Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Дифракция электромагнитного излучения несферической частицей 11
1.1.Постановка задачи 11
1.2. Обзор современных строгих методов решения задачи дифракции . 15
1.2.1. Дифференциальные методы 16
1.2.2.Интегральные методы 18
1.3.Метод Т-матриц 22
1.3.1.Разложение плоской волны в ряды по векторным сферическим функциям 27
1.3.2.Вращение системы координат 28
1.3.3.Соотношения симметрии 30
1.4.Оптические характеристики 31
1.4.1. Сечения ослабления, рассеяния, поглощения 31
1.4.2.LP и СР-представления электрического поля 33
1.4.3. Амплитудная матрица рассеяния 34
1.4.4.Матрица Мюллера и матрица рассеяния 35
1.5.Выводы 37
Глава 2. Аналитические алгоритмы ориентационного усреднения оптических характеристик ансамблей несферических частиц 39
2.1.Амплитудная матрица рассеяния ориентированной частицы 40
2.2.Матрица рассеяния ансамбля частиц 42
2.2.1. Коэффициенты разложения элементов матрицы рассеяния в ряды по обобщенным сферическим функциям 44
2.2.2.Хаотически ориентированные частицы, не обладающие осевой симметрией 47
2.2.3.Хаотически ориентированные гексагональные цилиндры 48
2.2.4.Хаотически ориентированные осесимметричные частицы 48
2.2.5.Сферические частицы 49
2.3.Потоки рассеянного излучения в произвольных конических телесных углах 50
2.4.Методика расчета 52
2.5.Результаты расчетов 56
2.6.Выводы 60
Глава 3. Оптическая классификация ансамблей несферических частиц 61
3.1. .Классификация ансамблей пол и дисперсных сферических частиц.. 62
3.2. Оптическая эквивалентность в приближении Рэлея - Ганса - Дебая 65
3.3.Оптическая классификация изотропных ансамблей частиц 67
3.3Л.Коэффициенты ослабления 67
3.3.2.Элементы матрицы рассеяния 69
3.3.3.Результаты расчетов 74
3.4.Оптическая классификация ансамблей ориентированных частиц... 82
3.5.Обсуждения и выводы 85
Глава 4. Определение ориеитационной структуры ансамбля по матрице обратного рассеяния 86
4 Л.Матрица обратного рассеяния 87
4.2. Горизонтально ориентированные частицы 89
4.2Л.0 = О 90
4.2.2.Наклонное падение ,9 > 0 92
4.3.Трехмерный случай ориеитационной структуры 95
4.3.1.,9-0 97
4.3.2.Наклонное падение ,9 > 0 99
4.4.Обсуждение и выводы 101
Заключение , 102
Список литературы
- Обзор современных строгих методов решения задачи дифракции
- Коэффициенты разложения элементов матрицы рассеяния в ряды по обобщенным сферическим функциям
- Оптическая эквивалентность в приближении Рэлея - Ганса - Дебая
- Горизонтально ориентированные частицы
Введение к работе
Рассеяние и поглощение электромагнитного излучения частицами используется во многих областях науки и техники как важный источник информации о свойствах частиц, их природе, а также о процессах происходящих, например, в атмосфере и океане [31,36].
Разработка методов количественной оценки оптических характеристик несферических частиц на основе точных методов является актуальной задачей оптики атмосферы и океана, а результаты расчетов на их основе могут служить в качестве эталонных, например, для проверки корректности приближенных решений. Эти методы также необходимы для установления связей (в ряде случаев функциональных) между оптическими характеристиками частиц и микроструктурой взвеси, что позволяет решать как прямые, так и обратные задачи оптики дисперсных сред.
