Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературных источников по теме исследования 13
2 Бинарные полугруппы с топологией 20
2.1. Топологические свойства отображений Г|(х,у) = \х,ху) и Ъ\Х,у)= \ху,у) в полугруппах и группах с топологией 20
2.2. Полугруппы, наделенные равномеризуемой топологией 25
2.3. Непрерывность полугрупповой операции в правой [левой] группе 31
2.4. Вложение полугрупп с топологией в топологические группы 35
2.5. Инверсные полугруппы с топологией 47
3 Полугруппы с топологией 58
3.1. Непрерывность «-арной операции в «-группе 58
3.2. Левые идеалы «-полугрупп с топологией 63
3.3. Вложение я-полугрупп с топологией в топологические группы 67
3.4. Полугруппы с топологией, являющиеся производными от бинарных полугрупп 70
Литература 73
- Бинарные полугруппы с топологией
- Вложение полугрупп с топологией в топологические группы
- Левые идеалы «-полугрупп с топологией
- Полугруппы с топологией, являющиеся производными от бинарных полугрупп
Введение к работе
Общая топология, как раздел математики, исследующий идеи непрерывности, в соединении с алгеброй составляет основу современного раздела математики — топологической алгебры. Предметом алгебры является изучение алгебраических структур, которые определяются заданием одного или нескольких законов композиции на некотором множестве. Одновременно с алгебраической структурой на данном множестве часто рассматривают и другие математические структуры, согласованные с алгебраической структурой. Это ведет к большей конкретности таких объектов и позволяет получать новые факты о структурах, заданных на множестве. Например, при соединении понятий группы [полугруппы] и топологического пространства возникают новые математические понятия — топологическая группа [полугруппа].
Теория полугрупп тесно связана не только с теорией групп, теорией колец, но и другими областями математики: дифференциальной геометрией, функциональным анализом, алгебраической теорией автоматов и др. Задание на полугруппе топологии приводит к постановке новых задач и открывает широкие возможности для исследования как свойств полугрупп, так и приложений полугрупп.
Как известно, в общем случае из непрерывности «-арной операции
Ф: Хп ->Х (п>2, X— непустое множество) по каждому аргументу не следует ее непрерывность по совокупности аргументов. Важной является задача установления условий, при которых операция ф является непрерывным отображением по совокупности аргументов. Для групп с топологией такое условие найдено Р. Эллисом [59]. Интерес к исследованию условий непрерывности полугрупповой операции на полугруппе с топологией связан также с необходимостью изучения мер на топологических полугруппах и построения на таких структурах гармонического анализа [см. работы 19, 22].
Одним из методов, применяемых в решении многих задач теории полугрупп, является вложение полугруппы в группу. Вопросами топологического вложения полугрупп с топологией в топологические группы занимались Л.Б. Шнеперман, Ф. Христоф, Р. Ригельхоф, Н. Церпес и А. Мухерджеа, Лау Ка-Синг, Дж. Лавсон и Зенг Вей-Бин, В.В. Мухин, А.Р. Миротин. Предложенные Ф. Христофом необходимые и достаточные условия топологического вложения произвольной топологической полугруппы, алгебраически вложимой в группу, в топологическую группу трудно проверяемы на практике. Остальные из перечисленных авторов выделяют классы полугрупп, вложимых в топологические группы, задаваемые простыми условиями. Вместе с тем остается актуальным нахождение новых классов полугрупп, топологически вложимых в группы. Из результатов теоремы Эллиса следует, что задача вложения топологической полугруппы в локально компактную топологическую группу является также актуальной и интересной. В частном случае подобные результаты получены Р. Ригельхофом для коммутативных, а Н. Церпесом и А. Мухерджеа для реверсивных полутопологических полугрупп с сокращениями при условии открытости сдвигов.
Своей алгебраической структурой к группам наиболее близки инверсные полугруппы. Это позволяет переносить некоторые групповые результаты на инверсные полугруппы. Инверсные полугруппы с топологией стали рассматриваться сравнительно недавно, поэтому вполне естественно изучение их топологических свойств.
Наряду с бинарными полугруппами в работе изучаются «-полугруппы с топологией. «-Группы и «-полугруппы имеют особые свойства, отсутствующие у топологических бинарных групп и полугрупп, изучение которых является одной из основных задач теории топологических «-арных систем.
Таким образом, целью работы является исследование взаимосвязи алгебраической и топологической структур на полугруппах и «-полугруппах,
установление условий, при которых полугрупповая операция на полугруппе, я-полугруппе становится непрерывной по совокупности аргументов.
В главе I сделан исторический обзор, посвященный топологическим бинарным и я-арным группам и полугруппам.
