Содержание к диссертации
Введение
1. Асимптотика решений нелинейных дифференциальных уравнений 15
1.1. Абсолютно равномерно ограниченные решения 17
1.2. Теорема Важевского неабсолютно равномерно ограниченные решения 27
1.3. Абсолютно равномерно ограниченные решения в ограниченной части пространства Жп 35
1.4. Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений и функции Ляпунова 39
2. Выпрямляемость дифференциальных уравнений управляемого движения 53
2.1. Выпрямление поля направлений 57
2.2. Оптимальная стабилизация при наличии мажоранты и абсолютно равномерно ограниченных решений 62
2.3. Оптимальная стабилизация программного движения при асимптотической устойчивости и абсолютно равномерно ограниченных решениях 67
3. Математическое моделирование динамики статистических результатов управляемых процессов 71
3.1. Моделирование в экономике 75
3.2. Моделирование в экологии 79
3.3. Моделирование в демографии 82
Заключение 91
Литература 93
- Теорема Важевского неабсолютно равномерно ограниченные решения
- Абсолютно равномерно ограниченные решения в ограниченной части пространства Жп
- Оптимальная стабилизация при наличии мажоранты и абсолютно равномерно ограниченных решений
- Математическое моделирование динамики статистических результатов управляемых процессов
Введение к работе
Математические методы в изучении реальных процессов играют роль инструмента исследования. Как правило, этот инструмент используется в случаях, когда другие методы дают неудовлетворительный результат, а кое-когда даже невозможно их применение. Например, эксперимент недопустим — тогда математические методы исследования становятся основными. Это относится к изучению Вселенной, демографических процессов и многих других. Математическое моделирование применяется, в основном, по классической схеме А.Н.Тихонова [39] и поэтому, вообще говоря, оно применимо к одному и тому же объекту исследования много раз [39], а критерием приемлемости результатов исследования является практика. Только практика отвечает на вопрос об удовлетворительности результатов, поэтому при моделировании всегда должны быть четко выделены методы экспертизы. Наиболее эффективным методом в этом случае является знание эталонных решений. Могут быть и другие подходы [39].
Математическое моделирование, как правило, порождает структуру, которая четко не определяется по принадлежности определенным разделом математической науки. Более того, часто описание реального процесса порождает новую структуру, которая затем может дать развитие всей математической науке. Например, изучение Вселенной и планет солнечной системы породило теорию дифференциальных уравнений, теорию устойчивости и так далее [39], а потребности последних породили линейную алгебру [39] и топологию [39]. Другими словами, выступая как инструмент, математика при математическом моделировании сама обогащается. И это происходит непрерывно, наполняя Человечество новыми сведениями о строении Вселенной.
Математическое моделирование не является общедоступным инструментом. Его надо применять только тогда, когда без него нельзя обойтись. Именно в этом случае достигается наибольший эффект ее применения.
Диссертационная работа посвящена применению асимптотических методов в математических моделях. Это означает, что математическая структура, представляющая реальный процесс содержит дифференциальные уравнения, решения которых определены на полуоси [Т, +оо) и на ней следует описать функциональные свойства некоторой вектор-функции x(t) , которая характеризует в момент времени t расширенное фазовое пространство уравнения из математической модели.
Реальные процессы могут быть стихийными (неуправляемыми) либо управляемыми. В последнем случае на ход процесса можно влиять управляемыми параметрами, которые в дальнейшем называются допустимыми управлениями [13], а сам такой процесс в дальнейшем именуется управляемым процессом [13]. Такие модели широко известны в математической литературе. Здесь же широко применяется понятие оптимального управления [13].
При классическом определении оптимального управления минимизируется интегральный функционал, который выражается несобственным интегралом. При решении подобных задач, когда ищется управление стабилизирующее программное движение, причем наилучшим образом, имеются значительные успехи [25, 26]. Однако, в дальнейшем выяснилось [30], что классическое определение стабилизации и, следовательно, оптимального управления, не всегда существует при моделировании [31]. Например, если стабилизация движения осуществляется в смысле устойчивости по Ляпунову, и при этом исключается асимптотическая устойчивость, то в этом случае классическое определение оптимального управления не имеет смысла. Такая ситуация возникает всегда, когда в достаточно малой , окрестности программного движения имеются траектории, стремящиеся к определенному пределу при t — +00 отличному от предельного положения программного движения; возникает всегда, когда уравнение движения dx — = f(t,x,u),ueK, (0.0.1) имеет выпрямляемое поле направлений [15].
