Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Введение 3
1.1. Постановка задачи 3
1.2. Основные результаты диссертации 6
Глава 2. Предварительные сведения 9
2.1. Комплекс Кошуля 9
2.2. Проективные координатные алгебры 10
2.3. Когомологии алгебр Ли 11
2.4. Резольвенты пучков 12
Глава 3. Обозначения и комбинаторика 17
3.1. Комбинаторные кубы 17
3.2. Представления 18
3.3. Диаграммы 21
Глава 4. Изотипические компоненты комплекса Кошуля 26
4.1. Вложение Сегре 26
4.2. Квадратичное вложение Веронезе 35
Приложение А. Представления с простым спектром 40
А.1. Классификация представлений со свойствами 3.2.1 и 3.2.2 40
Приложение Б. Взвешенные проективные пространства 42
Приложение В. Примеры 43
8.1. Сизигии 43
8.2. Резольвенты пучков 46
Публикации по теме диссертации 47
Список литературы 47
- Основные результаты диссертации
- Проективные координатные алгебры
- Представления
- Квадратичное вложение Веронезе
Введение к работе
Актуальность темы
Работа посвящена вычислению сизигий некоторых однородных пространств и некоторых обратимых пучков на них.
Для любого проективного многообразия X С P(W) рассмотрим проективную координатную алгебру A = S/I(X) как градуированный 5*-модуль, где S = k[W] — алгебра многочленов на пространстве W и 1(Х) — однородный идеал многообразия X. Существует резольвента
... —^ F2 —^ Fi —^ F0 *- А *- О,
являющаяся точной последовательностью свободных градуированных 5*-модулей. По теореме Гильберта о сизигиях1 , если выбирать минимальный набор образующих в ядрах, то процесс оборвётся, и мы получим конечную свободную резольвенту. В каждом таком модуле Fp выберем минимальный набор образующих и породим ими векторное пространство. Обозначим через Rp>q его q-ую однородную компоненту. Обозначим через (р) сдвиг градуировки на р, то есть прибавление р к степени каждого элемента модуля. Тогда
Fp = S(g>k 0 Rp,q(q).
Резольвента минимальна, если все однородные компоненты дифференциала d имеют положительные степени. Пространство RPtq для минимальной резольвенты называется пространством р-ых сизигий степени q. Следовательно, тензорное умножение на тривиальный 5*-модуль к аннулирует все дифференциалы в минимальной свободной резольвенте, и мы получаем
Ем = (Тог^(Дк))д, (1)
откуда следует, что пространства сизигий не зависят от выбора образующих. Пространство (Тог (Л, к)) — q-ая однородная компонента градуированного векторного пространства ТоГр(А, к).
В общем случае вычисление сизигий является очень трудной задачей. Остаются неразрешённые вопросы даже для проективных кривых. В случае нормальной рациональной кривой в проективном пространстве
1 D.Hilbert, "Uber die Theorie der algebraischen Formen", Ges. Abh., II 2, Springer-Verlag (1970), 199-257.
очень хорошо известен ответ2 Для нормальной эллиптической кривой минимальная резольвента может быть найдена в3. Для кривых рода п в общем случае вопрос остаётся открытым. В работе4 доказано, что если для канонического вложения гладкой кривой С рода д в проективное пространство Р^-1 пространство (Torfl_2(I(C),k))fl_4 ф О, то кривая С тригональна и лежит на двумерном рациональном нормальном свитке, где 1(C) — однородный идеал кривой С.
Отдельной широкой областью исследования является изучение так называемого Л/р-свойства. Свойство Np состоит в том, что Rij = О для j / і + 1 и 1 ^ г < j), а также %j = 0 при j ф 0 и Ео,о = к. В частности, Л*о означает проективную нормальность, N\ означает, что многообразие X является пересечением квадрик и так далее. Это свойство введено в5. В работе6 исследовано свойство Np для вложений Веронезе. В работе7 исследуется Л^-свойство для кубического вложения Веронезе. В работе8 исследовано свойство Np для вложений Сегре. В работе9 свойство Np исследовано для флаговых многообразий. В работе10 исследуется связь свойства Np для многообразия в проективном пространстве и для его плоских сечений.
Допустим, группа G С GL(H^) линейно действует на проективном пространстве P(W) и сохраняет многообразие X С P(W). Значит, группа G сохраняет и идеал 1(Х). Отсюда можно получить действие G на минимальной резольвенте и на пространствах сизигий. Таким образом, пространства сизигий можно описывать как представления группы G.
В работе11 найдены алгебры сизигий плюккеровых вложений грас-
2 J.Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer-Verlag, 1995.
3 D.Eisenbud, The Geometry of Syzygies, 2002.
4 B. Saint-Donat, "On Petri's analysis olthe linear system of quadrics trough a canonical
curve", 206 (1973), 157-175.