В 2.1 описаны топологические свойства отображений г\(х,у) = (х,ху)
и д(х,у) = (ху,у), заданных на декартовом произведении ХхХ и принимающих значения из ХхХ, гдеX— полугруппа [группа] с топологией т. В теореме 2.1.1 показана равносильность непрерывности умножения и операций г\(х,у)=(х,ху) и 5(^,^) = (^,^) в полугруппе с топологией. В теореме
2.1.4 устанавливается условие непрерывности операций в группе с топологией в терминах свойств отображений г\ и 8.
В 2.2 найдены условия на семейство отклонений на полугруппе, при которых полугрупповая операция будет непрерывным отображением по совокупности аргументов в топологии на полугруппе, порождаемой этим семейством отклонений.
В 2.3 теорема 2.3.3 [2.3.5] является обобщением теоремы Эллисана случай правых [левых] групп, наделенных локально компактной топологией.
В 2.4 раскрывается значение отображений г\{х,у) = (х,ху) и
д(х,у)=(ху,у) в задаче топологического вложения полугруппы с топологией,
алгебраически вложимой в группу, в топологическую группу [теорема 2.4.1]. Отметим, что В.В. Мухиным в [23] показана возможность топологического вложения локально компактной полутопологической полугруппы с открытыми сдвигами в локально компактную топологическую группу при условии алгебраического вложения полугруппы в группу. Этот результат является обобщением результатов Р. Ригельхофа и Н. Церпеса и А. Мухерджеа. В 2.4 теорема 2.4.4 является основной и обобщает указанный результат из [23] на случай порождающего подмножества группы с заданной на нем топологией. В этой теореме найдены естественные условия для топологии порож-
дающего множества, при которых она однозначно продолжается до топологии на всей группе и согласуется с групповой операцией.
В 2.5 рассматриваются инверсные полугруппы с топологией, исследуется отделимость топологии на инверсных полугруппах. В теоремах 2.5.8 и 2.5.10 исследуются свойства топологических инверсных полугрупп, в которых идемпотент замкнут или является изолированным элементом в множестве всех идемпотентов. Теоремы 2.5.16 и 2.5.17 устанавливают условия, при которых инверсная полугруппа с топологией будет объединением топологических групп и топологической инверсной полугруппой.
Бинарные полугруппы с топологией
Известно, что для группы Х с топологией непрерывность операций (х, у) I— ху из X х X в X и х ь- лГ из X в X равносильна непрерывности одной бинарной операции (х,у)н ху ХхХ в X [6]. Кроме того, в теории групп рассматриваются отображения ц(х,у) = (х,ху) и 8(х,у) = (ху,у), которые логично рассматривать как унарные операции на X х X. Для полугрупп операции г) и 5 также имеют смысл. В этом параграфе рассматриваются топологические свойства отображений г\(х,у) = (х,ху) и 8(х,у)-(ху,у), заданных на декартовом произведении ХхХ я принимающих значения из ХхХ, гдеХ— полугруппа [группа] с топологией т, и устанавливается связь непрерывности этих отображений с непрерывностью полугрупповой операции на X. В этом параграфе в декартовом произведении топологических пространств ХхХ рассматриваем топологию произведения. Теорема 2.1.1. Пусть X — полугруппа их — топология на X. Тогда следующие условия равносильны: (і) полугрупповая операция на X непрерывна по совокупности аргументов; (ii) отображение л непрерывно , (iii) отображение 5 непрерывно. Доказательство. Покажем, что из (і) = (іі). Пусть XQ,) Q еХ, тогда г(хо, о) = (хО хО о)є х - Пусть W — некоторая окрестность точки (XQ,ХОУО). Сечение множества Wno XQ: WX = { у є X (XQ, у) є W } является окрестностью XQyQ в (Х, т), а сечение множества W по XQу$: бражение (х, у) ь- ху непрерывно, то существует окрестность U ТОЧКИ XQ, содержащаяся в WхУо, и окрестность V точки у$ такие, что UV с: Wx . Тогда для любой точки х є U и любой точки у є V имеем (х, ху) є U х UV cz Wxy х Wx a W, что означает непрерывность отображения Г]. Аналогично можно доказать импликацию (і) = (ііі). (іі) := (і). Следующая диаграмма коммутативна, где а — полугрупповая операция (х,у)н- ху, рг2(х, 0-у — вторая проекция декартова произведения ХхХ на X, которая непрерывна относительно топологии произведения тхт [5]. Тогда отображение (х, у) н- ху непрерывно как композиция двух непрерывных отображений. Аналогично получаем импликацию (Ні) = (і). Импликации (іі) = (ііі) и (ііі) = (іі) очевидны. Теорема доказана.
