Абелевы группы с большим числом эндоморфизмов Чехлов Андрей Ростиславович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Вполне транзитивные группы без кручения

1. Некоторые свойства вполне транзитивных групп 36

2. Вполне транзитивные группы, все ненулевые эндоморфизмы которых есть мономорфизмы 51

3. Вполне транзитивные группы с условиями на типы элементов 67

4. Разложимые вполне транзитивные группы без кручения 72

ГЛАВА II. Квазисервантно инъективные группы без кручения

5. qcpi-груипы без кручения 77

6. Прямые произведения и прямые суммы qcpi-rpynn 94

7. Квазисервантно инъективные группы без кручения 104

8. Слабо квазисервантно инъективные группы без кручения 116

ГЛАВА III. CS-группы без кручения

9. Строение cs-групп без кручения 133

10. Квазиоднородные cs-группы 139

11. cs-группы без кручения конечного р-ранга 140

ГЛАВА IV. Смешанные gc-группы и CS-группы

12. Некоторые вспомогательные результаты 152

13. Свойства

14. Смешанные cs-группы 162

15. Некоторые группы, близкие к cs-группам 167

Литература 172

• Вполне транзитивные группы, все ненулевые эндоморфизмы которых есть мономорфизмы
• Разложимые вполне транзитивные группы без кручения
• Квазисервантно инъективные группы без кручения
• Квазиоднородные cs-группы

Введение к работе

Актуальность темы.

Группа называется абелевой, если групповая операция в ней (записываемая обычно аддитивно) коммутативна. Являясь частью общей теории групп, теория абелевых групп активно взаимодействует с теорией модулей, колец, категорий, топологических групп. Всякую абеле-ву группу можно рассматривать как модуль над кольцом целых чисел. Поэтому одним из важных направлений в теории абелевых групп является углубление теоретико-модульных результатов, использующее специфику кольца целых чисел. В то же время эта теория является источником идей для смежных областей алгебры и одним из побудителей новых исследований в них.

Теорию абелевых групп можно разделить на три основные части: периодические группы, группы без кручения и смешанные группы. Разработана глубокая структурная теория периодических абелевых групп, основы которой заложены X. Прюфером [49], [50], X. Ульмом [53], Л.Я. Куликовым [17]. Иначе обстоит дело с группами без кручения. Работы Л.С. Понтрягина [24], Р. Бэра [32], А.Г. Куроша [19], А.И. Мальцева [21], Л.Я. Куликова [18] положили начало теории групп без кручения. Продвижению в направлении изучения этих групп препятствует как сложность их устройства, так и недостаток различных сведений о них и методов их исследований. На трудность проблемы классификации групп без кручения даже конечного ранга указал А.В. Яковлев [28]. Новые идеи, возникавшие в рамках теории групп без кручения, касались, в основном, групп конечного ранга. Бурное развитие теории последних групп зафиксировано в книгах [29], [33], [46]. Были проведены

Введение

содержательные исследования отдельных классов групп без кручения произвольного ранга, обзоры [22], [23], [38], [45]. Однако классы групп без кручения с достаточно развитой структурной теорией немногочисленны и относительно невелики. Смешанных групп так много, что хорошему описанию поддаются лишь отдельные классы этих групп.

При изучении абелевых групп и модулей плодотворными оказались различные обобщения понятия инъективности (см., напр. [1], [25], [26], [27]). Фундаментальную роль в теории абелевых групп и других разделах алгебры играют алгебраически компактные группы. Их открыл И. Капланский, занимаясь проблемой алгебраического строения компактных абелевых групп. Алгебраически компактные группы исследовались также в работах Лося, Бальцёжика, Сонсяды, Маранды, Фукса, Ю.Л. Ершова и многих других математиков. Класс алгебраически компактных групп совпадает с классом сервантно инъективных групп, т.е. групп, инъективных относительно всех сервантно точных последовательностей абелевых групп. Сервантно инъективные группы применяются при решении многих задач теории групп. Их строение известно. Естественным обобщением сервантно инъективных групп являются квазисервантно инъективные группы (кратко qpi-группы¹), т.е. такие группы А, что всякий гомоморфизм G —> А любой сервант-ной подгруппы G в А продолжается до эндоморфизма группы А. Изучение свойств дрг-групп заявлено как'проблема 17 а) в книге [27].

Проблема 17 а) [27]. Изучить 'свойства квазисервантно инъективных групп.

Периодическая дрг-группа характеризуется тем, что ее редуцированная часть периодически полна, строение таких групп известно. По-

'В некоторых работах эти группы называются QPJ-группами.

Введение

этому особый интерес вызывает исследование qpi-rpynn без кручения. Усилиями ряда математиков здесь был достигнут значительный прогресс. Что касается смешанных дрг-групп, то работа [5] показывает, что изучение даже расщепляющегося случая весьма затруднительно. К дрг-группам примыкают дсрг-группы и годог-группы, введенные автором. Группа А называется слабо квазисервантно инъективной (кратко wqpi-группой), если всякий эндоморфизм любой ее сервантной подгруппы продолжается до эндоморфизма группы А.

Редуцированные алгебраически компактные группы допускают интересную топологическую характеризацию: класс этих групп совпадает с классом абелевых групп, полных в их ^-адической топологии. Группы, в которых замыкание (в Z-адической и в р-адической топологии для каждого простого числа р) всякой сервантной подгруппы выделяется прямым слагаемым, автор называет cs-группами. Класс абелевых cs-групп А без кручения характеризуется тем, что ядро каждого гомоморфизма А —> G в редуцированную группу без кручения G служит прямым слагаемым в Л. Из хорошо известных свойств алгебраически компактных и периодически полных групп следует, что они являются cs-группами [27; 39, упр. 2; следствие 68.9]. Поскольку каждую бесконечную подгруппу можно вложить в сервантную подгруппу той же мощности, а для замыкания В^А в Z-адической топологии подгруппы В редуцированной группы без кручения справедливо |I?^A| ^ |#|^N, то изучения cs-групп связано также с проблемой 5 из книги [27].

Проблема 5 [27]. Исследовать группы, каждая бесконечная подгруппа В которых может быть вложена в прямое слагаемое мощности \В\.

Введение 8

Более широкий класс образуют qcpi-группы. Группа А называется qcpi-группой, если всякий гомоморфизм G —> А любой ее замкнутой в Z-адической топологии сервантной подгруппы G продолжается до эндоморфизма группы А.

Сервантно инъективные и квазисервантно инъективные абелевы группы - это непосредственное обобщение инъективных групп. С другой стороны, давно известны транзитивные и вполне транзитивные модули над полным кольцом дискретного нормирования, введенные И. Капланским в книге [43]. Наибольшее внимание привлекали (вполне) транзитивные примарные абелевы группы. П.А. Крылов перенес определение И. Капланского (вполне) транзитивного модуля на абелевы группы без кручения. Абелева группа без кручения А называется вполне транзитивной (транзитивной), если для любых ее ненулевых элементов a, b условие на их характеристики ха{&) ^ Ха{Ь) (Ха(о) — Ха(Ь)) влечет существование ее эндоморфизма (автоморфизма) / со свойством fa — Ъ. Затем рядом авторов (см. [3], [37] и др.) были предложены определения произвольной вполне транзитивной и транзитивной абелевой группы. Они формулируются в терминах высотных матриц элементов группы, так что в случае групп без кручения можно ограничиться характеристиками элементов. Квазисервантно инъективные группы без кручения вполне транзитивны. Однако последних намного больше. Отметим, что однородные транзитивные группы без кручения - это в точности сильно однородные группы. Под таким названием эти группы изучались давно. В [6] исследовались также слабо транзитивные группы без кручения (там они назывались эндотран-зитивными группами). Вполне транзитивные и транзитивные группы

Введение

без кручения слабо транзитивны. Изучение последних целесообразно, поскольку оно позволяет выработать определенный подход к исследованию (вполне) транзитивных и других, близких к ним классов групп. В [45, проблемы 40-47; 73, 4, 5] поставлен ряд проблем и вопросов, посвященных этим группам.

В теории абелевых групп без кручения большое значение имеют инварианты, связанные с элементами и описывающие их поведение по отношению к делимости на целые числа: характеристика и тип. В данной работе в классе р-редуцированных¹ групп без кручения рассматриваются инварианты, описывающие поведение элементов по отношению к делимости на целые р-адические числа: р-характеристика и р-тип. Важным их свойством является способность различать элементы с равными характеристиками (типами). Естественным образом вводится понятие р-вполне транзитивности, р-редуцированные ^срг-группы без кручения р-вполне транзитивны.

Настоящая работа посвящена исследованию вышеперечисленных классов групп, которые можно назвать группами с большим числом эндоморфизмов или группами с условием продолжения частичных эндоморфизмов. Основными классами в работе являются вполне транзитивные группы, квазисервантно инъективные группы без кручения и cs-группы. Рассмотрение в работе других, близких классов групп, целесообразно с позиции выявления их общих закономерностей, свойств, характеризаций и взаимосвязей. Изучение этих классов групп позволило как существенно продвинуться в направлении их структурной теории, так и выработать новые приемы и методы исследования абе-

¹ Абелева группа называется р-редуцированной для данного простого числа р, если она не содержит ненулевых р-делимых подгрупп.