Именно изучению таких управляемых процессов посвящены первые две главы настоящей диссертационной работы.
Третья глава носит полностью прикладной характер, и в ней продемонстрированы задачи, о которых выше идет речь. Но и здесь имеются новые теоретические результаты, которые относятся к методам математического моделирования. Здесь указана единая система исследования динамических процессов, когда используются многолетние статистические данные. И на этой основе изучается динамика процесса. При этом главная задача — выяснение асимптотических свойств, на основании которых в дальнейшем делается прогноз изучаемых событий. Рассматриваются различные виды устойчивости решений уравнений, в основном по Ляпунову. Это важно для долгосрочного прогнозирования. Именно вопросы устойчивости исследуемых процессов в динамических системах являются главными, ибо на их основе улавливаются тенденции развития. Другие математические методы лишены, вообще говоря, таких способностей, так как исследование проводится на конечном промежутке времени, а исходным материалом являются так же статистические данные. В некоторых случаях аналитический вид функций, входящих в математические модели известен, тогда задача решается без наличия статистического материала. Это, например, происходит в математических моделях экономики, когда используется уравнение Валь- • раса [5]; в математических моделях экологии [6], здесь процесс описыва- ется уравнением Вольтерра. Примечательно, что в общем случае наличие аналитического задания необязательно [11], но тогда необходимы статистические сведения, при помощи которых строится уравнение сравнения, и на этой основе исследуется динамика управляемого процесса, выражаемого уравнением (0.0.1).
Первая глава посвящена изучению асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений вида (0.0.1). В математической литературе • изучению различных видов устойчивости, свойств ограниченных решений, -существования периодических решений дифференциальных уравнений и связей между этими понятиями посвящено очень много работ разных авторов. Среди которых отметим классические работы А.М.Ляпунова [37], В.И.Зубова [24], В.М.Матросова [40-43], Н.И.Красовского [29, 30]. Задача существования периодических решений и аттракторов дифференциальных уравнений решалась в работах Е.В.Воскресенского [7-16]. В известных классификациях дифференциальных уравнений [55] рассмотрены только . дифференциальные уравнения, решения которых продолжимы либо впра- -: во (t to) , либо только влево (Т t to) . Вместе с тем, при решении задач о существовании полиномиальных аттрактов необходимо наличие ограниченных решений, которые не зависят от начальных данных, то есть t и to не связаны никакими соотношениями [12].
Именно вопросы асимптотического равновесия, абсолютно равномерной ограниченности (равномерная ограниченность вправо и влево), связи асимптотического равновесия с абсолютно равномерной ограниченностью решений на всем пространстве Rn рассматриваются в первой главе. Кроме этого, здесь же прямым методом Ляпунова получены достаточные условия существования асимптотического равновесия, а. также достаточные условия абсолютно равномерной устойчивости. Предложен метод построения ", функций Ляпунова [2], удовлетворяющих полученным теоремам.
Вторая глава посвящена задачам оптимальной стабилизации программного движения. Оптимальная стабилизация программного движения в каноническом виде формулируется так [31]. Пусть уравнение движения имеет вид (0.0.1), где и Є К, х Ш.п , К — класс допустимых управлений, u(t) eV, f Е С ([Т, +оо) х Rn х Rm, Rn)(p, q 0), /(, 0, и) = 0 .
