Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов исследования периодически нестационарных систем и систем с распределенными параметрами 8
1.1 Системы с распределенными параметрами 8
1.1.1 Метод Рэлея - Ритца 11
1.1.2 Методы взвешенной невязки 15
1.1.3 Формулировка метода конечных элементов (МКЭ) 18
1.2 Методы исследования периодически нестационарных систем 24
1.2.1 Спектральный метод 30
1.2.2 Метод приведения 36
1.3 Постановка задачи 41
1.4 Выводы к главе 1 44
Глава 2. Частотные модели систем с распределенными параметрами 45
2.1 Введение 45
2.2 Применение цифрового моделирования к системам с пространственными координатами 48
2.3 Структурные модели 51
2.3.1 Механическая система 51
2.3.2 Электрическая система 53
2.4 Частотные модели 54
2.4.1 Механическая система 54
2.4.2 Электрическая система 58
2.5 Вычислительный эксперимент 62
2.5.1 Расчет вала методом конечных элементов (МКЭ) 62
2.5.2 Точное решение задачи 65
2.5.3 Цифровое моделирование задачи 66
2.5.4 Точное решение задачи с одним защемленным концом 68
2.5.5 Цифровое моделирование задачи с одним защемленным концом 69
2.6 Сравнительный анализ конечномерных приближений 71
2.7 Прикладная задача: расчет балки Тимошенко 73
2.7.1 Окончательные уравнения отклика 73
2.7.2 Проблемы собственных значений решений балки Тимошенко с различными граничными условиями 77
2.7.3 Вычислительный эксперимент: балка со свободными концами 78
2.7.4 Вычислительный эксперимент: балка с одним защемленным концом 81
2.8 Выводы к главе 2 83
Глава 3. Параметрический резонанс в системах с распределенными параметрами 84
3.1 Расчет условий возбуждения параметрических колебаний в системах с сосредоточенными параметрами 84
3.2 Расчет условий возбуждения параметрических колебаний в системах с распределенными параметрами 88
3.2.1 Особенность параметрического возбуждения систем с распределенными параметрами. Модификация метода стационаризации 88
3.2.2 Особенность численного моделирования систем с распределенными параметрами 90
3.2.3 Пример расчета периодически нестационарной системы с распределенными параметрами 92
3.3 Выводы к главе 3 96
Глава 4. Расчет прикладных задач 97
4.1 Система управления роботом-манипулятором 97
4.1.1 Постановка задачи 97
4.1.2 Моделирование упругого вала 100
4.1.3 Расчет условий параметрического резонанса 101
4.2 Электромеханический преобразователь 106
4.2.1 Описание электрических машин 108
4.2.2 Линеаризация и стационарное описание электрического преобразователя при малой электрической постоянной двигателя 111
4.2.3 Анализ системы с учетом электрической постоянной двигателя .117
4.2.4 Моделирование распределенной нагрузки (длинной линии) и расчет условий возбуждения параметрического резонанса 124
4.3 Выводы к главе 4 133
Глава 5. Заключение 134
Глава 6. Приложение 136
- Методы исследования периодически нестационарных систем
- Расчет вала методом конечных элементов (МКЭ)
- Особенность параметрического возбуждения систем с распределенными параметрами. Модификация метода стационаризации
- Линеаризация и стационарное описание электрического преобразователя при малой электрической постоянной двигателя
Введение к работе
Актуальность темы. Периодически нестационарные динамические системы с распределенными параметрами широко используются в технике управления, электротехнике, электромеханике, механике, тепло-, гидро-, газодинамике, радиофизике и в других областях. Примером подобных систем служит система управления координатой робота-манипулятора, в которой периодически нестационарным звеном является МДМ (Модуляция-Демодуляция) усилитель, а звеном с распределенными параметрами служит упругий вал привода схвата. Другим примером периодически нестационарной системы с распределенными параметрами является электромашинный преобразователь энергии, содержащий двигатель постоянного тока и синхронный генератор. В этой системе периодически изменяющимся со временем звеном служит взаимная индуктивность обмоток статора и ротора синхронного генератора, а нагрузкой генератора служит — длинная линия — звено с распределенными параметрами.
