Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Математическая модель течения. Вычислительный алгоритм 15
1. Описание задачи 15
2. Описание движения газа 17
2.1. Уравнения Навье-Стокса 17
2.2. Моделирование параметров турбулентности 20
2.3. Моделирование перемешивания продуктов сгорания и охлаждающего воздуха 25
3. Постановка краевых условий 25
3.1. Краевые условия на входе в расчетную область 26
3.2. Краевые условия на внешних границах расчетной области и в ее выходном сечении 30
3.3. Краевые условия на твердых стенках 30
4. Разностная сетка 33
4.1. Построение разностной сетки 33
4.2. Определение геометрических характеристик ячеек разностной сетки 34
5. Численное интегрирование уравнений, реализация итерационного процесса 35
5.1. Аппроксимация частных производных 35
5.2. Организация итерационного процесса 38
5.3. Начальное приближение 41
6. Интегральные характеристики устройства 50
Глава 2 Разработанный комплекс программ 52
7. Программная реализация алгоритма решения задачи 52
7.1. Структура расчетной области 52
7.2. Основные программные единицы комплекса 53
8. Визуализация результатов расчётов 55
Глава 3 Результаты проведённых расчётов 57
9. Общая характеристика проведённых расчётов 57
10. Тестовые расчёты 59
10.1. Расчеты на разных сетках 59
10.2. Исследование влияния размеров рассматриваемой области на результаты расчетов 60
10.3. Результаты расчетов при холодных продувках 61
10.4. Зависимости интегральных характеристик от геометрии эжекторного контура 63
11. Исследования реальных течений 66
11.1. Решение поставленной задачи с различными газами в расчетной области 66
11.2. Решение задачи в сильно несимметричном сопле 67
11.3. Решение задачи с «перекрыванием» струи из сопла 68
11.3. Решение задачи с сильно раскрытым эжекторным соплом 69
Глава 4. Иллюстрации и таблицы 70
Заключение 82
Список используемых источников
- Описание движения газа
- Определение геометрических характеристик ячеек разностной сетки
- Начальное приближение
- Основные программные единицы комплекса
Введение к работе
Бурное развитие науки и техники, а особенно вычислительных устройств, придают моделированию сложных физических явлений новый импульс. Это означает, что с помощью современных методов моделирования, подкреплённых развитым аппаратом численных методов решения систем уравнений и всё возрастающими возможностями вычислительной техники, становится возможным предварять изготовление сложных технических устройств и приборов проведением серий численных экспериментов, направленных на выбор оптимальных параметров будущей системы. В результате достигается значимый экономический эффект, поскольку часто изготовление в какой бы то ни было мере действующего образца той или иной машины (экспериментальной модели) обходится в десятки раз дороже, чем построение математической модели и проведение расчётов. Поэтому всякое исследование, посвященное моделированию и изучению течений газа, является актуальным и имеющим безусловное практическое значение.
Согласно существующим представлениям [1],[2], технология численного моделирования в динамике жидкостей и газов включает в себя три тесно связанных между собой основных этапа:
Формулировка математической модели, т.е. выбор системы дифференциальных уравнений с соответствующими начальными и граничными условиями, описывающей рассматриваемое течение.
Разработка численного алгоритма решения сформулированной краевой задачи.
Программная реализация разработанного алгоритма и проведение с помощью вычислительной техники численных исследований (численного эксперимента), направленных на оценку адекватности используемой математической модели физическому процессу, с
одной стороны, и на определение количественных характеристик
этого процесса - с другой.
Общий подход к моделированию течения вязкого многокомпонентного газа при решении различных задач данного направления традиционен. В качестве уравнений модели используют систему осреднённых по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса, (дополненные уравнением перемешивания диффузного типа в случае многокомпонентной среды), которые замыкаются с помощью той или иной модели турбулентности.
Модели турбулентности на начальном этапе исследований были однопараметрическими (модель Прандтля), однако в последнее время используются в основном двухпараметрические модели турбулентности. Все подобные модели являются полуэмпирическими и базируются на экспериментальных данных.
