Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор результатов 5
1.1 Основные определения и обозначения . 5
1.2 Производящие функции,базисы для супералгебр Ли 6
1.3 Рост конечно порожденных полииильпотентных супералгебр Ли.1 8
1.4 Рост почти полииильпотентных алгебр Ли 12
2 Производящие функции, базисы для супералгебр Ли 14
2.1 Формула Шрайера для градуированных супералгебр Ли 15
2.2 Производящие функции для разрешимых супералгебр Ли 16
2.3-. Базисы свободных супералгебр Ли 21
3 Рост разрешимых супералгебр Ли 30
3.1 Рост функций аналитичных в единичном круге 30
3.2 Рост универсальных обертывающих алгебр 34
3.3 Рост полииильпотентных супералгебр Ли 38
4 Рост почти разрешимых алгебр Ли 45
Литература 49
- Производящие функции,базисы для супералгебр Ли
- Рост почти полииильпотентных алгебр Ли
- Базисы свободных супералгебр Ли
- Рост полииильпотентных супералгебр Ли
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена исследованию роста конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли и близких к ним алгебр.
Понятие роста является важной характеристикой для изучения бесконечных групп и бесконечномерных алгебр [ 12]. В работе Гельфанда и Кириллова понятие роста было использовано для изучения универсальных обертывающих алгебр иильпотентных алгебр Ли [19]. Также понятие роста возникло в работах геометров для изучения групп.
С другой стороны, для градуированных алгебр определяется ряд Гильберта-Пуанкаре [ 12]. Этот ряд несет содержательную информацию о характере асимптотического поведения алгебры. Ои является заменой обычных характеристик, таких как порядок множества, размерность. пространства.
Поскольку ряд Гильберта несет всю информацию об асимптотическом поведении алгебры, интересным вопросом для исследования является взаимосвязь свойств функции роста и поведения ряда Гильберта. Еще одним интересным вопросом является рациональность ряда Гильберта [12].
В некоторых случаях вводят новые числовые характеристики, которые оказываются более: грубыми чем функция роста, а именно: размерность Гельфанда-Кириллова [ 19], суперразмерность [17] и т.д. Грубо говоря, размерность Гельфанда-Кириллова — это степень полинома в случае полиномиального роста.
Известно, что конечно порожденные свободные ассоциативные и лиевы алгебры имеют экспоненциальный рост [ 1 ], [ 16]. Конечно-порожденные ассоциативные PI-алгебры (алгебры с нетривиальным тождеством) имеют полиномиальный рост [12].
Конечно порожденные разрешимые алгебры Ли имеют промежуточный рост, быстрее полиномиального, но медленнее экспоненциального [23]. Для изучения такого роста Петроградским В.М. была построена бесконечная шкала эталонных функций, с помощью которой классифицируются алгебры Ли промежуточного роста [8], [28]. Первая ступенька шкалы соответствует конечномерным алгебрам. Вторая — алгебрам полиномиального роста. Следующие ступеньки соответствуют различным типам промежуточного роста идущих вверх к экспоненте, но меньше ее.
Были введены понятия верхней и нижней размерности уровня q (g-размеріюсти). Оказа- лось, что размерности уровня 2 соответствуют ранее изучавшимся размерностям Гельфанда-Кириллова[19], [22], а уровня 3 — суперразмерностям [17]. Размерности следующих уровней соответствуют субэкспоненциальным ростам, которые были названы логарифмическими.
С помощью g-размерностей были классифицированы конечно порожденные разрешимые алгебры Ли, найдены асимптотики их роста [27], [28]. Оказалось, что если свободная разрешимая алгебра Ли ступени q порождена к элементами, то она находится на g-ой ступеньки введенной шкалы, а именно, ее g-размерность равна к.
В настоящей работе основным объектом исследования является рост конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли, а также рост почти разрешимых алгебр Ли. Дается классификация их роста с помощью введенного понятия g-размерностей и находятся асимптотики их роста.
Основным инструментом доказательства полученных результатов является техника производящих функций. Используется аналог известной для свободных групп формулы Щрай-ера [30], [31], а также точная производящая функция для разрешимых (более шире; поли-нильпотентных) супералгебр Ли, найденные Петроградским В.М. [31]. Исследование ведется в общности полинильпотентных (супер)алгебр Ли. Понятие полиннльпотентности шире понятия разрешимости. Действительно, любая полинильпотентная (супер)алгебра Ли лежит в некоторой разрешимой (супер )алгебре Ли. С другой стороны, разрешимость является частным случаем полин ил ыштентности.
Кратко опишем структуру диссертации. В главе 1 вводятся основные определения, обозначения и формулируются основные результаты. Глава 2 носит скорее технический характер. Здесь мы изучаем производящие функции некоторых полинильпотентных супералгебр Ли, изучаем их асимптотику. Глава 3 содержит основной результат — теорему 3.6 о росте свободных разрешимых супералгебр Ли. В главе 4 при помощи полученной техники доказывается еще один результат о росте почти разрешимых алгебр Ли.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36]—[42]. Они докладывались на конференции молодых ученых в г. Ульяновске (2002 г.), Международных конференциях по алгебре проходивших в г. Туле (2003 г.), г. Москве (2004г.), г. Саратове (2004 г.).
