Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ существующих методов и средств исследования взаимных корреляционно-спектральных характеристик временных рядов 11
1.1 Основные понятия и определения во взаимном корреляционно-спектральном анализе 11
1.2 Обзор существующих методов аппроксимативного анализа корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов с различной дискретизацией 21
1.3 Обзор существующих автоматизированных систем взаимного корреляционно-спектрального анализа временных рядов 34
1.4 Постановка задачи исследования 39
2 Аппроксимативные методы анализа взаимных корреляционно-спектральных характеристик временных рядов 40
2.1 Аппроксимация взаимных корреляционных; функций ортогональными функциями Лагерра...40
2.2 Построение аналитических выражений для взаимных спектральных плотностей мощности 50
Выводы и результаты 58
3 Исследование методов аппроксимативного взаимного корреляционно-спектрального анализа временных рядов 59
3.1 Анализ методических погрешностей оценки взаимных корреляционных функций 59'
3.2 Исследование методов и средств для аппроксимативного взаимного корреляционно-спектрального анализа временных рядов методом имитационного моделирования 73
Выводы и результаты 79
4 Комплекс программных средств для аппроксимативного анализа взаимных корреляционно-спектральных характеристик временных рядов 80
4.1 Описание программного комплекса 80
4.2 Подсистема аппроксимативного анализа взаимных корреляционных функций в составе авотматизированной системы 85
4.3 Подсистема имитационного моделирования в составе автоматизированной системы 93
Выводы и результаты 125
5 Результаты экспериментальных исследований 126
Основные результаты 135
Заключение 137
Список литературы 138
Приложение 148
- Обзор существующих методов аппроксимативного анализа корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов с различной дискретизацией
- Построение аналитических выражений для взаимных спектральных плотностей мощности
- Исследование методов и средств для аппроксимативного взаимного корреляционно-спектрального анализа временных рядов методом имитационного моделирования
- Подсистема аппроксимативного анализа взаимных корреляционных функций в составе авотматизированной системы
Введение к работе
Функциональные характеристики взаимосвязи — взаимные корреляционные функции (ВКФ) и спектральные плотности мощности - занимают особое место в статистическом анализе и используются для решения самых разнообразных задач научных исследований, связанных с обработкой больших массивов данных, имеющих вероятностный (случайный) характер. Они, как правило, требуют серьезных вычислительных затрат, однако несут в себе существенную информацию об исследуемых процессах. Исходной информацией . для построения этих характеристик являются временные ряды, представленные совокупностью отсчетов, причем, как значений, так и меток времени. Учитывая тот факт, что на практике часто встречаются случайные процессы с малой выборкой или неравномерной дискретизацией, весьма актуальным является получение возможности определения аналитических выражений для взаимных корреляционно-спектральных характеристик неэквидистантных временных рядов.
Задача аппроксимативного анализа корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов сводится к их численному определению и получению аналитического выражения характеристики. Такое выражение может быть найдено путем однозначного разложения функции в некоторой полной и ортогональной системе негармонических функций, выбор которой тесно связан с видом исследуемых функциональных характеристик. Для большинства акустических и машинных сигналов наиболее удобными являются функции Лагерра.
Решению задач взаимного корреляционно-спектрального анализа многочисленными исследователями уделялось большое внимание, однако интерес к ним не пропадает. Большой вклад в их решение внесли Лампард Д.Л., Соучек Б, Артамонов Г.Т., Артоболевский И.И., Батищев В.И., Волков И.И., Горелов Г.В., Горбацевич Е.Д., Губарев В.В., Дедус Ф.Ф., Прохоров С.А., Мирский Г.Я., Романенко А.Ф., Сергеев Г.А., Цветков Э.И. и др.
Существующие современные автоматизированные системы математических расчетов позволяют на базе известных алгоритмов решить лишь часть задач взаимного корреляционно-спектрального анализа временных рядов, включая неэквидистантные. Практически все системы позволяют использовать ортогональные функции, однако отсутствуют алгоритмы аппроксимации с использованием ортогональных функций в качестве аппроксимирующих выражений.
