Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Элементарные расслоения 7
I. Предварительные сведения и редукционные соотношения 7
2. Серия /fi (і) 15
3 . Серия 4. Геометрия M.z(^[i))yi монады 37 ГЛАВА II. Составные расслоения 47 5. Серия Sfi+4tfl(i) 47 Литература Введение к работе Пусть С- поле комплексных чисел. Векторное расслоение над схемой X конечного типа над С есть локально-свободный когерентный пучок на X. Всюду в дальнейшем будем рассматривать случай X — Р_. Если Е - векторное расслоение на Р_ и ЖР_,Е) гло-бальное сечение Е, то S определяет отображение Оро"^*" Е. Применяя функтор Ногп(#, Орд) получаем отображение Ev-^-» 0р3, образ которого - пучок идеалов D в 0р3. Соответствующая замкнутая подсхема У в Р_ называется схемой нулей и обозначается (S )о. Нас будет интересовать информация о схеме модулей расслоений на Р3 ранга 2 с дополнительным условием стабильности, или, что эквивалентно, отсутствием глобальных сечений у нормализованного расслоения: fi Проблема описания схемы модулей для расслоений даже на простых многообразиях остается открытой. В случае Рп вопрос о существовании схемы модулей для стабильных расслоений ранга 2 был рассмотрен и положительно разрешен Маруямой [13 ] . Явное геометрическое описание схемы модулей для стабильных расслоений в первом нетривиальном случае Р^ было- дано Бартом [ill для Cj s 0 и Хулеком Гі2І для Cj « -I. В случае PQ, даже при условии, что ранг расслоения 2, кро-ме примеров, демонстрирующих приводимость и несвязность многообразия модулей Mp^Cj, Cg), фактов о его структуре общего характера (число компонент, приведенность, рациональность и т.д.) неизвестно. П.Вевер [ю] и Барт [4J описали случай Mg(0, I), причем в [iOj получено точное описание схемы модулей в виде F3 компакти- фикацией по квадрике Плюккера, соответствующей стабильным когерентным пучкам. Хартпюрн и Стрэмм-Эллинсруд описали, как выглядит схема модулей для стабильных расслоений ранга 2 в случае Cj = О и Ср = 2 и 3, Известно также описание схемы модулей для Мр(-1,2) вместе с компактификацией, Хартшорн-Солс [9 J . К сожалению, методы изучения этих случаев фактически несут информацию о специфике этих конкретных примеров. Далее, известно, что для достаточно больших #, нуль сечения S^H^Pg» Е.( п)) будет в общем случае неособой алгебраической кривой в Р3. Имея определенную информацию о кривых этого класса, т.н. дробно-канонических кривых, можно переносить эту информацию на расслоения с помощью стандартных приемов [б] . К сожалению, проблема классификации кривых в Р , в частности, выделение инвариантов, разделяющих семейства, находится в весьма неудовлетворительном состоянии - поэтому переход на язык нулей сечений есть только переформулировка проблемы. Однако, используя семейства кривых в Р_, достаточно четко описываемых своей конструкцией, к при- меру: нули сечений расслоений с описанной схемой модулей, полные пересечения, их неразветвленные накрытия и т.д., можно с успехом выделять в схеме модулей стабильных расслоений на Р_ ранга 2 це-лые неприводимые компоненты. При этом важную роль играет понятие спектра для стабильного расслоения ранга 2 на Р , введенного Бар-том-Оленсвейгом [8J для Cj = 0 и Хартшорном для Cj = -I [ij . Предполагая для простоты Cj ~ 0 (хотя все сказанное ниже дословно переносится на нечетный случай с соответствующими поправками на спектр), напомним, что согласно [в] расслоение Е однозначно определяет последовательность целых чисел - спектр расслоения Е: К ={/( со свойствами: ґ- KCz/z^... +- Ki^-ki =0= ki < ^^...