Автор пользуется возможностью выразить признательность и благодарность своему научному руководителю, профессору Петроградскому В.М., за постановку задачи и постоянное внимание к работе, за полезные обсуждения и советы.
Производящие функции,базисы для супералгебр Ли
Настоящая диссертация посвящена исследованию роста конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли и близких к ним алгебр. Понятие роста является важной характеристикой для изучения бесконечных групп и бесконечномерных алгебр [ 12]. В работе Гельфанда и Кириллова понятие роста было использовано для изучения универсальных обертывающих алгебр иильпотентных алгебр Ли [19]. Также понятие роста возникло в работах геометров для изучения групп. С другой стороны, для градуированных алгебр определяется ряд Гильберта-Пуанкаре [ 12]. Этот ряд несет содержательную информацию о характере асимптотического поведения алгебры. Ои является заменой обычных характеристик, таких как порядок множества, размерность. пространства. Поскольку ряд Гильберта несет всю информацию об асимптотическом поведении алгебры, интересным вопросом для исследования является взаимосвязь свойств функции роста и поведения ряда Гильберта. Еще одним интересным вопросом является рациональность ряда Гильберта [12]. В некоторых случаях вводят новые числовые характеристики, которые оказываются более: грубыми чем функция роста, а именно: размерность Гельфанда-Кириллова [ 19], суперразмерность [17] и т.д. Грубо говоря, размерность Гельфанда-Кириллова — это степень полинома в случае полиномиального роста. Известно, что конечно порожденные свободные ассоциативные и лиевы алгебры имеют экспоненциальный рост [ 1 ], [ 16]. Конечно-порожденные ассоциативные PI-алгебры (алгебры с нетривиальным тождеством) имеют полиномиальный рост [12]. Конечно порожденные разрешимые алгебры Ли имеют промежуточный рост, быстрее полиномиального, но медленнее экспоненциального [23]. Для изучения такого роста Петроградским В.М. была построена бесконечная шкала эталонных функций, с помощью которой классифицируются алгебры Ли промежуточного роста [8], [28]. Первая ступенька шкалы соответствует конечномерным алгебрам. Вторая — алгебрам полиномиального роста. Следующие ступеньки соответствуют различным типам промежуточного роста идущих вверх к экспоненте, но меньше ее. Были введены понятия верхней и нижней размерности уровня q (g-размеріюсти). Оказа- лось, что размерности уровня 2 соответствуют ранее изучавшимся размерностям Гельфанда-Кириллова[19], [22], а уровня 3 — суперразмерностям [17].
Размерности следующих уровней соответствуют субэкспоненциальным ростам, которые были названы логарифмическими. С помощью g-размерностей были классифицированы конечно порожденные разрешимые алгебры Ли, найдены асимптотики их роста [27], [28]. Оказалось, что если свободная разрешимая алгебра Ли ступени q порождена к элементами, то она находится на g-ой ступеньки введенной шкалы, а именно, ее g-размерность равна к. В настоящей работе основным объектом исследования является рост конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли, а также рост почти разрешимых алгебр Ли. Дается классификация их роста с помощью введенного понятия g-размерностей и находятся асимптотики их роста. Основным инструментом доказательства полученных результатов является техника производящих функций. Используется аналог известной для свободных групп формулы Щрай-ера [30], [31], а также точная производящая функция для разрешимых (более шире; поли-нильпотентных) супералгебр Ли, найденные Петроградским В.М. [31]. Исследование ведется в общности полинильпотентных (супер)алгебр Ли. Понятие полиннльпотентности шире понятия разрешимости. Действительно, любая полинильпотентная (супер)алгебра Ли лежит в некоторой разрешимой (супер )алгебре Ли. С другой стороны, разрешимость является частным случаем полин ил ыштентности. Кратко опишем структуру диссертации. В главе 1 вводятся основные определения, обозначения и формулируются основные результаты. Глава 2 носит скорее технический характер. Здесь мы изучаем производящие функции некоторых полинильпотентных супералгебр Ли, изучаем их асимптотику. Глава 3 содержит основной результат — теорему 3.6 о росте свободных разрешимых супералгебр Ли. В главе 4 при помощи полученной техники доказывается еще один результат о росте почти разрешимых алгебр Ли. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36]—[42]. Они докладывались на конференции молодых ученых в г. Ульяновске (2002 г.), Международных конференциях по алгебре проходивших в г. Туле (2003 г.), г. Москве (2004г.), г. Саратове (2004 г.). Автор пользуется возможностью выразить признательность и благодарность своему научному руководителю, профессору Петроградскому В.М., за постановку задачи и постоянное внимание к работе, за полезные обсуждения и советы. Зафиксируем основное поле К. Напомним, что Z2-градуированная алгебра L = L+ ф L_ называется супералгеброй Ли, если она удовлетворяет следующим градуированным тождествам [35]. Пусть e(L+,L+) = e(L+,L-) — e(L_,L+) = 1, иє(Ь_,_) = -1. Тогда [ж,у] = -е(х,у)[у,х], х,у Є L± (антикоммутативность); [х, [у, z\\ = [[х,у], г] - t(y;z)[[x,z],у], x,y,z = L± (тождество Якоби). (Если char К = 2, то необходимы некоторые дополнительные условия [16], в случае char К — 3 предполагаем.что [[у,у],у] — 0 для всех у Є _, в других характеристиках это тождество автоматически выполняется). Многообразием (супср)алгебр (Ли) называют класс (супер)алгебр удовлетворяющих некоторому фиксированному набору (градуированных или неградуироваииых) тождеств. О многообразиях алгебр Ли см. монографию [ 1 ].