Задачи тепло-, гидро-, газодинамики описываются, как правило, нелинейными уравнениями в частных производных, т.е. представляют собой сложные нелинейные динамические системы с распределенными параметрами. Как известно задача устойчивости периодических движений в подобных системах сводится к решению периодически нестационарных систем с распределенными параметрами.
Задачами расчета периодически нестационарных систем и систем с распределенными параметрами занимались крупные ученые: Г. Хилл[14], А. М. Ляпунов [37], В.В. Болотин [10], Н. Н. Боголюбов [9], К.Г. Валеев [14], Е. Н.
Розенвассер [50], В. Н. Челомей [60], С. В. Челомей [61, 62], Л. Д. Акуленко [4,
5], B.A. Якубович [69-70], И. Н. Фомин [58], Ф. Д. Байрамов [7], М. Я. Израилович [27, 28], С. В. Крысов [32], А. И. Весницкий [15-21], А. П. Сейранян [39-41,51,52,95], М. Я. Леонов [34], М. Л. Левинштейн [33], Д. Ю. Скубов [55], Л. Б. Рапопорт [48], В. А. Тафт [56,57], С. А. Агафонов [1-3], Г. Шмидт [68], С.Л. Чечурин [8,24-26,29, 45-47, 49, 64-66, 96-98], С. S. Hsu [83], Т. Iwatsubo [85], К. Okumura [92], W. К. Tso [103], R. Gryhos [80], Т. A. Kotera [86] и многие другие. Процессы и решения периодически нестационарных систем с распределенными параметрами необычайно сложны, так что точные аналитические решения существуют лишь в редких простейших случаях. Таким образом, задачи исследований, поставленные в диссертационной работе, являются актуальными.
Цель исследования. Цель диссертации заключается в разработке приближенного метода расчета колебаний периодически нестационарных систем с распределенными параметрами.
Методы исследования. Поставленная цель достигается следующими путями: использованием частотных характеристик для анализа периодически нестационарных систем с распределенными параметрами (ПНСРП); выбором цифрового моделирования звеньев с распределенными параметрами; использованием прямого и обратного Z-преобразований для получения частотных характеристик звеньев с распределенными параметрами;
4) модификацией одночастотного метода стационаризации. Основные научные результаты.
1) Разработана методика расчета частотных характеристик звеньев с распределенными параметрами.
Получены частотные модели и определены условия возбуждения параметрических колебаний в периодических нестационарных системах с распределенными параметрами.
Найдены решения прикладных задач механики, электромеханики и управления.
Достоверность результатов. Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается рамками одночастотного приближения; существующими точными решениями задач; численным методом конечных элементов; вычислительным экспериментом; экспериментальными наблюдениями; в решениях прикладных задач.
Научная новизна. В диссертации впервые сформулирована методика расчета частотных характеристик на основе цифрового моделирования. На базе модифицированного в работе известного метода одночастотной стационаризации получены новые условия возбуждения параметрических колебаний в периодических нестационарных системах с распределенными параметрами.
Практическая ценность. Практическая ценность результатов работы заключается в простоте получения решений прикладных задач. Большую практическую значимость представляет полученная в работе возможность использования в расчетах экспериментальных частотных характеристик.
Наконец, самостоятельную практическую ценность составляют полученные решения прикладных задач: расчет колебаний балки Тимошенко, расчет систем управления роботом-манипулятором и электромашинного преобразователя.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы опубликованы в 5 печатных трудах [35, 36, 87, 88, 98] и обсуждались на семинарах «Моделирование и управление» в СПбГПУ, на международных конференциях «АРМ-2002» (20-24 июня 2002, С-Петербург) и Physics and Control '2003 (22-24 августа 2003, С-Петербург).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и литературы из 105 наименований. Полный объем диссертации - 150 страниц, включая 71 рисунок и 7 таблиц.
