Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы получения оценок измеряемой величины 13
1.1. Введение 13
1.2 Актуальность проблемы построения доверительных интервалов .. 13
1.3. Теоретические основы 15
1.3.1. Вычисление точечных оценок случайной величины X 16
1.3.2. Построение доверительных интервалов 17
1.4. Существующие способы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии 25
1.5. Анализ рассмотренных методов 29
1.6. Рекуррентные алгоритмы вычисления оценок математического ожидания и дисперсии 30
1.7. Анализ возможностей синтеза рекуррентных алгоритмов вычисления доверительных интервалов /и/ 31
1.8. Выводы 33
Глава 2. Рекуррентное вычисление интервальных оценок математического ожидания и дисперсии с использованием разностных уравнений 34
2.1. Введение 34
2.2. Теоретические основы предлагаемого алгоритма 35
2.3 Исследование корректности постановки задачи 37
2.4. Регуляризация систем уравнений 43
2.4.1 Метод регуляризации Лаврентьева 44
2.4.2 Метод регуляризации Тихонова 45
2.4.3 Метод регуляризации, основанный на вычислении псевдообратной матрицы и псевдорешений (ПМП) 45
2.4.4 Результаты исследования предложенных методов регуляризации 48
2.5 Результаты исследования предложенного алгоритма на точность вычисления 52
2.6. Выводы 58
Глава 3. Вычисление квантилей использованием численных методов 59
3.1. Введение 59
3.2 Вычисление квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения с использованием численных методов решения соответствующих уравнений 60
3.2.1 Постановка задачи 60
3.2.2 Выбор и анализ численных методов 61
3.2.3 Результаты исследования предложенных алгоритмов 73
3.3 Вычисление квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения с использованием численных методов интерполяции и аппроксимации 83
3.3.1 Постановка задачи 83
3.3.2 Интерполяция функций Sr(ta) и Sr\xl) 84
3.3.2 Экстраполяция функцийSr(ta) и S\xl) 94
3.3.3 Аппроксимация функций Sr(ta) и S\xl) 97
3.4 Исследование алгоритмов на скорость вычисления 107
3.5 Прогнозирование функций Sr(ta) и Sr\xl) с использованием синтеза численного метода припасовывания элементарных трапеций и метода основанного на построении приближающих функций
3.6. Выводы 115
Глава 4. Применение рекуррентных алгоритмов построения доверительных интервалов для оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины 118
4.1. Введение 118
4.2 Использование предложенных алгоритмов в программном обеспечении холтера Биоток 5000 118
4.2.1 Описание холтера Биоток 5000 120
4.2.2 Классификация помех и шумов, влияющих на качество электрокардиограммы и методы их устранения в холтере Биоток 5000 122
4.2.3 Структура программного обеспечения холтера Биоток 5000... 124
4.2.4 Постановка задачи адаптивного усреднения QRS-комплексов 127
4.2.5 Сущность предлагаемого алгоритма адаптивного усреднения. 128
4.2.6 Анализ помехи, влияющей на сигнал электрокардиограммы... 130
4.2.7 Результаты тестирования предложенных алгоритмов 135
4.3 Оценка значений измерений хода пружин при автоматизированной настройке манометров 139
4.3.1 Постановка задачи оценки значений измерений хода пружин при автоматизированной настройке манометров 139
4.3.2 Результаты исследования закона распределения хода пружин манометров 140
4.3.2 Анализ возможности построения доверительного интервала для математического ожидания выборки значений измерений хода пружин, используя квантили распределения Стьюдента 142
4.3.3 Результаты сравнения методов сравнения построения доверительных интервалов 145
4.4 Использование предложенных алгоритмов в учебном процессе. 149
4.5. Выводы 156
Заключение 158
Список использованных источников 160
Приложения 168
- Актуальность проблемы построения доверительных интервалов
- Теоретические основы предлагаемого алгоритма
- Вычисление квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения с использованием численных методов решения соответствующих уравнений
- Использование предложенных алгоритмов в программном обеспечении холтера Биоток 5000
Введение к работе
Математические методы обработки экспериментальных данных играют существенную роль при измерениях. С усложнением методов измерений и повышением требований к точности измерений их роль становится все более важной. Во многих современных измерительных задачах получить требуемую точность результатов удается, лишь с применением более эффективных методов обработки данных, которые, как правило, используются в вычислительных машинах.