Система осреднённых по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса представляет собой наиболее общую систему уравнений движения вязких газовых смесей в режиме сплошной среды и обеспечивает адекватное описание подавляющего большинства как внутренних, так и внешних течений, имеющих практический интерес. При использовании этой системы для численного моделирования конкретных течений специфика этих течений определяется начальными и граничными условиями, которые несут в себе информацию об особенностях рассматриваемого течения и тем самым позволяют выделить его из всего многообразия течений, описываемых этой системой уравнений. Именно в связи с этим обстоятельством проблема задания граничных условий для системы уравнений Навье-Стокса является одной из центральных проблем вычислительной гидроаэродинамики [3].
Основными типами границ течений являются: твёрдые стенки, ось или плоскость симметрии, «входное» и «выходное» сечения потока (так называемые проницаемые границы).
Твёрдые стенки являются реальными физическими границами потока. Проблеме задания граничных условий на твёрдых стенках посвящено большое число специальных исследований [4]-[6], в которых показано, в частности, что для рассматриваемых в настоящей работе течений вязкой газовой смеси в режиме сплошной среды [7] граничные условия для системы уравнений Навье-Стокса представляют собой макроскопические условия отсутствия динамического скольжения газа на стенке и условия материального и теплового баланса на поверхности раздела газ - твёрдое тело.
Условия на оси (плоскости) симметрии основаны на допущении о том, что если область, в которой исследуется течение, имеет ось или плоскость симметрии и, кроме того, начальные условия, граничные условия на твёрдых стенках и на входе и на выходе также симметричны относительно этой оси (плоскости), то и искомое решение обладает аналогичным свойством. Это значит, что на этой оси (плоскости) выполняются условия
v.=0,
дп где Ф - любая из остальных искомых функций, п - расстояние от оси (плоскости) симметрии, отсчитываемое по направлению внешней нормали к оси (плоскости) симметрии, v„ - проекция скорости на направление
внешней нормали.
«Входная», «боковая» и «выходная» границы области, в которой исследуется течение, также как и ось (плоскость) симметрии, не являются физическими границами потока. Однако если на оси (плоскости)
симметрии характер поведения искомых функций в большинстве случаев ясен из соображений симметрии, то о свойствах потока на проницаемых границах области, как правило, трудно сказать что-либо определённое. В данной работе газовая смесь подаётся в область, в которой проводится исследование течения, из камеры сгорания двигателя и из области набегающего потока, а на выходе из этой области свободно истекает в окружающее пространство. Поэтому при исследовании течения в данной работе параметры потоков, подающихся в рассматриваемое устройство из камеры сгорания и из набегающего потока, считаются известными. На выходной границе области задаются так называемые мягкие условия. Все условия, которые задаются на проницаемых границах области, удовлетворяют двум принципам [3]:
Для соответствия всего численного решения результатам эксперимента необходимо, чтобы имело место соответствие граничных условий во входном сечении потока.
Граничные условия на выходной границе должны предоставлять потоку на этой границе максимально допустимую свободу и в то же время обеспечивать получение искомого решения задачи.
В данной работе исследуется стационарное течение газа. Для нахождения стационарного решения задачи в работе применяется метод установления. Метод установления достаточно активно использовался при расчёте невязких стационарных течений газа. Суть его состоит в использовании для решения стационарной задачи нестационарных уравнений газовой динамики [8]. Для нестационарных уравнений решается краевая задача с граничными условиями, соответствующими граничным условиям стационарной задачи, не зависящими от временной координаты. Искомое стационарное решение получается как предел, к которому стремится нестационарный процесс с ростом времени. Такой приём, хотя и повышает на единицу размерность задачи, тем не менее оправдан. Дело в
том, что исследуемое течение в разных зонах области будет иметь различный (дозвуковой или сверхзвуковой) характер и будет описываться уравнениями смешанного эллиптико - гиперболического типа. Введением же временной координаты задача сводится к решению гиперболических уравнений.
Применительно к расчёту течений невязкого газа метод установления разрабатывался многими авторами, см. например, [9]-[16].
В настоящее время для многих типов вязких газовых течений уже имеются примеры расчётов на основе полной системы уравнений Навье-Стокса (см., например, [17]-[19]). Используемые при этом итерационные конечно-разностные методы можно разделить на несколько основных групп, среди которых выделим две.