^^сг/г С2 - четное нечетное Эта последовательность имеет длину С2 и обладает двумя важными свойствами: Симметрия: она выражается фактом: -КX.если К% (Это отражает автодуальность /: 7— "v) Связность: Kj+i^: Kj + i для всех J^4, если С<> - четное, соответственно J-0? если Со - нечетное. (Это отражает стабильность Е). Основное значение спектра У для расслоения Е заключается в следующем: если К - расслоение на Pj ранга С2: то для любого l>0 H1E(1-L)- И(К(-і)). Таким образом, размерности определяются спектром V. Далее всегда о(к будет обозначать число вхождений К в спектр, a JC - положительную часть спектра с нулем. Традиционная методика описания схемы модулей Mo^Cj С2) состояла в выписывании всех возможных спектров для фиксированного С2 и тщательного анализа на языке монад или кривых каждого случая. Таким образом были составлены экспериментальные данные Барта для Cg s I * 8 [з] . Прогресс при таком подходе оказывается затрудненным из-за перемешивания различных по своей геометрической структуре случаев. Гораздо плодотворнее представляется подход, заключающийся в фиксировании конкретного спектра и изучении свойств серии расслоений с таким спектром, если последний фактически реализуется. Одна из наиболее трудных проблем классификации расслоений на Р заключается в описании "разрешенных" спектров. Цель этой работы заключается в попытке выявить как конструируются произвольные существующие спектры из некоторых простых (элементарных). Имеющиеся к настоящему времени сведения, обобщающие большое количество экспериментальных данных и отдельных результатов, позволяют сформулировать следующую гипотезу: (Г) Пусть J(+= О А \ .. К-1 *"' К К " спектр расслоения Е, Тогда либо всегда о^-0^:-*/ (К^ 1>0)р либо существует 0<С< К у начиная с которого с^_^_^ = оС^_^~ і (--/ Иными словами, кратности в спектре, вообще говоря, не могут уменьшаться справа налево, за исключением серий, где они уменьшаются с некоторого места строго на I до нуля включительно; Далее, всякое известное в настоящее время семейство стабильных расслоений определяется архитектурой своего спектра, хотя вопрос об инвариантности спектра при деформации расслоения до сих пор остается открытым. Точно также пока нет общего доказательства (Г). Примеры, опровергающие (Г) пока неизвестны. В диссертации будут рассмотрены несколько серий, подтверждающих (Г) в ряде случаев. Все сказанное равным образом относится и к случаю Ст = -I с соответствующими поправками на симметрию спектра. Мы формулируем и в ряде случаев доказываем аналогичные утверждения для нечетного случая. Отметим в заключение, что размерности всех описанных к настоящему времени компонент имеют либо квадратичную, либо кубическую асимптотику по Cg, точнее по К - хвосту спектра. Линейный случай реализуется пока лишь инстантонными расслоениями, спектр которых состоит из нулей. Инстантонные расслоения при нашем подходе относятся к элементарным и требуют другой техники для изучения структуры многообразия модулей. Отметим только, что известные сейчас результаты о структуре таких расслоений для С*> « 2, 3, 4 можно успешно использовать для конструкции составных расслоений. Автор выражает глубокую благодарность А.