Супералгебры Ли и их многообразия изучаются в [16] и [26]. Пусть L— (супер)алгебра Ли, Определим нижний центральный ряд итерированием L1 — L, Li+1 — [L,L% і = 1,2, Назовем L нильпотентной ступени А1 если Ls+1 =-{0}, V Ф {0}. Все нильпотентные алгебры Ли ступени s образуют многообразие обозначаемое Na. Это обозначение мы также будем использовать для многообразий нильпотентных супералгебр Ли ступени s. Напомним что L — полинильпотентная алгебра с последовательностью (sq,.. .,s2,si), если и только если существует цепочка идеалов 0— Lq+X СІ, С С ijC Li — L, такая что Ц/Ьш є NSi, і = 1,..., g. Все полинильпотентные (супер)алгебры Ли с фиксированным набором (sq,... ,s2,Si) образуют многообразие обозначаемое NSq - NS2NSl. В случае sq = si = 1 получаем многообразие А? разрешимых (супер)алгебр Ли ступени q. Полинильпотентные многообразия групп и алгебр Ли и их взаимосвязь изучены А.Л. Шмелькиным[14]. Очевидно, что любая полинильпотентная (супер)алгебра Ли разрешима, т.е. лежит в неко- тором А9 для достаточно большого /, Поэтому изучая свободные полинильпотентные (су-пер)алгебры Ли мы, во-первых, изучаем некоторые разрешимые (супер)алгебры Ли. Во-вторых, исследование свободных разрешимых (супер)алгебр Ли является частным случаем нашего исследования, т.к. F(Aq,X) = F(N\ N X), q раз Рассмотрим супералгебру Ли L, разложение на четную и нечетную компоненты обозначим через L = L+ Х_. Свободную алгебру многообразия М, порожденную X, обозначим через F(M,X),X-.= Х+ UX-. Пусть Х+ = {ХІ\І Е 1+},Х_ = {xj\j є /-}. Напомним, что алгебра F(M,X) порожденная -Х- такова, что для всех Я = Я+ Ф Я_ Є М и любых у{ є Н+, і & l+; tjj Є Я-,/Є /_, существует гомоморфизм : F(M,X) - Я, такой, что ф(х{) = уиі Є i+U/-. В случае JX+ = m, Х_ = к также будем использовать обозначение F(M, X) — F(M, m, А;). Обозначим через (( ), Г( ),.р( } дзета-функцию Римана, Гамма функцию и функцию Мёбиуса соответственно. Символом 5у обозначим символ Кронекера, Символы О, о, и имеют свое обычное значение. Обозначение /(п) = 0{д{п)) при п - оо означает, что f{n)/g(n) ограничено при п -J- оо; /(гс)— о(д(п)) при п - оо означает, что f(n)/g(n) -ї О при ті - оо; /(п) д{п) прип » оо означает, что f{n)/g{n) — 1 прип — оо. Функция натурального аргумента /(п) называется квази-многочленом, если ее можно.-представить в следующем виде f(n) Є {nnk \ корни из единицы, к Є No)c; ( О максимальное &, такое что пк входит в /(п) называется степенью такого квази-многочлена. Рассмотрим алгебру А порожденную конечным множеством X и однородную относительна но степени по отношению к X, Получаем А ф Ап.
