Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сезонные колебания в социально-экономических процессах 10
1.1 Исследование сезонности в социально-экономических процессах 10
1.2 Анализ критериев наличия сезонности 29
1.3 Показатели измерения сезонности 38
1.4 Математические модели тренд-сезонных процессов 47
Глава 2. Прогнозирование экономических показателей, подверженных сезонным колебаниям 63
2.1 Экономико-математические подходы исследования тренд-сезонных процессов 63
2.2 Анализ методов и критериев, используемых при построении доверительных интервалов 74
2.3 Исследование способов построения доверительных интервалов в различных математических моделях 83
Глава 3. Методика моделирования интервальных оценок при прогнозировании тренд-сезонных экономических процессов 114
3.1. Анализ программных продуктов исследования и прогнозирования временных рядов 114
3.2. Алгоритм методики оценивания доверительных интервалов 120
3.3 Анализ результатов моделирования сезонных и тренд-сезонных экономических процессов 131
Заключение 150
Список литературы 152
Приложение 164
- Анализ критериев наличия сезонности
- Математические модели тренд-сезонных процессов
- Анализ методов и критериев, используемых при построении доверительных интервалов
- Алгоритм методики оценивания доверительных интервалов
Введение к работе
Исследование социально-экономических процессов и явлений в подавляющем большинстве случаев включает такой естественный и необходимый элемент, как экономико-математические методы и модели. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать существенные экономические связи исследуемых объектов. Во-вторых, сформировать группу наиболее существенных эндогенных переменных, определяющих исследуемый объект. В третьих, оценить их взаимовлияние и возможные воздействие на них внешних факторов, использовать полученные результаты для прогнозирования и принятия решений.
В рыночной экономике прогнозирование является основой всей системы управления, развитая система альтернативных прогнозов позволяет избежать нежелательных негативных ситуаций. Потребность в перспективной оценке, например, хозяйствующего объекта, связана с тем, что руководителю важнее предотвратить возможный в перспективе неудачный исход, чем исправлять или компенсировать фактически полученный ущерб. В этой связи особо востребованными для практического использования оказались методы прогнозирования экономических показателей.
Экономическое прогнозирование характеризует будущее развитие, исходя из гипотезы, что основные тенденции, действующие факторы и зависимости прошлого и текущего периода сохранятся на период прогноза, либо можно предопределить и учесть направление их изменений в рассматриваемой перспективе. Развитие прогнозируемых социально-экономических процессов в этом случае должно быть представлено в виде определенной траектории, то есть процессы в той или иной мере должны обладать инерционностью. Использование перечисленных предположений основано на специфике прогноза как одного из способов познания. Это объясняется тем, что при прогнозировании на первый план выдвигается исследование не того, что есть, а того, что будет, то есть необходимо
смоделировать процесс и с помощью модели воспроизвести его характеристики в перспективе. В философии такой способ познания называют опережающим отражением. Оно возможно при выполнении следующих предпосылок:
- прогнозируемая система в своем развитии имеет определенные объективные черты, закономерности, проявляющиеся в повторяемости и устойчивости ряда связей и отношений;
- в развитии системы имеют место сходные, циклически повторяющиеся ситуации, которые позволяют накопить достаточно информации о познавательных сходных ситуациях и на этой основе создать условия для выработки запаздывающего отражения;
- запаздывающее отражение не приводит непосредственно к опережающему отражению, поскольку в развитии любой сложной системы не бывает точного повторения одних и тех же ситуаций и накопленная информация не может непосредственно использоваться для прогнозирования, необходимо наличие активного субъекта, который переработал бы информацию о развитии прогнозируемого объекта, окружающей его среды и в результате своей деятельности воспроизвел бы этот образ в прогнозируемом периоде.
Математические модели, используя апостериорную информацию, позволяют воспроизвести запаздывающее отражение, переводя его в опережающее отражение. Прогноз возможен только в случае осмысления и переработки информации, полученной с помощью моделей, активным субъектом -лицом принимающим решение (ЛПР).