Интерес к таким задачам обусловлен интенсивным развитием дистанционных методов, усовершенствованием техники прямых оптических измерений в атмосфере и океане, широким внедрением в практику биофизического эксперимента оптических методов. Исследование оптических свойств аэрозолей, гидрозолей, частиц биологического происхождения необходимое для понимания их роли в геосферно-биосферных процессах представляет собой сложную комплексную задачу. Результаты подобных исследований значимы для фундаментальных теорий климата, видимости, переноса излучения служат основой для разработки оптических методов экологического мониторинга окружающей среды [83].
Развитие существующих модельных представлений об оптических свойствах атмосферного аэрозоля, терригенной и биогенной составляющих океанской взвеси, биологических клеток с учетом их многообразия
предполагает разработку данной проблемы в нескольких направлениях.
Во-первых, развитие точной теории дифракции электромагнитного
излучения одиночными несферическими частицами
[41,42,44,49,54,102,107,109], разработка и численная реализация
алгоритмов оценки полной системы оптических характеристик одиночной частицы, наблюдаемых линейным квадратичным приемником.
Во-вторых, при исследовании взаимодействия электромагнитного излучения с ансамблем частиц в однократном рассеянии необходимо учитывать ориентационную структуру ансамбля частиц, в этом случае особую значимость имеют эффективные алгоритмы усреднения оптических характеристик. Согласно литературным источникам [78], одним из наиболее эффективных точных методов решения задачи дифракции является метод Т-матриц, разработанный Уотерменом [109]. Отличительной особенностью метода является возможность аналитического ориентационного усреднения оптических характеристик [63,79,87]. Для изотропного ансамбля хаотически ориентированных осесимметричных частиц (2D частицы) получено аналитическое разложение элементов матрицы рассеяния [79] в ряды по обобщенным сферическим функциям [8] и численно реализован алгоритм, исключающий процедуру численного интегрирования.
Для хаотически ориентированных частиц, не обладающих осевой симметрией (3D частицы) аналогичное решение отсутствует, авторами [43,11!] используется трудоемкая процедура численного интегрирования по трем углам Эйлера.
В-третьих, необходимость решения обратных задач стимулирует исследования по оптической классификации ансамблей частиц [23,58], что позволяет свести решение ряда обратных задач к решению на классах эквивалентности.
Цель работы. Используя метод Т-матриц, разработать и численно реализовать эффективные алгоритмы аналитического ориентацией ного усреднения оптических характеристик ансамблей частиц, не обладающих осевой симметрией с последующим приложением результатов для а) проведения оптической классификации ансамблей частиц, б) оценки параметров ориентационной структуры ансамбля частиц по данным обратного рассеяния.
Научная новизна результатов и положения, выносимые на защиту.
1. Для хаотически ориентированных несферических частиц, не
обладающих осевой симметрией (3D частицы) получено аналитическое
разложение (в терминах элементов Т-матрицы) элементов матрицы
рассеяния в ряды по обобщенным сферическим функциям, исключающее
трудоемкую процедуру численного интегрирования оптических
характеристик по трем углам Эйлера. Коэффициенты являются
компактным и удобным способом хранения информации об оптических
характеристиках частиц и могут быть многократно использованы в задачах
однократного и многократного рассеяния. На основе аналитического
разложения разработан и численно реализован комплекс эффективных
программ расчета оптических характеристик - угловой зависимости
элементов матрицы рассеяния, коэффициентов рассеяния, поглощения,
ослабления. Для гексагональных цилиндров разработанный алгоритм по
времени численной реализации на два порядка эффективнее
существующих аналогов.
2. Основываясь на оптической эквивалентности изотропных
ансамблей эллипсоидальных частиц в приближении Рэлея-Ганса-Дебая
(РГД), проведена оптическая классификация ансамблей несферических
частиц (в том числе ориентированных) по микроструктурным параметрам.
Определены классы эквивалентности, в пределах которых элементы
матрицы рассеяния имеют близкие значения. Оптическая классификация
ансамблей несферических частиц позволяет свести решение ряда обратных
задач к решению на классах эквивалентности.
