Содержание к диссертации
Введение
1 Правонормированный базис свободной алгебры Ли и слова Линдона-Ширшова 11
1.1 Основные определения и результаты 11
1.2 Отображение, перерабатывающее базисные правонормированные слова в слова Линдона-Ширшова 14
1.3 Правонормированный базис свободной алгебры Ли 22
1.4 Новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова 33
2 Правонормированный базис свободной супералгебры Ли 40
2.1 Основные определения 40
2.2 Отображение, перерабатывающее слова множества Qx в слова множества S'x 44
2.3 Формулировка и доказательство основной теоремы 48
3 О свободных конформных алгебрах Ли 62
3.1 Лемма о композиции для модулей 62
3.2 Конформные и вертексные алгебры 65
3.3 Порождающие свободной конформной алгебры Ли 72
Список литературы 85
Работы автора по теме диссертации 89
- Отображение, перерабатывающее базисные правонормированные слова в слова Линдона-Ширшова
- Новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова
- Отображение, перерабатывающее слова множества Qx в слова множества S'x
- Конформные и вертексные алгебры
Введение к работе
Впервые базис свободной алгебры Ли был найден М.Холлом [30] в 1950г. История возникновения этого базиса восходит к работам Ф.Холла [31] (1933), В.Магнуса [37] (1937) и Е.Витта [42] (1937)(см. об этом, например, в книгах В.Магнус, А.Каррас, Д.Солитер [9] и Н.Бурбаки [б]). В диссертации А.И.Ширшова [13] (1953, опубликовано в [15], 1962) была найдена более общая схема построения баз свободной алгебры Ли, включающая базу Холла. Схема Ширшова была переоткрыта значительно позднее в работе [41] (см. также книгу Х.Рейтенауера [39]). Частным случаем схемы Ширшова является база, построенная в 1958 г. А.И.Ширшовым [14] и Р.Линдоном [28], состоящая из правильных (по Ширшову) или стандартных (по Линдону) неассоциативных слов. В работах, опубликованных до появления книги М.Лотера [35], эти слова назывались правильными (ассоциативными и неассоциативными) словами (Ширшова) (см., например, П.Кон [7], Ю.А.Бахтурин [1]). В книге М.Лотера [35] эти слова названы словами Линдона, так лее они называются и в книге Х.Рейтенауера [39]. Мы будем называть их словами Линдона-Ширшова, следуя, например, [18].
А.И.Ширшов в работе [16] (1962) применил свои правильные слова для построения теории базисов Гребнера-Ширшова (подробнее об этом будет сказано ниже). Одно из первых применений общей базисной схемы Ширшова было дано Л/.А.Бокутем [2] (1962), который построил базы свободной алгебры Ли L, совместимые с рядами степеней этой алгебры:
LDLni D {Lni)n2 D ... (... (Lni)"2) - .)n* =>»
где Пі > 2, і > 1. В частности, при щ = 2, і > 1, получаем базу свободной алгебры Ли, совместимую с производным рядом. Начальные куски этой базы дают базы
свободных разрешимых алгебр Ли, переоткрытые позднее Х.Рейтенауером [38] (см. также его книгу [39]).
Слова Линдона-Ширшова нашли многочисленные применения и в теории супералгебр Ли. Так, например, А.А.Михалев [10] и А.С.Штерн [12] показали, что базис свободной супералгебры Ли состоит из неассоциативных слов Линдона-Ширшова и квадратов неассоциативных нечетных слов Линдона-Ширшова (см. также [17]).
Г.П.Кукин [8] нашел более общую, чем схема Ширшова, схему построения баз свободных алгебр Ли. Часть этой работы была посвящена левонормированной базе, но в этой части имеются ошибки. Укажем их в явном виде.