Н.Тюрину за внимание к работе и ценные замечания. Стабильность / следует из точных последовательностей (а) и (в). В дальнейшем мы убедимся, что редукция элементарных расслоений исчерпывает все возможные случаи ( &1Кг Къ ) в Р_. Точные после О довательности (а) и (в) легко позволяют вычислить спектр Р в терминах /. Это будет сделано в каждом конкретном случае (fc ). 5. Напомним в этом пункте теорему Римана-Роха для рефлексивного пучка F ранга Z на Р: Таким образом, если Е векторное расслоение ранга 2, то В этом параграфе будут исследованы модули стабильных вектор ных расслоений ранга 2 на Р с Cj(E) = 0 принадлежащих классу dfzrit/ для L- (- Методика исследования для произвольного I полностью повторяет этапы работы описанного случая. Основной результат содержится в следующей теореме. Теорема I. Многообразие модулей стабильных двумерных векторных расслоений на Р с Cj = 0 и спектром: неприводимо, рационально и неособо размерности Замечания. I. Легко видеть, что мы получаем компоненту схе мы с фиксированным спектром X , т.е. 2. В "Экспериментальных данных" Барта [3J и работе Харт-шорна Tlj были использованы расслоения этой серии для = I и С = 2к + I с целью демонстрации существования компонент схемы модулей с отличным от нуля значением л спаЬ и, следовательно, числом параметров большим 0CZ Э . См. по этому поводу (2=1) также [б] , где использовалась монадическая интерпретация. 3. Метод спектральной кривой [7] также позволил описать случай 2 = 1. Спектральная кривая, т.е. кривая,параметризующая прямые подскока через достаточно общую точку Р0, возникающая при этом, есть неособая плоская кривая степени 2к + I с тэта-характеристикой изоморфной 0с(к - I). Для I, однако, спектральная кривая имеет особенности, информацию о структуре которых, пользуясь техникой [7] не получить. Напротив, результаты,полученные в этом параграфе можно использовать для выяснения структуры спектральной кривой при Y , которая также как и при t- і будет изоморфна полному пересечению типа Vg Zt+X-E. но с тэта-характеристикой, отличной от Ос (fc- у. Поскольку для доказательства теоремы I эта информация не нужна, мы не доказываем эти факты, ограничившись формулировкой, которая помогает понять единообразие геометрической структуры всех расслоений со спектром t . Доказательство теоремы I будет вытекать из следующих лемм. Лемма I, Структура спектра определяет морфизм / ; _MZ (0t 2к +2Є-Є2) — РН0Ръ (), Доказательство. Обозначим РНОр (і.) - проективное пространство форм степени через Р, Очевидно, достаточно, пользуясь спектром Z » указать форму І Р. Такой формой будет единственная нестабильная в смысле определения 2 поверхность в /3 порядка К-с+1=Х. и степени с . Действительно, рассмотрим произведение Р / и в нем дивизор инцидентности2? . Пусть р и О - естественные проекции на /j и соответственно. Пользуясь резольвентой: о—оР(-тоРз(-г) оРКРъ — oz— о i а также автодуальностью Ь и двойственностью Серра, легко видеть, что многообразие нестабильных поверхностей порядка К-есть носитель пучка /\ д р /:(-3). Резольвента (I) дает точную последовательность когомологий: поскольку fizF(/c--5)=fiT(--i)= /, /jzfc-e-з)- fi tf+e-fi то очевидно, что носитель R Q / ( 5) есть пересечение fi f- ic- i+t) гиперплоскостей