Методы исследования периодически нестационарных систем
В диссертации рассматривается устойчивость (или неустойчивость) нестационарных систем с распределенными параметрами. В отличие от вынужденных колебаний параметрически возбуждаемые (параметрические) колебания поддерживаются за счет изменения параметров системы. Наиболее часто встречаются колебания с периодическим параметрическим возбуждением, которые описываются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами.
Параметрические колебания часто встречаются в задачах динамики механизмов и машин. Вал, сечение которого имеет неодинаковые главные жесткости при изгибе, может испытывать незатухающие поперечные колебания даже в том случае, когда он полностью уравновешен. Причиной поперечных колебаний является периодическое (при постоянной угловой скорости) изменение изгибных жесткостей относительно неподвижных осей. В неподвижной системе координат поперечные колебания вала описываются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Если использовать координатную систему, которая вращается вместе с валом, то придем к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Поэтому в данном примере изгибные колебания можно трактовать и как параметрически возбуждаемые колебания, и как автоколебания. Вал может совершать поперечные колебания только в одной плоскости, причиной которых является периодическое изменение изгибной жесткости вала в этой плоскости. Примером системы с периодически изменяющейся приведенной массой служит шатунно-кривошипный механизм. Параметрическое возбуждение колебаний возможно во многих системах, где движение передается через упруго деформируемые звенья, например, в спарниковой передаче в локомотивах.
Большая часть задач параметрических колебаний упругих систем связана с теорией упругой устойчивости. Одной из типичных задач является задача о поперечных колебаниях стержня [9], находящегося под воздействием продольных периодических сил (см. рис. 1.2.1 (а)). При такой нагрузке имеют место продольные колебания. Однако при определенных соотношениях между частотой внешней силы и собственными частотами стержня прямолинейная форма может оказаться динамически неустойчивой: малые поперечные возмущения влекут за собой интенсивные поперечные колебания. На рис. 1.2.1 (б) приведено подобное механическое круговое кольцо, нагруженное равномерно распределенной радиальной периодической во времени нагрузкой [22]. На практике одной из классических примеров параметрической изменяющейся жесткости является колебания в спарнике электровоза [38]. Изменение жесткости в зависимости от угла а схематически изображено на рис. 1.2.1 (в).
Исследование устойчивости периодических движений в нелинейных системах, как правило, также приводит к линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. Применительно к конкретным физическим и техническим объектам неустойчивость невозмущенных движений обычно может быть истолкована как параметрическое возбуждение колебаний (и наоборот). Некоторые из рассмотренных выше примеров также можно интерпретировать как неустойчивость установившихся периодических движений. В заключение назовем основные методы расчета параметрических систем. Более подробный обзор методов расчета нестационарных систем можно найти в работах [56, 69].
Теория динамических систем с переменными параметрами возникла еще в конце прошлого столетия, но широкое развитие и применение получила в связи с общим прогрессом техники, и в частности автоматики и радиоэлектроники. В последнее десятилетие достигнуты значительные успехи в математическом анализе нестационарных систем, методы которого можно разделить на две группы: временные методы и методы функциональных преобразований.
К первой группе относятся методы Ляпунова и качественные методы исследования дифференциальных уравнений [69], асимптотические методы [9] и методы усреднения [23]. Возможности практического применения этих методов остаются ограниченными за исключением некоторых случаев. Более универсальными являются методы функциональных преобразований, так как в отдельных случаях они позволяют преодолеть вычислительные трудности и опираются на спектральные свойства систем, которые имеют физическую интерпретацию. С этим связано интенсивное развитие методов, основанных на преобразованиях Фурье и Лапласа. В этой группе выделяются метод параметрической передаточной функции, метод производящих функций и спектральный метод. Первый связан с введением понятия параметрической передаточной функции W(p,t), зависящей от оператора преобразования и параметра [50, 53, 54]. При этом задача сводится к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Метод производящих функций [67] приводит задачу к решению линейного интегрального уравнения с ядром, являющимся дробно-рациональной функцией оператора преобразования. Метод позволяет исследовать линейные системы, одновременно содержащие непрерывно и дискретно модулированные сигналы. Спектральные методы, в основе которых лежит метод Хилла [10, 14, 56, 57, 78], применяются для систем с непрерывно изменяющимся параметром, если возможна аппроксимация параметра конечными или бесконечными абсолютно сходящимися рядами тригонометрических или экспоненциальных функций. Начало этого направления исследований связано с изучением уравнений Матье и Хилла.
