Содержание к диссертации
Введение
1 Определения, обозначения и предварительные результаты 13
2 3-примарные группы с несвязным графом простых чисел 17
2.1 Предварительные результаты 17
2.2 Главные факторы коммутантов 3-примарных групп 21
2.3 Главные факторы 3-примарных групп 27
3 4-примарные группы с несвязным графом простых чисел 32
3.1 Графы простых чисел почти простых 4-примарных групп . 32
3.2 Главные факторы коммутантов 4-примарных групп 37
3.3 Главные факторы 4-примарных групп 56
3.4 Вполне приводимость некоторых Сі^(2)уІ7-модулей 65
4 Реализуемость абстрактного графа с не более чем пятью вершинами как графа простых чисел некоторой группы 69
4.1 Предварительные результаты 69
4.2 Графы с двумя или тремя вершинами 70
4.3 Графы с четырьмя вершинами 71
4.4 Графы с пятью вершинами 73
Список литературы
- Главные факторы коммутантов 3-примарных групп
- Главные факторы 3-примарных групп
- Главные факторы коммутантов 4-примарных групп
- Графы с двумя или тремя вершинами
Главные факторы коммутантов 3-примарных групп
Несмотря на важность этой проблематики, по ней имеется не так много результатов. Первой работой, в которой исследовался случай, когда G — простая неабелева группа, была классическая работа Г. Хигмена [27]. Если группа G изоморфна L2(2m), т 2 и элемент порядка 3 из G действует на Q без неподвижных точек, то Хигмен дал положительные ответы на пункты 1)-3) проблемы 2. В частности, Q — элементарная абелева 2-группа, действие G на Q вполне приводимо и каждый 2-главный фактор группы G изоморфен естественному (7 (2т)57у2(2т)-модулю. Позже Мартино [40,41] получил аналогичный результат для случая, когда группа G изоморфна Sz(2n) и элемент порядка 5 из G действует на Q без неподвижных точек. Продолжая работу Хигмена, Стюарт [47] показал, что Q = 1 в случае, когда группа G изоморфна L/2(q), q нечетно, q 5 и элемент порядка 3 из G действует на Q без неподвижных точек. Работы Принса [44], Цурека [59], Холта и Плеске-на [28] были посвящены случаю, когда Q = 02(G), группа G изоморфна А$ и элемент порядка 5 из G действует на Q без неподвижных точек. Этот случай оказался трудным, поскольку в этом случае Q уже может не быть абелевой группой. Принс и Цурек дали полные (положительные) ответы на вопросы 1), 3) и 4). В частности, Q есть произведение G-инвариантных подгрупп Qi, изоморфных либо гомоциклической 2-группе ранга 4, либо специальной 2-группе порядка 2 с центром порядка 2 (изоморфной унипотентному радикалу некоторой параболический максимальной подгруппы в /5(2)). Причем в первом случае каждый 2-главный фактор группы G, входящий в Qi, изоморфен ортогональному (подстановочному) Сі (2)уІ5-модулю, а во втором случае группа Z(Qi) изоморфна ортогональному (7і (2)уі5-модулю, a Qi/Z(Qi) — естественному Сі (4)5 Ь2(4)-модулю. По раннему результату Г. Хигмена теоретической верхней оценкой для ступени нильпотентности группы Q была 6. Цурек [59] предположил, что такой оценкой будет 2. Однако в дальнейшем Холт и Плес-кен [28] доказали, что ступень нильпотентности группы Q не превосходит 3, и построили пример группы Q порядка 2 , когда эта граница достигается. Используя компьютер, они также показали, что примера меньшего порядка не существует. Принс [45] показал, что в случае, когда Q = 02(G), группа G изоморфна AQ И элемент порядка 5 из G действует на Q без неподвижных точек, вопросы 1)-4) решаются положительно. В работе Дольфи, Джабара, Лючидо [3] доказано, что в случае, когда O(G) 7 1, группа G изоморфна AQ и элемент порядка 5 из G действует на Q без неподвижных точек, то группа 0{Q) есть абелева 3-группа и 3-главные факторы группы G изоморфны 4-мерному неприводимому подстановочному Сі (3)С-модулю. Позже в работе [1] были исправлены ошибки, допущенные в работе [3].