Введение

левых групп. Все вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной.

Цель работы.

1. Исследовать свойства вполне транзитивных абелевых групп без кручения и описать новые классы этих групп.

2. Построить структурную теорию квазисервантно инъективных групп без кручения.

3. Разработать теорию cs-rpynn.

4. Рассмотреть абелевы группы, близкие к квазисервантно инъек-тивным группам и cs-группам, и установить свойства и взаимосвязи этих классов групп.

Общая методика исследования. Используются методы теории абелевых групп, теории колец и некоторые топологические идеи. Развита техника изучения абелевых групп с продолжающимися частичными эндоморфизмами. Применяются понятия р-характеристики и р-типа. Разработан метод исследования вполне транзитивных групп без кручения, использующий некоторые кольца и модули, ассоциированные с данной группой.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. К ним можно отнести следующие.

1. Охарактеризованы вполне транзитивные группы без кручения, все ненулевые эндоморфизмы которых есть мономорфизмы. Эти группы исследуются как некоторые модули над кольцами специального типа (теоремы 2.7-2.9). Построен пример счетной транзитивной, не вполне транзитивной группы без кручения без ненулевых элементов максимального типа (теорема 2.12). Существование групп с такими свой-

Введение

ствами ранее не было известно.

2. Описаны слабо транзитивные группы в одном широком классе групп (теорема 3.2, следствия 3.3-3.5).

3. Найдены новые критерии вполне транзитивности разложимых групп без кручения (теорема 4.5).

4. Описано строение дсрг-групп _в ряде классов групп ( 5, 6).

5. Получено структурное описание квазисервантно инъективных групп без кручения, что вносит существенный вклад в решение проблемы 17 а) из книги [27]. Такие группы А характеризуются как сер-

вантные вполне характеристические подгруппы групп П А_р, содержащей

щие ф А_р, где П - некоторое множество простых чисел, а, А_р - ква-

зиоднородные квазисервантно инъективные группы, однозначно определяемые по группе А и удовлетворяющие ряду условий. Обнаружены новые свойства квазисервантно инъективных групп.

6. Доказано, что разложимые однородные слабо квазисервантно инъ
ективные группы являются квазисервантно инъективными. Но в об
щем случае класс слабо квазисервантно инъективных групп сущест
венно шире класса квазисервантно инъективных групп. Получено опи
сание слабо квазисервантно инъективных групп в ряде классов групп

( 8).

7. Развита структурная теория cs-групп без кручения. Доказано, что
всякая редуцированная cs-группа без кручения раскладывается в неко
торую сервантную межпрямую сумму квазиоднородных cs-групп (тео
рема 9.2). Поэтому изучение cs-групп без кручения сводится к случаю
квазиоднородных групп. Строение квазиоднородных cs-группы связа
но с мощностью их р-ранга. Квазиоднородные cs-группы бесконечно-

Введение

го р-ранга являются модулями над кольцом целых р-адических чисел. Всякая же квазиоднородная cs-группа, р-ранга не меньше мощности континуума, является алгебраически компактной. Охарактеризованы квазиоднородные cs-группы конечного р-ранга.

8. Получена структурная теорема для смешанных cs-групп (теорема 14.3).

9. Доказано, что алгебраически компактные группы - это в точности группы, выделяющиеся прямыми слагаемыми в каждой группе, содержащей их в качестве замкнутых сервантных подгрупп. Это новая характеризация алгебраически компактных групп (другая характери-зация р-адических алгебраически компактных групп приведена в теореме 15.1).

Новое направление, развитое в работе: теория абелевых cs-rpynn, дсрг-групп и слабо квазисервантно инъективных групп.

Достигнуто существенное продвижение в направлении структурной теории квазисервантно инъективных групп без кручения и близких к ним классов групп: вполне транзитивных и слабо транзитивных групп без кручения.

Из полученных результатов в качестве следствий можно вывести ряд известных результатов Д. Арнольда, К. Бенабдаллаха, Ч. Винсон-халлера, Гоетерс, Т. Коямы, Дж. Рейда, С.Я. Гриншпона, Ю.Б. Доб-русина, П.А. Крылова и др.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные структурные теоремы и описанные классы групп расширяют знания о строении абелевых групп. Разработанные методы и приемы исследования мо-

Введение

гут быть использованы в теории абе левых групп и модулей, их колец эндоморфизмов, групп автоморфизмов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзных алгебраических конференциях (Минск, 1983; Кишинев, 1985; Львов, 1987), на Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Москва, 1984), на Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Львов, 1990), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989; Новосибирск, 2000), на Международной конференции по математике и механике (Томск, 1997), на Международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения" (Волгоград, 1999), на Международной алгебраической конференции в Украине (Сумы, 2001), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2002), а также обсуждались на алгебраических семинарах в Московском госуниверситете, Московском педагогическом университете, Институте математики с ВЦ АН Молдовы, Институте математики СО РАН и Томском госуниверситете. По теме диссертации опубликованы 33 работы [54]-[86].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Краткое содержание работы

Все рассматриваемые группы - абелевы и редуцированные (структурная теория абелевых групп сводится к редуцированному случаю). N - множество натуральных чисел, Z - кольцо целых чисел, Q - поле (группа) рациональных чисел, Q* - кольцо (группа) целых р-адических

Введение

чисел, р - некоторое простое число. Групповая терминология и обозна-

чения соответствуют [27]. Так, если А - группа, то р^шА = П р^пА;

п=1

А = П пА; Е(А) - кольцо ее эндоморфизмов; г(А) - ее ранг, т.е.

71=1

мощность максимальной независимой системы элементов группы А, если ограничиться элементами бесконечного порядка группы А, т.е. выбрать независимую систему, состоящую только из элементов бесконечного порядка и максимальную по отношению к этому свойству, то мощность такой системы называется рангом без кручения tq{A) группы А; ф А - прямая сумма т копий группы А (т - некоторое кар-

динальное число); г_р(А) - р-ранг группы А, т.е. ранг ее факторгруппы А/рА. Если а Є А, то о(а) порядок, h(a) - р-еысота элемента а в группе А, т.е. наибольшее неотрицательное п б Z, для которого уравнение р^пх = а имеет решение х Є А. Если такое число не существует, то полагают h^{a) = оо, в этом случае а называется элементом бесконечной р-высоты. Если из контекста ясно, о какой группе А идет речь, то индекс А опускается. Подгруппа В группы А называется сер-вантной (р-сервантной), если пВ = В П пА (р^пВ = В П р^пА) для каждого п Є N. Подгруппа В сервантна тогда и только тогда, когда она р-сервантна для каждого простого числа р. В случае групп без кручения подгруппа В является р-сервантной в А, если рВ = В ПрА. Если X С А - подмножество в группе А, то через (X)f обозначается сервантная подгруппа в Л, порожденная X.

Далее, пусть везде в этом абзаце G - группа без кручения. Если V\iP2i - последовательность простых чисел, упорядоченных по возрастанию, g Є G, то Хд(я) — (^pi(p)) ^р₂(#)> ) ~ характеристика элемента д в группе G. Для всякой упорядоченной последовательности

Введение 15

неотрицательных целых чисел и символов оо существует группа без кручения с некоторым элементом, характеристика которого совпадает с данной последовательностью. Для характеристик а = (к\, &2,...), Р = (h, h, ) полагают а ^ j3, если к_п ^ 1_п для всех п Є N. Характеристики а и /3 называются эквивалентными, если к_п ф 1_п лишь для конечного числа номеров п и только тогда, когда к_п и 1_п конечны. Класс эквивалентности в множестве характеристик называется типом. Тип элемента g Є G обозначается tc(g); T{G) - множество типов всех ненулевых элементов группы G; 7г(С) - множество всех простых чисел р со свойством pG ф G; если g Є G, g ф 0, то 7г(д) = т^{{д)^)-Группа G называется однородной, если все ее ненулевые элементы имеют один и тот же тип. Этот общий тип называется типом группы G и обозначается t(G). В частности, это относится к группе G ранга 1. Редуцированная группа без кручения G называется квазиоднородной, если 7r(G) = 7г(А) для любой ее ненулевой сервантной подгруппы А; квазиразложимой, если существуют ее ненулевые подгруппы А, В, называемыми ее квазислагаемыми, такие, что nG С А В для некоторого п Є N, в противном случае G называется сильно неразложимой; связанной, если все ее факторгруппы по ненулевым сервантным подгруппам делимы. Будем говорить, что подгруппа А квазиравна группе G, если nG С А для некоторого п Є N. Эндоморфизм / группы G будем называть ее квазиавтоморфизмом, если / - мономорфизм, а подгруппа fG квазиравна G. Мономорфизм / : А —> G групп без кручения будем называть квазиизоморфизмом, если подгруппа /А квазиравна группе G. Групповые термины, примененные к кольцу, относятся к его аддитивной группе. Например, будем говорить, что кольцо S без круче-

Введение 16

ния, если его аддитивная группа S⁺ - группа без кручения. Кольцо Т называется сильно однородным, если каждый его элемент есть целое кратное обратимого в Т элемента; Е-колъцом, если его левое регулярное представление является изоморфизмом, т.е. каждый эндоморфизм группы Т⁺ совпадает с умножением кольца Т слева на некоторый элемент из Т.