В настоящее время вопрос обработки данных с использованием вычислительных машин широко рассмотрен в различной литературе [1,13,24,37,42-48], которая весьма разнородна и освещает отдельные стороны задачи обработки данных. Наиболее полные исследования в этой области произвели следующие авторы: Г.С. Теслер[1], В.А. Грановский [4], Ю.В. Благовещенский [13], А.Н. Тихонов [55], J. С. Nash.
Наиболее часто используемым методом обработки данных является статистический метод. Как правило, при статистической обработке измерений основной задачей является получение оценок параметров а измеряемой величины (довольно часто этими параметрами являются математическое ожидание и дисперсия, реже - моменты более высоких порядков). Однако в ряде случаев требуется не только найти для параметра а подходящее численное значение, но и оценить его надежность и точность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра а его точечной оценкой, и с какой уверенностью можно ожидать, что ошибки не выйдут за известные пределы. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки а, в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.
Задача построения доверительных интервалов для оценок
математического ожидания и дисперсии в математической статистике решена для классического случая, т.е. когда закон случайной величины X имеет вид нормального распределения. Основными неизвестными, которые необходимо вычислить для построения доверительных интервалов, являются оценки математического ожидания и дисперсии, а также квантили распределения Стьюдента ta и хи-квадрат распределения %" .
Несмотря на то, что в настоящее время уже предложено значительное количество алгоритмов построения доверительных интервалов, базирующихся на самых разнообразных идеях и подходах [1,13,24], задача разработки новых и совершенствования уже имеющихся актуальна и сегодня. Как правило, предложенные ранее алгоритмы довольно трудоемки, с точки зрения затрат машинных ресурсов, и входят в такие пакеты программ, как Mathcad, MatLab, Lab View и др.. Данные пакеты программ требуют для своей работы большого количества машинных ресурсов, что не позволяет ими воспользоваться в некоторых измерительных системах.
В настоящее время становится актуальна задача разработки автоматических систем измерения, работающих в режиме реального времени, причем основными требованиями, предъявляемых к ним — это высокая скорость вычисления и малые габариты устройства. В частности, к таким системам можно отнести портативные устройства, работающие в режиме реального времени, выполненные на базе промышленных компьютеров, микроконтроллеров, программируемых логических интегральных схем (ПЛИС).
Так как вычислительные мощности небольшой микропроцессорной системы не соизмеримы с вычислительными мощностями персональных компьютеров (процессорное время, память (оперативная и виртуальная), место на жестком диске), то при разработке программного обеспечения необходимо использовать такие алгоритмы, которые позволяли бы обрабатывать данные с минимальными затратами ресурсов вычислителя.
Как известно [24] , алгоритмы, необходимые для вычисления квантилей можно условно разбить на два класса: рекуррентные и ретроспективные алгоритмы. Одним из основных факторов, обуславливающих предпочтительность использования рекуррентных алгоритмов в системах с дефицитом вычислительных ресурсов, является то, что они менее трудоемки по сравнению с ретроспективными алгоритмами подобного назначения и, соответственно, их использование позволяет создавать более быстродействующие системы. Таким образом, при разработке рекуррентного алгоритма построения доверительных интервалов возникает возможность одновременно реализовать оба требования, предъявляемые к алгоритму для систем, работающих в режиме реального времени с ограниченными ресурсами, а именно — высокая скорость вычисления и малая трудоемкость.
