Содержание к диссертации
Введение
1 Теорема Голода-Шафаревича и сильно свободные множества 29
1.1 Предварительные сведения 29
1.1.1 Градуированные алгебры 29
1.1.2 Сильно свободные множества (подробности см. в [25]) 30
1.1.3 Комплекс Шафаревича (подробности см. в [12, 10, И]) 31
1.2 Теорема Голода-Шафаревича и оценки на число соотношений 32
1.3 Об алгебре гомологии комплекса Шафаревича свободной алгебры 35
1.4 Алгебра, ассоциированная с фильтрацией на свободной алгебре 37
1.5 Сильно свободные множества в подалгебрахл факторалгебрах 41
1.6. Приложение: характеризация алгебр глобальной размерности 3 42
1.7 Комплекс Шафаревича для алгебр Ли 45
Рост и асимптотика рядов Гильберта 48
2.1 Мера экспоненциального роста 48
2.1.1 Экстремальные алгебры 49
2.1.2 Оценки на ряды Гильберта фактор-алгебр 55
2.1.3 Рост в теореме Голода-Шафаревича 58
2.1.4 Алгоритмическая неразрешимость проблемы распознавания экспоненты роста 61
2.2 Рост в фильтрованных нетеровых кольцах 63
2.3 Множества рядов Гильберта 67
2.3.1 Условие dim Тог f (к, к) < со 67
2.3.2 Ряды Гильберта конечно определенных алгебр 68
2.3.3 Модули и идеалы 71
2.4 Приложение: периодические функции Гильберта 73
2.4.1 Проблема рациональности для PI алгебр 73
2.4.2 Модули и алгебры линейного роста 74
Линейные уравнения над некоммутативными кольцами 78
3.1 Постановка задачи 78
3.2 Эффективная когерентность 80
3.2.1 Предположения и обозначения 80 .
3.2.2 Эффективно когерентные алгебры 81
3.2.3 Сильно нетеровы алгебры эффективно когерентны . 86
3.3 Когерентные семейства идеалов 91
3.3.1 Алгебры с когерентными семействами идеалов 91
3.3.2 Ряды Гильберта и когерентные семейства 94
3.3.3 Универсально когерентные алгебры 96
3.4 Алгебры с Л-перерабрткой 98
3.4.1 Определение и основные свойства 100
3.4.2 Построение базиса Гребнера конечно порожденного правого идеала Н)7
3.4.3 Когерентность и вычисление модуля соотношений .110
3.4.4 Градуированный случай: универсальная когерентность 118
4 Козюлевы алгебры 119
4.1 О рядах Гильберта козюлевых алгебр 121
4.2 Козюлевы фильтрации 127
4.2.1 Козюлевы флаги 129
4.2.2 Некоммутативные козюлевы фильтрации 131
4.2.3 Изначально козюлевы алгебры 132
4.3 Квадратичные алгебры с общими соотношениями 135
4.3.1 О козюлевом свойстве общих квадратичных алгебр .135
4.3.2 Козюлевы фильтрации в общих квадратичных алгебрах 137
Литература 142
- Теорема Голода-Шафаревича и оценки на число соотношений
- Алгоритмическая неразрешимость проблемы распознавания экспоненты роста
- Когерентность и вычисление модуля соотношений
- О козюлевом свойстве общих квадратичных алгебр
Введение к работе
0.1 Предмет исследования:
неформальная классификация
Диссертация посвящена изучению ассоциативных связных градуированных алгебр над полем, главным образом некоммутативных, т. е. алгебр вида A = AoAi..., где нулевая компонента Aq изоморфна основному полю к. В отличие от коммутативного случая, для общих ассоциативных алгебр многие естественные вопросы алгоритмически неразрешимы, поэтому вряд ли можно надеяться на построение общей удовлетворительной теории бесконечномерных ассоциативных градуированных алгебр. Тем не менее, существуют два класса "доступных" градуированных алгебр, для которых различные теории и классификации успешно развиваются.