1. Полностью явные конечно-разностные методы. Явные методы называются так потому, что значения искомых величин на (п+1) - ой итерации определяются через значения на п - ой итерации напрямую, по явной формуле. Наиболее популярными среди схем этого типа являются различные варианты явной схемы Мак-Кормака [20],[21]. Они, в частности, применяются в работах, посвященных численному моделированию процессов в гиперзвуковых прямоточных воздушно-реактивных двигателях [22]-[24].
Основными достоинствами явных конечно-разностных схем являются их простота и наглядность, отсутствие трудностей при реализации сложных граничных условий, часто встречающихся при расчёте течений реагирующих смесей, а также лёгкость приспособления соответствующих алгоритмов для вычислительной техники с векторными процессами [25].
Вместе с тем, как известно, (см. [2],[3]) при использовании явных конечно-разностных схем на значение шага интегрирования по времени налагается ряд ограничений, диктуемых соображениями устойчивости.
Необходимость выполнения этих ограничений значительно снижает эффективность явных конечно-разностных схем, особенно при расчёте стационарных течений методом установления по времени, когда на временной шаг (в данном случае он рассматривается как итерационный параметр) не накладывается никаких ограничений с точки зрения точности аппроксимации исходных нестационарных дифференциальных уравнений. Поскольку в работе рассматривается именно задача по расчёту стационарного течения с помощью метода установления, использование явных методов было признано нецелесообразным.
2. Неявные разностные схемы. Неявные методы называются так потому, что для того, чтобы определить значения искомых величин на (п+1) - ой итерации, необходимо применять процедуру обращения вспомогательного оператора и применение явной зависимости этих величин от значения величин на п - ой итерации не представляется возможным.
Основные достоинства неявных схем, обусловившие их быстрое и широкое распространение в практике решения разнообразных внешних и внутренних задач динамики вязкого газа, заключаются в следующем. Эти схемы являются высокоустойчивыми и пригодны для расчёта течений в широком диапазоне чисел Маха. Это позволяет в полной мере реализовывать преимущество высокоустойчивых разностных схем, заключающееся в возможности использования произвольных шагов по времени при расчёте стационарных течений методом установления. Следует, однако, иметь в виду, что использование больших значений шагов по времени не всегда обеспечивает наиболее высокую скорость сходимости неявных схем к стационарному решению. Значительно более выгодным может оказаться использование комбинаций малых и больших шагов по времени, обеспечивающих эффективное подавление
соответственно коротковолновых и длинноволновых возмущений решения [26],[27].
Бурное развитие вычислительной техники позволяет решать задачи, учитывающие более тонкие физические эффекты. Работы по исследованию течений газов ведутся многочисленными группами исследователей и для целого ряда устройств. В настоящий момент широко развито направление численного моделирования как внутренних, так и внешних течений газов.
Отметим ряд работ, посвященных исследованию течений газов, сходных с исследуемым в данной работе течением. Это задачи по моделированию течений в газотурбинных двигателях и в осевых турбомашинах. Практика проектирование газотурбинных двигателей ранее в основном использовала одномерные модели [28],[29], а в настоящее время, опираясь на интенсивно растущие возможности и широкую доступность компьютеров, обращается к более сложным пространственным моделям [30].
Особо остановимся на работах, посвященных исследованию течений вязкого газа в проточной части многоступенчатой осевой турбины [17]-[19]. Задача, которая рассматривалась в этих работах, с точки зрения построения моделей и численных алгоритмов имеет много общего с той задачей, которая решается в рамках данной работы. К существенным сложностям при исследовании течения в турбине следует отнести моделирование вдувания охлаждающего воздуха, радиальную симметрию расчётной области, наличие вращающихся частей исследуемого устройства. В рассматриваемой в диссертации задаче такие проблемы отсутствуют. Тем не менее, наличие в исследуемой задаче внутреннего и внешнего течений, необходимость учёта их взаимодействий и принципиальной возможности качественного изменения характера течения в зависимости от геометрических характеристик исследуемой области делает работу актуальной и практически важной.
