Введение к работе
Актуальность темы
Задачи распределения температуры вблизи границы раздела сред газ-конденсированная фаза (жидкость, твёрдое тело) актуальны как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Так, вопрос о профиле температуры вблизи металлических образцов малых размеров представляет большой интерес для микроэлектроники, где учет влияния поверхности на распределение температуры становится принципиальным.
Для экспериментальных методик получения и исследования квантовых газов при экстремально низких температурах важно учитывать влияние пограничных эффектов на свойства системы.
С теоретической точки зрения данные задачи интересны прежде всего тем, что они относятся к сложным граничным задачам кинетической теории, и всякий раз требуют для своего решения новых подходов и методов, особенно с учётом сложности задания граничных условий. Попытки приблизить соответствующую аналитическую модель к реальности иногда приводят к непреодолимым трудностями при решении точных уравнений, вынуждая вводить различные предположения и упрощения, рассматривать ограничения или частные случаи.
В данной работе предложены методы численного решения граничных задач кинетической теории задач Смолуховского о температурном скачке и слабом испарении на границе раздела фаз. Цель и задачи исследования
Основной целью данной работы является построение математической модели, описывающей поведение квантовых газов вблизи границы раздела газ-конденсированная фаза для изучения влияния квантовых эффектов на макропараметры исследуемой системіл. При этом для описания кинетических процессов вблизи поверхности используется кинетическое уравнение
Больцмана с модельным интегралом столкновений. Предполагается наличие постоянного потока от или к поверхности раздела фаз.
На пути к поставленной цели основной задачей исследования на первом этапе была разработка численного метода, позволяющего вычислять функцию распределения частиц по скоростям на основании сформулированной системы интегро-дифференциальньгх уравнений, описывающих поведение квантовых ферми-газа, бозе-газа и вырожденного бозе-газа. Следующей задачей было выяснение оптимальных параметров сходимости численного метода решения, не зависимо от входных макропараметров системы, а также нахождение границ исследуемой области с учетом необходимой точности решения. И, наконец, на последнем этапе задача заключалась в построении итерационного алгоритма нахождения решения задачи с учетом ограничений, накладываемых законами сохранения импульса на исследуемую систему. Научная новизна
Существует множество работ, посвященных исследованию граничных задач кинетической теории для квантовых газов. Однако, практически отсутствуют результаты и публикации о построении численных методов для решения задач такого рода. В дайной работе делается попытка заполнить этот пробел. Предлагается математическая модель, описывающая обобщённую и классическую задачи Смолуховского о температурном скачке и слабом испарении иа границе раздела фаз для различных квантовых моделей (ферми-газ, бозе-газ, вырожденный бозе-газ) и разрабатываются численные методы для их эффективного решения. Эффективность и удобство данных подходов заключается в универсальности алгоритмов задания как системы уравнений, описывающих поведение газов, так и граничных условий. Методы исследования
В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается граничная задача для линеаризованного интегро-
дифференциального кинетического уравнения Больцмана для квантовых газов. Граничные условия для рассматриваемой системы вдали от пограничного слоя, называемого слоем Кнудсена, задаются с использованием распределения Чепмена-Энскога, в то время как на стенке граничные условия имеют чисто диффузный характер. Линеаризация уравнения Больцмана проводится относительно абсолютного распределения Ферми (в задаче для ферми-газа), Бозе-Эйнштейна (в задаче для бозе-газа) и Бозе-Эйнштейна с нулевым химическим потенциалом (в задаче для вырожденного бозе-газа). При определении кинетического коэффициента скачка температуры в вырожденном бозе-газе используется определение сопротивления Капицы.
Для рассматриваемого уравнения строится конечно-разностная схема типа Эйлера. Численное интегрирование выполняется при помощи квадратурных формул Симпсона. Сходимость численной итерационной схемы определяется согласно правилу Рунге. При нахождении корней функционалов используется метод Ньютона (метод касательных).
Для численных экспериментов используется ряд алгоритмов, реализованных на языке C++. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков функций осуществлялось с помощью среды Golden Software Grapher. Практическая ценность
Полученные в работе результаты могут послужить отправной точкой дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения описанных методов. Например, молено рассмотреть граничные задачи для электронов в металле при наличии электрического поля, либо задать граничные условия другого рода (например, зеркалыю-диффузные условия отражения Максвелла на границе раздела фаз).
Разработанные численные методы могут быть применены для решения различных граничных задач квантовой теории газов. Программно
реализованные алгоритмы и разработанный комплекс программ может быть использован как будущая основа для программного обеспечения систем управления объектами такого рода. Апробация
Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:
Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» памяти академика А.А. Самарского (Москва 2009 г.).
Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН (2006-2009 г.г.).
Научные семинары кафедры интеллектуальных систем МФТИ (ГУ) (2006-2009 г.г.).
Публикации основных результатов
Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, в том числе в четырёх [1-4] из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ. Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников, включающего 43 наименования. Общий объем диссертации - 99 страниц.