Нам потребуются некоторые определения из теории графов. Под термином "граф" понимается неориентированный граф без петель и кратных ребер. Кликой (соответственно, кокликой) называется граф все вершины которого попарно смежны (соответственно, не смежны).
Граф простых чисел конечной группы G можно рассматривать как некоторый граф на 17г(С) вершинах, все вершины которого помечены различными простыми числами из 7г((7) так, что две вершины, помеченные простыми числами р и q, смежны тогда и только тогда, когда pq Є uo{G). В связи с такой интерпретаций графа простых чисел возникает следующее определение. Будем говорить, что граф Г реализуется как граф простых чисел некоторой группы если вершины графа Г можно разметить различными простыми числами так, чтобы он стал графом простых чисел некоторой конечной группы. Можно сформулировать следующую проблему.
Проблема 3. Пусть Г — граф с конечным числом вершин. Реализуется ли Г как граф простых чисел некоторой конечной группы!
На данный момент существует совсем не много работ, посвященных проблеме 3. В неопубликованной бакалаврской работе И.Н. Жаркова [4], студента В.Д.Мазурова, было доказано, что цепь реализуется как граф простых чисел некоторой группы тогда и только тогда, когда его длина не более чем 4. Аналогичные проблема рассматривались Тонг—Виетом [51] для графа Д((7). Граф A(G), который строится по группе G по следующим правилам: множеством его вершин являются простые числа, делящие степени неприводимых характеров группы G. Две различные вершины р и q соединены ребром в A(G) тогда и только тогда, когда pq делит степень некоторого неприводимого характера группы G.
Диссертация посвящена в основном исследованию проблемы 2 для групп (7, для которых граф Г((7) несвязен и имеет 3 или 4 вершины, а факторгруппа G/F{G) является почти простой группой. Кроме того, целью диссертации было решение проблемы 3 для графов с небольшим числом вершин.
Работа состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы, содержащего 82 наименования и приложений. Работа изложена на 96 страницах. Главы диссертации подразделяются на параграфы. Вспомогательные утверждения (леммы) и таблицы имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе. Теоремы и следствия из них имеют двойную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — номер теоремы в главе. Проблемы имеют сквозную нумерацию.
Главные факторы 3-примарных групп
В теоремах 3.2-3.10 была дана классификация коммутантов конечных 4-примарных групп с несвязным графом простых чисел. Целью данного параграфа является исследование конечных 4-примарных групп G с несвязным графом простых чисел из пункта (7) теоремы 3.2 таких, что F{G) 1 и G — непростая группа. Для большинства таких групп описаны р-главные факторы, где р — простой делитель порядка радикала Фиттинга группы.
Основные результаты раздела представлены в виде таблиц 3.3.1 и 3.3.2. В первом столбце таблицы приведена группаС, во втором столбце — граф Г((7), в третьем столбце — простой делитель р порядка F(G), в четвертом столбце — размерность d неприводимого GF {р)С-шоауля V, на котором элемент из 7г(6г) \ 7Гі (G) действует без неподвижных точек. В пятом столбце указано количество неизоморфных GF(p) G-модулей размерности d. В последнем столбце указано поле определения F абсолютно неприводимого (7-модуля, из которого строится модуль V (см. лемму 1.1.7). Каждую строчку таблицы следует читать следующим образом: каждый р-главный фактор группы G как (7.Р(р)(7-модуль изоморфен одному из п неприводимых GF(p)G-модулей размерности d.