Рост почти полииильпотентных алгебр Ли
В главе 4 доказывается, что конечно порожденные почти гюлинильпотентные алгебры Ли имеют субэкспоненциальный рост и дается оценка в терминах предложенной ранее шкалы субэкспоненциальных функций. Теорема 4.1. Пусть L — конечно порожденная алгебра Ли, причем существует подалгебра Н С L конечной коразмерности, такая что Н полинильпотеитная вида (sq, ...,s2,si). Тогда L имеет субэкспонепциальныи рост и Следующее следствие дает верхнюю оценку роста почти нильпотентных алгебр Ли, эта оценка независима получена в [34]. Следствие 4.1. Пусть L —конечно порожденная алгебра Ли. Пусть Н С L—подалгебра конечной коразмерности и нильпотеитиая ступени с. Тогда L имеет полиномиальный рост и Полагая в теореме 4.1 sq = - = s i = s\ = Г, получаем следующую точнуюверхнюю оценку роста почти разрешимых алгебр Ли. Следствие 4.2. Пусть L — конечно порожденная алгебра Ли. Пусть существует нодал-гебраН С L конечной коразмерности и разрешимая ступени q. Тогда Из теоремы 1.2 следует точность этой оценки. Действительно, рассмотрим L F(Aq+1,k) и ее коммутант Н = іАТогда dira LjH = k, H разрешима ступени q.n по теореме 1.2 имеем Dim?+1 L — k.C другой стороны, нахождение нижних оценок бессмысленно, так как алгебра Ь может быть конечномерной. Производящие функции, базисы для супералгебр Ли Основным результатом главы является описание асимптотики производящих функций некоторых полинильпотентных супералгебр Ли (теорема 2.4). Кроме того, мы строим некоторые базисные семейства для свободных супералгебр Ли. Эти результаты играют важную роль при доказательстве основного результата. Кроме того, они представляют непосредственный интерес. Пусть X = {х{\і Є /}, І = /+ U /_, — не более чем счетное порождающее множество для супералгебры Л = А+ ф -А— Предположим, что А полиоднородна относительно X. Например это так, когда А относительно свободная алгебра некоторого многообразия супералгебр и X — Х+ U Х- — ее свободное порождающее множество. Обозначим N0 = N U {0}. Градуировка А = ф Аа индуцируется предположением ХІ Є Ааі, где а{ = (...,0,1,0,...) Є NQ с 1 на гтом месте. Здесь Ng обозначает функции от переменных г Є /с конечным числом ненулевых значений.
Определим гомоморфизм є : Щ -»-{±1}, полагая г(аг) = ±1, і Є 1±. Последовательность а — Yliei тіаі є Nj имеет лишь конечное число ненулевых элементов гщ, поэтому можно определить t" — Пш Т1- Рассмотрим кольцо формальных степенных рядов Q[[t]] = Q[[ti\i є /]], Предположим, что однородная подалгебра, тогда ее ряд Гильберта-Пуанкаре определяется следующим образом Далее мы будем использовать следующие операторы, действующие па кольце формальных степенных рядов Q[[t]]. Эти операторы были введены в [9, 31 ]: и Q[[t]]o обозначает ряды без свободных членов. Тождество (2,1) получено в [9], Будем предполагать, что элементы правой части (2.1) целые числа Ьа є 2. Важность оператора объясняется следующим фактом. Лемма 2.1 (9). Пусть L — супералгебра Ли, порожденная не более чем счетным множеством X = Х+ и Х- и полиоднородная относительно него. Тогда ряд универсальной обертывающей алгебры равен {x(U(L),t) = (7ix{L,t)). Известным фактом для свободных групп является следующая формула Шрайера. Пусть G — свободная группа ранга п и Я С G — подгруппа конечного индекса. Тогда Я— также свободная группа и ее ранг m находится по формуле Шрайера: т — 1 = (п.— 1) \G : Н\. В случае алгебр Ли Ширшов показал, что подалгебра свободной алгебры Ли свободна [ 1 ]. Однородная подалгебра Я = Н0 Нх свободной супералгебры Ли L = La ф Lі также свободна [16]. Справедлива следующая формула для свободных (супер)алгсбр Ли, являющаяся аналогом формулы Шрайера , она получена на языке производящих функций [30, 31 ]. Эта формула используется нами далее для изучения роста почти разрешимых алгебр Ли. Теорема 2.1 ([30, 31 ]). Пусть L — свободная супералгебра Ли, порожденная градуированным множеством X. Рассмотрим подалгебру Я с L. Тогда она обладает порождающим множеством Y, таким что Если Н однородна, то произвольное однородное свободное порождающее множество удовлетворяет этому соотношению. Доказательство основного результата основано на следующей точной формуле производящей функции для свободной полинильпотентной супералгебры Ли [31 ]. Частный случай этой формулы, формула для свободных метабелевых суиералгебр Ли F(A2,m, к), была найдена в [2], см. также [16].