Тогда надо найти щ Є К, такое допустимое управление, которое стабилизирует решение х = 0 уравнения (0.0.1), и при этом справедливо неравенство
+ 0О
/ /o(s, x(s : t0, х0, щ), u0(s, x(s : t0, x0, u0)))ds +oo
f fo(s,x(s : to,XQ,U),U(S,X(S : to,XQ,u)))ds, \\xo\\ S,\fu Є К .
to
Здесь предполагается стабилизация по асимптотической устойчивости [3, 4] • и класс допустимых управлений К содержит лишь управления с обратной связью и = u(t, х) . Именно в таком виде рассматривается классическое
определение которое, вообще говоря, имеет более широкий смысл [31]. /о —
+оо
/ /o(s,ar(s : to,XQ,u)7u(s,x(s : to,xo,u)))ds - функционал качества [31].
to
Однако в математических моделях, как правило, аналитическое задание функций / и /о не дается (быть может за исключением функции /о). Указываются лишь свойства уравнений (0.0.1), области их определения и области значений.
Например, для функции f(t,x,u) указывается мажоранта Л:
/( ,я:,«) A(i, х, HI), (t,x) Є S С Rn+1,u Є К
и на основании скалярной функции Л описываются аналитические свойства неизвестной в модели функции /. В этом случае свойства решений уравнения (0.0.1) связываются с решениями известного уравнения
dz
— = \(t,z,v), z 0,w=M. (0.0.2)
Эта связь устанавливается, как правило, на основании теоремы Важевско-го.
Обсудим вопрос об устойчивости решения х = 0 уравнения (0.0.1). Бу- J дем считать, что управление и здесь произвольно, но фиксировано. Если решения этого уравнения определены на полуоси [Т, +оо) и решение z = 0 уравнения сравнения (0.0.2) устойчиво, то решение х = 0 уравнения (0.0.1), так же устойчиво [48]. Однако, в классической задаче стабилизации программного движения с качеством или без качества это решение должно быть асимптотически устойчиво. Решение z = 0 уравнения (0.0.2) никогда не может быть асимптотически устойчивым. Следовательно, стабилизировать движение х = 0 в классическом смысле, с использованием • лишь только асимптотических свойств уравнения сравнения, не удастся. В этом случае, первоначально надо исследовать условия асимптотической устойчивости решения х = О при наличии мажоранты Л. При этом важнейший вопрос здесь такой: может ли решение х — О быть, в этом случае, асимптотически устойчивым?
Рассмотрим такой пример. Для простоты будем предполагать при фик def
сированном управлении и функция f(t,x,u) = f(t,x).
f L
ЄЄ tx .
t2
О, при х = О,
ее х
-,при х 0.
-, при x О,
Пусть f(t, х) = t2
dx Тогда для соответствующего уравнения — = f(t,x) решение х = 0 at
асимптотически устойчиво. При этом /(,#) - .
Следовательно, наличие мажоранты Л не исключает асимптотическую устойчивость решения ж = 0 и это при существовании пределов lim x(t : tfo, #о) • Вместе с тем, из первой главы известно, что при условиях близких к условию Липшица в бесконечности сингулярная задача (+оо, 0) имеет единственное решение при любом хо , :со S.B этом случае асимптотическая устойчивость исключается. Отсюда следует, что классическая задача стабилизации программного движения требует расширенной формулировки. При этом расширение необходимо сделать так, чтобы новое . определение включало и задачи стабилизации при отсутствии асимптс и-ческой устойчивости. В противном случае значительное число задач стабилизации не будут укладываться в теорию и практику управления движения. Именно этим задачам посвящена вторая глава, где исследования проводятся на основании математических исследований из первой главы.
В третьей главе результаты исследований из первых двух глав применя ются в математическом моделировании управляемых процессов. Реальные процессы рассматриваются во времени и описываются вектор-функцией x(t : to,xo,u), где XQ - фазовые координаты, to - начальный момент времени, и Є К,К- класс допустимых управлений, Т to +00 . Эта вектор-функция характеризует процесс при произвольных начальных дан- ных и фиксированном управлении. Как правило, эта вектор-функция является абсолютно непрерывной.
Пусть реальный процесс обозначен символом (S) . Задача состоит в том, чтобы на конечном или бесконечном промежутке времени определить поведение этой вектор-функции. Если речь идет о программном движении, то типичные вопросы при этом следующие: знание асимптотических свойств, устойчивость, аналитическое выражение и так далее. Закон изменения этой вектор-функции определяется внутренними законами развития управляє- -мого процесса (5) .Для математического моделирования необходимо най- ти формулировку этих законов, и тогда при помощи математических методов формулируется модель.
