Содержание к диссертации
Введение
1. Шпехтовы многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр 15
1.1. Основные операторные соотношения свободной право-альтернативной метабелевой алгебры 16
1.2. Достаточное условие шпехтовости многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр 21
1.3. О шпехтовости некоторых многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр 25
2. Топологический ранг многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством лиевой нильпотентности 29
2.1. Предварительные соотношение и леммы 30
2.2. Аддитивная структура пространства Vd (2ljv) 34
2.3. Верхняя оценка топологического ранга jV-выделенного многообразия 35
2.4. Нижняя оценка топологического ранга ЛА-выделенного многообразия 40
2.5. Доказательство основной теоремы 43
3. Почти шпехтово многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр 44
3.1. Вспомогательная супералгебра Л 45
3.2. Свободная алгебра многообразия var(G (Л)) 47
3.3. О шпехтовых подмногообразиях в var(G (Л)) 53
3.4. Аддитивная структура пространства QN (21) 55
3.5. Почти шпехтово многообразие SDT С var(G (Л)) 60
4. О некоторых метабелевых многообразиях над полем ненулевой характеристики 65
4.1. О супер-ранге многообразия Зг 66
4.2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Ли 69
Заключение
- Достаточное условие шпехтовости многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр
- О шпехтовости некоторых многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр
- Верхняя оценка топологического ранга jV-выделенного многообразия
- Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Ли
Введение к работе
Изучение строения идеалов тождеств многообразий алгебр представляет собой важное направление исследований в современной теории колец. Принципиальным аспектом подобных исследований является вопрос существования конечных систем порождающих рассматриваемых идеалов, т. е. конечных базисов тождеств. Многообразие алгебр, всякое подмногообразие которого допускает конечный базис тождеств, называют шпехтовым.
В 1950 году в теории ассоциативных алгебр возникла проблема Шпехта: верно ли, что всякое многообразие алгебр над полем характеристики 0 обладает конечным базисом тождеств? Эта проблема оставалась нерешенной более тридцати лет, что послужило развитию интереса математиков также и к вопросам шпехтовости многообразий неассоциативных алгебр. Так, шпехтовость различных многообразий ассоциативных, лиевых, альтернативных и йордановых алгебр широко изучалась в ряде работ: А. Р. Кемер [17-20], В. Н. Латышев [22-26], Ю. А. Медведев [28, 29], С. В. Пчелинцев [32-34], Ю. П. Размыс-лов [36, 37] и др.
Одним из первых в нашей стране проблемой Шпехта начал заниматься профессор В. Н. Латышев. В частности, в 1972 году он доказал шпехтовость многообразия ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 с тождеством [[жі,жй, ...,avi_2],[a^_i,a^]] = 0 [24]. Окончательное решение проблемы Шпехта получил в 1987 году А. Р. Кемер [19], доказав, что произвольное многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный базис тождеств. Однако над полями ненулевой характеристики существуют бесконечно базируемые многообразия [6, 7, 43].
В 1966 году проблема конечной базируемости многообразий алгебр привлекла внимание академика А. И. Мальцева. Так, на Втором Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Батуми он [21] сфор- мулировал вопросы о шпехтовости многообразий алгебр Ли и многообразий, порожденных конечными алгебрами Ли. Вскоре, в 1968 году, Воон-Ли [50] доказал шпехтовость многообразия разрешимых индекса 2 (метабелевых) алгебр Ли. Им же в работе [51] построен первый пример бесконечно базируемого многообразия алгебр Ли над полем характеристики 2. Позднее В. С. Дренски [12] распространил результат [51] на случай произвольного поля ненулевой характеристики. В 1978 году Ю. А. Медведев [28] получил обобщение результата [50], установив шпехтовость многообразия метабелевых алгебр Мальцева. Значительным результатом в этой области является опубликованное в 1992 году А. В. Ильтяковым [45] доказательство шпехтовости многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли. Отметим, что вопрос о шпехтовости произвольного многообразия разрешимых алгебр Ли над полем характеристики 0 до сих пор остается открытым.
Как известно, каждая разрешимая конечнопорождённая альтернативная или йорданова алгебра нильпотентна [13]. Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) построил Г. В. Дорофеев [9, 11]. В 1976 году A.M. Слинько [8] сформулировал проблему шпехтовости многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр, вызывающую интерес в том числе и в силу близости многообразия альтернативных алгебр к многообразию ассоциативных алгебр. Эту близость поясняет теорема Артина, утверждающая, что каждая двупорождённая подалгебра альтернативной алгебры ассоциативна [13].