6 M. Green, "Koszul cohomology and the geometry of projective varieties, I, IF, J. Diff. Geom., 19, 20 (1984), 125-171, 279-289.
6 G. Ottaviani, R. Paoletti "Syzygies of Veronese embeddings",
.
7 Thavn Vu, "Ns property for third Veronese embedding",
8 E. Rubei "On syzygies of Segre embeddings", Proceedings of the American
Mathematical Society, 130:12 (2002), 3483-3493.
9 L. Manivel, "On syzygies of flag manifolds", Proceedings of the American Mathematical
Society, 124:8 (1996).
10 D. Eisenbud, M. Green, K. Hulek, S. Popescu, "Restricting linear syzygies: algebra
and geometry" (2004), .
11 A. L. Gorodentsev, A. S. Khoroshkin, A. N. Rudakov, "On syzygies of highest weight
orbits", Amer. Math. Soc. Transl. (2), 221 (2007), 79-120.
сманнианов Gr(2,n), и описаны представления группы GL(n) в пространствах сизигий. (На прямой сумме пространств сизигий любого проективного многообразия существует естественная структура алгебры.) В работе12 показано, что сизигии вложения Сегре произведения нескольких проективных пространств могут быть порождены конечным набором «семейств соотношений» (то есть соотношений, из которых все сизигии получаются заменами переменных), не зависящим от количества проективных пространств.
В данной диссертации мы исследуем вложение Сегре произведения двух проективных пространств и квадратичное вложение Веронезе. Пространства сизигий этих вложений описываются теоремами 5 и 8.
Широко исследуются сизигии детерминантальных многообразий и идеалов. Допустим, W — некоторое пространство матриц, и в алгебре k[W] задан идеал I, порождённый минорами матриц. Например, если W — пространство симметрических матриц, а идеал / порождён всеми 2 х 2-минорами, то идеал / является однородным идеалом квадратичного вложения Веронезе Р(У) С P(W), где W = Sym2 V. Сизигии идеалов определяются аналогичным образом. Если / — однородный идеал в алгебре k[W], то положим Rp>q = (Тогр (I, к) ] . Аналогичным об-
ч разом можно определять сизигии градуированных модулей над k[W].
В работе13 исследуются свойства детерминантальных идеалов методами теории колец. В данной работе мы исследуем сизигии некоторых естественно геометрически возникающих модулей над алгебрами k[Sym V] и k[U
Рассмотрим на проективном пространстве P(W) когерентный пучок J\ Обозначим через coh(X) категорию когерентных пучков на многообразии X, через grmod(S') — категорию конечно порождённых градуированных б'-модулей. Пусть X С Pw — проективное многообразие. Определим функтор F: coh(X) —> grmod(S') формулой
F(^) = 0r(Pw,^(n))(-n)=HomFJv (0^(-n),^) .
п>0 \п>0 /
A. Snowden, "Syzygies of Segre embeddings and Д-modules", .
13 Ш^- УйШ (Mitsuyasu Hashimoto) "Determinantal Ideals and Their Betti
Numbers - A Survey", ЩїШШШШШЗШ Ш 857 Ц 1994 ^-, 40-50.
14 A.Lascoux, "Syzygies de varietes determinantales", Adv. Math., 30 (1978), 202-237.
16 V. Reiner, J. Roberts, "Minimal resolutions and the homology of matching and
chessboard complexes" (1997).
Определение 1. Назовём минимальной резольвентой пучка & последовательность
" МіЛР(^)) G{-q) -» 0 MQ,q{F(&)) eg) ff{-q) -+^^0,
где MPtq{—) = (Torp(—, k)) . Факт, что эта последовательность является резольвентой, следует из теорем А и В работы16. Пространства MPtq(F(J&)) будем называть сизигиями пучка & и будем обозначать Rptq(JP).
Таким образом, минимальные резольвенты пучков на проективном пространстве Р(У) оказываются связаны с сизигиями градуированных модулей над k[V]. Результаты о построении минимальных резольвент пучков на некоторых детерминантальных многообразиях могут быть найдены в17. В данной работе мы построим минимальные резольвенты пучков ^р(у)(а) в P(Sym2 V) для а ^ — dim(V) и &w{u)x№{v){aib) в Р(С7 (g> V) для а ^ — dim(C7) и b ^ — dim(V) (см. теоремы 7, 11).
Таким образом, тема диссертации относится к актуальным направлениям эквивариантной алгебраической геометрии.
