Коммутативные подалгебры квантовых алгебр Зеленова Софья Анатольевна

Матричные алгебры

Пусть q - обратимый элемент основно го поля к. Одпопараметрической алгеброй квантовых матриц пхп (см. [25]), обозначаемой Oq(Mn(k)), называется алгебра, порожденная элементами X{j для i,j = l пи определяю щими соотношениями Обобщением матричной алгебры Oq(Mn{k)) является многопараметрическая алгебра квантовых матриц пхп (см. [7, 25]), обозначаемая 0\,р{Мп(к)), где Л Є к , и матрица Р — (р ) Є Мп(к ) - мультипликативно антисимметрична. Эта алгебра задается порождающими Xjj для г, j = 1,... ,п и определяющими соотношениями Однопараметрический случай получается, когда Л = q 2 и Pij = q для всех і j. D Алгебра квантовых матриц возникла в теории квантовых групп как частный случай алгебры, являющейся универсальной кодействующей на некоторое семейство алгебр S (см. [7]). В случае Ох)р(Мп(к)) семейство S состоит из двух алгебр: где Q = (qij), Р = {pij) - матрицы параметров, удовлетворяющие соотношениям Конструкция универсальных кодействующих алгебр была введена Ю.И.Маниным в конце 1980-х годов (см. [7, 37]). Пусть G - некоторая связная комплексная полупростая алгебраическая группа. Если к - поле характеристики не равной двум или трем и q Є А: , то определена (см., например, [25, глава 1.7]) fc-алгебра Oq(G)k однопарамерическое квантовое координатное кольцо группы G (его &-форма). ТЕОРЕМА 1.3.1. 1) Кольцо Oq(G)k как к-алгебра порождается элементами щ,..., ит и определяющими соотношениями для всех 1 j г т при некоторых коэффициентах 2) Коэффициенты qij являются целыми степенями элемента q Є к . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. См. [25, теорема 1.8.16, теорема 1.8.18]. Квантовые алгебры Вейля естественным образом возникают в теории некоммутативных дифференциальных исчислений на квантовых группах (см. [6, 7]). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4.1. Пусть q = (gi,...,gn) кортеж ненулевых элементов поля к и А — (Xij) - мультипликативно антисимметричная матрица.

Пусть \х = \ijqi при 1 г j п. Квантовой алгеброй Вейля А%А(к) называется ассоциативная алгебра над полем к, задаваемая 2п порождающими с определяющими соотношениями: Некоторые свойства тел частных квантовых алгебр Вейля изучены Ж. Алевым и Ф. Дюма в работах [18, 19, 20]. В начале дадим несколько вспомогательных определений. Через cr(v) будем обозначать сумму элементов целочисленного кортежа v = («і,..., vn) Z": ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Определим отношение порядка -/. на множестве Zn. Положим и = 2) cr(u) = a(v) и существует такое j Є {1,...,п}, что щ = Vi для всех г = 1,... ,j — 1 и itj Vj. Кроме того определим на множестве Z" порядок Уц., полагая и = (щ,..., ип) Уцш (vi,..., vn) = v для UjVGZ", если выполнено одно из условий Иными словами мы сравниваем кортежи из Z" по сумме их координат, а в случае равенства этих сумм порядок - ;. совпадает с лексикографическим, а порядок - ц. - обратен лексикографическому порядку. Все дальнейшие рассуждения применимы как к порядку - /., так и к порядку - -./., поэтому мы не будем рассматривать каждый из случаев отдельным образом и будем употреблять для этих двух порядков общее обозначение - . ЛЕММА 2.1.2. Упорядочение - обладает следующими свойствами: З,) б Ng we существует бесконечной убывающей относительно - цепочки. 4) Зафиксируем элемент d Є Щ. Пусть подмножество М С Щ таково, что v d, для всея v Є М. Тогда М -конечно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Равенство а(и +1) = o-(u) + r(t) выполнено для всех кортежей u, t. Если же t - ненулевой элемент Щ, то cr(t) 0, т.е. а(и +1) = o-(u) + a (І) а (и). совпадают для всех г = 1,..., j — 1, а между j-ми элементами этих кортежей выполнено такое же неравенство как и между j -ми элементами кортежей и и v. В случае 0"(и) сг(у), верно соотношение cr(u+t) = a(u) + j(t) cr(v) + cr(t) = cr(v +1), откуда следует требуемое неравенство. 3) Элементов NQ С одинаковой фиксированной суммой координат конечное число, поэтому любой элемент Ng имеет конечное число меньших. 4) Будем доказывать искомое утверждение индукцией по п. При п = 1 оно очевидно. Пусть наше утверждение доказано для всех натуральных чисел меньших п. Фиксируем первую координату i i кортежа v. Поскольку v : d, то J(V) cr(d). Поэтому cr((v2,..., vn)) "(v) предположению индукции таких кортежей (i 2,..., vn) конечное число. По условию все координаты кортежа v неотрицательны, откуда v\ cr(v). Таким образом на первую координату кортежа v накладывается условие 0 v\ cr(v) cr(d), то есть вариантов для v\ также конечное число. Лемма полностью доказана. ЛЕММА 2.1.5. Зафиксируем элемент d Є Щ. Пусть подмножество М С Z" таково, что v d, для всех v Є М. Тог а М - конечно.