Расчет вала методом конечных элементов (МКЭ)
На рис. 3.2.4 изображена структурная схема периодически нестационарной линейной динамической системы с распределенными параметрами. Как показано на рисунке, при наличии периодического нестационарного элемента существует возможность параметрического резонанса. В отличие от линейных систем с сосредоточенными параметрами с небольшим числом степеней свободы, системы с распределенными параметрами описываются многорезонансными частотными характеристиками. Кроме того, одной из сложных задач, связанных с исследованием систем с распределенными параметрами, является численное моделирование. Численное моделирование систем с распределенными параметрами представляет собой самостоятельную сложную проблему, выходящую за рамки настоящей диссертации.
В рамках настоящей работы возникает необходимость сравнительной оценки результатов расчета конкретных задач с результатами численного моделирования. Так как стандартные программы численного моделирования (типа SIMULINK и др.) не содержат блоков, описываемых уравнениями в частных производных, в работе этот вопрос ограничивается выбором одного из приемлемых методов моделирования блоков с распределенными параметрами, совместимых со стандартом.
Рассмотрим несколько методов численного моделирования. Как уже упоминалось, хорошее решение задачи численного моделирования систем с распределенными параметрами доставляет метод конечных элементов, который в равной степени позволяет получать как частотные, так и переходные характеристики. С целью сравнительной оценки полученных результатов в работе в целях иллюстрации используется метод конечных элементов.
В теории автоматического управления часто используют модели систем с распределенными параметрами в виде блоков чистого запаздывания. Вопрос о точности этого приближения остается открытым, и в работе этот прием не используется. В работе для иллюстрации результатов расчета электромеханического преобразователя используется моделирование отдельных мод с помощью передаточной функции второго порядка.
Разумеется, для целей численного моделирования можно использовать стандартный путь перехода от полученных в работе частотных характеристик к переходным характеристикам с помощью обратного преобразования Фурье, что требует определенного программного обеспечения. В этом отношении использование метода МКЭ представляется предпочтительным.
Пример расчета периодически нестационарной системы с распределенными параметрами. Рассмотрим простой пример расчета периодически нестационарной системы с распределенными параметрами. Распределенным элементом служит (3.2.5) погонные сопротивление, электрическая длинная линия, рассмотренная в главе 2. Известно, что реальные динамические системы с распределенными параметрами, используемые в технике, часто не имеют точных описаний. С другой стороны, вносимое со стороны распределенных элементов запаздывание придает системе бесконечный порядок. Поэтому использование дискретных методов моделирования требует от инженеров большого напряжения.
В то же время даже самая простая линейная динамическая система с периодически изменяющимися во времени параметрами, часто имея множество решений, не имеет точных решений. Традиционная теория управления вообще игнорирует распределенные и нестационарные элементы, вводя усреднение параметров и среднее запаздывание, тем самим пропускаются случаи потери устойчивости рассматриваемых систем из-за возбуждения параметрических резонансов. В этой главе исследуются параметрические резонансы в двух системах с распределенными параметрами, т.е. система управления роботом-манипулятором и электромеханический преобразователь.
Особенность параметрического возбуждения систем с распределенными параметрами. Модификация метода стационаризации
Таким образом, условия возбуждения параметрического резонанса иллюстрируются в следящей системе при рассмотрении распределенных параметров вала. Показано, что корректор ПДР, обычно используемый для коррекции сосредоточенной системы, может приводить к потере устойчивости системы из-за возбуждения параметрического резонанса при периодическом изменении параметра - МДМ усилителя. Кроме того, пренебрежение распределенностью параметров для простоты расчетов может пропустить потерю устойчивости равновесия системы.