Цель работы
Цель работы — вычисление сизигий некоторых однородных пространств, вычисление сизигий некоторых обратимых пучков на этих многообразиях, построение минимальных свободных резольвент этих пучков.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
1. Классифицированы все пары (G,ir), состоящие из полупростой алгебраической группы G и доминантного веса 7Г, при которых
в представлении группы G в каждой внешней степени неприводимого представления со старшим весом 7Г нет кратных под-представлений;
16 М. Green, "Koszul cohomology and the geometry of projective varieties, I, II", J.
Diff. Geom., 19, 20 (1984), 125-171, 279-289.
17 J. Weyman, "Cohomology of vector bundles and syzygies", CUP (2003).
в тензорном произведении любого неприводимого представления группы G и любого неприводимого представления со старшим весом, кратным 7Г, нет кратных подпредставлений.
2. Для бесконечных серий этой классификации вычислены сизигии обратимых пучков на однородном пространстве X, являющихся произведением обильного пучка и канонического пучка Кх многообразия X, где X является проективизацией орбиты вектора старшего веса в представлении группы G со старшим весом 7Г.
Основные методы исследования
В диссертации используются методы гомологической алгебры, кошуле-вых когомологий, теории представлений полной линейной группы.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации результаты представляют интерес в эквивариантной алгебраической геометрии, теории представлений и гомологической алгебре.
Апробация результатов
Основные результаты диссертации докладывались
на семинаре «Геометрия алгебраических многообразий» им. В. А. Псковских под руководством Ю.Г.Прохорова, В. В. Пржиялковского, Д.О.Орлова, К.А.Шрамова в МИАН (Москва, 2012),
на летней школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Самара, 2009),
на конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу (Лютово, 2011),
на международной конференции по алгебре и алгебраической геометрии (Екатеринбург, 2011),
на третьей еже годной самарской летней школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Тольятти, 2012),
на международной конференции «Homological projective duality and non-commutative geometry» (Coventry, University of Warwick, 2012),
на конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу (Лютово, 2013),
на международной русско-китайской конференции «Torus actions: topology, geometry and number theory» (Хабаровск, 2013),
на семинаре «Алгебраическая топология и её приложения» им. М.М.Постникова (Москва, 2013).
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в четырёх единоличных работах. Список публикаций приведён в конце автореферата.
Структура и объём диссертации
Диссертация изложена на 49 страницах и состоит из введения, трёх глав и трёх приложений. Библиография включает 29 наименований.
Основные результаты диссертации
Резольвента минимальна, если все однородные компоненты дифференциала d имеют положительные степени. Пространство Rp q для минимальной резольвенты называется пространством р-ых сизигий степени q. Следовательно, тензорное умножение на тривиальный -модуль к аннулирует все дифференциалы в минимальной свободной резольвенте, и мы получаем
В общем случае вычисление сизигий является очень трудной задачей. Остаются неразрешённые вопросы даже для проективных кривых. В случае нормальной рациональной кривой в проективном пространстве очень хорошо известен ответ (см. пример 2.4.5, а также [6, 26]). Для нормальной эллиптической кривой минимальная резольвента может быть найдена в [6]. Для кривых рода п в общем случае вопрос остаётся открытым. В работе [7] доказано, если для канонического вложения гладкой кривой С рода д в проективное пространство f9 l пространство (Tor5_2(/,k))5_4 ф 0, то кривая С тригональна и лежит на двумерном рациональном нормальном свитке X (см. [26]), где / — однородный идеал кривой С.
Отдельной широкой областью исследования является изучение так называемого TVp-свойства. Свойство Np состоит в том, что Rij = 0 для j ф і +1 и 1 і р, а также Roj = 0 при j ф 0 и i?o,o = к. В частности, Щ означает проективную нормальность, Ni означает, что многообразие X является пересечением квадрик и так далее. Это свойство введено в [17]. В работе [9] исследовано свойство Np для вложений Веронезе. В работе [10] исследуется Л -свойство кубического вложения Веронезе. В работе [11] исследовано свойство Np для вложений Сегре. В работе [12] свойство Np исследовано для флаговых многообразий. В работе [13] исследуется связь свойства Np для многообразия в проективном пространстве и для его плоских сечений.
Допустим, группа G С GL(VK) линейно действует на проективном пространстве Р(И/Г) и сохраняет многообразие X С Р(И/Г). Значит, группа G сохраняет и идеал 1(Х). Отсюда можно получить действие G на минимальной резольвенте и на пространствах сизигий. Таким образом, пространства сизигий можно описывать как представления группы G.
В работе [8] найдены алгебры сизигий плюккеровых вложений грассман-нианов Gr(2,n), и описаны представления группы GL(n) в пространствах сизигий. (На прямой сумме пространств сизигий любого проективного многообразия существует естественная структура алгебры.) В работе [14] показано, что сизигии вложения Сегре произведения нескольких проективных пространств могут быть порождены конечным набором «семейств соотношений» (то есть соотношений, из которых все сизигии получаются заменами переменных), не зависящим от количества проективных пространств.