Теорема 2.1.2. Пусть X — полугруппа их — топология на X. Если множество ц(Х х и) [соответственно 8(и х Х)] открыто в X х X для любого U є т, то каждый внутренний левый [правый] сдвиг является открытым отображением. Доказательство. Пусть множество r\(XxU) открыто в ХхХдля любого U є х. Тогда для любого а е X его сечение {г\(Ххи))а = {уєХ\{а,у)ец(Ххи)}={уєХ\(Зхєи)(у = ах)} = аи открыто в (Х,х). Следовательно, левый сдвиг Ха является открытым отображением из ХвХ. Если множество 8(U х X) открыто в X х X, то его сечение (8(UxX))a = {xeX\(x,a)e8(UxX)}={xeX\(3yeU)(x = ya)} = Ug открыто в X. Отсюда следует справедливость теоремы для правых сдвигов. Заметим, что условие, обратное утверждению теоремы 2.1.2, не выполняется. Это, в частности, иллюстрирует следующий пример. Пример 2.1.3. Пусть т — топология на множестве действительных чисел R. За базу топологии т примем всевозможные промежутки вида \а,Ь), где -со а Ь +со. (R,T) носит название прямой Зоргенфрея. На множестве R рассмотрим операцию обычного сложения действительных чисел. Тогда (R,+,T) становится алгебраической группой и топологической полугруппой, но не топологической группой, так как операция х ы -х не является непрерывной. Внутренние сдвиги в этой полугруппе являются открытыми отображениями, полугрупповая операция не только непрерывна, но и открыта. Отображение У](х,у) = (х,х + у) таюке непрерывно, однако образ r)(Rxt/) не является открытым подмножеством R х R для открытого множества U = [0,1). Для доказательства последнего утверждения найдем образ множества Rx [o,l) при отображении г\. Пусть zeR, 0 t \, тогда r\(z,t) = (z,z +1) есть множество таких пар (х,у), что х - z, у = z + t. Из последнего равенства t=y-z=y- х. Но 0 / 1, поэтому х у х + \. Итак, r\(Rx[Q,l))={(x,y)\x y х + І\. Так как точка (0,0) є r(R Х [О, І)), а [О, х)х [О, у) сх г(К х [О, і)) для любого положительного и0 _у 1,то r(R х [О, І)) т х т. В топологической полугруппе (R,+, Т) отображение г будет непрерывным, биективным, но не гомеоморфизмом. Заметим также, что Г будет изоморфизмом группы R х R на себя, но не будет топологическим изоморфизмом. В следующей теореме устанавливается условие непрерывности операций в группе с топологией в терминах свойств отображений г и 5. Теорема 2.1.4. Пусть G — группа, т — топология на G. Тогда (G, т) будет топологической группой в том и только в том случае, если ц [8] — непрерывное отображение и r\{G Х U) [b(U Х G)] открыто в G х G для любого U є т. Доказательство. Необходимость. Пусть (G, т) — топологическая группа, тогда операция (х, у) ь- ху непрерывна, следовательно, по теореме 2.1.1 отображение г) [5] непрерывно. Пусть U м V -— открытые множества, тогда UV открыто, так как сдвиги в топологической группе являются гомеоморфизмами, поэтому т(С/хV) = UхUV [3(UxV) = UVxV] открыто. Таким образом, отображение г [5] является непрерывным отображением G х G в G х G и г(С? х и) є т х т [5(UxG)exxx] для любого U є т. Достаточность. Если г) [5] — непрерывное отображение из GxG в G х G, тогда по теореме 2.1.1 групповая операция в G будет непрерывной по совокупности аргументов.