Для вычисление полей определения неприводимых представлений мы применяем многочлены Конвея. Напомним их определение. Пусть q = рп, где р — простое число и п — натуральное число. Поле GF(q) можно рассматривать как фактор-кольцо GF(p)[x]/(fn), где fn — неприводимый над GF(p) многочлен степени п. Известно, что для рип многочлен fn определяется неоднозначно. Для избежания этой неоднозначности Р. Паркером был введен специальный многочлен fp n, названный им многочленом Конвея. Многочлен Конвея неприводим над GF(p), лежит в кольце GF(p)[x] и, следовательно, GF(q) = GF(p)[x]/(fPin). Чтобы определить мно гочлен Конвея fp n, зададим линейный порядок на множестве многочленов степени п из кольца GF{p)[x]. Пусть д(х) = дпхп + дп-\Хп hnxn + hn-\Xn l 0. Положим g h тогда и только тогда, когда существует индекс к, такой, что 0 к п, #« = hi для всех і к и { — \)n kgk ( — l)n khk. Многочлен /Р;П строится по следующим правилам. Старший коэффициент fp n равен единице; элемент zn = х + (/р,п) является примитивным элементом поля GF(q); если d является собственным делителем числа п и а = (рп — l)/(pd — 1), то zn является корнем многочлена / ; многочлен /рп является наименьшим относительно введенного выше порядка.
Известно, что для любой фиксированной пары рип многочлен Конвея существует и единствен [43]. Это позволяет использовать многочлен Конвея в различных системах компьютерной алгебры, например, в GAP [22] для унифицированного представления элементов расширений конечных полей.
Для нахождения полей определения представлений нужно вычислять числа (GF(p)(k) : GF(p)), где р — простое число и к — элемент из некоторого конечного расширения поля GF{p). В системе компьютерной алгебры GAP реализован алгоритм (функция SizeOfFieldOfDefinition) вычисления степени п многочлена Конвея fp n для поля GF(jp)(k), следовательно, GF(p)(k) = GF(pn). Таким образом, для вычисления поля определения представления группы G с неприводимым р-модулярным характером Брауэра /3, нужно вычислить степени ПІ многочленов Конвея для полей GF{p){(3{xi)), где 1 і г. Если т = max п , то GF(pm) будет полем определения рас l i r сматриваемого представления. Доказаны следующие две теоремы: Теорема 3.11. Пусть G — конечная А-примарная группа с несвязным графом простых чисел из п. (7) леммы 1, F{G) 1, G/F{G) — непростая почти простая группа, не изоморфная 54(9).2 и TT\{G) = {2,3,5}. Тогда главные факторы группы G, входящие в F{G), описаны в таблице 3.3.1. 4, применим следующий алгоритм. С помощью библиотеки таблиц р-модулярных характеров почти простых групп из [22], найдем неприводимые р-модулярные представления группы G для р Є 7Гі(6г). С помощью леммы 1.1.3 оставим только те представления, которым соответствуют модули V, для которых dim Су(д) = 0, для элемента д Є G такого, что \д\ Є 7Г2((7). Поле определения таких представлений найдем, используя вычисления в системе GAP, по схеме описанной выше. Если G изоморфна L2(81): 2i, L2(81): 2з, L2(81): 4i или L2(81): 42, то результат следует из пункта (18) теоремы 3.7. Результаты вычислений представлены в таблице 3.3.1.
Пусть выполнены условия теоремы 3.12. Тогда по теореме 3.8 получаем, что G изоморфна одной из групп L2(27).3, 3D4(2).3, [/3(8).2, [/3(8).Зі, [/з(8).3з, /з(7).2, 3(8).2, 3(8).З, Ьз(8).6. Для этих групп применим описанный только что алгоритм. Результаты вычислений представлены в таблице 3.3.2. Теоремы доказаны.
Главные факторы коммутантов 4-примарных групп
Следующая теорема дает первоначальную классификацию конечных 4-примарные группы с несвязным графом простых чисел.
Теорема 3.2. Пусть G — конечная четырепримарная группа с несвязным графом простых чисел и G = G/F(G). Тогда выполнено одно из следующих утверждений:
Замечание. Все простые 4-примарные группы, кроме группы Аю, имеют несвязный граф простых чисел. В. Ши записал в "Коуровскую тетрадь" [10] вопрос 13.65: конечно или бесконечно число конечных простых А-примарных групп! Как отмечено в [31, замечание 3.6], имеются некоторые основания для существования только конечного числа групп в пи. (4) и (5) теоремы 3.2. Однако вопрос Ши до сих пор открыт.