Доказательство. Утверждение леммы следует из пункта 4 леммы 2.1.2 и того, что для заданного t Є Щ количество элементов vGZ" таких, что v = t конечно. Пусть к - основное поле, и пусть Л - ассоциативная алгебра без делителей нуля над этим полем. Следующее определение восходит к книге [40]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.6. Предположим, что существует отображение г) алгебры Л в множество Zn, удовлетворяющее следующим соотношениям для всех ненулевых f,g Є Л и а Є к : Далее, предположим, что существует базис 95 = {Ьг }геі ал-гебры Л, как векторного пространства, такой что: N5) если / = Yl Li asbs разложение произвольного элемента / Є Л по базису 95, то 77(/) = max мум также берётся относительно порядка - . Будем называть 77(/) нормой элемента /. D Из свойств N1-N5 нормы сразу вытекает следующее простое утверждение: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу свойства N4 разложение произвольного элемента h алгебры Л по базису 05 содержит единственный элемент базиса, норма которого совпадает с нормой самого h. Поскольку нормы fug равны, то такой элемент базиса у них общий. Обозначим его через 6. Тогда / = (ЗЬ + / , д = аЬ + д , где rj(f ) - 77(/) = t, rj(g ) - 7](д) = t, а а, /3 -ненулевые элементы поля к. По свойству N2: т.е. для линейной комбинации а/ — (Зд имеем: Лемма доказана. Пусть / - произвольный ненулевой элемент Л, и пусть / = ]Cs=i Oisbs - его разложение в базисе 95. Определим отображение р алгебры А в множество Щ, связанное с нормой 77: В дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства этого отображения. ЛЕММА 2.1.8. Отображение р обладает следующими свойствами: 1. p{ctf) = p(f) для всех ненулевых / Є Л и а Є к . 2. Для всех ненулевых элементов f,g Є Л выполнено неравенство р(/ 4- д) max{p(f),p(g)}, где максимум берется относительно порядка - , причём строгое неравенство возможно только при p(f) = p(g). где максимум берётся относительно порядка - . 4- 1 (/)1 p(f) для любого ненулевого f Є Л. 5. Пусть фиксирован кортеж d Є Щ, и М - подмножество алгебры А такое, что для всех f Є М верно неравенство p(f) d. Тогда множество норм элементов М конечно. 6. Мноэюество элементов базиса 05 с фиксированной полунормой конечно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Свойства 1), 2) непосредственно следуют из определения. 3) Из определения отображения р следует, что р(6) = \г](Ь)\ для любого Ь Є 05. Отсюда p(f) = max т7(М = max p(bs). 5) Из 4) получаем ?7(/) p{f) : d для всех / Є M. Для доказательства утверждения теперь достаточно использовать лемму 2.1.5. 6) Утверждение следует из 5) и свойства N4 нормы. Лемма полностью доказана. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.9. Будем называть отображение р полунормой, согласованной с нормой rj, если оно удовлетворяет свойству.