Теорема 2.2 ([31 ]). Пусть L = F(NSq-- -NS2NSl,X) — свободная полинильпотент-ная супералгебра Ли порожденная не более чем счетным порождающим множеством X — {ХІ\І є І}, гдеї = I+\Jl-uX+ = [хі\г єі+}, Л"_ = {ХІ\І Є /_}.— четные и нечетные порождающие соответственно. Определим функции gi(t), fi(t) є Q[[t]], г = 0,..., q следующим образом: gQ(t) = 0, Сформулируем эту теорему для не суперслучая: Теорема 2.3 ( [31 ]). Пусть L = F(NSq- NS2NSI,X) — свободная полинильпотент-ная алгебра Ли, порожденная не более чем счетным градуированным множеством Y. Введем по итерации функции: gi{t), fi(t) є. Q[[t]],.г = 0,...,q полагая g0(t) = О, /0(і) = 7і(У, t), и далее Далее предполагаем, что порождающее множество конечно. Пусть / — /+ и /_, /+ = {l,...,m},/_ = {m + l,m + 2,. ..,m.+fc}, 1. m + & со. Тогда порождающее множество имеет вид X "= Л+ U Х_, где Х+ = {жі,,..,іт}, иХ_ = {xm+i,... ,жт+А:}- Если W с А полиоднородное подпространство, тогда можно рассмотреть градуировки полистепенью Wa, степенью Wn, и "суперстепеньюмИ7 , где последнее пространство состоит из элементов степени г относительно Х+, и степени j относительно Х-. Пусть W„ — Wn,+ ф Wn обозначает разложение на четную и нечетную компоненты, введем понятие суперразмерности В работе [9] использовались переменные i+, _, здесь, чтобы упростить формулы, мы будем использовать символы х, у и надеемся, что они не будут перепутаны с элементами порождающего множества X. Применим теорему 2.2 и полагая tj = х для і Є І+, и ti = у для і Є /-в формуле 7{{L,t) получим 7{(Ь,х,у). Введенные выше операторы в этом случае выглядят следующим образом.
Базисы свободных супералгебр Ли
В этом разделе рассматриваются базисы свободных супералгебр Ли. В частности, будет построен базис совместный с рядом коммутантов. Базис для свободных алгебр Ли впервые был построен Холлом [20], он применялся для изучения нижних центральных рядов свободных групп. На сегодняшний день известно много различных базисов для свободных алгебр Ли, например базис Линдона-Ширшова (см. [16]). Суперверсии базиса Линдона-Ширшова для свободных супералгебр Ли построены Михалевым [7] и Штерном [15], см. также [ 16]. Построены суперверсии и других басисов для свободных алгебр Ли. Суперверсию базиса Холла рассматривает Мелансон [25]. Суперверсия базиса Лазарда-Виннота построена в [18]. Общая конструкция базисов для свободных супералгебр Ли, называемая базисным семейством дается в [26] (теорема 8.11). Возможно построить теорию сплетения для случая супералгебр Ли. В случае алгебр Ли такая конструкция была предложена А.Л. Шмелькиным, см. подробное описание в [ 1 ]. Рассмотрим свободную супералгебру. Ли Ь = Ь(Х), порожденную множеством X — {ХІ\І є І}, І — І+ U /_. Обозначим через Г Г(Х) = {ХІ\І Є /} свободный неассоциативный группоид построенный на множестве X, в котором произведение элементов «, V Є Г обозначается .(uv), В некоторых случаях мы будем опускать скобки. Все неассоциативные произведения считаются левонормированными, т.е. %%v,-3 ... iv ( (()) )v -Обозначим uva — uv.. .v, где а є N. Для удобства отождествим элементы Г с их образами, а раз полученными под действием расширения отображения ХІ — ХІ Є L(X), і є І. В этом разделе произведение в супералгебре Ли также будем обозначать скобками ( , ), Если v Є Г, тогда degx v будет означать степень v относительно X. Рассмотрим естественное разложение Г = Г+ U Г„. Предположим, что на Г введен порядок и символы , имеют стандартные значения. Введем подкрученные символы и ; они совпадают соответственно с и. , кроме случая когда оба аргумента нечетные. Если u,v Є Г_, имеем u v тогда н только тогда, когда и v и u v тогда и только тогда, когда и v. Назовем полностью упорядоченное множество Л = ЩХ) с Г(Х) базисным семейством, если выполняются следующие условия: (R3) если к, и, uw Є Д, тогда uv v. Рассмотрим разложение Д = Д_ U Д+. Заметим, что в случае и = и є Д_ условие (R2c) всегда выполнено при истинности условия (R3). Построенный базис является суперверсией базисного семейства Холла [ 1 ]." Теорема 2.5 ([26] теорема 8.11). Базисное семейство R(X) является базисом для свободной супералгебры Ли L(X), X = Х+ UX-, Доказательство.