В следующем разделе рассматривается более сложная система электромеханического преобразователя. В этом разделе также получены условия первого параметрического резонанса при наличии распределенных параметров.
Рассматривается работа системы «двигатель-генератор» на сеть с различными типами нагрузки, показанной на рис. 4.2.1. Генератором служит синхронная электрическая машина. Обычно в качестве двигателя используют мощную гидро- или паротурбину, двигатель внутреннего сгорания. В настоящей работе роль двигателя играет электрическая машина постоянного тока. Подобными электромеханическими системами являются, в частности, корабельные преобразователи постоянного тока аккумуляторных батарей в переменный ток, потребляемый сетью.
Известно, что коэффициент взаимной индукции обмоток якоря и статора явнополюсного синхронного генератора является периодической функцией угла, определяющего положение ротора относительно статора, причем частота изменения этого коэффициента равна удвоенной частоте вращения ротора (в однополюсной машине). Это позволяет предполагать, что при определенной комбинации параметров системы и цепи нагрузки в системе может возникнуть параметрический резонанс, который проявится в нарастающих колебаниях частоты вращения ротора относительно номинального значения (обычно, 3000 об/мин). Так, в работах М.Л.Левинштейна [33] и других проведено обстоятельное математическое и экспериментальное исследование явления параметрического резонанса при работе синхронной машины (без двигателя) на емкостную (как сосредоточенную, так и распределенную) нагрузку. Как известно, наиболее точно описывают протекающие в электромеханических системах процессы нестационарные и нелинейные дифференциальные уравнения [13, 30]. Задача определения и анализа устойчивости периодических движений в этих системах асимптотическими или качественными методами относится к классу фундаментальных проблем и требует весьма высокой математической квалификации [55]. Особенность явнополюсных синхронных машин заключается в периодической нестационарности их моделей. В общем случае решение таких уравнений в замкнутой форме построить нельзя, хотя в некоторых случаях удается построить преобразование координат, сводящее нестационарную систему к стационарной (для рассматриваемого случая известно преобразование Горева Парка). Однако эти случаи не охватывают всего многообразия режимов, возникающих в периодически нестационарных системах при учете нелинейности некоторых характеристик, при несимметричности режимов и т.п. Отметим, что стремление получить точное решение не всегда оправдано, так как значения многих параметров вряд ли будут известны точно. Вот почему в исследовании этих систем эффективным является использование приближенных методов. Используемый в работе метод первой гармоники [65] не ограничивается каким-либо порядком уравнения и имеет геометрическую и физическую интерпретацию. Таким образом, особенностями данной работы являются применение метода частотного анализа для определения условий неустойчивости рассматриваемой электромеханической системы, исследование совместной работы двигателя и генератора при работе как на сосредоточенную, так и распределенную нагрузку.
Рассмотрим систему «двигатель-генератор», изображенную на рис. 4.2.1. В рамках предположения об однофазности синхронной электрической машины (генератора), нетрудно выписать систему уравнений, связывающую введенные переменные: где приняты следующие обозначения параметров: J — момент инерции вала и роторов системы «двигатель-генератор»; а — угол поворота вала; См — электромеханическая постоянная двигателя; Се - электрическая постоянная двигателя; М- взаимная индуктивность обмоток статора и якоря генератора; Zn - комплексное сопротивление нагрузки (импеданс); / - ток статора генератора. Изменение взаимного расположения обмоток статора и якоря, вызванное вращением последнего, очевидно, отражается в том, что М необходимо считать периодической функцией времени.
Линеаризация и стационарное описание электрического преобразователя при малой электрической постоянной двигателя
Расчет показывает, что первый параметрический резонанс возможен в окрестностях первых резонансных частот: до 5.91; от 151.06 до 151.49; от 302.99 до 303.19; от 455.20 до 455.30 рад/с. Наибольший интерес представляет третий резонанс, т.к. он находится в непосредственной близости от номинальной частоты вращения 300 рад/с. Программа нахождения частот параметрического резонанса с помощью центральной окружности дается в Приложении 2.