Актуальность работы обусловлена отсутствием в широкой печати результатов исследования алгоритмов рекуррентного построения доверительных интервалов для оценок математического ожидания и дисперсии, необходимых при проектировании систем с дефицитом вычислительных ресурсов которые работают в реальном времени. К таким системам можно отнести как большие вычислительные системы, такие как системы управления подводных лодок, космических аппаратов, атомных реакторов и др., так и как системы, в которых основную вычислительную нагрузку несет не персональный компьютер, а микроконтроллер, ПЛИС, промышленный компьютер, и другие вычислители.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является синтез и исследование рекуррентных алгоритмов, позволяющих строить доверительные интервалы оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины, в системах реального времени с дефицитом вычислительных ресурсов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) рассмотреть и проанализировать возможности построения доверительных интервалов следующими методами:
• методом прогнозирования квантилей с использованием разностных уравнений;
• методом, основанном на решении уравнений, в которые входят искомые квантили;
• методом, основанном на приближении соответствующих функций Sr(ta)KSr(%a) 2) проанализировать возможности использования этих методов для разработки программного обеспечения в системах реального времени с небольшим количеством вычислительных ресурсов;
3) синтезировать алгоритмы, позволяющие вычислять квантили с наименьшими затратами машинных ресурсов и максимальной скоростью;
4) опробовать предложенные алгоритмы в уже существующих системах реального времени.
Методы выполнения исследований. При решении поставленных задач использовались численные методы решения трансцендентных уравнений, методы аппроксимации и интерполяции функций, а также методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Исследование свойств алгоритмов проводилось теоретически с использованием теории вероятностей и математической статистики и экспериментально с использованием пакета программ MATLAB.
Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что впервые были получены следующие результаты:
1) Предложен оригинальный метод последовательного припасовывания элементарных трапеций справа (Ml ill), предназначенный для решения трансцендентных уравнений относительно квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения; 2) Для систем с дефицитом вычислительных ресурсов, разработан алгоритм вычисления квантилей ta и j , основанный на синтезе методов Mi 111 и ДРА, что позволило соединить достоинства обоих этих методов, а именно — универсальность Ml 111 и скорость вычисления ДРФ.
3) Предложен оригинальный способ регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнения, получаемой при прогнозировании квантилей с использованием разностных уравнений, который по сравнению с традиционными способами регуляризации подобных систем уравнений позволяет получать более точные и устойчивые решения;
4) Для мобильного устройства контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000 был предложен адаптивный алгоритм усреднения фрагментов электрокардиограмм (QRS комплексов), что по сравнению с традиционным методом усреднения позволило, существенно сократить время усреднения QRS комплексов и повысить точность диагностики.
Практическая ценность работы заключается в следующем. Предложенные алгоритмы были использованы для обработки ЭЮГ в мобильном устройстве контроля и диагностики состояния сердечнососудистой системы человека Биоток 5000. Использование алгоритмов позволило организовать адаптивный процесс усреднения фрагментов электрокардиограммы, что привело к сокращению времени анализа в некоторых случаях в 10-15 раз, по сравнению с традиционным (т.е. когда количество усреднений фиксировано, вне зависимости от уровня помехи) методом усреднения.
На основе предложенных алгоритмов рекуррентного построения доверительных интервалов была внедрена методика автоматической регулировки хода пружин манометров. Данный результат был применен при проведении на ОАО «Манотомь» НИР в направлении автоматизации процесса настройки манометров.
Кроме того, предложенные алгоритмы были внедрены в учебный процесс в качестве лабораторных работ.
Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на XI, XII и XIV Международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, соответственно 2005 г., 2006 г. и 2008 г.), Международной научно-практической конференции «Электронные средства и системы управления» (г. Томск, 2005 г.), Всероссийских научно-технических конференциях студентов и молодых ученых «Научная сессия ТУ СУР» (г. Томск, 2004-2006 г.г.), а также на научных семинарах кафедры информационно-измерительной техники Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР).