В связи с этим актуальной представляется задача разработки алгоритмов аппроксимации взаимных корреляционно-спектральных характеристик временных рядов ортогональными функциями Лагерра и построения комплекса программ, реализующего эти алгоритмы.
Целью работы является разработка алгоритмов и комплекса программ для аппроксимативного взаимного корреляционно-спектрального анализа временных рядов, включая неэквидистантные.
Задачи исследования
Разработка и исследование алгоритмов аппроксимации взаимных корреляционных функций и спектральных плотностей мощности ортогональными функциями Лагерра.
Разработка комплекса программ аппроксимативного взаимного корреляционно-спектрального анализа, позволяющего производить:
моделирование временных рядов, включая неэквидистантные, с различными взаимными корреляционно-спектральными характеристиками;
оценку взаимных корреляционных функций временных рядов, включая неэквидистантные;
аппроксимацию взаимных корреляционных функций параметрическими моделями — функциями заданного вида и ортогональными функциями Лагерра;
определение спектральной плотности мощности по параметрам аппроксимирующих выражений;
аппроксимацию взаимной спектральной плотности мощности орто
гональными функциями Лагерра;
- автоматизированное исследование погрешностей аппроксимации на
основе метода имитационного моделирования.
3.. Проведение и обработка результатов экспериментов с целью апробации предлагаемых алгоритмов и комплекса программ.
Научная новизна работы заключается в следующих положениях:
Предложен алгоритм. аппроксимации взаимных - корреляционных функций ортогональными функциями Лагерра с разбиением взаимной корреляционной функции на две ветви относительно точки экстремума.
Предложены алгоритмы определения интервалов корреляции и моментов взаимных корреляционных функций, взаимной спектральной плотности мощности неэквидистантных временных рядов на основе результатов аппроксимации взаимных корреляционных функций.
Предложен алгоритм аппроксимации взаимных спектральных плотностей мощности ортогональными функциями Лагерра и построения аналитических выражений для взаимных корреляционных функций по результатам аппроксимации..
Исследованы алгоритмы аппроксимации взаимных корреляционных функций и спектральных плотностей мощности ортогональными функциями Лагерра.
Практическая ценность работы заключается в разработке комплекса программ аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа, позволяющего решать задачи; моделирования временных рядов, включая неэквидистантные; оценки взаимных корреляционных функций;' аппроксимации взаимных корреляционно-спектральных характеристик, - а также в результатах определения звукопоглощающих характеристик конструкций и исследования возбуждения виброакустических колебаний в шестеренном качающем узле.
Положения, выносимые на защиту:
Алгоритмы аппроксимации взаимных корреляционных функций временных рядов ортогональными функциями Лагерра с выделением точки экстремума.
Алгоритмы аппроксимации, взаимных спектральных плотностей мощности случайных процессов ортогональными функциями Лагерра по результатам аппроксимации взаимных корреляционных функций и с раздельной аппроксимацией вещественной и мнимой частей.
Комплекс программ аппроксимативного взаимного корреляционно-
спектрального анализа временных рядов, включая неэквидистантные. Внедрение результатов работы
Результаты работы внедрены в институте акустики машин при СГАУ, в специализированном конструкторском бюро ОАО "Моторостроитель", в учебном процессе кафедры ИСТ СГАУ, на ряде предприятий г. Уральска.
Апробация работы
Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на международных конференциях. "Надежность и качество" (Пенза, 2002, 2003), "Проблемы автоматизации и управления в технических системах" (Пенза, 2004), "Интерактивные системы: Проблемы человеко-компьютерного взаимодействия" (Ульяновск, 2003), "Проблемы и перспективы развития двигателестроения" (Самара, 2003), научно-технической конференции с участием международных специалистов "Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления" (2003), межвузовских научно-технических конференциях (Самара).