Напомним, что абелева группа А называется р-редуцированной, если она не имеет ненулевых р-делимых подгрупп. Для группы без кручения А это эквивалентно тому, что она не содержит ненулевых элементов бесконечной р-высоты, т.е. р^шА = 0. Класс всех р-редуцированных групп без кручения обозначим через Rp. Если А Є Rp, а Є А и = ?"о + ПР+ . - целое р-адическое число, то через а обозначим элемент группы А (если он существует), являющийся пределом в р-адической топологии группы А последовательности r$a, {г$ + гір)а,.... Множество Нр(а) = { Є Qp І а определено} называется р-характперисти-кой элемента а в группе А. Множество всех р-характеристик совпадает с множеством всех р-сервантных подгрупп группы Q* содержащих группу целых чисел [7]. Две р-характеристики Н\, #2 назовем эквивалентными, если существуют п, т Є N такие, что пН\ С Н2, тпН.2 Q Н\. Класс эквивалентности в множестве всех р-характеристик назовем р-типом. р-тип элемента а Є А обозначим через Тр(а). На множестве р-типов можно ввести отношение частичного порядка. Запись ^ri ^ ^г2 означает, что существуют р-характеристики Ні Є т\, Н2 Є 7 со свойством пН\ С і/₂ Д^ля некоторого п Є N. Отметим, что условие т^(а) ^ ^тр{Ь) для a, b Є А влечет t(a) ^ t(b). Множество р-типов всех ненулевых элементов группы А обозначим через Т_р(А); если

Введение

г - некоторый р-тип, то А (г) = {а Є А | т^ (а) ^ т}, это сервантная вполне характеристическая подгруппа в А. Группу А Є Rp назовем р-однородной, если Тр{а) — Тр(Ь) для любых ненулевых a, b Є А.

Чтобы показать значимость введенного понятия отметим, например, что группы B,G Є R_p, имеющие р-ранг 1, квазиизоморфны тогда и только тогда, когда Т_Р(В) nT_p(G) ф 0 (лемма 1.8).

Группу А Є R_p назовем р-вполне транзитивной, если для любых ее элементов a, b таких, что h^(a) ^ hp{b) и Нр{а) С Н_р{Ъ) существует / Є Е(А) со свойством fa = b. Группа А р-вполне транзитивна тогда и только тогда, когда каждый гомоморфизм G —> А любой замкнутой в р-адической топологии сервантной подгруппы G р-ранга 1 группы А продолжается до эндоморфизма группы А. Поэтому qcpi-группа А является р-вполне транзитивной для каждого р такого, что А Є R_p. Всякая вполне транзитивная группа А Є R_p является р-вполне транзитивной. Обратное, в общем случае, неверно. Например, связанная группа G р-вполне транзитивна для каждого р Є k(G). Однако справедливо

Предложение 1.9. Пусть А - такая квазиоднородная группа, что А - р-вполне транзитивна для каждого р Є it(A). Тогда для всякого максимального р-типа т Є Т_Р(А) подгруппа А{т) группы А есть однородная вполне транзитивная группа. В частности, р-однородная qcpi-группа является однородной вполне транзитивной группой.

Изучаются гомоморфизмы р-вполне транзитивных групп с различными условиями на р-типы элементов этих групп.

Обозначим через Л4 - класс всех редуцированных групп без кручения, у которых все ненулевые эндоморфизмы суть мономорфизмы.

Введение

Предложение 1.10. Пусть А є Л4 - р-вполне транзитивная группа. Тогда все ее ненулевые эндоморфизмы являются квазиавтоморфизмами тогда и только тогда, когда в множестве Т_р(А) имеются максимальные элементы. В этом случае группа А либо р-одно-родна, либо Тр(А) состоит из бесконечного множества попарно несравнимых р-типов. Если к тому же А - q-вполне транзитивна для каждого q Є к (А), или ее q-базисные подгруппы циклические для всех q Є к(А), то все эндоморфизмы группы А являются целыми кратными ее автоморфизмов, т.е. Е(А) - сильно однородное кольцо.

Теорема 1.13. Пусть А — ф А{ Є R_p, где А{ - связанные груп-пы такие, что Т_р(А() содержит максимальные элементы хотя бы для одного і Є I. Группа А р-вполне транзитивна тогда и только тогда, когда \1\ > 1 влечет, что для А выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1. А - р-однородная группа;

2. А - однородная вполне транзитивная группа;

3. А{ - изоморфные однородные вполне транзитивные группы.

Обозначим через С - класс всех редуцированных групп без кручения А, у которых тип каждого ненулевого элемента сравним с некоторым максимальным типом из Т(А).

В классе групп без кручения наибольшим вниманием пользовались (вполне) транзитивные группы конечного ранга. Д.М. Арнольдом в [30] получено описание однородных вполне транзитивных групп конечного ранга. В [6], а затем в [39] описаны произвольные вполне транзитивные группы конечного ранга. В работах [13], [42] изучались однородные вполне транзитивные группы произвольного ранга. Эти группы об-

Введение

ладают многими интересными свойствами, аналогичными свойствам однородных вполне разложимых групп. В частности, для счетных однородных вполне транзитивных групп справедлив аналог классической теоремы Бэра-Куликова-Капланского [27, теорема 86.7]. В [14], [16] исследовались вполне транзитивные группы произвольного ранга с условиями на типы элементов. Примеры связанных вполне транзитивных групп G, в множестве T(G) которых нет максимальных элементов, построены в [14]. С другой стороны, там же построены примеры суперразложимых вполне транзитивных групп G без максимальных элементов в T{G). Это говорит о том, что вполне транзитивные группы могут быть самыми разнообразными.

В дальнейшем потребуется следующая конструкция из [14]. Под областью целостности понимается кольцо (не обязательно коммутативное) без делителей нуля. Если S - область целостности, то модуль sM - без кручения, если гт ^ 0 для любых ненулевых г Є S, га Є М.

Лемма 2.1 [14, лемма 2.1]. Следующие свойства кольца без кручения S равносильны:

4. для всякого простого числа р и любых а, Ь Є S, если аЫр, то а : р или b : р;

5. hp(ab) — h_p(a) + h_p(a) для всякого простого р и любых а,Ь Є S или, что то же, х(аб) = х{) +х(Ь);

6. для всякого простого р кольцо S/pS есть область целостности.

Будем говорить, что кольцо S обладает свойством (*), если оно удовлетворяет одному из свойств леммы 2.1, и S⁺ - квазиоднородная редуцированная группа. Нетрудно видеть, что тогда S - область целостности.

Введение

ЛЕММА 2.2. Следующие свойства модуля без кручения $А над кольцом без кручения S со свойством (*) равносильны:

7. для всякого простого числа р и любых г Є S, а Е Л, если га \р, то г : р или а р;

8. h_p(ra) = h_p(r) + h_p(a) для всякого простого р и любых г Є S, а Є Л или, что то же, х(^га) — x(^r) + х(^а)>'

9. Л/рА есть модуль без кручения над кольцом S/pS для всякого простого р.

Напомним, что левое условие Оре для области целостности S означает, что для любых ненулевых a, b Є S найдутся ненулевые a',b' Є S со свойством b'a = a'b. В этом случае говорят, что S - левая область Оре.

Предложение 2.3. Пусть S -левая область Оре со свойством (*). Если S — левое кольцо частных кольца S, то положим S = {а~¹Ь Є S\a,b Є S, x{^a) ^ x(^)}- Тогда S - такое подколъцо в S, что S ⁺ - вполне транзитивная и транзитивная группа, a S - сервантное подкольцо в S.

Каждое Е'-кольцо коммутативно. Если S есть Е'-кольцо со свойством (*), то вполне транзитивность S⁺ равносильна тому, что S = S. Будем говорить, что модуль sA обладает свойством (*), если он удовлетворяет одному из свойств леммы 2.2.

Кольцо S называется левым инвариантным (правым инвариантным), если для любых его элементов а, (3 существует такой элемент 7 Є S, что а(3 = уа (а(3 = (3j). Кольцо является левым инвариантным тогда и только тогда, когда любой левый его идеал будет правым (т.е. двусторонним). Нетрудно видеть, что инвариантность слева (справа)

Введение

кольца эндоморфизмов группы А влечет вполне характеристичность ядер (образов) ее эндоморфизмов. Отметим и такое простое свойство, что если А - вполне транзитивная группа без кручения, а Е{А) инвариантно справа, то ц> Є Е(А) является автоморфизмом тогда и только тогда, когда ір сохраняет характеристики элементов группы А.

Пусть S - левая область Оре со свойством (*), обозначим через S_ - подкольцо в 5, порожденное ненулевыми элементами {s^_1r б S | существуют si,ri Є 5 такие, 4TOSi,ri ф 0 и ss\ = г г і}.

Нетрудно показать, что вполне транзитивная группа А Є Л4 квази-однородна. Укажем теперь условия, при которых вполне транзитивная группа принадлежит классу Л4.

Предложение 2.6. Пусть А - квазиоднородная вполне транзитивная группа, R = Е(А). Тогда

10. А Є АЛ тогда и только тогда, когда R - инвариантное слева кольцо. В частности, R - левая область Оре со свойством (*);

11. если А Є АІ, то R = R и, кроме того, следующие условия эквивалентны:

а) R инвариантно справа;

б) все эндоморфные образы А вполне характеристичны;

в) (<рА) П (фА) ф 0 для любых ненулевых <р,ф Є R;

г) R = R;

3) если R инвариантно справа, то в R нет делителей нуля. В част
ности, А сильно неразложима.