Особенность предлагаемого подхода заключается в том, что предварительно на временном участке (конечном или бесконечном) собираются статистические данные о скорости изменения компонент вектор-функции x(t : to,xo,u). Как правило, для их сбора используются различные ис- точники, и в результате для скоростей компонент получаются различные • промежутки изменения. Тогда на основе анализа этих промежутков полу- • чается неравенство Здесь функция А получена на основе вышеуказанных статистических данных и она называется мажорантой для скоростей. Функция Л обладает известными аналитическими свойствами, она может быть получена, например, применением метода наименьших квадратов или других методов обработки статистических данных. Оценку вида (0.0.3) всегда можно получить. Однако, для анализа процесса (S) желательно, чтобы эта оценка была как можно более "плотной". Далее, пусть
F:[T, +00) xS0xK0xK-+2So (0.0.4)
многозначная функция, где
р({0}, F(t, х, /І, и)) А(і, \\x\l IHI, u) (0.0.5)
def
и A = X(t, •) - функция типа Каратеодори [50], p(-, •) — метрика Хаусдор-фа, /І - параметр.
Рассмотрим дифференциальное включение dx
— eF(t,x,n,u). (0.0.6)
Оно является математической моделью управляемого процесса (S) . Заметим, что здесь не уточняется сам процесс, важно то, что он описывается включением (0.0.6). Причем именно по вышеуказанному правилу строится » это включение. В качестве примера мы предварительно рассмотрим моделирование демографической ситуации. Тогда параметр ц соответствует географическим координатам региона, а функция А определяется из многолетних статистических данных. И в этом случае демографическая ситуация описывается некоторым дифференциальным включением (0.0.6), удовлетворяющим неравенству (0.0.5). Рассмотрим скалярное уравнение dz — = \(t,z,/j,0, щ), іл0 = Н1 «о = м. (0.0.7)
Это уравнение называется уравнением сравнения для включения (0.0.6). В дальнейшем функция Л подбирается таким образом, чтобы для включения (0.0.6) выполнялись условия теоремы о существовании решения при всех ((b хо) І V Є KQ , и Є К и x(t) - абсолютно непрерывная функция. Чаще всего удается получить условия теоремы Зарембы [50]. Тогда по теореме Важевского справедливо неравенство \\x(t: Jo зо, А , и) z(t: t0, z0i /і0, Щ), \\XQ\\ z0,t t0, где z{t : to,zo,}j,o,uo) - решение уравнения сравнения (0.0.7). И в этом случае для анализа поведения решения x{t: to, #о, М и) можно применить исследования первых двух глав. Здесь через уравнение сравнения изучается асимптотика решений, устойчивость. Можно применять численные методы. Тогда на основе полученных результатов, в частности, для задачи демографии, можно решить такие важные задачи как прогнозирование динамики народонаселения, возможные катаклизмы и методы стабилизации ситуации. Аналогично, по этой же схеме будут решены задачи динамики популяции в экологии, задачи экономического прогнозирования, стабилизации производства и так далее.
Теорема Важевского неабсолютно равномерно ограниченные решения
Математические методы в изучении реальных процессов играют роль инструмента исследования. Как правило, этот инструмент используется в случаях, когда другие методы дают неудовлетворительный результат, а кое-когда даже невозможно их применение. Например, эксперимент недопустим — тогда математические методы исследования становятся основными. Это относится к изучению Вселенной, демографических процессов и многих других. Математическое моделирование применяется, в основном, по классической схеме А.Н.Тихонова [39] и поэтому, вообще говоря, оно применимо к одному и тому же объекту исследования много раз [39], а критерием приемлемости результатов исследования является практика. Только практика отвечает на вопрос об удовлетворительности результатов, поэтому при моделировании всегда должны быть четко выделены методы экспертизы. Наиболее эффективным методом в этом случае является знание эталонных решений. Могут быть и другие подходы [39].