По результатам исследований опубликовано 18 печатных работ, в том числе 1 монография (в соавторстве) и 10 статей.
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Основное содержание работы изложено на 147 страницах. Список использованных источников включает 110 наименований. Два приложения размещены на 42 страницах.
Обзор существующих методов аппроксимативного анализа корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов с различной дискретизацией
При оценке корреляционных функций неэквидистантных временных рядов, аргументом которых являются tyt или г, необходимо учитывать нерегулярность временного ряда. В этом случае применение классических алгоритмов корреляционного анализа без восстановления пропущенных отсчётов невозможно.
Предположим,, что в результате эксперимента получена совокупность центрированных неэквидистантных временных рядов (в противном случае ряды необходимо предварительно центрировать): Отметим, что длительность j-реализации ряда
Восстановив пропущенные отсчёты по какому-либо алгоритму восстановления (пока неважно по какому), получим регулярный временной ряд с интервалом дискретизации Дг между отсчётами: объём выборки j-ой реализации восстановленного ряда.
В каждом j-ом ряду случайным образом будут расположены и существенные, и модельные отсчеты, причём, в ряде случаев модельные и существен ные значения будут совпадать - х JJ [(и-і)Дт] = //(///).
Пусть требуется найти j-текущую оценку взаимной корреляционной функции стационарного неэквидистантного временного ряда с учетом восстановления пропущенных отсчётов. В этом случае при оценке корреляционной функции возможны четыре варианта произведений существенных и модельных отсчётов. Для однозначности введем индикатор состояния Snki который в зависимости от выполнения некоторых условий принимает одно из двух значений: 0 или 1 [78]. Тогда
В том случае, когда восстановление пропущенных отсчётов невозможно или алгоритм восстановления неизвестен, необходимо обрабатывать только существенные отсчёты неэквидистантного временного ряда. Тогда-3,пу \, а Sjn2 — Sjn3 = SjnA = 0, и взаимная корреляционная функция будет определяться выражением:
Полученное выражение, из-за случайного характера расположения существенных отсчетов в восстановленном ряду, не позволяет синтезировать алгоритм для оценки корреляционной функции, так как значение индекса п не определяет датирование отсчётов неэквидистантного временного ряда. Напомним, что в неэквидистантном временном ряду значение второго индекса і не определяет время прихода существенного отсчёта, а определяет лишь его место в массивах данных, подлежащих обработке.
Заметим, что значение индикатора состояния Sjny=\ только в том случае, когда на временном интервале /Дг находятся два существенных отсчёта неэк-видистантного временного ряда х -,- (t {) = xjn первого процесса и. у j J+X /,i+J) = Уj n+j второго процесса, где s - целая случайная величина, характеризующая количество пропущенных существенных отсчётов. Значение случайной величины s при оценке взаимной корреляционной функции находится. в диапазоне (Q,L Jmax) при этом равенство соблюдается только для регулярного потока.
Таким образом, необходимо ввести новый индикатор состояния, который бы однозначно определял отсчёт у ,,„( ,,„)» отстоящий от отсчёта х //(?,) на временном интервале JAr. Так как в общем случае t „ являются действительными, а не целыми числами, определим индикатор состояния с использованием оператора выделения целой части ent\ ] в виде
Построение аналитических выражений для взаимных спектральных плотностей мощности
В настоящий момент существует большое число современных математических систем обработки статистической информации [29, 45, 46, 47, 57, 68, 100], в составе которых имеются как стандартные функции численной обработки данных, так и средства получения аналитических выражений для функциональных характеристик. Для сравнения современных математических систем необходимо провести их классификацию и определить критерии выбора. При этом необходимо учитывать, что статистическая обработка данных обычно производится специалистом предметной области, не знакомым: с ньюансами анализа случайных процессов, и не должна требовать программирования качественно новых алгоритмов.
