуров 200
3.6.4. Дискретные аппроксимации 204
3.6:5. Сравнительная оценка методов выделения контуров 209
3.6.6. Методы улучшения контуров 212
3.6.7. Сегментация изображения: 213
3.6.8. Выделение причин порождающих контур 218
Приложение 1. Фазовая и амплитудная проблемы в оптике.
Историческая справка 224
Используемый математический аппарат 224
Постановка задачи. 225
Априорные ограничения 227
Дискретный случай 228
Свойства многомерных полиномов 231
Свойства целых функций многих комплексных переменных 235
Мера Лебега 239
Приложение 2. Двумерные и одномерные преобразования Гильберта в дискретном и непрерывном случаях и методы аналитического решения обратных задач.
Вывод одномерных непрерывных преобразований Гильберта из формулы Коши 250
Вывод логарифмических преобразований Гильберта из формулы Коши 254
Взаимосвязь компонент пространственного спектра в дискретном случае 257
Анализ однозначности фазовой проблемы в одномерном случае 260
Поведение корней Фурье-спектра 270
Взаимосвязь компонент пространственного спектра непрерывной финитной функции в двумерном случае 270
Взаимосвязь компонент спектра дискретной функции в двумерном случае 279
Общий метод сведения двумерного дискретного случая к одномерному 285
Нахождение всех решений фазовой проблемы в двумерном дискретном случае 290
Качественный анализ непрерывного двумерного случая фазовой проблемы 292
Приложение 3 295
Акт внедрения 296
Акт внедрения 297
Акт внедрения 298
Заключение 299
Литература 303
- Обработка длинной серии слабых астрономических изображений искаженных атмосферой
- Обработка методом последовательных проекций
- Математическое моделирование и обработка реальных изображений
- Теоретический алгоритм
Введение к работе
Актуальность работы. Работа посвящена математическим основам теории некорректных обратных задач в оптике, а также методам обработки и восстановления изображений по неполной информации об их Фурье-спектрах. Задача разработки таких методов является частью общей задачи устранения влияния атмосферных и оптических искажений при обнаружении и регистрации удаленных объектов на дальности 5-1000 км при плохих метеоусловиях. К числу оптических искажений относятся смазы и расфокусировка по дальности, а к факторам атмосферных искажений - туман, сумерки, восходящие атмосферные потоки и турбулентная атмосфера Земли. Решение рассматриваемой задачи вызывает большой интерес при наблюдении за удаленными космическими объектами, которые представляют собой поток фотонов, где на один кадр приходится от десяти до сотни фотонов.
Конечным этапом задачи обработки является автоматическое распознавание изображения или интересующего объекта. В данной работе для распознавания выделяются так называемые вектора - признаки или наиболее информативные участки изображения. Развитые в работе методы основаны на теории академика А.Н.Тихонова, которая известна в науке как регуляризация по Тихонову и фактически является развитием этой теории на случай обработки многомерных сигналов в задачах оптики, лазерной техники и астрономии. Математическая формулировка большинства подобных задач сводится к системе уравнений типа свертки. Для решения рассматриваемых задач в работе предложены новые подходы, основанные на последовательном улучшении оценки изображения путем согласования её с имеющейся априорной информацией о неискаженном изображении. При этом согласование с априорной информацией математически записывается в виде операторов проекции на соответствующие множества. Сами алгоритмы восстановления неискаженного изображения представляют собой последовательность операторов проекции, причем если соответствующие множества выпуклы, то подобные процедуры сходятся к истинному решению. Анализ однозначности решения подобных некорректных задач требует привлечения аппарата меры Лебега для оценки математической вероятности постороннего решения. При этом в двумерном и многомерном случаях подобные задачи, как правило, решаются однозначно, а в одномерном случае имеют счетное множество решений.
Наряду с теоретическими исследованиями представлены экспериментальные результаты по обработке изображений, полученных с помощью крупных отечественных телескопов. Представленные результаты отражают 20-летний опыт автора по эксплуатации,
созданию методик аттестации крупных отражательных телескопов на основе обработки изображений.
Цель работы. Разработка физико-математических основ и методов цифровой обработки малоконтрастных изображений, искаженных турбулентной атмосферой. Устранение этих искажений с помощью цифровых методов обработки и восстановление неискаженного изображения объекта, наблюдаемого оптическими приборами на большой дальности.
Задачи работы:
нахождение необходимых и достаточных условий однозначного восстановления изображения по неполной информации об его Фурье-спектре;
разработка общего регуляризирующего подхода к численному решению различных типов обратных задач на основе операторов проекции на выпуклые множества;
разработка программного комплекса для проверки теоретических положений и новых методов обработки реальных космических объектов, слабых астрономических изображений и космических снимков Земли.