Теорема об алгебраической зависимости

В дальнейшем будем предполагать, что А - некоторая ассоциативная алгебра без делителей нуля, обладающая нормой 77 и согласованной с ней полунормой р. Рассмотрим произвольную подалгебру V алгебры А. Разобьём V на попарно непересекающиеся подмножества следующим образом. Пусть t Є Щ. Через Vt обозначим множество всех тех элементов V, полунорма которых равна t. Обозначим через vt{p) проекцию элемента р Є Л на конечномерное векторное пространство, порождённое элементами {Ь Є Ш р(Ь) = t}. Поскольку образ проекции Vt(V) является конечномерным векторным пространством, в нём можно выбрать конечный базис. Пусть {ЄІ}ГІ=1 - произвольный базис векторного пространства ЩІ Р). Всякую систему {/гг}[=і где Ы Є utl(ei) будем называть базой подмножества Vt- Рассмотрим некоторую базу {Ы} =1 множества Vt- В силу пункта 5 леммы 2.1.8 множество норм элементов ь 11(щ(Ы)) конечно, т.е. мы можем выбрать из множества 1{ {Ы)) элемент с минимальной нормой. Обозначим такой элемент h\. Очевидно, что система {/ К=1 снова является базой Vt- Преобразование {hi}Ti=l - {Л{}І=І будем называть преобразованием базы 1-го рода. Пусть снова {hi}rizzl - база множества Vf И пусть rj(hj) = 77(/1/) для некоторых 1 j I г. Тогда, согласно лемме 2.1.7, найдутся такие ненулевые коэффициенты /?і,/3г Є к, что r](fiihj + (З2Ы) - T](hj). Поскольку система {ei,..., e_/_i, piej + p2ei,..., er} является базисом пространства t("P), то система {hi,..., hj-i, fiihj + /32Ы, ...,hr} является базой множества Vt- будем называть преобразованием базы 2-го рода. УТВЕРЖДЕНИЕ 2.3.4. Существует база {h{Yi=l мнооюества Vt, обладающая свойствами: ( ) нормы hi различны; ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {Ы}\=1 - произвольная база множества Vt. Применяя к ней преобразование первого рода получим базу {Щ}\=ъ удовлетворяющую свойству ( ). Пусть элементы базы {/г?}[=1 упорядочены по возрастанию норм, т.е. r)(hf) Tj(h +i), для всех і = 1,..., г — 1. Если все неравенства между нормами строгие, то {hYi=l - искомая база.

Иначе, существует 2 j г такое, что гі(Щ) - rj(h +l) для г = j,..., г — 1, и 7?(/iy_i) = vih j), поэтому можно к базе { }{=1 применить преобразование второго рода, т.е. элемент Щ_ заменить на элемент Р1Щ-.1+Р2Щ. Далее, снова применяя к построенной базе преобразование первого рода, получим базу {h\Yi=\- Очевидно, что при переходе от базы {h Y=1 к базе {hJY-i изменился лишь элемент с номером j — 1, причем норма его уменьшилась, т.е. rj(h}) - i](h}+l) для і = j — 1,..., г— 1 и rj(hj) - r](hj) для і = 1,... ,j — 1. Таким образом, если переупорядочить элементы базы {/г} =1 по возрастанию норм, то индекс f такой, что r](hj) - T](h}+1) для г = j ,.. .,г — 1 и fl(hy_i) = гі(Щ,), если он существует, строго меньше индекса j. Кроме того, база {/г}[=1 по построению удовлетворяет свойству ( ). Аналогичным образом, применяя преобразования второго и первого рода, получим базу {/г?}[=1, удовлетворяющую свойству ( ), для которой индекс j" будет строго меньше индекса j . Далее, строя таким же образом базы {Л? }=1,... получим базу {/if}[=i, удовлетворяющую свойству ( ), для которой все неравенства между нормами элементов будут строгими, т.е. удовлетворяющую ещё и свойству ( ). Утверждение доказано. Для каждого t Є Щ зафиксируем базу (} множества Vu удовлетворяющую свойствам ( ) и ( ) из условия утверждения 2.3.4. Пусть {Л 1} » { 2}І=І Две такие базы, причём ti t2. ЛЕММА 2.3.5. При любых і = 1,..., тчх и j = 1,... ,rt2 нормы элементов h 1 и h j2 различны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что для некоторых индексов г, j нормы элементов Л 1, /г -2 равны. Пусть для определённости ti Ї2. Тогда по лемме 2.1.7 существует такое ненулевое Рек, что 77(/ 1 + h)2) - ф)2). Элемент h = PhY + h]2 лежит в Vt2- В самом деле, в силу утверждения 2 леммы 2.1.8 p(h) — pifih]1 +h 2) = p(/i -2) = t2, поскольку р(Л ) = ti - t2 = p( j2)- Кроме того, vt2(h) = Щ2{Ь 2), т.е. база {/г 2}г-=і не удовлетворяет свойству ( ), что противоречит выбору этой базы. Лемма доказана. Совокупность элементов баз {/4}=і для всех t Є Щ назовём базой множества V. Будем обозначать эту совокупность В. Предыдущая лемма, таким образом, утверждает, что все элементы базы В имеют различные нормы. УТВЕРЖДЕНИЕ 2.3.6. Всякий элемент из V мооюет быть представлен в виде линейной комбинации элементов базы В. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произвольный элементу подалгебры V. Будем вести доказательство индукцией по полунорме р. Пусть р{р) = t. По предположению индукции все элементы V с полунормой меньшей t представимы в виде линейной комбинации элементов базы В. Поскольку система {/i }] является базой для Vt, то Поэтому p(p — Y%=i aih\) "" P(p)- Далее, используя индуктивное предположение, получаем искомый результат. Утверждение доказано. Утверждение 2.3.6 и то свойство, что нормы различных элементов базы В различны, дают такое простое следствие: СЛЕДСТВИЕ 2.3.7. Норма всякого элемента V совпадает с нормой некоторого элемента базы В. Обозначим через Л/ множество всех норм элементов V. В силу следствия 2.3.7 и того, что В С V, множество N совпадает с множеством всех норм элементов базы В. Обозначим через Лч подмодуль Zn, порожденный множеством ЛЛ Пусть ранг модуля М. равен га. Множество фа лежит в V, поэтому всякий его элемент может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации элементов базы В: Рассмотрим множество фа всех элементов h Є В, входящих в линейное разложение какого-либо элемента п фа-Для любого h Є фа выполнено неравенство: 1=1 Заметим, что, поскольку модуль Л4 имеет ранг тп, то существует Рт Є Ш[х] - многочлен m-й степени от а; с действительными коэффициентами такой, что мощность пересечения М. с множеством элементов Zn, абсолютные значения которых ограничены сверху элементом d, ограничивается сверху значением многочлена Рт от c(d).