Вполне транзитивные группы А с сильно неразложимыми сервант-ными подгруппами и такие, что любой t Є Т(А) сравним с некоторым максимальным типом из Т(А), принадлежат классу А4. В [6] описаны

Введение

вполне транзитивные группы А Є Л4, у которых в Т(А) существуют максимальные элементы. Кольцо эндоморфизмов Е(А) такой группы является сильно однородным кольцом.

Следующие три теоремы характеризуют вполне транзитивные группы из класса Л4 с помощью определенных колец и модулей, ассоциированных с данной группой.

Теорема 2.7. Пусть А Є Л4 - квазиоднородная группа. Группа А вполне транзитивна тогда и только тогда, когда на А можно задать такой модуль без кручения над областью S, что для каждого ненулевого а Є А и его характеристики х — х{) выполняется одно из равносильных условий:

12. А(х) ~ циклический S-модуль, и любой элемент в S⁺ наименьшей характеристики обратим;

13. S - левая область Оре со свойством (*), sA(x) — sS и S = S_.

Теорема 2.8. Пусть А Є Лч - квазиоднородная группа, R = Е(А). Тогда следующие условия эквивалентны:

14. А вполне транзитивна с инвариантным справа кольцом R;

15. на А можно задать модуль без кручения над такой левой областью Ope S со свойством (*), что S = S и sA(x) — sS для любого ненулевого элемента а Є А и его характеристики х — х(^а)>

16. на А можно задать модуль без кручения со свойством (*) над такой левой областью Ope S со свойством (*), что k(S) = к{А), S — S, и любые два элемента группы А со сравнимыми типами линейно зависимы над S;

17. для каждого ненулевого а Є А, если t — t(a), х ⁼ х(^а); ^т0

Введение

отображение f —> f\A(t) осуществляет вложение R в E{A{i)), при отождествлении R с его образом имеет место разложение E(A(t))⁺ = И ф R⁺, где Н = {<> (Е E(A(t)) \ tpa = 0}, R - левая область Оре со свойством (*), R = R и А(х) — R⁺

Обозначим через N - класс групп А Є Л4, у которых все ненулевые гомоморфизмы G —> Л любой сервантной подгруппы G в і есть мономорфизмы. Таковы, например, квазиоднородные группы р-ранга 1 и квазисервантно инъективные группы из Л4. Группа А Є Л4 квази-сервантно инъективна тогда и только тогда, когда она - вполне транзитивная группа из класса М.

ТЕОРЕМА 2.9. Пусть А Є N - квазиоднородная группа. Группа А вполне транзитивна тогда и только тогда, когда на А можно задать модуль без кручения со свойством (*) над таким Е-кольцом S со свойством (*), что S = S, S⁺ = А(х) для характеристики X = х(^а) любого ненулевого элемента а Є А .

Теоремы 2.7 - 2.9 являются наиболее общими для рассматриваемых в них классов групп и включают результаты Ю.Б. Добру сина и П.А. Крылова о вполне транзитивных группах из класса L П Л4.

Однородная транзитивная группа вполне транзитивна. Первые примеры транзитивных, не вполне транзитивных групп без кручения конечного ранга, построены в [6]. М. Дугасом и С. Шелахом [36] в предположении справедливости аксиомы конструктивности Геделя доказано, что существуют неразложимые однородные вполне транзитивные группы, не являющиеся транзитивными. Нетрудно проверить, что вполне транзитивные группы А Є Л4 транзитивны. Обратное неверно. Оказывается, что можно построить соответствующие группы А даже

Введение 24

без максимальных элементов в Т(Л).>

Теорема 2.12. Существует счетная транзитивная, не вполне транзитивная связанная группа без ненулевых элементов максимального типа.

Таким образом, как и в примарном случае, понятия "транзитивность" и "вполне транзитивность" для групп без кручения независимы.

В 3 изучаются вполне транзитивные группы с условиями на типы элементов. Будем говорить, что ненулевой эндоморфизм а группы А имеет максимальное ядро, если подгруппа кег а максимальна среди ядер всех ненулевых эндоморфизлюв группы А. В частности, получено

Следствие 3.5. Пусть А є С - группа, удовлетворяющая условию максимальности на ядра эндоморфизмов, и А ( Л4. Тогда

1) А слабо транзитивна тогда и только тогда, когда А = ф А{,

г=1

где каждая А{ - квазиоднородная слабо транзитивная группа из СГ\Л4, или является конечной прямой суммой изоморфных однородных вполне транзитивных групп из Л4, и тг(Аі) 'Птг(Ау) = 0 при і ^ j (i,j = 1,... ,гг);

2) слабая транзитивность А влечет ее транзитивность, причем
если все А{ из 1) однородны, то А вполне транзитивна.

Следствие 3.5 обобщает результаты из [6], полученные для слабо транзитивных групп.

Перейдем теперь к произвольным разложимым вполне транзитивным группам без кручения.

Следуя [2], введем следующие понятия.

Введение 25

Определение 4.1. Множество {Д-}і_Є/ групп без кручения называется вполне транзитивной системой групп, если для любых ненулевых а Є Д, b Є Aj (і может совпадать с j) условие х(^а) ^ х{Ь) влечет существование гомоморфизма tp :: Д -ч- Aj со свойством ера = Ь.

Определение 4.2. Говорят, что система {Д};_е/ групп без кручения удовлетворяет условию монотонности для характеристик, если для любого ненулевого d Є Лі (і Є I) из выполнения соотношений:

1. хМ П ... П хМ ^ x(d), где aj Є А_і}, ij ф i_s при j ф s (j,s = 1,.. . ,k);

2. xW xK) Д^{ля всех} 3 = 1> '"> &

Следует существование элементов 6i,... , b_r Є Д со свойствами:

18. 6i + ... -j- b_r = d;

19. для каждого bi (I = 1,... , г) среди элементов {a\,..., a^} найдется хотя бы один такой элемент a_s (s = 1,. .. , к), что x{bi) ^ x(^as)-

В [2] доказано, что группа без кручения А = ф Лі вполне транзите/

тивна тогда и только тогда, когда система {Д}г_Є/ вполне транзитивна и удовлетворяет условию монотонности для характеристик. Затем в [3] этот результат перенесен на произвольные абелевы группы. Для групп, представимых в виде прямых сумм квазиоднородных групп, справедлив следующий критерий условия монотонности.

Теорема 4.4. Пусть {Д}_г(=/ - такая система квазиоднородных групп без кручения, что \1\ > 1, 7г(Д) = 7г(Д), Х'(Д) - направленное вверх множество, и для любого t 6 Т(Аі) подгруппа Д() плотна в Д в Z-адической топологии для всех i,j Є I, причем Ai{t\ П ... П tk) С Ai{t\) + .. + Ai(tk) для любого конечного набо-

Введение 26

pa различных индексов {г_ь... ,г_к}, где t\ Є T(A_il),... ,t_k Є T{A_ik). Тогда эта система удовлетворяет условию монотонности для характеристик.

Теорема 4.5. Для группы А = ф Л^ где А^ - квазиоднородные

группы без кручения, эквивалентны следующие условия:

20. А - вполне транзитивна;

21. {Аі}і_Єі - вполне транзитивная система групп, причем А пред-ставима в виде А = ф А_р, где к{А_р) Г)7г(А_я) = 0 при р ф q, каждая

А_р — ф А{, 7г(Д) = k(Aj) при i,j Є Ip С I, подгруппы А_р однознач-но определяются по группе А, и для каждого р система {Аі}і_Єі_р удовлетворяет условиям теоремы 4.4.

Следствие 4.6. Пусть А — фД - квазиоднородная группа без

кручения, где \1\ > 1, существует максимальный элемент t Є Т{А), и серваншные подгруппы в А{ сильно неразложимы. Группа А явля-ется вполне транзитивной тогда и только тогда, когда все Аі -изоморфные однородные вполне транзитивные группы.

В главе II изучаются квазисервантно инъективные и близкие к ним классы групп. Начнем с дфг-групп.

Теорема 5.8. Всякая редуцированная qcpi-группа без кручения А является сервантной подпрямой суммой некоторого семейства квазиоднородных групп {Н_р}_рец, где Н_р Є R_p, Н_р = A/p^wA, р Є П, a U = тт(А).

Класс <7фг-групп существенно шире как класса квазисервантно инъ-ективных групп, так и класса cs-групп. В теоремах 7.9 и 9.2 доказывается, что группы без кручения из последних двух классов групп пред-

Введение

ставимы в виде некоторых межпрямых сумм квазиоднородных групп. Оказывается, что и среди групп, представимых в таком виде, встречаются qcpi-группы, не являющиеся ни квазисервантно инъективными группами, ни cs-группами (теорема 5.12).

Получены и другие результаты для qcpi-групп, позволяющие описать эти группы в классах вполне разложимых, сепарабельных, векторных групп (следствие 6.9), групп без кручения конечного ранга (следствие 6.6) и др.

Существуют qcpi-группы.