Определенное продвижение в решении проблемы А. М. Слинько дала доказанная Ю. А. Медведевым в 1978 году теорема о конечной базируемое многообразий с двучленным тождеством [28]. Следствием этой теоремы является шпехтовость ряда многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным, в частности, альтернативных и йордановых. В 1985 году положительное решение проблемы А. М. Слинько для альтернативных алгебр в случае поля характеристики, отличной от 2 и 3, получил У. У. Умирбаев [40]. Контрпримеры, показывающие принципиальность ограничений на характеристику поля, были построены в 1980 году Ю. А. Медведевым [29] и в 2000 году С. В. Пче-линцевым [33].
В классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности также в некотором смысле близки. Например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности. Первый пример конечномерной правоальтернативной метабе-левой правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотент-ной, принадлежит Г. В. Дорофееву [10]. В 1976 году В. П. Белкин [5] доказал нешпехтовость многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр, построив первый пример бесконечно базируемого многообразия в теории колец, близких к ассоциативным. Примерно в это же время С. В. Полин доказал существование многообразия, порожденного некоторой конечной алгеброй над произвольным конечным полем, имеющего бесконечный базис тождеств. В 1978 году И. В. Львов [27] построил бесконечно базируемую б-мерную неассоциативную алгебру, порождающую многообразие, решетка подмногообразий которого бесконечна.
В 1981 году С. В. Пчелинцевым были введены понятия конечномерности и топологического ранга многообразия и изучены решетки многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным [30]. Строение решетки подмногообразий многообразия альтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики 0, при некотором дополнительном ограничении, описано А. В. Ильтяковым [14]. Им же в 1991 году в работе [15] доказана шпехтовость конечнопорождённой альтернативной PI-алгебры над полем характеристики 0.
Содержание диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 55 наименований источников. Общий объем диссертации 75 страниц.
В 1976 году В. П. Белкин [5] показал, что над любым полем существуют бесконечно базируемые многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр. Как установил И. М. Исаев [16], порождающие алгебры таких многообразий могут быть и конечномерными. Естественным образом возникает необходимость установления достаточных условий конечной базируемости многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр. В силу теоремы Медведева [28] шпехтовы- ми в многообразии правоальтернативных метабелевых алгебр являются подмногообразия альтернативных алгебр, (—1,1)—алгебр и ле-вонильпотентных алгебр. Однако других положительных результатов о шпехтовости многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр до настоящего момента известно не было.
В первой главе диссертации изучается вопрос о шпехтовости многообразий, определяемых тождествами присоединённой алгебры Л^~\ полученной кососимметризацией [х, у] — ху — ух умножения в пра-воальтернативной метабелевой алгебре Л. Глава состоит из трёх параграфов. В первом параграфе вводятся необходимые обозначения и устанавливаются основные операторные соотношения ассоциативной алгебры умножений, действующих на квадрате свободной правоаль-тернативной метабелевой алгебры. Второй параграф посвящен доказательству теоремы 1.1, дающей достаточное условие шпехтовости многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр.
Длинным коммутатором от переменных х\,...,хп назовём многочлен вида [хі,х2,...,хп-і,хп]:= [...[хі,х2],...,хп-і],хп (п^З).
Длинный коммутатор от п элементов вида [х\,Х2,...,хп-к,у,... ,у] будем называть к-энгелевым.
Теорема 1.1. Пусть 9\ — многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр над полем Т характеристики, не равной 2, и 21 — свободная в 9 алгебра от счетного множества порождающих X = {х\,Х2, , жп,...}. Если для некоторого натурального N ^ 5 линеаризация [жд/-,..., жз> х2, %i] + [хЯ-> -іх^ яъ 2] 1-энгелева коммутатора представима в алгебре 21 в виде ^2 Z2 а ( \-ХЯа> " '' ж(2і+2)<п х(2г+1)а, Ж(2«)<г] + + [xtfa, ..., Я(2г+2)<т, х(2г)о, x(2i+l)o] J > х{2г-1)а, ,х\о где Atf — знакопеременная группа степени Я и cvf Є Т, то многообразие 9\ является шпехтовым.
Из теоремы 1.1 выводятся три следствия о шпехтовости многообразия уаг(Л), порождённого правоальтернативной мегабелевой алгеброй Л над полем Т.
