Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Численное решение динамических задач упругого тела 16
1.1. Определяющие уравнения 16
1.2. Сеточно-характеристический численный метод на криволинейных структурных сетках 18
1.2.1. Параллелепипедные сетки 18
1.2.2. Метод расщепления по координатам 20
1.2.3. Криволинейные сетки 21
1.2.4. Разностные схемы 23
1.3. Сеточно-характеристический численный метод на треугольных сетках 27
1.3.1. Идея метода 27
1.3.2. Полиномиальная интерполяция в треугольнике 27
ГЛАВА 2. Компактные сеточно-характеристические схемы повышенного порядка точности для линейного уравнения переноса 35
2.1. Введение 35
2.2. Одномерный случай 36
2.2.1. Построение продолженной схемы 36
2.2.2. Построение интерполяционных полиномов 37
2.2.3. Монотонизация решения 38
2.3. Двумерный случай 40
ГЛАВА 3. Построение расчётных сейсмограмм 54
3.1. Актуальность и предпосылки разработки 54
3.2. Структура программы и её возможности 56
3.3. Полученные важные научно-прикладные результаты 59
ГЛАВА 4. Сейсмическая активность 63
4.1. Введение 63
4.2. Вычислительная механико-математическая модель гипоцентра землетрясения 64
4.3. Инициация сейсмической активности – 2D 67
4.3.1. Распространение сейсмических волн из очага землетрясения 67
4.3.2. Воздействие сейсмических волн на наземные сооружения 71
4.4. Инициация сейсмической активности – 3D 77
4.4.1. Сферограммы (Beachball plot) 77
4.4.2. Верификация модели очага землетрясения 78
4.4.3. Влияние слоистости вмещающего массива 82
4.4.4. Воздействие динамических возмущений на борта карьера 84
4.4.5. Воздействие динамических возмущений на наземные сооружения85
ГЛАВА 5. Слоистые среды 87
5.1. Постановка задачи 87
5.2. Результаты расчётов 89
5.2.1. Слоистая среда без неоднородности в случае P-волны 89
5.2.2. Слоистая среда с неоднородностью в случае P-волны 91
5.2.3. Сферический источник возмущения в слоистой среде 94
5.3. Выводы 95
ГЛАВА 6. Трещиноватые среды 96
6.1. Введение 96
6.2. Постановка задачи 97
6.3. Особенности численного моделирования 99
6.4. Результаты численных экспериментов 100
6.4.1. Сейсмический отклик от одиночной макротрещины 100
6.4.2. Волновые картины отклика от кластера макротрещин 104
6.5. Выводы 109
ГЛАВА 7. Определение структуры гетерогенной среды 110
7.1. Влияние карстового включения на регистрируемый на поверхности сигнал111
7.2. Определение мощностей геологических слоёв 113
7.3. Идентификация геологической трещины 115
ГЛАВА 8. Задачи глобальной сейсмики 119
8.1. Земля 119
8.1.1. Введение 119
8.1.2. Постановка задачи 123
8.1.3. Сравнение с аналитическим решением 125
8.1.4. Сравнение с опубликованными данными 130
8.1.5. Выводы 137
8.2. Марс 138
8.2.1. Введение 138
8.2.2. Постановка задачи 139
8.2.3. Результаты численных расчётов 140
Заключение 143
Список литературы
- Метод расщепления по координатам
- Построение интерполяционных полиномов
- Воздействие сейсмических волн на наземные сооружения
- Слоистая среда с неоднородностью в случае P-волны
Метод расщепления по координатам
В данной главе рассмотрены явные схемы повышенного порядка точности на компактном двухточечном по пространству шаблоне для одномерного линейного уравнения переноса. Автором диссертации проведено их обобщение на двумерный случай (прямоугольные расчётные сетки) с использованием подхода расщепления по координатам. При этом показано существенное влияние используемого метода переноса значений производной решения на отдельном шаге расщепления на итоговый порядок схемы, предложен подход для его сохранения. Приведены результаты тестовых расчётов, показывающие качественное поведение численного решения, а также выполнена численная оценка порядка сходимости схем.
Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных лежит в основе множества сеточных методов и программ для математического моделирования сложных физических явлений. Для обеспечения высокой точности решения при сохранении приемлемой скорости расчётов широко распространены два основных подхода: расширение сеточного шаблона и использование продолженных систем уравнений [64]. Преимуществом второго подхода является отсутствие необходимости искусственной постановки дополнительных условий вблизи границы расчётной области в точках шаблона, выходящих за неё. Он использует дифференциальные следствия исходных уравнений [56, 65-67], что позволяет сохранить шаблон с минимальным количеством точек и обеспечить повышенный порядок точности. Схемы данного вида принято называть компактными [68].
Ранее для гиперболических уравнений были построены компактные схемы, использующие трёхточечные [67, 68] и двухточечные [56, 69] шаблоны по коор 36 динате. В работе [69] с использованием интегральных следствий исходной системы предложена монотонная схема первого порядка по времени и монотонизиро-ванная схема третьего порядка по времени, причём обе схемы имеют четвёртый порядок по координате. В работе [56] четвёртый порядок схемы получен с использованием дифференциального следствия исходной системы. Схема моното-низирована на основе сеточно-характеристического критерия монотонности [70]. В научной группе под руководством Петрова И.Б. на кафедре информатики к.ф.-м.н. Хохловым Н.И. были предложены две компактные схемы (БИС1, БИС2) второго-третьего порядка точности, построенные с использованием интерполяционных полиномов для одномерного линейного уравнения переноса. Схема БИС1 использует сеточно-характеристический критерий монотонности [70], а БИС2 -критерий, основанный на анализе поведения интерполяционных полиномов на выбранном интервале, предложенный Хохловым Н.И. В настоящей работе проведено их обобщение на двумерный и трёхмерный случаи.
По-видимому, впервые схема с использованием полинома третьей степени была предложена в работе [71]. В ней она описана как для линейных, так и для квазилинейных систем гиперболических уравнений и названа CIP (Cubic-Interpolated Pseudo-Particle). В последующих работах схема была обобщена на многомерный случай [72], предложены её усовершенствования [73]. Отметим, однако, что схема CIP без ограничителя демонстрирует немонотонное поведение.
Построим аналогично полиномы второй степени. При этом возможно использование либо значений um-1,um,nm-1 , либо значений um-1,um,nm . Обозначим соответственно искомые полиномы F2l (x) и F2r (x) и запишем их в виде:
Хохловым Н.И. было исследовано поведение построенных интерполяционных полиномов 1-3 степени на интервале интерполяции, и предложены два подхода, основывающиеся на гибридизации схемы CIP (выбора того или иного интерполяционного полинома в зависимости от характера решения), позволяющие добиться от схемы монотонного поведения. В первом случае используется характеристический критерий монотонности условия (2.15) и (2.17), интерполяцию проводим по функции (2.19). Если выполнено (2.15), но не выполнено (2.17), интерполяцию проводим полиномом F3. Если выполнено условие (2.18), интерполяцию проводим полиномом Fx. В случае выполнения условия (2.14) интерполяцию проводим по функции (2.19). Наконец, при выполнении условия (2.16) интерполяцию проводим полиномом Fx. Моното-низированная данным способом одномерная схема получила название БИС2. Анализ результатов численных расчётов с использованием данной схемы показал, что на гладких решениях достигается третий порядок сходимости, а на разрывных решениях отсутствуют нефизические осцилляции.
Построение интерполяционных полиномов
Была численно решена задача о воздействии динамической нагрузки на железобетонное каркасное наземное сооружение, модель которого изображена на Рисунке 4.14. В рамках научного сотрудничества с группой профессора Rakesh Khare (India, Indore) автору были предоставлены данные о типичных характеристиках возводимых в Индии строений (Рисунок 4.15). При этом предел текучести соответствующей марки бетона – 25 Н/мм2, а стали – 415 Н/мм2.
Автором был выбран модифицированный вариант F2 Frame (толщина всех колонн и перекрытий – 0,5 м, содержание стали одинаково – 2,5 %), для которого использовались следующие значения параметров: скорость продольных волн – 5000 м/c, скорость поперечных волн – 2500 м/с, плотность – 2500 кг/м3, предел разрушения равнялся 34,75 Н/мм2 и рассчитывался по формуле:
В качестве начального возмущения использовалась вертикально приложенная к центру третьей слева колонны сила. Импульс имел форму синуса с амплитудой 1012 Н, периодом 0,00015 и длительность 0,0015 с. На Рисунке 4.16 приведены волновые картины в последовательные моменты времени, а на Рисунке 4.17 – места разрушений на основании оценки выполнения критерия Мизеса [88].