Будем следовать обозначениям работы [8]. Правонормированные слова строятся в примере 3 работы [8], там же приведено доказательство. Возьмем X = {хх, х2}, где х1 > х2. Тогда Со = {хх,х2}; Pi = {zi}, Аг = {х2} и Сх(1) = {хг, ххх2 \ і = 0,1,....}. Следовательно, Р12 = {хгх2}, Ах2 = {хі}; Рхз = {xxxl}, Axz = {xx, xxx2). Откуда мы получаем, что C2(l,2) = {(xix2)x\ \ г — 0,1,...}, С2(1,3) — {(xix2)xi,...}. Из С2(1,2) мы получим, что Рх22 = {(xxx2)xi}, Ах22 = {ххх2}. Поэтому С3(1,2,2) = {(^1^2)2:1(2:1^2)1 | і — 0,1,...} (все слова ассоциативные). Здесь мы выписали только те множества С^(гі,... ,г^), из которых нам потребуется выбрать некоторые элементы. Построение множеств Ск(тх,... ,Тк) описано в [8], отметим только, что на каждом новом шаге этого построения длина слов увеличивается. Множества Со, Сі(1), Сг(1,2), С2(1,3), С3(1,2,2) содержатся в множестве ассоциативных слов F. На всех словах из F скобки расставляются левонормированным образом [... [[[a^ajjjjajja] ]> полученное множество обозначается через F. В [8] утверждается, что множество F является базисом свободной алгебры Ли. При доказательстве линейной независимости автор пишет: "Запишем элемент / Є F в алгебре UL[xa]. Очевидно, в его запись входит ровно один элемент из F - это / с коэффициентом 1."
Здесь UL[xa] — свободная ассоциативная алгебра, порожденная множеством {ха} и / — слово, получающееся из / снятием всех скобок. Рассмотрим слово х\х\х\ Є Сг(1,3). Тогда
[[[[жіа;2]а;2]а;і] = -2(x2xi)2 +х\х\ - х\х\ + 2(х1х2)2.
Мы видим, что слово х\х\х\ вообще не входит в эту запись. Поскольку доказательство линейной независимости строится на этом ошибочном утверждении, оно не может быть исправлено. Кроме того, в доказательстве того, что F порождает свободную алгебру Ли, существенно используется следующий факт: если /і Є F и хр > ха, где хр - первая буква в слове /і, а ха - любая буква исходного алфавита, то fixa Є F. Это утверждения также не верно, поскольку если рассмотреть слово /і = (zia^aa^ia^) Є Сз(1,2,2), то легко можно заметить, что слова Да; і и fix2 не принадлежат множеству F .
В работах Д.Блессенохла, Х.Лауе [24], Р.Брайента, Л.Ковача, Р.Штёра [26] и С.Гуилфойла, Р.Штёра [32] построены базисы свободной алгебры Ли, состоящие из многочленов.
В упомянутой выше работе [16] 1962 года А.И.Ширшов ввел понятие композиции для лиевских многочленов (на самом деле, неявно, композиция включения была определена в 1958 году в [14]), а Б.Бухбергер [27] в 1965г. - аналогичное понятие для коммутативных многочленов (s-многочлены). Эти понятия тесно связаны с понятиями множеств (коммутативных и лиевских) многочленов, замкнутых относительно взятия композиции (для лиевских полиномов эта терминалогия была введена Л.А.Бокутем в [3]).
Лемма Ширшова о композиции [16] и теорема Бухбергера [27] утверждают, что если множество S замкнуто относительно композиции (взятия s-многочленов), и / Є Id(S), то старшее слово / содержит старшее слово многочлена из S, т.е. / = usv для некоторого s Є 5. Замкнутые относительно композиции множества
в случае коммутативных алгебр Б.Бухбергер назвал базисами Гребнера. В последнее десятилетие эти множества для алгебр Ли и ассоциативных алгебр стали называть базисами Гребнера-Ширшова.
Важным следствием леммы о композиции является Composition-Diamond лемма (CD-лемма), которая утверждает, что множество S (унитарных лиевских или ассоциативных многочленов) является базисом Гребнера-Ширшова тогда и только тогда, когда S'-редуцированные слова образуют линейный базис соответствующей алгебры с определяющими соотношениями S. Для ассоциативных алгебр последнее утверждение содержится в работах Л.А.Бокутя [4] и Дж.Бергмана [23].
В восьмидесятых годах А.А.Михалев [11] распространил технику композиций на случай супералгебр, доказав лемму о композиции для цветных супералгебр. С-Дж.Канг и К.Х.Ли [34] доказали аналог леммы Ширшова о композиции для модулей. Теория базисов Гребнера-Ширшова построена и для конформных алгебр (см. следующий абзац).
Понятие конформных алгебр появилось в теории вертексных алгебр, которая, в свою очередь, возникла в середине 80-х годов из математической физики (релятивистской квантовой теории поля и теории струн). Впервые вертексные алгебры были введены (неформально) в работе А.А.Белявина, А.М.Полякова, А.Б.Замолодчикова [22], формальное определение было дано Р.Борчердсом [25]. В.Кац в книге [33] дал формальное определение конформной алгебры и использовал его для изучения вертексных алгебр. Вертексные алгебры нашли применение и в теории представлений простых конечных групп, а именно, в построении Moonshine представления Монстра (см. работы [25], [29]). В работе [25] Р.Борчердс анонсировал существование свободных вертексных алгебр (их существование не следует из общих теорем универсальной алгебры, так как класс вертексных алгебр не образует многообразия). Этот результат был получен М.Ройтманом [40].