В данной работе мы исследуем вложение Сегре произведения двух проективных пространств и квадратичное вложение Веронезе. Пространства сизигий этих вложений описываются теоремами 1.2.2 и 1.2.4. В замечании 4.1.11 мы доказываем некоторое свойство умножения в сумме пространств сизигий вложения Сегре.
Широко исследуются сизигии детерминантальных многообразий и идеалов. Допустим, V — некоторое пространство матриц, и в алгебре k[V] задан идеал /, порождённый минорами матриц. Например, если V — пространство симметрических матриц, а идеал / порождён всеми 2 х 2-минорами, то идеал / является однородным идеалом квадратичного вложения Веро-незе P(VK) С P(V), где V = Sym W. Сизигии идеалов определяются аналогичным образом. Если / — однородный идеал в алгебре к [У], то положим Ярд = (Тог (/,к)1 . Аналогичным образом можно определять сизигии градуированных модулей над k[V]. В работе [18] исследуются свойства детерминантальных идеалов методами теории колец. В данной работе мы исследуем сизигии некоторых естественно геометрически возникающих модулей над алгебрами k[Sym V] и h[U (g) V] (см. теоремы 4.1.9, 4.2.4), обобщая результаты работ [19, 20].
Рассмотрим на проективном пространстве W(V) когерентный пучок #". Обозначим через coh(X) категорию когерентных пучков на многообразии X, через grmod(S ) — категорию конечно порождённых градуированных -модулей.
Таким образом, минимальные резольвенты пучков на проективном пространстве W(V) оказываются связаны с сизигиями градуированных модулей над k[V]. Результаты о построении минимальных резольвент пучков на некоторых детерминантальных многообразиях могут быть найдены в [15].
В главе 3 мы вводим основные обозначения. В параграфе 3.1 мы вводим понятие обрезанного комбинаторного куба, являющего комплексом над абелевой категорией. В параграфе 3.2 мы формулируем условия на старший вес неприводимого представления редуктивной группы , при выполнении которых сизигии допускают комбинаторное вычисление (см. свойства 3.2.1 и 3.2.2, а также предложение 3.2.3). В параграфе 3.3 мы вводим обозначения, связанные с диаграммами Юнга.
Глава 4 содержит основные вычисления и доказательства основных результатов диссертации. В параграфе 4.1 мы изучаем изотипические компоненты комплекса Кошуля, вычисляющего сизигии пучков &(, ) на F() х F() С W( g)). Оказывается, что эти изотипические компоненты являются обрезанными комбинаторными кубами.
Проективные координатные алгебры
Ясно, что ртш(К ) является подкомплексом в (4.1), состоящим из модулей Y QW с си(в) = си. Остаётся проверить, что этот подкомплекс является обрезанным комбинаторным кубом. Существует градуированное векторное пространство V , для которого ртш(К ) T W S V . Поскольку представление S VK группы G неприводимо, по лемме Шура (см. [24]) верно End(EwVK ) = к.,
Теперь докажем, что комплекс ртш(К ) является обрезанным комбинаторным кубом. Докажем это в два шага. Во-первых, выберем базис в V . Во-вторых, найдём все ненулевые матричные элементы d в этом базисе. Тогда останется только воспользоваться леммой 3.1.4.
Возьмём произвольный вес си = (А,/І). Допустим, си = си(в). Тогда в = A U //. Более того, все клетки косой диаграммы А — // отмечены L , все клетки косой диаграммы // — А отмечены R , и некоторые из клеток Л П /І могут быть отмечены LR . Ясно, что можно отметить LR только клетки множества (А,/І), определённого в 3.3.2. Следовательно, отмеченные диаграммы в со свойством си (в) = си находятся в соответствии с подмножествами -В(Л, /І), то есть со стандартным базисом внешней алгебры А Е векторного пространства Е1, натянутого на векторы і,... ,п, пронумерованные элементами (А,/І). Вектор «! Л ... Л jfc с 1 %\ ... ik к соответствует в с клетками ii,... /Ik Є -В(Л,/І), отмеченными LR .
Возьмём в Є Ymin{Via + Q b + о), для которой си(в) = си. По лемме 3.3.4 эта диаграмма соответствует G-модулю в APW (g) Syma+q U (g) Sym +qV , где wt( o) = V. Ограничение отображения APW — NP W g) W на слагаемое e0U g e V раскладывается как сумма e0U — VU g) U и YJQIV — Y viV g) V для всех поддиаграмм v С #o, полученных удалением одной клетки во.