Следствие 1.1. Если алгебра Д(~) бинарно-лиева, то многообразие var (Л) шпехтово. В частности, шпехтовым является многообразие метабелевых бинарно (—1,1)—алгебр над полем Т.
Следствие 1.2. Пусть в алгебре Л выполнено тождество вида \Х\, #2, ) %п\ = 1%1а) %2<л ) %пе\ , где а Є J7 и а — подстановка степени п ^ 3, удовлетворяющая условиям: па ф п и существует і Є [3,п] такое, что число \i — ia\ нечётно. Тогда многообразие var (Л) шпехтово.
Заметим, что ограничение па ф п в условии следствия 1.2 принципиально. Это следует из результатов главы 3, в которой построено бесконечно базируемое многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством [xh Ж2, Я3, ХА, Kb] = - [я?1, #2, 34, Ж3, Ж5] .
Следствие 1.3. Пусть в алгебре Л выполнено нетривиальное тождество вида / j о \^\ai %lai і %по\ = "»
ОЄСп где аа Є Т и Сп — группа подстановок степени п ^ 3, порождённая циклом (12... п). Тогда многообразие var (Л) шпехтово.
В частности, многообразие var (Л) шпехтово, если алгебра Л удовлетворяет произвольному нетривиальному коммутаторному полилинейному тождеству степени 3.
Доказательству следствий 1.1-1.3 посвящен третий параграф первой главы. Там же доказана существенность ограничения на характеристику поля J7 в условии теоремы 1.1.
Для описание результата второй главы настоящей диссертации напомним понятие топологического ранга шпехтова многообразия, введённое С. В. Пчелинцевым [30]. Пусть 01 — конечнобазируемое подмногообразие некоторого многообразия ШТ. Размерностью dim^O! многообразия 01 относительно Ш называется наименьшее число п, обладающее свойством: существует конечная система тождеств /i,..., /s, выделяющая 01 из OJt, т. е. (/і,...,Л>Т + Т(ШІ) = Т(Я), такая, что ни одно из тождеств этой системы не выполняется в ЭДТ и п = max {deg /ь ..., deg /s} .
Под размерностью dim 01 многообразия 01 понимается размерность 01 относительно многообразия всех алгебр.
Пусть ЭДТ — шпехтово многообразие и р(Ш) — множество всех подмногообразий многообразия 9Я. Множество Q, С р(9Я) называется конечномерным, если размерности всех многообразий из Q ограничены в совокупности.
Для любого 01 Є р{Щ) введем множества Un (Я) = { С Я | dim* О "}, Un(01) =й„ (01) U {01}.
Тогда р(Ш) наделяется некоторой топологией с базой окрестностей
Е = {Un(01) | 01 Є р(9Я), пеЩ] Q является топологическим подпространством пространства р(Ш). В силу шпехтовости многообразия ЗЛ любая убывающая цепочка многообразий ffli D ШІ2 D - D Шп D ... из Q стабилизируется. Следовательно, всякий минимальный элемент множества О, является изолированной точкой в пространстве Q. Обозначая через Q' множество предельных точек пространства С1, имеем Q,' С ІЇ. Топологическим рангом гДГ2) пространства О, называется число г такое, что Q^r~^ ф 0 и Q,r = 0. Топологическим рангом многообразия 9Л называется топологический ранг пространства р(9Я), т. е. г4(9Я) = rt(p(W)).
Легко видеть, что если многообразие 9Л нильпотентно индекса п, то dimOJt ^ п и п(9Я) = 1; если же однородное многообразие 9Л не является нильпотентным, то множество р(Ш) бесконечномерно.
Известно строение множества ненильпотентных подмногообразий различных многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным. Так, указанное множество в случае альтернативных алгебр конечно; в случае алгебр типа (-1, 1) бесконечно, но имеет конечную размерность; в случае алгебр Мальцева оно бесконечномерно, но обладает конечным топологическим рангом; наконец, в случае йордано-вых алгебр указанное множество имеет бесконечный топологический ранг [30]. В. С. Дренски и Т. Г. Рашкова [44] доказали конечность топологического ранга всякого собственного подмногообразия в многообразии метабелевых йордановых алгебр над полем характеристики 0.
В 1999 году А. В. Бадеев [3] построил пример многообразия > коммутативных альтернативных ниль-алгебр над полем характеристики 3, имеющего бесконечный топологический ранг и обладающего счётной системой подмногообразий 2)п, каждое из которых выделяется в Э некоторым тождеством неограничено высокой степени п так, что топологический ранг rt (2)п) является линейной функцией от п. Других подобных примеров многообразий алгебр до настоящего момента известно не было.
