Введение к работе
Актуальность исследования. Понятие классической r-матрицы впервые появилось в начале 80-х годов прошлого века, в работах Е.К.Скля-нина1'2. Классические r-матрицы являются квазиклассическим аналогом квантовых r-матриц, которые возникают в квантовом методе обратной задаче рассеивания. Самостоятельный интерес классические r-матрицы представляют в связи с методом Адлера-Костанта-Саймса построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем и связями с групповыми скобками Пуассона.
Дадим основные определения диссертации. Пусть д — алгебра Ли над полем комплексных чисел С и R : д —> д — линейный оператор.
Определение 1. R — классическая г-матрица, если скобка
[x,y]R-=^([Rx,y} + [x,Ry]) (1)
удовлетворяет тождеству Якоби.
Определение 2. Две классические г-матрицы R\ и / эквивалентны, если существует (р Є Aut(g) такой, что R\ = (fR2(f~l.
Классическая r-матрица задает на алгебре Ли g структуру алгебры Ли 0д с коммутатором [ж, у]д. Алгебру Ли g вместе с классической г-матрицей называют двойной алгеброй Ли.
Модифицированным классическим уравнением Янга-Бакстера (MYBE) называется уравнение
[Rx,Ry] - R([Rx,y] + [x,Ry]) = -[х,у]. (2)
Уравнение MYBE является достаточным условием для того, чтобы R являлся классической г-матрицей.
Заметим, что если R — классическая r-матрица (соотв. решение MYBE), то —R также является классической г-матрицей (соотв. решением MYBE).
^klyanin Е.К. On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation// Preprint LOMI, Leningrag: LoMI, 1980, P. 3-79.
2Склянин Е.К. Квантовый метод обратной задачи рассеяния// Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1980, т. 95, С.55-128.
Если Lp автоморфизм алгебр Ли д, R решение MYBE, то LpRtp также решение MYBE, таким образом, группа Aut(0) действует на множестве решений MYBE.
Во множестве всех решений MYBE выделяют следующую серию решений. Пусть алгебра Ли д представлена в виде прямой суммы двух своих подалгебр Ли как линейных подпространств: 0 = 0i + 02; Pi — проектор на Qi параллельно дополнительной подалгебре, тогда R = Р\ — Р^ — решение уравнения MYBE. Задача разложения алгебры Ли в виде суммы двух ее подалгебр представляет самостоятельный интерес. В книге А.Л.Онищика3 задача решена для случая, когда д — компактная вещественная алгебра Ли. В статье Ю.А.Бахтурина и др.4 исследуется вопрос, можно ли алгебру Ли представить в виде суммы д = 01 + 02 ДВУХ ее простых и нильпотентных подалгебр.
Общая проблема заключается в классификации для заданной алгебры Ли 0 всех решений MYBE с точностью до действия группы Aut(0). В случае, когда 0 полупростая алгебра Ли и R является кососимметрическим оператором относительно формы Киллинга, эта задача решена в работе А.А. Белавина и В.Г. Дринфельда5. Она равносильна описанию групповых скобок Пуассона6. В своей книге А.Г. Рейман и М.А. Семенов-тян-Шанский7 отмечают, что задача нахождения всех решений MYBE до сих пор не решена.
Объектом исследования являются классические r-матрицы и уравнение MYBE.
Предметом, исследования являются классические r-матрицы в общей постановке определения 1 и решения MYBE для алгебр Ли малой размер-
3Онищик Л.А. Топология транзитивных групп преобразований// М.Физматлит, 1995, 384 с.
4Bahtutin Y., Tvalavadze М., Tvalavadze Т. Seems of simple and nilpotent Lie subalgebras// Common Algebra 30 №9, 2002, P. 4455-4471.
5Белавин А.А., Дринфельд В.Г. О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли// Функц.анализ, 1982, вып.З, С. 1-29.
е Дринфельд В.Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрических смысл уравнения Янга-Бакстера// ДАН СССР, 268(2),1983, С. 285-287.
7Рейман А.Г., Семенов-тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы// Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 352 с.
ности.
Цели и задачи исследования. Основная цель данной работы — классифицировать решения модифицированного уравнения Янга-Бакстера для алгебр Ли малой размерности.
Методы исследования. Исследования, проводимые в диссертации, основываются на основных понятиях теории классических r-матриц, результаты второй, третьей четвертой главы диссертации основаны на теореме М.А. Семенова-тян-Шанского о представлении решений уравнения Янга-Бакстера. Доказательство теорем в диссертации основано на методах линейной алгебры, теории линейных групп и теории групп и алгебр Ли.
Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с научным руководителем проф. А.Н. Пановым. Постановка задачи выполнена научным руководителем.
Достоверность результатов. Достоверность научных положений и выводов, сформулированных в диссертации, подтверждаются строгостью математических расчетов. Также результаты исследований обсуждались на международных конференциях и представлены в печати.
Научная новизна. Работа носит теоретический характер. В диссертации получена классификация r-матриц для трехмерных алгебр Ли, получена полная классификация решений MYBE для$[(2,С) и s[(3,C). Все представленные в диссертации результаты являются новыми.
Основные положения, выносимые на защиту.
Классификация классических r-матриц в общей постановке для трехмерных алгебр Ли с точностью до эквивалентности.
Классификация разложений sl(3, С) в прямую сумму двух своих подалгебр как линейных подпространств с точностью до эквивалентности.
Классификация всех решений MYBE для$[(3,С) с точностью до эквивалентности.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории r-матриц, в построении интегрируемых систем, в
задачах квантования и т.д.
Апробация результатов. Основные научные и практические результаты исследований по теме диссертации докладывались на научных семинарах кафедры алгебры и геометрии Самарского Государственного университета, на конференции "Проблемы фундаментальной физики XXI века" (2006, Самара), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша(2008, Москва).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 2 статьи в журнале из списка ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка используемой литературы, содержащего 18 наименований, и приложений. Начиная с первой, главы разделены на пункты. В пределах каждой главы теоремы, предложения, леммы и формулы охвачены единой нумерацией в порядке их следования в тексте. Общий объем диссертации 159 страниц без приложений, 189 страниц с приложениями.