К первому классу — назовем такие алгебры условно малыми — относятся те из них, свойства которых в какой-либо степени обобщают свойства коммутативных алгебр. У таких алгебр относительно много соотношений и малый (полиномиальный) рост. Они могут быть нетеровыми, удовлетворять полиномиальным тождествам или быть деформациями коммутативных алгебр и т. д. В этом классе оказались возможны различного рода структурные теории. В последние два десятилетия возникло новое многообещающее направление в области изучения этого класса — так называемая некоммутативная проективная геометрия (см. [93]): яркими достижениями этого направления являются классификация полупервичных алгебр размерности Гельфанда-Кириллова 2 [36] и регулярных по Артину-Шелтеру трехмерных алгебр [31, 33, 34, 96].
Ко второму классу — назовем такие алгебры большими — относятся те алгебры, для которых возможны разного рода комбинаторные теории. У таких алгебр относительно мало соотношений или соотношения имеют достаточно простой вид, а рост, напротив, обычно экспоненциальный. Типичными представителями такого класса являются свободные и конечно определенные мономиальные алгебры, а также алгебры с одним соотношением. Прогресс в этой области в последние два-три десятилетия в большой степени" связан с
развитием компьютерной алгебры, и в частности, с теорией некоммутативных базисов Гребнера. Можно сказать, что появилась новая комбинаторная теория, основным объектом стали стандартно конечно определенные алгебры (т. е. обладающие конечным базисом Гребнера). Обзор этих вопросов был дан В. А. Уфнаровским [21].
Теорема Голода-Шафаревича и оценки на число соотношений
Эффективная когерентность сильно нетеровых алгебр означает, практически, что возможна эффективная (компьютерная) некоммутативная проективная геометрия. По крайней мере, в ней существуют алгоритмы вычисления аннуляторов и базисов решений однородных линейных уравнений, поскольку "кольца проективной некоммутативной алгебраической геометрии" обычно сильно нетеровы, и вычисления проективных резольвент конечно порожденных модулей, поскольку такие кольца имеют часто конечную проективную размерность [73].
Отметим, что наиболее эффективный современный метод решения уравнений вида (3) основаны на теории базисов Гребнера [14, 102, 66, 106]. Пусть/ — подмодуль в М, порожденный коэффициентами ai,..., ап. В этом методе мы можем вычислить базис Гребнера соотношений алгебры R, соотношений модуля М и-порождающих подмодуля / вплоть до степени D{d), и найти затем все соотношения до степени D{d) между построенными элементами базиса Гребнера подмодуля І", снова используя теорию базисов Гребнера. При этом построение последнего базиса Гребнера подмодуля / можно представить как обычное вычисление базиса Гребнера идеала в алгебре, поскольку / является идеалом в алгебре тривиального расширения R! = М R. Последнее вычисление эквивалентно отысканию двустороннего базиса Гребнера соотношений большего тривиального расширения R /I ф R (описанию подобного трюка посвящена работа [71]).
Функция DR{OI) для коммутативного кольца многочленов "растет как двойная экспонента, поэтому нельзя надеяться, что для широкого класса некоммутативных алгебр R рост функции DR(OI) будет медленным. Тем не менее, оказывается, что существуют все же интересные классы колец с ли нейным ростом DR((1). ОНИ изучаются в разделе 3.3. Назовем алгебру универсально когерентной, если D(d) 2d для всех d 0. Мы изучаем этот класс алгебр вместе с более широким классом так называемых алгебр с когерентными семействами идеалов. По определению 3.23, множествоF конечно порожденных правых идеалов из конечно порожденной алгебры R называется когерентным, если нулевой идеал и максимальный однородный идеал R принадлежат F, и для любого 0 ф І Є F существуют идеал / фJ Є F и однородный элемент х Є I такие, что I = J + xRw идеал N = (х : J) := {а Є R\xa Є J} принадлежит F.