3. Разработана методика оценки параметров ориентационной структуры осесимметричных частиц по данным обратного рассеяния. Для горизонтально ориентированных частиц получены оценки параметров, однозначно определяющих вклад ориентационной структуры в обратное рассеяние.
Практическая значимость. Диссертационное исследование имеет практическую направленность, а его результаты могут быть использованы при создании математического обеспечения специализированной аппаратуры оптического контроля дисперсных систем для решения задач экологического мониторинга атмосферных и водных объектов, идентификации частиц, информационного обеспечения работы лидарных и радарных систем.
Достоверность результатов. Обеспечивается корректным
использованием методов теории дифракции электромагнитных волн частицами несферической формы, совпадением результатов численных расчетов с данными других авторов.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на X Рабочей группе "Аэрозоли Сибири" (Томск, 2003), X Юбилейном международном симпозиуме "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы" (Томск, 2003), XI международном симпозиуме "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы" (Томск, 2004), семинарах кафедры прикладной математики Красноярского государственного технического университета (Красноярск, 2004, 2005, 2006), XII Рабочей группе "Аэрозоли Сибири" (Томск, 2005), IX Международной конференции "Electromagnetic and Light Scattering by Nonspherical Particles" (Санкт-Петербург, 2006), ХШ Рабочей группе "Аэрозоли Сибири" (Томск, 2006).
Публикации и личный вклад автора. По материалам диссертации опубликовано 13 работ, перечень которых приведен в конце диссертации. Результаты диссертации, сформулированные в защищаемых приложениях и выводах, отражают личный вклад автора в опубликованные работы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и библиографии из 119 наименований. Работа изложена на 119 машинописных листах.
Работа поддержана грантом РФФИ № 04-05-64390.
Во введении обосновывается актуальность темы, излагается современное состояние вопроса, цель работы, отмечается научная новизна и значимость полученных результатов, формулируются основные положения, выносимые на защиту, кратко описано содержание диссертации по главам, приводятся данные о публикациях и личном вкладе автора.
В первой главе рассматривается задача дифракции электромагнитного излучения одиночной несферической частицей, приводится краткий обзор современных точных методов решения задачи дифракции. Излагаются основные соотношения метода Т-матриц. В терминах элементов Т-матриц приводятся выражения оптических характеристик: амплитудной матрицы рассеяния, матрицы Мюллера, сечений ослабления, рассеяния, поглощения.
Во второй главе, используя основные соотношения метода Т-матриц, свойства функций Вигнера и коэффициентов Кдебша-Гордона, получено аналитическое разложение элементов матрицы рассеяния хаотически ориентированных несферических частиц в ряды по функциям Вигнера, исключающее трудоемкую процедуру численного интегрирования по трем углам Эйлера.
Приводятся результаты расчетов оптических характеристик ансамблей хаотически ориентированных суперэллипсоидов, гексагональных цилиндров с использованием разработанного комплекса программ на основе полученных формул.
Получена оценка потока рассеянного излучения одиночной частицей в произвольном коническом телесном угле.
В третьей главе, основываясь оптической эквивалентности хаотично ориентированных оптически «мягких» эллипсоидальных частиц в приближении Релея-Ганса-Дебая (РГД), проводится оптическая классификация ансамблей несферических частиц, в том числе и ориентированных, по микроструктурным параметрам. Определены классы эквивалентности, в пределах которых элементы матрицы рассеяния имеют близкие значения.
К одному классу эквивалентности относятся изотропные ансамбли частиц одинаковой формы и ориентационной структуры с равными усредненными по ансамблю частиц площадью поверхности, объемом и квадратом объема. Для оптически «мягких» частиц одному классу эквивалентности принадлежат изотропные ансамбли эллипсоидальных, сфероидальных и сферических частиц.
Результаты иллюстрируются численными расчетами для полидисперсных ансамблей частиц цилиндрической, «чебышевской», эллипсоидальной, сфероидальной и сферической форм.