Отображение W Syma+q U Sym +qV — Syma+,?+1 7 g)Sym +q+l V , ограниченное на слагаемое, соответствующее z/, является тензорным произведением канонических отображений U g) Syma+,? U — Syma+rb U и V g) Sym +q V — Sym +q+ V . Наконец, заметим, что композиция дифференциала, ограниченного на Y QW , с проекцией на S VK не равна нулю тогда и только тогда, когда $ получается из в, если отметить LR ещё одну клетку. По лемме 3.1.4 комплекс ртш(К ) является k-ым обрезанным комбинаторным n-кубом. Остаётся заметить, что компонента старшей степени комплекса имеет / + (А,/І) клеток, содержащих L , и г + (А,/І) клеток, содержащих R . Следовательно, эта компонента имеет степень / + (А,/І) — а = г + \В(Х, fi)\—b = n — k. Поэтому мы имеем ртш(К ) Т,ш\ (8)А кЕ(—к). П
Мы описали изотипические компоненты комплекса Кошуля. Оказывается, они все являются обрезанными комбинаторными кубами. Эти комплексы ацикличны ровно в том случае, когда размерность куба положительна и куб не обрезан. Опишем изотипические компоненты, которые являются 0-кубами или fc-ыми обрезанными кубами для к 0. Определение 4.1.3. Обозначим /а (А) = max{; (а + к, Ъ + к) Є А} + 1. Например, / (А) = /(А) и 1к,к(Х) = /(А) — к, где /(А) — длина главной диагонали (см. 1.2.1). Две следующие леммы полностью описывают 0-кубы в комплексе (4.1). В лемме 4.1.4 мы строим комбинаторные 0-кубы в комплексе. В лемме 4.1.6 мы покажем, что подкомплексы, описанные в предыдущей лемме, исчерпывают все 0-кубы в комплексе 4.1. Лемма 4.1.4. Фиксируем диаграмму Юнга v и а,Ь Є Z, для которых k = /a 6(z/) 0. Тогда изотипическая компонента веса (А, /І) = (e(z/, а + k), e(z/, Ъ + к)) в комплексе Кошуля (4.1) изоморфна комбинаторному 0-кубу (E\U (g YJJJV ) (k). Доказательство. Рассмотрим клетку с = (a + k — l,b + k — 1) в конце диагонали, начинающейся в (а, Ъ). Тогда существует а + к столбцов с клеткой с или левее иЪ + к строк с клеткой с или выше. Добавим по клетке, отмеченной L , в конец каждого из первых а + к столбцов и по клетке, отмеченной R , в конец каждой из первых Ъ + к строк. Если с = (ж, у) Є v лежит на диагонали или ниже, то существует клетка, отмеченная L , ниже с . Если с = (х,у) Є v лежит на диагонали или выше, то существует клетка, отмеченная R , справа от с1. Значит, B(e(v,a + k),e(v ,b + к)) = 0, и утверждение данной леммы очевидно следует из леммы 4.1.1.
Пример 4.1.5. Следующая картинка содержит пример конструкции, приведённой выше. Рассмотрим диаграмму v = (5,4,4,2) внутри жирной линии и (а, Ь) = (—2, —1). Тогда диагональ, начинающаяся в (а, 6), является множеством клеток, отмеченным точками / = 4. Мы видим, что Л = (5,4,4,2,2) и /І = (6,5,5,2) = (4,4,3,3,3,1), и изотипическая компонента веса (Л,/І) в К равна (5,4,4,2,2 4,4,3,3,3,1 )(4). L L Лемма 4.1.6. Пусть (А,/І) — вес группы G, изотипическая компонента которого является комбинаторным 0-кубом в комплексе Кошуля (4.1). Тогда существует диаграмма v, удовлетворяющая предположениям леммы 4.1.4, для которой А = e(z/, а + к) и // = e(z/, Ъ + к). Доказательство. Пусть в — диаграмма AU//, где клетки А —/І отмечены L , а клетки // — А отмечены R . По построению имеем $L П 9R = 0. Посколь ку рг/А \ является комбинаторным 0-кубом, по предложению 4.1.1 имеем п = (А,/І) = 0; к = а — А — // = Ъ — І/І — А 0; в каждом столбце не более одной клетки А — //; в каждой строке не более одной клетки /І — А. Из последних двух условий существует / = А —// столбцов с буквой L и г = І/І — Л строк с буквой R . Обозначим І = (ХІ,УІ) для і = 1,... ,s клетки z/ = А П //, для которых (ХІ + 1,УІ) ф v и (ХІ,УІ + 1) v (то есть угловые клетки диаграммы v). Поскольку ХІ ф Xj для і ф j, можно считать, что жі Х2 xs. Поэтому у\ у2 ... уп. Множество (А,/І) состоит из клеток j = (ХІ,УІ), для которых (ХІ,УІ + 1) А — // и (ЖІ + 1,г/і) /І — А. Поскольку (А,/І) = О, для каждой j существует буква L в (ХІ,УІ + 1) или буква R в (ХІ + 1,уі).