Поскольку г](фа) является подмножеством этого пересечения, и нормы всех элементов ФА различны, то Теперь оценим снизу мощность ФАЯ, где ds = sY !i=i РІРІ)-Все кортежи (/і,..., Zm+i) 6 NQ1"1"1, у которых li s для любого і — 1,..., т + 1, удовлетворяют условию 1=1 Количество таких кортежей равно то есть мощность множества d8 ограничена снизу значениями многочлена (га + 1)-й степени где Рт+\(х) - многочлен (га + 1)-й степени от # с действительными коэффициентами. Поэтому, для некоторого ds: Это означает, что элементы множества ФА, линейно зависимы, поскольку являются линейными комбинациями символов h Є ФА, В количестве меньшем мощности ФА,. Итак мы нашли равную нулю линейную комбинацию произведений элементов pi,..., Ртп+i вида р{ ...p +v где степени /г- неотрицательны. Теорема доказана. Пусть заданы попарно коммутирующие, алгебраически независимые элементы gi,..., дт алгебры Л. Рассмотрим множество полиномов от этих элементов. Это множество, очевидно, является подалгеброй алгебры Л. Поэтому к нему применима теорема 2.3.8. УТВЕРЖДЕНИЕ 2.4.1. Существует система pi,.. .,рт многочленов от gi, г = 1,...,га, нормы которых образуют линейно независимую систему. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из теоремы 2.3.8 и алгебраической независимости элементов #1,... ,дт следует, что ранг модуля Л4, порождённого нормами элементов V, не может быть меньше т. Осталось заметить, что если ранг модуля Л4 равен I, то существует система многочленов pi,..., pi, нормы которых образуют линейно независимую систему. Утверждение доказано. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4.2. Элементы 6i, 62 базиса 93, удовлетворяющие неравенству 77((61,62]) - 77(61) + 77(62), будем называть псевдокоммутирующими. ЛЕММА 2.4.3. Пусть два элемента f,g Є Л, обладающие нормами 77(/) = ti и 7](g) = Ї2, коммутируют между собой. Тогда базисные элементы 61,62 такие, что 77(61) = ti и 77(62) = І2, являются псевдокоммутирующими. По утверждению 2.4.1 существует система pi,... ,PN многочленов от элементов 01,..., рлг такая, что нормы pi,... ,PN линейно независимы. Так как ді,...,дя - система коммутирующих элементов, то многочлены pi,.. .,PN попарно коммутируют. Следовательно, по лемме 2.4.3, базисные элементы Ъ\,... ,6дг, где 77(61) = г)(рі),... ,77(&лг) = (PN), являются попарно псевдокоммутирующими и имеют линейно независимые нормы. Теорема доказана. Пусть А - А;-алгебра. Обозначим через С(А) множество подалгебр алгебры А, являющихся коммутативными областями целостности. Следующее определение было введено Реско в [44, 3.1]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4.6. Степень трансцендентности алгебры А над к, обозначаемая tr.deg. (А/к), определяется как Здесь tr.deg. (С/к) означает степень трансцендентности поля частных подалгебры С над к. В терминах данного определения теорема 2.4.5 формулируется следующим образом.