В следующей теореме описываются конечные 4-примарные группы G, для которых Г(6г) несвязен и GJ F(G) — почти простая 3-примарная группа.
Теорема 3.3. Пусть G — конечная А-примарная группа с несвязным графом Г((7) и G := G/F(G) — почти простая 3-примарная группа. Тогда 7r(F(G)) содержит простое число р, не принадлежащее ТГ(G), такое, что 7Ti(G) = {2}3}р}, 7T2(G) = 7T2(G) = {г} С {5,7,13,17} и выполняется одно из следующих утверждений:
(1) г = 5, G = А5 или S$, подгруппа Op(G) абелева, веер-главные факторы группы G как G-модули изоморфны 4-мерному неприводимому GF(p)G-модулю, G/Op(G) — группа из пп. (3) или (5г) теоремы 2.1 ;
(2) г = 7, G = L2{7) или PGL2{7), каждый р-главный фактор группы G KCLKG -модуль изоморфен?)-мерному неприводимому GF(p2)L2(7)-модулю или 6-мерному абсолютно неприводимому GF(p)L2(7)-модулю и G/Op(G) — группа из п. (5г ) теоремы из 2.1;
(3) г = 7, G = /з(3) или G2(2), каждый р-главный фактор группы G как G-модуль изоморфен 6-мерному абсолютно неприводимому GF(pm)G-модулю, где т = 2, если G = G2(2) up = — 1 (mod 3), ит = 1е противном случае, G/Op(G) — группа из п. (5т) теоремы из 2.1;
(4) г = 13, (7 = Ьз(3) мли АІІ(З(3)), каждый р-главный фактор группы G как G-модуль изоморфен 12-мерному абсолютно неприводимому GF(pm)G-модулю, где т = 2, если G = Aut(L (3)) и р ф 1 (mod 12); и т = 1 в противном случае, G/Op(G) — группа из п. (5vii) теоремы из 2.1;
(5) г = 17, G = 2(17) или PGL2(17), каждый р-главный фактор группы G как G-модуль изоморфен при р ф ±1 (mod 9) одному из четырех 16-мерных абсолютно неприводимыхGF(p)G-модулей, а прир = ±1 (mod 9) — 16-мерному абсолютно неприводимому GF(p)G-модулю или 16-мерному абсолютно неприводимому GF(p3)G-модулю, G/Op(G) — группа из п. (bviii) теоремы из 2.1.
Доказательство . Пусть выполняются условия теоремы 3.3. Поскольку группа G 4-примарна, а группа G 3-примарна, то по лемме 2.1.1 в TT(F(G))\K(G) содержится простое число р, большее 3. По лемме 1.1.1 {2,р}Стгі(С).
Случай 1. 3 7Ti(G). Тогда 3 7Гі(С) и по лемме 2.1.2 имеем G Є {A5,A6,M10,L2(7), L2(8),L2(17)}.
Если G Є { 5, 2(8)}, то элемент порядка 3 из G действует свободно на Op(G), откуда по лемме 1.1.5 получаем, что Op(G) = 1, а это не так.
Если G Є {AQ,MW}, ТО Зр Є ui(G), поскольку силовская 3-подгруппа в G является элементарной абелевой порядка 9, откуда З Є 7і і((7); противоречие с предположением. Если G = Ь2(7), то G содержит подгруппу Фробениуса порядка 21 и по лемме 1.1.2 вершина 3 лежит в 7і і((7); противоречие с предположением.
Если G = L2(17), то элемент порядка 3 из G действует свободно на Op{G), откуда по лемме 1.1.4 получаем, что Op{G) = 1, а это не так.
Таким образом, случай 1 невозможен.
Случай 2. З Є TTI(G). Тогда тц{С) = {2,3,р} и тг2(С7) = тг2(С) = {г} для некоторого простого числа г. Так как G — почти простая 3-примарная группа, то по лемме 2.1.2 имеем TT(G) = {2,3, г} и, следовательно, г Є {5, 7,13,17}.