Название происходит из следующего несложного утверждения. Предложение 0.11 (предложение 3.24). Для связной алгебры R следующие два утверждения эквивалентны: (i) R проективно когерентна; (и) совокупность всех конечно порожденных правых идеалов в R составляет когерентное семейство. В общем случае когерентное семейство можно рассматривать как своего рода "островок когерентности" в некогерентной алгебре: по крайней мере, каждый идеал из когерентного семейства обладает свободной резольвентой конечного типа (предложение 3.25). Особенно интересны такие когерентные семейства, что степени порождающих принадлежащих им идеалам ограничены в совокупности: такие семейства (мы называем их семействами конечной степени) есть, например, в универсально когерентных алгебрах. Для градуированного .Я-модуля М обозначим через т{М) = то(М) наибольшую из степеней его порождающих, а через ГПІ(М) = т(Щ(М)) — наибольшая из степеней г -го пространства его гомологии Щ(М) = Torf (М, к). Теорема 0.12 (предложения 3.25 и 3.26, теорема 3.27). Пусть F — когерентное семейство конечной степени d в связной алгебре R. а) Для любых і 1 и I GF mi(I) т{1) + di. В частности, mi{R) mi(R) -F1 + d(i — 1) при і 2. б) Множество рядов Гильберта идеалов І Є F конечно. в) Ряды Гильберта алгебры R и всех идеалов І Є F — рациональные функции. Из этой теоремы следует критерий универсально когерентных алгебр: эквивалентное универсальной когерентности условие состоит в том, что для любого d 0 все идеалы, порожденные в степенях d, составляют когерентное семейство (следствие 3.29). Свободные ассоциативные алгебры универсально когерентны, как и конечно определенные мономиальные алгебры и введенные в работе автора [106] алгебры с г-переработкой, рассматриваемые в разделе 3.4: это такие алгебры с конечным базисом Гребнера, что нормальную форму произведения двух нормальных одночленов можно вычислить путем ограниченного, количества редукций их произведения в свободной алгебре. Точное определение звучит так: предположим, что на мономах от порождающих конечно порожденной алгебры А задан нетеров согласованный с умножением порядок, так что элементы алгебры можно отождествлять с их нормальными формами, а умножение в алгебре задавать как полную редукцию произведения соответствующих нормальных форм (обозначим такую операцию звездочкой). Тогда при г 0 назовем А алгеброй с (правой) г-переработкой, если для любых нормальных одночленов р, q Є А таких, что q = 2, lenqi R, выполняется равенство где последнее произведение понимается как произведение в свободной алгебре. Отметим, что здесь мы не предполагаем, что алгебра А градуированная. Основное комбинаторное свойство алгебры с г-переработкой состоит в том, что любой правый идеал / в ней имеет конечный базис Гребнера: в случае лексикографически-степенного порядка он состоит из элементов степени не выше d + г (теорема 3.38), где d = т(1) — наибольшая из степеней порождающих. Основное алгебраическое свойство таких алгебр дает Теорема 0.13 (предложение 3.43, теорема 3.44). Пусть идеал правый I в алгебре r-переработкой А относительно лексикографически-степенного порядка на мономах порождается (не обязательно однородными) элементами степени не выше d. Тогда модуль соотношений между этими элементами (т.е. модуль сизигий идеала I) порождается в степени не выше d +2Я-1.
Алгоритмическая неразрешимость проблемы распознавания экспоненты роста
В этом разделе описывается теория комплексов Шафаревича для (дифференциально) градуированных супералгебр Ли. Почти все общие результаты о стандартном комплексе Шафаревича переносятся на этот случай с помощью функтора U взятия универсальной обертывающей. В этом параграфе предполагается, что основное поле к имеет нулевую характеристику.
Мы будем рассматривать дифференциально градуированные супералгебры Ли, т. е. супералгебры Ли с N2 х Z/2Z-fpaдyиpoвкoй, где Z/2Z-градуировка означает четность (она обозначается как ; дифференциал меняет четность), первая N-градуировка — гомологическая (дифференциал уменьшает ее на единицу), а последняя N-градуировка такова, что дифференцирование ее сохраняет. Некоторые (или все) из этих градуировок могут быть тривиальными, и, вообще говоря, четность может не быть индуцированной гомологической градуировкой.