Математическое моделирование, как правило, порождает структуру, которая четко не определяется по принадлежности определенным разделом математической науки. Более того, часто описание реального процесса порождает новую структуру, которая затем может дать развитие всей математической науке. Например, изучение Вселенной и планет солнечной системы породило теорию дифференциальных уравнений, теорию устойчивости и так далее [39], а потребности последних породили линейную алгебру [39] и топологию [39]. Другими словами, выступая как инструмент, математика при математическом моделировании сама обогащается. И это происходит непрерывно, наполняя Человечество новыми сведениями о строении Вселенной.
Математическое моделирование не является общедоступным инструментом. Его надо применять только тогда, когда без него нельзя обойтись. Именно в этом случае достигается наибольший эффект ее применения.
Диссертационная работа посвящена применению асимптотических методов в математических моделях. Это означает, что математическая структура, представляющая реальный процесс содержит дифференциальные уравнения, решения которых определены на полуоси [Т, +оо) и на ней следует описать функциональные свойства некоторой вектор-функции x(t) , которая характеризует в момент времени t расширенное фазовое пространство уравнения из математической модели.
Реальные процессы могут быть стихийными (неуправляемыми) либо управляемыми. В последнем случае на ход процесса можно влиять управляемыми параметрами, которые в дальнейшем называются допустимыми управлениями [13], а сам такой процесс в дальнейшем именуется управляемым процессом [13]. Такие модели широко известны в математической литературе. Здесь же широко применяется понятие оптимального управления [13].
При классическом определении оптимального управления минимизируется интегральный функционал, который выражается несобственным интегралом. При решении подобных задач, когда ищется управление стабилизирующее программное движение, причем наилучшим образом, имеются значительные успехи [25, 26]. Однако, в дальнейшем выяснилось [30], что классическое определение стабилизации и, следовательно, оптимального управления, не всегда существует при моделировании [31]. Например, если стабилизация движения осуществляется в смысле устойчивости по
Ляпунову, и при этом исключается асимптотическая устойчивость, то в этом случае классическое определение оптимального управления не имеет смысла. Такая ситуация возникает всегда, когда в достаточно малой , окрестности программного движения имеются траектории, стремящиеся к определенному пределу при t отличному от предельного положения программного движения; возникает всегда, когда уравнение движения имеет выпрямляемое поле направлений [15].
Абсолютно равномерно ограниченные решения в ограниченной части пространства Жп
В некоторых случаях аналитический вид функций, входящих в математические модели известен, тогда задача решается без наличия статистического материала. Это, например, происходит в математических моделях экономики, когда используется уравнение Валь- раса [5]; в математических моделях экологии [6], здесь процесс описыва- ется уравнением Вольтерра. Примечательно, что в общем случае наличие аналитического задания необязательно [11], но тогда необходимы статистические сведения, при помощи которых строится уравнение сравнения, и на этой основе исследуется динамика управляемого процесса, выражаемого уравнением (0.0.1).
Первая глава посвящена изучению асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений вида (0.0.1). В математической литературе изучению различных видов устойчивости, свойств ограниченных решений, -существования периодических решений дифференциальных уравнений и связей между этими понятиями посвящено очень много работ разных авторов. Среди которых отметим классические работы А.М.Ляпунова [37], В.И.Зубова [24], В.М.Матросова [40-43], Н.И.Красовского [29, 30]. Задача существования периодических решений и аттракторов дифференциальных уравнений решалась в работах Е.В.Воскресенского [7-16]. В известных классификациях дифференциальных уравнений [55] рассмотрены только . дифференциальные уравнения, решения которых продолжимы либо впра- -: во (t to) , либо только влево (Т t to) . Вместе с тем, при решении задач о существовании полиномиальных аттрактов необходимо наличие ограниченных решений, которые не зависят от начальных данных, то есть t и to не связаны никакими соотношениями [12].
Именно вопросы асимптотического равновесия, абсолютно равномерной ограниченности (равномерная ограниченность вправо и влево), связи асимптотического равновесия с абсолютно равномерной ограниченностью решений на всем пространстве Rn рассматриваются в первой главе. Кроме этого, здесь же прямым методом Ляпунова получены достаточные условия существования асимптотического равновесия, а. также достаточные условия абсолютно равномерной устойчивости. Предложен метод построения ", функций Ляпунова [2], удовлетворяющих полученным теоремам.