Сначала покажем, что Д(Х) порождает L(X). Используем индукцию по степени монома w Є Г П Ь{Х), По предположению индукции w = uv, где u,v Є Д. Более того, докажем индукцией по deg и + deg и, что для любых u,v Є R справедливо uv = Yli агЩ, «і є К, Wi Є Д, и и і min{«, v}. Благодаря антикоммутативности можно полагать, что u v. Случай и Є X тривиален. Предположим, что и = u\u2, где иг и2, «i,w2 Є Д- Если u2 v, тогда по определению шй,и все доказано. Теперь рассмотрим случай u2 v. Если щ v, тогда применяем тождество Якоби Напомним, что щ щ и. По предположению индукции мги и u2v выражаются через мономы R(X)t которые больше чем.v. Получаем, что наименьший множитель в правой части выражения (2.10) больше чем аналогичный в левой части. Противоречие. Рассмотрим случай и2 = v Є R-. Без потери общности можно считать, что и\. v, потому что для любых v е L-выполняется тождество (vv)v = 0 [16]. Тогда из тождества Якоби где от Rwvv и. В этом случае, наименьший множитель.также увеличивается. После таких преобразований, элементы по прежнему остаются лежать в той же полиоднородпой конечномерной компоненте. Следовательно, процесс остановится uv Yli aiwi ai ". wi R-Более того, мы получим элементы с минимальным множителем, большим чем -и. Из (R3) получаем Wi v, что и доказывает шаг индукции. Хорошо известно, что универсальная обертывающая алгебра свободной супералгебры Ли изоморфна свободной ассоциативной алгебре U(L(X)) = А{Х) [16]. Т.к. R{X) порождает L{X), легко доказать, что следующие мономы порождают U(L): U{L) = (и , -1 «,-, І иц Є R{X),uh ui2 -- uis, s Q)K. (2.11) Докажем, что на любом ассоциативном мономе а = х xj2 Xjn Є А(Х) можно однозначно расставить скобки и получить произведение вида (2.11). Применяем индукцию по п. По предположению индукции Xj2 - -Xjn = щх"-щ,, w . Є: R(X), щ щ„. Если хл п тогда получаем искомое разложение. Иначе, либо x3i wix хіг = w є Л_; в обоих случаях () Є R(X). Найдем максимальный р, такой что w = (... (( )).,. iyt-p) R{X). Еслир s, тогда ІОІР ЩР+І И (R2C) выполняется. В конце концов, получим w Wip+l и нужное разложение а — Покажем, что данная расстановка.: скобок единственна. Допустим, что на слове а — Xkt Xk2 %кп Є А(Х) существуют две расстановки скобок a = u - --u , u Є R(X), І - Ч ИЙ = ixjj ---ujj(, ujj; є Л(Х), u)j! - u;jt. По условию (R2c) имеем Uij = (...((xfclai)o2...a(), Щ Є Л( ),.аі --- аі.и:ги = (...((2 61)62--.6 );-V- Є Й(Х), г " & ; Воспользуемся (R3) и получим щ2 щг щ, аналогично WJ2 6ь Таким образом показано, что существуют две расстановки скобок на более коротком слове хк2 Xkn = о-х -Щ-Щ2 - Щ, — h -hk-Wj2 ---. По индукции они совпадают. Заметим, что для первого разложения число/ определяется как максимальное целое, такое что ((х щ) ...щ) є R(X). Следовательно, расстановка скобок единственна. Для завершения доказательства рассмотрим конечномерное пространство стандартных мономов А(Х) фиксированной полистспени относительно X. Уже доказано, что число стан дартных базисных мономов х - Л(Х) в этом пространстве такое же, как и число мо номов вида (2,11). С другой стороны, первые мономы выражаются через (2.11). Значит эле менты (2.11) линейно независимы.
В частности, множество R(X) линейно независимо. Тео рема доказана. D Рассмотрим супералгебру Ли L(X). Пусть S с Т(Х) — некоторый подмоноид. Предположим, что базисное семейство R = R(X) С Г(Х) удовлетворяет условию, что и и для всех и Є SП R, v Є R\ S. Назовем элемент w є S S-приводимым, если w = uv и и, v Є S, в противном случае назовем его S-непртодимым. Доказательство следующей леммы такое же как и в случае свободных алгебр Ли, см. например [ 1 ]. Также она следует из свойств приводимых подмножеств свободных супералгебр Ли ([16], глава 2; [26], глава 3). Лемма 2.5. Пусть Y — множество S-неприводимых элементов из RdS. Тогда {RC\S)K — свободная супералгебра JJuuY — ее свободное порождающее множество. Доказательство. Рассмотрим множество У, которое находится во взаимооднозначном соответствии с множеством Y, т.е. существует биекция/З : У — Y. Расширим : Г(У) - Т(Х). По индукции построим вполне упорядоченное множество й = и Я .С Г(У) следующим образом. Полагаем R[ = У и переносим порядок с У на R[. Допустим, что мы построили множества У-слов Я (т - 1) = R[ U - U R m_i длины 1,..,,m - 1,,такие что Plwim-i) -) Д П S — инъективно и-сохраняет порядок. Полагаем ab Є Я ,.если а є Щ, b є R j,i + j — m, a b, а если a — а\а2і где a\,a2 Є R (m — 1), то выполнено a2 b. Докажем, что /3{а&) = /3{а)/3(Ь) R(X). По индукционному предположению Д(а), /?(6) R(X) П S и j3(a) j3(b). Если а.= аха2 и аьа2 Є R {m — 1), тогда по индукционному предположению Р(аі),0(а2) Є R(X), {3(ai) P(a2) P{b) к получаем, что j3(ab) Є R(X). Рассмотрим важный случай, когда а Є Y — буква, т.е. не разлагается на множители, но /3(a) — щи2, где ЇІЬ иг є R(X).B этом случае, с одной стороны, (R2c) выполнено, а значит ab Є R m. С другой стороны, р(а) = щи2 EY S неприводим. Следовательно, по крайней мере один множитель не принадлежит S; т.к.щ и2,го мы заключаем, что и2 R\ SV Напомним, что /?(&) є R П S ни2 /?(Ь) по предположению для R(X). Таким образом, (R2c) выполняется и p(ab) є Й(Х). Также j3(ab) = /3(a)/?(6) Є S, потому что S.— подмоноид. Т.к. для любого w Є R(X) разложение w — uv, гдеи,и Є Й(Х) единственно, то получаем инъекцию/З : й(„ - й П S, Далее полагаем Я (т) = R (m - 1) U R m и получаем инъекцию /? : Я (т) - й П S. Остается восстановить порядок на R (m). Это был индукционный шаг для построения множества й . Рассмотрим свободную супералгебру Ли ЦУ), тогда Я — ее базис, потому что он удовлетворяет условиям (RI— R3) (по построению). Расширим отображение 0 :Y -ъ-Y- c Ь(Х) до гомоморфизма /3 : L(Y ) - ДА"). Обозначим образ Ь(У) при гомоморфизме /3 через Я. огда Я — подалгебра и Я = 0(L(Y )) = (0(R ))K С (ЙП S)K- С другой стороны, каждый элемент из R Л S является произведением 5-неприводимых элементов, т.е. произведение на множестве Y = /3(1").