В этом разделе мы будем обозначать комплекс Шафаревича КСге (L, р) просто через sh(L, р) (общее определение комплексов Шафаревича в произвольном многообразии (не)ассоциативных алгебра было дано в [104]). Если а; — однородный элемент в ДГ векторном пространстве (алгебре, модуле...), то через х мы будем обозначать свободную переменную той же основной степени, что и х, у которой четность противоположна четности х, а гомологическая степень увеличена на единицу. Для множества X = {ХІ} таких элементов положим X = {хі}. Через L(X) будем обозначать свободную супералгебру Ли, порожденную множеством X, и для лиевой ДГА А мы обозначаем через А(Х) свободное-произведение А L(X). Например, алгебраическая структура на комплексе Шафаревича задается по формуле sh(L, р) = L(p), а дифференцирование задается на порождающих как d(L) =,0rd(p) = р и продолжается . на весь комплекс по формуле Лейбница.
По классическим результатам Квиллена [86], функтор взятия универсальной обертывающей коммутирует с функтором гомологии и с копроизведе-нием. Применяя это к комплексу Шафаревича" имеем следующее основное утверждение. Лемма 1.18. Пусть L — ДГА Ли, и пусть z — множество однородных циклов в ней. Тогда имеют место естественные изоморфизмы В частности, градуированные векторные пространства, минимальным образом порождающие алгебры HL — H(L,z) и HJJL = H(UL,z), естественным образом изоморфны, и эти алгебры свободны одновременно. Лемма 1.18 позволяет переносить "ассоциативные" свойства комплекса Шафаревича на наш случай алгебр Ли. Например, из соответствующего утверждения из [10] получается следующее Предложение 1.19. Пусть /3 = aU{x} — однородное подмножество градуированной супералгебры Ли L, где элемент х лежит в идеале I, порожденном м7іожеством а. Тогда Доказательство. Применяя функтор универсальной обертывающей к обеим частям соответствующего изоморфизма в ассоциативном случае [10], по лемме 1.18 получаем изоморфизм Он является изоморфизмом алгебр Хопфа, поэтому искомое отображение будет ограничением изоморфизма на множество примитивных элементов. Аналогично, следующее утверждение получается из соответствующего утверждения об ассоциативных алгебрах [10]. Предложение 1.20. Пусть f : А .—В — морфизм ДГА Ли, и пусть z С ZA — однородное множество циклов. Если f — квазиизоморфизм, то индуцированное им отображение shf :-sh(z,A) - sh(f(z),B) также является изоморфизмом. — Ассоциативная версия следующего утверждения также содержится в [10]. k Предложение 1.21. Пусть снова f : А - В морфизм ДГА Ли, a z С ZB однородное множество циклов. Предположим, что f индуцирует изоморфизм Тогда продолжение морфизма Hf также является изоморфизмом. Доказательство. Первое утверждение означает, что Uf индуцирует изоморфизм HUА H(z,UB). Поэтому ассоциативная версия предложения 1.21 дает изоморфизм Цф : UHA(x) - UHB. Осталось применить функтор-"Р, т. е. рассмотреть ограничение отображения ф на множество примитивных элементов. Дадим теперь описание алгебры гомологии комплекса Шафаревича свободной алгебры Ли. Предложение 1.22. 1) Пусть а — однородное подмножество в свободной алгебре Ли А = Ъ{х), пусть I = id (а), и пусть L = А/1 — факторал-гебра. Тогда алгебра Н(а,А) порождается подалгеброй L = Но(а,А) и L-подмодулем Н\(а,А). 2) Предположим, что множество а порождающих идеала I минимально, w что -градуировка на L локально конечна. Тогда градуированное векторное пространство V, минимально порождающее L-модуль Н\(а, А), изоморфно Щ{Ь) = Тог\ (к, к). Доказательство. 1) Положим Н = Н(а, А). Поскольку алгебра UH порождается нулевой и единичной компонентой в гомологической градуировке [11], то она порождается своими подмножествами Но(а, А) и #i(a, А), так что Н тоже порождается ими.