Если г = 5, то по [3], 2.1.2 и [21] имеем G Є {А5, 5s} и выполняется утверждение (1).
Пусть г = 7. Тогда по теореме 2.1 имеем G Є {L2(7), PGL2(7), L2(8), 2С72(3), Щ(3), G2(2)}.
Если G Є {L2(7), PGL2(7)}, то по [21] и теореме 2.1 выполняется утверждение (2).
Если G Є {L2(8),2 G2(3)}, то по [21] не существует неприводимый GF(p)G-модуль, на котором элемент порядка 7 из G действует свободно, значит, граф Г(6г) связен; противоречие.
Если G Є {/з(3), (72(2)}, то по [21] существует единственный 6-мерный абсолютно неприводимый GF(рт)(7-модуль с полем определения GF(pm). Если G С/3(3), то т = 1. Если G С72(2), тот= (GF(p)( /=3): GF(p)). По [37, лемма 4] получаем, что т равно 1 при р = 1 (mod 3) и 2 при р = —1 (mod 3). Поэтому с учетом теоремы 2.1 выполняется утверждение (3).
Пусть г = 13. Тогда по теореме 2.1 имеем G Є {L (3),Aut(L (3))}. По [21] существует единственный 12-мерный абсолютно неприводимый GF(pm)G-модуль с полем определения GF(pm). Если G = Ьз(3), то m = 1. Если G = Aut{L3{3)), то т = {GF(p){y/3): GF{p)).
Графы с двумя или тремя вершинами
Если 7Г2(С) = {5}, то, применяя [3], лемму 1.1.3 и таблицу 2-модулярных характеров Брауэра группы Aj из [32], получаем, что выполнено одно из утверждений (1),(3). Пункт 2 теоремы является прямым следствием [1, леммы 4.2-4.4].
Поэтому можно считать, что ir\(G) = {2,3} и it 2(G) = {5,р}, где р Є TT(G) \ {2,3,5}. Отсюда по лемме 1.1.1 7r(F(G)) С {2,3}. Ввиду леммы 1.1.7 F(G) т 1- Поэтому силовские 5- и р-подгруппы группы G циклические, следовательно, группа G изоморфна одной из групп Aj, Ь3(4), L3(4): 2i, L3(4): 22, 4(3), Мц или L2(ll). Применяя лемму 1.1.3 и таблицы 2- и 3-модулярных характеров Брауэра группы G из [32], получаем, что элемент порядка 5 или р из G централизует нетривиальный элемент из F(G), что невозможно.
Теорема доказана.
Теорема 3.7. Пусть G — конечная А-примарная группа с несвязным графом Г((7); G := G/ F(G) — почти простая А-примарная группа из п. (7) заключения теоремы3.2, 7Ti(G) = {2,3, 5} и (G) = {р}. Тогдар Є {7Д1ДЗД7;31, 41,73} и выполнено одно из следующих утверждений:
(l)p = 7,G = С/з(5), Е/з(5): 2, А9, С74(3), С/4(3): 22; С74(3): 23 «л« 08+(2);
(2) р = 7, G = Aj или 5 7, F(G) = 1 при G = Aj, каждый r-главный фактор группы G как G-модуль изоморфен 6-мерному неприводимому GF(r)G-модулю для г Є {2,3, 5};
(3) р = 7, G = As или Sg, F(G) = 02(G), каждый 2-главный фактор группы G как G-модуль изоморфен 6-мерному неприводимому GF(2)G-модулю;
(4) р = 7, G = L3(4), L3(4): 2г или L3(4): 23, F{G) = Q2{G) ф 1, каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен одному из двух квазиэквивалентных 9-мерных абсолютно неприводимых GF (2)Ьз(4)-модулей]
(5) р = 7, G = J i, F{G) = 02(G), каждый 2-главный фактор группы G как G-модулъ изоморфен 6-мерному неприводимому GF\А).J -модулю;
(6) р = 7, G = SQ(2), F(G) = 02(G), каждый 2-главный фактор группы G как G-модулъ изоморфен 6-мерному неприводимому GF (2) SQ(2)-модулю;
(7) р = 11, G = МЦ, F(G) = 1, каждый 2-главный фактор группы G как G-модуль изоморфен 10-мерному неприводимому GF(2)M\\-модулю, каждый Ъ-главный фактор группы G как G-модулъ изоморфен одному из двух 5-мерных или трех 10-мерных неприводимых GF\3)Мц-модулей, каждый Ъ-главный фактор группы G как G-модулъ изоморфен 10-мерному неприводимому GF(b)M\\-модулю или 10-мерному неприводимому GF(2b)M\\-модулю;
(8) р = 11, G = Му2 или Aut(M12), F(G) = 02(G) х 03(G), каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 10-мерному неприводимому GF(2)М\2-модулю, каждый Ъ-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен либо одному из двух квазиэквивалентных 10-мерных, либо одному из двух квазиэквивалентных 15-мерных неприводимыхGF(3)M\i-модулей;