Результаты расчётов показывают, как с течением времени возмущение распространяется по колоннам и железобетонным перекрытиям, образуя сложную волновую структуру за счёт переотражения от свободных границ. Также происходит постепенное распространение зоны разрушения строения.
Особый интерес представляет распространенный способ представления информации об очаге землетрясения в виде Beachball plot (сферограммы). Опишем подробно физическую суть данного изображения. Окружим область очага землетрясения сферой некоторого радиуса, достаточного для того, чтобы в начальный момент времени подвижки на всей ее поверхности были равны нулю. В дальней 78 шем в ходе развития процесса будем регистрировать вектор смещения в каждой
точке на нижней половине поверхности сферы, точнее, его проекцию на радиус-вектор, направленный из центра сферы. Как только эта проекция впервые станет отличной от нуля, пометим данную точку символом +, в том случае, если проекция положительна и символом -, если проекция отрицательна. После того, как возмущение распространится за пределы наблюдаемой сферы, у нас получится три класса точек (помеченные +, – и непомеченные). Если спроецировать нижнюю полусферу на плоскость с использованием стереографической проекции и пометить точки, соответствующие различным знакам, разными цветами, то получится Beachball plot для данного землетрясения.
На поверхности Земли располагается множество сейсмоприемников, регистрирующих ее движения и связанных в сейсмические сети. Особое внимание уделяется регистрации первого вступления – тому, как направлено первое ненулевое движение поверхности (от прихода P-волны): от гипоцентра или к нему. Используется специальная процедура, позволяющая восстановить Beachball plot по сейс-мотрассам одного и того же события, записанным на нескольких сейсмостанциях. Отметим, что при численном моделировании значения скорости среды известны в каждой точке среды в последовательные моменты времени, и, следовательно, Beachball plot может быть получена непосредственно из ее определения.
В настоящей работе было проведено прямое моделирование динамических процессов, происходящих в трехмерном геологическом массиве при распространении упругих волн из гипоцентра, моделируемого «подвижкой по разлому». При этом вмещающая среда считалась упругой, однородной и изотропной. Задавались следующие характеристики: плотность среды – 2000 кг/м3, скорость продольной волны – 2000 м/с, скорость поперечной волны – 1300 м/с. В ходе численного моделирования, для построения расчетной Beachball plot, отслеживались значения на нижней половине сферы, окружающей гипоцентр землетрясения и находящейся полностью в упругой среде. Необходимо отметить, что в данном приближении возможно также построение Beachball plot без явного расчёта всех динамических процессов в среде [89]. Для краткости будем называть в дальнейшем данное решение эталонным. Примеры сравнения эталонного решения с результатами численных расчетов приведены на Рисунках 4.18 – 4.21. Неравномерность расположения точек на расчетной Beachball plot обусловлена использованием грубой расчетной сетки и особенностями последующего построения стереографической проекции.
Сравнение эталонной (слева) и расчётной (справа) сферограммы для случая однородного вмещающего массива. Простирание 70, падение 90, уклон Рис. 4.19. Сравнение эталонной (слева) и расчётной (справа) сферограммы для случая однородного вмещающего массива. Простирание 90, падение 20, уклон 80
Сравнение эталонной (слева) и расчётной (справа) сферограммы для случая однородного вмещающего массива. Простирание 90, падение 50, уклон Рис. 4.21. Сравнение эталонной (слева) и расчётной (справа) сферограммы для случая однородного вмещающего массива. Простирание 90, падение 90, уклон 75
Как видно из приведенных иллюстраций, достигается высокая точность воспроизведения эталонного решения при численном расчете. Необходимо отметить, что даже в простейшем случае однородной среды не представляется возможным получить аналитические решение, описывающее распределения напряжений и скоростей в среде как функций координат и времени. Результаты распределения модуля скорости в среде в фиксированный момент времени при численном расчете приведены на Рисунке 4.22. Детальный анализ [78] показывает, что из гипоцентра к поверхности Земли распространяется набор упругих волн: 2 продольные и 2 поперечные, как и в двумерном случае. Поскольку скорость продольных волн существенно выше скорости поперечных волн, постепенно происходит их разделение, и именно продольные волны первыми достигают поверхности. Однако амплитуда поперечных волн оказывается намного больше и именно они приводят к появлению поверхностных волн Релея и Лава [90], которые и вызывают основные разрушения строений. ростирание 90, падение 0, уклон 0 4.4.3. Влияние слоистости вмещающего массива
Одним из преимуществ компьютерного моделирования сейсмической активности является возможность детального анализа характеристик волновых процессов в зависимости от геометрии и параметров вмещающего массива. Поскольку при расчете известны значения скоростей и напряжений в каждой точке упругого тела, для наглядной визуализации результатов удобно использовать трехмерные волновые картины, в которых в каждой точке цветом изображается модуль скорости среды. Однако в полевых экспериментах возможны измерения лишь на поверхности Земли в точках расположения сейсмометров. Эти приборы, как правило, измеряют горизонтальную или вертикальную проекцию вектора скорости или ускорения, и лишь иногда – их полные вектора. По результатам измерений отдельных сейсмометров (сейсмотрасс) строятся обобщенные графики для нескольких приемников, называемые сейсмограммами. По оси ординат в таком случае откладывается время от начала регистрации, возрастающее вертикально вниз.