Когерентность и вычисление модуля соотношений
Условие А — нетерова градуированная алгебра" представляется слишком сильным для субэкспоненциального роста (например, в [97] была высказана гипотеза, что рост на самом деле полиномиален). Тем не менее, здесь нельзя опустить условие, что алгебра градуированная, поскольку, как отмечено в [97], существует алгебра S (построенная в [87]), которая является нетеровой областью экспоненциального роста; в частности, для любой возрастающей фильтрации на S, ассоциированная градуированная алгебра имеет такой же рост и потому не является нетеровой. Обратимся, однако, к убывающим фильтрациям. Основным результатом этого раздела является следующее обобщение теоремы 2.25 Стефенсона-Занга: RQ R\ -- такое, что ассоциированное градуированное кольцо R := gr R является ал- . геброй над некоторым полем к с конечномерными градуиро в очными компонентами. Тогда gr R имеет субэкспоненциальный рост.
С аналогичной теоремой для про-р-групп, полученной А. Хайкиным, можно познакомиться в [109]: как и в наших рассуждениях, при ее доказательстве используется приведенная ниже лемма 2.27.
Отметим, что из условие "R нетерово" не следует, вообще говоря; условие "R нетерово", поскольку существуют примеры нетеровых полных локальных алгебр R таких, что для любой убывающей N-фильтрации R алгебра R не является право-нетеровой [94, Example 4.5]. Кроме того, заключение теоремы 2.26 нельзя заменить утверждением, что само R имеет субэкспоненциальный рост: например, если G — полициклическая группа, не почти нильпотент-ная и не аппроксимируемая конечными р-группами, то по [74, Theorem 11.9] группа (?, а вместе с ней и групповое кольцо R = P[G], растет экспоненциально. При этом кольцо R нетерово, причем оно сепарабельно фильтровано степенями идеала аугментации. Чтобы проиллюстрировать идею доказательства теоремы 2.26, мы дадим сначала новое доказательство более простой теоремы 2.25. Дело в том, что. хотя оригинальное доказательство Стефенсона-Занга занимает всего около двух "страниц, оно все же оказалось слишком сложным, чтобы быть цели ком включенным, например, в учебник [74]. Приведем более прозрачное (как представляется) _ Доказательство теоремы 2.25. Пусть і— радиус сходимости ряда Гильберт та A(z). Требуется доказать, что г 1, т. е. что г 1 — є для любого є 0. Для каждого d Є N выберем последовательность однородных элементов {ЬІ}І О следующим образом. В качестве &о возьмем произвольный элемент бо Є Ad (ненулевой, если это возможно), а в качестве 6І+1 выберем любой элемент в Ad+i+i, не лежащий в правом идеале Ii = b$A + + b{A, или положим bi+i = 0, если такого элемента не существует. Конечно порожденный идеал / = ЬоА + Ь\А + ... совпадает с некоторым h, и по построению имеем dimA/J оо, так что A(z) — I(z) = p(z) Є N[z] — некоторый многочлен. Имеем покоэффициентное неравенство A(z) = p(z) + I(z) p{z) + zdJ2 z A{z) = p(z) + 4 , г 0 . Z откуда A{z)l Z Z p(z). l — z При достаточно больших d дробь в левой части положительна при 0 z — є, так что ряд с положительными коэффициентами A{z) сходится при всех 0 z 1 — є. Перейдем теперь к ситуации, описанной в теореме 2.26. Пусть R — ассоциативное кольцо (с единицей или без) с Z-фильтрацией R = R-q RQ Ri ... Мы предполагаем, что ассоциированное градуированное кольцо R обладает структурой алгебры над некоторым полем к, причем градуированные компоненты — конечномерные векторные пространства. Основные пример здесь — фильтрованые fc-алгебры и некоммутативные локальные кольца, фильтра ция на которых задается степенями радикала. Будем говорить, сто элемент є Є R имеет степень d, если