Допустим, для некоторого t выполнено (xt + l,yt) Є #Д и (ж __1, __1 + 1) Є $L. Поскольку во U 6L = \ и во U 6R = ц являются диаграммами Юнга, клетки выше (xt + 1,2/t), не принадлежащие #о, принадлежат #д, а клетки слева от (ж __1, __1 + 1), не принадлежащие #о, принадлежат в #. Таким образом, (xt + 1,2/t+i +1) Є П д= 0.
Допустим, выполнен первый случай. Тогда для любого t t верно (xf + 1,2/) @R ДЛЯ yt +i у yt и У 0 (то есть в конце каждой строки не ниже yt есть клетка, содержащая R ). Для любого t t верно (x,yt + l) Є 9і для Xf-\ х Xf и х 0 (то есть в конце каждого столбца не правее Xt есть клетка, содержащая L ). С другой стороны, $L И 9R не могут иметь других клеток. Иначе мы получим клетку в в Пвц. Тогда (xt, yt) = (А—//, //—А) = (/,г), и для к = а — I = b — г имеем /a 6(z/) = —к.
Допустим, имеет место второй случай. Мы видим по крайней мере Xt клеток с L и по крайней мере yt+i клеток с R . Это значит, что / Xt и г yt+i- В одном из этих условий выполнено равенство, иначе клетка (xt+l,yt+i + 1) содержит LR . Допустим г = yt+i (второй случай аналогичен). Если I Xt: то существует ещё / — Xt клеток с L , и они могут быть расположены только в строке yt+i + 1.
Представления
Доказательство. По следствию 2.2.3 требуется вычислить группы когомоло гий комплекса (4.1) представлений G в случае а = Ъ = 0. По следствию 4.1.7 среди изотипических компонент комплекса (4.1) нет обрезанных кубов. То гда только комбинаторные 0-кубы дают вклад в группы когомологий. По леммам 4.1.4 и 4.1.6 изотипическая компонента веса (А, /І) группы G явля ется 0-кубом степени к, если и только если существует диаграмма z/, для которой А = e(z/, а + к), и /І = e(z/, b + к), и /a 6(z/) = к. Но а = Ь = 0, поэтому 1а Ь{и) = l(v). Замечание 4.1.8. Правая часть равенства теоремы 1.2.2 кажется независимой от т и п. Но dim U = т и dim V = п. Поэтому если диаграмма А имеет более т строк, или диаграмма /І имеет более п строк, то U{ S V = 0.
Обозначим через S(w, a, 6, к) множество отмеченных диаграмм в, для которых wt(#o) + к = w, \$L\ = (і, \0R\ = b и \$L П #д = к. Если изотипическая компонента веса ш в (4.1) изоморфна T,gW S А кЕ(—к) для А; 0, векторного пространства Е размерности N и си = ш(в), то в Є S(w,a,b,k). Для каждого такого комбинаторного куба существует канонический элемент #, где каждая клетка, лежащая в В(в), отмечена LR . Обозначим множество таких отмеченных диаграмм через S(w,a,b,k). Тогда каждый к-ый обрезанный комбинаторный TV-куб HQW (g) А кЕ{—к) соответствует единственному элементу 9 Є S(w, a, 6, к), где N = В (в).
Другими словами, S(w,a,b,k) есть множество таких отмеченных диаграмм Юнга, что в каждом столбце не более одной клетки отмечено L , в одном столбце не более одной клетки отмечено R ; неотмеченных клеток w — к; буквой L отмечено а + к клеток, буквой R отмечено Ъ + к клеток; каждая клетка множества В(си(в)) отмечена LR . Теорема 4.1.9. Рассмотрим вложение Сегре X = F(U) x(V) С (U S V). Пусть а — т и b —п. Тогда существует резольвента Доказательство. Рассмотрим стандартную резольвенту диагонали (2.2). Как в доказательстве леммы 2.4.3, построим резольвенту #" = б хІАіЬ). По лемме 2.4.3 для #" = б хір", b) и мы имеем RpP+q = Н9 (Р ,і7р Фч(р) (8) х( з.,&) ) = ( Tor (k, F( x( 3., &))) ) , где правую часть можно вычислить при помощи комплекса Кошуля (4.1).