Пусть д/- — многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством [xo,xh...,xtf] =0 лиевой нильпотентности ступени N'. В силу теоремы 1.1 многообразие jv над полем характеристики, не равной 2, является шпехтовым. Во второй главе настоящей диссертации решается задача о нахождении топологического ранга многообразия д/" над полем характеристики, отличной от 2 и 3. Как установлено в работе [30], rt(i) = 1 и ^(2) = 2- Результатом главы 2 является следующая
Теорема 2.1. Топологический ранг многообразия д/- над полем характеристики, отличной от 2 и 3, равен N'.
Достаточное условие шпехтовости многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр
В 1966 году проблема конечной базируемости многообразий алгебр привлекла внимание академика А. И. Мальцева. Так, на Втором Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Батуми он [21] сформулировал вопросы о шпехтовости многообразий алгебр Ли и многообразий, порожденных конечными алгебрами Ли. Вскоре, в 1968 году, Воон-Ли [50] доказал шпехтовость многообразия разрешимых индекса 2 (метабелевых) алгебр Ли. Им же в работе [51] построен первый пример бесконечно базируемого многообразия алгебр Ли над полем характеристики 2. Позднее В. С. Дренски [12] распространил результат [51] на случай произвольного поля ненулевой характеристики. В 1978 году Ю. А. Медведев [28] получил обобщение результата [50], установив шпехтовость многообразия метабелевых алгебр Мальцева. Значительным результатом в этой области является опубликованное в 1992 году А. В. Ильтяковым [45] доказательство шпехтовости многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли. Отметим, что вопрос о шпехтовости произвольного многообразия разрешимых алгебр Ли над полем характеристики 0 до сих пор остается открытым.
Как известно, каждая разрешимая конечнопорождённая альтернативная или йорданова алгебра нильпотентна [13]. Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) построил Г. В. Дорофеев [9, 11]. В 1976 году A.M. Слинько [8] сформулировал проблему шпехтовости многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр, вызывающую интерес в том числе и в силу близости многообразия альтернативных алгебр к многообразию ассоциативных алгебр. Эту близость поясняет теорема Артина, утверждающая, что каждая двупорождённая подалгебра альтернативной алгебры ассоциативна [13].
Определенное продвижение в решении проблемы А. М. Слинько дала доказанная Ю. А. Медведевым в 1978 году теорема о конечной базируемое многообразий с двучленным тождеством [28]. Следствием этой теоремы является шпехтовость ряда многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным, в частности, альтернативных и йордановых. В 1985 году положительное решение проблемы А. М. Слинько для альтернативных алгебр в случае поля характеристики, отличной от 2 и 3, получил У. У. Умирбаев [40]. Контрпримеры, показывающие принципиальность ограничений на характеристику поля, были построены в 1980 году Ю. А. Медведевым [29] и в 2000 году С. В. Пче-линцевым [33].
В классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности также в некотором смысле близки. Например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности. Первый пример конечномерной правоальтернативной метабе-левой правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотент-ной, принадлежит Г. В. Дорофееву [10]. В 1976 году В. П. Белкин [5] доказал нешпехтовость многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр, построив первый пример бесконечно базируемого многообразия в теории колец, близких к ассоциативным. Примерно в это же время С. В. Полин доказал существование многообразия, порожденного некоторой конечной алгеброй над произвольным конечным полем, имеющего бесконечный базис тождеств. В 1978 году И. В. Львов [27] построил бесконечно базируемую б-мерную неассоциативную алгебру, порождающую многообразие, решетка подмногообразий которого бесконечна.
В 1981 году С. В. Пчелинцевым были введены понятия конечномерности и топологического ранга многообразия и изучены решетки многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным [30]. Строение решетки подмногообразий многообразия альтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики 0, при некотором дополнительном ограничении, описано А. В. Ильтяковым [14]. Им же в 1991 году в работе [15] доказана шпехтовость конечнопорождённой альтернативной PI-алгебры над полем характеристики 0.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 55 наименований источников. Общий объем диссертации 75 страниц.
В 1976 году В. П. Белкин [5] показал, что над любым полем существуют бесконечно базируемые многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр. Как установил И. М. Исаев [16], порождающие алгебры таких многообразий могут быть и конечномерными. Естественным образом возникает необходимость установления достаточных условий конечной базируемости многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр. В силу теоремы Медведева [28] шпехтовы ми в многообразии правоальтернативных метабелевых алгебр являются подмногообразия альтернативных алгебр, (—1,1)—алгебр и ле-вонильпотентных алгебр. Однако других положительных результатов о шпехтовости многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр до настоящего момента известно не было.