Оценки степени трансцендентности других квантовых алгебр

В данном пункте обозначение - является общим для порядков - /. и - ./.. Пусть Х ... Х{г - некоторая последовательность символов Х\,...,Хп. Если переставить символы в последовательности Хц .Х так, чтобы индексы неубывали, мы получим некоторый моном ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2.1. Кортеж t є Щ будем называть степенью произведения ХІХ ... ХІГ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2.2. Через 5 будем обозначать отображение, сопоставляющее произведению Х ... Х{г его степень. Так, например, 5{Х1) = t. D Пусть Q = (qij) Є Мп(к ) - мультипликативно антисимметричная матрица. Рассмотрим ассоциативную алгебру 2t Q над полем к с порождающими Xi,...,Xn и со следующими определяющими соотношениями: ЛЕММА 3.2.3. 1) Всякое произведение Xit...Xir порождающих элементов алгебры 21 а представимо в виде: где Xі - моном, получающийся из произведения ХІ1 ... X{r перестановкой порождающих X{ в порядке неубывания индексов. 2) Коэффициент j в соотношении (2) может быть получен применением к произведению Хц ... ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Каждому произведению Х{г . . . Х{г мы можем сопоставить его степень t указанным выше способом. Кроме того, мы можем сопоставить этому произведению количество "беСПОрЯДКОв", Т.Є. Пар ИНДеКСОВ (ijltij2), 1 jit 32 г для которых ij-j ij2, Для произведений, где г = 2 требуемые соотношения - ЭТО просто определяющие соотношения алгебры 21 а. Пусть х = Xii Xir произвольное произведение порождающих. Предположим, что утверждение леммы доказано для произведений порождающих, у которых степень меньше (относительно порядка - ) степени % и для произведений порождающих, у которых степень равна степени х» но количество беспорядков меньше чем у х- Пусть ij,ij+i - соседние индексы, образующие беспорядок в х- Тогда Теперь заметим, что у произведения Х{х... Xii+lX{.... Х(г количество беспорядков меньше, чем у Хі а У произведений вида Xix... Xi._lXtX{.+2... Xir степень меньше степени х т-е- Для них утверждение леммы верно. Записывая для этих произведений соответствующие соотношения, получаем искомый результат. 2) Из предыдущих рассуждений ясно, что при перестановке порождающих старший (по степени) моном в получающейся сумме всегда один и меняется в соответствии с правилами Лемма доказана полностью.

Заметим, что из леммы 3.2.3 следует, что мономы {Xі t = (ti,...,tn) Є NQ} порождают алгебру 21 а как линейное пространство. Следующая лемма показывает, что в действительности это множество мономов является базисом 2l Q. ЛЕММА 3.2.4. Мономы {Xі t = ( i,.. ., „) 6 Щ} образуют линейно независимую систему в алгебре 21 ,Q. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что ]С[=іА = О Для некоторых РІ Є к, (ЗІ ф 0. Не ограничивая общности, мы можем считать, что ti - ...- tr. Из леммы 3.2.3 следует, что всякое представление монома Xі в алгебре 2l Q обязательно содержит произведение порождающих Хц .. .Xit, степень которого равна t. Поэтому всякое представление суммы Lj fiiX1 1 содержит некоторое произведение XiY.. .Xis степени tr с ненулевым коэффициентом, т.к. другие мономы не могут дать слагаемое степени большей их собственной степени. Следовательно, указанное равенство возможно лишь при всех Д- равных нулю. Лемма доказана. Из лемм 3.2.3, 3.2.4 в частности следует, что множество мономов {Xі t Є NQ} образует базис алгебры 2t ,Q как векторного пространства над к. УТВЕРЖДЕНИЕ 3.2.5. Алгебра 2$,а является фильтрованной по полугруппе Щ. Соответствующая ассоциированная градуированная алгебра изоморфна некоторой алгебре квантовых многочленов, а именно ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДЛЯ произвольного t є Щ в качестве линейного подпространства 2tt возьмём подпространство, порождённое конечным множеством {Xd d t,d Є Щ}. В силу леммы 3.2.4 все подпространства Qlt различны. Вложение 2ld С 2lt при любых d - t очевидно. Вложение 2ld t Q 2ld+t получается многократным применением пункта 1 леммы 3.2.3 к произведению произвольных элементов / Є 2ld и g Є 2lt- To, что ассоциированная градуированная алгебра, соответствующая полученной фильтрации 2$,а, изоморфна алгебре квантовых многочленов kQ[X\,... ,Хп] следует из пункта 2 леммы 3.2.3. Утверждение доказано. В силу только что доказанного утверждения для 2$ а вы_ полнено условие леммы 2.2.11, а, значит, для этой алгебры верны все результаты главы 2.3. ТЕОРЕМА 3.2.6. Степень трансцендентности алгебры 21 а не превышает максимального количества независимых, коммутирующих друг с другом элементов мономиального базиса ее ассоциированной градуированной алгебры д)П)о- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство следует из того, что всякой системе независимых попарно псевдоком мутирующих элементов мономиального базиса алгебры 2l Q соответствует система независимых попарно коммутирующих мономов из алгебры CQ %п,о. Рассмотрим многопараметрическую алгебру квантовых матриц Ох,р(Мп(к)) (см. определение 1.2.1). Перепишем определяющие соотношения этой алгебры в виде: Пусть - обозначает порядок - /., т.е. когда сравниваются суммы координат кортежей, и при равенстве сумм координат сравнение производится лексикографически. Для этого положим Xij == X(i-i)n+j. Нетрудно видеть, что для любой пары Xs,Xr, 1 s, г п2 среди определяющих соотношений найдётся соответствующее коммутационное соотношение.