В той же работе М.Ройтман доказал существование свободных ассоциативных конформных алгебр (другое доказательство см. в [20]). Л.А.Бокуть, И.Фонг и В.-Ф.Ке [21] распространили идеи и технику базисов Гребнера-Ширшова на случай ассоциативных конформных алгебр.
Настоящая работа посвящена построению правонормированных базисов свободной алгебры Ли и свободной супералгебры Ли (главы 1 и 2). Кроме того строится базис подпространства свободной конформной алгебры Ли, натянутого на слова длины два от свободных порождающих (глава 3).
Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории колец, структурной и комбинаторной теорий конформных и вертексных алгебр.
Основные результаты.
1) Построен правонормированный базис свободной алгебры Ли.
2) Определена новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-
Ширшова. Доказано, что полученные лиевские слова образуют базис свободной
алгебры Ли. Для этого базиса доказан вариант CD-леммы.
Отображение, перерабатывающее базисные правонормированные слова в слова Линдона-Ширшова
Определение 1.6 Будем говорить, что ассоциативное слово и (строго) почти больше или равно ассоциативному слову v, в обозначениях и v (и -e v), если и v (и s v), но и = йаі для некоторого слова й v и некоторой буквы at. Заметим, что если и - v, то и - (возможно, несобственное) начало слова v (см. 1.1, свойство 4.). Если и ys v, где и — йа то и является собственным началом слова v, т.е. и V. Лемма 1.1 Пусть v - некоторое ассоциативное слово и Wi — (аь)тіащ, wi = (av)m2au2 - ассоциативные слова с общей старшей буквой а, причем v,ui,U2 не содержат букву a, rrij 0, Uj У v. Тогда из условия w2 w\ следует, что слово и)2 строго лексикографически меньше слова W\. Доказательство. Если и)2 гоь то (см. 1.1, свойства 1.) либо iu2 s г«г, либо W\ является началом слова w2. Докажем, что второе невозможно. От противного, пусть W\ является началом слова w2. Если т\ = ттгг, то щ - начало (собственное) слова «2-Но и2 - v и ь.2 v (и2 = й2аі2, аІ2 Є X). Поскольку щ является началом (возможно уже несобственным) слова йг, то щ йг- Это противоречит тому, что щ v. Если ті т2, то «і является началом слова v и следовательно щ v. Мы снова получили противоречие с неравенством щ v. Случай mi m2 невозможен. П Множество всех слов Линдона-Ширшова в алфавите X будем обозначать через Sx Лемма 1.2 (і) Каждое ассоциативное слово Линдона-Ширшова w можно единственным способом представить в следующем виде: где Uj у v, слова v, UJU J не содержат старшей буквы а слова w для всех 1 j t. (и) Пусть слово получено заменой в представлении (1) всех подслое (av)njauj на буквы А тучаи. (здесь щ := П\ + 1) и в каждом непустом слове Ц = а .. -ajkU), заменой букв ajs на буквы Aajs (т.е. м - = Aaj ...Aaj ). Упорядочим множество Y — {Az \ z Є {(av) "» ащ, aja} } no правилу: Тогда слово w 1 является ассоциативным словом Линдона-Ширшова в алфавите У. (in) Пусть и = АХ1АХ2... АХк - ассоциативное слово Линдона-Ширшова в алфавите Y, определенном в пункте (и). Тогда слово и = х\%2 Xk - ассоциативное слово Линдона-Ширшова в алфавите X. Доказательство. Если слово w Є Sx имеет одну старшую букву а в своем составе, то из определения 1.1 мы получаем, что w — av и t = 0 в (1). Пусть w - слово из Sx, в котором старшая буква а встречается более одного раза. Тогда где v, Wj не содержат букву a, rij 0 и Wj ф v. В (3) слово v может быть пустым, a Wj - непустые слова. Так как слова v и Wj находятся между вхождениями старшей буквой а, то они определены однозначно. Заметим, что в (3) все Wj v. Действительно, если wp v для некоторого р, то ava s awpa и поэтому Это противоречит тому, что w слово Линдона-Ширшова. Если в (3) v является началом слова Wj, то Wj — va Up где Ц- Є (X), сц X и мы полагаем щ = vaip т.е. Wj = UJU J (ср. (1)). Если же Wj s v, то v = zaqv и Wj = za Uj, где aq aiy В этом случае щ = za , т.е. Wj = UJU J. Следовательно, во всех случаях СЛОВО Wj МОЖНО единственным СПОСОбом ПреДСТаВИТЬ В ВИДЄ Wj = UjU j, ГДЄ Uj - v. Таким образом, мы получаем представление (1) для слова w. Единственность этого представления следует из предыдущего.