Рост полииильпотентных супералгебр Ли
Далее изучается рост разрешимых с//пералгебр Ли. Полученный результат является обобщением работы [28]. Сформулируем первый результат в этом направлении. Оказывается, что алгебра F(NSq - - NSl, m, к) лежит, как правило, также на уровне q. Теорема 3.5. Пусть L — F(NSq NS2NSl,m, к) — свободная полинильпотентная супералгебра Ли, где m + k 2uq 2. Тогда 2, условие dimF+(Nei,m, fc) — 0 эквивалентно s, = 1 u m = 0. Если.в этом случае выполнено q 3, тогда Dim9"1 L Dim9"1 L = s3dimF+(NS2A,0, fc). Как частный случай получаем следующее Следствие 3.1. Пусть L — F(Ag, т, к) — свободная разрешимая супералгебра Ми ступени q, где 2. Если m = 0uq Z, тогда Dim9"1 L = Dim9"1 L = 1 + {к - l)2fc_1. Будем называть второй случай вырожденным случаем. Теперь сформулируем основной результат, из которого сразу вытекает теорема 3.5. Теорема 3.6. Рассмотрим полинильпотентное многообразие супералгебр Ли У = Ns, Ng q 2. Пусть L = F(V,m,k) — ее свободная супералгебра, порожденная множеством X — Х+ U Х_, где Х+ — {xi,...,xm}, Х_ = {а;т+1,..., хт+к} ит + к 2. Тогда функция роста L{X, п) относительно множества X имеет следующую асимптотику при п — оо Доказательство теоремы 3.6. Будем считать, что dimi7,+(NJJ,m,/c)- О/вырожденный случай рассматривается аналогично. Случай q — 2 рассмотрен в теореме 2.4. Рассмотрим случай q 3, Докажем более сильное утверждение, что не только 7L{), НО и Хь(п) имеет искомую асимптотику. Верхняя оценка следует из теоремы 3.7. Напомним, что L = F(NSq---N32N4,X) иЩЬ,1) = EZiM") "- По теореме 3.7, Заметим, что (3.18) не может дать нижнюю оценку для Xi(n). Причина этого в,том, что леммы 3,1 и 3.2 связывают только верхние оценки; мы можем подставить нули вместо некоторых коэффициентов, так что это не повлияет на поведения рядов в целом.