В четвертой главе рассматривается задача определения параметров ориентационной структуры ансамблей осесимметричных частиц по данным обратного рассеяния.
Для горизонтально ориентированных осесимметричных частиц определены два параметра, однозначно определяющих вклад ориентационной структуры в матрицу обратного рассеяния и накладывающие два независимых условия на функцию плотности ориентационного распределения частиц.
Предлагается алгоритм оценки параметров ориентационной структуры в трехмерном случае (зависимость от полярного и азимутального углов). Ориентационная структура ансамбля задается ориентационным эллипсоидом, что может соответствовать результату действия двух ортогонально направленных ориентирующих факторов. Результаты иллюстрируются расчетами с использование метода Т-матриц.
В Приложении приводятся расчетные формулы и рассматриваются свойства функций Вигнера, сферических функций Бесселя, Ханкеля и коэффициентов Клебша-Гордона.
В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Обзор современных строгих методов решения задачи дифракции
Оптические характеристики рассеянного излучения тесно связаны с такими микрофизическими параметрами рассеивателя как размер, форма, показатель преломления. Для установления взаимосвязей между оптическими характеристиками и микроструктурой рассеивающей среды требуется точные количественное описание процесса рассеяния.
Как правило, строгие методы решения задачи дифракции электромагнитного излучения основаны на численном или аналитическом решении уравнения Максвелла. Все современные методы решения задачи дифракции имеют свои особенности (сходимость, вычислительную сложность, ограничения) и, как следствие, свою область применения.
Можно выделить две категории методов: а) дифференциальные методы, основанные на решении дифференциальных уравнений Максвелла, б) интегральные методы, основанные на решении объемных или поверхностных интегральных уравнений, эквивалентных уравнениям Максвелла.
Традиционно аналитическое решение уравнений Максвелла сводится к решению векторного уравнения Гельмгольца с использованием метода разделения переменных в системе координат, в которой это разделение возможно [19]. Падающее, внутреннее и рассеянное поля частицы разлагаются в ряды по векторным сферическим функциям, ограниченным внутри частицы для падающего и внутреннего нолей и удовлетворяющим на бесконечности условиям излучения Зоммерфельда для рассеянного поля. Неизвестные коэффициенты разложения внутреннего и рассеянного полей определяются, исходя из известных коэффициентов разложения падающего поля.
Простейшей формой частиц, к которой может быть применен метод разделения переменных, является сфера. Расчеты оптических свойств для этих частиц обычно производится с помощью теории Лоренца-Ми (Лоренц, 1890) и служат эталоном для других методов. Решение для однородной изотропной сферы было получено независимо несколькими авторами (Лоренц, 1890, Ми, 1908, Дебай, 1909). Эти результаты были обобщены на случай концентрических двухслойных [39], многослойных [104], радиально неоднородных [114] сфер.
Метод разделения переменных позволяет производить очень точные вычисления, однако применим только для поверхностей, совпадающих с координатной поверхностью и только в системах координат с разделяющимися переменными в векторном уравнении Гельмгольца (сферическая, сфероидальная, цилиндрическая) [20]. Это ограничивает метод сферическими, бесконечными круговыми [105] и эллиптическими [61] цилиндрами, сфероидальными [42,47,55] частицами.
Для однородного изотропного сфероида метод разделения переменных применен Асано и Ямомото [42]. Метод решает задачу электромагнитного рассеяния для вытянутых и сжатых сфероидов в соответствующей сфероидальной системе координат и основам па разложении падающего, рассеянного й внутреннего поля по векторным сфероидальным функциям. Неортогональность векторных сфероидальных функций на сфере приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов разложения, которая решена численно. Для сфероидов размером значительно больше длины волны и для больших показателей преломления система линейных уравнений имеет большую размерность и плохо обусловлена. Это приводит к тому, что метод разделения переменных применим только к сфероидам с соотношением полуосей до 5 и дифракционным параметром до 35.
