Введение к работе
Актуальность темы
Начало общей теории радикалов колец было положено Курошем и Амицуром в 1953 году. В своей работе1 А. Г. Курош ввел основные понятия теории радикалов, а также указал основные методы их построения; им были описаны характеристики радикальных и полупростых классов, построение нижнего и верхнего радикала, порожденного данным классом колец (алгебр). Монография В. А. Андрунакиевича и Ю. М. Рябухина2 подвела итог общей теории радикалов в 80-х годах.
Теория радикалов помогает понять строение колец (алгебр) с помощью разбиения на полупростые и радикальные, которые уже проще описать. В XX веке было найдено большое число радикалов, которые нашли многочисленные применения в разных областях современной теории колец.
Важную роль в теории ассоциативных колец играет лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского3, которая говорит о том, что радикал идеала кольца R является идеалом кольца R.
В работе В. А. Андрунакиевича, А. В. Андрунакиевича радикал кольца представляется в виде пересечения односторонних идеалов, для каждого из которых выполнено условие: факторкольцо по наибольшему идеалу, содержащемуся в данном правом идеале, является полупростым. Там же наднильпотентный радикал кольца представляется в виде пересечения правых полупервичных идеалов с тем же условием.
В работе В. А. Андрунакиевича5 из класса наднильпотент-
^^Курош А. Г. Радикалы колец и алгебр, Матем. сб., 1953, 33, номер 1, стр. 13-26
2Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория, Москва, Наука, 1979
3Anderson Т., Divinsky N., Sulinski A. Hereditary radicals in associative and alternative rings, Canadian Journal of Mathematics, Vol 17, pp. 594-603, 1965
4Андрунакиевич В.А., Андрунакиевич А.В. Односторонние идеалы и радикалы колец, ДАН СССР, т.259 N4, стр.11-15, 1981
5Андрунакиевич В.А. Радикалы ассоциативных колец, I, Математический сборник, 44, №-2, стр.179-212, 1958
ных радикалов выделен класс специальных радикалов, которому принадлежит значительная часть известных радикалов. В работе В. А. Андрунакиевича6 появляется понятие первичного модуля для характеризации первичного радикала.
В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин7 показали, что с помощью первичных модулей можно охарактеризовать специальные радикалы. Они определяют специальный класс модулей и показывают, что он задает радикал и что он связан со специальным классом колец. Если задан специальный класс колец, то специальный радикал кольца R представляется в виде пересечения аннуляторов R-модулей из соответствующего специального класса модулей. Приводятся примеры специальных классов модулей, в том числе класс всех первичных модулей.
Плодотворной оказалась идея распространить теорию радикалов на решеточно упорядоченные кольца (/-кольца), что видно на примере исследований, проведенных в работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой.
М. А. Шаталова8 вводит понятия /-первичного и /-полупервичного /-идеала /-кольца и определяет радикал в классе /-колец аналогично тому, как он был определен Курошем для колец. В этой работе М. А. Шаталова изучает два радикала, определенные в классе решеточно упорядоченных колец: Л-радикал и /-радикал, и показывает их связь между собой. В другой статье9 М. А. Шаталова вводит понятие специального класса решеточно упорядоченных колец, аналогичное определению В. А. Андрунакиевича для колец. В статье показано, что специальными классами являются класс всех /-первичных /-колец, класс всех /-первичных /-колец без локально нильпотентных /-идеалов, класс /-колец, не содержащих строго
6Андрунакиевич В.А. Первичные модули и радикал Бэра, Сиб. мат. жури., т.2, номер 6, стр.801-806, 1961
7Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Специальные, модули и специальные радикалы, ДАН СССР, т.147, стр.1274-1277, 1962
8Шаталова М.А. 1д- и lj-кольца, Сибирский математический журнал, т.7, N-6, стр.1383-1389, 1966
9Шаталова М.А. К теории радикалов в структурно упорядоченных кольцах, Математические заметки, т.4, N-6, стр.639-648, 1968
положительных делителей нуля, класс подпрямо неразложимых /-колец с /-идемпотентной сердцевиной.
А. В. Михалев и М. А. Шаталова10 изучили первичный радикал в классе решеточно упорядоченных колец, определенный как пересечение всех /-первичных /-идеалов; доказали, что он совпадает с множеством элементов /-кольца, модуль которых принадлежит первичному радикалу, определенному в классе всех колец (равному пересечению всех первичных идеалов). А также ими было доказано, что он совпадает с пересечением минимальных /-первичных /-идеалов и со множеством всех строго /-нильпотентных элементов. В работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой11,12 содержится целый ряд интересных результатов в области упорядоченных модулей.
Диссертация посвящена дальнейшему исследованию радикальных классов решеточно упорядоченных колец.
Цель работы — изучение радикалов решеточно упорядоченных колец, получение их характеризации с помощью односторонних /-идеалов и с помощью аннуляторов решеточно упорядоченных модулей. Изучение специальных классов /-колец и специальных радикалов.
Структура и объем диссертации