Личный вклад автора в выполнение работы. Определение основных направлений деятельности, постановка задач и выбор методик исследований осуществлялись автором совместно с научным руководителем. Все результаты, описанные в данной работе, были получены автором лично.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано девять печатных работ, из них две работы опубликованы в журналах, рекомендуемых в ВАК для опубликования результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук. Основные положения, выносимые на защиту.
1. Метод рекуррентного вычисления квантилей хи-квадрат
распределения - %а и распределения Стьюдента - ta, основанный на решении разностных уравнений.
2. Алгоритмы решения трансцендентных уравнений, возникающих при
2 вычислении квантилей Ха и 1а •
3. Метод вычисления квантилей ta и Ха с использованием аппроксимации и интерполяции соответствующих функций.
4. Результаты исследования предложенных численных методов
2 вычисления квантилей ta и Ха •
5. Применение предложенных алгоритмов в уже существующих системах реального времени.
В первой главе рассмотрена краткая теория построения доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии, а также существующие на сегодня способы их вычисления.
Во второй главе исследуются возможные алгоритмы рекуррентного построения доверительных интервалов с использованием разностных уравнений. Также в данной главе исследуются вопросы регуляризации СЛАУ.
В третьей главе представлены результаты исследования численных методов решения соответствующих трансцендентных уравнений, такие как метод Ньютона, метод дихотомического деления, метод хорд, а также метода последовательного припасовывания элементарных трапеций справа. Также в главе приведены результаты исследования алгоритма вычисления квантилей а и %1 используя интерполяцию алгебраическими многочленами и аппроксимацию различными функциями. Описаны результаты использования каждого из этих численных методов, а также предложен новый метод вычисления квантилей ta и Ха •
В четвертой главе представлены результаты применения разработанных алгоритмов: 1) при обработке ЭКГ в мобильном устройстве контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000, 2) при оценке результатов измерения значений хода пружин манометров, а также 3) в учебном процессе, при исследовании возможности статистической обработки, используя среду графического программирования LabVIEW 7.0.
В приложениях приведены документы, подтверждающие внедрение и использование результатов диссертационной работы.
Объем и структура. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 81 наименований. Содержание работы изложено на 175 страницах основного текста, иллюстрировано 38 рисунками и 30 таблицами. В приложении приведены документы, свидетельствующие о практической реализации результатов исследований и разработок автора.
В диссертации принята двойная нумерация формул: первое число — номер главы, второе-номер формулы. Нумерация рисунков и таблиц также двойная. Все матрицы и векторы выделены жирными буквами.
Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору кафедры ИИТ ТУСУРа Светлакову А.А., коллективу кафедры ИИТ, а также своим родным за всемерную помощь и поддержку при написании диссертационной работы.
Актуальность проблемы построения доверительных интервалов
В целом ряде отраслей таких, как экономика, химия, медицина, социология, радиолокация, теории автоматического управления и т.п., существуют задачи, в которых необходимо не только вычислять оценки измеряемой величины, но и определять их достоверность. В математической статистике решение этих задач производится путем построения доверительного интервала 1а, который с заданной вероятностью а накрывает оцениваемое значения [5,54]. Доверительный интервал 1а устанавливает точность определения оценок рассматриваемого параметра, а характеристикой надежности получаемой оценки является доверительная вероятность а.
Например, в частности в различных компаниях при проведении аудиторских проверок для выяснения точности записей в информационной системе производят контрольные выборки накладных. Для оценки точности полученных результатов используют метод, основанный на построении доверительных интервалов [5]. Также, к примеру, в медицине и социологии для оценки результатов опроса и исследований широко используется метод доверительных интервалов.