разработка программного комплекса для изображений, наблюдаемых на горизонтальных трассах в условиях тумана, облачности или сквозь толщу воды, а также для обработки цветных искаженных изображений, регистрируемых современной фототехникой;
построение трехмерных изображений по его двумерным проекциям;
исследование методов автоматического распознавания восстановленного изображения и выделение устойчивого к шумам вектора-признака.
Научную новизну характеризуют следующие основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту:
доказан ряд новых утверждений для гарантированной однозначности решения обратных оптических задач в практически важном двумерном случае. Утверждения относятся к таким задачам как, например, восстановление изображения только по фазе Фурье-спектра, только по амплитуде Фурье-спекла, только по тангенсу фазы Фурь-спектра, только по фазе и отношению модулей и т.д.
проведено обобщение известного метода обработки слабых фотоотсчетных изображений с целью повышения точности восстановления изображения. Метод опробован при обработке серии из 1000 реальных изображений двойной звезды и получено двукратное повышение точности по сравнению с исходным методом биспектрального анализа. Суть метода сводится к повышенной точности
восстановления фазы неискаженного спектра и восстановлению изображения только по восстановленной неискаженной фазе.
разработан общий регуляризирующий подход для обработки коротких серий изображений, искаженных атмосферой. Метод сводится к итерационному последовательному восстановлению неизвестных передаточных функций, после чего восстанавливается неискаженное изображение. При обработке реальных изображений полученных в белом свете метод приводит в 2-3 кратному повышению точности по сравнению с методом усреднения. При обработке изображений полученных в режиме узкополосной фильтрации метод приводит к 10-и кратному повышению точности.
разработан ряд методов обработки только одного кадра изображения, искаженного смазом, расфокусировкой и амплитудным смазом. При обработке реальных изображений полученных в белом свете метод приводит в 2-3 кратному визуальному повышению точности по сравнению с исходным.
разработан метод обработки когерентных изображений, сводящийся к формированию безопорной голограммы интенсивности и восстановлению из неё неискаженного изображения. Метод опробован в стендовых условиях и устойчиво работал в условиях аддитивных, мультипликативных и нелинейных шумах фотопленки.
разработан метод обработки одиночных кадров изображений наблюдаемых в условиях сильного тумана, облачности, а также наблюдаемых через значительную толщу водной среды. При обработке реальных изображений полученных в белом свете метод приводит в 2-3 кратному визуальному повышению точности по сравнению с исходным.
разработан метод цифровой обработки искаженных цветных изображений. Метод сводится к программно реализованному разложению на компоненты R,G,B, обработке каждой из компонент и весовому или итерационному сложению обработанных компонент цветного изображения.
разработан новый метод построения узоров для нужд текстильной промышленности. В качестве основы послужили фазовые распределения, вносимые атмосферой Земли, в которых заметен эффект объемности, после чего были синтезированы цветные композиции полученных узоров
разработан новый пирамидальный метод оценки третьей координаты по двум двумерным изображениям, зарегистрированным с различных точек наблюдения. По сравнению с известным точечным методом обработке метод обладает 10 кратным повышением быстродействия, но примерно в 2-4 раза проигрывает в точности.
выделен новый тип вектора признака для задачи распознавания изображений, основанный на выделений точек излома внешнего контура изображения. При практическом тестировании метод дает 90% вероятность правильного распознавания.
Практическая значимость работы. Разработанные новые итерационные методы обработки и восстановления искаженных изображений с целью повышения разрешающей способности нужны и уже используются в многочисленных астрономических задачах при наблюдении очень удаленных и очень слабых источников излучения, что представляет несомненный научный и практический интерес. Другим практическим приложением данных методов является их применение в различных международных системах контроля космического пространства (СККП) для выявления и диагностики состояния спутников, долго находящихся на космических орбитах, диагностики и распознавания неуправляемых элементов космического мусора и заблаговременном оповещении о метеоритной опасности и принятия мер предосторожности. Большое значение методы обработки искаженных изображений имеют при решении транспортных задач, например, при посадке самолетов в условиях ограниченной метеорологической видимости, при движении судов в условиях тумана, а также при движении автомашин и колонн грузовиков в тяжелых метеорологических условиях для заблаговременного обнаружения встречного транспорта во избежание катастроф. Возможно применение этих методов в задачах обеспечения безопасности, например для пограничных застав, при наблюдении в пределах прямой видимости неизвестных судов, людей и автотранспорта для улучшения качества их изображений и визуального распознавания. Один из предложенных в работе методов обработки способен функционировать на телескопе с искривленным зеркалом, т.е. при неизвестных статических аберрациях, что позволяет экономить большие средства, которые пошли бы на исправление аберрационной карты. При обработке космических изображений, полученных, со спутников итерационный метод позволяет повысить разрешение примерно в 2 раза и увеличить точность дальнего обнаружения объектов. При посадке самолета в условиях тумана этот метод повышает безопасность пассажиров. Разработки автора в области создания новых методов обработки малоконтрастных изображений внедрены в программно - алгоритмическое обеспечение ряда радиооптических комплексов.