В работе Вощинникова Н.В. и Фарафонова В.Г. [102] метод был модифицирован, что позволило оценивать оптические характеристики сжатых и вытянутых сфероидальных частиц с соотношением полуосей до 100.
Одним из распространенных методов численного решения уравнений Максвелла является Finite Difference Time Domain Method (FDTDM), получивший широкую популярность благодаря простоте формулировки и численной реализации [98,117]. Частица и некоторое пространство вокруг неё покрывается равномерной сеткой. Метод использует разностные схемы для нахождения векторов напряженности электрического и магнитного полей в узлах сетки в дискретные моменты времени. Для перехода к дальней волновой зоне требуется специальная процедура перехода.
Коэффициенты разложения элементов матрицы рассеяния в ряды по обобщенным сферическим функциям
Отметим так же свойство симметрии элементов Вщп для осесимметричных частиц, используемое при численной реализации: n(-p-q) _(_\\т Я R(pq) "-тп \ V "тп
Воспользуемся формулой умножения для функций Вигнера (Ш.З) и соотношениями (П2.1) для коэффициентов Клебша-Гордона [6], чтобы из (2.7) получить [38]: ад p-pq-q со и-1-й, і і.і , 1 W? прп,р-р 2я + 1 IV л=]и=тах(і,я-«,П min(/i,rii- - ) V ПІРФЯ) Г"}т , ZJ mnm+q-qrrnm+ci-qiw-q m=msx(-n, h+q-q) (2.11) где 9 - угол рассеяния, С п - коэффициенты Клебша-Гордона [6], Z hr,--?r коэффициенты разложения, зависящие только от параметров Р РЧ ч ансамбля и не зависящие от угла рассеяния.
Следует заметить, что коэффициенты разложения g"nm не являются независимыми. Свойства параметров Стокса в СР-представлении: 1+$, /_0 - действительные величины и 12-1_2 - накладывают определенные соотношения на коэффициенты [51]: Іт(,я/) = и,ія = ±0, -/±0=/±0 ±0-/=±0/ = ±2 (2Л2)
Коэффициенты (2.11) являются компактным и удобным способом хранения информации об ансамбле частиц. При известных коэффициентах разложения элементы матрицы рассеяния могут быть оценены согласно (2.10) при минимальных вычислительных затратах для больших выборок углов рассеяния.
Аналитические формулы для коэффициентов разложения (2.10) были получены для элементов матриц рассеяния сферических [4,48,50] и хаотично ориентированных осесимметричных [51,63,79] частиц; существование разложения (2.10) было показано для изотропной рассеивающей среды [51], а так же в случае рассеивающей среды обладающей- вращательной симметрией относительно направления падающего излучения [87].
В следующем параграфе получены аналитические формулы элементов тпт% ап и коэффициентов разложения (2.11) для хаотически ориентированных частиц, не обладающих осевой симметрией. Полученные аналитические формулы коэффициентов ряда (2.10) компактны и удобны для численной реализации.
В большинстве практически важных случаях частицы не являются ориентированными, а представляют собой ансамбль частиц, случайным образом ориентированных в пространстве. В этом случае функция плотности по ориентацням частиц имеет вид;
Р(Ф) = \ж2 С учетом выбора лабораторной системы координат воспользуемся соотношениями симметрии (Ш.2), формулой умножения (П1.3) для функций Вигнера [6] и соотношениями (П2.1) для коэффициентов Клебша-Гордона [б], чтобы из формулы (2.3) получить: пт П] &т=-П] П-гП] Q(M) = V rn q А{рч) (2 13) hmmnn\ Z-r итщд-т Аптп п ч J « =max(l,n-ni] АРЧ) = ;п -п-\ 1 у rn mx+hm {рц) , р- +, йтлп п} / 1/ Z_i птщШ т]тщ+Ып \ Ь г 4 - (2/2 +1)/2 Щ Подставив (2.13) в (2.5) и воспользовавшись свойством ортогональности функций Вигнера (П1.1) и ортогональности тригонометрических функций: Г i(m-m )(p , -Jev )Vd p = 27ubmm4 о после ориентационного усреднения (2.5) получим [38]: (стесй)=Е -( т№[(2«+і)(2й+і)] 2 . nmh (2-14) Коэффициенты разложения элементов матрицы рассеяния в ряды но функциям Вигнера могут быть найдены согласно (2.11).