в Р. Пользуясь основным свой ством спектра: fi { /С+-/)= у, (-+.) вычисляем &(-- 4+е.) = + (+)+ (Є-4+Є- і+ Є_-1) + Если теперь Su.ppf\o p (f-3) имеет положительную размерность, то существует пучок нестабильных поверхностей порядка К-Ограничивая соответствие инцидентности на пучок, имеем резольвенту: o- o (-№ о„г (- /)- % XPf- o- o Здесь 2J=2- I р где Pf - база пучка. Пусть р и О - огра ничения на 21 проекций р и О . Имеем тогда точную последо вательность: В силу равенства /) (--4) = 4 имеем Cf р (-k+-1)-Ор Отсюда следует, что Cf р Ор (4) имеет гло бальное сечение. Но поскольку пучок р Ор (-)$&С} Ор (l) QOy? есть пучок идеалов исключительного дивизора, мы получили глобаль ное сечение для Условие + / дает неравен ство Z-f-K 8 . Таким образом, если A(Z-/с У)-0Р то не стабильная поверхность степени с порядка к-+4 в точ ности одна и морфизм однозначно определен. Чтобы убедиться в занулении достаточно в силу непустоты Ьирр К(?хР (к 5) произвести редукцию по нестабильной повер хности V" (п.З. I). Многообразие модулей стабильных двумерных векторных расслоений на Р3 с С1=0 и спектром: неприводимо, рационально и неособо размерности . Замечания. I. Легко видеть, что мы имеем компоненту из А2(0,( )г-2Єг)І т.е. C2(F) = (k )Z-2l\ Расслоения этой серии для значений 1=1 /c-Z т.е. Cz = 7 имелись в работе [ 2 J в качестве примера, демонстрирующего наличие расслоений с отличным от нуля значением ь сиаЬ Структура многообразия модулей, однако, там не изучалась. Доказательство теоремы 2 будет вытекать из следующих лемм. ti. Лемма 6. Структура спектра определяет морфизм i: Mz (of fcH)-2lz) f Gt(f? РИ0Р ( +/-)) Здесь есть многообразие Грассмана прямых в проективном пространстве Доказательство. Очевидно, достаточно, пользуясь спектром указать прямую из проективного пространства РНОр (j+J-1). Пользуясь основным свойством спектра видим, что "(-К- y-Y. Вычисляя п?(-) имеем Нетрудно заметить, что это есть просто А0/ (+4-6.)- 2 Полагая сейчас Р= PHOf (fc-i+yу рассмотрим прямое произведение fz х Р Пусть 27 - дивизор инцидентности, р-o.Z! 9, Р естественные проекции. Резольвента 2 : индуцирует точную последовательность на Р: НЇа-іНбОгИ- Н Е(-Ъ)0Р — Я.г Р Е7(к-ъ)- 0 Очевидно, пользуясь двойственностью Серра, что иррА у р (. 3/ есть многообразие нестабильных поверхностей степени /:-с +S порядка .: fiEv(-i)tD. Применяя равенство /1 (-)=/!о0р (&-/-) 2 и двойственность Серра иа vt ,/_ , видим, что нестабильных поверхностей степени -+/ порядка 8. не менее, чем пучок в Р? учитывая изоморфизм Н /Г(- 5J - Н Е ( - у Зафиксируем теперь один такой пучок из и ограничим на него ZJ И морфизмы р и Cj . Если р и о ограничение морфизмов р и о на г и Z/ = р то резоль вента: дает точную последовательность: Поскольку &Е (--Y) = J} то p (-)?= Op / Это означает, что P (-)$$Q Op (і) имеет глобальное сече ние. Но в силу того, что р Ор (-K+i-jfacj Op (і) С= есть пучок идеалов исключительно дивизора, мы получили глобаль ное сечение Отсюда следует, что если -214-/)- /7 то имеет в точности один пучок нестабильных по верхностей степени /С- / порядка и морфизм "t одно значно определен. Лемма 8 дает равенства и fi(ic- 2 о = О, что и завершает доказательство леммы о. Расслоение называется общим в смысле модулей, если прямая -L(E) С-? РН"Ор (ft- f-P) не пересекает пространство приводимых