В настоящей работе было проведено численное моделирование распространения упругого возмущения из очага землетрясения через однородную упругую среду, а также через слоистую упругую среду. Параметры однородной среды: плотность – 2500 кг/м3, скорость продольной волны – 5850 м/с, скорость поперечной волны – 3900 м/с. Слоистая среда состояла из четырех слоев с различными упругими характеристиками, значения которых приведены в Таблице 4.2. Результаты численного моделирования приведены на Рисунке 4.23 (изображено вертикальное сечение) в виде последовательности волновых картин.
Воздействие сейсмических волн на наземные сооружения
Моделированию распространения сейсмических волн в радиально симметричной модели Земли было посвящено множество работ [107 - 110]. Появление высокопроизводительных вычислительных систем позволило также проводить расчёты в моделях, содержащих высокоскоростные неоднородности. В работе [111] было проведено численное моделирование распространения сейсмических волн в трёхмерной модели Земли PREM. Было оценено влияние наличия локальной выпуклости на границе мантия – внешнее ядро на низкочастотную компоненту регистрируемого сигнала. Стоит, однако, отметить, что точность расчётов в работе [111] не сравнивалась с опубликованными ранее результатами, полученными другими методами. В работах [112, 113] были проведены аналогичные расчёты, но в двумерной постановке. Было проведено изучение влияния структуры нижней части мантии на регистрируемый сигнал. В работе [114] предложенный метод расчёта был расширен на случай моделирования SH-волны, распространяющейся в мантии. Исследовалась также частотная зависимость времени прихода низкочастотных S и SS волн при наличии случайно распределённых неоднородностей в верхней части мантии. В работе [115] изучалось влияние на регистрируемый сигнал наличия локального (фиксированной протяжённости) поднятия в мантии, на глубине шестисот километров. Отметим, однако, что в работах [112, 113, 115] рассматривалось распространение волн лишь в мантии, без учёта внешнего ядра Земли. Это обусловлено использованием полярной расчётной сетки, которая сгущается вблизи начала координат и содержит особенность в центре. При этом на границе мантия – внешнее ядро использовалось дополнительное искусственное граничное условие.
Одним из направлений исследований являлась разработка новых методов расчёта волновых полей в упругой модели планеты. В работе [116] был использован метод Direct Solution Method (DSM) [117] для расчёта распространения сейсмиче 122 ских волн в модели IASP91 при наличии скоростных неоднородностей в верхней части мантии. Было показано их влияние на распространение S-волны. Метод Spectral Element Method [21] был применён для моделирования распространения сейсмических волн в радиально симметричной модели Земли в работах [118, 119]. Спектральный метод Чебышева был использован в работе [17] для расчёта распространения волн в радиально симметричной модели Земли в сферических координатах при наличии неоднородностей в верхнем слое мантии. Однако в силу специфики метода, расчётная область была ограничена 80 градусами по обоим углам и 5000 км по радиусу. В работе [120] использовался псевдоспектральный метод для моделирования процессов в неоднородной модели Земли в двумерном случае. Были промоделированы сейсмические процессы вплоть до 5315 км, включая часть внешнего ядра. В дальнейшем, в работе [121] было исследовано влияние наличия случайных скоростных неоднородностей на распространение сейсмических волн. При этом использовалась скоростная модель, построенная по двумерному разрезу Гималайского региона. Существенным ограничением стало использование полярной сетки, имеющей сингулярность в начале координат. Таким образом, отсутствовала возможность моделирования прохождения сейсмических волн через внутреннее ядро. В работе [122] эта проблема была решена, правда лишь для акустического случая. Была предложена разностная схема, позволяющая провести корректный расчёт вблизи центра Земли. Было выполнено моделирование распространения P-волны в двумерной радиально симметричной модели Земли. В работе [123] проведено моделирование распространения сейсмических волн в двумерной модели Земли, содержащей неоднородности, с использованием псевдоспектрального метода Фурье [124]. Проведено сравнение результатов расчёта с волновыми картинами, полученными методом DSM. Для преодоления проблем, связанных с наличием особой точки в центре, была предложена расширенная схема, модифицирующая процедуру расчёта производной вдоль радиуса. В работе [125] с использованием неструктурной треугольной сетки был проведён расчёт распространения сейсмических волн в двумерной радиально симметричной модели Земли с использованием метода Arbitrary high order DERivatives (ADER). Поскольку использование данной сетки снимает проблему с особенностью в центре, в расчёте использовалась полная модель Земли, включающая как внешнее, так и внутреннее ядро. В работе не проводился детальный количественный анализ полученных результатов, представлены лишь качественные картины волновых процессов.