Остаётся проверить, что последнее соотношение является соотношением вида (1). Действительно, пусть l .i l nnl j m n. Тогда Итак, для алгебры Ox,p(Mn(k)) выполнены все результаты главы 2.3. В частности, в силу теоремы 3.2.6 верна ТЕОРЕМА 3.2.8. Степень трансцендентности алгебры квантовых матриц 0\tp(Mn(k)) не превышает максимального количества независимых, попарно коммутирующих элементов мономиального базиса ассоциированной градуированной алгебры gr {Ox P(Mn{k))) kQ[Xh ...,]. Пусть снова - обозначает порядок - ;.. Рассмотрим квантовую алгебру Вейля А (к) (см. определение 1.4.1). УТВЕРЖДЕНИЕ 3.2.9. Для любых параметров Л, q алгебра А (к) изоморфна алгебре 21 а при некоторых значениях параметров Q, а. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что соотношение меет вид (1), т.к. все остальные определяющие соотношения уже имеют указанный вид. Будем вести доказательство индукцией по j. Для j = 1 получаем: X\Y[ = 1 -f- q\Y\X\. Далее, если для всех 1 j s — 1 при некоторых (3jl Є к, ТО Последнее равенство имеет требуемый вид. Кроме того, из этого равенства следует равенство необходимое для продолжения индукции. Утверждение доказано. Таким образом, к алгебре А%А(к) применимы результаты главы 2.3. В частности, теорема 2.4.7 получает следующую формулировку: ТЕОРЕМА 3.2.10. Степень трансцендентности квантовой алгебры Вейля А%А(к) не превышает максимального количества независимых, коммутирующих друг с другом элементов мономиалъного базиса градуированной алгебры, ассоциированной с А%А(к): где матрица Q имеет вид где С = (с -1), Л = (Xij) - мультипликативно антисимметричная матрица из определения 1.4-1 квантовой алгебры Вейля, q = (qi,...,qn) кортеж параметров из того же определения, а М — (fiij) 3.2.3 Квантовые координатные кольца полупростых алгебраических групп Рассмотрим ассоциативную алгебру А над полем к, порожденную элементами Х\,..., Хп с определяющими соотношениями для всех индексов Ці і ти некоторых коэффициентов PijitiPijat Zkuqji Є к . УТВЕРЖДЕНИЕ 3.2.11. Пусть Q = (qij), тогда существуют такие значения параметров а, что алгебра Л изоморфна алгебре 2l Q. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть - означает ,-./., как оно определено в 2.1.1, т.е. упорядочение кортежей из ZQ сначала по сумме координат, а в случае равенства этих сумм в обратном лексикографическому порядке. Если г j,l т, то неравенство Х\Хт - X{Xj выполнено тогда и только тогда, когда / і или І = і, т j. Отсюда, соотношение (3) можно переписать в виде т.к. в определяющем соотношении (3) всегда s г. Остается привести все определяющие соотношения к виду (1). Для произведения Х\Хъ имеем Х\Х2 = q2\X2X\. Далее по индукции, Утверждение доказано. В силу полученного результата и теоремы 1.3.1 квантовое координатное кольцо Oq(G)k связной комплексной полупростой алгебраической группы G изоморфно 2l Q для некоторых Q, а, п. Поэтому для алгебры Oq{G)k верны все результаты главы 2.3. В частности, верна следующая оценка.

