Введение к работе
Актуальность темы. На протяжении XVII-XX столетий основное внимание научного сообщества было обращено на построение различных моделей в физике. В середине XX столетия акценты стали смещаться, и все большее и большее внимание стали уделять задачам моделирования экологических, биологических, экономических процессов.
В разработке математических моделей различных процессов экологии, биологии, демографии и экономики большую роль сыграли Арнольд В. И., Биркгоф Д., Вольтерра В., Глушко В. П., Зельдович Я. Б., Иваницкий М. Ф., Колмогоров А. Н., Логофет Д. О., ЛоткаА., Мари Г., Меншуткин В. Е>., Моисеев Н. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С, Пригожий: И. Р., Пу Т., Самарский А. А., Свирежев Ю. М. и др.
В настоящее время имеется большое число математических моделей, описывающих различные модели экологии, географии и экономики. Важное место среди hvix занимают нелинейные диссипативные модели, описывающие большое число различных процессов экологии, экономики, демографии. Многим из этих моделей, в частности модели Хотеллинга-Скеллама, присущи следующие недостатки:
в результате моделирования получаются решения, не соответствующие поставленной задаче;
отсутствуют общие методы нахождения стационарного решения;
отсутствуют общие критерии устойчивости решения.
В данной работе предложены методы решения этих проблем, что определяет ее актуальность.
Цель работы. Работа посвящена исследованию и обобщению ряда математических нелинейных диссипативных моделей экологии, демографии и экономики, построению численных методов нахождения стационарных решений нелинейных диссипативных моделей, исследованию устойчивости решений и их экономической, экологической интерпретации.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
Построены и обоснованы нелинейные модели экологических сообществ, демографических процессов, некоторых процессов экономики.
Построены приближенные методы нахождения стационарных решений для рассматриваемых моделей.
Исследована устойчивость решений дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих демографические, экологические и экономические процессы.
Предложены методы трассировки путей коммуникаций для неоднородной территории.
Дана программная реализация полученных алгоритмов.
Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, обобщенных по Векуа функций, разностных схем, итерационных процессов, теории приближения функций, теории устойчивости, теории графов и оптимизации.
Научная новизна работы состоит в следующем:
- предложены новые и модифицированы известные нелинейные модели
экологии, демографии и экономики, позволяющие получать решения,
отвечающие поставленным задачам;
предложены приближенные методы нахождения стационарных решений для моделей типа Хотеллинга-Скеллама, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных;
исследована устойчивость решений нелинейных диссипативных моделей;
- предложены методы трассировки коммуникаций на неоднородной
территории;
- разработаны следующие программы: программа, реализующая
итерационный метод решения систем нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных; программа трассировки коммуникаций
для неоднородной территории.
Теоретическая и практическая ценность работы. Теоретически ценность заключается в следующем:
предложены отвечающие «физической постановке» модели ряда нелиенйных диссипативных процессов, обобщающих модель. Хотеллинга-Скеллама и другие диффузионные модели;
предложены приближенные методы нахождения стационарньк решений нелинейных диссипативных моделей;
предложен метод исследования устойчивости динамических систем;
4) предложен квазиоптимальный метод трассировки.
Практическая ценность заключается в следующем:
построены легко реализуемые на практике критерии устойчивости решений нелинейных разностных схем, аппроксимирующих демографические, экологические и экономические процессы;
программно реализованы два метода нахождения стационарных решений в моделях типа Хотеллинга-Скеллама, мультипликатора-акселератора;
3) программно реализованы эффективные методы трассировки.
На защиту выносятся следующие положения:
Нелинейные диссипативные модели развития экологических, демографических и экономических процессов, решения которых соответствуют предметным областям.
Методы нахождения стационарных решений в нелинейных диссипативных пространственных моделях демографии и экономики (в частности, в моделях типа Хотеллинга-Скеллама).
Критерии устойчивости по Ляпунову решений уравнений, описывающих нелинейные диссипативные модели.
Квазиоптимальный метод трассировки систем коммуникаций.
Способ построения модели развития инфраструктуры региона.
Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались:
на научно-технической конференции «Безопасность информационных технологий» (г. Пенза, декабрь 2002 г.);
на «Всероссийской школе по структурной макрокинетике - 2004» (г. Черноголовка, Московская область, ноябрь 2004 г.);
на VI Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 12-14 мая 2004 г.);
на конференции «Проблемы качества, безопасности и диагностики в условиях информационного общества» (г. Сочи, 1-10 октября 2005 г.);
на первой Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, 14-15 сентября 2006 г.);
на семинаре профессора Е. В. Воскресенского (Институт прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева, 15 ноября 2006 г.);
на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Пензенского государственного университета (2003-2006).
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 7 статей.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитируемой литературы и приложений, изложена на 228 страницах (в том числе 115 страниц текстовой части, 17 страниц списка литературы, 60 страниц приложений). Список литературы к диссертации содержит 141 наименование.