форм. Очевидно, для доказательства теоремы 2 достаточно рассмотреть слой морфизма для общих расслоений В\ Лемма 7. Слой морфизма t есть неприводимое, неособое, рациональное многообразие. Доказательство. В силу равенства Afr-2) =0 (лемма 8), сечение 5 Є Н(-2Е+-/) обращается в нуль вдоль кривой 2: , являющейся локально-полным пересечением в /j степени 2 (к-+4) со свойством 0Е (2t- /-2) - 4 уГіЦЄ г w зирующий пучок на/. Имеем стандартную точную последовательность: 0- Огъ -1- (ь-2+і) — У (2- е+2}- 0 Ограничим сечение 3 на любую нестабильную поверхность пучка. Получим Sv Q /-/ fc-2+/). Поскольку ограничение на Vje-+y представимо в виде: то, в силу равенства п Lv (-)=/, 3V получается умножением единственного сечения v (-Е.) на сечение пучка Ov (-1+у. Отсюда следует, что носитель Z есть полное пересечение i0-VK_+j K__+J - Учитывая изоморфизм bJz-Oz (Zfc- f-Z) и сравнивая степени, видим, что j? есть структура кратности 2 на полном пересечении "V , +y K + 1 Пользуясь теоремой Феррана [2J , видим, что пучок идеалов Jg есть ядро сюрьективного отображениям: - о- (9?где Х-Ш (-2іс+И+2),%-\_е Поскольку Шх - Ок (ZK 2-2) имеем точную тройку Отображение редукции дает точную последовательность: на Л . Замечая, что LL факторизуется через О (-К-і-І-У)і легко видеть, что if определяется точкой проективного пространства Таким образом, схема Гильберта/-/ замкнутых подсхем Z- - /2 описанного типа изоморфна открытому подмножеству проективизации некоторого векторного расслоения ранга Z Oxf/t++у на Qz(j Р) У следовательно, J i неособа, рациональна и неприводима размерности Наконец, при фиксированном 2Г расслоение Е! будет однозначно определено элементом у й C)clY/ Jg f/t--f-Y),Of J — HOz с точностью до константы. Значит над каждой точкой J-f имеем еще расслоение со слоем РН0 . Теорема 1о_т Многообразие модулей стабильных двумерных векторных расслоений на / с С1=0 и спектром: неприводимо, рационально и неособо размерности 6 fc -f- flic S (Сг ЧК і)_ Доказательство Іот в точности копирует основные рассуждения теоремы I, с той лишь разницей, что вне квадрики изоморфно Ор (- У/ Up ( і J Тем самым, имеем для такого Е7 PfElJ) - / и всякое такое сечение есть задание структуры кратности 2 на полном пересечении Vz в R. и изоморфизма frj/SJ - Оґз) ( 2-) . Учитывая это, рассмотрим морфизм f : где і - I, 2 и Р - РН Ор (2) - пространство квадрик в /3 Имеем каноническую фильтрацию в / : где Af - квадрики с особой точкой конуса в Р3 степени 2), А 2 - пары пересекающихся плоскостей и А - двойные плоскости. Следствие 2 и I специализируются следующим образом: если (E) Г / Д 2 то Ь представляется расширением: где для L = 2, C-Cf + С2 - несвязное объединение полных пере сечений типа У? 2к и чс+ ( Ic+J и №Я і - I типа 2 1к " чс іс+г и монадами: (-4) — (К- /, О, 0} Y-) - fc+Y) ( і = 2) Заметим вначале, что вырождение квадрики в конус, очевидно, не выводит расслоение из класса общих, а отражается в следующем. Лемма 9. Если конус является нестабильной квадрикой, то любая образующая его есть прямая подскока для 6\MZ ($ (ф 1=/,2 Доказательство. Пусть -f(E) ЄАГ Лг и /? - образующая конуса. Тогда имеем точную последовательность на Умножая тензорно на Еу. (- к) у имеем Расслоение Lp () имеет вид Dp(l-)QBOp (-Ъ-к) 3 где Z О по общей теории [2 J . Поскольку /)у- (-/с)- / по определению У, имеем