Теорема 6.7. Пусть А — ф Аі Є R_p, где \I\ ^ Ко, и все

Аі суть р-однородные группы, или каждая Аі - такая группа, что любой ее элемент содержится в прямом слагаемом, являющемся прямым произведением (суммой) неразложимых групп, причем хотя бы одна группа Аі имеет ненулевой элемент максимального р-типа. Группа А является qcpi-группой тогда и только тогда, когда A^Q*

Основные результаты этой главы посвящены даг-группам. Так, для квазиоднородных qpi-rpynn доказываются

Теорема 7.7. Разложимая квазиоднородная qpi-группа без кручения А является алгебраически компактной, либо конечной прямой суммой связанных групп.

Введение

Следующая теорема раскрывает строение дог-групп.

ТЕОРЕМА 7.9. Редуцированная группа А без кручения является

квазисервантно инъективной тогда.и только тогда, когда она пред-

ставима в виде S = ф Л_р С А С П А_р = S, где А - сервантная

реп pell

вполне характеристическая подгруппа в S, П - некоторое множество простых чисел, 7г(А_р) Г) тг(А_д) = 0 при р ф q, p,q Є П, а А_р -квазиоднородные qpi-группы из R_p.

Теорема 7.9 сводит изучение дог-групп к квазиоднородному случаю. Согласно теореме 7.7 разложимая квазиоднородная дог-группа алгебраически компактна или является конечной прямой суммой связанных групп, число которых совпадает с ее р-рангом. Алгебраически компактные группы полностью характеризуются счетной системой инвариантов, являющихся кардиналами [27, 40]. Таким образом, можно утверждать, что теорема 7.9 удовлетворительным образом раскрывает строение дог-групп без кручения. Из этой теоремы можно вывести основные структурные результаты о дог-группах без кручения: описание дог-групп конечного ранга [4], [31], qpi-rpynu из класса С [4], дог-групп с циклическими р-базисными подгруппами [15]. Теорема 7.9 имеет разнообразные следствия. Так,, справедливо

СЛЕДСТВИЕ 7.10. Неразложимая qpi-группа без кручения квазиод-нородна и имеет мощность ^ 2^п. Если А -квазиоднородная qpi-группа мощности > 2*\ то А является однородной алгебраически компактной группой.

Напомним, что группа А называется слабо квазисервантно инъективной (кратко wqpi-группой), если всякий эндоморфизм любой ее сервантной подгруппы продолжается до эндоморфизма группы А.

Введение

Предложение 8.2. Пусть А - wqpi-группа. Тогда

22. ее прямые слагаемые, сервантные вполне характеристические подгруппы, в частности, ее периодическая часть суть wqpi-группы;

23. если А периодична, то факторгруппа А/А¹ периодически полна. В частности, если А сепарабелъна [т.е. А¹ = 0), то она периодически полна.

Предложение 8.6. I) Редуцированная группа А = А\ ф А2 As, где Аі - группы без кручения ранга I, t{Ai) = ti (і = 1, 2, 3), является wqpi-группой тогда и только тогда, когда она однородна или для нее с точностью до перестановки прямых слагаемых Аі выполняется одно из утверждений:

24. 7г(А_г) Пп(А₂А₃) = 0;

25. t\ П t₂, t\ П t%, І2 П з ~ попарно несравнимые типы;

26. ^ < t₂.

Причем в случае 3) справедливо одно из условий:

а) t₂ = ^з; б) tz > ti и 7г(А₂) Птг(Аз) = 0; в) t\ не сравним с t$ и или t₃ < t₂, или л(А₂) Г) 7г(Л₃) = 0.

II) .Если Л = ф Д - такая вполне разложимая группа, что

г(А{) = 1, t(A{) — U и тип U_l Г) ... П ^_п не сравним с ^ П ... П ^-_m <9л.# любых конечных подмножеств 1_п = {«ь . .. , г_п}_; J_m = {ji,... ,j_m} С / с условием I_n \ J_m, J_m \ І_п ф 0, то А является wqpi-группой.

Если класс сепарабельных периодических wqpi-rpyim совпадает с классом дог-групп, то предложение 8.6 дает много примеров wqpi-групп, не являющихся дрг-группами; такие группы существуют уже среди групп без кручения ранга 2. Однако в некоторых случаях оба эти классы групп совпадают.

Введение

ТЕОРЕМА 8.8. Однородная разложимая wqpi-группа является квазисервантно инъективной группой.

ТЕОРЕМА 8.11. Редуцированная вполне транзитивная группа без

кручения А является wqpi-группой тогда и только тогда, когда

ф А_р С А С П А_р = S, где А - сервантная вполне характерис-
рєп pen

тическая подгруппа в S, П - некоторое множество простых чисел, к (Ар) Г) 7г(А_я) = 0 при р ф q, p,q Є П_; а А_р - квазиоднородные вполне транзитивные wqpi-группы.

Следствие 8.12. 1) Если А - однородная wqpi-группа, то А неразложима -4=> все ее сервантные подгруппы сильно неразложимы <=> все ее ненулевые эндоморфизмы есть мономорфизмы.

2. Всякая квазиоднородная вполне транзитивная wqpi-группа, множество типов всех ненулевых элементов которой содержит максимальные элементы, является квазисервантно инъективной.

3. Всякая вполне транзитивная wqpi-группа из класса С является квазисервантно инъективной.

В главе III содержатся результаты о cs-группах. Следующая теорема выясняет строение cs-групп без кручения. Условимся называть идемпотенты 7Г, 9 кольца E(S) абелевой группы S эквивалентными, если 7г5 = 6S.

ТЕОРЕМА 9.2. Редуцированная группа А без кручения является

cs-группой тогда и только тогда, когда она представима в виде

ф Ар С А С П Ар = S, где А - сервантная подгруппа в S, Е(А)
реп реи

вкладывается в кольцо E(S) и содержит хотя бы один элемент из каждого класса эквивалентных идемпотентов этого кольца, П - не-

Введение

которое множество простых чисел, тг(А_р)П7г(А_д) = 0 прир Ф q, p,q Є П, а каждая А_р - квазиоднородная cs-группа из R_p конечного р-ранга или Qp-модуль.

СЛЕДСТВИЕ 9.3. Редуцированная .cs-группа А без кручения мощности < 2^Н представима в виде А_р, где П - некоторое множес-

тво простых чисел, тг(А_р) П к(А_д) = 0 при р ф q, p,q Є П, а каждая Ар есть квазиоднородная cs-группа, являющаяся прямой суммой конечного числа связанных групп.

Подгруппы А_р из теоремы 9.2 являются вполне характеристическими прямыми слагаемыми в Л и восстанавливаются по группе А однозначно. В силу этой теоремы изучение cs-групп сводится к квазиоднородному случаю. Перейдем к квазиоднородным cs-группам.

Неразложимая редуцированная cs-группа без кручения А связанна, поэтому \А\ ^ 2^К и г_р{А) ^ 1 для каждого р Є к (А)- На связь р-ранга и мощности cs-группы с ее строением указывает следующий результат.

Теорема 10.1. cs-группа из R_v, имеющая алгебраически компактное прямое слагаемое бесконечного р-ранга или имеющаяр-ранг ^ 2^N, алгебраически компактна. В частности, всякая cs-группа из Rp мощности > 2^Ы алгебраически компактна.

Следствие 10.2. Пусть А = ф А_г (А = П А), где А_{ Є Rp

г Єї геI

и \I\ ^ Ыо- Группа А является cs-группой тогда и только тогда, когда А = (&Q* [А - алгебраически компактная группа).

Получена характеризация квазиоднородных cs-групп конечного р-ранга (теорема 11.3).

Введение

Чтобы проиллюстрировать различие рассматриваемых классов групп, приведем простые примеры.

Пример 11.9. Пусть А - редуцированная однородная сепарабелъ-ная группа без кручения. Тогда А вполне транзитивна. А является слабо квазисервантно инъективной, qcpi-группой, cs-группой тогда и только тогда, когда ее ранг конечен.

Пример 11.10. Пусть А_р - собственная сервантная подгруппа

группы Q* такая, что \Q* /А_р\ < 2*4 Тогда А = ф А_р (А = П А_р)

^И реп pU

является не вполне транзитивной cs-группой, здесь П - произвольное множество простых чисел.

Пример 11.11. Пусть А_р = Q*, где п_р - некоторое кардиналъ-

ное число (р Є П). Тогда А = 0 A_v (А = П A_v) является вполне

реп реп

транзитивной группой; А будет cs-группой п_р ^ Щ; А слабо квазисервантно инъективна <(=> п_р < Hq для каждого р Е П.