Есть два типа изотипических компонент, дающих вклад в группы когомо-логий комплекса Кошуля К (4.1). Это комбинаторные 0-кубы и обрезанные комбинаторные кубы. По леммам 4.1.4 и 4.1.6 если изотипическая компонента веса (А,/І) является комбинаторным 0-кубом и даёт вклад в Hq((K )p), то v = X П /i, wt(z/) = р, X = e(z/, q + I) и /І = e(z/, g + /), где / = Іа,ь(ц) и (К )р — р-ая однородная компонента if . Это соответствует первой строке в (4.3). Теперь опишем обрезанные комбинаторные кубы. Каждый элемент в Є S(a,b,p,k) соответствует подмодулю (YIQW ) k в пространстве сизи гий RaJi. П Поскольку теорема 4.1.9 и все необходимые леммы функториальны по векторным пространствам (7и7, мы можем применить те же рассуждения в относительной ситуации. Это доказывает следующий результат, обобщающий теорему 4.1.9.
Теорема 4.1.10. Пусть В — гладкое алгебраическое многообразие, на котором заданы векторные расслоения Ы и V. Рассмотрим относительное вложение Сегре X = Рв( 0 хв PB(V) С PB(W S V). Допустим, а — rk(U) ub —rk(V). Тогда пучок д-(а,&) имеет следующую резольвенту:
Замечание 4.1.11. На прямой сумме пространств сизигий существует естественная структура алгебры. Рассмотрим комплекс Кошуля К вложения Сегре (определённый в 4.1) и выберем эквивариантные проекцию р и вложение г: р Л = К П (К ), і где р о і = Id. Обозначим умножение на комплексе Кошуля через тт. Тогда умножение на сизигиях можно задать формулой ш(х,у) = р(тт(і(х)/і(у))). Обозначим Y = \ }PQYmyn(p,q,q). Тогда Л = ф у S VK . Обратим внимание, что каждый G-подмодуль в прямой суме пространств сизигий входит в сумму с кратностью 1. Кроме того, в алгебре A W каждый G-модуль встречается с кратностью 1. Значит, умножение w. нТн Yj$yV (g) @Н TIQ2W — нТн YIQ3W в\ 02 Оз, Оз можно задать структурными константами we е .
Рассмотрим три отмеченных диаграммы #і,#2,#з У- Тогда из теоремы 1.2.2 имеем иі{6і) = (e(z/j, Si), e(z/, s )), где Si = l{vi). Тогда zue3 в ф 0, если и только если s\ + S2 = S3 и з v\ S ь 2 во внешней алгебре A W . (Напомним, что A W = ф U S V ,.)
Очевидно, что если из ф 8\ + S2 или vz У\ g ь 2, то из однородности и эквивариантности умножения тив3 в = 0. Допустим, s% = S\ + S2 и vj, С v\ (g) щ Тогда w03 в ф 0, так как G-подмодуль YIQ3W лежит wiYtQ , E VK ), имеет кратность 1 в комлексе Кошуля К и в сизигиях, и проекция р поэтому его не зануляет.
Квадратичное вложение Веронезе
Все такие диаграммы отличаются только наборами окрашенных клеток. Рассмотрим пару таких окрашенных диаграмм в\ и $2. Неокрашенная часть всегда состоит из крюков вида (// — 1). Поэтому отличаться могут только пары клеток (/ — 1, / — 1 + bi) и (/ + &/,/ — 1) для / Є С (си) (множество С определено в 3.3.7). В каждый окрашенной диаграмме в формы си обязательно окрашены s = Хл=і \ai bi — 1\ клеток. Изотипическая компонента веса си в комплексе К соответствует окрашенным диаграммам Юнга #, в каждой из которых для некоторых / Є С(си) концы главного 1-го крюка одновременно окрашены, и таких / по крайней мере q A. Обозначим через Z (a) множество таких окрашенных диаграмм в.
По предложению 3.2.3 изотипическая компонента веса си в комплексе Кошуля К изоморфна где дифференциал d индуцирован дифференциалом d на фдє ш(а) где \ 0, если и только если V С V (g) Sym V . Пусть во — окрашенная диаграмма формы х , имеющая наименьшее число окрашенных клеток и для которой множество неокрашенных клеток имеет форму (сі,..., сп\сп — 1,..., с\ — 1) для некоторых с\ ... сп. В такой диаграмме для каждого / Є С(си) не окрашены клетки на концах 1-ого главного крюка. Выберем в решётке X весов группы GL(y) систему координат, где диаграмма Юнга /І = (/ІІ, ..., /І&) имеет координаты (/ІІ, ..., /І&, 0,..., 0). Пусть векторы Єї,..., еп — стандарт п—к ный базис данной системы координат. Обозначим Vi = е/_і + е/_і+ь. Тогда каждая поддиаграмма неотмеченных клеток в в Є Z (a) соответствует точке Ло — Хлєсм SlVl Для Єі {ОД}- Очевидно, что множество Z соответствует пересечению С(бо )-мерного единичного куба в подрешётке 3 с нулевой точкой Ло, порождённой vi для / Є С( х ), с полупространством Хлєсм Єі s Значит вершины куба находятся в соответствии с базисом пространства К аЕ, где векторное пространство Е порождено векторами / для / Є С (си). Вершина Ло — Хлєс е соответствует базисному вектору Л/єС& Для каждого С С С( х ). Таким образом, по лемме 3.1.4 изотипическая компонента веса си в комплексе К является s-мы обрезанным комбинаторным С(бо )-кубом.