Пример коммутативной подалгебры

Из теоремы 3.1.8 следует, что максимальная мономиальная коммутативная подалгебра алгебры квантовых многочленов Q,n,n является чисто трансцендентным расширением основного поля к. Пример, конструируемый в данном пункте, показывает, что для произвольной максимальной коммутативной подалгебры алгебры э,п,п указанное свойство не выполняется. Рассмотрим алгебру Л = g,2,2 = kq[X±l, У±х]. Это алгебра с двумя порождающими X, Y и определяющим соотношением YX = qXY. Далее будем предполагать, что q не является корнем из единицы. Пусть f,g- коммутирующие элементы Л. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть rjc(f) = (а, 6), г?гЫ = (с» )- Легко заметить, что старшие мономы fug обязаны коммутировать (т.к. произведения остальных мономов имеют норму меньшую нормы произведения старших, а, значит, не могут сократиться с произведением старших). Отсюда т.е. а/с = b/d и (a, b) = fi(c,d), т.к. q не корень из единицы. Таким образом нормы /, д линейно зависимы, следовательно, по теореме 2.3.8 сами элементы алгебраически зависимы. Утверждение доказано. УТВЕРЖДЕНИЕ 3.4.2. Если h Є Л содержит мономы с отрицательными степенями, то для любого Ps(x) = asxs-{-.. .+ а\Х + a,Q Є k[x] многочлен Ps(h) Є Л также содержит мономы с отрицательными степенями. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть h содержит мономы с отрицательной степенью X. Выделим среди этих мономов множество М мономов с максимальной по модулю степенью X, а в множестве М найдем моном то с максимальной степенью У. Такой моном единственен. Если для некоторого Ps{x) G k[x] многочлен P3(h) содержит мономы только с неотрицательными степенями, то произведение то, входящее в Ps{h) должно сокращаться с произведением каких-либо других мономов. По построению сразу видно, что такое произведение должно состоять из элементов множества М, но все они имеют степени по Y, меньшие чем у то, поэтому любая сумма s этих степеней будет меньше чем степень У в то- Если множество М пусто, то h содержит мономы с отрицательной степенью У, и можно повторить все предыдущие рассужления с заменой X на У и Y на X. Утверждение доказано. Пусть заданы два элемента /, g алгебры Л не содержащие мономов с отрицательными степенями, т.е. f,g Є kq[X,Y].

Предположим, что элементы /, g содержатся в некоторой максимальной коммутативной подалгебре, являющейся чисто трансцендентным расширением к. Тогда, в силу 3.1.4 элементы fug должны равняться многочленам от некоторого элемента h Є Л. В силу утверждения 3.4.2 многочлен h обязан лежать в kq[X, У]. Далее мы укажем два элемента /,j Є Л, и покажем, что для этих элементов не существует h Є kq[X, У], для которого Квантовые алгебры - это неформальное название различных алгебр, возникающих в теории квантовых групп. Понятие квантовой группы появилось в конце 1980-х годов в связи с решением квантового уравнения Янга-Бакстера, являющегося ключевым моментом в "квантовом методе обратной задачи" развитом Л. Д. Фаддеевым и ленинградской школой математической физики с целью решения "интегрируемых квантовых систем" (см. [29]). Отправной точкой развития теории квантовых групп, объединившей первые разрозненные результаты и примеры, стала работа В. Г. Дринфельда [9], содержащая мотивировки основных понятий. Хотя теория квантовых групп не позволила полностью решить уравнение Янга-Бакстера, многие интересные и полезные решения этого уравнения удалось построить именно с ее помощью. "Машиной" для производства таких решений стала теория представлений некоторых специфических алгебр, сходных с деформациями обертывающих алгебр полупростых алгебр Ли. Вот эти специфические алгебры и получили название "квантовых групп". Первый пример - деформация U(sl2(C)) - возник в статье П. П. Кулиша и Н. Ю. Решетихина в 1981 году (см. [10]). Первый пример алгебры квантовых многочленов (см. определение 1.1.1) - квантовая плоскость kq[X, Y], - был введен Ю. И. Маниным в [34]. В дальнейшем многие авторы рассматривали обобщения этой алгебры (см., например, [1, 14, 38]). Среди таких обобщений можно назвать однопараметрические и многопараметрические квантовые аффинные пространства и квантовые торы, иначе называемые алгебрами квантовых лорановских многочленов, общие квантовые многочлены и т.д. Определение 1.1.1 является наиболее общим из всех указанных определений. В работах [34, 35, 36] Ю. И. Маниным был предложен способ построения квантовых групп на основе понятия универсальной кодействующей на некоторое семейство алгебр алгебры. Частным случаем универсальной кодействующей являются алгебры квантовых матриц (определение 1.2.1). Многопараметрические алгебры квантовых матриц 0\tp(Mn(k)) были построены М. Артином, В. Шельтером, Дж. Тэйтом в работе [24] и А. Сэдбэри в [45]. В начале 1990-х годов появились первые результаты, касающиеся теории некоммутативных дифференциальных исчислений на квантовых группах. В связи с этой теорией в работах Г. Мальциниотиса [33] и Е. Е. Демидова [6] возникли алгебры А%А(к), являющиеся квантовым аналогом алгебр Вейля (определение 1.4.1). В работе [17] Л. Д. Фаддеевым, Н. Ю. Решетихиным и Л. А. Тахтаджяном были сконструированы квантовые координатные кольца для классических простых групп Ли (т.е. для SLn(C), SOn(C), Spn(C)). Квантовое координатное кольцо Oq(G)k в случае произвольной связной комплексной полупростой алгебраической группы G было построено А. Жозе-фом в середине 1990-х годов в работах [31, 32]. Метод построения был навеян работами С. Л. Вороновича, Л. Л. Ваксмана и Я. С. Сойбельмана [4, 46, 47, 48]. Несмотря на то, что общего понятия квантовой группы (или квантовой алгебры) не существует, а существуют лишь разнородные примеры, эти примеры имеют немало общих свойств. Так, например, все вышеупомянутые алгебры нётеровы и обладают телами частных (см. [25]). Кроме того все они являются градуированными по No. В теории квантовых групп большой интерес представляет изучение тел частных квантовых алгебр.