Оптическая эквивалентность в приближении Рэлея - Ганса - Дебая
Следуя [23,28], рассмотрим однократное рассеяние света ансамблем независимых хаотически ориентированных эллипсоидальных частиц в приближении Рэлея - Ганса - Дебая (РГД). В этом случае хаотически ориентированные эллипсоидальные частицы оптически эквивалентны [23,28]
1) трем различным (за счет перестановок а,Ь,с) ансамблям полидисперсных хаотически ориентированных сфероидальных частиц где a,b,c - размер полуосей эллипсоидальной частицы, Z]](&;a,b,c) интенсивность рассеянного излучения хаотически ориентированными эллипсоидальными частицами при неполяризованном падающем излучении единичной интенсивности, скобки означают ориептационное усреднение по ансамблю, в -угол рассеяния;
2) полидисперсным сферическим частицам с весовой функцией, инвариантной относительно перестановок а,Ь,с -, 2 m n( ) Peq (Г)= (С - Г)@(Г а)-а f da -J „ — C\ ю a {b2 a ){a - a )(/ - a ){r2 - a ) (3.4) здесь 0(x) - функция Хевисайда,
Интеграл (3.4) после соответствующей подстановки х-а сводится к полному эллиптическому интегралу 1 рода в форме Лежандра [33]. Особенности подинтегральных функций (3.3), (3.4) являются интегрируемыми.
Все отмеченные ансамбли частиц эквивалентны и имеют также равные G - [103] - средние площади проекций, т.к. частицы являются выпуклыми телами. Равенство трех микроструктурных параметров является отношением эквивалентности и разбивает все изотропные ансамбли на классы эквивалентности. В качестве представителя, характеризующего класс, используем полидисперсные сферические частицы со степенным распределением с функцией плотности распределения вида Кг , Г\ г г2, V. Ч. У ч. V /w= (3.5) 0, г[г,,г2], которая не удовлетворяет условию нормировки, параметр К интерпретируется как концентрация частиц.
Параметры распределения К, гьг2 находятся из системы уравнений S =4%ir2f(r)dr; y = lr3f(r)dr, V2 J- ir6f(r)dr. (3.6) і i) ) Эта система имеет решение в явном виде, после интегрирования разделим третье уравнение на первое и второе соответственно, чтобы исключить К, в результате получим [23] 3 1 V2 2 4 S V2 4U S ] 2 Vir V Параметры t\,r2 являются корнями квадратного уравнения и легко находятся, затем К может быть найдено из любого из трех уравнений. Условия разрешимости квадратного уравнения в действительных числах -дискриминант должен быть больше нуля.
Оптическая эквивалентность имеет более широкую область применения, если ядро интегрального оператора в формулах (3.3), (3.4) рассчитывается с использованием точных методов - метода Т-матриц и теории Ми. На рисунке 3.1 представлены линии уровня максимальных относительных погрешностей коэффициентов ослабления среди пяти эквивалентных ансамблей частиц (3.3)-(3.5) в зависимости от дифракционного параметра и для различных показателей преломления.
Точные расчеты коэффициентов светорассеяния для эллипсоидальных частиц трудоемки и могут быть выполнены в ограниченной области изменения размерных параметров и относительных показателей преломления. В то же время, согласно расчетным данным (рис. 3.1), их можно оценить, используя оптические характеристики наиболее простого с точки зрения расчетов представителя класса эквивалентности, например, полидисперсных сферических частиц с распределением (3.5).
