Содержание к диссертации
Введение
Введение 4
1.1 Значения дзета-функции Римана в целых точках 4
1.2 Интегральные представления аппроксимаций 6
1.3 Обобщенные полилогарифмы и кратные дзета-функции . 9
1.4 Результаты диссертации 10
2 Тождества 18
2.1 Интегральные тождества 18
2.2 Разложение кратных интегралов в кратные суммы 22
2.3 Обобщенные полилогарифмы и преобразование 25
2.4 Производящие функции для значений дзета-функции . 27
2.5 Арифметические свойства кратных дзета-значений 35
3 Разложения кратных интегралов в линейные формы 39
3.1 Общая теорема о разложении кратных интегралов 40
3.2 Усиление общей теоремы при некоторых ограничениях . 54
3.3 Знаменатели коэффициентов линейных форм 69
3.4 Оценка коэффициентов линейных форм 77
3.5 Мера трансцендентности 7Г2 83
3.6 Линейная независимость значений дзета-функции Римана . 92
3.7 Линейная независимость значений классических полилогарифмов 104
3.8 Линейная независимость значений обобщенных пол и логарифмов 107
4 Другие кратные интегралы 112
4.1 Интегралы Рина 113
4.2 Кратные интегралы для линейных форм 127
Литература
- Интегральные представления аппроксимаций
- Обобщенные полилогарифмы и преобразование
- Усиление общей теоремы при некоторых ограничениях
- Кратные интегралы для линейных форм
Введение к работе
Глава 1 Введение
Интегральные представления аппроксимаций
Оказывается, интеграл V(z), при некоторых ограничениях на параметры может быть сведен к S(z). Мы установим это в разделе 2.1, доказав более общее тождество. Пусть даны натуральные числа 1 Г\ г2 ri = m, TQ = 0 и комплексные числа 2о и a i, b{, 1 і m. Определим многочлены Qj{z,x1,x2,...,xm), 1 j I: l i Tj Qo = l, Qj{z,Xi,X2,...,Xm) = Qj-i(z,Xi,X2,...,Xm)-z(l-Xrj) JJ множество S и числа Cf. С г и / / о ) аг, ЄСЛИ І S, S = {rj\l j 1}, сг={ . аг._15 если г = Tj Є о. Х іі 1.4 Результаты диссертации Тогда справедлива Теорема 2.1. Пусть Re(ao) 0; Re(&;) Re(a ) 0 при 1 і т, Re(&j) Re(cj) при і Є 5\ Тогда при z Є С; z 1 выполняется равенство № ZV 1 2, і %т)Г(ат) -г-г Т(Ьг - - Ci) J [0,1] Пієб С1 " - (1-- ZX\ - гы 11 г(бг - где (іж = dx\dx i dxm и оба интеграла сходятся. Из этого интегрального тождества вытекает равенство интеграла V{z) интегралу вида S{z). Этот результат формулируется в виде двух теорем в зависимости от четности размерности интеграла V{z).
Теорема 2.3. Пусть Re(ao) 0, Re(&;) Re(a ) 0 при 1 і 2/ + 1, Re(&2j) Re( 22j-2) при 1 j /; Re(&2/+i) Re(a2/)- Тогда при \z\ 1 выполняется равенство 0,04,(22, , 2/+1 6l,&2,--- , 2/+1 П V; Г(а2/+і) Г(&2/+і - а2/+і) -г-г r(&2j - а2. Г(а0) Г(&2/+і - «2/) - r(&2j - -2 21+1 3= X [о,ір+і П -=1(1 - zxi... x2j)b -a х — --—dx\dx2 ах2і+і, (1 -2;жі...ж2/+і)а2 +1 причем оба интеграла сходятся.
Для четной размерности интеграла V{z) справедлива аналогичная теорема 2.2. Из теоремы 2.3 следует равенство интеграла Бейкерса (1.3) интегралу Сорокина (1.5). Несколько другим способом С. Фишлер ([31]), независимо от автора, свел 1 (1) к S(l).