Данная работа посвящена математическому моделированию течения газа в эжекторном контуре. Эжекторный контур представляет собой систему, состоящую из внутреннего сопла (через него происходит истечение продуктов сгорания компонент топлива) и внешних воздухозаборников (через них к выходу внутреннего сопла поступает газ из набегающего потока). Задача построения модели, описывающей течение газов в таком устройстве, является весьма сложной. Основным фактором, наиболее полно характеризующим сложность решения такой задачи, является тот факт, что в задаче рассматривается внутренне - внешнее течение двухкомпонентной смеси газов. Исследуются реальные газы, т.е. такие газы, что теплофизические параметры их в общем случае могут меняться в зависимости от температуры и давления в той или иной точке расчётной области. Кроме того, устройство, которое находится в расчётной области, обладает рядом определённых геометрических особенностей, которые требуют тщательного разрешения пограничных слоев при исследовании течения газовой смеси. Это диктует с одной стороны необходимость сгущения разностной сетки вблизи жёстких поверхностей, с другой стороны необходимо вводить в уравнения модели различные дополнительные члены, призванные детально описывать физические процессы в пристеночных слоях. Численное решение сходных задач по исследованию течения газа в проточных частях турбомашин показало, что при исследовании процессов подобного рода необходимо учитывать турбулентный характер рассматриваемого течения. Этим продиктован выбор в качестве уравнений математической модели системы уравнений Навье-Стокса, осреднённых по Рейнольдсу, и замкнутой уравнениями полуэмпирической двухпараметрической модели турбулентности. Многочисленные исследования в данном направлении показали оправданность данного шага (см. [17]-[19]).
Рассмотрение в качестве объекта исследования течения двухкомпонентной смеси различных газов (причём различие допускается как по термодинамическим параметрам, так и по параметрам торможения) продиктовало включение в модель уравнения, описывающего перемешивание компонент газа в расчётной области. Это уравнение является уравнением диффузии.
Внутренне-внешнее течение газа в расчётной области, а также использование в качестве уравнений модели системы уравнений Навье-Стокса требует, как уже говорилось выше, тщательной проработки вопроса об условиях на границах расчётной области. Основная проблема в данном случае связана с моделированием набегающего потока. Эта частная задача решается путём использования простейшего двухслойного представления пограничного слоя и применения «закона стенки» (степенная зависимость скорости от расстояния до стенки). Поток, подающийся в сопло, считается турбулентным и характеризуется параметрами торможения и заданными параметрами турбулентности (в данной работе этими параметрами являются интегральный масштаб турбулентности и кинетическая энергия турбулентных пульсаций). Граничные условия на боковых границах расчётной области и в выходном сечении выбираются «мягкими»: требуется обращение в нуль вторых производных параметров по направлению основного движения потока. На жёстких стенках выставляются условия прилипания и отсутствия теплового потока к стенке.
Выше излагались особенности модели, предлагаемой для описания исследуемого течения. Сложность задачи состоит в том, что при интересующих параметрах набегающего потока и струи продуктов сгорания, а также геометрической конфигурацией эжекторного сопла, картина течения является сложной и многообразной. Присутствуют пограничные слои, зоны возвратно - циркуляционных течений, зоны
перемешивания и т.д. Представленный в работе алгоритм позволяет разрешать сложные структуры течений и проводить серии расчётов для самых разнообразных режимов, предельных изменений геометрии рассматриваемого устройства и различных параметров компонент смеси.
Указанный результат достигается путём построения подходящей рассматриваемой задаче разностной сетки, проведения аппроксимаций частных производных, имеющих малую схемную вязкость, и реализации итерационного процесса по поиску стационарного решения задачи с помощью метода установления.
Следует отметить, что алгоритм нахождения численного решения задачи должен позволять организовывать многократные и разносторонние исследования течений при различных входных данных посредством проведения серий численных экспериментов. Для этого был создан программный комплекс, включающий в себя модуль для генерации разностной сетки, модуль для вычисления геометрических характеристик ячеек, модуль, реализующий итерационный процесс для нахождения численного решения задачи, модуль для определения интегральных характеристик исследуемого устройства и модуль для визуализации полученных результатов.
Были проведены две серии расчётов, направленных на исследования параметров течения смеси газов в эжекторном сопле:
Тестирование алгоритма. Цель экспериментов этой серии -определение оптимальных значений параметров модели, оценка влияния включённых в модель факторов, проверка способности алгоритма разрешать сложные картины течения.
Исследование реального сопла. Здесь целю является - рассмотрение различных интересных с точки зрения практического применения течений в эжекторных соплах определённой конфигурации,.
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка используемых источников.