є Є Rd, но е Rd+i- Что касается нулевого элемента, то мы будем считать равенство deg 0 = і справедливым для любого целого г. Следующая лемма описывает такие кольца, что их ассоциированные градуированные алгебры имеют субэкспоненциальный рост. Суть этого тех нического критерия в том, что для проверки субэкспоненциальности роста алгебрьГЛ достаточно показать, что субэкспоненциально растет всего лишь векторное пространство ее порождающих как правого идеала над собой. Лемма 2.27. Для описанного кольца R следующие условия эквивалентны: (і) алгебра R растет субэкспоненциально; — (и) существует последовательность целых чисел а = (ао, са\,...) такая1 что i?j последовательность коэффициентов производящей функцииа(г) = YliAiZ1, где Ak = \{i I cx-i = k}\, растет субэкспоненциалъно, и 3) для любого d 0 существует последовательность b = (bo, b\,...) элементов в R с последовательностью их степеней (ad, ad+i, ) такая, что образ I в R правого идеала I, порожденного b d\ имеет конечную коразмерность в R. Доказательство. Для проверки импликации (г) == (И) достаточно рассмотреть в качестве а последовательность степеней элементов произвольного к-линейного базиса в R. Тогда в качестве 6; Є b можно выбрать любой прообраз в Л of the (і + d)-ro элемента базиса. Докажем теперь импликацию (И) = (г). Требуется доказать, что радиус сходимости г ряда Гильберта R(z) равен 1 [21, 74]. Зафиксируем є О и покажем, что г 1 — є. Пусть Ь — последовательность, описанная в (И), I — правый идеал в R, порожденный множеством b d\ и / — его образ в R. Без потери общности можно считать, что нулевая компонента RQ содержит единицу кольца R. Для размерности г-й компоненты в I (при г 0) имеем оценки
О козюлевом свойстве общих квадратичных алгебр
Предположим, что конечно порожденная алгебра А удовлетворяет полиномиальному уравнению.. Известен вопрос Прочези [85, р. 185] о том, является ли функция Гильберта f(m) = dim.kAm в каком-нибудь смысле полиномиальной? В самой сильной версии, "какой-нибудь смысл" здесь можно понимать как существование конечного множества многочленов {hi(m),..., hq(m)} (многочленов Гильберта-Самюэля) таких, что для всех достаточно больших т получалось бы f(m) = ht(m) при т = t mod q. В современной терминологии, этот вопрос Прочези можно сформулировать так (поскольку любая РГ алгебра имеет конечную размерность Гельфанда-Кириллова): Вопрос 2.34. Пусть А — градуированная PI алгебра. Будет ли ее ряд Гильберта A(z) = zldimAi рациональной функцией?
При некоторых естественных ограничениях ответ положителен. Например, нетеровы PI алгебры [76] и относительно свободные PI алгебры [1] над бесконечным полем имеют рациональный ряд Гильберта. Более того, в [76] показано, что"любой нетеров модуль над градуированной PI алгеброй имеет рациональный ряд Гильберта; так как любой нетёров Л-бимодуль является нетеровым модулем над алгеброй_Аор 8 Д получаем, что любая слабо нетеро-ва (т. е. удовлетворяющая условию обрыва возрастающих цепей двусторонних идеалов) PI алгебра имеет рациональный ряд Гильберта. Тем не менее, в общем случае ответ на вопрос 2.34 отрицателен. Рассмотрим мономиальную алгебру Q с двумя порождающими а, 6 и соотношениями {а2, баб, аЪ2Па\п 1}. В стандартной градировке имеем d\mQt = 3 при 3 t ф 2П, но dim(22" = 4. Поэтому GK-dimQ = 1, и потому Q является PI алгеброй согласно [92] (например, в ней выполняется тождество [х,у]2 = 0), однако ее ряд Гильберта, очевидно, иррационален. Другие примеры мономи-альных PI алгебр с "дикой" функцией роста можно найти в [2, Theorem 1.11]. Таким образом, возникает следующий естественный вариант вопроса 2.34.