Еще более широко интервальные оценки используются в технических приложениях. Так, в настоящее время уделяется большое внимание разработке автоматизированных систем управления технологическими процессами (АСУТП). Одной из главных задач, возникающих в процессе функционирования подобных систем, является задача получения достаточно точных и надежных оценок неизвестных истинных характеристик управляемого объекта [2,4]. При определении данных характеристик для обеспечения желаемой точности целесообразно определять не точечные оценки их неизвестных значений, а некоторый интервал, который с заданной вероятностью накрывает данные значения.
Как известно [6], в настоящее время существуют методы ретроспективного оценивания (лат. "retro" — назад и "specto" — смотрю). Данные методы основаны на вычислении оценки на основании полученной выборки целиком. А также — методы последовательной обработки результатов (т.е. когда при поступлении нового измерения происходит только коррекция текущей оптимальной оценки). Такие методы называются рекуррентными методами оценивания (лат. "гесшто " — бежать назад, возвращаться).
Выбор того или иного метода оценивания зависит от требований, предъявляемых к методике оценки начальных условий, и количества системных ресурсов. Методы ретроспективного оценивания наиболее рационально используются, как правило, в тех случаях, когда необходимо обработать уже заранее полученные измерения. Как правило, обработка происходит на персональном компьютере, и скорость вычисления не является первоочередным критерием при обработке, а главным критерием считается точность вычисления.
В случае же, когда возникает потребность вычислять оценку непосредственно при каждом новом измерении, необходимо воспользоваться рекуррентными алгоритмами. К примеру, при обработке данных с аналогового цифрового преобразователя (АЦП) возникает необходимость в остановке преобразования АЦП при достижении выборочным средним такого значения, при котором оно с заданной вероятностью накрывается доверительным интервалом. Также большая потребность в подобных алгоритмах возникает при проектировании измерительных систем, работающих в режиме реального времени. Системами реального времени (СРВ) принято считать такие системы [23], которые способны функционировать синхронно с процессами, протекающими в окружающей их среде. Благодаря этому свойству, СРВ находят широкое практическое применение в качестве систем управления, связи, сбора информации.
Таким образом, проблема оценивания результатов измерений с использованием доверительных интервалов является на сегодняшний день актуальной. Вкратце рассмотрим основные положения теории построения доверительных интервалов.
Теоретические основы предлагаемого алгоритма
Стоит отметить, что предложенные в работах [1,13,24,37,44] алгоритмы вычисления квантилей ta, ,%\ кХг или недостаточно исследованы в возможности их использования для рекуррентного вычисления (т. к. по видимому, перед авторами не стояла такая задача) или эти алгоритмы в большой мере стоит отнести к ретроспективным алгоритмам. Так, в работе [1] автор предлагает для вычисления квантилей распределения Стьюдента воспользоваться алгоритмом, основанным на вычислении взаимообратных функций.
Таким образом, возникает необходимость в исследовании и синтезе рекуррентных алгоритмов, позволяющих строить доверительные интервалы в системах с дефицитом вычислительных ресурсов.
Далее рассмотрим вопросы построения рекуррентных алгоритмов вычисления оценок ти ІЗ, а затем — возможность рекуррентного построения доверительных интервалов /"и /f кним.
Разработчикам программного обеспечения часто приходится сталкиваться с ситуациями, когда уже при известных значениях оценок т поступают новые измерения переменной X. Наибольший интерес представляет возможность пересчета данных значений с учетом поступления в систему нового измерения. Это объясняется тем, что, имея алгоритм решения данной частной задачи, можно решить ее в общем случае, когда выборка увеличивается не на одно, а на s измерений (где s - некоторое натуральное число такое, что s l). Действительно, для этого, очевидно необходимо и достаточно решить последовательно s частных задач с помощью имеющегося алгоритма.