(9) р = 11, G = Us(2) или Aut(Us(2)), каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен Ъ-мерному или 10-мерному неприводимому GF(4)U$(2)-модулю, каждый Ъ-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 10-мерному неприводимому GF(3)Us (2)-модулю, каждый Ъ-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 10-мерному неприводимому GF(b)U$(2) -модулю;
(10) р = 13, G = 2F4(2) или 2F4(2);
(11) р = 13, G = Ь2(2Ъ) (при F(G) ф 1), Ь2(2Ъ): 22 или L2(25): 23 (при F(G) ф 1), F(G) = 02(G) х 05(G), каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен одному из двух квазиэквивалентных 12-мерных абсолютно неприводимых GF (2)L2(25)-модулей, каждый 5-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен -мерному или 16-мерному неприводимому GF (5)L2(25)-модулю или %-мерному неприводимому GF (25)L2(25)-модулю]
(12) р = 13, G = /з(4), /з(4): 2 или /з(4): 4; каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 3-мерному или 9-мерному неприводимому GF(16)U (4:)-модулю, каждый 3-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 12-мерному неприводимому GF (3)[/з(4)-модулю, каждый Ъ-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 12-мерному неприводимому GF(5)Uz(4)-модулю;
(13) р = 13, G = 5 4(5), F(G) = 02(G), каждый 2-главный фактор группы G как G-модуль изоморфен 12-мерному неприводимому GF(A)G-модулю;
(14) р = 13, G = L4(3), L4(3): 22 или L4(3): 23; F(G) = 03(G), каждый 3-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 6-мерному неприводимому GF (3)1/4(3)-модулю;
(15) р = 11, G L2(16) (при F(G) ф 1), L2(16): 2 или L2(16): 4, каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 2-мерному или 4-мерному неприводимому GF(16)L/2(16)-модулю, А-мерному неприводимому GF (4)L2(16)-модулю или 16-мерному неприводимому GF (2)L2(16)-модулю, каждый 3-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 16-мерному неприводимому GF(3)1/2(16)-модулю, каждый 5-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 16-мерному неприводимому GF(5)1/2(16)-модулю;
(16) р = 31, G = Ьз(5) или Ьз(5): 2, каждый 2-главный фактор группы G как G-модуль изоморфен 30-мерному неприводимому GF(2)Ь%(5)-модулю, каждый 3-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 30-мерному неприводимому GF(3)Ь%(5)-модулю, каждый 5-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен неприводимому GF(5)Ь%(5)-модулю, принадлежа щему парам квазиэквивалентных модулей размерностей?), 6, 15 {две пары), 18, 39 или 60;
(17) р = 73, G = U%(9), /з(9): 2 или /з(9): 4, каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 72-мерному неприводимому GF{2)G -модулю, каждый 3-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен неприводимому GF(81)G -модулю размерности 3, б, 9, 15, 18 (два модуля), 21, 36, 42, 45 (два модуля), 90 или 105, каждый Ъ-главный фактор группыС как G -модуль изоморфен 72-мерному неприводимому GF(5)G-модулю;
(18) р = 41, G = L2(81), L2(81): 2Ь L2(81): 23, L2(81): 4i или L2(81): 42, F(G) = 02(G) x Os(G), F(G) ф\приС = L2(81), L2(81): 23 мли L2(81): 42, каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен одному из двух квазиэквивалентных АО-мерных неприводимых GF (2) Ь2(81)-модулей, каждый Ъ-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен либо единственному неприводимому GF(3)G -модулю размерности 16, либо неприводимому GF(9)G -модулю размерности 4 или 36, либо неприводимому GF(81)G -модулю размерности 4, 12 (три модуля) или 36;
(19) р = 41, G 54(9), 54(9): 2г или 54(9): 23, F(G) = 02(G) х 03(G), 2-главный фактор группы G как G -модуль может быть изоморфен 40-мерному неприводимому GF (4)S4(9)-модулю.