Прогноз, полученный с использованием математической модели, может быть достоверен настолько, насколько использованная математическая модель соответствует самому социально-экономическому процессу. В экономическом прогнозировании роль неучтенных и случайных факторов достаточно велика, поэтому прогноз всегда носит в определенной мере вероятностный характер, и совпадение фактических данных будущего периода с данными, полученными при прогнозировании маловероятно. Это объясняется следующими причинами: во-первых, использованная для прогнозирования модель не является всеобъемливающей и единственной для описания исследуемого процесса, во-вторых, прогноз осуществляется с использованием ограниченной информационной базы, и случайные компоненты, присущие уровням исходных данных, влияют на результат прогноза, в-третьих, непредвиденные события в политической и экономической жизни общества могут изменить прогнозируемую тенденцию развития изучаемого процесса. Необходимо отметить, что прогноз без указания границ, задающих пределы отклонения фактических данных от прогнозируемых, не является прогнозом, так как не обладает никакой надежностью. В связи с этим, необходимо определять пределы возможного изменения прогнозируемого показателя, так как именно границы моделируемого интервала характеризуют амплитуду отклонений фактических данных от прогнозируемых. Накопленный опыт создания и использования экономико-математических методов для решения теоретических и практических задач, показал сложность и многообразие этого процесса. Значительный вклад в развитие методов прогнозирования внесли Т. Андерсон, Дж. Бокс, A.M. Гинзбург, А.А. Горчаков, Г. Дженкинс, В.И. Зеркальцев, М. Кендэлл, Н.Б. Кобелев, Ю.П. Лукашин, А.И. Новиков, В.А. Половников, Л.М. Скучалина, А. Стьюарт, А.А. Френкель, Е.М. Четыркин, И.М. Шатаев, В.В. Швырков, Т.С. Швыркова и многие другие.
Рынок, даже регулируемый государством, склонен к стихийности и подвержен колебаниям, как случайным, так и постоянно повторяющимся, в том числе с выраженной годовой периодичностью. Первопричиной возникновения последних являются различные факторы, в том числе природно-климатические, связанные со сменой года, и эти колебания определяются как сезонные. Наиболее ярко сезонность наблюдается в отраслях перерабатывающих сельскохозяйственную продукцию, в добывающих отраслях, в легкой промышленности, в бытовом обслуживании, в транспорте.
Сезонность в экономике обычно отрицательно сказывается на результатах производственной деятельности, вызывая аритмию производственных процессов, полную или частичную незанятость работников
и оборудования, что в итоге отражается на производительности труда и социальных показателях уровня жизни населения.
В современных условиях сложного переплетения хозяйственных связей сезонные колебания наблюдаются не только в производственной сфере, но на и рынке ресурсов, товаров и услуг, домохозяйств, финансовом рынке. Здесь сезонные изменения социально-экономических процессов и явлений определяются уже не только климатическими факторами, но и социальными, экономическими, юридическими.
В этой связи особое значение приобретает прогнозирование развития социально-экономических процессов с учетом сезонных колебаний. Степень колеблемости экономических показателей в разные периоды года (кварталы, месяцы) является, как правило, различной. Поэтому при моделировании границ возможного нахождения прогнозируемой величины необходимо учитывать различную степень сезонной колеблемости уровней исследуемого процесса. Отсутствие учета такого явления в существующих методах и моделях приводит к неадекватному отображению процесса и искажению будущего поведения системы. По этой причине разработка методики прогнозирования, учитывающей различную в течение года степень колеблемости сезонных процессов, в настоящее время является особенно актуальной.
Цель и задачи исследования. Цель диссертации заключается в исследовании экономико-математических моделей, используемых для прогнозирования тренд-сезонных процессов с созданием методики моделирования интервальных оценок при прогнозировании тренд-сезонных экономических процессов.