В первой главе диссертации изучается вопрос о шпехтовости многообразий, определяемых тождествами присоединённой алгебры Л \ полученной кососимметризацией [х, у] — ху — ух умножения в пра-воальтернативной метабелевой алгебре Л. Глава состоит из трёх параграфов. В первом параграфе вводятся необходимые обозначения и устанавливаются основные операторные соотношения ассоциативной алгебры умножений, действующих на квадрате свободной правоаль-тернативной метабелевой алгебры. Второй параграф посвящен доказательству теоремы 1.1, дающей достаточное условие шпехтовости многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр.
О шпехтовости некоторых многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр
Для описание результата второй главы настоящей диссертации напомним понятие топологического ранга шпехтова многообразия, введённое С. В. Пчелинцевым [30]. Пусть 01 — конечнобазируемое подмногообразие некоторого многообразия ШТ. Размерностью dim O! многообразия 01 относительно Ш называется наименьшее число п, обладающее свойством: существует конечная система тождеств /i,..., /s, выделяющая 01 из OJt, т. е.
Под размерностью dim 01 многообразия 01 понимается размерность 01 относительно многообразия всех алгебр.
Пусть ЭДТ — шпехтово многообразие и р(Ш) — множество всех подмногообразий многообразия 9Я. Множество Q, С р(9Я) называется конечномерным, если размерности всех многообразий из Q ограничены в совокупности. Для любого 01 Є р{Щ) введем множества Q является топологическим подпространством пространства р(Ш). В силу шпехтовости многообразия ЗЛ любая убывающая цепочка многообразий ffli D ШІ2 D - D Шп D ... из Q стабилизируется. Следовательно, всякий минимальный элемент множества О, является изолированной точкой в пространстве Q. Обозначая через Q множество предельных точек пространства С1, имеем Q, С ІЇ. Топологическим рангом гДГ2) пространства О, называется число г такое, что Q r ф 0 и Q,r = 0. Топологическим рангом многообразия 9Л называется топологический ранг пространства р(9Я), т. е. г4(9Я) = rt(p(W)). Легко видеть, что если многообразие 9Л нильпотентно индекса п, то dimOJt п и п(9Я) = 1; если же однородное многообразие 9Л не является нильпотентным, то множество р(Ш) бесконечномерно. Известно строение множества ненильпотентных подмногообразий различных многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным.
Так, указанное множество в случае альтернативных алгебр конечно; в случае алгебр типа (-1, 1) бесконечно, но имеет конечную размерность; в случае алгебр Мальцева оно бесконечномерно, но обладает конечным топологическим рангом; наконец, в случае йордано-вых алгебр указанное множество имеет бесконечный топологический ранг [30]. В. С. Дренски и Т. Г. Рашкова [44] доказали конечность топологического ранга всякого собственного подмногообразия в многообразии метабелевых йордановых алгебр над полем характеристики 0. В 1999 году А. В. Бадеев [3] построил пример многообразия коммутативных альтернативных ниль-алгебр над полем характеристики 3, имеющего бесконечный топологический ранг и обладающего счётной системой подмногообразий 2)п, каждое из которых выделяется в Э некоторым тождеством неограничено высокой степени п так, что топологический ранг rt (2)п) является линейной функцией от п. Других подобных примеров многообразий алгебр до настоящего момента известно не было. Пусть д/- — многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством лиевой нильпотентности ступени N . В силу теоремы 1.1 многообразие JV над полем характеристики, не равной 2, является шпехтовым. Во второй главе настоящей диссертации решается задача о нахождении топологического ранга многообразия д/" над полем характеристики, отличной от 2 и 3. Как установлено в работе [30], rt(i) = 1 и (2) = 2- Результатом главы 2 является следующая
Верхняя оценка топологического ранга jV-выделенного многообразия
После этого в пятом параграфе доказывается теорема о точном значении топологического ранга TV-выделенного многообразия, непосредственным следствием которой является теорема 2.1. В 2000 году С. В. Пчелинцев [33] построил почти шпехтово многообразие1 центрально-метабелевых альтернативных алгебр над полем характеристики 3. До настоящего момента этот результат оставался единственным известным примером почти шпехтова многообразия алгебр. В третьей главе настоящей диссертации построено почти шпехтово многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики, не равой 2. В 2005 году С. В. Пчелинцевым [35] получен ряд результатов о многообразиях, порождённых правоальтернативными метабе-левыми алгебрами Грассмана конечного ранга. Напомним понятие ЗЯ—алгебры Грассмана ранга г. Пусть 9Я — многообразие алгебр; G — ассоциативная алгебра Грассмана со стандартной системой порождающих ег (г = 1,2,...). Если Л = Ло Л\ — супералгебра, то через G (Л) обозначается, как обычно, её грассманова оболочка Go 8 До + Gi