В связи с тем, что квантовые алгебры во многом аналогичны алгебрам функций над группами, при изучении их тел частных возникают различные варианты гипотезы Гельфанда-Кириллова (см. [5]). А. Н. Панов в работе [14] сформулировал и доказал аналог гипотезы Гельфанда-Кириллова для однопараметрических алгебр квантовых многочленов и для однопараметрических матричных квантовых алгебр Oq{GLn(k)). В той же работе доказано, что центр тела частных однопараметрической алгебры квантовых многочленов является чисто трансцендентным расширением основного поля, и вычислены размерность Гельфанда-Кириллова этого тела частных и степени трансцендентности его центра. Ж. Алев и Ф. Дюма доказали, что тело частных однопараметрической квантовой алгебры Вейля А%А(к) изоморфно телу частных алгебры квантовых многочленов для некоторой матрицы мультипараметров (см. [20]). Они же, объединив свой результат с результатом А. Н. Панова, сформулировали классификационную теорему о телах частных смешанных квантовых алгебр Вейля (см. [19]), а также результаты, касающиеся степени трансцендентности указанных тел частных, их центров и максимальных подполей. В работе В. А. Артамонова и П. Кона [21] для случая п = 2 показано, что в теле частных kq(X, Y) алгебры квантовых многочленов kq[X} Y] централизатор любого элемента, отличного от константы, коммутативен и потому является максимальным подполем в kq(X, Y). Идея доказательства восходит к работе П. Кона [28]. В. А. Артамоновым в статье [2] получено обобщение этого результата для случая алгебры квантовых многочленов 1CQ[XI, ... ,Хп] при п 3 в предположении, что поле к имеет нулевую характеристику. В связи с квантовыми аналогами гипотезы Гельфанда-Кир-иллова представляют интерес вопросы, связанные с вычислением различных размерностей, например, размерности Крул-ля, размерности Гельфанда-Кириллова, глобальной размерности.

Похожие диссертации на Коммутативные подалгебры квантовых алгебр

Гомологическая алгебра полумодулей и полуконтрамодулей: полубесконечная гомологическая алгебра ассоциативных алгебраических структурПосицельский Леонид Ефимович

Тождества векторных пространств, вложенных в линейные алгебры, и примеры конечномерных алгебр, не имеющих конечного базиса тождествКислицин Алексей Владимирович

Теоретико-модельные свойства обогащенных булевых алгебр и алгебр ЕршоваТрофимов, Александр Викторович

Инварианты действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального видаЕряшкин, Михаил Сергеевич

Структура Г-конформных алгебр и вложения алгебр ЛодеяГубарев Всеволод Юрьевич

О коммутативных подалгебрах в обертывающих алгебрах полупростых алгебр ЛиТарасов Алексей Александрович

Рост в алгебрах ЛиПетроградский Виктор Михайлович

Инволютивные тождества бесконечномерных алгебрАнисимов Никита Юрьевич

Деформации модулярных алгебр ЛиЧебочко Наталья Георгиевна

Конструктивные булевы алгебры с выделенными идеаламиКогабаев Нурлан Талгатович