Вполне транзитивные группы, все ненулевые эндоморфизмы которых есть мономорфизмы

В этом параграфе потребуется следующая конструкция из [14]. Под областью целостности понимается кольцо (не обязательно коммутативное) без делителей нуля. Все рассматриваемые кольца предполагаются ассоциативными с единицей. Будем говорить, что Т - сервантное подколъцо в S , если его аддитивная группа Т+ - сервантная подгруппа в S+; S - кольцо без кручения, если S+ - группа без кручения. Если S - область целостности, то модуль $М - без кручения, если rm ф 0 для любых ненулевых г Є S, га Є М. ЛЕММА 2.1 [14, лемма 2.1]. Следующие свойства кольца без кручения S равносильны: 1) для всякого простого числа р и любых а, 6 Є S, если аЫр, то а:р или b:р; 2) hp(ab) = hp(a) + hp(a) для всякого простого р и любых а,Ь Є S или, что то же, х(а ) — х(а) +х(&) " 3) для всякого простого р кольцо S/pS есть область целостности. Будем говорить, что кольцо S обладает свойством ( ), если оно удовлетворяет одному из свойств леммы 2.1, и S+ - квазиоднородная редуцированная группа. Нетрудно видеть, что тогда S - область целостности. С очевидными изменениями лемма 2.1 распространяется на следующую лемму ЛЕММА 2.2. Следующие свойства модуля без кручения s-A над кольцом без кручения S со свойством ( ) равносильны: 1) для всякого простого числа р и любых г Є S, а Є А, если га \р, то г : р или а :р; 2) hp{ra) = hp(r) + hp(a) для всякого простого р и любых г Є S, а Є А или, что то же, x(ra) = x(r) + х(а) 3) А/рА есть модуль без кручения над кольцом S/pS для всякого простого р. Напомним, что левое условие Оре для области целостности S означает, что для любых ненулевых а, 6 Є S найдутся ненулевые а , Ъ Є S со свойством b a = a b. В этом случае говорят, что S - левая область Оре. Следующее предложение доказано в [14] для коммутативного случая. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Пусть S - левая область Оре со свойством ( ). Если S - левое кольцо частных кольца S, то положим S = {а 1Ь Є S\a,b Є S, х(а) x(b)}- Тогда S - такое подколъцо в S, что S+ - вполне транзитивная и транзитивная группа, a S - сервантное подколъцо в S. Доказательство. Если а Є 5, то х(1) х(а) и а = 1 а Є 5, т.е. S С S. Пусть теперь а_16, c ld - ненулевые элементы из S и х = (a lb)(c-ld) = (c a)-l(b d), где Ъ с = с Ъ ф 0. По лемме 2.1 Х(с а) = х(с )+х(а) х(0+х(Ч = х(Ь )+х(с) х(Ь )+х( 0 = x(b d). Откуда х Є S. Далее, если с а = а с ф 0, то у = a lb + c ld = c a c b + a c a d ic ay c b + a d) и х(с а) = х(с )+ (а) = Х(а ) + х(с) х(с Ь), x(a d), т.е. у Є 5. Пусть р (а_16) =иб5, где р Є K(S). Сокращая, если нужно, а и 6 на соответствующую степень р, можно считать, что hp(a) = 0. Тогда pb = аи, hp(au) — hp(u), т.е. и Є pS.

Следовательно, S сервантно в S. Покажем, что х(а_1 ) — х( ) — х(а)- Достаточно показать справедливость равенства hp(a 1b) = hp(b) — hp(a) для любого р Є K(S). Как и выше, будем считать, что hp(a) = 0. Пусть b = pnv, где hp{y) = 0. Если a lv = p(g lu), где hp(g) — 0 и g a = a g ф 0, то g v = р(а и). Откуда следует, что hp(g ) = hp(af) и, значит, hp(pu) = /ір(г ) = 0. Полученное противоречие показывает, что hp(a lb) = hp(b) — hp(a). Пусть х(а-1&) x{c ld). Тогда х(&) - х(р) x{d) - х(с) и если b d = d b ф 0, то 2? = c ldb la = (b c)-l(d a) Є 5, так как х(б ) + х(с) х( ) + х(0- Умножение слева на z является эндоморфизмом группы 5+, переводящим a lb в c 1d, т.е. 5"+ вполне транзитивна. Если х(а_16) = x(c ld), то c ldb la и a lbd lc - обратимые элементы кольца S, поэтому умножения на них являются автоморфизмами. Значит, S+ транзитивна. Напомним, что кольцо S называется Е-кольцом, если всякий эндоморфизм группы 5+ совпадает с умножением S слева на некоторый его элемент. Каждое Е -кольцо коммутативно [34]. Если S есть -кольцо со свойством ( ), то вполне транзитивность S+ равносильна тому, что S = S. Будем говорить, что модуль s-A обладает свойством ( ), если он удовлетворяет одному из свойств леммы 2.2. В дальнейшем потребуется следующая ЛЕММА 2.4. Пусть А Є Л4 - вполне транзитивная группа, R — Е(А). Тогда А квазиоднороднаи если ее эндоморфизм ір повышает р-высоту хотя бы одного элемента, то р Є pR. В частности, R - кольцо со свойством ( ), a RA - модуль со свойством ( ). Если, кроме того, A(t) Є Л4 хотя бы для одного (равносильно - для любого) t Є Т(А), mo R есть Е-кольцо. Доказательство. Пусть hp(a) hp(ipa). Тогда х(о) х(Р 1(Ра)-Поэтому pfa = (pa для некоторого / Є R. Откуда (р = pf. В случае hp(a) = 00 и о, ф О, 1 Є pR и, значит, рА = А. Поэтому А и, следовательно, R квазиоднородны. Отметим, что квазиоднородность группы А следует также из леммы 1.4.

Разложимые вполне транзитивные группы без кручения

В этом параграфе рассмотрим условия вполне транзитивности раз-ложимых групп. Следуя [2], введем следующие понятия Определение 4.1. Множество {АІ}ІЄІ групп без кручения называется вполне транзитивной системой групп, если для любых ненулевых а Є Ai, b Є Aj (і может совпадать с j) условие х(а) х( ) влечет существование гомоморфизма (р : Ai — Aj со свойством (pa = 6. Определение 4.2. Говорят, что система {А}гє/ групп без кручения удовлетворяет условию монотонности для характеристик, если для любого ненулевого d Є АІ (і Є I) из выполнения соотношений: Следует существование элементов b\,... ,br Є. Ai со свойствами: 1) для каждого 6/ (J = 1,... , г) среди элементов {ai,... , а } най-дется хотя бы один такой элемент as (s = 1,. .. , к), что х( ) х(а«) ния. Она вполне транзитивна тогда и только тогда, когда система групп {АІ}ІЄІ вполне транзитивна и удовлетворяет условию монотонности для характеристик. В [2] приведены некоторые примеры систем групп, удовлетворяющих условию монотонности для характеристик. В частности, там до казано, что всякая система однородных одного и того же типа групп удовлетворяет условию монотонности для характеристик. Желательно бы найти критерии монотонности. Приведем следующий результат. ТЕОРЕМА 4.4. Пусть {Ai}iej - такая система квазиоднородных групп без кручения, что \1\ 1, ТГ(А{) = n(Aj), Т(АІ) - направленное вверх множество, и для любого t Є Т(АІ) подгруппа Ai(t) плотна в А{ в Z-адической топологии для всех i,j Є I, причем Ai(t\ П ... П tk) Q Ai(t\) + ... + Ai(tk) для любого конечного набора различных индексов {гі,... ,гк}, где t\ Є Т(А{1),... ,tk Є Т(Аік). Тогда эта система удовлетворяет условию монотонности для характеристик. Доказательство. Пусть а = а\ + .... + ак и х(а) x{d), ГДе d Є Д? a.j Є Aip x(d) x(aj) Для всех J = 1,--. , А;. Имеем x(a) = x(ai + - + ajfc) = x(ai)H.. .Пх(о-к)- По условию d = x\ + ... + хк, где Xj Є A, t(xj) t(aj). Поэтому существуют натуральные числа nij такие, что x{aj) x{mjxj)- Элементы Xj запишем в виде Xj = qjdj, где qj - такие натуральные числа, что hp(dj) = 0 для каждого простого делителя р числа ту Пусть теперь t Є Т(АІ) - такой тип, что t t(x{), ,t(xk). По условию подгруппа A{(t) плотна в А{. Поэтому для каждого dj найдется Uj Є Ai(t) со свойством dj = Uj -\-mjVj, где Vj Є Д-, j = 1,... , к. Пусть x(njuj) x{dj). В силу выбора dj числа rij можно выбрать взаимно простыми с rrij. Поэтому существуют целые числа Sj,lj такие, что SjUj+ljirij = 1. Имеем Xj = qjSjnjUj+qjmj(vj-\-ljUj), где x{Qjmj(vj+ 1JUJ)) X(XJ) П xiqjSjUjUj) = X(XJ)- Если и = qiSiniUi + ... + qksknkuk, то d = u+qimi(vi+liui)+.. .+qkmk(vk+lkuk), x{Qj j{vj+ljUj)) x(aj), .к. характеристика этого элемента xixj)i а сам он делится на rrij. Следовательно, xiu) x(a)- А т.к. t(u) () для каждого j, то существуют целые числа Vj такие, что (ri,... , г ;) = 1 и x(aj) x(rju). Если теперь fj - такие целые, что п/і + ... + г Д = 1, то и - rifiu + ... + rkfkU и x{bj) x(flj), гДе fy = j/jW + qjrrij{vj + /., -). Имеем 6i + ... + bk = d, т.е. выполнено условие монотонности. ТЕОРЕМА 4.5.