Л\. Напомним [42], что алгебра Л называется дЯ—супералгеброй, если G (Л) Є 9Я. Пусть 9Jts [X] — свободная 9Я—супералгебра с множеством X = XQ U Х\ свободных порождающих (Хо — множество чётных порождающих; Х\ — нечётных); гг = \Хг\ — мощность множества Хг. Пару (го,г{) назовем рангом свободной супералгебры. Рассмотрим дЯ—свободную супералгебру %RS [X] от г свободных нечётных порождающих х\,...,хг. В ее грассмановой оболочке возьмем элементы xf = хг % ег], где etJ (і = 1, г, j = 1,2,...) — стандартные порождающие ассоциативной алгебры Грассмана. Подалгебру GOT [Х\, ... ,хг], порожденную элементами х\г , назовем Ж—алгеброй Грассмана ранга г, а набор (ж, , і = 1, г, j = 1,2,...) — набором её стандартных порождающих. Определяющим свойством алгебры Грассмана ранга г является кососимметричность её одночленов относительно одноименных порождающих х\ , х\ ,... [г = 1, г). Как показал С. В. Пчелинцев [35], правоальтернативная метабелева алгебра Грассмана ранга 1 порождает шпехтово многообразие почти конечного топологического ранга.2 Им же доказано, что многообразие, порождённое правоальтернативной метабелевой алгеброй Грассмана ранга 2, нешпехтово [35].3 В третьей главе настоящей диссертации построено почти шпехтово подмногообразие в многообразии, порождённом правоальтернативной метабелевой алгеброй Грассмана ранга 2. Глава 3 состоит из пяти параграфов. В первом параграфе строится правоальтернативная метабелева супералгебра Л над полем характеристики, не равной 2, порожденная двумя нечётными элементами. Там же доказываются основные тождества грассмановой оболочки G (Л). Во втором параграфе изучается аддитивная структура свободной алгебры многообразия var(G (Л)). Третий параграф посвящен доказательству шпехтовости некоторых собственных подмногообразий в var(G (Л)). В четвёртом параграфе изучается структура пространства полилинейных многочленов, определяющих нешпехтовы подмногообразия в var(G(.4)). В заключительном пятом параграфе построено почти шпехтово подмногообразие Ш С var(G (Л)), выделенное бесконечной независимой системой тождеств где La и Ra — операторы левого и правого умножения на элемент а соответственно.
Для формулировки результатов четвёртой главы настоящей диссертации нам потребуется несколько определений. Напомним, что базисным рангом ц (9Л) многообразия Ш называется наименьшая мощность множества порождающих 9Я—свободной алгебры 21 такой, что var(2l) = дЯ. Известно, что базисный ранг многообразия ассоциативных алгебр равен двум [13]. Такой же базисный ранг имеют многообразие алгебр Ли и многообразие, порождённое всеми специальными йордановыми алгебрами [13]. Однако не каждое многообразие алгебр, близких к ассоциативным обладает конечным базисным рангом. Так для многообразия Alt альтернативных алгебр известен следующий результат И. П. Шестакова [41]: гь (Alt) = Щ, т. е. всякая конечнопорож-дённая альтернативная алгебра удовлетворяет некоторому тождеству, не выполняющемуся в свободной альтернативной алгебре от счётного множества порождающих. Рангом супералгебры Л назовём пару (ro,ri), где 7 и г\ — мощности множеств чётных и нечётных порождающих алгебры Л соответственно. На множестве рангов супералгебр введём отношение линейного порядка, полагая, что меньшим рангом обладает супералгебра с множеством порождающих меньшей мощности. При этом, множество рангов всех супералгебр с равномощными множествами порождающих будем считать упорядоченным лексикографически. Супер-рангом rs (ЭДТ) многообразия 99Т назовём наименьший в смысле введённого линейного порядка ранг ШТ—супералгебры Л такой, что var(G (Л)) = Ш. Легко понять, что всякое многообразие 99Т конечного базисного ранга гь(Ш) = г обладает конечным супер-рангом4 rs(9Jl) = (т о,гі), где го + П г Обратное утверждение неверно. Например, нетрудно показать, что базисный ранг многообразия, порождённого метабелевой алгеброй Грассмана ранга 1, бесконечен. Таким образом, для всякого многообразия 9Я бесконечного базисного ранга г& (ШТ) = Щ возникает вопрос: будет ли супер-ранг rs (ЭДТ) конечным? В первом параграфе главы 4 настоящей диссертации построено многообразие правоальтер-нативных метабелевых алгебр над произвольным полем ненулевой характеристики, для которого ответ на поставленный вопрос оказывается отрицательным. Через Д(+) обозначим, как обычно, присоединённую алгебру, полученную симметризацией х о у = ху + ух умножения в алгебре Л. Пусть Zn — многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр А таких, что .Д(+)— нильпотентна ступени не выше п, т. е. Zn выделяется из многообразия всех правоальтернативных метабелевых алгебр тождеством Легко показать, что многообразие Зі является нильпотентным. Но уже среди правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством йордановой нильпотентности ступени 2 существуют бесконечно базируемые. Такие алгебры построены в работах [5, 16, 35] и в главе 3 настоящей диссертации.
Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Ли
В 1976 году В. П. Белкин [5] показал, что над любым полем существуют бесконечно базируемые многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр. Как установил И. М. Исаев [16], порождающие алгебры таких многообразий могут быть и конечномерными. Естественным образом возникает необходимость установления достаточных условий конечной базируемости многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр. В силу теоремы Медведева [28] шпехтовы-ми в многообразии правоальтернативных метабелевых алгебр являются подмногообразия альтернативных алгебр, (—1,1)—алгебр и ле-вонильпотентных алгебр. Однако других положительных результатов о шпехтовости многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр до настоящего момента известно не было. В настоящей главе изучается вопрос о шпехтовости многообразий, определяемых тождествами присоединённой алгебры Л \ полученной кососимметризацией [х, у] = ху — ух умножения в правоальтер-нативной метабелевой алгебре Л. Глава состоит из трёх параграфов. В первом параграфе вводятся необходимые обозначения и устанавливаются основные операторные соотношения ассоциативной алгебры умножений, действующих на квадрате свободной правоальтернатив-ной метабелевой алгебры. Второй параграф посвящен доказательству теоремы 1.1, дающей достаточное условие шпехтовости многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр.
В третьем параграфе из 15 теоремы 1.1 выводятся три следствия 1.1 - 1.3 о шпехтовости многообразия, порождённого правоальтернативной метабелевой алгеброй. Там же доказана существенность ограничения на характеристику поля в условии теоремы 1.1. 1.1. Основные операторные соотношения свободной правоальтернативной метабелевой алгебры Всюду на протяжении первой главы F — произвольное поле характеристики, не равной 2. Алгебра Л над Т называется правоальтернативной метабелевой, если в Л справедливы тождества (x,y,z) + {x,z,y) = 0, (1.1) {ху) (zt) = 0, (1.2) где (х, у, z) = (ху) z — х (yz) — ассоциатор элементов x,y,z. Пусть 21 — свободная правоальтернативная метабелева алгебра над Т от счетного множества порождающих X = {rci, Х2,..., хп,...}. Символами Rx и Ьх обозначим, соответственно, операторы правого и левого умножения на элемент х Є 21. Пусть 21 — подалгебра алгебры умножений, порожденная операторами Rx и Ьх, действующими на идеале 212, и тождественным отображением. Определим линейное отображение s : 21 Я«, s ()).. .Г]»») = Т?ХЦ .. .1« ffSSn где Т \Т 2\... ,ТМ Є {L, R] и Sn — симметрическая группа степени п. Мы записываем операторные соотношения алгебры 21 в виде линейных комбинаций над Т операторов Ф, ФФ\ Фоф\ [ф, ? ], где Ф,Ф Ims и фоф = ФФ + Ф Ф, [ф,ф }=ФФ -Ф ф. 16 Чтобы не усложнять формулы, мы не пишем индексы переменных у операторов L и R. При этом отсутствующие индексы считаются произвольными элементами множества X, расставленными во всех операторных словах в одинаковом порядке. Например, очевидное равенство LxRy + RxLy = s \LxRy) + [Rx, Ly] принимает вид LR + RL = s{LR) + [R,L]. (1.3) Предложение 1.1. В алгебре 21 справедливы следующие соотношения: a) RoR = 0, в частности, [R2,R\=Q, і :i-4) b) [R,L] = -L2, ( [1.5) Следствие. В алгебре 21 для любого целого неотрицательного п справедливо соотношение RL2n(LoL) = -L2n+1(s(LR)). (1.11) Доказательство. Применяя (1.10), получаем RL2n(LoL) = L2n+l(s(LR-s{LR)) Sj=-L2n+l(s(LR)). Лемма 1.3. Алгебра 21 обладает следующими свойствами: где Esp (V) — векторное пространство над Т , порождённое множеством V и , г Є N U {0}. Доказательство. Пусть Ф — произвольный оператор из 21 . 