Вопрос 2.35. Пусть А — градуированная PI алгебра. Какие дополнительные предположения могли бы гарантировать рациональность ряда Гильберта A(z)?
Здесь дается частичный ответ на вопрос 2.35 в случае произвольной алгебры А единичной размерности Гельфанда-Кириллова (в [2] такие алгебры названы алгебрами линейного роста). Напомним, что любая аффинная алгебра А с GK-dimA = 1 является PI алгеброй [92], поэтому наша ситуация действительно вписывается в вопрос 2.35. Рассмотренный в п. 2.4.1 пример алгебры Q показывает, что вопрос 2.35 нетривиален даже в такой ситуации. В этом случае размерности градуировочных компонент алгебры А ограничены некоторой константой iV = N(A), т. е. dim Ап N для всех п 0. Поэтому рациональность ряда Гильберта A{z) равносильна тому, что функция Гильберта /А{П) — dim Ап периодична, т. е. что существует такое натуральное d (период), что dim Ап = An+d при всех достаточно больших п. Гипотеза 2.36. Пусть А — конечно определенная алгебра единичной размерности Гельфанда-Кириллова. Тогда ее функция Гильберта периодична. Например, любая полупервичная алгебра единичной размерности Гельфанда-Кириллова является конечным модулем над своим нетеровым центром [92], и потому она имеет периодичную функцию Гильберта. Пока удалось доказать гипотезу 2.36 в ряде случаев (см. следствие 2.38 ниже). Доказательство опирается на следующее утверждение, представляющее -и самостоятельный "интерес. Теорема 2.37. Пусть М — конечно определенный градуированный_мо-дуль над связногґ конечно определенной алгеброй А. Предположим, что GK-dimM 1, и что выполняется хотя бы одно из следующих условий: (a) поле к конечно; (b) векторные пространства Тог М к) и Тог${к,к) конечномерны. Тогда ряд Гильберта M{z) рационален, т. е. функция Гильберта /м(п) = dimMn периодична. Ввиду обсуждения в п. 2.4.1, получаем Следствие 2.38. Пусть А — конечно порожденная алгебра единичной размерности Гелъфанда-Кириллова. Предположим, что А удовлетворяет одному из следующих свойств: (і) (слабо) нетерова; (п) (полу)первична; (ііі) когерентна; (iv) конечно определенная над конечным полем; (v) козюлева; _ (vi) конечного рэйта (в смысле Бакелина). Тогда функция Гильберта алгебры А периодична. Говорят, что алгебра R имеет конечный рэйт (по Бакелину), если существует такое число г, что все градуированные векторные пространства Torf (к, к) сосредоточены в степенях не выше гг [39]. Алгебра называется когерентной (справа) если любой конечно порожденный правый "идеал в ней конечно является конечно определенным модулем, или, эквивалентно, что ядро любого отображения F\ — F i свободных модулей Fi, i 2 конечно порождено [3, 56]. Доказательство следствия 2.38. Напомним, что любая аффинная алгебра А, для которой GK-dimA = 1, является PI алгеброй [92], поэтому в нете-ровом случае она имеет рациональный ряд Гильберта [76]. Более того, как показано в [76], любой нетеров модуль над PI алгеброй также имеет рациональный ряд Гильберта. Поскольку любой нетеров Л-бимодуль является нетровым модулем над PI алгеброй А0? А, получаем, что любая слабо нетерова (т. е. нетерова для двусторонних идеалов) РГ алгебра имеет рациональный ряд Гильберта. Это доказывает случай (г). Любая полупервичная алгебра линейного роста является конечным модулем над своим нетеровым центром [92], поэтому она также имеет рациональный ряд Гильберта. Это доказывает (гг). Остальные 5 случаев следуют из теоремы 2.37, примененной к максималь ному идеалу А \. Отметим, что случай (v) был ранее доказан Л. Посицель ским (неопубликовано).