Для доказательства теоремы достаточно показать, что операция хь- х непрерывна в (Сг,т). Пусть V —непустое открытое множество, е —- нейтральный элемент группы G. Множество r\(G XV) открыто в G х G. Следовательно, его сечение W = (r\(GxV)f = {x&G\(x,e)ej\(GxV)}=V l открыто в (G,T), т.е. операция взятия обратного элемента в (G, Т) является открытым отображением. Так как эта операция инволютивна, то она будет и непрерывным отображением. Для случая отображения 8 нужно рассмотреть сечение (8(У х G)\ = {у є G (є, у) є b(V х G)} = Vі. Теорема доказана. Следствие 2.1.5. Если отображение г\ [8] непрерывно и r\(Gxll) [ d(U х G) ] открыто в G х G для любого U є т, то ц [8] является гомеоморфизмом G х G на G х G. В этом параграфе найдены условия на семейство отклонений на полугруппе, при которых полугрупповая операция будет непрерывным отображением по совокупности аргументов в топологии на полугруппе, порождаемой этим семейством отклонений. Теорема 2.2.2 обобщает результат из [24]. Равномерной структурой на множестве X называется непустое семейство U подмножеств множества ХхХ, удовлетворяющее условиям: 1. Всякое множество из U содержит диагональ А. 2. Если V є U, то Vх є U, где Vх = {(у,х) (х,у) є v). 3. Для любого F є [), существует W є U такое, что W W с V-. 4. Если Гє U и VczW с: ХхХ,то WeU. 5.Если Гє U, We U,то VnWє U. Пара (X, U) называется равномерным пространством, множества из U называются окружениями равномерной структуры. Фундаментальной системой окружений равномерной структуры называется всякое множество В окружений, обладающее тем свойством, что любое окружение содержит некоторое множество из В. Топологией т, порождаемой равномерной структурой U, или равномерной топологией, называется семейство всех таких подмножеств Т пространствах, что какова бы ни была точка х є Т, существует U є U, для которого U[x] с Т, где Щх] = {у є X (х,у) є и}. Говорят, что равномерная структура в топологическом пространстве X согласуется с его топологией, если последняя совпадает с топологией, порождаемой рассматриваемой равномерной структурой.
Вложение полугрупп с топологией в топологические группы
Основным результатом этого параграфа является теорема 2.4.4, которая обобщает теорему В.В. Мухина о продолжении топологии с подполугруппы, являющейся системой образующих группы, до топологии на группе, согласованной с групповой операцией, на случай порождающего подмножества группы с заданной на нем топологией [23]. В качестве следствия теоремы 2.4.4 получаем результат, доказанный В.В. Мухиным в [23]. Теорема 2.4.6 устанавливает возможность топологического вложения полутопологической полугруппы в полутопологическую группу при условии топологического вложения некоторого идеала данной полугруппы. Следствием данной теоремы является необходимое и достаточное условие топологического вложения полутопологической полугруппы в локально компактную топологическую группу. В теореме 2.4.1 раскрывается значение отображений г\(х,у) = (х,ху) и 5(дг, у) = (ху, у) в задаче топологического вложения полугруппы с топологией, алгебраически вложимой в группу, в топологическую группу. Алгебраическое вложение р полугруппы X с топологией іх в топологическую группу (G,TQ) называется топологическим вложением Хв G, если оно непрерывно (т.е. для любого открытого множества V єтс множество р 1(У) є тх) и обратное отображение непрерывно (т.е. для любого открытого множества U є хх существует открытое множество V є xG такое, что р(Ц) = p(X)r\V). Если р(Х) открыто в G, то говорят, что X топологически вкладывается в G в качестве открытой подполугруппы. Теорема 2.4.1. Пусть X — полугруппа, алгебраически вложимая в группу, т — отделимая топология на X. Для того, чтобы [X, т) топологиче- ски вкладывалась в отделимую топологическую группу в качестве открытой подполугруппы, необходимо и достаточно, чтобы Г[(х,у) = {х,ху) было непрерывным отображением из ХхХ в ХхХ, а множества r\(XxU) и b(U х X) были открытыми подмножествами ХхХ для любого U є т. Доказательство.
Необходимость. Пусть (Х,х) топологически вкладывается в отделимую топологическую группу (G,XQ) В качестве открытой подполугруппы. Тогда (Х,х) можно алгебраически и топологически отождествить с открытой подполугруппой группы (G,XQ). Отображение T\Q(X, у) = (х, ху) группы G х G на себя является гомеоморфизмом и продолжением п. Следовательно, г] является непрерывным отображением из ХхХ в X х X. Далее, если U є т, то X х U является открытым подмножеством GxG. Отсюда следует, что множество r\(XxU) = r\Q(XxU) открыто в G х G, и значит, открыто в X х X, так как X х X є IQ Х XQ . Аналогично дока-зывается, что множество S(U х X) открыто в X х X для любого U є т. Достаточность. Пусть G - группа, для которой X является системой образующих. Пусть (j = \sU \Uex,SGGJ. Обозначим