Новый метод проектирования двумерных узоров, обладающих эффектом объемности развит для нужд текстильной промышленности с учетом современных требований к качеству ее продукции.
Апробация работы. Результаты работ докладывались и обсуждались на семинарах НПО «Астрофизика», ИРЭ им. В. А. Котельникова РАН, ВЦ РАН, ИКИ РАН, С АО РАН (станица Зеленчукская), ОАО «МАК «Вымпел», ОАО «Гос «МКБ «Вымпел» им. И.И. Торопова», ОАО НПО «Радиофизика», ВИРТА ПВО им. Л.А. Говорова (г. Харьков), ХГУ, ГОИ им. СИ. Вавилова, СНИИ-45, НИИ судебной медицины, а также на следующих российских и международных научных конференциях: 5-я Международная конференция «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (Н. Новгород, 2000, 2002), V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2006 г.), Ninth Int. Conf. «Pattern Recognition and Information Processing - PRIP 2007» (Minsk, 2007), Международная науч. конф. «Излучение и рассеяние электромагнитных волн - ИРЭМВ-2007» (Таганрог, 2007 г.), Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2007 (The EICC, Edinburgh, UK, 2007), VII Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2008 г.).
По теме диссертации опубликовано 63 научные работы. Среди них 1 монография, 29 статей в ведущих Российских и зарубежных журналах "Доклады Академии наук СССР", "Радиотехника и электроника", "Оптика и спектроскопия", "Оптико-механическая промышленность", "Оптика атмосферы и океана", "Optics Communications", "Optical Engineering". По результатам работы автором получено 25 авторских свидетельств об изобретении. Полный перечень публикаций автора приведен в конце автореферата.
Достоверность результатов работы подтверждается согласованностью результатов аналитического исследования, численного моделирования и физического эксперимента между собой, а также с результатами других авторов. Новые теоретические результаты получены с помощью строгой общепризнанной теории, такой как многомерная теория функций комплексного переменного и т.д. Все полученные автором новые соотношения снабжены подробнейшими строгими математическими выкладками, что также подтверждает их достоверность. Работы по основным результатам диссертации неоднократно цитировались как в отечественной, так и в зарубежной научной печати.
Личный вклад автора. Основные результаты, представленные в работе получены лично автором. Вклад автора был определяющим при разработке основных теоретических идей, постановке задач и выборе методов исследований, а также при написании статей, докладов и 25 изобретений. О приоритете автора в развитии данной тематики свидетельствуют выигранные им на конкурсной основе грант РФФИ № 05-07-90349-в (2005-2007 гг.) о создании системы обработки изображений реального времени, грант РФФИ (№ 07-07-07005-д (2007 г.) о написании монографии (в соавторстве) по новейшим методам
обработки изображений и грант РФФИ № 07-08-00637-а (2007-2009 гг.) о создании пассивного оптического локатора для регистрации изображений.
Автором лично развит новый подход к решению обратных некорректных задач и сделан ряд программ, реализующих этот подход для широкого круга задач. Автором также разработан ряд методик по аттестации, измерению параметров оптических приборов; реализованы методики, позволяющие многократно повысить разрешающую способность оптических приборов в атмосферных условиях эксплуатации. Все перечисленные методики внедрены в оптические изделия и прошли успешные испытания на различных крупных наземных телескопах, расположенных на Северном Кавказе, с. Зеленчукская. Большую помощь при проверке теоретических выкладок и сложных аналитических выражений автору оказывали П.А. Бакут, А.А. Курикша и А.Д. Ряхин. При создании и программной реализации новых методов обработки и восстановлении изображений большую помощь оказали К.Р. Лозин и Г.А.Смехова. Автор выражает искреннюю благодарность А.А. Потапову за творческие дискуссии и внимание к работе, а также сотрудникам лаборатории 152 В.Е. Анциперову и С.А. Никитову за общее руководство и поддержку исследовательских работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений, заключения, и списка литературы из 211 источников. Общий объем работы составляет 330 страниц, включая 120 рисунков.