В первой главе приводится математическая постановка задачи, краткое изложение алгоритма построения разностной сетки и вычисления геометрических характеристик расчётных ячеек, особенности аппроксимации частных производных первого порядка, даётся общее описание итерационного алгоритма построения стационарного решения задачи с помощью метода установления, излагается способ определения начального приближения для итерационного процесса, вводятся интегральные характеристики устройства (полная тяга устройства, потери тяги на эжекторном контуре, интегралы сил давления по различным поверхностям).
Вторая глава посвящена особенностям программной реализации алгоритма численного решения поставленной задачи, описанию компонент программного комплекса, способу визуализации полученных результатов.
Третья глава посвящена численным решениям различных задач рассматриваемого класса. Рассматриваются как тестовые расчёты, направленные на определение оптимальных параметров модели и алгоритма поиска численного решения задач, так и исследования реальных течений, результаты которых могут иметь определённый практический интерес. Проводится анализ полученных результатов.
Четвёртая глава содержит рисунки и таблицы, иллюстрирующие различные аспекты диссертации.
В заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертации.
В списке используемых источников приведены названия работ и монографий, на которые в диссертации имеются ссылки.
Описание движения газа
Как уже отмечалось выше, расчётная область содержит зоны, в которых течение имеет существенно различный характер. Это означает, что для описания течений в этих зонах следует варьировать уравнения модели: пренебрегать малосущественными членами, изменять аппроксимации и т.д. Все эти шаги, безусловно, усложнят задачу по реализации алгоритма нахождения численного решения задачи. Поэтому было принято решение использовать во всей расчётной области одни и те же уравнения. При этом предполагается, что мощность вычислительной техники, которая будет использоваться, позволит преодолеть те сложности, которые могли бы быть устранены с помощью варьирования модели.
В качестве уравнений модели выбирается широко известная система дифференциальных уравнений Навье-Стокса. Рассматривается течение равновесной двухкомпонентной смеси продуктов сгорания углеводородного топлива (компонента 1) и воздуха (компонента 2), поступающего в эжекторный контур из окружающего пространства. Для того, чтобы включить в модель турбулентные эффекты, применяется процедура осреднения искомых параметров по времени и представление этих параметров как сумму среднего и пульсационного значений. Указанная процедура носит название осреднения по Рейнольдсу. Трехмерные нестационарные осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса, замыкаемые с помощью модели вихревой вязкости и теплопроводности, для такой среды могут быть записаны в виде (см., например, [3], [31])давление, температура, удельная энтальпия среды и ее теплоемкость при постоянном давлении; R0 - универсальная газовая постоянная; ц, и Cpi , коэффициенты молекулярной вязкости и теплопроводности компонент смеси, где индекс /, равный 1, обозначает переменные, соответствующие продуктам сгорания, индекс і, равный 2, - соответствующие воздуху; у -массовая доля воздуха в смеси; ц и &z - эффективные коэффициенты вязкости и теплопроводности среды, ц и Цт- - коэффициенты молекулярной и турбулентной вязкости, Рг и Ргг - ламинарное и турбулентное числа Прандтля.
Как видно из этих уравнений, эффективные коэффициенты вязкости и теплопроводности смеси представляются в виде суммы молекулярной и турбулентной составляющих. Для того, чтобы определить турбулентные слагаемые, следует использовать модель турбулентности.
Как видно из уравнений модели, представленных в предыдущем пункте, эффективные коэффициенты вязкости и теплопроводности среды Цх и кх представляются в виде сумм молекулярных и турбулентных составляющих. Турбулентные составляющие представляют взаимодействие многочисленных вихрей, передачи энергии от одних вихрей к другим и к частицам ламинарного потока. Необходимое для учёта этих процессов осреднение приводит к рассмотрению двух параметров: кинетической энергии турбулентности к и скорости ее диссипации є, прямо определить которые можно следующим образом (штрихами помечены турбулентные возмущения компонент скорости, угловые скобки означают статистическое усреднение, a v - коэффициент молекулярной кинематической вязкости):
Уравнения, получаемые для этих параметров, являются незамкнутыми. Для замыкания этих уравнений ключевую роль играет гипотеза, связывающая коэффициент турбулентной кинематической вязкости, кинетическую энергию турбулентности и скорость её диссипации [32] :
vr =С— рє где С - эмпирическая постоянная.