через XQ семейство всевозможных объединений множеств из а. По условию п — непрерывное отображение, тогда по теореме 2.1.1 (Х,х) — топологическая полугруппа. Из открытости множеств r\(XxU) и 8(UxX) в ХхХ для любого Uєх по теореме 2.1.2 следует открытость левых и правых внутренних сдвигов в (Х,т). При этих предположениях в [23] установлено, что XQ является топологией на G, XCIXQ, сужение топологии XQ на X совпадает с т и групповая операция в G непрерывна по совокупности аргументов. Так как топология т на X отделима, то XQ тоже отделима. Покажем, что операция л Ь- х- непрерывна в (G,XQ). Пусть XQ Є G, V — открытая окрестность точки XQ . Для z є X множество X r\zxQV является открытой окрестностью точки z в (Х, т). Тогда по предположению теоремы множество ц(Х х {Х n ZXQV)) открыто в X х X. Следовательно, для любого у є X его сечение открыто в (X, т), а значит, открыто и в (G ). 2 Пусть у = z , тогда z є W и поэтому W— открытая окрестность точки _2 z. Множество z WZXQ является открытой окрестностью точки х0, так как сдвиги в (G,xG) открыты. Так как - то операция х н» х непрерывна в точке XQ В топологическом пространстве (G,XQ). Теорема доказана. Хорошо известно, что коммутативная полугруппа может быть вложена в группу тогда и только тогда, когда она есть полугруппа с сокращениями [14], поэтому справедливо следующее следствие. Следствие 2.4.2. Пусть X — коммутативная полугруппа с сокращениями, т — отделимая топология на X. Для того, чтобы [X, х) топологически вкладывалась в отделимую топологическую группу в качестве открытой подполугруппы, необходимо и достаточно, чтобы отображение т\(х,у) — {х,ху) было непрерывным отображением из ХхХ в ХхХ, а множество Г(Хх/) было открытым подмножеством ХхХ для любого Uex. Для доказательства теоремы 2.4.4 нам потребуется следующая лемма. Лемма 2.4.3. Пусть X — полугруппа и пусть Р = {(X у) є X х X Хх п Ху Ф 0 ) — бинарное отношение на X. Транзитивное замыкание р отношения р будет отношением эквивалентности на X и (х,у)ер тогда и только тогда, когда существуют последовательности Х[, ..., хп_\\ а\, ..., ап\ Ъ\, ..., Ьп элементов полугруппы X такие, что Ь[у = а\Х\; Ь2х\ = а2х2 пхп-\ апх Кроме того, для каждого х є X класс эквивалентности х по отношению эквивалентности р является левым идеалом полугруппы X. В этом случае разбиение полугруппы Х = {Ха} на такие ее левые идеалы является наибольшим в том смысле, что каждый левый идеал Ха нельзя разбить на два или более левых идеала полугруппы X. Доказательство.
Очевидно, что отношение р рефлексивно и симметрично наХ Покажем, что введенное в формулировке леммы отношение р является транзитивным замыканием отношения р. Очевидно, что р с р. Покажем, что отношение р транзитивно. Если хр у, то существуют элементы х\, ..., хп \ полугруппы Xтакие, что ХхпХхп-\ Ф0, ..., Хх2 пХХ\ Ф0, Хх\ г\ХуФ0. Если ypz, то существуют элементы у\, ..., ут-\ полугруппы Xтакие, что ХупХу\ Ф0, Ху\ елХу2 Ф0, ..., Xym_i г\ХгФ0. Из этих соотношений следует, что х р z. Пусть р\ — транзитивное отношение на X и р с р\. Так как р с р, то для любых у,хєХ, для которых (у,х)ер существуют элементы . !,..., и_1 полугруппы X такие, что ХуслХх\Ф0, Хх\ с\ Хх2 Ф 0, ..., Ххп_і Г\ХхФ0. Но тогда (у,х\) є р\, (х\,х2) є р], ..., (хп_\,х)ер\. Значит, р с pi. Доказали, что р есть наименьшее транзитивное отношение на X, содержащее р, т.е. является транзитивным замыканием этого отношения. Покажем, что для каждого х є X класс эквивалентности х по отноше- нию р является левым идеалом полугруппы X. Пусть ЙЄІ, уєх. Тогда у р х, т.е. Ху п Хх\ Ф 0, ..., Ххп_\ г\Хх 0 для некоторой последовательности элементов х\, ..., хп_\ изX. Так как а єX, то Хау с\Ху 0 и получаем следующую последовательность: ХаупХу 0, ХупХх\ л Допустим, что х = Ха u Хр , где Ха и Хр — левые идеалы полугруп- л пы X, пересечение которых пусто. Пусть х є Ха, у є Хр, Так как х, у є х, то XynXxi=0, ..., Ххи_4пХг=0 для некоторой последовательности элементов хі, ..., хп_\ изX. Множество Ху с Хр, так как у єХр и Хр — левый идеал полугруппы X. Если бы xj е Ха, то Xxj с Ха. В этом случае пересечение левых идеалов Ха и Хр не пусто, что противоречит предположению, поэтому х\ єХр. Аналогично получаем, что все элементы х\, ..., x _i,x ле- л жат в одном идеале Хр, что противоречит предположению. Ни один класс х нельзя разбить на два или более левых идеала. Лемма доказана. Теорема 2.4.4. Пусть W— подмножество группы G и система образующих G. Пусть х — топология на W такая, что для любых элементов х\,,.., хп; у\, ..., ут; ,..., s ; t\, ..., Ц множества W и любого Vex множества Wr\s xVy, Wc\xVyt являются открытыми подмножествами W, где s = s\-..., если n = Q, то элементов х\, ..., хп указанный набор не содержит. Аналогичное соглашение действует относительно т = 0, к — 0, / = 0).