Обработка длинной серии слабых астрономических изображений искаженных атмосферой
Формирование изображения через атмосферу. Рассмотрим задачу формирования изображения удаленного объекта наблюдаемого с поверхности Земли в предположении, что объект подсвечивается некогерентным Солнечным излучением. Пусть V(f) - конечное по пространству поле излучения объекта расположенногоv на расстоянии ROT приемной плоскости апертуры. Здесь гир- переменные в плоскости объекта и апертуры соответственно. Во Френелевском приближении, поле U(p) в плоскости приемной апертуры будет иметь следующий вид:
Здесь SQ площадь объекта, Л - средняя длина волны, к - волновой вектор. Предполагается что дальность до объекта значительная примерно 500-1000 километров, в то время как наиболее сильно искажающий слой приземной атмосферы составляет 10-50 километров. Поэтому можно считать, что атмосферные фазовые искажения сосредоточены в достаточно тонкой (по сравнению с дальностью до объекта) области, толщиной которой можно пренебречь. Поэтому влияние атмосферы в таком приближении сводится к умножению приходящего поля U(p)na неизвестные фазовые искажения, вносимые атмосферой U(p) єхрі рАт (р). Для более точной постановки задачи после прохождения апертуры рассмотрении амплитудными флуктуации можно пренебречь. Конечность приемной апертуры можно учесть в виде интеграла по конечной площади SA - площадь апертуры. Таким образом, поле Е(х) в плоскости регистрации х, расположенной на расстоянии L от апертуры плоскости имеет вид: ( ) = 6X L J (P) ехр{/ ш (Л)}ехрі /—x - /32 \dP
Подставляя в последнее выражение, выражения для поля на апертуре получаем поле Е(х) в плоскости регистрации выраженное через поле V(r) в плоскости объекта наблюдения:
Поскольку обычно для регистрации излучения применяются квадратичные детекторы, то регистрируемая интенсивность имеет вид:Здесь усреднение осуществляется по ансамблю реализации приходящих мгновенных реализации поля. Поскольку в настоящем изложении нас интересуют только качественная постановка задачи и с тем, чтобы не загружать изложение громоздкими промежуточными выкладками рассмотрим более простое Фраунгоферовское приближение, которое является частным случае Френелевского, если дальность до объекта на несколько порядков больше чем предполагалось вначале этого раздела. Фактически рассмотрим астрономический малоразмерный объект, расположенный в глубине космоса. При этом все полученные ниже соотношения будут верны и для Френелевского приближения с точностью до масштабных множителей, а также в конечном выражении скажется влияние расфокусировки, вносимой конечным расстоянием до объекта и фокусирующей оптикой. Тогда первые два выражения будут иметь следующий упрощенный вид:
Здесь символом ( ) обозначена операция свертки. Стоит отметить, что очень подробный вывод (2.1), с учетом всех нюансов и приближений волновой оптики приведен в монографии (Игоря Николаевича Троицкого и Николя Дмитриевича Устинова "Статистическая теория голографии". Москва. "Радио и Связь". 1982).
Для последующего анализа важна только исходная постановка задачи (1.1), откуда следует, что регистрируемое оптическое изображение 1(х) является сверткой истинного неизвестного изображения 0(F) и мгновенным импульсным откликом системы атмосфера-телескоп h(r). Стоит отметить, что рассмотренный простейший анализ относится только к задаче наблюдения снизу вверх. При наблюдении сверху вниз несложно получить, что фазовые атмосферные искажения сокращаются и практически не влияют на качество изображения. Аналогичный результат получается, если регистрировать интенсивность поля в і плоскости апертуры в этом случае распределение интенсивности близко к равномерной освещенности. Если в перечисленных ситуациях рассматривать корреляции интенсивностей то результат уже будет положительным и возможно выделение как фазовой, так и амплитудной информации. При наблюдении на горизонтальной трассе видимо можно применить модель последовательных фазовых экранов расположенных непосредственно друг за другом при этом конечный результат, т. е постановка задачи в виде уравнения свертки будет справедлив, однако к фазовым искажениям добавятся еще и амплитудные искажения за счет ослабления на трассе со сплошной турбулентностью. Таким образом, с точки зрения математики для восстановления изображения необходимо решить уравнение типа свертки с двумя неизвестными.
Линейная оптическая система. Вобычном предположении изопланатичности системы наблюдения для распределения интенсивности- 1(х) формируемого изображения некогерентного объекта в плоскости х его регистрации используют выражение вида [87,88]: I(x)=jO(y)H(x-y)d} , (1.2) где 0(у) - распределение интенсивности отражаемого от объекта светового излучения в картинной плоскости у (по масштабу картинная- плоскость приведена к плоскости - распределение интенсивности в изображении осевого точечного источника (так называемый импульсный отклик или иначе функция рассеяния точки системы), а Е(х) — распределение комплексной амплитуды поля изображения точки. В свою очередь для поля Е(х) с точностью до несущественного здесь масштабного множителя справедливо представление вида: Е(х) = \dv W(v) V(v) expj -—/vie L (1.4) где W(v) - апертурная функция телескопа, равная единице в пределах его приёмной апертуры (входного зрачка) и нулю вне её; V{v) = exp{/( p(v) + vj/(v))} - функция искажений поля принимаемого светового излучения (амплитудными искажениями из-за их несущественного влияния на качество изображения обычно пренебрегают);
Обработка методом последовательных проекций
Краткая история вопроса. Начиная с 1983 г. в научных кругах, связанных с разработкой методов последетекторного восстановления искаженных атмосферой и шумами регистрации изображений удаленных объектов, активно обсуждается сравнительно новый метод - так называемый метод тройных корреляций (МТК) [91 - 95]. Как это уже не раз случалось ранее, при появлении новых подходов и методов решения проблемы видения через атмосферу, на первом этапе с этим методом связывали очень большие надежды. Многие исследователи считали, что он значительно эффективнее прочих ранее предложенных методов, в частности, метода Нокса-Томпсона (МНТ).