Для вычисления оценок т и D синтез подобных алгоритмов не составляет особого труда (данный подход достаточно подробно описан в работе [71]): для этого достаточно записать формулы (1.1) и (1.2) для случая, когда выборка пополнилась еще одним (/7+1)-м измеренным значением хп+\, и в правых частях полученных при этом выражений выделить значения т и D. Действуя указанным образом, приходим соответственно к формулам вида:
Анализируя правые части данных формул, можно непосредственно видеть, что формулой (1.24) можно пользоваться, начиная с /7=1, а формула (1.25) применима только, начиная с /7=2. Не менее просто, при этом видеть, что данные алгоритмы являются предельно экономичными как с точки зрения объемов памяти, необходимых для их реализации, так и с точки зрения объемов вычислений, и, соответственно, они являются вполне доступными для программной и аппаратной реализации с помощью современных средств вычислительной техники, в том числе и в рамках систем сбора данных, функционирующих в реальном масштабе времени.
Рассмотрим теперь возможности синтеза подобных алгоритмов для рекуррентного построения доверительных интервалов 1"и1". Как было сказано выше, отличительной особенностью рекуррентных алгоритмов является скорость вычисления. Таким образом, необходимо либо максимально увеличить скорость вычисления предложенных в работах [1,13,24,37,44] алгоритмов, либо рассмотреть другие алгоритмы рекуррентного построения доверительных интервалов. Исходя из этого, для рекуррентного построения доверительных интервалов можно воспользоваться, по крайней мере, тремя способами.
Первый способ основан на прогнозировании функций Sr(ta) и Sr \х\) на итерации п, основываясь на значениях этих функций на предыдущих итерациях (п-1, п-2, и-3, и-4,...и т.д.). Данный способ можно реализовать, используя решения разностных уравнений. Преимуществом данного способа при рекуррентном оценивании является отсутствие необходимости в наличии информации об общем количестве измерений.
Второй способ заключается в применении численных методов решения уравнения (1.14) и (1.19), (1.20), что избавляет от необходимости использовать ранее составленные таблицы. Достоинством этого способа является его универсальность, поскольку он позволяет вычислять искомые квантили при любом значении доверительной вероятности и числа степеней свободы без каких либо начальных данных.
Третий способ заключается в замене исходных функций Sr(ta) и Sr{%l) на заданном отрезке числа степеней свободы г более простыми приближающими (аппроксимирующими или интерполирующими) функциями Kr(ta) и К\%1). Преимуществом данного способа является нахождение квантилей ta и Ха без решения сложных трансцендентных уравнений, что увеличивает скорость вычисления, и при этом сохраняются все достоинства второго способа.
Вычисление квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения с использованием численных методов решения соответствующих уравнений
Такое поведение кривых вызвано, тем, что т.к. вычисления происходят с определенной ошибкой, то с увеличением итераций происходит ее накопление, и, как следствие, уменьшается и точность вычисления. Также из рисунков видно, что 0t и в 2 сильно зависят от начального значения числа степеней свободы г=го, при котором началось вычисление. Так, при прогнозировании квантилей ta значения между 9t , вычисленными при го=10 и г0=80, отличаются на три порядка, а при прогнозировании квантилей отличия при тех же начальных значениях числа степеней составляют два порядка и один порядок, в зависимости от порядка матрицы. Данная зависимость обусловлена тем, что с увеличением числа степеней свободы крутизна функций S,(ta) и Sr\xl) становится все меньше, и, следовательно, функции более прогнозируемы.
Далее рассмотрим влияние значения доверительной вероятности а на точность прогнозирования. При исследовании было отмечено, что вне зависимости от порядка матриц Т и X точность прогнозирования сильно зависит от значения доверительной вероятности а, как при прогнозировании квантилей ta, так и квантилей - Так, точность увеличивается при таких значениях доверительной вероятности, при которых функции Star\ta) и S 2 \xl) носят наиболее близкий к линейной зависимости характер: для функции Star{ta) это значение а=0,8 , а для S г [xl) - а= 0,1 и 0,9. На рисунках 2.13 и 2.14 представлены кривые показывающие изменения 9t и в в зависимости от числа степеней свободы г, при значениях доверительной вероятности а равной 0,01, 0,1, 0,8, 0,9 ,0,95 и 0,999, при этом порядок матриц Т и X равен двум.