В настоящей работе предложен метод численного моделирования распространения сейсмических волн в гетерогенных средах, предназначенный для расчёта глобальных сейсмических процессов в недрах упругой планеты. Он основан на численном решении определяющей системы уравнений упругого тела сеточно-характеристическим методом на криволинейных структурных расчётных сетках. Использование нескольких контактирующих сеток, покрывающих область моделирования, позволяет преодолеть проблему с расчётом распространения волн через внутреннее ядро без введения искусственных граничных условий. В работе проведена серия расчётов распространения возмущений, заданных в виде локальной расширяющей области и модели очага землетрясения вида «подвижка по разлому», в радиально симметричной слоистой модели Земли в двумерной постановке. Проведено сравнение результатов моделирования с опубликованным результатами других авторов, аналитическим решением и реальной сейсмотрассой землетрясения.
Исследовалось распространение сейсмических волн в пятислойной радиально симметричной двумерной модели Земли. Характеристики слоёв приведены в Таблице 8.1. Зависимости плотности среды и скоростей распространения упругих волн от радиуса были взяты из модели PREM [98].
В качестве начального возмущения использовалось два вида источников: ра-диально расширяющаяся кольцевая область и модель очага землетрясения вида «подвижка по разлому». В первом случае параметрами модели являются: внутренний радиус, внешний радиус, глубина залегания центра и величина начальной скорости среды. Во втором случае параметрами модели являются: геометрия области возмущения и величина начальной скорости среды.
Слоистая среда с неоднородностью в случае P-волны
В ходе численных расчётов были получены значения полного вектора скорости и тензора напряжений в каждом узле расчётной сетки в последовательные моменты времени. По ним были построены волновые картины – 2D и 3D изображения, на которых в цветовой шкале отображены значения модуля скорости в каждой точке среды. На Рисунке 8.17 представлены волновые картины для однородной модели Марса в последовательные моменты времени. Чётко видна сферическая волна, распространяющаяся из глубины к поверхности, а также отражение от неё.
Волновая картина в последовательные моменты времени. Модель Марса, включающая только внутреннее ядро. Центральное сечение
На Рисунке 8.18 приведены волновые картины процесса при использовании модели с внутренним ядром. Поскольку заданная в нём плотность значительно выше, чем в верхнем слое, амплитуда проходящей волны значительно понижается. При этом прослеживаются следующие типы волн: - продольная сферическая волна, распространяющаяся из центра возмущения; - отражённые от дневной поверхности (справа) волны, - поверхностная волна Релея, распространяющаяся вдоль поверхности планеты; - волна, распространяющаяся вдоль границы внешний шаровой слой – внутреннее ядро.
На Рисунке 8.19 приведены волновые картины процесса при использовании модели из работы [132]. При этом прослеживаются следующие типы волн: - поверхностная волна Релея, распространяющаяся по поверхности планеты; - восстановление фронта продольных (более быстрых) волн после прохождения его центральной части через ядро; - искривление фронта поперечных волн при прохождении через ядро (зону пониженного значения скорости поперечных волн). - фокусировку волн в противоположной от возмущения стороне Марса, обусловленную встречей проходящих поперечных волн и волн, отра Рис. 8.19. Волновая картина в последовательные моменты времени. Модель Марса, согласно работе [132]. Изометрия жённых от границы планеты при достижении её продольными волнами.