Последующий углубленный анализ показал, что МНТ по своим точностным характеристикам в большинстве случаев не уступает МТК, в то же время заметно превосходя его по простоте реализации. Исключение составляют случаи обработки так называемых фотоотсчетных изображений (ФИ), представляющих собой случайные наборы малого числа фотоимпульсов, а также интерферометрических изображений, сформированных. синтезированными телескопами: Но и в этих случаях наиболее эффективным оказывается не МТК, а гибридный метод, сочетающий особенности как МНТ, так и МТК. Ниже представлены основные результаты по исследованию МТК и дается его сравнению с МНТ.
Прежде чем перейти к непосредственному изложению, необходимо отметить, что тройные корреляции, как метод обработки сигналов, известны сравнительно давно. Они применялись в различных областях прикладной физики, в частности, при исследованиях формы ультракоротких фемтосекундных лазерных импульсов и океанских волн, при измерениях гистограмм полутоновых изображений и при формировании акустических изображений, а также при измерении среднего движения скоплений бактерий и в других задачах. Более того, МТК является частным случаем общего метода полиспектрального оценивания [91].
Заслуга Вейгельта состоит в том, что он впервые в 1977 г. предложил использовать МТК для восстановления астрономических изображений [96]. Однако первоначальные формулировка и обоснование этого предложения были столь приближенными и практически малоинтересны, что оно целых шесть лет не имело дальнейшего развития. И лишь в 1983 г., когда были опубликованы более строгое математические описание и первые экспериментальные результаты (по двойным звёздам) [97 - 99], МТК был признан [100 -110]. Сначала он рассматривался только как метод обработки изображений, сформированных классическими одноапертурными телескопами. Однако, в 1986 г. рядом авторов независимо бьша получена формулировка МТК в результате обобщения [111, 112] метода замкнутых фаз [113 - 116] на случай больших апертур и фотоотсчётных изображений применительно к многоапертурным синтезированным телескопам как наземного [117, 118], так и космического [119] базирования. Однако и в этом случае, как показали детальные исследования [120], необходимо сочетать МТК с ранее предложенным и хорошо развитым МНТ [121 - 124]
Постановка задачи и определение МТК. После краткого исторического экскурса перейдем к изложению основ- МТК. Обозначим через l(x) распределение интенсивности зарегистрированного изображения. Тройной корреляцией (ТК) изображения / называют функцию Т,(х:, х2), определяемую как
Далее не ограничивая общности, будем считать, что Е = 1. Если l(x) представляет собой свертку истинного распределения интенсивности 0(х) изображения объекта и распределения Н(х) импульсного отклика формирующей изображение системы (здесь под системой мы будем понимать телескоп), т.е. если
ТК и БС одномерного изображения двумерны (рис. 1.3), двумерного изображения — четьфехмерны. Это налагает очень серьезные требования на вычислительные возможности процессора, предназначенного для вычисления ТК и/или БС. Так, например, если средний угловой размер изображения составляет 1 , а разрешение телескопа — 0,02 , то изображение должно быть дискретизовано на 102 линейных элементов. Для двумерного изображения это приводит к необходимости вычисления ТК (БС) в 108 точках. При стандартной точности вычисления, когда на представление чисел отводится 4 байта (32 разряда), объём памяти для полной записи БС (ТК) должен быть 0.5 ГБт. I
На основании этих равенств несложно убедиться, что двумерные ТК и БС одномерного изображения однозначно определяются своими значениями. Например, из первого октанта плоскости (рис. 1.3) [99, ПО]. Аналогичное утверждение справедливо и для четырёхмерных ТК и БС двумерного изображения, однако это не решает полностью указанную вычислительную проблему.
Дискретный случай МТК. К счастью, во многих практически важных приложениях, как это будет показано ниже, можно ограничиваться вычислением БС (ТК) не во всём четырёхмерном пространстве, а в некоторых (наиболее информативных) двумерных плоскостях. ТК обеспечивает получение достаточного для восстановления структуры изображения объёма информации. В некоторых случаях операция восстановления тривиальна.