Целевая направленность диссертационной работы потребовала решения следующих задач:
• анализ сезонных колебаний в социально-экономических процессах;
• исследование существующих подходов и экономико-математических моделей, используемых для моделирования тренд-сезонных экономических процессов;
• анализ экономико-математических методов и моделей, используемых для прогнозирования экономических процессов;
• выбор и обоснование критериев и методов, применяемых при интервальном оценивании показателей;
• разработка методики моделирования интервальных оценок при прогнозировании тренд-сезонных экономических процессов, учитывающих различную степень колеблемости сезонной компоненты в течение года.
Предметом исследования в настоящей работе являются экономико-математические методы и модели, позволяющие учитывать сезонные колебания и их неоднородность при моделировании и прогнозировании социально-экономических процессов. В качестве объекта исследования в диссертации избраны производственные предприятия и финансовые рынки.
Методология исследования. Теоретической и методологической основой данного исследования являются, как общенаучные методы познания: анализ и синтез, обобщение, сравнение и группировка, так и специальные методы: экономико-математические, вероятностно-статистические,
вычислительной математики.
В процессе исследования проанализирован ряд работ отечественных и зарубежных авторов, специалистов в области математического моделирования, статистики, экономического и финансового анализа, информационных технологий, а также теоретические и практические материалы аналитических рыночных исследований.
Обработка данных велась на ПЭВМ с использованием пакета «ОЛИМП: СтатЭксперт», а также разработанных автором программ анализа и прогнозирования тренд-сезонных временных рядов, функционирующих в среде табличного процессора EXCEL.
Научная новизна. Обосновано в работе, что для получения адекватного прогноза сезонных процессов, необходимо учитывать неоднородность сезонной компоненты в различные месяцы (кварталы), так как степень колеблемости сезонной компоненты в различные месяцы (кварталы) существенно различается.
Предложены математические модели интервальных оценок прогноза тренд-сезонных процессов, учитывающих различную степень колеблемости сезонной компоненты в различные периоды года (месяцы, кварталы).
Разработана методика моделирования интервальных оценок прогноза для тренд-сезонных экономических процессов, которая включает разработку новых моделей и алгоритмов, повышающих точность, надежность и обоснованность функционирования изучаемого процесса в будущем.
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационного исследования:
• анализ и оценка возможностей области применения математических методов для моделирования тренд-сезонных экономических процессов;
• обоснование необходимости учета степени колеблемости сезонной компоненты в различные кварталы (месяцы) при анализе и прогнозировании тренд-сезонных экономических процессов;
• методика моделирования интервальных оценок при прогнозировании тренд-сезонных экономических процессов с различной (квартальной, месячной) степенью колеблемости;
• комплексная модель, позволяющая реализовать полный цикл анализа, моделирования и прогнозирования тренд-сезонных процессов;
• программные средства исследования и прогнозирования тренд-сезонных экономических процессов.
Информационной базой исследования являются данные статистических сборников Госкомстата РФ, Тульского управления статистики, балансовые данные коммерческих банков.
Практическая значимость проведенного исследования состоит в возможности непосредственного применения разработанного теоретического и методологического аппарата для моделирования и компьютеризации процессов по управлению и прогнозированию деятельности субъектов хозяйствования в различных сферах экономики.
Апробация и внедрение результатов исследования. Полученные теоретические, методологические и практические результаты работы обсуждались на всероссийских, межрегиональных, областных, межвузовских научно-практических конференциях.
Разработанная методика прошла апробацию и внедрена в Тульском отделении № 8604 Сбербанка России и АКБ «Спиритбанк». Теоретические и методологические положения выполненного исследования используются при подготовке специалистов в финансово-банковской сфере и в учебном процессе в преподавании дисциплин «Экономико-математические методы и прикладные модели», «Финансовая математика».
Практическое использование результатов исследования подтверждено актами о внедрении, выданными Тульским отделением №8604 Сбербанка России и АКБ «Спиритбанк».
Публикации. Основные положения и выводы диссертационной работы изложены в 8 печатных работах, общим объемом 2,78 п.л.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.
Анализ критериев наличия сезонности
Для определения наличия сезонности в исследуемом процессе часто бывает достаточно экономического анализа и графического отображения процесса за два-три года. Первое представление о возможном характере процесса и наличии в нем сезонных колебаний дает графическое представление временного ряда. По графику временного ряда можно сделать много выводов, в дальнейшем эти выводы могут быть проверены с помощью расчетов. Визуальный анализ графиков временного ряда позволяет определить наличие тренда и его характер, наличие сезонных и циклических компонент. Выявление сезонных колебаний удобно производить по графику временного ряда, построенного методом наложения. В этом случае по оси абсцисс откладывается интервал времени предполагаемого периода колебаний, например, год, с разбивкой по месяцам. А по оси ординат - значения уровней ряда за несколько лет. Такие графики были рассмотрены в предыдущем параграфе. Если во временном ряду имеются периодические изменения, то на графике наблюдаются пики или впадины в определенный период времени.
При графическом изображении процесса сезонность часто бывает выражена настолько ярко, что нет необходимости ее доказывать численным способом. Но могут возникнуть какие ситуации, когда нет твердой уверенности, что колебания обусловлены сезонным фактором, а не каким-то иным случайным внешним воздействием. В этом случае необходимо использовать специальные статистические критерии.
Выявить наличие сезонных колебаний можно, проверив на случайность остаточный ряд после выделения тренда. Случайная компонента должна иметь математическое ожидание равное нулю, постоянную дисперсию и нулевую автокорреляцию между соседними уровнями ряда /43/:
Если эти условия не выполняются, то можно сделать предположение о наличии в остаточном ряду сезонной компоненты. Для проверки наличия сезонности в остаточном ряду чаще всего применяют следующие критерии: дисперсионный, гармонический и критерий основанный на распределении коэффициента автокорреляции /3,42/.
Все три критерия предусматривают, что из временного ряда выделена регулярная компонента (тренд). Поэтому рассмотрим сначала вопрос определения наличия во временном ряду тренда и определения степени его гладкости.
Под степенью гладкости тренда понимают минимальную степень полинома, адекватно представляющего тренд ряда. В данном случае определение степени гладкости тренда носит вспомогательный характер и не адекватно утверждению, что процесс развивается по полиномиальной кривой.
Существует несколько подходов, позволяющих адекватно выбрать порядок аппроксимирующего полинома. Сделаем предположение, что временной ряд состоит только из регулярной Ut и случайной Е, компонент: Yt=Ut+Et.
В /3/ Тинтнер показал, что степень аппроксимирующего полинома может быть выбрана на основании анализа дисперсий последовательных разностей ряда Yt. Дисперсию полинома п-степени можно свести к постоянному значению взятием последовательных разностей, следовательно, взятие последовательных разностей ряда Yh начиная с некоторого шага, должно сохранять дисперсию остаточного ряда:
Расчет ведется до тех пор, пока дисперсии не будут приблизительно равны друг другу. Порядок разности принимается за степень аппроксимирующего полинома. Если исследуется временной ряд с сезонностью, то прежде чем применять метод конечных разностей, нужно избавиться от сезонных колебаний, переходя от ряда Y, к ряду Y ,:
В работе /3/ отмечаются такие преимущества полиномов низкой степени, как большая гладкость, простота толкования и записи. В случае, если степень недостаточна, то возникает смещение в оценке тренда. Недостатком полиномов высоких степеней является неустойчивость параметров по отношению к выборочным ошибкам. Рассмотрим дисперсионный критерий. После выделения тренда остаток запишем в виде: В случае сезонной волны с постоянной амплитудой остаточную компоненту запишем в матричном виде: Для выявления сезонных колебаний можно также использовать критерий сравнения распределений коэффициентов автокорреляции с распределением циклического коэффициента автокорреляции. Данный критерий, также как и дисперсионный, применяют к остатку после выделения тренда. Критерий основан на предположении, что в неслучайных рядах существует тот или иной тип зависимости между членами /3,42,22/. Нециклическим коэффициентом автокорреляции с запаздыванием (или лагом) г называется величина: названное циклической (круговой) сериальной корреляцией. Р. Л. Андерсон /3/, исходя из предположения нормально распределенной совокупности N\u,S 1, предложил использовать сериальные коэффициенты первого порядка для проверки гипотезы о независимости E\,...,Ej. В работе /3/ доказана теорема дающая право вычисления R=rKp и приведена таблица значений R, при которых функция распределения принимает значения 0,01 0,05 0,95 0,99 Pr{rj R}. Показано, что с увеличением Т распределение нециклического коэффициента автокорреляции асимптотически сходится к распределению циклического коэффициента автокорреляции. Поэтому, на практике вычисляется rj по формуле (1.4) и по таблицам проверяется его существенность. Гармонический критерий основан на анализе коэффициентов Фурье /3,66/. Известно, что произвольную функцию можно разложить в бесконечный ряд Фурье
Математические модели тренд-сезонных процессов
Так как во многих социально-экономических процессах наблюдаются сезонные изменения, то моделирование и прогнозирование таких процессов должно производиться с учетом сезонности. Как было показано в параграфе 1.3, для отображения сезонных процессов могут быть использованы аддитивные и мультипликативные модели. В моделях аддитивного типа (1.10) каждая компонента сезонного временного ряда получается суммированием отдельно полученных компоненты тренда и сезонной компоненты. Тренд U, чаще всего оценивается в виде полинома: «7=1 или же, если априорно известен вид зависимости, в форме других известных функций (экспоненциальных функций, логистическая кривая, кривая Гомперца). Для сезонной компоненты используют модель, описываемую уравнением: Данная модель позволяет моделировать некоторую среднюю сезонную волну, в действительности, и амплитуда, и фаза сезонной волны могут изменяться. Учесть эти изменения можно путем усложнения модели (1.13) /61/, либо введением явного фактора времени в уравнения: либо изменением во времени коэффициентов ряда Фурье а0, ah Ъ{. Рассмотрим последнее предложение подробнее. Расчет коэффициентов отрезка ряда Фурье основывается на значениях всего ряда остаточной компоненты et = Yt - Ut. Разобьем промежуток времени [1,Т\ яг. к частей: но так, чтобы 7} - 7}_i = —,/ = 1,2,...А:. к На каждом отрезке [Tj_\ +1,7}]определяем значения коэффициентов ряда Фурье ао, а І, hi по формулам (1.7). В результате получим матрицу коэффициентов: Рассматривая каждый столбец как выборку случайных величин ао, ah bh можно составить уравнение регрессии Zt=fi(t),t = \,k,i = \,TQ. Изменения динамики коэффициентов отрезка ряда
Фурье представим в виде линейной зависимости: Разбивая отрезок [1,Т\ на к равных частей, изменяем масштаб времени: в формулах (1.13) и (1.14) параметры і и t имеют разные значения, они совпадают лишь при k=m. Согласовать масштаб времени можно, вводя масштабирование: Для обеспечения стабильности коэффициентов регрессии необходимо, чтобы временной ряд был достаточно длинным (не менее шести лет). В моделях мультипликативного типа (1.11) компонента сезонного временного ряда получается как произведение трендовой и сезонной компонент. Трендовая составляющая обычно представляется полиномом, а сезонная компонента - индексами сезонности. Представленные модели в основном моделируют постоянную сезонную волну, реальные экономические процессы, как правило, имеют неоднородные сезонные колебания. Возможно представление тренд-сезонного временного ряда адаптивными моделями, позволяющими отобразить переменный характер сезонной волны /54,55,62,28,30/. Адаптивные модели позволяют учитывать различную информационную ценность уровней временного ряда. Инструментом прогноза в адаптивных моделях является математическая модель с единственным фактором «время». Данные модели используются при прогнозировании одномерных временных рядов для моделирования динамики процесса, обусловленной влиянием на него совокупностью внешних факторов. При оценке параметров адаптивных моделей, наблюдениям (уровням ряда) присваиваются различные веса в зависимости от того, насколько сильным предполагается их влияние на текущий уровень. Это позволяет учитывать изменения в тенденции, а также любые колебания, в которых прослеживается закономерность.
Оценивание параметров адаптивной модели обычно осуществляется на основе рекуррентного метода. Данный метод не требует повторения всего объема вычислений при появлении новых наблюдений, текущие значения параметров рассчитываются на основе предыдущих значений параметров и текущих уровней временного ряда. Общую схему построения адаптивной модели можно представить следующим образом. По начальной выборке временного ряда получают первоначальную оценку параметров, на основе которых получают прогноз на т шагов вперед. Все уровни ряда составляют как бы обучающую последовательность и используются для корректировки параметров текущей прогнозной модели. Отклонение прогнозных оценок, получаемых, как правило, на один шаг вперед, от фактических значений уровня ряда, расценивается как ошибка прогнозирования. Эта ошибка по обратной связи поступает на вход системы и учитывается в модели в соответствии с принятой в ней схемой корректировки параметров. Затем рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени, и весь процесс повторяется до исчерпания всех фактических уровней ряда. Таким образом, под воздействием поступающей на каждом шаге новой информации модель реагирует на изменения исследуемого процесса, приспосабливается к новой информации и к концу периода обучения отражает тенденцию развития процесса, существующего в текущий период времени. Данная схема, отражающая основные этапы построения адаптивных моделей, может изменяться при реализации конкретных методов, вследствие использования различных критериев адаптации и цепочки обратной связи.
В данных моделях скорость реакции модели на изменения развития процесса характеризует так называемый параметр адаптации. Обычно вначале определяют наилучшее значение параметра адаптации, а далее оцениваются коэффициенты модели с использованием полученного значения параметра адаптации. Адаптивные модели вследствие заложенных в них принципов построения в значительно более короткие сроки реагируют на изменения развития моделируемого процесс, чем другие виды моделей. В этом и заключается основное достоинство адаптивных моделей прогнозирования. Адаптивные модели в силу своего механизма построения дают более надежные результаты при кратковременном прогнозировании. Неоднородность временных рядов, значительно снижающая эффективность многих методов, в адаптивных моделях находит отражение в эволюции их параметров и структуры. Поэтому для отражения характера изменения сезонных процессов становится целесообразным использование адаптивных моделей.
Анализ методов и критериев, используемых при построении доверительных интервалов
При моделировании экономических процессов наибольший интерес представляет возможность предсказания будущего развития процесса. Но, как известно, экономические процессы обычно являются стохастическими, поэтому указание их точечных значений лишено содержания, т.к. вероятность того, что прогнозируемый показатель в заданный момент времени будет равен значению, определяемому точечным прогнозом, практически равна нулю. Следовательно, в дополнение к точечному прогнозу необходимо дать возможные границы изменения прогнозируемого показателя - доверительные интервалы.
Доверительные интервалы учитывают неопределенность, связанную с ограниченным числом наблюдений, их возможностью отклонения от тренда, сохранением тенденции тренда.
Перед тем как перейти к оцениванию доверительных интервалов различных моделей, рассмотрим некоторые аспекты статистического оценивания параметров. Как отмечалось, процедура оценивания не должна ограничиваться только выбором приближенного числового значения для неизвестного параметра (точечная оценка), она должна говорить и о надежности этого приближения. Эти два аспекта одной проблемы тесно связаны, и соответственно рассматривают точечное и интервальное оценивание /67,68/.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами, концами интервала. Интервальная оценка позволяет установить точность и надежность точечных оценок. Предположим, что найденная по некоторой выборке характеристика в служит оценкой неизвестного параметра в. Ясно, что чем меньше абсолютная величина разности в - в , тем точнее 9 определяет параметр в. Другими словами, если 5У0 и 0-в 8, то чем меньше S, тем оценка точнее.
Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка в удовлетворяет неравенству в -в 5, можно лишь говорить о вероятности р, с которой это неравенство осуществляется.
Надежностью (доверительной вероятность) оценки в по в называется вероятность р, с которой осуществляется неравенство в -в - 8.
В статистической практике разработано два основных подхода к определению интервальных оценок. При байесовском подходе, основанном на теореме Байеса, рассматривается вероятностное распределение величины в р(9,х) и за меру правдоподобия интервала (#/,#м) принимается апостериорная вероятность того, что значение случайной величины в попадает в этот интервал.
Желательно было найти подход, который не требовал определения априорной вероятности оцениваемой величины. Проблема была пересмотрена с совершенно иных точек зрения Ю. Нейманом, исходя из идей Р. Фишера /118-121/.
При предложенном подходе, основанном на понятии доверительного интервала, рассматриваются интервалы со случайными граничными точками, обладающие свойством, выраженном в терминах распределения fyx.O): вероятность того, что интервал [a(x),6(x)J содержит в равняется 1-а для заданного подходящим образом а.
Доверительным интервалом параметра в распределения случайной величины Xс уровнем доверия 100р%, порожденным выборкой (xi,X2,.-.,xn), называется интервал с границами w\(xi,X2, -,xn) и W2(x\,X2,---,xn), которые являются реализациями случайных величин W\=w\(x\,X2,—,xn) и = w2{x\ x2 --- xn) таких что Р{Щ в W2)= р.
Граничные точки доверительного интервала м \ и м 2 называются доверительными пределами. Интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей, если р велико (скажем 0,95), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение в.
Теория доверительных интервалов для одного параметра достаточно развита /67/. Определения и понятия интервального оценивания можно перенести на вектор 9=(01,92,...,00 с заменой доверительного интервала доверительной областью в -мерном пространстве. Доверительной областью вектора 9 генеральной совокупности является область, полностью определяемая результатами наблюдений, которая с близкой к единице доверительной вероятностью у=1-а содержит неизвестное значение вектора 0. Очевидно, что существует бесконечное множество доверительных областей, соответствующих одному и тому же значению (1-а). Как правило, стараются определить доверительные области, имеющие минимальные размеры при данной вероятности (1-а).
Основную трудность в построении доверительной области представляет определение законов распределений подходящих статистик. В настоящее время эти вопросы достаточно хорошо разработаны только для нормального распределения наблюдаемых случайных величин.
В большинстве случаев, в том числе и при изучении экономических проблем, оказалось, что многомерное статистическое распределение является хорошим приближением к действительному распределению и статистические анализы, основанные на модели нормального распределения, вполне оправданы 121.
Для одномерного случая основой для выбора критерия или доверительного интервала является тот факт, что разность между средними значениями выборки и генеральной совокупности распределена нормально с известными математическим ожиданием и дисперсией. В математической статистике показано /49/, что для независимых случайных величин
Алгоритм методики оценивания доверительных интервалов
Проведенное исследование моделей и программных средств, предназначенных для прогнозирования тренд-сезонных экономических процессов, показало, что на начальных этапах исследования возможно использование для обработки временных рядов стандартных программ («СтатЭксперт», «Эвриста» и др.).
В тоже время реализуемые в стандартных программах методы в большинстве случаев не предоставляют возможности построения интервального прогноза. Если даже интервальный прогноз и формируется (например, «СтатЭксперт»), то колеблемость сезонной компоненты доверительным интервалом прогноза не учитывается. Анализ показал, что точность прогнозных оценок в значительной степени зависит от выбранного метода прогнозирования и различие между моделями становится более существенным именно при получении интервальных оценок. Поэтому практика прогнозирования требует не только разработки более перспективных и точных методик оценивания доверительных интервалов, но и алгоритмов и программных средств их реализующих.
В диссертации разработана методика интервального оценивания прогнозируемого показателя. На рис. 3.1. представлена укрупненная блок-схема предлагаемой методики. Алгоритм представляет собой совокупность процедур, используемых для определения статистических свойств исследуемого экономического процесса, выявления наиболее перспективных методов прогнозирования и получения прогноза в виде доверительного интервала.
Предварительный анализ временного ряда (блок 1) предполагает анализ аномальных явлений и графическое изображение ряда. Анализ графика позволяет выдвинуть гипотезу о наличии внутригодичных изменений уровня, выделить период колебаний. Так как данные выводы в значительной степени субъективны, то для подтверждения сделанных предположений необходимо применить формализованные методы.
Сглаживание ряда с помощью центрированной скользящей средней (пяти или тринадцати членной) и выделение из исходного ряда сезонной компоненты V = Y - U дает возможность отобразить на графике компоненты ряда. Анализ графика сезонной компоненты позволяет сделать предположение о связи компонент временного ряда (аддитивной или мультипликативной). Методы предварительного анализа временных рядов реализованы в пакетах «СтатЭксперт» и «Эвриста», а методы сезонного сглаживания в «SPSS» и «Эвриста». Программа сглаживания временного ряда и выделения сезонной компоненты реализована в среде табличного процессора EXCEL. Анализ компонентного состава временного ряда производят для установления наличия во временном ряду тренда и сезонной составляющей. Определение тренда необходимо не только для дальнейшей процедуры фильтрации временного ряда, но и важно с той позиции, что критерии, предназначенные для определения наличия сезонной компоненты во временном ряду, предполагают отсутствие трендовой компоненты.
Для выяснения наличия тенденции (блок 2) обычно используются методы проверки разностей средних уровней и метод Фостера-Стьюарта. Проверку наличия тенденции этими методами можно осуществить используя статистический пакет программ для ПЭВМ «СтатЭксперт».
Определение минимальной степени полинома (блок 3), адекватно аппроксимирующей тренд, предлагается осуществить с помощью метода последовательных разностей, предложенного Тинтнером. Алгоритм соответствующий данному методу изложен в параграфе 1.3. Данный алгоритм не реализован ни в одном статистическом пакете. Программа, разработанная автором и реализующая данный метод, разработана в среде табличного процессора EXCEL. Необходимо отметить, что выбрать наилучший аппроксимирующий полином можно и с помощью стандартных статистических пакетов на основе сравнения критериев точности и адекватности построенных моделей. Все статистические пакеты строят модели полиномов, и в них предусмотрена возможность сохранения остатков для дальнейшего анализа. В пакете СтатЭксперт предусмотрен алгоритм выбора лучшей модели.
После исключения тренда из исходного ряда (блок 4), осуществляется проверка гипотезы о наличии в исходном временном ряду сезонных колебаний (блок 5). Ряд остатков проверяется на случайность с помощью одного из альтернативных критериев - дисперсионного, гармонического или критерия, основанного на сравнении распределения коэффициента автокорреляции с распределением циклического коэффициента автокорреляции. Все три критерия рассмотрены в параграфе 1.3.
Алгоритм дисперсионного критерия не реализован ни в одном статистическом пакете. Во всех пакетах предусмотрена возможность проведения гармонического анализа. Анализ сезонности значительно облегчается при использовании аппарата гармонического анализа, реализованного в статистическом пакете СтатЭксперт. В таблице для каждой гармоники отражаются: мощность, коэффициенты, частота, период, значение F-критерия и вывод о значимости гармоники. По выбранным значимым гармоникам вычисляются расчетные значения исследуемого ряда. Также все пакеты имеют процедуру, позволяющую вычислять коэффициенты автокорреляции. Например, в пакетах «СтатЭксперт» и «Эвриста» эта процедура реализована в методах предварительного анализа временных рядов.
Для того, чтобы провести анализ сезонности необходимо произвести выделение компонент временного ряда или фильтрацию (блок 7). Следующий этап алгоритма - это фильтрация компонент временного ряда. В большинстве методов фильтрации предварительно выделяется тренд, а затем сезонная компонента.
В настоящее время развиваются три направления фильтрации компонент временного ряда с аддитивной связью между компонентами: регрессионные, итерационные и спектральные. Достоинством регрессионных методов в том, что они позволяют получить аналитические выражения функций, аппроксимирующих тренд и сезонную компоненты. Обычно тренд аппроксимируют полиномом, а сезонную компоненту отрезком ряда Фурье. В дальнейшем полученные функции можно использовать для прогнозирования как отдельных компонент временного ряда, так и временного ряда в целом. Данный вопрос был рассмотрен в параграфе 1.4. Все пакеты позволяют реализовать регрессионный метод фильтрации компонент временного ряда.