В разделе 2.2 получен явный вид кратной суммы, в которую раскладывается интеграл S(z) при Из этого результата следуют интегральные представления обобщенных полилогарифмов и кратных дзета-функций. Полученные интегралы продолжают обобщенные полилогарифмы в область D = C\{z : arg(l — z)\ 7г}. 1.4 Результаты диссертации Далее, в разделе 2.3 изучается действие преобразованиям —z/(l — z) на обобщенных полилогарифмах. Лемма 2.6. (О двойственности) Пусть z Є D = C\{z : arg(l — z)\ 7г} Тогда выполняется равенство Le, )=- (,) для вектора s , получаемого из s по некоторому правилу. Эта лемма используется в главе 3. Васильев в работе [2] доказал равенство, которое можно записать в виде C({2}A,l) = 2C(2fc + l). В разделе 2.4 мы доказываем обобщение этого равенства. Теорема 2.8. При натуральных k, s 2 выполняется равенство (({2,{l}s_2b, 1) = ( + 1) Также в разделе 2.4 указываются другие связи ( и (. В разделе 2.5 обсуждаются арифметические свойства кратных дзета-значений. Доказывается, например, следующий результат. Следствие 2.7. Существует такое so Є {(2,3), (3,2),(2, 2,3),(2,3,2),(3, 2,2)}, что числа 1, ((3) и (%) линейно независимы над Q.
В главе 3 исследуется интеграл вида S{z) и указываются его некоторые применения для арифметических результатов.
В разделе 3.1 доказывается общая теорема о представлении интеграла S{z) в виде линейной формы с полиномиальными коэффициентами от обобщенных поли логарифмов. В ней используется обозначение: и v, если длины векторов и и v равны и щ Vi при любом і = 1,... , 1{и) = l{v). Знак значит то же, что и в разделе 1.3.
В некоторых случаях в линейной форме в действительности возникает много меньше обобщенных пол и логарифмов, чем гарантируется этой теоремой, что важно в арифметических приложениях. В разделе 3.2 доказывается усиление общей теоремы при некоторых ограничениях на параметры. При этом используется определение: вектор и называется подчиненным вектору V, если и v или и v для некоторого вектора v , полученного из вектора v вычеркиванием нескольких компонент в произвольных местах.
Обобщенные полилогарифмы и преобразование
Частными случаями леммы 2.1 являются Лемма 2.2 Справедливо следующее интегральное представление для нестрогих обобщенных полилогарифмов: / . / dx\dx2 dxm 81,82,..., ( ) = z V7i Тл \ -W]m llj=l(l - 2ЖіЖ2 %) 2 9е г,,- = si + S i Sj, m = r\. и Лемма 2.3 Справедливо следующее интегральное представление для строгих обобщенных полилогарифмов: ,,_ і [ ]XfMxi%2 xrj)dxidx2 ... dxm /[од]» lli=i(l - 2Ж1Ж2 ... xr.) где Vj = s\ + S2 + Sj, m = ri. Эти интегралы продолжают обобщенные полилогарифмы в область D = C\{z : arg(l — z)\ 7г} (комплексная плоскость с разрезом по действительной прямой от 1 до +оо) Переходя к пределу при z из лемм 2.2 и 2.3 получим интегральные представления кратной дзета-функции.
Будем называть вектор s двойственным к s, так как из природы возникновения s будет следовать, что (s )f = s. Если s (1), то один и только один из двойственных векторов начинается с единицы, а их веса равны. Е.А. Уланский подсказал следующее определение двойственного вектора. Сопоставим вектору s слово XSQ Х\ ... XSQ Х\ = vx\. Пусть сг это отображение, действующее на таких словах и меняющее буквы XQ И Х\ между собой. Тогда двойственный вектор s соответствует слову a{v)x\.