Левые идеалы «-полугрупп с топологией
В [22] показано, что бинарная полугруппа X с топологией такой, что каждый главный левый идеал открыт и хотя бы один левый сдвиг непрерывен, обладает свойством: если X разбита на семейство попарно непересекающихся левых идеалов, то каждый левый идеал из этого семейства будет открыто-замкнутым подмножеством полугруппы X. Этот результат, в частности, может быть использован для описания инвариантных мер в полугруппах [22]. В параграфе 3.2 обобщается это свойство бинарных полугрупп на случай «-полугрупп. Лемма 3.2.1 является обобщением леммы 2.3.3. и показывает существование максимального разбиения «-полугруппы на ее левые идеалы. Непустое множество I аХ называется левым идеалом «-полугруппы (Х,( )),если[Х... XI]czI. Лемма 3.2.1. Пусть (Х,[ J} — п-полугруппа и на X задано бинарное зитивное замыкание р отношения р будет отношением эквивалентности на X тогда и только тогда, когда существуют последовательности \а ...аТ хЫщ ...b% _i]. Кроме того, для каэ/сдого хєХ класс эквива- л лентности х по отношению эквивалентности р является левым идеалом п- полугруппы (X, ( )) и разбиение X - \J Ia п-полугруппы X на ее левые идеа- лы является наибольшим в том смысле, что каждый левый идеал 1а из этого разбиения нельзя разбить на два или более левых идеала п-полугруппы Доказательство. Отношение р рефлексивно и симметрично наХ. Нетрудно показать, что транзитивное замыкание р отношения р будет отношением эквивалентности на X, и х р у тогда и только тогда, когда суще ствуют последовательности х\,..., _і; а\,..., ап_\\ а\,..., ап_\\...\ л Покажем, что для каждого хеХ класс эквивалентности х по отношению эквивалентности р является левым идеалом «-полугруппы (X, ( )). Если х и у принадлежат двум непересекающимся левым идеалам 1а и In «-полугруппы (X, ( )}, то они не могут быть эквивалентными. Отсюда следует, что ни один класс х нельзя разбить на два или более левых идеала. Лемма доказана. Отображение х Ь- (cf хс%+\ J и-полугруппы (X, ( )} в себя, где с" 1 єX""1, называется трансляцией (к=0, 1, ...,п — 1).
Теорема 3.3.2. Пусть п-полугруппа (X, ( )) наделена топологией х такой, что для каждого аеХ множество [X...Ха] открыто и для некото- и-1 рой последовательности Ъ\,..., Ъп_\ элементов X отображение JC 1— {b\... Ь„_іх) из X в X непрерывно. Пусть X = vj[Xa\ae А ), где {Ха а є А } — некоторое семейство попарно непересекающихся левых идеалов п-полугруппы X. Тогда каждый левый идеал Ха из этого семейства является открытым и замкнутым подмножеством п-полугруппы (X, ( ), т). Доказательство. Пусть а є А. в силу предположения теоремы. Отображение хь- (Ь]_... Ьп_\х) мзХъХ, где Ь\,..., Ъп_\ є X, будем обо- Так как отображение А, 5 ъ непрерывно по условию, а множество [X... ХХа] открыто, то множество Ха открыто. Множество Ха является п-\ дополнением открытого множества {Хп рє 4\{а} j. Следовательно, оно замкнуто. Теорема доказана. а тополо-не- Следствие 3.3.3. Пусть бинарная полугруппа (X, ) наделен гией такой, что для калсдого аєХ множество X ... Ха открыто и для которой последовательности Ъ\,..., Ъп_\ элементов X отображение х\- Ъ\... Ъп_\х из X в X непрерывно. Пусть X = u{ Ха а є А }, где {Ха а є А } — семейство попарно непересекающихся левых идеалов полугруппы X. Тогда каждый левый идеал Ха из этого семейства является открытым и замкнутым подмножеством полугруппы X. Доказательство. Рассмотрим на X и-арную операцию {х\...хп) = х\-... -хп. Тогда w-полугруппа (Х,( ),т) удовлетворяет условиям теоремы 3.3.2. Заметим, что, если / — левый идеал бинарной полугруппы (X, ), то он является левым идеалом и-полугруппы (X, ( )). Теорема 3.3.1 является следствием теоремы 2.4.4 для «-полугрупп с топологией, алгебраически вложимых в бинарные группы. Пусть (X, ( )) — «-полугруппа, 7 — непустое подмножество X. Пусть для любой последовательности у\ є 7" имеем \у"J Y. Тем самым определили ассоциативную «-арную операцию ( ) на 7. Тогда (7,( )} будет «-полугруппой. Она называется п-подполугруппой «-полугруппы (X, ( )}. Пусть (G, ) — бинарная группа. Говорят, что «-полугруппа (X, ( )) алгебраически вкладывается в G, если существует инъективное отображение р\Х — G такое, что р((х\...хп)) = р{х\)... р(хп) для любой последовательности xi,...,xn из X Такое отображение р называется алгебраическим вложением (X, ( )} в (G, }. Если (X, ( )) и (G, ) наделены топологиями т и XQ соответственно, то алгебраическое вложение/? (X, ( )) в (G, ) называется топологическим вложением, если р является гомеоморфизмом топологического пространства (Х,т) на подпространство р(Х) топологического пространства (G,IQ). Если, кроме того, р(Х) открыто (имеет непустую внутренность) в G, то говорят, что (Х,( ),т) топологически вкладывается в (G, -,%Q) в качестве открытой «-подполугруппы (в качестве п- подполугруппы с непустой внутренностью).