Докажем пункт (ii) леммы. Пусть w = AZlAZ2 ... AZd. Если w $. Sy, то w AZq ...AZdAZl ...Л2д_1 для некоторого 2 q к. Из леммы 1.1 мы получаем, что условие AZi AZj влечет неравенство , s Zj. Поскольку w = z\z2 -zd, то Противоречие. Докажем теперь пункт (iii) леммы. Из определения 1.1 следует, что буква АХ1 -старшая буква слова и . Если х\ является буквой алфавита X, то и Є Sx, так как в этом случае х2,.. , хк тоже буквы. Предположим, что z і = (av)nJauj для некоторого l 3 t(ni := Пі + 1). Так как и(1 Є SY, то для всех 2 р к. Как и выше из леммы 1.1 следует, что для всех 2 р к. Так как х\ ХІ для всех 1 і к, то xi строго лексикографически больше любого собственного суффикса слова ХІ. Поэтому для любых непустых слов z\ и z2 таких, что и = ztz2, мы имеем неравенство и z2z\. Следовательно и Є Sx- Определение 1.7 Ассоциативное слово w Є (X) будем называть регулярным словом, если w w для четного \w\ и w w для нечетного \w\ (напомним, что w -инверсия слова w). Предложение 1.1 Пусть w Є {X) регулярное слово. Тогда это эквивалентно тому, что слово w может быть представленно в виде Доказательство. Предположим, что w - регулярное слово. Если w = w, то \w\ - нечетное число и w = йіаій\. Следовательно при щ — щах и v = щ мы получаем необходимое представление w. Пусть w w. Тогда w — ра\Т\ и w = ра2т2, где а2 аг. Если \р\ гі, то при iii = Р&1 и v — Ті мы получаем необходимое представление го. Предположим, что \р\ \тг\. Поскольку w = rfaip , то р = rx pi. Следовательно го = т аіріті = тїріа2т2. Так как ri =. г2, мы получаем, что а\р\ = р\а2, поэтому аг = а2. Противоречие. Пусть w = u\v - слово вида (4), где щ = щах. Очевидно, что либо щ = v, либо йі является началом слова v. Поэтому w - регулярное слово. D Замечание 1.1 Представление (4) единственно. Приведем основное определение в этой главе. Определение 1.8 Определим подмнооюество Тх С (X) индукцией по числу вхождений старшей буквы в слово. Если слово имеет единственное вхождение старшей буквы а и может быть записано в виде va, то мы полагаем, что va принадлежит множеству Тх Пусть w - слово, в составе которого старшая буква, которую мы снова обозначим через а, встречается более двух раз, и где щ у v, rij 0, слова v, Uj, u j не содержат буквы а для всех 1 j t + 1. Условия на щ определяют представление (5) однозначно. Все слова из {X), которые не могут быть представлены в виде (5), по определению не принадлежат множеству Тх Предположим, что для любого алфавита Z мы уже определили все слова множества Tz, у которых число вхождений старшей буквы меньше, чем число вхождений буквы а в слово w.
Новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова
Напомним, что множество всех ассоциативных слов Линдона-Ширшова в алфавите X мы обозначили через Sx Определим расстановку скобок [[w]\ на ассоциативных словах Линдона-Ширшова го. Любое слово из Sx можно представить в виде (1). Если го Є Sx и имеет одну старшую букву а в своем получим, что [[w]] = w. Лемма 1.8 Пусть Тх - множество слов из определения 1.8 и ф : Тх — Sx это отображение, построенное в предложении 1.2. Тогда для любого w Є Тх справедливо сравнение Доказательство. Если го Є Тх и имеет единственное вхождение старшей буквы а, то w = va и [го] = [va] = {—l) {av } = ±[[ф(ги)]]. Пусть w - слово из Ту, в котором число вхождений старшей буквы больше или равно двум. Тогда го может быть представленно в виде (5).