Доказательство. Докажем утверждение в области {z Є С : \z\ l}\z\ 1 — z\\. Тогда, используя аналитическое продолжение функций, утверждение будет также справедливо в области D. При z = 0 утверждение очевидно, поэтому далее z 0. Воспользуемся интегральным представлением heg(z) (см. лемму 2.2)
Производящие функции для значений кратной дзета-функции В этом разделе мы будем изучать значения кратной дзета-функции с нестрогими неравенствами C(S1, S2,...,Si)= J2 n i...n вместо обычно рассматриваемой кратной дзета-функции со строгими неравенствами: C(si,s2,...,si)= 2 St Si , Пі п, В связи с проблемой иррациональности значений дзета-функции Римана в нечетных точках, Д.В. Васильев в работе [2] доказал равенство Г dxrdxi-dx»»— 2f(2fc + 1). (2.6) 7[0,l]2 +i 1 - Х\{1 - Х2{ Ж2Л(1 - X2k+l) С помощью следствия 2.2 для п = 0 и леммы 2.4 можно переписать это равенство в виде C({2}A,l) = 2C(2fc + l) (2.7) Далее будет доказана теорема, обобщающая этот факт, а также будут указаны другие связи ( и (. Для значений функций ( известна следующая производящая функция. Теорема 2.4 (см., например, [30]) Выполняется равенство ОО ОО / \ Е№Ь) = П(1+ " k=0 j=l х J 2.4 Производящие функции для значений дзета-функции (здесь и далее подразумевается (0) = (0) = 1). Пусть s = 2р - четное число, имеем оо оо / 2р\ Р 1 / 2 а{2Рю(- = п(і-У = ПЩі-еП P"1 Sin (eXD (— ) 7ГЖ П l / Л (2-8) k=0 j=l V J J j=\ 1=0 v /=0 ЄХР \ f j 7ГЖ
Разлагая каждый синус в ряд Тейлора, можно получить значение({2 }) для произвольных р и к, которое будет вида q2P,k 2pk, Q2P,k Є Q. В частно Ik o2fc+l Ak сти, C({2}fc) = (2jfc+i)p С((4Ь) = (4fc+2)i Относительно вычисления C({2p}k) при p 2 см. [30]. Для значений функций ( имеется аналогичное тождество. Теорема 2.5 Выполняется равенство X S оо оо , С(М = П і , /г=0 j=l -7 7
Теорема 2.5 может быть доказана аналогично теореме 2.4 (только вначале необходимо разложить каждый множитель в бесконечном произведении в сумму геометрической прогрессии). Но мы получим ее в процессе доказательства теоремы 2.8.
Усиление общей теоремы при некоторых ограничениях
В некоторых случаях в линейной форме в действительности возникает много меньше обобщенных полилогарифмов (см., например, (3.1) и (3.2)), чем гарантируется общей теоремой 3.2, что востребовано в арифметических приложениях. Далее нашей задачей будет дать достаточные условия на параметры интеграла S(z), при которых можно значительно сузить количество полилогарифмов, входящих в его разложение. Ограничения на степени многочленов Pg и их кратности нуля следуют из теоремы 3.2, и мы не будем упоминать о них.
Для вектора s = (si, s2,. . . , S/) с натуральными компонентами определим функцию R{s;x) = R{s!,s2,..., si; х) = — -f") lb] XSlno2 nf П2 Х Несложно видеть, что выполняются равенства оо heg(z) = y R(s;n)zn} n=l R{s!,s2,, si; x) = — 2 (s2, «з, , si; k) (при I 1). Лемма 3.4 При целом неотрицательном а выполняется равенство оо Y zn-lR{s; п + а) = z a l Leg{z) + P(z l), n=l где P(z) = Ylk=i QkZk и D l_kqk Є Z (в случае a = 0 многочлен P{z) отсутствует). Доказательство. Обозначим левую часть равенства через L(z). Тогда n=l n=l n=l Осталось поделить обе части на za+l и заметить, что D R(s;ri) Є Z и ( = i?(s;a + 1 — &).
Далее будем обозначать через S конечное множество непустых векторов, и соответствующее ему множество So = S U {0}. Через Л будем обозначать конечный отрезок суммирования [о;і, а2] с целыми неотрицательными «і, а2. 3.2 Усиление общей теоремы при некоторых ограничениях Следствие 3.3 Пусть функция R(x) такова, что для любого натурального п выполняется равенство R(n) = Е Е As,aR(s;п + а), Л є С seS аєА Тогда сумма Y =\R{n)zn l представляется в eude 2geS Pg(z l)heg(z), причем ord P${z) ) 1 и для любого непустого вектора s имеем Pg(z) = z=0 V /I ya+l Доказательство. Выполняется равенство оо оо L = J2 R(n)zn-1 = J2J2 А Е П 1Ш п + а). п=\ seS аєА п=\ Применяя лемму 3.4, получим L = Y, Е Л- (z a X Le + Р Лг 1)) seS аєА = Е(Е A z-a-r) Leg(z) + J2 E MaPsAz-1). seS аєА seS аєА Неравенство ord P${z) 1 следует из леммы 3.4. z=0 С помощью сравнения коэффициентов в степенных рядах при zn , п 1, показывается следующая лемма, обратная следствию. Лемма 3.5 Пусть сумма Yl =i R(n)zn l представляется в виде линейной формы 2gGS Pg(z l)heg(z), причем ord P${z) 1, а для вектора 0 z=0 s Є S пусть Pg(z) = aeAAs,aza+l- Тогда для любого натурального п выполняется равенство R(n) = Е Е As,aR{s; п + а), s eS аєА
Леммы 3.4 и 3.5 позволяют работать не с бесконечными суммами, а с конечными, зависящими от натурального параметра. Обозначим через /С(Т,р, Р) - линейное пространство функций от п, натянутое на функции R(s, п + а), где s подчинен вектору Т и р а Р,
Усиление общей теоремы при некоторых ограничениях а через С(Т}р}Р) - его подпространство, куда входят вектора s с sj 1 при j 1. Также обозначим через /Со - подпространство /С и Со - подпространство /2, для элементов которых при каждом s = (1, S2,...) сумма коэффициентов по а равна нулю (Со также будет подпространством /Со). Лемма 3.6 Пусть а" а 0 - целые, a I, т[, т {, rrij - натуральные числа. Тогда функция -R(m", m2,...,mi]n + а") (n + а )т1 принадлежит /Со((max(m/1,77//),7772,... ,mi),a ,a"), а при 7772,... ,т/ 1 (при I = 1 считаем это условие выполненным автоматически) и пространству /2o((max(m/1,771 ),7712, }mi)}a }a").