Бинарная группа (G, ) называется универсальной обертывающей для «-полугруппы (X, ( )), если: 2) G представима в виде объединения « -1 попарно непересекающихся множеств G = XuX2u...uХп 1; 3) для любой последовательности х\ є Хп имеет место равенство \ fj= х\ -х2 -...-хп. В следующей тереме я-арную операцию на X обозначим буквой f, точкой «» обозначается бинарная операция в группе, а круглые скобки служат в обычном смысле. Теорема 3.3.1. Пусть п-полугруппа {X,f, х) алгебраически вкладывается в бинарную группу, и каждый сдвиг хн» f{a\,..., ai_\, х, af, ai+\,..., ап_\) является непрерывным и открытым отображением п-полугруппы X в себя, где а\,...,ап_\ єХ, і= 1, 2, ..., п. Тогда (X,/, т) топологически вкладывается в полутопологическую бинарную группу в качестве открытой п-подполугруппы. Групповая операция будет непрерывной по совокупности аргументов тогда и только тогда, когда п-арная операция/непрерывна по совокупности аргументов. Если, кроме того, топология т локально компактна, то (X,f, т) топологически вкладывается в локально компактную топологическую группу в качестве открытой п-подполугруппы. Доказательство. Пусть G — универсальная обертывающая группа п-полугруппыХ Пусть чае. Число г в последней формуле {п- 1) и таково, что (г- 1 +/? + т) кратно in - 1). В каждом из этих случаев рассматриваемое пересечение является открытым подмножеством в (X, х), если множество V открыто. Аналогично имеем, что X п \ х\ ... xpVy\ ... утЦ\ ...-Ц) ]є х. Далее, применяя теорему 2.4.4 из 2.4, получаем справедливость теоремы.
Полугруппы с топологией, являющиеся производными от бинарных полугрупп
Производные «-группы впервые были введены В. Дерите в [54]. Алгебраические отношения между бинарной группой и производной от нее п-группой рассматривались в работах Е. Поста [68], С.А. Русакова [34], В. Ду-дека и В.В. Мухина [55]-[57], [12]. Топологическая связь между групповой бинарной операцией и «-арной операцией, также топологии на «-полугруппах, являющихся производными от бинарных полугрупп изучались в [3]. В этом параграфе получено обобщение теоремы 2.5 из [3] на случай, когда «-полугруппа не обладает единичным элементом. «-Полугруппа (X, ( )) называется производной от бинарной полугруппы (X, ), если для любой последовательности х" є Хп справедливо равенство \х")= Х\ х2 ... хп. Последовательность ef є Хп называется нейтральной последовательностью «-полугруппы (X, ( )), если для любого х є X выполняется Элемент ееХ называется единичным элементом «-полугруппы (X, ( )), если для любого х є X и для любого / = 1,2,...,« выполняется тож- Л-1 и-Л дество \ е х е =х. Пусть «-полугруппа (X,( )) не обладает единичным элементом. Говорят, что к (Х, ( )) можно присоединить единичный элемент egX, если на множестве Хх=Хие существует ассоциативная «-арная операция [ ] такая, что е — единичный элемент (Х1з[]) и для любой последовательности х\ еХп справедливо равенство Теорема 3.4.1. Пусть топологическая п-полугруппа (X, ( ), х) удовлетворяет одному из следующих условий: (і) (X, ( Jj содержит единичный элемент е; (и) к (Х, ( )) мооісно присоединить единичный элемент е и, если п нечетно, то (X, ( )) не содержит нейтральной последовательности. Тогда (X, ( ), т) является производной от бинарной полугруппы (X,; х), которая является топологической бинарной полугруппой. Доказательство. Если и-полугруппа (Х,( )) содержит единичный элемент е, то она является производной от бинарной полугруппы ІХ, ), где ( п 2 \ бинарная операция «» определяется формулой х-у= х е у . Тогда непре- рывность бинарной операции следует из непрерывности я-арной операции. Пусть к и-полугруппе (Х, ( )) можно присоединить единицу е. Тогда п- полугруппа (Х{,[]) является производной от бинарной полугруппы (Х{,-), где Хх = X и [е], [ ] — ассоциативная я-арная операция, являющаяся продолжением операции ( ) не — единица (Хь[]) [12].