Для группы А = А{, где А{ - квазиоднородные группы без кручения, эквивалентны следующие условия: 1) А - вполне транзитивна; 2) {Аі}іЄі - вполне транзитивная система групп, причем А пред-ставима в виде А = ф Ар, где 7Г(АР)Г\7Г(АЯ) = 0 при р ф q, каждая рЄП по группе А, и для каждого р система {АІ}ІЄТ удовлетворяет условиям теоремы 4.4. Доказательство. Ввиду леммы 1.4 и теорем 4.3, 4.4 достаточно доказать справедливость 1) = 2). Пусть А - вполне транзитивная группа. Тогда по лемме 1.4 условие ТГ(АІ) П TT(AJ) ф 0 влечет Нот (Ai, Aj) фО. Поэтому, если все группы А{ квазиоднородны, то 7г(А{) r\ir(Aj) =0, либо 7Г(АІ) = ir(Aj) для любых i,j Є I. Следовательно, подгруппы Ар найдутся. Ввиду леммы 1.4 считаем далее для простоты, что сама группа А квазиоднородна. Пусть теперь d Є Ai(t\ П ... П tk), где tj Є Т(А ). Тогда если aj Є А{. - такие элементы, что t(aj) = tj, j = 1,... , к, то: t(d) t(ai \-.. .+6) = t(ai)C\.. .П t(ak) = tiD.. .Htk- Следовательно, найдется наименьшее натуральное п со свойством x(nd) х(а1 + - - + ак)- Тогда x(d) х(п_1(1 + - - + afc))-В силу вполне транзитивности группы А существует ее эндоморфизм / со свойством n 1f(ai) + . .. + n l f{a,k) = d. Если теперь 7г проекция А на АІ, то n lirf(aj) Є АІ И d Є Ai(t\) + . .. + Aifa). Откуда Ai(t\ П.. .ntk) С i4j(ii) + .-\-Ai(tk). Ссылка на лемму 1.3 заканчивает доказательство. Теорема 4.5 сводит изучение квазиоднородно разложимых вполне транзитивных групп к квазиоднородному случаю. В качестве следствия отметим СЛЕДСТВИЕ 4.6. Пусть А = 0 АІ - квазиоднородная группа без кручения, где \1\ 1, существует максимальный элемент t Є Т(А), и сервантные подгруппы в АІ сильно неразложимы. А является вполне транзитивной тогда и только тогда, когда АІ - изоморфные од-нородные вполне транзитивные группы. Доказательство. Необходимость. Из леммы 1.3 следует, что тип t Є Т(Аі) для каждого г, причем по лемме 1.6 он является наибольшим в множестве Т(А). Так как сервантные подгруппы в АІ сильно неразложимы, то из лемм 1.1 и 1.5 следует, что все ненулевые эндоморфизмы каждой группы АІ ЯВЛЯЮТСЯ мономорфизмами. Тогда из леммы 1.7 вытекает, что все АІ однородные одного и того же типа. Поэтому если а Є АІ и t(a) = t, то найдется Ь Є Aj со свойством х( ) — х(а)-Если теперь 7г, в - проекции группы А на АІ И AJ соответственно и а,Р Е(А), оса — Ь, (ЗЪ = а, то / = ватт и ф = -к(39 осуществляют изоморфизм АІ и Aj. Легко видеть, что всякая система изоморфных вполне транзитивных групп является вполне транзитивной системой групп [2, пример 2]. Поэтому достаточность вытекает из теоремы 4.4.

Квазисервантно инъективные группы без кручения

Напомним, что группа А называется квазисервантно инъектив-ной, сокращенно qpi-группой-(слабо квазисервантно инъективной, сокращенно wqpi-группой), если всякий гомоморфизм G — А (всякий эндоморфизм) любой ее сервантной подгруппы G продолжается до эндоморфизма группы А. Изучение свойств квазисервантно инъективных групп заявлено как проблема 17 а) в книге [27]. Особый интерес вызвало изучение квазисервантно инъективных групп без кручения. В [ЗІ] описаны квазисервантно инъективные группы без кручения конечного ранга. Описание квазисервантно инъективных групп в более широком классе С групп получено в [4]. Класс С, это класс всех редуцированных групп без кручения А, у которых тип каждого ненулевого элемента сравним с некоторым максимальным типом в множестве типов всех ненулевых элементов группы А. Затем в [14] были построены примеры квазисервантно инъективных групп, не принадлежащих классу С. где -к(АІ) С\7г(Aj) = 0 для всех іф], то А является qpi-группой (w qpi -группой) тогда и только тогда, когда каждая А{ есть qpi-группа (w qpi-группа). Доказательство. Необходимость очевидна, поскольку прямые ела-гаемые дрг-групп (wqpi-rpyim) также являются дрг-группами (wqpi-группами). Достаточность. Если Н - замкнутая сервантная подгруппа, то Н = 0 (АІ ПН) (Н = П (Аі П Н)). Действительно, пусть Тогда у + Н = у - (. .. ,0,2/,,0,...) +Я Є И/Я)1. Значит, г/ Є Я и, следовательно, П (А П Я) С Я. Из условия 7r(Aj) П 7r(Aj) = 0 при і ф у следует, что АІ П Я - замкнутая сервантная подгруппа в Лг-для каждого і Є /, кроме того, если f : Н —ї А - гомоморфизм, то f(Ai П Я) С А;. Откуда и вытекает справедливость леммы, а Из доказательства леммы 7.1 следует, что точно такое же утверждение справедливо для дсрг-групп и cs-rpynn. Следующая лемма уточняет лемму 2 из [15], доказанную для дог-групп. ЛЕММА 7.2. Пусть А -редуцированная wqpi-zpynna без кручения, Я - такая ее сервантная подгруппа, что 7г(Я) П 7г(А/Я) = 0. Тогда A = Hi (& Аі, где Hi - замыкание подгруппы Я в Z-адической топологии группы А и 7г(Яі) П к(Аі) = 0. Доказательство. Если Л - Z-адическое пополнение группы Л, то А — Я V, где группа У изоморфна пополнению редуцированной части А/Н. Поэтому 7г(Я) = п(Н), 7г(К) = ir(A/H) и, значит, 7г(Я)П7г(К) = 0, в частности, подгруппы Я и V вполне характеристичны в А. Поскольку А - сервантно инъективна, то все эндоморфизмы группы А продолжаются до эндоморфизмов группы А. Обозначим В = А П V. Так как тг(Я) П тг(Я) = 0, то подгруппа Я 0 В сервантна в А. Делимость факторгруппы А/Н эквивалентна равенству 7г(Л/Я) — 0. Если р Є 7г(Л/Я), то по условию рН = Я. Пусть фр = 1А — р рр Є Е{А) где (рр - продолжение деления подгруппы Я на р. Считаем, что фр Є Е(А).

Поскольку Я плотна в Я, то фрН = 0. Откуда 0 ф фрА С фрА = фрУ С К и, значит, 0 т/ СВ = ЛП7. Пусть а Є Е(А) и а(Я ф В) = 0. Тогда а(Я 0 В) = 0. Имеем У = В 0 Vi, где V\ - некоторая подгруппа в V. Если а Є A, a = х + у + z, где х Є Н, у Є В, z Є Vi, то aa = az = b Є В. Пусть 7Г Є Е(А) - продолжение проекции Я0Я на Я. Тогда 7га7Г = 0. Имеем 7г(тт — 7г4)7г = 0. Откуда 7г3 = 7г6. Следовательно, А = Яі0Лі, где Я С Яі = гт7Г3, ВС Лі = ker ж3. Как прямое слагаемое в Л, группа Яі также является гидрг-группой. Поэтому если Н не плотна в Н\, то по доказанному Hi = Я2 0 Я3, где Я С Я2 и Н3 ф 0. Тогда Л = Я 0 ТУ, где W = Я2 0 Яз 0 Лі, Яг = Н Н2- Поскольку V вполне характеристична в Л, то У определяется однозначно. Следовательно, V = W и Щ(ВВСАГ)У = В, что противоречит условию Щ ф 0. п ЛЕММА 7.3. Если А - редуцированная вполне транзитивная wqpi-группа без кручения, то л(А/ри}А)Г\тг(ршА) = 0 для любого р Є 7г(Л). Доказательство. Предположим, что q Є тт(А/ршА) Г) іт(ршА), где р"А ф 0. Тогда qwA ф ршА. Возьмем b Є р"А \ qA. Допустим, что Фра ЯША Для некоторого а Є А, где фр — 1А — р рр, а срр - продолжение деления на р подгруппы ршА, (рр Є Е(А). Имеем фр па-\-Ь) = а фра, где п кя{ф а). Поскольку х(яП(1 + &) х{Фра) то существует /Є (Л) со свойством f(qna + b) = фра. Откуда апфр}а — фра. Противоречие с выбором п. Допустим, что іррА С qu А. Тогда qUJA ф 0. В предложении 5.6 доказано, что подгруппа фдА плотна в А в ее g-адической топологии (фд - эндоморфизм, аналогичный фр). Поэтому ф А также плотная в g-адической топологии подгруппа группы А. Следовательно, если фцА С р"А, то факторгруппа А/ршА g-делима, что противоречит условию q Є тс(А/ршА). Значит найдется д Є А со свойством га = hp(ip g) со. Пусть х Є qUJA\pA (такой элемент х найдется, поскольку фрА С quA). Имеем фд{рпд + х) = рпфдд, где п га. Если а(рпд + х) = фдд, то рпфдад = ф д, что противоречит выбору п. а Рассмотрим сначала квазиоднородный случай. ТЕОРЕМА 7.4. Пусть А - квазиоднородная qpi-группа, а - ее ненулевой эндоморфизм с максимальным ядром G ф 0. Тогда G - прямое слагаемое в А с дополнительным связанным прямым слагаемым. Доказательство. Если в Т(А) имеются максимальные элементы, то, как замечено в [71, теорема 2.5], А Є С. Квазиоднородная дог-группа из класса С принадлежит классу АЛ, или является однородной разложимой группой [4, теорема 5.1]. Однородная разложимая дог-группа алгебраически компактна, или является конечной прямой суммой изоморфных связанных вполне транзитивных групп [4, теорема 3.1]. В таких группах теорема справедлива. Поэтому будем предполагать, что в Т(А) нет максимальных элементов.. Если ад ф 0 для некоторого д Є А, то по лемме 1.5 a A(t(g)) ф 0. Поэтому найдется такой Ъ Є А, что, х(6) х{а9) и &Ь ф 0. Тогда если f(ag) = b, то (fa)2g = fab ф 0 в силу максимальности ядра