Остаётся заметить, что компонента старшей степени комплекса имеет Хл=і( — bi + 1) закрашенных клеток. Следовательно, эта компонента имеет степень Хл=і а 2+ 1 ( )1- Поэтому мы имеем ртш(К ) V (g) A -kcH =1fi=khi_c(o;)). П Предложение 4.2.2. Изотипическая компонента веса си в комплексе (4.4) является комбинаторным 0-кубом, если и только если диаграмма Юнга си симметрична, то есть си = си , и чётность wt( x ) совпадает с чётностью а.
Доказательство. Заметим, что в комплексе (4.4) каждая диаграмма в име ет а + 2к закрашенных клеток для различных к. В каждом главном крю ке диаграммы в может быть не более одной закрашенной клетки снизу. Таким образом, каждый главный крюк не менее широкий, чем высокий. Пусть в = ( 2i,..., ak\ Ъ\). Допустим, диаграмма в не симметрична. Пусть / максимальное такое, что а/ ф Ъ\. Значит, а/ bi. Но либо к = /, либо щ+і = bi+i &/. Значит, клетка (6/ + /,/ — 1) не принадлежит #, так что / Є С (в). Соответственно, изотипическая компонента веса в не может быть комбинаторным 0-кубом. Значит, каждый главный крюк симметричен. Отсюда следует, что каждый главный крюк содержит одну закрашенную клетку снизу. Количество крюков равно длине диагонали, а её чётность совпа дает с чётностью а. Также очевидно, что для диаграммы #, удовлетворяющей условиям, изотипическая компонента является 0-кубом. Лемма 4.2.3. Допустим, а 0. Тогда в комплексе К каждая нет изо-типической компоненты, изоморфной к-ому обрезанному комбинаторному кубу для к 0. Доказательство. Из леммы 4.2.1 при а 0 изотипическая компонента ве са си изоморфна Уш S A sE(r) для некоторого к, для Й Й Ои для вектор ного пространства Е. Значит Уш S A sE(r) = Уш S А Е(г). П Теперь докажем теорему 1.2.4. Доказательство. Поскольку в комплексе К в случае а = 0 по лемме 4.2.3 нет обрезанных комбинаторных кубов. Таким образом, вклад в пространства сизигий дадут только изотипические компоненты, являющиеся комбинатор ными 0-кубами. По лемме 4.2.1 изотипическая компонента веса си является комбинаторным кубом, если и только если диаграмма си симметрична, и чёт ность а = 0 равна чётности wt( x ). Чётность веса симметричной диаграммы совпадает с чётностью длины её диагонали. Так образом, теорема доказа на.
Доказательство. По лемме 2.4.3 пространства , вычисляются комплек сом Кошуля (4.4). По лемме 4.2.1 все изотипические компоненты этого комплекса являются обрезанными комбинаторными кубами. Комбинаторные 0-кубы в комплексе (4.4) описываются предложением 4.2.2 и соответствуют первой строке (4.5). Теперь опишем обрезанные комбинаторные кубы.
Каждый обрезанный комбинаторный куб имеет компоненту минимальной степени в нуле. Возьмём диаграмму си. В ней обязательно закрашено Хл=і \ai h — 1\ клеток. Всего в диаграмме, соответствующей подмодулю в нулевой степени, закрашено а клеток. Множество С(си) соответствует крюкам, в которых ещё могут быть закрашены клетки. Кроме обязатель но закрашенных, ещё есть = 2 Хл=1 I І 1 ) крюков. Заметим, что если число оказалось нецелым, то в комплексе нет окрашенной диа граммы формы . Чтобы окрасить некоторые клетки ви получить окра шенную диаграмму, соответствующую подмодулю в комплексе Кошуля, необ ходимо, чтобы окрашенных клеток было не более одной в каждом столб це. При этом незакрашенные клетки должны образовывать диаграмму фор мы (1,... , k\k — 1,..., 1 — 1) для некоторых . Значит, в нашей диаграм ме мы в -ый крюк можем добавить не более одной клетки снизу и не бо лее І-1 + 1—і клеток справа. Это равносильно неравенствам І j_1 + 1 для = 1,..., . Остаётся заметить, что мы получили -ый обрезанный комби наторный () куб, таким образом, подмодуль даёт вклад в когомологии с кратностью ( s ) . П