Навигация в пространстве современных математических систем достаточно тяжела, если с такими системами, как Mathcad, MATLAB, Mathematica знакомы практически все, то специализированные статистические системы отечественного производства приобрести достаточно тяжело. Однако именно такие системы бывают наиболее удобными для решения узко специализированных задач; кроме этого, они разработаны для решения конкретных проблем, например из области прикладной физики, с учетом апробированных методик проведения всего цикла исследований, поэтому с потерей универсальности происходит улучшение качества обработки, в том числе и повышение ее быстродействия.
Статистические пакеты общего назначения отличаются отсутствием прямой ориентации на специфическую предметную область, широким диапазоном статистических методов, дружелюбным интерфейсом пользователей. Специализированные пакеты обычно реализуют методы, используемые в конкретной предметной области. Для анализа временных рядов используются Эвриста, МЕЗОЗАВР, ОЛИМП:СтатЭксперт, ForecastExpert Такие пакеты содержат достаточно полный набор традиционных методов, а также оригинальные методы и алгоритмы, созданные разработчиками пакета. Их использование целесообразно, когда требуется систематическое решение задач узкой предметной области [101].
Наилучший выбор статистического пакета зависит от характера решаемых задач, объема и специфики обрабатываемых данных, квалификации пользователей и т.д. Пакет SAS (Superior software and services) обладает наилучшими возможностями для работы с большими объемами данных, SPSS (Statistical Package for the Social Sciences) удобен для работы с данными сложной структуры, собственную систему обработки данных можно построить с помощью библиотеки подпрограмм IMSL, содержащую программы на Фортране и Си, которые можно вставить в свою разработку. С помощью стандартных пакетов можно обработать данные небольших объемов стандартными статистическими методами. Ряд пакетов (STATTSTICA, SPSS) обладают возможностью настройки на узкоспециализированную задачу, которая решается регулярно по мере обновления данных. Существуют пакеты, специализированные именно на обработке временных рядов. В некоторых из них производится автоматический подбор модели временного ряда из заданного класса моделей, однако может привести к излишне усложненным моделям или к ошибкам. Другие пакеты содержат алгоритмы подбора оптимальных моделей, причем имеется широкий набор инструментов предварительного и окончательного анализа данных и возможность их пошагового применения. При этом пользователь сам задает стратегию ряда. Пакет ЭВРИСТА является одним из лучших специализированных пакетов для анализа временных рядов. Его функциональные возможности значительно шире стандартных процедур анализа временных рядов универсальных статистических пакетов.
Исследование методов и средств для аппроксимативного взаимного корреляционно-спектрального анализа временных рядов методом имитационного моделирования
При увеличении количества отсчетов случайного процесса погрешность аппроксимации, ортогональными функциями Лагерра уменьшается, однако, проведенные эксперименты показали возможность определения и аппроксимации взаимной корреляционной функции случайных процессов при небольшом количестве отсчетов с приемлемыми значениями погрешности. (Среднеквадра-тическое отклонение меньше 10% для 200 отсчетов процесса).
Аналогичная ситуация возникает в случае потери части отсчетов случайных процессов. Даже в случае потери 2А всех отсчетов взаимную корреляционную функцию удается сгладить. Отметим, что использование ортогональных, функций Лагерра в качестве аппроксимирующих выражений в случае потери большого числа отсчетов привело к восстановлению вида взаимной корреляционной функции в большинстве случаев.
Тем не менее, работа с малой выборкой и равномерной дискретизацией более предпочтительна в смысле минимума погрешности аппроксимации.
Задержка одного процесса относительно другого не оказало существенного влияния на погрешности аппроксимации получаемых функций, однако необходим выбор оптимального числа отсчетов левой и правой ветви оценки взаимной корреляционной функции для каждой серии экспериментов с учетом ин тервала корреляции
Изменение параметров формирующих фильтров оказывает существенное влияние на изменение вида взаимной корреляционной функции. Используемый метод аппроксимации основан на выделении экстремума функции и раздельной аппроксимации ее правой и левой ветвей. Поэтому в случае» когда функция имеет явно выраженный экстремум, как в большинстве приведенных случаев, удается получить удовлетворительные результаты аппроксимации. Отметим, что когда функция имеет отрицательный экстремум, разделение на левую и правую ветви производится относительно него. Здесь нельзя дать точные рекомендации относительно правильного выбора тт, и необходим индивидуальный подход.