Доказательство. Проведем индукцию по /. Разложим дробь 1/((77 + a )mi(n + а")1) в сумму простейших дробей: (n + a )m i {п + а")т" f-f (n + a ) f { (п + а"У Выполняется равенство В\ + С\ = 0. Это, в частности, обеспечивает базу индукции (/ = 1). Пусть / 1, и для (/ — 1) лемма верна. Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой L. Имеем _. п+а" L = 7—,—л ТТ—,— w7 У2 Л(т2 --- /5 ) (77 + а )т1 (п + a")mi z— т[ п+а" т { п+а" t=\ v у л=і t=\ v у л=і mi n+a т" n+a" = Е( Е .-. )+Е( Е .-. ) t=i v k=\ t=\ v k=\ t=l V k=n+a +l 3.2 Усиление общей теоремы при некоторых ограничениях = 2BtR{t,m2,...,mi] n + a ) + CtR{t,m2,... ,mi\n + a") t=i t=i t=i -/=0/+1 v Слагаемые ( 7й(т2 ""т,;П + 7) принадлежат требуемому в утверждении леммы пространству по предположению индукции. Так как В\ + С\ = 0, то J2BtR(t, m2,... ,777/577 + с/) + J2 ctR(f Є /Co((max(m/1,77//),777-2, , /), а , a")? а при 7772, ---,1111 1 это выражение также принадлежит и пространству /2o((max(m/1, т/), 7772,..., т/), с/, а"), что и завершает доказательство леммы. Лемма 3.7 Пусть ci\}С12, / - целые неотрицательные числа, такие что а2 + (5\ а.\; щ}и2} - - - ,щ - натуральные числа. Тогда для любого натурального щ выполняется равенство —— Y, R(u2,...,ui;n2 + a2) v n2=l E R(ui,u2,...,ui;ni + «i) + /(ni). (77i +«i)Ml где f Є /Co((iii,it2, , it/),o;i, «2 + A); a константа E зависит только от (u2} ,иі) и а2. Дополнительно, если Uj 1 при j 2, то f Є 0((Wi,W2, . . . ,W/),Q!i,Q!2 + A) Доказательство. Левая часть доказываемого равенства может быть представлена в виде ni+a2+/3i L = 7 , W X R(u2,...,ui;n2) (77i + ai)Mi 3.2 Усиление общей теоремы при некоторых ограничениях Учитывая неравенство 0:2 + / ъ имеем Пі+а2+/3і Пі+СКі Пі + а2+/3і «2 Е =Е+ Е -Е П2 = «2 + 1 "-2 = 1 П2=Пі+аі + 1 «-2 = 1 Если 02 + /Зі = Оі, то вторая сумма отсутствует (или можно считать, что она равна нулю). Отсюда ni+a2+/3i ur,n2j L=R(ui,u2,...,ur,ni+ai) + -—-—— R(u2,... 11 (m+ 01)-1 n2=ni+ai+l 1 a2 7 , W S Л(М2 Ul П2) (rii + Oi)Ml n2=l Обозначим не зависящую от ri\ и Oi константу Ylnl=i R(u2i }Щ] п2) через Е. Осталось заметить, что к слагаемым -R(u2,... ,ui;ni + a[) (Пі +Оі)мі при Oi + l а[ 02+/Зі можно применить лемму 3.6. Лемма 3.7 доказана.