Важным практическим результатом является разработанный метод компьютерной оценки сейсмостойкости наземных сооружений с использованием предложенной вычислительной механико-математической модели «очаг землетрясения – гетерогенный вмещающий массив». Он позволяет провести прямое моделирование распространения возмущения из гипоцентра землетрясения с учётом разномасштабных пространственных неоднородностей к дневной поверхности и в дальнейшем идентифицировать места инициации разрушений в строении с заданной геометрией.
Вторым важным теоретическим и практическим результатом является возможность проведения компьютерного моделирования глобальной сейсмики планеты с использованием предложенного подхода на структурных расчётных сетках. Указанный подход может быть использован как для уточнения моделей внутренней структуры Земли (упругих параметров среды, положения границ раздела), так и для выработки оптимальной расстановки сейсмодатчиков с учётом реальных ограничений эксперимента (например, при исследовании Марса аппаратом InSight).
Третьим важным результатом является созданная программа Seismograph для визуализации данных численных расчётов процесса сейсмической разведки в гетерогенной среде как в двумерной, так и в трёхмерной постановке, позволяет существенно расширить применимость компьютерного моделирования для реальных экспериментальных задач. С использованием Seismograph становится возможным построение произвольных расчётных сейсмограмм, их качественный и количественный анализ, а также сравнение с результатами полевых экспериментов. Так, автором продемонстрирована возможность получения сейсмического отклика от кластера газо- и флюидонасыщенных трещин в полной трёхмерной постановке.
В настоящее время традиционные источники энергии (нефть и природный газ) остаются важнейшим ресурсом. Активно проводятся исследования по разработке месторождений в осложнённых условиях (глубоко залегающие продуктивные пласты, шельфовые месторождения). В данной области именно компьютерное моделирование может позволить добиться существенных практических и ценных результатов. Оно ускоряет проведение сейсморазведочных работ, снижает их стоимость за счёт уменьшения числа необходимых для проведения полевых работ, повышает точность результатов.
Приведем кратко основные результаты диссертационной работы.
1. Проведено численное решение ряда практически важных задач сейсморазведки: а). рассчитан сейсмический отклик от кластера вертикальных газо- и флюидо- насыщенных трещин в полной трёхмерной постановке; б). изучено влияние наличия пространственных горизонтальных неоднородностей в слоистой среде и возможность их идентификации по сейсмограмме.
2. Доказана возможность определения параметров структуры геологического массива (ориентация трещин и мощности геологических слоёв) на основе решения серии прямых задач.
3. Предложена вычислительная механико-математическая модель «очаг землетрясения – гетерогенный вмещающий массив». Проведена её верификация для случая однородной среды, предложен способ восстановления параметров модели по данным наземных измерений. Числено решен ряд практических задач: а). изучено влияние внутренней структуры среды (слоистость, трещиноватость, наличие полостей) на сейсмический сигнал; б). исследовано воздействие сейсмического возмущения на строения различной геометрии (жилые строения, купольные сооружения, железобетонные каркасные конструкции, плотины, борта карьера).
4. Представлен численный подход к расчёту задач глобальной сейсмики планеты на структурных гексаэдральных сетках. На серии вычислительных экспериментов установлено: а) качественное совпадение с расчётом на треугольных сетках; б) количественное совпадение с аналитическим решением
145 для случая слоистой среды; в) возможность сопоставления с записями реальных землетрясений.
5. Разработана программа Seismograph для визуализации результатов компьютерного моделирования процесса сейсмической разведки в гетерогенных средах как в двумерном, так и в трёхмерном случае.
6. Выполнена адаптация компактных схем повышенного порядка точности для численного решения линейного уравнения переноса на двумерный случай (прямоугольные сетки). Проведено распараллеливание численных алгоритмов с использованием технологии MPI, что позволило выполнить расчёты по оценке порядка сходимости схем за приемлемое время.
Одним из перспективных направлений дальнейшего развития является адаптация компактных сеточно-характеристических схем для решения определяющей системы уравнений упругого тела. Данный подход позволит существенно повысить точность компьютерного моделирования динамических процессов в гетерогенных средах без расширения пространственного шаблона. При этом интерес представляет также расширение подхода продолженных систем уравнений на структурные криволинейные и неструктурированные (треугольные и тетраэдральные) расчётные сетки.