Вторая глава посвящена задачам оптимальной стабилизации программного движения. Оптимальная стабилизация программного движения в каноническом виде формулируется так [31]. Пусть уравнение движения имеет вид (0.0.1), где и Є К, х Ш.п , К — класс допустимых управлений, u(t) eV, f Е С ([Т, +оо) х Rn х Rm, Rn)(p, q 0), /(, 0, и) = 0 .
Тогда надо найти щ Є К, такое допустимое управление, которое стабилизирует решение х = 0 уравнения (0.0.1), и при этом справедливо неравенство
Здесь предполагается стабилизация по асимптотической устойчивости [3, 4] и класс допустимых управлений К содержит лишь управления с обратной связью и = u(t, х) . Именно в таком виде рассматривается классическое определение которое, вообще говоря, имеет более широкий смысл [31]. /о —
Однако в математических моделях, как правило, аналитическое задание функций / и /о не дается (быть может за исключением функции /о). Указываются лишь свойства уравнений (0.0.1), области их определения и области значений.
Оптимальная стабилизация при наличии мажоранты и абсолютно равномерно ограниченных решений
Пусть задача оптимальной стабилизации программного движения х = О имеет вид: a) уравнение движения где функция при любом допустимом управлении и Є К удовлетворяет требованиям теоремы существования и единственности решения Каратеодори при любых начальных данных (to,xo),T to +00, жо Є Rn; К - класс допустимых управлений, и : [Т, +оо) X Rn — Rm - функции типа Каратеодори и u(t,0) = 0, b) функционал качества / рассматривается на решениях уравнения (2.2.1) и - типа Каратеодори, x{t) = x(t : to,xo,u) - решение уравнения (2.2.1) с начальными данными (0, 0) при любом управлении и Є К, хо S; решение х = 0 абсолютно равномерно устойчиво относительно to , то есть для любого є 0 существует 6 = 6(e). такое, что при всех XQ, \\ХО\\ S и всех Т t,to +00. Требуется найти такое допустимое управление щ Є К, которое доставляет минимум функционалу (2.2.2) в классе К при фиксированном S. К такой постановке задачи при подходящей замене переменных сводится задача об оптимальной стабилизации произвольного программного движения х = cp(t) [14]. Поэтому именно в сформулированной постановке, когда программное движение есть х = 0 , будем рассматривать задачу.
Однако, сформулированная задача требует более точной математической формулировки, которая придаст четкий смысл понятию минимума функционала (2.2.2). Для этого мы потребуем глобальную выпрямляемость поля направлений, определяемого уравнением (2.2.1), в классе допустимых управлений. В этом случае абсолютно равномерная устойчивость х = 0 означает: для любого є О существует 6(є,хо) 0 такое, что как только \\XQ\\ J, то при всех и Є К,x(i) = x(t : +00, 0 )) #о & Тогда uo = uo(t,x) оптимально стабилизирует решение і = 0 в классе допустимых управлений К. Теперь постановка основной задачи имеет четкую математическую формулировку. В общем случае это определение каждый раз в конкретной задаче требует уточнения. Заметим, что здесь асимптотической устойчивости решения х — 0 нет, и поэтому, потребовалось новое определение оптимальной стабилизации программного движения. Для того, чтобы выполнялись все требования постановки задачи, в частности, можно потребовать для уравнения движения (2.0.1) существование мажоранты и наличие уравнения сравнения (2.0.2). При ограничениях из первой главы можно обеспечить выполнимость всех условий, при которых рассматривается основная задача.