Таким образом, семейство к - є моделей содержит в себе модели, отличающиеся друг от друга значениями эмпирических констант и способом описания пристеночных функций [33]-[35]. В общем трёхмерном случае система уравнений такой модели может быть записана в следующем обобщённом виде [36]:
Определение геометрических характеристик ячеек разностной сетки
На основе заданных геометрических параметров эжекторного контура в результате работы алгоритма, описанного в п. 4.1, формируется сеточный файл, содержащий в себе координаты (Nt+1)х(N. +1)х(Nk +1) узлов сетки. Всю расчётную область можно разбить на 5x3x7=105 сеточных блоков, каждый из которых представляет собой параллелепипед, состоящий из ячеек сетки. Для дальнейшего численного интегрирования уравнений математической модели течения газа необходимо для каждой грани между каждой парой ячеек, а также для граней, лежащих на границах расчётной области, определить координаты векторов нормалей. Кроме того, необходимо определить объём каждой ячейки.
Поскольку каждая сеточная ячейка, вообще говоря, не является параллелепипедом, то четыре узла сетки, которые образуют грань ячейки, могут не лежать в одной плоскости. Тем не менее, для проведения расчётов определяется некоторая средняя «нормаль к грани ячейки». Это есть вектор, определяемый как среднее между четырьмя векторами векторными произведениями, построенными на парах векторов, которые образуют четырёхугольник грани ячейки. Направления векторов определяются так, чтобы векторное произведение их являлось внешней нормалью по отношению к ячейке. В случае, если четыре узла (а значит, и грань) лежат на одной плоскости, то определённый таким образом вектор будет равен по величине площади грани и будет направлен по нормали к этой грани.
Объём ячейки определяется из аналогичных соображений. Вычисляется среднее значение между значениями восьми смешанных произведений, каждое из которых строится на тройке векторов, исходящих из каждого из восьми узлов ячейки.
Для нахождения численного решения системы уравнений, которые определяют математическую модель, описывающую течение в эжекторном контуре, на построенной трехмерной расчетной сетке аппроксимируются дифференциальные уравнения и краевые условия, определяющие сформулированную выше краевую задачу.
При аппроксимации различных слагаемых, входящих в систему уравнений Навье - Стокса, дополненную уравнениями модели турбулентности, вначале выделяется группа слагаемых, содержащих пространственные производные второго порядка. Эти слагаемые описывают эффекты вязкости, теплопроводности и диффузии. Конечно-разностная аппроксимация этой части уравнений традиционна, и соответствующие разностные формулы приведены, например, в [3],[54].
Что касается конвективных членов системы уравнений Навье -Стокса, содержащих пространственные производные первого порядка, то при их аппроксимации требуется определенная аккуратность. Это связано с тем, что в случае грубой аппроксимации конвективных членов конечно-разностная схема будет «обладать» дополнительной, схемной вязкостью, что приводит обычно к искажению получаемого решения. Для того чтобы разностная схема обеспечивала (при отсутствии эффектов вязкости и теплопроводности) правильное поведение таких важных параметров потока, как параметры торможения, желательно, чтобы аппроксимация конвективных членов была близка к бездиссипативной аппроксимации.
Для пояснения используемого в работе способа аппроксимации производных первого порядка рассмотрим следующую упрощенную модель. В этой упрощённой модели в исходных уравнениях Навье - Стокса удержаны только две пространственные координаты и пренебрегается вязкостью, теплопроводностью и диффузией. Анализ проведем для малых возмущений и в предположении «замороженных» коэффициентов: др _др _ф _2_ Эи _2_ 3v Л — + и— + \ — + ар — + а р— = 0, dt дх ду дх ду _ди ди ди др _ р — + ри — + pv — + - - = 0, dt дх ду дх _dv dv dv dp p v pu — + pv — + - = 0. dt дх ду ду В этой модели р - давление, и и v - составляющие вектора скорости потока, р - его плотность; a = J-— - адиабатическая скорость звука. V т
Коэффициенты при производных помечены чертой сверху и считаются постоянными. Для дальнейшего анализа представим уравнения этой модели в следующей форме: dt О ад дх ад ду D = E(ud,dx + vd;dy), С=\ад/дх О О ад/ду О О (5.1) Здесь Е - единичная матрица, а величина р = (/?/ яр, и, v)T. Для выполнения условия устойчивости необходимо использовать неотрицательно определенные аппроксимации операторов D и С.