Также использование метода имитационного моделирования при анализе алгоритмов аппроксимации взаимных корреляционно-спектральных характеристик позволило сделать ряд выводов по их применению.
Учитывая большое разнообразие взаимных корреляционных функций встречающихся на практике случайных процессов, их идентификация и подбор моделей сильно затруднена. Поэтому аппроксимация взаимных корреляционных функций параметрическими моделями - функциями заданного вида, одним из определяющих шагов которых является операция идентификации вида корреляционной функции (процесса), в отличие от аппроксимации автокорреляционных функций, не дает удовлетворительных результатов. Использование фильтров с наиболее часто встречающимися при исследованиях импульсными характеристиками позволяет сделать вывод о том, что в ряде случаев анализа случайных процессов (например, неэквидистантных временных рядов, полученных прореживанием исходного процесса), для известной модели процесса аппроксимация функциями заданного вида возможна, и обладает сглаживающим эффектом, позволяющим снизить погрешность, являющуюся результатом потери отсчетов.
Аппроксимация ортогональными функциями Лагерра позволяет получить аналитические выражения для практически неограниченного круга взаимных корреляционных функций. Учитывая тот факт, что ортогональные функции Лагерра определены на полубесконечном интервале, а взаимные корреляционные функции определены на интервале (-со,со), необходимо выделить две ветви взаимной корреляционной функции. При этом точкой разделения может быть любая точка функции, однако, учитывая характер ортогональных функций Лагерра, наиболее предпочтительна точка максимума или минимума функции. Таким образом, задача сводится к практически независимой подстройке параметров выражения для левой и правой ветвей, а круг аппроксимируемых функций значительно расширяется.
Разработанные алгоритмы позволяют производить анализ случайных процессов с достаточно небольшим объемом выборки и достаточно большой потерей отсчетов. Однако при небольших объемах выборки аппроксимация взаимной корреляционной функции позволяет снизить погрешность оценки, поэтому квадратическая погрешность аппроксимации оценки взаимной корреляционной функции не является основным показателем при выборе аналитического выражения для взаимной корреляционной функции,
Аналитическое выражение для взаимной спектральной плотности мощности может, быть получено по параметрам аппроксимирующего взаимную корреляционную функцию выражения. При этом погрешность аппроксимации взаимной спектральной плотности мощности будет зависеть от погрешности аппроксимации взаимной корреляционной функции. Для некоторых случаев зависимость погрешности (среднеквадратического отклонения) аппроксимации модуля взаимной спектральной плотности мощности от погрешности аппроксимации взаимной корреляционной функции приведена на рисунке 3.9, На рисунке видна тенденция линейного увеличения значения среднеквадратического отклонения модуля взаимной спектральной плотности мощности, полученного по параметрам аппроксимирующего взаимную корреляционную функцию выражения (ортогональных функций Лагерра) от истинного значения при увеличении погрешности аппроксимации. При этом порядок погрешности аппроксимации взаимной спектральной плотности мощности близок порядку погрешности аппроксимации взаимной корреляционной функции.
Подсистема аппроксимативного анализа взаимных корреляционных функций в составе авотматизированной системы
Работа может производиться как последовательно по схеме, описанной выше, так и непосредственно в каждой конкретной подсистеме, с использованием информации из файлов.
Всего в систему входит 10 страниц. Переход с одной страницы на другую осуществляется выбором вкладки вверху экрана или через менго «Файл». В верхнем левом углу некоторых страниц расположены функциональные кнопки. На них изображены пиктограммы, кнопки сопровождены исчезающими подсказками. При нажатии на кнопки происходят действия, сопровождающиеся пересчетом некоторых параметров и построением графиков.