Из леммы 1.7 В последнем сравнении заменим все слова [({аг })"- {auj}] на буквы AT -\ (здесь щ := Пі + 1) и во всех непустых словах u j — а ... a,jk(J), где a,s X, заменим ajs на Aajs. Откуда получаем новое правонормированное слово в алфавите Y — {Az z Є {[({аи})Пд {аи7-}],а7-в}. Упорядочим Y обычным образом: где как и выше точка означает стирание скобок в неассоциативном слове. Число вхождений старшей буквы Аг/Г ,ч _,_,, їв слове и/1) меньше, чем в w, и w Є Ту (см. определение 1.8). Воспользуемся индукцией по числу вхождений старшей буквы в слово. Тогда где а Є к и г- w . Мы можем считать, что ту Є Ту (см. замечание 1.4). Состав слов т\ = AXi ... AXi равен составу слова u/1) = Agi... A9q. Из условия т-1 и/1) следует, что AXis А9а для некоторого 1 s q — 1, где AXi. = Agj, j s — 1. Поскольку r\ Є Ту, то АХі - старшая буква этого слова. Следовательно, ±iq = (av)npiauPi для некоторого nPi 1. Делая обратную замену в (15) всех букв AZj на слова і где [ТІ] = [х Хг2... xiq]. Из леммы 1.7 [xh .. .Xi av aup составе, то го — av для некоторого слова v Є (X) и мы полагаем, что [[го]] = {av} (левонормированная расстановка). Предположим, что го Є Sx представленно в виде (1) и имеет более одной старшей буквы в своем составе. Пусть го Є Sy слово вида (2). Так как число вхождений старшей буквы в слове го меньше, чем в слове го, то мы можем воспользоваться индукцией. Следовательно неассоциативное слово [[w ]] уже определено. Тогда мы полагаем, что [[го]] - это результат замены в слове [[го ]] всех букв А ауучаи. на неассоциативные слова [({ " {агі,}] (здесь щ := щ + 1) и букв Aajs на а,-,. Нетрудно заметить, что расстановка скобок [[го]] не совпадает с расстановкой скобок Линдона-Ширшова [го], определенной в [14] (см. 1-й параграф этой главы). Например, пусть о, Ь Є X и а Ъ. Тогда w — aabbb Є Sx и Напомним, что для любого / Є k(X) мы обозначили через / - максимальное ассоциативное слово многочлена / относительно порядка . Предложение 1.3 Для любого слова w Є Sx справедливо равенство [[w]} = го. Доказательство. Если (ал))п ащ Є Sx, где А аУучаи. Є Y (см. лемму 1.2), то нетрудно видеть, что Пусть w Є Sx записанное в виде (1) и w слово (2) из Sy- Из индукции по числу вхождений старшей буквы в слово следует, что [[г 1)]] = w \ Это означает, что [[ww]] = A(Qlj)n1+iauiw 1(1)A(au)n2aU2u2(1)... A{av)ntautu t{l) + Y oaAZiiA2i2... AZiq, (13) г ГДЄ („„jnj+iau i U jnaeuaW 4 АаіО аиХ А чА 2 A4q Иа ЄІС Из ЛЄММЬІ 1.1 мы получаем, что z\ s z2. Следовательно, Заменяя в (13) все буквы А(ауучаи. на слова [({йи})"- {аиі}] И все Ащ на aiPi получим равенство Снимая скобки в равенстве (14), с учетом (12), получим, что [[w]] = w. Лемма 1.8 Пусть Тх - множество слов из определения 1.8 и ф : Тх — Sx это отображение, построенное в предложении 1.2. Тогда для любого w Є Тх справедливо сравнение Доказательство. Если го Є Тх и имеет единственное вхождение старшей буквы а, то w = va и [го] = [va] = {—l) {av } = ±[[ф(ги)]]. Пусть w - слово из Ту, в котором число вхождений старшей буквы больше или равно двум. Тогда го может быть представленно в виде (5). Из леммы 1.7 В последнем сравнении заменим все слова [({аг })"- {auj}] на буквы AT -\ (здесь щ := Пі + 1) и во всех непустых словах