На основании рассмотренных в данной главе результатов исследования можно сделать вывод, что данный алгоритм, в связи с невысокой точностью вычисления на наиболее часто используемом в инженерной практике отрезке числа степеней свободы [2-70], не является в полной мере приемлемым для разработки программного обеспечения в измерительных системах. Таким образом, для практического применения необходимо рассматривать другие методы вычисления квантилей.
В данной главе рассмотрены возможности реализации рекуррентного вычисления квантилей ta и Ха с использованием разностных уравнении, связывающих значения квантилей на предыдущих итерациях (п-l, п-2, п-Ъ, п-4,... и т.д.).
Проведено исследование предложенного алгоритма на корректность постановки математической задачи и выявлено, что в случае порядка матриц Т и X, большего двух, задача оценивания является некорректной, и для ее решения необходимо воспользоваться методами регуляризации.
Проведены исследования наиболее популярных методов регуляризации, в результате которых установлено, что наиболее точные и устойчивые решения получаются при использовании метода регуляризации, основанного на применении псевдообратной матрицы.
При исследовании предложенного алгоритма на точность вычисления, установлено, что вне зависимости от порядка матриц Т и X, точность вычисления существенно зависит от начального значения числа степеней свободы г=го и значения доверительной вероятности а.
В целом результаты исследования подтверждают возможность использования предложенного алгоритма для прогнозирования искомых квантилей, однако область использования алгоритма ограничена его точностью.
Во второй главе рассматривался подход к вычислению квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат, основанный на значении этих квантилей на предыдущих итерациях, т.е. подход в котором не учитывается информация о поведении функций изменения искомых квантилей. Исследование данного алгоритма показали его эффективность, но также выявили и ряд его недостатков. Далее рассмотрим еще один способ организации рекуррентного вычисления (или прогнозирования) квантилей ta и Ха, основанный на использовании информации о функциях Sr{ta) и
Как показывает анализ имеющихся в данном случае возможностей, существуют как минимум два способа решения подобных задач. Первый из них основан на использовании уравнения, возникающего при построении доверительного интервала, и его решений с помощью того или иного известного численного метода. Решение названного уравнения позволяет строить доверительные интервалы при любом значении доверительной вероятности а и любом объеме выборки.
Другой из этих способов заключается в том, что устанавливается функциональная зависимость величины квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат от нескольких параметров и, прежде всего, от объема выборки значений контролируемой величины X, и далее эта зависимость интерполируется или аппроксимируется какой-либо достаточно просто устроенной и доступной для реализации в имеющихся условиях функцией. К достоинством данного подхода можно отнести достаточно высокую скорость вычисления приближающих функций и следовательно малое время вычисления искомых квантилей. В следующих разделах данной главы рассматриваются оба этих подхода более подробно.
Использование предложенных алгоритмов в программном обеспечении холтера Биоток 5000
Основным недостатком "традиционных численных методов" является большое количество вычислений приближенных значений корня, а следовательно, и общий объем вычислений, необходимых для отыскания корня уравнения. Данного недостатка лишен метод последовательного припасовывания элементарных трапеций справа. Сравним насколько отлична скорость вычисления корня уравнения с применением МПП от скорости его вычисления традиционными численными методами. В связи с тем, что скорости вычисления квантилей распределения Стьюдента и распределения хи-квадрат традиционными методами, и МПП примерно одинаковы, то для сравнения скоростей возьмем метод Ньютона и МПП для вычисления корня ta уравнения (3.1).
Основной объем вычислений при отыскании корня уравнения (3.1) ta затрачивается на вычисления интеграла I(n,ta). Для сравнения скорости вычисления численных методов можно использовать в качестве параметра количество элементарных трапеций j, которые необходимо вычислить, для вычисления корня уравнения, используя численный метод интегрирования, описанный выше.