Как уже отмечалось, МТК может быть использован для формирования изображений быстродвижущегося объекта. Регистрируя серию изображений с короткими экспозициями, в течение которой объект можно считать неподвижным, и формируя среднюю по серии ТК этих изображений, восстанавливают по полученной ТК неискажённое (несмазанное) изображение объекта. Необходимо подчеркнуть, что при коротких экспозициях энергия регистрируемых световых потоков столь мала, что коротко-экспозиционные изображения (КИ) оказываются фотоотсчётными. В ФИ существенны так называемые квантовые шумы регистрации, компенсация которых и требует усреднения по серии реализаций. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Математическое моделирование и обработка реальных изображений
При внимательном рассмотрении, как исходных, так и обработанных изображений, заметен небольшой смаз в горизонтальном направлении, обусловленный сбоями в работе видеобластера при вводе изображений в ЭВМ. Поэтому истинные значения оцениваемых параметров получаются при измерении в вертикальном направлений. Погрешность, вносимая смазом, составляет примерно 20%. После описанных измерений авторы попытались оценить дифракционное разрешение телескопа, т.е. не остаточные аберрации телескопа, а разрешение при компенсации остаточных аберраций. Для этой цели использовался метод обработки короткой серии изображений подробно описанный в [137, 138, 143, 146].
Суть метода заключается в итерационном восстановлении передаточных функций телескопа, искаженных как случайными атмосферными искажениями, так и детерминированными аберрационными, и последующей нормировке на эти функции. При этом нет различия между атмосферными фазами и аберрационными, поскольку они одинаковым образом входят в передаточные функции. На рис. 2.8,в приведено восстановленное этим методом изображение, по которому оценивалось дифракционное X разрешение, т.е. величина 1,22—. Угловой размер поля, как и прежде, составляет 6,7x6,7 секунд, а оценка дифракционного разрешения в вертикальном сечении составляет примерно 0,2 секунды. При этом дифракционное разрешение метрового телескопа на длине волны Л = О.бмкм равно примерно 0,15x0,15 угловых секунд.
Специфика задачи и методы ее решения. Одной из задач, возникающих при наблюдении в крупные наземные телескопы, является наблюдение астрономических и космических объектов с разрешением, определяемым диаметром апертуры телескопа D. Искажающим фактором, при этом, является турбулентная атмосфера Земли. Главная характеристика атмосферы в оптическом диапазоне - радиус корреляции фазовых атмосферных искажений г0 (параметр Фрида) составляет примерно 1-20 см. Поэтому при обычных наблюдениях любой крупный телескоп будет давать разрешение —, определяемое этим параметром, в то время как дифракционное разрешение телескопа, равное — примерно на порядок выше. В настоящее время решение этой задачи ведется по нескольким независимым направлениям: методы, основанные на обращении волнового фронта, адаптивные преддетекторные методы, цифровые последетекторные методы, наиболее перспективные методы апертурного синтеза (в радиодиапазоне длин волн) и чисто инженерные решения, направленные на вынос телескопов за пределы Земной атмосферы с помощью самолетов или аэростатов, и в открытый космос (космический телескоп Хаббл). В данном разделе рассматривается метод цифровой последетекторной обработки искаженных оптических изображений с целью повышения их разрешения.
Обычно задачу повышения качества изображения решают при следующих ограничениях. Объект наблюдения должен находится в малом угле 5-10 угловых секунд (условие изопланатизма), время регистрации должно быть меньше времени «замороженности» атмосферы 0.01 сек (условие статистической независимости атмосферных искажений), регистрация должна проводится не в белом свете, а в узком спектральном диапазоне АК вблизи выделенной длины волны, т.е., АХ = Xr0/D (условие квазимонохроматичности).