Горизонтально ориентированные частицы
Угловая зависимость матрицы рассеяния ансамблей полидисперсных вытянутых сфероидальных частиц с е = 3 и относительным показателем преломления 1.5 для различных распределений частиц по размерам: (1) - квазигауссово распределение (г0 = 9, Д = 0.5), (2) - степенное распределение (rt = 7.571745, г2 -12.863552, К = 14644.857502), (3) - равномерное распределение (г, = 6.188316, г2 =11.759591, = 0.1802496), (4) - равномерное распределение (г, =6.241314 ,г2= 11.7373883, К = 0.1822615). Ансамбли (1),(2),(3) имеют равные 5 , V , V2 , а (1) и (4) - S , V , S2 . Поверхность «чебышевских» частиц в сферической системе координат описывается уравнением [110] R(&, p) = RQ(l + CTn(cos$)), где RQ интерпретируется как радиус невозмущенной сферы. с,- параметр возмущения, 7],(cost9) = cos«5 - полином Чебышевал степени. Для отмеченных форм частиц используются функции распределения , жЬ 1жс 2%Rrs параметра г - дифракционных параметров -—, и — АЛ А соответственно для круговых цилиндров, сфероидальных и «чебышевских» частиц.
Расчетные данные (рис. 3.6-3.8) свидетельствуют о справедливости рабочей гипотезы - эквивалентные ансамбли частиц имеют близкие по значениям элементы матрицы рассеяния, относительные вариации коэффициентов рассеяния среди всех рассмотренных эквивалентных ансамблей частиц не превышают 0.4%.
Отметим, что гипотеза выполняется и для распределений с «тяжелыми» хвостами - логнормального и гамма распределений [82], а классы эквивалентности, определяемые микроструктурными параметрами 6Т , V , V2 и S , V , S2 , практически совпадают для представленных в расчетах форм частиц.
Логическим продолжением является расширение результатов на ансамбли несферических частиц с произвольной ориентационной структурой, а так же проверка соответствующей гипотезы.
В общем случае матрица рассеяния ансамбля частиц с произвольной функцией плотности имеет 16 независимых элементов. При этом симметрия матрицы рассеяния определяется не показателем преломления или размерными параметрами частиц ансамбля, а формой частиц и ориентационной структурой ансамбля [80].
Поэтому естественным было бы добавить к отношению эквивалентности дополнительное условие - равенство ориентационных структур эквивалентных ансамблей. Таким образом, к одному классу эквивалентности отнесем ансамбли частиц одной формы и одной ориентационной структуры, имеющие равные три момента распределения - S , V и V .
Пусть p(aj3y) функция плотности распределения по ориентациям частиц ансамбля, где а, Д у - углы Эйлера, определяющие последовательное вращение относительно подвижных осей координат Z,Y,Z лабораторной системы координат к системе координат, связанной с частицей. Рассмотрим случай ансамбля несферических частиц с функцией плотности распределения р{а(5у) = 8{а- a0)S(cosfi - cos (3Q)8{y /0), что соответствует случаю, когда все частицы имеют одинаковую ориентацию, определяемую углами Эйлера а0,/30,у$. Заметим, что ориентация осе симметричных частиц не зависит от угла у.
На рисунке 3.9. представлена угловая зависимость элементов матрицы рассеяния в плоскости референции р-0 для эквивалентных ансамблей ориентированных {а0 =30,Д, = 60,/0 -0) вытянутых сфероидальных частиц равного показателя преломления, одной формы и со следующими законами распределения по размерам: 1) квазигаусово распределение (/? = 15,Д = 0.3), 2) степенное распределение (г, -13.090355, г2 = 18.48155, К =156439.5007), 3) равномерное распределение (г{ -12.25234, г2 = 17.737515, = 0.182401).
Похожие диссертации на Аналитические алгоритмы усреднения оптических характеристик ансамблей несферических частиц