В таблице 3.4 приведены значения количества элементарных трапеций при сравнении численных методов вычисления корня ta уравнения (3.1). Для сравнения обоих методов зададимся высокой точностью е=0,0001. Вычисления методом Ньютона производилось при разнице Л между корнем уравнения ta и начальным приближения ta$ равном 0,5 и 0,1, соответственно.
Как видно из таблицы 3.6, скорость вычисления корня уравнения (3.1) при использовании любого из этих двух методов зависит от значения доверительной вероятности а и числа итераций от п. Так, чем меньше а и больше п, тем быстрее происходят вычисления. Также из таблицы видно, что наиболее "быстрым" методом, из рассматриваемых, является метод последовательного припасовывания элементарных трапеций справа, при любых значениях доверительной вероятности а.
Таким образом, при сравнении "традиционных численных методов" и МПП можно отметить, что точность вычисления Ml 111 соизмерима с точностью "традиционных численных методов", однако МПП существенно выигрывает по скорости вычисления. Таким образом, МПП является наиболее предпочтительным численным методом вычисления ta и xl Для рекуррентного построения доверительных интервалов.
Рассмотренный выше способ вычисления искомых квантилей ta яХа обладает одним существенным недостатком, а именно - трудоемкость вычисления трансцендентных уравнений (3.1) и (3.2). Для увеличения скорости вычисления квантилей ta и Ха рассмотрим второй способ, который основан на замене функций функциях Sr\ta) и Sr\Xa) более простыми, аппроксимирующими или, что тоже самое приближающими функциями Kr(ta) и Kr\x J. Скорость вычисления которых выше, чем скорость вычисления исходных функций Sr{ta) и Sr\xa) Для нахождения приближающих функций Kr(ta) и Kr\Za) существуют следующие три подхода: 1. подход, основанный на интерполяции функций Sr (ta ) и Sr [хй ) 2. подход, основанный на экстраполяции функций Sr{ta ) и St \Ха) , 3. подход, основанный на аппроксимации функций Sr \ta ) и Sr \х"а). Названные подходы широко известны и применяются в современной вычислительной технике. В данной главе рассмотрим возможность их реализации для вычисления квантилей ta и Ха Введем для оценки точности приближения следующие две величины: 1. ошибка приближения е(г), вычисляемая при каждом новом числе степеней свободы г; 2. сумма квадратов ошибки 8, вычисляемая на заданном отрезке приближения [а,Ь]. Данные величины определяются следующими равенствами: где г — число степеней свободы, а — доверительная вероятность, а и Ь — границы отрезка приближения. Интерполяция функций Sr{t) и Sr[xl)- Как известно [44], интерполяция (лат. "interpolatio" -изменение, переделка) - это один из способов аппроксимации данных. В простейшем (одномерном) случае задача интерполяции [45-47] состоит в следующем: заданы точки (х{) yt), i = \,n и требуется найти такую функцию Дх), которая проходит через эти точки, и соответственно удовлетворяет равенству: Точки (Хі,уг) называют узлами интерполяции, а функцию fix) интерполирующей функцией или интерполянтом. Вид функции Дх) определяет способ интерполяции. Существует много вариантов решения задачи интерполяции: полиномиальная интерполяция, интерполяция тригонометрическими многочленами, интерполяция сплайнами и другие способы. В данной главе рассматривается полиномиальная интерполяция функций Sr[ta) и Sr\Za)- так как данные полиномы легко вычислять, дифференцировать, интегрировать и выполнять другие операции. Далее при исследовании интерполяцию будем производить на наиболее используемом при построении доверительных интервалов отрезке [а, Ь] числа степеней свободы г, от 1 до 120 [6]. Интерполяцию будем производить как одним и тем же полиномом на всем отрезке интерполяции (глобально полиномиальная интерполяция), так и несколькими различными полиномами (кусочно-полиномиальная интерполяция) [45]. Рассмотрим реализацию данных подходов.