Здесь х, г — координаты в плоскости изображения, n = \...N — общее число зарегистрированных изображений, пп(х) - аддитивный шум. Уравнение (1.127) по сути дела представляет собой астрономическую постановку задачи, поскольку здесь предполагается неизменность ракурса неискаженного изображения во время всего цикла наблюдений. Если объект неизопланатичный, то в интегральном уравнении (2.127) меняется вид ядра и hn(x + r) = hn(x,r). Обработка таких изображений состоит в пространственном разделении на зоны изопланатизма, и раздельной обработке отдельных фрагментов, для которых уравнение свертки справедливо, с последующим сшиванием обработанных фрагментов. Стандартным приемом при решении уравнений типа свертки является переход к их Фурье -образам, после чего (2.127) запишется в следующем виде:
Известные практические методы решения. Поскольку каждый первый сомножитель в правой части системы (1.128) является неизменной функцией, а вторые сомножители являются случайными статистически независимыми функциями, то самым простым типом обработки, который естественно следует из специфики системы (1.128) является их усреднение (накопление) по серии из N независимых атмосферных реализаций с последующим делением на среднюю передаточную функцию:
Приведенные выражения показывают, что разрешение, даваемое этим методом соответствует среднему атмосферному разрешению. Это объясняется поведением мгновенных передаточных функций #„(со) в зависимости от частоты. В области низких пространственных частот со соя передаточные функции меняются плавно, а в области высоких частот со соя начинают быстро осциллировать с переменой знака. Усреднение знакопеременных случайных функций приводит к их взаимной компенсации, и, как следствие, к падению разрешения в восстановленном изображении. В 1970 г. был предложен метод Лабейри [132], основой которого являлось усреднение не самих передаточных функций, а их модулей, что позволяет осуществить накопление сигнала на высоких частотах. Математическая запись метода следующая:
Первое слагаемое в (1.131) существенно на низких частотах и совпадает со средней передаточной функцией. Второе слагаемое (третьим обычно пренебрегают) показывает, что на высоких частотах передаточная функция пропорциональна дифракционно-ограниченной передаточной функции телескопа Нд(ы) при полном статистическом усреднении (п — о) и, следовательно, данный метод, в принципе, позволяет получить дифракционное разрешение. Недостатком метода Лабейри является потеря информации о фазе Фурье-спектра и, как следствие, необходимость численного решения фазовой проблемы [132], что приводит к значительному снижению точности восстановления изображения. В 1972 -1974 гг. Ноксом и Томпсоном был предложен метод восстановления фазы [121, 122]. Метод сводится к формированию корреляционного произведения искаженных Фурье-спектров и усреднению по серии изображений [121]:
Передаточная функция этого метода аналогична передаточной функцией метода Лабейри и является строго положительной и действительной функцией. Поэтому из (2.132) можно вычислить экспоненту разности фаз на соседних частотах, а затем и саму неискаженную фазу Фурье-спектра изображения (с точностью до остаточных аберраций телескопа). При обработке изображений обычно формируют две корреляции типа (2.132) в ортогональных направлениях, а неискаженное фазовое распределение восстанавливают численным интегрированием. Основной недостаток этого метода — чувствительность к линейным сдвигам обрабатываемых, изображений и ограниченность разрешения остаточными аберрациями. При обработке серии ярких изображений первый недостаток преодолим путем центрирования изображений по центрам тяжести.
В 1974 г. была проведена модификация метода Нокса - Томпсона, позволяющая устранить чувствительность к линейным сдвигам изображений. Полученный метод известен под названием метода тройных корреляций [103 - 105]:
Теоретический алгоритм
Поскольку, как легко показать, множества, соответствующие функциям с заданной фазой спектра и функциям с заданной фазой и отношением модулей спектров, являются в функциональном пространстве линиями, то даже непосредственно из данных рис. 3.1 видна графическая сходимость алгоритма. Как показывает практика, приведенные алгоритмы сходятся довольно быстро. Например, при восстановлении изображения только по фазе его Фурье-спектра для сложных объектов требуется до 300 итераций, а при восстановлении по фазе и отношению модулей требуется не более 50 итераций. Контроль сходимости осуществлялся по нормированным ошибкам по сходимости при приближении к уровню 1 %.
2.1.8. Математическое моделирование. Начальная оценка и размеры изображения определяются по фазовому изображению путем его пороговой фильтрации. Фазовое изображение представляет собой преобразование Фурье-изображения с заменой модуля на единичный модуль и обратным преобразованием в плоскость изображения. Вопрос определения области 5 неискаженного изображения однозначно и просто решается только при неискаженной фазе. Поскольку «фазовое изображение» (изображение с истинной фазой и постоянным модулем) несет полную информацию о контуре изображения и, следовательно, его области S , то область S определяется пороговой фильтрацией изображения.
В качестве примера на рис. 2.2,а представлено изображение объекта, искаженное амплитудным смазом, на рис. 2.2,6 — полученное из него при обратном Фурье 98 преобразовании от ехр/"ф(й) «фазовое изображение» объекта. Истинное изображение приведено на рис.2.2,в. В данном случае амплитудная проблема является "самодостаточной".
Исходное изображение с амплитудным смазом (а), полученное из него «фазовое изображение» (б) и истинное изображение (в) объекта.
Вообще говоря, уже фазовое изображение можно считать достаточным для распознавания, поскольку оно визуально несет всю информацию о перепадах интенсивности, т.е. контурах, в изображения. Последнее изображение, приведенное на рис. 3.2,в является модельным эталонным изображением.