u j — а ... a,jk(J), где a,s X, заменим ajs на Aajs. Откуда получаем новое правонормированное слово в алфавите Y — {Az z Є {[({аи})Пд {аи7-}],а7-в}. Упорядочим Y обычным образом: где как и выше точка означает стирание скобок в неассоциативном слове. Число вхождений старшей буквы Аг/Г ,ч _,_,, їв слове и/1) меньше, чем в w, и w Є Ту (см. определение 1.8). Воспользуемся индукцией по числу вхождений старшей буквы в слово. Тогда где а Є к и г- w . Мы можем считать, что ту Є Ту (см. замечание 1.4). Состав слов т\ = AXi ... AXi равен составу слова u/1) = Agi... A9q. Из условия т-1 и/1) следует, что AXis А9а для некоторого 1 s q — 1, где AXi. = Agj, j s — 1. Поскольку r\ Є Ту, то АХі - старшая буква этого слова. Следовательно, ±iq = (av)npiauPi для некоторого nPi 1. Делая обратную замену в (15) всех букв AZj на слова і где [ТІ] = [х Хг2... xiq]. Из леммы 1.7 [xh .. .Xi av aup a] = [xh . . .я,,] (modx .. .Жії_1(аг;)Пр 1агіріг; а). Из леммы 1.1, ij, s gs {s q — 1), откуда
Отображение, перерабатывающее слова множества Qx в слова множества S'x
Предложение 2.1 Пусть S x = {и, v2 \ и, v Є Sx, v - нечетное слово}, Qx -множество слов из определения 2.2. Тогда существует биективное отображение Ф Qx x, не изменяющее состав слов. Доказательство. В доказательстве предложения будем использовать обозначения из леммы 1.2 и определения 2.2. Построим биективное отображение Ф Qx — S x индукцией по числу вхождений старшей буквы в слова множества Qx Если слово иа Є Qx и имеет единственное вхождение старшей буквы а, то полагаем Выберем слово w Є Qx в составе которого старшая буква а встречается более двух раз. Тогда из определения 2.2 следует, что слово w может быть записано в виде (20). Предположим, что для любого алфавита Z отображение ф : Qz S z определено для слов, у которых число вхождений старшей буквы меньше, чем число вхождений буквы а в слово w. Пусть it/1) - слово в алфавите Y = {Az \ z Є {{av)m: auj,ajs} }, заданное в определении 2.2. Поскольку w Є Qy и число старших букв в слове w меньше, чем число вхождений буквы а в слово ш, то в силу индукционного предположения получаем, что слово ф(и ) определено и принадлежит множеству S Y- Пусть для некоторых AZl,...AZk Є Y. Отметим, что в этом слове AZl является старшей буквой (см. определения 1.1 и 2.2) и z\ = (av)mau, где т 1. Тогда по определению мы полагаем, что Так как ф(и) ) Є SY, т. е. ф(-ш ) является словом Линдона-Ширшова или его квадратом, то из леммы 1.2 (ш) получаем, что ф(ш) S x. Очевидно также, что построенное отображение ф не изменяет состав слов. Докажем инъективность отображения ф индукцией по числу вхождений старшей буквы в слова множества Qx- Для слов с числом вхождений старшей буквы один или два инъективность очевидна. Пусть wi,W2 Є Qx и Wi ф W2- Покажем, что в этом случае и 0(u i) ф ф{узг)-Поскольку ф не изменяет состав слов, мы можем предполагать, что слова w\ и гу2 имеют одинаковый состав. Заметим, что w[ ф w2 Действительно, слово вида (24) никогда не равно слову вида (25), так как у них всегда различны последние буквы (алфавита Y). То же самое относится и к словам вида (25) и (26). Действительно, если av четное слово, то равенство (25) ( и также (24)) невозможно. Пусть av - нечетное.