Частотные характеристики системы изменяются в зависимости от длины линии. На рис. 4.2.11 приведены частоты возбуждения первого параметрического резонанса в соответствии с длиной электрической линией.
Из рис. 4.2.11 видно, что в данном случае возникают параметрические колебания при следующих длинах : 170м(вторая мода), 250м (третья мода), 310м (четвертая мода), 360м (пятая мода) и т.п. Для численного построения переходных характеристик выбран простейший путь разбиения АЧХ на отдельные моды. Стационарную часть W(jQ/2) из уравнения (4.2.28) можно переписать как В случае, когда передаточная функция нагрузки не является дробно-рациональным выражениям, применение стандартного интерфейса SIMULINK невозможно. Однако для того чтобы наблюдать установившуюся картину одночастотного параметрического резонанса, нет необходимости использовать передаточную функцию (4.2.33) в точности, достаточно воспользоваться ее аппроксимацией в интересующем нас диапазоне частот. Для проведения численного эксперимента использовались стандартные инструменты интегрирования заданных в форме блок-схем дифференциальных уравнений SIMULINK (см. рис. 4.2.12). 1. Проведен расчет условий возбуждения параметрического резонанса в системе управления одной координатой робота-манипулятора. Периодически нестационарным элементом является МДМ-усилитель, а элементом с распределенными параметрами - упругий вал схвата. 2. Показана недопустимость замены в расчетах упругого вала на жесткий, так как при этом пропускается потеря устойчивости равновесия. 3. Проведен расчет системы электромеханического преобразователя, содержащего двигатель постоянного тока и синхронный генератор, работающий на разнообразные нагрузки, включая длинную линию электроснабжения. 4. Составлены нелинейные дифференциальные уравнения поведения системы. Задача устойчивости вращения преобразователя сводится к расчету периодически нестационарной системы с распределенными параметрами, описываемой уравнениями в приращениях. Периодически нестационарным элементом в системе служит меняющаяся во времени индуктивность обмоток статора синхронного генератора. 5. Получены условия потери устойчивости вращения преобразователя за счет возбуждения параметрического резонанса. Полученные условия подтверждаются результатами численного моделирования. 6. Проведенный анализ двух практически важных технических систем подтверждает теоретические результаты диссертации. В диссертации проведены частотные модели периодически нестационарных систем с распределенными параметрами. В ходе исследования получены следующие основные результаты. 1. Предложена методика частотного анализа систем с распределенными параметрами. Суть методики заключается в использовании билинейного преобразования при переходе к описанию системы дифференциально-разностными уравнениями, с последующим использованием аппарата прямого и обратного Z-преобразования. 2. Получено новое решение задачи колебаний балки Тимошенко. 3. Проведена модификация известного метода стационаризации периодически нестационарных систем, позволяющая упростить поиск условий возбуждения параметрических колебаний в частотной области. 4. Сущность модификации состоит в переходе к эквивалентной передаточной функции стационарной части с последующим использованием равенства модулей в частотной области. 5. Предлагаемый метод построения частотных моделей периодически нестационарных систем с распределенными параметрами состоит в использовании метода частотного анализа систем с распределенными параметрами главы 2 и модифицированного метода стационаризации главы 3. 6. Проведен расчет условий возбуждения параметрического резонанса в системе управления одной координатой робота-манипулятора. 7. Показана недопустимость замены в расчетах упругого вала на жесткий, так как при этом пропускается потеря устойчивости равновесия. 8. Проведен расчет системы электромеханического преобразователя, содержащего двигатель постоянного тока и синхронный генератор, работающий на разнообразные нагрузки, включая длинную линию электроснабжения. 9. Получены условия потери устойчивости вращения преобразователя за счет возбуждения параметрического резонанса. Полученные условия подтверждаются результатами численного моделирования 10. Полученные в работе теоретические результаты подтверждаются расчетами практических задач и численным моделированием.