точную последовательность Отсюда f)0р (Z-jt) -/ и, значит /Г » а поскольку к 0 видим, что конус заметается прямыми подскока. Это доказывает лемму. По общей теории ["4 J , конус прямых подскока в точке X Р-, имеет степень CZ(E) и неприводим в силу стабильности для достаточно общего и точки Хб / Таким образом, расслоения /Съ iv с J(F)(:& &z обладают свойством: существует точка Хб/ такая, что спектральная кривая [7] , соответствующая точке X распадается на конику и кривую степени С2 2. Очевидно, что такая точка только одна для -Мг ( /ъ (i)j . Пусть теперь Тогда /(")= 1 4 , где (і С РНОръ (-/). Лемма ДР.. Если /() = в т0 Дна из плоскостей с (с - I, 2) стабильна для Е М-г ( (l))t Доказательство. Мы предполагаем, что /(/ 6 Az Аъ т.е. плоскости различны. Предположим, что е (-)-/ и fie (-/)=/. Тогда проводя рассуждения, аналогичные изложенным в лемме I, для соответствия инцидентности%- Ръ где / - дуальное к / пространство, получим, что наличие пучка нестабильных плоскостей для эквивалентно наличию сечения у Поскольку fi ( +j}= Q то пучка нестабильных плоскостей не существует. Это значит, что размерность пространства нестабильных плоскостей у может быть только 0. Отсюда следует утверждение, ибо нестабильные поверхности параметризуются проективным пространством. Таким образом, (-jc) Y и Ее 0 гДе неста бильная плоскость в дальнейшем имеет индекс I, для ЕМг( ъ(0) такого, что J() = + tz Канонический выбор, согласно лемме 10, нестабильной плоскости в разложении jf( ) -6. f- Cz (обозначаемой ниже в, в предположе нии, что /(fj6A2\A3) и редукция EQKf(flU)) по ef дает морфизм на J4-Z(JF(L)) где J]i2(JF(L)) есть мно гообразие модулей стабильных рефлексивных пучков ранга Z на / с характеристическими классами (-/ 3 4 -е + z) и спектром }F(2)=-K4rf..-i -01...lc-2 (с-г) и Н к-Ґ к+і&і) и спектром /FW --- t-K2 ...-i04... / 2 (С = і) . Спектр таких рефлексивных пучков имеет следующий вид: 1=2 L= t / ч; . / \. -ы к-1 -Л Структура спектра / гарантирует наличие нестабильной квадрики, согласно лемме I. Поскольку неизвестно, есть ли пучки такого типа с неособой нестабильной квадрикой, мы обозначаем образ морфизма через №2 ( lp(i)j и опишем семейство таких рефлексивных пучков, у которых нестабильная квадрика приводима. Лемма II. Семейство рефлексивных пучков типа JF (і) с приводимой нестабильной квадрикой неприводимо, рационально и неособо размерности 4КЇ+Зк+Ю (с = 2) и. г+7к+5 (c = s). Доказательство. Пусть J4.Z( {(l)) и Сг({Г) =2/:-/, Рассмотрим сечение Ен(+і} где Н - плоскость в / » отличная от J() Используя теорему 6.1 из flj, легко убедиться в равенстве: ft1 [ic+ -1)-0. Сечение $ 6N(t-hj) дает отображение Ор — ( +-/). Дуализируя, имеем сюрьективное отображение н— У (t+i) гДе № - множество нулей сечения S . Многообразие модулей рефлексивных пучков с характе ристическими классами 1-і к.+2, +2Jt+Zj и спектром }F =-K-irl-L+i)..r2-i-i неприводимо, рационально и неособо размерности к. + Є/С.+ І2 Доказательство. Рассмотрим стандартную точную последовательность 0- Ор2 — rfc+i)- Эс (2ы--/)- 0 (is) где C (s)0 S GHF ( h ) - нуль-корреляционное расслоение, т.