Тогда щ s v в индексе последней буквы слова (26), откуда получаем, что щ Ф va,i2 и, следовательно, последние буквы в словах (25) и (26) всегда различны. Для слов вида (24) и (26) вопрос об их несовпадении решаем аналогичным образом. Именно, поскольку снова слово av должно быть нечетным, а в этом случае щ = 0, мы получаем, что последние буквы в (24) и (26) не могут быть равны. Если w[ = w2 и эти слова имеют одинаковый вид (24), (25) или (26), то легко видеть, что в этом случае ioi = W2-Таким образом, мы показали, что w[ Ф w2 . Из индукционного предположения следует, что f (w[ ) Ф ф{ги2 ). Никакое из слов ф(іи\ ) и ф(іи2 ) не может быть началом другого, так как в противном случае слова W\ и W2 имели бы разный состав. Пусть где Aft = A9i для всех 1 і d — їй Afd ф A9d. Без ограничения общности будем считать, что Ajd A9d. Из построения отображения ф получаем, что где /І = (av)mi+1au и 9\ — (av)mi+1au для некоторых v,v,u,v, (X). Если v ф v, то ф(ги{) ф ф(ь)2). Пусть v = v. Из леммы 1.1 получаем, что из Afd Agd следует 9d s fd- Поэтому 0(гиі) ф ф{ь)2) и инъективность отображения ф доказана. Докажем, что ф - сюрьективное отображение. Пусть т S x. Тогда т — w или т = w2 для некоторого w Є Sx- Слово w может быть записано в виде (20), где а - его старшая буква. Пусть w - соответствующее слово из определения 2.2. Число вхождений старшей буквы в слово w меньше, чем число вхождений буквы а в слово го и по лемме 1.2 (іі) го Є Sy- Следовательно, w Є SY или го го SY Используя индукцию по числу вхождений старшей буквы в слова, мы получим, что существует слово г є QY такое, что ф(г) = го или ф(г) = w w \ Пусть г = AXlAX2... AXk_1AXk, где хк — (av)mau для некоторых слов v, и и некоторого m 1. Если av - четное слово, то h — X\... Xk-i(av)m 1auv a и г = h . Пусть av - нечетное слово. Тогда, если m 2, то h = Х\...Xk-i(av)m 2auavv a и г = h \ Рассмотрим случай m = 1. Если и = vb для некоторого слова v и некоторой буквы Ъ Є X, то h = хх.. .Xk-\bavv a и г = h№. Если и s v, то /г = Х\... Xk-\auv a и г = / 1). Из построения отображения 0 теперь следует, что ф(К) = го или ф(Ь) = го2. П Замечание 2.1 Для доказательства основной теоремы достаточно инъективпости отображения ф, сюръективностъ будет следовать из теоремы. Покажем на примерах как действует отображение ф. Пусть сначала av - четное слово. Тогда, если w2(av)ni ащу а Qx, то Пусть теперь av - нечетное слово и ги2(аг )Піащь а Є Qx- Если щ = v (в этом случае щ = 0), то p(w2aw a) = (av)2wl. Если «і s w, то f (w2{av)niau\v a) — (av)ni+1av,iW2. Для слова адз(аг;)"2агі2гі2(аг )"1агііг; а Qx результат действия ф выглядит довольно громоздко и мы его не будем здесь приводить. Докажем для полноты следующую известную лемму, которая справедлива для любого поля. Лемма 2.1 Пусть Lie(Xo;Xi) - свободная супералгебра Ли, порожденная множеством X = Х0 U Х\ над полем к. Тогда правонормированные слова Доказательство. Пусть слово [w] Є Lx- Доказывать лемму будем индукцией по длине слова го. Если ги = 1, то доказывать нечего. Пусть гу 1. Мы можем полагать, что [w] = [[и][и]], где [и] и [v] являются правонормированными словами. Если \и\ = 1, то [го] - правонормированное слово. Пусть гі 1. Тогда [и] = [а щ]] и из соотношений (16), (17) получаем, что Теперь лемма следует из второго индукционного предположения по длине tt.