Дополнительно потребуем существования мажоранты и для функции Go(t,x,u), \\GQ(t,x,u)\\ Xo(t, \\х\\, \\и\\), Л0ЄС([Т,+оо)хЕІьхЕ]н,Еі.), Ao(t,ab u) \0(t,a2, «), ax a2. Наличие мажоранты обусловлено скорее, практическими задачами, чем теоретической потребностью математики. Мажоранта является носительницей функциональных свойств, которыми обладают функции из формулировки задачи. Действительно, именно в практических задачах точные аналитические задания неизвестны, а их мажоранты задаются как резуль- таты измерений. Уточним класс допустимых управлений К. В формулировке задачи рассматриваются лишь только управления с обратной связью, более общие классы требуют уточнения формулировки. Еще потребуем, чтобы выполнялось неравенство \\и(і,х)\\ р\\х\\, где // - минимальное неотрицательное число, обеспечивающее это неравенство для данного управления при любом Т t +00.
Математическое моделирование динамики статистических результатов управляемых процессов
Результаты исследований из первых двух глав будут применяться в математическом моделировании управляемых процессов. Реальные процессы будут рассматриваться во времени и описываться вектор-функцией x(t : о) #0, и), где XQ - фазовые координаты, to начальный момент времени, и Є К, К - класс допустимых управлений, Т to -foo. Эта вектор-функция характеризует процесс при произвольных начальных данных и фиксированном управлении. Как правило, эта вектор-функция является абсолютно непрерывной.
Пусть реальный процесс обозначен символом (5). Задача состоит в том, чтобы на конечном или бесконечном промежутке времени определить поведение этой вектор-функции [53, 54]. Если речь идет о программном движении, то типичные вопросы при этом следующие: знание асимптотических свойств, устойчивость, аналитическое выражение и так далее. Закон изменения этой вектор-функции определяется внутренними законами развития управляемого процесса (5). Для математического моделирования необходимо найти математическую формулировку этих законов, и тогда при помощи математических методов формулируется математическая модель.
Особенность предлагаемого подхода заключается в том, что предварительно на временном участке (конечном или бесконечном) собираются статистические данные о скорости изменения компонент вектор-функции x(t : to,xo,u). Как правило, для сбора статистических данных используются различные источники, и в результате для скоростей компонент по- " лучаются различные промежутки их изменения. Тогда на основе анализа этих промежутков получается неравенство
Здесь функция Л получена на основе вышеуказанных статистических данных и она называется мажорантой для скоростей. Функция Л обладает известными аналитическими свойствами, она может быть получена, например, применением метода наименьших квадратов или других методов обработки статистических данных. Оценку вида (3.0.1) всегда можно получить. Однако, для анализа процесса (S) желательно, чтобы эта оценка была как можно более "плотной". Далее, пусть многозначная функция, где и Л = А(, ) - функция типа Каратеодори [50], р(-, ) — метрика Хаусдор-фа, [І - параметр. Рассмотрим дифференциальное включение
Оно является математической моделью управляемого процесса (S). Заметим, что здесь не уточняется сам процесс, важно то, что он описывается включением (3.0.4). Причем именно по вышеуказанному правилу строится это включение. В качестве примера мы предварительно рассмотрим мо- . делирование демографической ситуации. Тогда параметр /z соответствует географическим координатам региона, а функция Л определяется из . многолетних статистических данных. И в этом случае демографическая ситуация описывается некоторым дифференциальным включением (3.0.4), удовлетворяющим неравенству (3.0.3). Рассмотрим скалярное уравнение
Это уравнение называется уравнением сравнения для включения (3.0.4). В дальнейшем функция Л подбирается таким образом, чтобы для включения (3.0.4) выполнялись условия теоремы о существовании решения при всех ( О) о)) Н Є -Ко , и Є К и x(t) - абсолютно непрерывная функция. Чаще всего удается получить условия теоремы Зарембы [50]. Тогда по теореме Важевского справедливо неравенство где z(t : to,zo,fj,o,uo) решение уравнения сравнения (3.0.5). И в этом случае для анализа поведения решения x(t: to, хо, fi, и) можно применить . исследования первых двух глав. Здесь через уравнение сравнения изучает- . ся асимптотика решений, устойчивость. Можно применять численные методы. Тогда на основе полученных результатов, в частности, для задачи демографии, можно решить такие важные задачи как прогнозирование динамики народонаселения, возможные катаклизмы и методы стабилизации ситуации. Аналогично, по этой же схеме будут решены задачи динамики популяции в экологии, задачи экономического прогнозирования и стабилизации производства и так далее.