Автоматизированная система создана для достижения следующих целей: 1 Автоматизация аппроксимативного анализа взаимных корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов, включая неэквидистантные временные ряды. 2. Исследование алгоритмов аппроксимации взаимных корреляционньрс функций и спектральных плотностей мощности ортогональными функциями Лагерра.
Необходимость создания подобной автоматизированной системы, позволяющей решать задачу 1 обосновано в разделе 1, Для обеспечения использования алгоритмов в современных математических пакетах, облегчения интерфейса и облегчения использования; автоматизированная система реализована на языке JAVA (Microsoft J++/J#). Исследованию и применению алгоритмов аппроксимации посвящен раздел 4, в котором описаны результаты, полученные с помощью разработанной автоматизированной системы.
Расчет ВКФ и фазового портрета происходит на странице 3 (см, рисунок 4-5). На верхней панели нужно указать интервал дискретизации ВКФ и количество отсчетов левой и правой ветвей (окно для отсчетов левой ветви находится слева). Расчет производится после нажатия левой кнопки с трафиком ВКФ са. Расчет фазового портрета следует, производить только после расчета ВКФ нажатием правой кнопки с изображением графика фазового портрета Предусмотрена возможность сохранения и чтения ВКФ (кнопки & В).
Возможны добавления и наложения любого числа графиков ВКФ. Эта опция доступна при снятом флажке «Чистить» и позволяет наглядно представить себе соотношение корреляционных функций. Принудительно очистить график можно нажатием на кнопку sf
Для случай, когда система состоит из двух фильтров и источника белого шума, определены аналитические выражения. ВКФЭ полученная по пим может быть добавлена путем нажатия на кнопку Ьь («4-Теор график»). При этом рассчитывается среднеквадрзтичтекое отклонение и максимальная погрешности, что позволяет определить методическую погрешность оценки взаимной корреляционной фунгадай методом шштацисшюго моделирования. С этой же целью предусмотрено занесение результатов в базу данных нажатием («Добавить в БД»). Занесение самих отсчетов теоретической ВКФ не имеет смысла, потому что в базе данных имеется информация о фильтрах, составляющих систему, а, значит, и об алгоритме аналитического определения ВКФ- Оценка же ВКФ, то есть функция полученная по экспериментаньвмм данным, может быть полезна при анализе результатов аппроксимации, поэтому,
Страница 5 предназначена для аппроксимации ВКФ параметрическими моделями. В случае выделения максимума при аппроксимации необходимо установить флажок «МАХ в нуль». Аппроксимация производится отдельно для правой и левой ветви. Нужно указать для каждой ветви вид аппроксимирующей функции в поле «Вид функции» и начальные приближения для параметра X в поле «lamO» и параметра щ в поле «wO» при необходимости. Затем нужно задать один из методов аппроксимации (аналитически, численно» Нелдера-Мида или ввод параметров вручную) в поле «Вид аппр» для обеих ветвей.
После нажатия на кнопку v («Аппроксимировать») будут найдены значения А. и G3Q в полях lambda и omega и построен график ВКФ (синим цветом) и график аппроксимирующего выражения (красным цветом).
Для каждой ветви предусмотрена возможность определения фазового портрета (по нажатию на кнопку «Фазовый портрет»). При этом произойдет расчет фазового портрета для выбранной ветви функции и наложение на него фазового портрета аппроксимирующей модели. Таким образом, возможно сравнение фазовых портретов, необходимое, например, при идентификации функции. Занесение в базу данных производится после нажатия на кнопку .
Круг ВКФ, для которых аппроксимация параметрическими моделями удовлетворительна» достаточно ограничен. Однако этот вид аппроксимации позволяет сгладить погрешности, возникающие при анализе НВР за счет неравномерной дискретизации или потери отсчетов.