Конформные и вертексные алгебры
В этом параграфе к-поле характеристики нуль. Определение 3.2 [33] Конформной алгеброй Ли называется векторное пространство 21 над полем к с линейным оператором D : 21 — 21 и последовательностью били) m b + a m {Db); C3. (Da)mb = -naEESb; C4-(тождество Якоби) (ашЬ)Шс = S"-0( l)s ( ) (а \ (b\m+s\c) — b\m+s\ (g\n-s\c)); C5.(антикоммутативность) аШ b = — 5Zs o(—l)n+s-i Ds(b\n±sl a). Минимальное число N(a,b) со свойством С1 называется локальностью элементов а, Ъ Є Я. Используя свойство С5, получаем, что Следовательно N(a, а) Є 2Z+ для любого а Є 21. Определение 3.3 Пусть где В[[г, г-1]] - множество формальных степенных рядов Лорана над алгеброй В. Говорят, что ряд а локален ряду /3, если существует число N(a, /?) Є Z+ такое, что для всех п,т Є Z Минимальое N = N(a, /3) с этим свойством называется локальностью рядов а и Предположим, что 05 - векторное пространство над полем к со счетной последовательностью билинейных операций ш, п Z. Мы можем определить отображение Y : 05 — (05)[[,г, z l]\ по правилу: Определение 3.4 /55/ Векторное пространство 03 называется вертексной алгеброй, если 05 содержит некоторый элемент 1, на 05 определен линейный оператор D : 05 — 05 и для любых а, Ъ Є 05 выполнены следующие свойства: VI. Dl = 0; V2. lia = 5„_ia; V3. aE31 = aual33l = 0 для n 0; V4. D{a Ш b) = a \m (Db) - па ЕЕЯ b; V5. Ряд Y(a) локален ряду Y(b). Отображение iV(a, 6), a, 6 Є 55 называется функцией локальности. Нетрудно проверить (см., например, [33]), что каждая вертексная алгебра является конформной алгеброй Ли. Пусть Определим операцию Ш по правилу: Тогда отображение (см. [33]) В частности, У(1) = 1 - тождественный оператор, где 1(—1) = Id & и все остальные коэффициенты равны нулю. Пусть X = {а(п)\а Є В,п Є Z}, где
В - вполне упорядоченное множество. Упорядочим множество X следующим образом. Скажем, что а(п) Ь(т), если либо п т, либо п — т и а Ь. Пусть L - алгебра Ли, заданная порождающими X и определяющими соотношениями вида где N(a,b) - функция локальности N : (В, В) —» Z+. Обозначим через /() ее универсальную обертывающую алгебру. Пусть $N(B) - свободная вертексная алгебра порожденная множеством В с функцией локальности N : (В, В) —» Z+. В работе [40] М.Ройтман доказал, что $N(B) имеет структуру однопорожденного левого модуля над алгеброй U(L) и нейных операций Ш : (21,21) 21, п Є Z+ = {0,1,2,...} таких, что для любых о, Ь, с Є 21 выполнены следующие аксиомы: С1. (аксиома локальности) аШ b = 0 для любого п N(a, b); С2. D(a mb) = (Da) m b + a m {Db); C3. (Da)mb = -naEESb; C4-(тождество Якоби) (ашЬ)Шс = S"-0( l)s ( ) (а \ (b\m+s\c) — b\m+s\ (g\n-s\c)); C5.(антикоммутативность) аШ b = — 5Zs o(—l)n+s-i Ds(b\n±sl a). Минимальное число N(a,b) со свойством С1 называется локальностью элементов а, Ъ Є Я. Используя свойство С5, получаем, что Следовательно N(a, а) Є 2Z+ для любого а Є 21. Определение 3.3 Пусть где В[[г, г-1]] - множество формальных степенных рядов Лорана над алгеброй В. Говорят, что ряд а локален ряду /3, если существует число N(a, /?) Є Z+ такое, что для всех п,т Є Z Минимальое N = N(a, /3) с этим свойством называется локальностью рядов а и Предположим, что 05 - векторное пространство над полем к со счетной последовательностью билинейных операций ш, п Z. Мы можем определить отображение Y : 05 — (05)[[,г, z l]\ по правилу: Определение 3.4 /55/ Векторное пространство 03 называется вертексной алгеброй, если 05 содержит некоторый элемент 1, на 05 определен линейный оператор D : 05 — 05 и для любых а, Ъ Є 05 выполнены следующие свойства: VI. Dl = 0; V2. lia = 5„_ia; V3. aE31 = aual33l = 0 для n 0; V4. D{a Ш b) = a \m (Db) - па ЕЕЯ b; V5. Ряд Y(a) локален ряду Y(b). Отображение iV(a, 6), a, 6 Є 55 называется функцией локальности. Нетрудно проверить (см., например, [33]), что каждая вертексная алгебра является конформной алгеброй Ли. Пусть Определим операцию Ш по правилу: Тогда отображение (см. [33]) В частности, У(1) = 1 - тождественный оператор, где 1(—1) = Id & и все остальные коэффициенты равны нулю. Пусть X = {а(п)\а Є В,п Є Z}, где В - вполне упорядоченное множество. Упорядочим множество X следующим образом. Скажем, что а(п) Ь(т), если либо п т, либо п — т и а Ь. Пусть L - алгебра Ли, заданная порождающими X и определяющими соотношениями вида где N(a,b) - функция локальности N : (В, В) —» Z+. Обозначим через /() ее универсальную обертывающую алгебру. Пусть $N(B) - свободная вертексная алгебра порожденная множеством В с функцией локальности N : (В, В) —» Z+. В работе [40] М.Ройтман доказал, что $N(B) имеет структуру однопорожденного левого модуля над алгеброй U(L) и