Лемма 3.8 Пусть (5j, j = 1,..., I — 1 w pj Pj, Tj, j = 1,..., I - целые неотрицательные числа, причем рj+i + /3j Pj длл любого j = 1,..., / —1; Ді(ж), ..., Я/(ж) - рациональные функции от х, причем I(Rj) 0. Яо-люса Rj(x) сосредоточены в целых точках на отрезке [—Pj} Pj] и кратности полюсов не превосходят Tj.
Кратные интегралы для линейных форм
Очевидно, доказательство этой гипотезы полностью бы решило проблему арифметических свойств значений дзета-функции Римана в целых точках. В частности, из этой гипотезы следует трансцендентность чисел (2п+ 1). Однако она до сих пор не доказана и не опровергнута.
Трансцендентность (3) или иррациональность ((2п + 1) при п ^ 2 пока не доказана. Однако после Апери, с помощью различных обобщений, были доказаны интересные результаты. Отметим, в частности, результат Т. Ривоаля [41] о бесконечности размерности линейного пространства
Ситуация с числами ((2п + 1) намного более сложная. Проблема арифметических свойств этих чисел поднималась еще в 1934 г. А.О. Гельфондом (см. заключение в [4]). Существует
Гипотеза. При любом натуральном п и для любого ненулевого многочлена Р(хо,.. . , хп) с целыми коэффициентами верно Р(тг,С(3),С(5),...,С(2п + 1)) 0. Очевидно, доказательство этой гипотезы полностью бы решило проблему арифметических свойств значений дзета-функции Римана в целых точках. В частности, из этой гипотезы следует трансцендентность чисел (2п+ 1). Однако она до сих пор не доказана и не опровергнута.
Первый шаг в изучении дзета-функции в нечетных точках сделал в 1978г. Р. Апери [27], доказав иррациональность С(3). Вкратце, его доказательство заключается в том, что строятся диофантовы приближения к С(з), unC{S)-vn, n = 0,1,2,..., (1.1) где для ип и vn выписываются явные формулы, из которых следует, что ип Є Z и D vn Є Z (через Dn обозначено наименьшее общее кратное чисел 1, 2,..., п). При этом справедлива оценка
При / 3 справедливо неравенство «! + + (ii-x -(I- 3)n -ai (l- 1)п - (I - 3)п = 2п (/ - 2)п, поэтому в качестве /і можно выбрать -D(/_2)n- При / = 3 «! + + «/_1 — (I — 3)п — «/ = СХ\ + «2 — «з п + «1, поэтому по лемме 4.3 можно выбрать Лемма теперь полностью доказана. Рассмотрим подробнее случай / = 3. Значения XQ и г будут следующими: ж0 = 1/ /2, т = (\/2-1)4.
Можно заметить, что главный асимпотический член /з(1) такой же, как и у приближений Апери (см. (1-І))- В действительности, они совпадают с точностью до постоянного множителя. Покажем это. По теореме 4.1
Левая часть является целым числом, а прип 7 правая часть меньше единицы (Dn Зп для любого натурального п), следовательно г = 2г п- При п 7 числа vn и г можно вычислить явно и проверить то же равенство. Теорема доказана. Рин доказал теорему 4.2 с помощью равенства интегралов 7/(1) и (1.3), используя замену переменных интегрирования.
К сожалению, уже при / = 4 интеграл Рина / (1 - (1 - ДЗ(1 - з)" f+2(1 _ 7[од]4 (1 - жіж4)п+1(1 - ж2ж4)п+1(1 - ж3ж4)п+1 недостаточно мал, чтобы доказать какой-либо арифметический результат. Действительно, в этом случае значения XQ И Г следующие: 2Л /V7 QA4 17-1 (5-V17)2(V17-3)z = : , г = 17-I)4 Знаменатели коэффициентов делят Р)\п-, чья асимпотика In D\ = 8n + о{п)) п — оо,
Он доказал, что при некоторых ограничениях на параметры, этот интеграл равен интегралу Барнса, который обобщает некоторые конструкции линейных форм от значений дзета-функции. Далее, в духе сведения интегралов типа V(z) к интегралам типа S(z), мы докажем аналог теоремы 2.1.