1) С учётом (1.7) можем считать, что Ф имеет вид 0 = LeiRLt2R...RLtkRr. Тогда, применяя (1.10), легко представить Ф как линейную комбинацию операторов вида L Rf. 2) Пусть Ф Є 1. На основании (1.10) имеем ЯФ Є J. Покажем, что Ф Є I. Для этого достаточно проверить, что RnL Є X для любого 2 п Є N. В силу (1.7) имеем R2kL е X, где А; Є N. Тогда, применяя (1.10), получаем R2k+iL = R2k(_LR + в щ _ L2) = 0 (mod X). 3) Пусть Ф Є J. Покажем, что ФЬ = 0. Для этого достаточно проверить, что s(LR)RnL = 0 для любого п Є N U {0}. На основании (1.7) и (1.9) имеем s (LR) R2kL = 0, где к Є N U {0}. Тогда, используя (1.10), получаем s (LR) R2k+1L = s {LR) R2k(-LR + s {LR) - L2) = 0. Покажем, что RФ Є J. Для этого достаточно проверить, что RLn{s{LR)) Є J для любого п Є N U {0}. На основании (1.8) имеем R{s{LR)) Є J. Тогда, применяя (1.10), получаем RLn{s{LR)) = Длинным коммутатором от переменных xi,...,xn назовём многочлен вида [xhx2,...,xn-i,xn] := [...[хі,х2],...,хп-і],хп (п З). Длинный коммутатор от п элементов вида [хі,2, ,xn-k,2/,-..,2/] будем называть к-энгелевым. В настоящем параграфе будет доказана следующая Теорема 1.1. Пусть 91 — многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр над полем Т характеристики, не равной 2, и 21 — свободная в 91 алгебра от счетного множества порождающих X = {жі,Ж2,-..,#„,...}. Если для некоторого натурального N 5 линеаризация [жд/-,..., жз, #2, #і] + [#JV, ---, 3, жь #2] 2-эмгелееа гссш-мутатора представима в алгебре 21 б виде и а — последовательность N ь- Z , определённая следующим образом: Обозначим через W множество весов всех одночленов множества Л. Определим на W порядок следующим образом.
Рассмотрим множество Л последовательностей а : N н» Z, содержащих конечное число ненулевых векторов а(п) = (ai(n),a2(n)). Будем считать, что множество Ъ\ наделено лексикографическим порядком . Пусть а и /3 произвольные последовательности из множества Л. Положим а (3, если а = 0 или существует г Є N такое, что 23 а (і) (3 (г) и a (j) = (3 (j) для всех j г. Ясно, что Л вполне упорядочено в порядке . Рассмотрим на W лексикографический порядок, индуцированный естественным порядком на NU{0} и уже определённым порядком на Л. Обозначим его также . Легко понять, что W вполне упорядоченно в порядке . Введём на W вполне частичный порядок следующим образом. Для произвольных последовательностей a,f3 Є Л положим а С /3, если а (п) (3 (п) для всех п Є N. Можно доказать [4], что — вполне частичный порядок на Л. Пусть является чётным числом и существует сохраняющее естественный порядок инъективное отображение : N и- N такое, что Ы = t[, t2i = 4 «if = «і, , іф[і) = г ф(е) и а (п) а (п) для всех п Є N. Следуя Хигману [4, 46], можем считать, что — вполне частичный порядок на W. Докажем, что каждый Т-идеал свободной алгебры 21 конечно порождён. Пусть Т — произвольный Т-идеал в 21 и / — произвольный многочлен из Т. Через / обозначим одночлен в / такой, что wt(ii) wt(/) для всех одночленов ив/. Рассмотрим множество Т всех одночленов / таких, что / Є Т. Пусть wt(T) — множество весов одночленов из Т. В силу того, что wt(T) является подмножеством во вполне частично упорядоченном множестве W, существует конечная система