Пусть для простоты сетка является равномерной и ее шаг равен h. Введем следующие разностные производные: Л;/ = (/+1-/)/А, д;/ = (/-/.,)/ , А+2/ = (-/,+2+4Д1-з/;.)//г, Д1/ = (3/,-4/м+/;_2)/А.
Данные формулы представляют аппроксимации первой производной с первым и со вторым порядками точности. Верхний знак «+» соответствует отрицательно определенной аппроксимации, а «-» положительно определенной. Выбор одной из указанных формул в зависимости от знака величины й либо v обеспечивает устойчивую аппроксимацию производных, входящих в D. Заметим также, что использование формул «+» и «-» при аппроксимации оператора (5.1) должно быть таким, чтобы это приводило к антисимметричной матрице, которая не влияет на определенность общей матрицы системы. Такая аппроксимация дает нулевой вклад в схемную диссипацию. Именно это обстоятельство и определило выбор указанной аппроксимации для решения рассматриваемого класса задач.
Начальное приближение
При решении различных задач аэродинамики, как правило, предъявляются повышенные требования к точности получаемых результатов, что приводит к необходимости использовать расчетные сетки с большим количеством узлов. При этом заметно возрастает машинное время, затрачиваемое на получение численного решения. Одним из способов сократить время проведения расчётов является удачный выбор начального приближения для итерационного процесса, описанного в п. 5.
В качестве простейшего варианта начального приближения для указанного итерационного процесса часто выбирают начальное приближение, отвечающее состоянию покоя среды. Это соответствует тому, что в каждой ячейке расчётной области давление и температура полагаются равными своим значениям на бесконечности (р = рх, Т = Гда), компонентам скорости и параметрам турбулентности приписываются нулевые значения (u = v = w = 0, q = = 0). Массовая доля у воздуха в газовой смеси в данной ячейке считается равной нулю, если эта ячейка расположена в следе входного сечения сопла, и равной единице в противном случае. Что касается начальной плотности газовой смеси, то она определяется формулой [уд]+(1_у)д2]7; Будем в дальнейшем это начальное приближение называть простейшим.
Расчёты, проведённые с использованием простейшего начального приближения, показали, как и ожидалось, устойчивую, но медленную сходимость описанного итерационного процесса.
Для сокращения времени проведения расчётов было использовано также начальное приближение, построенное на основе теории квазиодномерного (каналового) приближения (см. [56], [57]). Основная идея этого подхода состоит в следующем. Пусть параметрический параллелепипед, в узлах которого аппроксимируется краевая задача, имеет размеры Nj х Nj х Nk, причем индекс / соответствует направлению основного потока газа в сопле. Расчетная область разбивается на /V. х Nk одномерных трубок переменного сечения. Каждая из таких трубок отличается одна от другой парой индексов (j,k) и состоит из ячеек расчетной области с индексами (i,j,k), где j и к фиксированы, а і пробегает значения от 1 до Nt. При построении начального приближения считается, что течение в каждой выделенной трубке не зависит от течений в соседних трубках. Предполагается также, что в каждом поперечном сечении трубки параметры газа распределены равномерно и скорость направлена вдоль оси трубки. Влиянием вязкости и теплопроводности пренебрегается. Газ во всей трубке полагается совершенным с отношением удельных теплоємкостей к и газовой постоянной R = у/?, + (1 - y)R2.
Массовая доля для каждой трубки (j,k) «сносится» из граничных условий, в случае рассматриваемых течений - это либо 1, либо 0, в зависимости от того, лежит ли ячейка с индексами (/, j, к) во внутреннем сопле, межкорпусном зазоре или в области набегающего потока.
Найдем параметры потока в трубке с индексами (j,к). Первым шагом при этом является определение критического давления рсг, критической плотности рсг и критической скорости Усг по заданным на входе в трубку параметрам торможения р и Т : f 2к K + 1 ( 2 K + 1 r 2 yi ,K + lJ P " v„. = RT\ Pcr = (5.8) 9cr = RT ІК-1
Заметим, что и параметры торможения, и критические параметры для каждой выбранной трубки будут своими, т.е. зависят от индексов (j,k). В рассматриваемом разделе эти индексы будут опущены, исключая случаи, где их присутствие необходимо.