Нам потребуются некоторые прямые вычисления; Если бы была построена теория сплетения для супералгебр Ли, тогда было бы возможно доказательство аналогичное [28]. Будем использовать точный базис построенный в параграфе 2.3. Введем обозначения. Обозначим Я = F(N,g.,; -Nn,X),c = S,,HK = 1-(1- ,0)/2 +1. Пусть Y — множество мономов, построенных из элементов множества X. Тогда Ау(п) обозначает количество мономов множества Y степени п. Будем использовать обозначения параграфа 2.3. Напомним, что Л(1) U - U R(q) — базис для L. Из леммы 2.6 следует, что Верхняя оценка для первого члена в (3.21) получена выше, она предыдущего уровня,, чем асимптотика в левой части выражения. Значит нижние оценки для Ал(9_і)(п) и:Ая(?г) одинаковы, последняя берется по индукционному предположению. По лемме 2.8, существует hq, что для любого г hq существует w R(q, 1), dcgx w = г и Упорядоченные элементы (3.22) соответствуют теореме Пуанкаре-Биркгофа-Вита для супералгебр Ли (в наших обозначениях, см. (2.11)). Выражение (3.22) приводит к оценке (по модулю членов предыдущего уровня) Введем гі = hq и ГІ = г;_! + 1 для г = 2,...,с. Пусть т = [(п - гх - — гс)/с]:и увеличим гс чтобы получить равенство гі + - + гс + тс = п. Заметим, что г і Н + тс Ni = chQ + с(с — 1)/2 + с — 1. Применим лемму 2.8 и найдем Wi Є R(q, 1) степени dcgx Wi = ТІ для всех і = 1,...,с. Также построим множества P(wi) с. Я( 7, 1) вида (3.22). Напомним, что R(q, 1) — свободное порождающее множество для свободной нильпотентной супералгебры Ли ступени с, которая содержится в L (лемма 2.6). Рассмотрим элементы степеней г; + шв каждом P(wi), і = 1,..., с. По построению п,..., гс различны. Следовательно, все элементы вида В этой главе доказывается, что конечно порожденные почти полинильпотентные алгебры Ли имеют субэкспоненциальный рост и дается оценка-в терминах предложенной ранее шкалы субэкспоненциальных функций. Теорема 4.1. Пусть L — конечно порожденная алгебра Ли, причем существует подалгебра И С L конечной коразмерности, такая что Н полинильпотентная вида (sq,..., s2, si). Тогда L имеет субэкспоненциальный рост и Доказательство теоремы 4.1. Пусть L — алгебра Ли, порожденная конечным множеством Z = {zi,...,Zk} . По условию существует подалгебра Н С X, такая что dim/c L/H = с оо и Я полинильпотентная вида (sq,..,,s2,si). Пусть F = F(X) — свободная алгебра Ли, порожденная множеством X {х\,.. .,xh]. Имеем естественный эпиморфизмф.: F — L, такой что ф{х{) = Zi для г = 1,...Д. Обозначим D = ф 1{Н) и G = Кег0, Обозначим д(ч,..п-з.»0 _ (((1ЭЯ1)«)-) «. Тогда dimK F/D = dimK І/Я = с, F/G = L и )t „-. a,-i) с G. Рассмотрим естественную градуировку F(X)= Ф і п. заданную степенью относитель но порождающего множества X. Пусть а є F, разложим а = щ + а2 Ч 1- а„, где ОІ Є Fj, а„ 7 0. Тогда обозначаем dcga = тг и gra = an. Для подмножества Г С F полагаем: giT = {grх I х Г}. По теореме Ширшова-Витта [1] подалгебра D является свободной алгеброй Ли, вообще говоря, она не однородна.
Рассмотрим ассоциированную градуированную однородную подалгебру Пусть Y \J=lYn — однородное свободное порождающее множество для grD, где Yn.c Fn. По построению (4.1), Y = gr К для некоторого подмножества Y С D. Пусть Y = U Yn, где Yn = {у У degy = п}\ заметим что отображение К у \- у — gry Є К является биекцией и grYn = Yn. Определим ряд.-(У,t). = Y =\ \Yn\tn Тогда Y — свободное порождающее множество для D, причем по теореме 2.1 имеет место аналог формулы Шрайера: Заметам что nc„ = dimF/grD = dim F/D = с, поэтому лишь конечное число коэффициентов Сп ненулевые. Рассмотрим возрастающую фильтрацию F1 С F2 С « , где Fn есть линейная оболочка всевозможных коммутаторов-[xjj,..., xio], таких что хц є X и Х =1wt хц п- Рассмотрим подпространства W С V С F, имеем фильтрацию Vn = У П і7 1, л N и соответствующее градуированное пространство: grV = =igr„ V CgrFSF, raegr K = ynjvn l = (У + Fn 1)/Fn l. Аналогично, для факторпространства У/И7 определяем фильтрацию (V/W)n = У" + W,n є N. Рассмотрим соответствующие градуировки для цепочки F 2 2 G 3 д( ,....,»аиі)# Имеем F/Df -" 3 1! g[nF/D@grnD/G &8cnG/Dt Л2 яі),.п Є N[4, 3.2.4]. Для роста алгебры L получаем следующую оценку Из доказанного легко получается следующее следствие, которое дает верхнюю оценку размерности Гельфанда-Кириллова почти нилыютентных алгебр Ли [34]. Следствие 4.1. Пусть L — конечно порожденная алгебра Ли. Пусть существует подалгебра Н С L конечной коразмерности и нильпотентная ступени с. Тогда Dim2L с- dimK(L/H). Полагая в теореме 4.1 sq = = s2 = si — 1 получаем точную верхнюю оценку роста почти разрешимых алгебр Ли, Следствие 4.2. Пусть L — конечно порожденная алгебра Ли, Пусть существует подалгебра Н С L конечной коразмерности и разрешимая ступени q. Тогда Dimq+lL d[mK(L/H). Из теоремы 1.2 следует точность этой оценки. Действительно, рассмотрим L = F(Aq+l,k) ц ее коммутант Н = L2, Тогда (Мтк L/H = k,H разрешима ступени q и по теореме 1.2 имеем Dim +1 L = к. С другой стороны, нахождение нижних оценок бессмысленно, так как алгебра L может быть конечномерной.