Определим на множестве Х{ топологию т1, являющуюся суммой топологии х и топологии на {е}. Очевидно, что (X f],- } становится топологической «-полугруппой и производной от топологической бинарной полугруппы (tXl,;xl). При условии (іі) в [12] показано, что (X,-) алгебраически вкладывается в (Х1}-) и и-полугруппа (Х,( )) является производной от бинарной полугруппы (Х, ( )). Так как х\ есть сумма топологии т и топологии на {е}3 то X открыто в ті, поэтому {Х, -, т) топологически вкладывается в топологическую бинарную полугруппу (X -JXJ) в качестве открытой подполугруппы. Получаем, что топологическая и-полугруппа (X, ( ), т) является производной от топологической бинарной полугруппы (X, -, т). Теорема доказана. Общая топология, как раздел математики, исследующий идеи непрерывности, в соединении с алгеброй составляет основу современного раздела математики — топологической алгебры. Предметом алгебры является изучение алгебраических структур, которые определяются заданием одного или нескольких законов композиции на некотором множестве. Одновременно с алгебраической структурой на данном множестве часто рассматривают и другие математические структуры, согласованные с алгебраической структурой. Это ведет к большей конкретности таких объектов и позволяет получать новые факты о структурах, заданных на множестве. Например, при соединении понятий группы [полугруппы] и топологического пространства возникают новые математические понятия — топологическая группа [полугруппа]. Теория полугрупп тесно связана не только с теорией групп, теорией колец, но и другими областями математики: дифференциальной геометрией, функциональным анализом, алгебраической теорией автоматов и др. Задание на полугруппе топологии приводит к постановке новых задач и открывает широкие возможности для исследования как свойств полугрупп, так и приложений полугрупп. Как известно, в общем случае из непрерывности «-арной операции Ф: Хп - Х (п 2, X— непустое множество) по каждому аргументу не следует ее непрерывность по совокупности аргументов.
Важной является задача установления условий, при которых операция ф является непрерывным отображением по совокупности аргументов. Для групп с топологией такое условие найдено Р. Эллисом [59]. Интерес к исследованию условий непрерывности полугрупповой операции на полугруппе с топологией связан также с необходимостью изучения мер на топологических полугруппах и построения на таких структурах гармонического анализа [см. работы 19, 22]. Одним из методов, применяемых в решении многих задач теории полугрупп, является вложение полугруппы в группу. Вопросами топологического вложения полугрупп с топологией в топологические группы занимались Л.Б. Шнеперман, Ф. Христоф, Р. Ригельхоф, Н. Церпес и А. Мухерджеа, Лау Ка-Синг, Дж. Лавсон и Зенг Вей-Бин, В.В. Мухин, А.Р. Миротин. Предложенные Ф. Христофом необходимые и достаточные условия топологического вложения произвольной топологической полугруппы, алгебраически вложимой в группу, в топологическую группу трудно проверяемы на практике. Остальные из перечисленных авторов выделяют классы полугрупп, вложимых в топологические группы, задаваемые простыми условиями. Вместе с тем остается актуальным нахождение новых классов полугрупп, топологически вложимых в группы. Из результатов теоремы Эллиса следует, что задача вложения топологической полугруппы в локально компактную топологическую группу является также актуальной и интересной. В частном случае подобные результаты получены Р. Ригельхофом для коммутативных, а Н. Церпесом и А. Мухерджеа для реверсивных полутопологических полугрупп с сокращениями при условии открытости сдвигов. Своей алгебраической структурой к группам наиболее близки инверсные полугруппы. Это позволяет переносить некоторые групповые результаты на инверсные полугруппы. Инверсные полугруппы с топологией стали рассматриваться сравнительно недавно, поэтому вполне естественно изучение их топологических свойств.