Квазиоднородные cs-группы

Доказательство. Пусть А = В 0 G, где В - соответствующее алгебраически компактное прямое слагаемое. По лемме 9.1 Л является Qp-модулем. Если rp(G) HQ, ТО G изоморфна прямой сумме rp(G) копий группы Qp. Такая группа алгебраически компактна. Тогда А, как прямая сумма двух алгебраически компактных групп, алгебраически компактна. Поэтому будем предполагать, что р-ранг группы G бесконечен. В В и G выделим прямые слагаемые В\ и F одинакового р-ранга. Для простоты будем считать, что В\ = В. Тогда F можно вложить в В в качестве плотной сервантной подгруппы. По лемме 5.3 В также изоморфна плотной сервантной подгруппе группы F. В силу алгебраич, то А/Н = В/Н 7V/#, где N/H С А/Н. Как замкнутая сервантная подгруппа N выделяется в А прямым слагаемым А = N ф G, где G = В/Н. В силу доказанной части теоремы А -алгебраически компактная группа. Известно, что если Вр - р-базисные подгруппы группы А для каждого простого числа р, то \А\ ( ЯР)К [27, теорема 34.3]. Поэтому, группа мощности 2Н имеет р-ранг 2N хотя бы для одного р, что доказывает последнюю часть теоремы. СЛЕДСТВИЕ 10.2. Пусть А = ф А{ (А = П А{), где А{ є Rp u \І\ No- Группа А является cs-группой тогда и только тогда, когда A = QZ (А - алгебраически компактная группа). Но р Доказательство. Для А = П А{ утверждение вытекает из преды-дущей теоремы, так как гр(А) 2К. Пусть теперь А = ф А{ - cs-группа. В силу леммы 9.1 А является ІЄІ Qp-модулем. Поэтому данная часть следствия доказывается так же, как достаточность теоремы 6.7. Пусть Я - р-характеристика, т, ті,Т2 - р-типы, , rj Є Q . Тогда под ті П Т2 будем понимать р-тип, содержащий Яі П Яг, где Ні Є Т\, і 2 Є ті- Под т\ U Т2 - р-тип, содержащий р-сервантную подгруппу (Ні,Н2)р в Q , порожденную Н\,Н2- Обозначим Я = {h \ h Є Я}, т = {Я Н Є т}. Будем писать т\ т, если пЯі, где Н\ Є ті, содержится в множестве Я для некоторых п Є N, Я Є т; Т2 Доказательство. Имеем rp(A/H) = 1, пусть а -\- Н = (& + Я). Для всякого натурального п имеем a = sn()6 + c?n + рпап, где dn Є Я, ап Є A, sn() - n-я частичная сумма числа , записанного в виде формального степенного ряда. Пусть а — х + /, с?п = 7n ( + 9) п — 6П + 0п, ж,Ьп Є Я, y,gn Є G, jn Є Qp. Если /г = hp(b), то р ж = ab, у = Рд, а,(3 Є (. Тогда pfcz = pfc5n(0&+Pfc7n6+K+A:&n, У = Jn9+Pn9n-Отсюда a = p sn() + p 7n + P"an, p = jn + pnpn, где an Є Яр(6), Pn Hp{g) значит, a — pkP есть предел последовательности pA:sn( ) в группе V — Hp(b) + Нр(д), т.е. принадлежит р-сервантной подгруппе группы Q порожденной V. Для cs-групп конечного р-ранга справедлива ЛЕММА 11.2. Группа А из Rp конечного р-ранга п 2 является cs-группой тогда и только тогда, когда она представима в виде р-ранга 2 есть cs-группа.

Доказательство. Необходимость. Пусть а Є А, а ф 0. Подгруппа Н = (а) - прямое слагаемое в А. В Я всякая сервантная подгруппа плотна, так как в противном случае Я в силу того, что имеет р-ранг = 1 содержала бы р-делимое прямое слагаемое. Остальные утверждения вытекают из того, что прямые слагаемые cs-групп есть cs-группы. Достаточность. Индукцией по п. При п = 2 утверждение очевидно еской компактности эта плотная сервантная подгруппа совпадает с F. Поскольку F - произвольное прямое слагаемое бесконечного р-ранга в G, то из леммы 5.1 вытекает, что G -алгебраически компактна, значит, и сама группа А является таковой. Если теперь В - р-базисная подгруппа ранга 2 , то В имеет подгруппу Н такую, что В/Н - р-адическая алгебраически ком пактная группа бесконечного р-ранга. Так как В/Н - сервантная под-группа в А/Н, то А/Н = В/Н 7V/#, где N/H С А/Н. Как замкнутая сервантная подгруппа N выделяется в А прямым слагаемым А = N ф G, где G = В/Н. В силу доказанной части теоремы А -алгебраически компактная группа. Известно, что если Вр - р-базисные подгруппы группы А для каждого простого числа р, то \А\ ( ЯР)К [27, теорема 34.3]. Поэтому, группа мощности 2Н имеет р-ранг 2N хотя бы для одного р, что доказывает последнюю часть теоремы. СЛЕДСТВИЕ 10.2. Пусть А = ф А{ (А = П А{), где А{ є Rp u \І\ No- Группа А является cs-группой тогда и только тогда, когда A = QZ (А - алгебраически компактная группа). Но р Доказательство. Для А = П А{ утверждение вытекает из преды-дущей теоремы, так как гр(А) 2К. Пусть теперь А = ф А{ - cs-группа. В силу леммы 9.1 А является ІЄІ Qp-модулем. Поэтому данная часть следствия доказывается так же, как достаточность теоремы 6.7. Пусть Я - р-характеристика, т, ті,Т2 - р-типы, , rj Є Q . Тогда под ті П Т2 будем понимать р-тип, содержащий Яі П Яг, где Ні Є Т\, і 2 Є ті- Под т\ U Т2 - р-тип, содержащий р-сервантную подгруппу (Ні,Н2)р в Q , порожденную Н\,Н2- Обозначим Я = {h \ h Є Я}, т = {Я Н Є т}. Будем писать т\ т, если пЯі, где Н\ Є ті, содержится в множестве Я для некоторых п Є N, Я Є т; Т2 Доказательство. Имеем rp(A/H) = 1, пусть а -\- Н = (& + Я). Для всякого натурального п имеем a = sn()6 + c?n + рпап, где dn Є Я, ап Є A, sn() - n-я частичная сумма числа , записанного в виде формального степенного ряда. Пусть а — х + /, с?п = 7n ( + 9) п — 6П + 0п, ж,Ьп Є Я, y,gn Є G, jn Є Qp. Если /г = hp(b), то р ж = ab, у = Рд, а,(3 Є (. Тогда pfcz = pfc5n(0&+Pfc7n6+K+A:&n, У = Jn9+Pn9n-Отсюда a = p sn() + p 7n + P"an, p = jn + pnpn, где an Є Яр(6), Pn Hp{g) значит, a — pkP есть предел последовательности pA:sn( ) в группе V — Hp(b) + Нр(д), т.е. принадлежит р-сервантной подгруппе группы Q порожденной V. Для cs-групп конечного р-ранга справедлива ЛЕММА 11.2. Группа А из Rp конечного р-ранга п 2 является cs-группой тогда и только тогда, когда она представима в виде р-ранга 2 есть cs-группа. Доказательство. Необходимость. Пусть а Є А, а ф 0. Подгруппа Н = (а) - прямое слагаемое в А. В Я всякая сервантная подгруппа плотна, так как в противном случае Я в силу того, что имеет р-ранг = 1 содержала бы р-делимое прямое слагаемое. Остальные утверждения вытекают из того, что прямые слагаемые cs-групп есть cs-группы. Достаточность. Индукцией по п. При п = 2 утверждение очевидно.

Похожие диссертации на Абелевы группы с большим числом эндоморфизмов

Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группыЦарев, Андрей Валерьевич

Теории с конечным числом счетных моделей и полигонометрии группСудоплатов Сергей Владимирович

Конечные группы с несвязным графом простых чисел, имеющим небольшое число вершинХрамцов Игорь Владимирович

Группы, содержащие элемент, перестановочный лишь с конечным числом сопряженных с ним элементовКисляков, Валерий Евгеньевич