Оптимизация параметров алгоритмов. Если изображения очень сложные, и размеры определены с большой погрешностью, то число итераций может достигать несколько тысяч. Поэтому актуальной является задача ускорения сходимости перечисленных проекционных алгоритмов с помощью применения операторов обобщенных проекций и управления сходимостью с помощью адаптивного управления релаксационными параметрами. Рассмотрим общую схему восстановления [136, 82, 84]: оценка изображения после применения оператора Р. Чтобы применить (2.23) необходимо сделать некоторые предположения относительно /, поскольку это истинное решение, которого мы не знаем. Далее рассмотрим несколько случаев:
Попробуем найти выражение для \ при проектировании на множество положительных функций, исходя из второго слагаемого (2.23). Элемент PJ — J отличен от нуля при J 0, а элемент PJ =0 при J 0. Тогда числитель во втором слагаемом (2.23) имеет вид: Re(/ - PJ, PJ -J) = Re (/, PJ — J)= /(«) J(n). В качестве оценки / при можно, например, взять само J. Тогда числитель и знаменатель будут равны и Х"т = 2. Однако это искусственная оптимизация не является адаптивной.
Найдем оптимальное значение Х2 для оператора проекции на множество финитных функции с заданной областью S. Анализируя элемент, (I-PJ), замечаем, что он отличен от нуля при Я є S и равен нулю при Я g S, а элемент Р2 J - J равен нулю при Я є S и отличен от нуля при Я &S . Отсюда следует, что числитель равен пулю и
Аналогичное вычисление параметров оптимизации можно провести и для задачи восстановления по фазе и отношению модулей, однако в области изображения, как показано выше, она бессмысленна, а в области спектра слишком сложна. К тому же, как показала практика, этот алгоритм сходится очень быстро и с обычными операторами проекции.
Схематически поведение алгоритмов при использовании операторов обобщённых проекций показано на рис. 2.3. Видно, что проекции не точно ложатся на множество, а иногда либо проходят, либо не доходят до него, что, однако, приводит к ускорению сходимости.
Смысл этих ошибок следующий: ЕК - среднеквадратичная ошибка по сходимости, ЕМ - ошибка по нарушению априорных ограничений, ЕВ -среднеквадратичная ошибка по сравнению с истинным изображением. Приведенные ошибки вычислялись в плоскости изображения, причем по мере приближения оценки изображения к истинному решению ошибки ЕК, ЕМ, ЕВ стремятся к нулевому значению (рис. 2,4). среднеквадратичных ошибок по сходимости: а) — ошибка ЕК для алгоритма восстановления только по фазе; б) - ошибка ЕК для алгоритма восстановления только по фазе с оптимизацией; в) - ошибка ЕК для алгоритма восстановления по фазе и отношению модулей (алгоритмом устранения смаза).
Математическое моделирование и обработка реальных изображений. Практика показывает, что использование операторов обобщенных проекций ускоряет сходимость алгоритмов примерно на 30% и обеспечивает непрерывное монотонное уменьшение ошибки сходимости. Теоретические и практические исследования устойчивости данных методов к шумам также показали, что дисперсия ошибки фазы линейно связана с дисперсией ошибки изображения. Из структуры алгоритмов видно, что данный подход сам по себе является регуляризирующим и потому он устойчив к шумам.
Дальнейшие исследования проводились непосредственно при обработке реальных изображений. В работах [86,154 - 156] приведены многочисленные результаты обработки модельных изображений различной степени сложности. Некоторые их них приведены ниже. Данные рис. 2.5 иллюстрирует обработку космического снимка фрагмента поверхности Земли, полученного из Internet. Здесь рис. 2.5,а - исходный снимок, на котором видно небольшое размытие, обусловленное расфокусировкой. Слева на рис. 2.5, б приведены фрагменты этого снимка размерами 128х 128 элементов разрешения. Справа на рис. 2.5,6 показаны результаты обработки после 30 итераций описанными алгоритмами при различных по размеру масках 80x80 и 60x60. Визуально хорошо заметно повышение контраста и падение яркости.
На рис. 2.6,а представлены наземные оптические снимки космических кораблей «Салют» - «Союз» под разными ракурсами наблюдения. Снимки были получены в 1992 г. на телескопе базового комплекса (БК) в САО. В столбце слева представлены исходные изображения, в столбце справа приведены результаты обработки после 30 итераций.
Результаты обработки изображения кометы, зарегистрированной космическим телескопом Хаббл, приведены на рис. 2.8,а (слева - исходное изображение, справа -обработанное). На рис. 2.8,6 приведены результаты обработки изображения тест-объекта, расположенного на горизонтальной трассе, на дальности 2 км. На рис. 2.8,в приведены результаты обработки изображения поверхности Луны, полученного в крупный наземный телескоп. Не слишком высокое качество восстановления изображений обусловлено