Максимальный расход газа в трубке, который может быть реализован при заданных параметрах торможения р , Т , равен Gcr = pcrVcrScr. В последней формуле Scr - площадь поперечного сечения трубки в ее самом узком месте, т.е. Scr = min SiJk, где SjJk - площадь сечения ячейки с индексами (/ , j, к) сеточной плоскостью / = const (что приближенно соответствует плоскости х = х. = const).
Определим еще четыре константы, которые будут играть важную роль при дальнейшем описании алгоритма.
Обозначим через pexil и Sexit внешнее давление газа на выходе из трубки и площадь выходного сечения трубки соответственно. Рассмотрим следующее уравнение относительно р: G.YfV 2 "" Ґ к к р \р ) = 0. к-1 к (5.9) \ exit J К-1 /7 ) К-1 Это уравнение на интервале от р є \0,р) имеет два положительных корня, которые обозначим как рх и р2. Полученные таким образом две константы рх и р2 удовлетворяют неравенству 0 рх р2 р .
Основные программные единицы комплекса
Изложенный выше алгоритм нахождения численного решения задачи был реализован как часть программного комплекса. Весь программный комплекс, предназначенный для определения численного решения поставленной задачи в случае задания конкретных параметров поступающих в расчётную область потоков и определённых геометрических характеристик эжекторного контура, визуализации результатов, а также вычислений интегральных характеристик, может быть достаточно легко настроен на решение и других аналогичных задач и состоит из следующих модулей: Ggjet.exe - модуль для построения разностной сетки; в качестве входной информации выступает файл с геометрическими характеристиками устройства; выходной файл - файл с координатами узлов сетки; Cldjet.exe - модуль для определения геометрических свойств ячеек сетки (построение векторов нормали для граней ячеек сетки, объемов ячеек); входной файл - файл с координатами узлов сетки; выходной файл - файл с геометрическими свойствами ячеек, Slvjet.exe - модуль для нахождения численного решения задачи; входные файлы - файл с геометрическими свойствами ячеек, файл с информацией о физических свойствах газов; выходной файл - файл с расчетными значениями искомых величин в ячейках сетки; Cnvjet.exe - модуль для интерполяции значений искомых величин на узлы сетки, вычисления интегральных характеристики; входные файлы - файл с расчетными значениями искомых величин, файл с координатами узлов сетки; выходные файлы - файл со значениями искомых величин в узлах сетки, файл с рассчитанными интегральными характеристиками; Win3dp.exe - модуль, предназначенный для построения графиков, изолиний и картин полей рассчитанных искомых величин; входная информация - файл со значениями искомых величин в узлах сетки.
В качестве управляющих параметров выступают: Газодинамические Для газа - продукта сгорания в сопле: Газовая постоянная, Зависимость теплоемкости Ср(Т)от температуры; Для газа в набегающем потоке: Газовая постоянная, Зависимость теплоемкости Ср(Т)от температуры; Параметры невозмущенной среды Скорость, давление и температура газа вдали от обтекаемого тела, Кинетическая энергия турбулентных пульсаций в набегающем потоке; Параметры для расчетов пограничных слоев Толщина пограничного слоя на корпусе устройства, Коэффициент восстановления для температуры корпуса; Параметры струи из сопла Давление торможения и температура торможения потока в начальном сечении сопла (плоскость х=Х0), Интегральный масштаб турбулентности и кинетическая энергия турбулентных пульсаций в начальном сечении сопла.
Все входные параметры содержатся в одном файле постоянной структуры и передаются в качестве входных параметров модулю slvjet.exe.
В ходе решения задачи определяются характеристики потока, относящиеся к ячейкам сеточного объёма. Для практического же использования результатов решения задачи необходим переход от значений величины в центрах ячеек к значениям величины в узлах сетки. Для этого предполагается, что значения, приписываемые ячейкам сеточного объёма, соответствуют точке с координатами - средними значениями координат восьми узлов, которые образуют ячейку. Затем для каждого из узлов разностной сетки значения каждой из искомых величин определяются как средневзвешенные значения соответствующих величин из восьми центров ячеек, у которых этот узел разностной сетки входит в число узлов, образующих ячейку:
