Введение к работе
Актуальность темы. Группы с условиями минимальности Черникова — классический объект исследований абстрактной теории групп. Результаты О.Ю. Шмидта, С.Н. Черникова, В.П. Шункова, АЮ. Ольшанского и др. надёжно обосновали это направление в теории бесконечных групп.
Условия минимальности Черникова — есть условия обрыва убывающих цепей подгрупп, удовлетворяющих заданному свойству. Поэтому, в случае отрицательного решения проблемы Черникова, к ней всегда существует минимальный контрпример — группа, все собственные подфуппы которой принадлежат заданному классу групп, сама же она этому классу не принадлежит.
Пусть а — некоторое теоретико-групповое свойство. Не сг-группа, все собственные подгруппы которой являются <т-группами, называется минимальной не- а -группой или, в используемой нами терминологии, квази-а-группой ([4], вопрос 14.83).
Согласно известной работе О.Ю. Шмидта [12] (1947), все нормальные подгруппы квазичерниковской р-группы центральны, её фактор-группа по центру проста и не содержит подгрупп конечного индекса, причем любые две максимальные подгруппы квазичерниковской простой р-группы G пересекаются по единице. В частности, множество всех максимальных подгрупп группы G составляет ее расщепление, а любая пара неединичных элементов, взятых из разных компонент расщепления, порождает всю группу. При р = 2 последнее свойство приводит к противоречию [12], поскольку любые две инволюции в периодической группе порождают конечную подгруппу. При нечетном р анализ строения контрпримера G к противоречию не приводит. Как доказал А.Ю.Олыпанский (1980 г.) [5], при любом нечетном р простые квазичерниковские р-группы действительно существуют. При этом, свободная амальгама любого счетного мно?кества конечных или черниковских р-групп может быть вложена в квазичерниковскую простую р-группу. Таким образом, в случае квази-черниковских р-групп мы имеем почти идеальную согласованность между результатами абстрактной и комбинаторной теориями групп.
Возникает вопрос, все ли контрпримеры к проблемам минимальности Черникова имеют аналогичное строение? Можно ли с помощью методов абстрактной теории групп приблизиться к границе, очерченной комбинаторной теорией групп в данном направлении? В диссертации эта задача
3 | СОС НАЦИОНАЛЬНАЯ
і БИБЛИОТЕКА
J Cflmtfypr ?(//
OS mi*wO"
решается в классах квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп.
Слойно конечные группы, т.е. группы с конечным числом элементов каждого порядка, были введены С.Н. Черниковым [10], и изучались им на протяжении ряда лет (см. [11]). Исследования периодических групп с конечными классами сопряженных элементов начались, по-видимому, в связи с известной проблемой Бернсайда о периодических группах с конечным числом образующих элементов. А.П.Дицман [3] показал, что для периодических групп с конечными классами сопряженных элементов проблема Бернсайда имеет положительное решение. Полученный им более общий результат утверждает, что любое конечное множество элементов группы с конечными классами сопряжённых элементов содержится в некотором ее конечном нормальном делителе. То есть такие группы локально нормальны.
Слойно конечные и локально нормальные группы в силу своего строения допускают эффективное применение нормализаторного процесса, который использовал О.Ю.Шмидт в своем доказательстве [12]. Серьезный вклад в изучение слойно конечных и локально нормальных групп внесли С.Н.Черников, Р.Бэр, Х.Х. Мухамеджан, Ю.М.Горчаков и др. (см., например, [2, б, 7,11]). В.И. Сенашову принадлежит ряд характеризаций слойно конечных групп в классе сопряжённо бипримитивно конечных групп (см. [б, 7]). Известно [11], что слойно конечные группы содержатся в классе локально нормальных групп, как группы, все силовские подгруппы которых удовлетворяют условию минимальности, а класс локально нормальных групп совпадаете классом периодических FC-групп. Таким образом, класс квази-FC-групп содержит класс квазилокально-нормальных групп, который в свою очередь содержит класс квазислойно-конечных групп.
После решения в 1970 г. В.П. Шунковым ряда известных проблем минимальности в классе локально конечных групп [13, 7], активизировались исследования групп с близкими условиями конечности. Изучением строения квазилокально-нормальных и близких к ним групп в локально конечном случае занимались В.В. Беляев, Н.Ф. Сесекин, В. Hartley, R.E. Phillips, М. Kuzucuoqlu, А.О. Azar, A. Arikan, J. Otal и др. Так, в работе В.В. Беляева [1] показано, что локально конечная группа типа Миллера-Морено (группа, все собственные подгруппы, которых имеют конечный коммутант) не проста и отлична от своего коммутанта. Такие группы были полностью описаны В.В. Беляевым и Н.Ф. Сесекиным. Как доказал В.В. Беляев [1], группа типа Миллера-Морено, совпадающая со
своим коммутантом, не локально конечна, её фактор-группа по центру проста и либо порождена двумя элементами, либо является бесконечной неабелевой группой Шмидта. Строение квазиконечных групп (групп Шмидта) было изучено Н.П. Струнковым [9], В.П. Шунковым [14, 15] и А.И. Созутовым [8].
В.В.Беляевым и Н.Ф.Сесекиным в 1976 г. в Коуровской тетради был поставлен вопрос 5.1: "Будет ли локально конечная минимальная не FC-группа а) не простой ?б) отличной от своего коммутанта ? " На первую часть этого вопроса положительный ответ дали В.В. Беляев, К.Е. Филлипс и М. Кузуджуоглу, а решение второй части вопроса ими же было сведено к примарным группам (см. [16]). На Международной конференции в Ан-талии (2003 г.) АО. Азаром был анонсирован результат, утверждающий, что локально конечная минимальная не FC-группа отлична от своего коммутанта и является черниковской группой [16].
Цель диссертации. Дать описание строения не локально конечных квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп, аналогичное описанию квазичерниковских ^-групп, полученному Шмидтом.
Методы исследования. Применяются теоретико-групповые методы исследования, в том числе разработанные В.В. Беляевым, АЮ. Ольшанским, В.П. Шунковым и научным руководителем АН. Созутовым.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы как в дальнейших исследованиях в теории групп, так и при чтении специальных курсов по алгебре.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и четырёх глав основного текста. Список литературы состоит из 41 наименований. Работа изложена на 68 страницах текста, набранного в редакционно-издательской системе MjgX.
Основные результаты.
1. Доказано, что существуют множества мощности континуум неизоморфных простых квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп, для каждой из которых существует континуальное множество центральных расширений, принадлежащих этому же классу групп.
Исследовано строение бесконечных вееров и их подгрупп в простых квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных группах.
Для простой квазислойно-конечной и квазилокально-нормальной группы найдены достаточные условия расщепляемости и изоморфизма вершинно-транзитивной группе автоморфизмов локально конечного графа, стабилизатор вершины в которой — конечная максимальная подгруппа.
Доказано, что для произвольных неединичных элементов а,Ь простой квазилокально-нормальной группы G при условии \а\ \Ь\ > 4 найдется бесконечно много элементов с Є bG таких, что G = (а, с). Для некоторых частных случаев получена более подробная информация о парах порождающих элементов.