е. точка , где ь - квадрика Плюккера. Элемент 6 НОс (і) определяет тогда рефлексивный пучок Г с характеристическими классами и спектром,указанными в лемме. Нелокально-свободные точки высекаются нестабильной плоскостью на нуле -нуль-корреляции уровня / /. Отсюда, в силу рациональности и неосо-бости многообразия модулей расслоений fa(o) flOj , очевидным образом вытекают неприводимость, рациональность и неособость предъявленного расширением (18) семейства рефлексивных пучков. Число параметров есть к} +5іи+і2 . Вычислим теперь fi t (F? Fj Применяя к (17) функтор Ио/п( F) имеем точную последовательность: Р- НомС Г, Fj— Hom(F (-i)} F)-+ i t Ч\н ("M)3 F)- ht (Ft F) В силу стабильности, Для вычисления используем точные последовательности: о- угм Он (-к--/)- oz —о О —»0Ръ (-к-г) — 0Ръ (-с- і) — 0„ (-к--/)-0 Принимая во внимание точную последовательность (/S ) , а также стандартную тройку для нуль-корреляции: I и формулу п.5. I, зная, что 8 ( + )-0 [ ЮJ имеем окончательно Yy / - rj-r f j-r )- б . Для подсчета t/L/om(F (- )) FJ вспомним, что всякая нуль-корреляция 76_М.г(0 1) представима в виде расширения где С - несвязное объединение двух прямых в / . Имея точную последовательность : о- Ур ц оРъ +Оъ ВОР1— 0 и предполагая, что Flp -Op (-i)Op , что всегда можно сделать за счет выбора подходящего сечения;и применяя Нот О, Г) к указанным двум точным тройкам, нам остается воспользоваться двойственностью Серра для рефлексивного пучка F [I] , которая дает точную последовательность: 0-+Н П-Ъ)- НТ- H ftxt "(F, ш))- нгР(- 3)- HYfho ТО А ЛГ I h h ) - к2 дует утверждение леммы Имея спектр Г подсчитываем отсюда fi F=Z. Поскольку t СУ .м (-K i)7F)=Oj то 7/ = /: 5 + -/2. Отсюда сле Слои морфизмов Z и Р легко описать. Мы опишем слой р Лемма 17. Слой морфизма р есть неособое, неприводимое мно гообразие размерности Зкг+Юіс-і-&. Доказательство. Из точных редукционных троек (16) и (17) следует равенство fi0F(i]=0 и /Г(2) = Є. Значит любое сечение $ G НЕ(2) дает точную последовательность: где "Z - одномерная схема в степени Z ic+& плюс изоморфизм . UJgOrOg , где (А) - дуализирующий пучок i? . (16) и (17) дают изоморфизм Ё(2) и (i) вне нестабильной плоскости О . Отсюда следует, что вне плоскости f () z? состоит из пары пересекающихся прямых. Ограничивая S на р(Е) и пользуясь определением нестабильности, заключаем, что любое сечение „(2) есть умноженное на форму степени 2 единственное сечение EJH ( к) . Таким образом, Sf зануляется вдоль кривой степени /с+2 на Н . Сравнивая степени, заключаем, что нуль (SH)Q г? есть структура кратности 2 на полном пересечении C-V/ 2. в Ъ вместе с изоморфизмом k/ Hi O(s L Обе прямые в силу изоморфизма CJ jp Op пересекают удвоенную кривую С . По теореме Феррана [2] структура кратности 2 на C-Y/ 2. определяется ядром эпиморфизма и: который факторизуется через Ос( "f)Oc( 2) . Векторное прост ранство таким образом, параметризует все такие структуры. Неприводимое, гладкое и рациональное много образие, параметризующее схемы: Z-Z /? / 9 где zf /7/f Фу [ ПР -ф f }4 H f$ 4 H 2?? - схема кратности 2 на неособой плоской кривой Сс Н степени /г- 2 с изоморфизмом 2 0-% вместе с расслоением, ставящим в соответствие любой точке этой схемы про 53 ективное пространство Р(C/.V {У (4)?Ор )r P(HOz) есть слой мор-физма р. Легко подсчитать его размерность, пользуясь точной последовательностью.Серия /fi (і)
. Серия
Геометрия M.z(^[i))yi монады
Серия Sfi+4tfl(i)
Похожие диссертации на Компоненты многообразия модулей стабильных двумерных векторных расслоений на P3