Доказательство . Пусть выполняются условия теоремы 3.7. Применяя леммы 1.1.3, 1.1.7 и теорему 3.1, таблицы характеров Брауэра из [32] и вычисляя в GAP [22], получим, что либо выполнено одно из утверждений (1)-(18), либо р = 41 и G — группа из утверждений (18) или (19).
Пусть G — группа из утверждения (18). Тогда ввиду теоремы 3.1 G = L2(81), L2(81): 2Ь L2(81): 23, L2(81): 4i или L2(81): 42 и TI(F(G)) С {2, 3, 5}, причем F(G) ф 1 при G = L2(81), L2(81): 23 или L2(81): 42. Применяя лемму 1.1.3 и таблицы 2- и 5-модулярных характеров Брауэра из [19] для группы G = L2(81), получим, что 0(G) = 1 и каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен одному из двух квазиэквивалентных 40-мерных неприводимых Сі (2)іу2(81)-модулей. В работе [19, раздел 9] был указан алгоритм для нахождения таблицы р-модулярных характеров Брауэра группы L2(pn). Этот алгоритм был реализован нами в системе компьютерной алгебры GAP [22] (см. приложение Б) для случая рп = 81. Применяя этот алгоритм и лемму 1.1.3 получаем, что утверждение (18) доказано.
Пусть G — группа из утверждения (19). Тогда ввиду 1.1.7 G = 5 4(9), 5 4(9): 2i или 54(9): 2з и 7г (F(G)) С {2,3,5}. В G есть подгруппа Н, изоморфная L2(81). Поэтому ввиду утверждения (18) имеем 0(G) = 1. По [53] алгебраически сопряженные неприводимые характеры 9j и #8 из главного 2-блока группы G имеют степень 40, и их ограничения на множество элементов нечетного порядка группы G являются ее неприводимыми характерами Брауэра. Ввиду утверждения (18) ограничениям этих характеров Брауэра на подгруппу Н соответствуют неприводимые GF(2)Н-модули, на которых элемент порядка 41 из Н действует свободно. Отсюда следует справедливость утверждения (19).
Теорема доказана.
Теорема 3.8. Пусть G — конечная А-примарная группа, G := G/F(G) — конечная А-примарная почти простая группа с несвязным графом Г(G) из п. (7) заключения теоремы 3.2; {2,3} С TTI(G) и 5 TT(G). Тогда либо 7n(G) = {2,3}; тг2(С) = {7}, 7г3(С) = {13} и G G2(3), либо тп(С) = {2,3,7}; 7Г2(С) = {р} С {13,19,43,73} и выполнено одно из следующих утверждений: (1) р = 13, G = Ь2(27): 3, F(G) = Oz(G), каждый 3-главный фактор группы G как G-модуль изоморфен 12-мерному или 36-мерному неприводимому GF (3)1/2(27)-модулю; (2)p=13,G G2(3):2; (3) p = 13,G = 3DA(2) или 3DA(2): 3, F(G) = 02(G), каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен %-мерному неприводимому GF(8fDA(2) -модулю; (4) р = 19, G = L3(7) или L3(7): 2; (5) р = 19, G = U3(8),U3(8): 2, С73(8): ЗІ ШШ С73(8): 33, F(G) = 02(G), каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен либо 9-мерному неприводимому GF (64)U (8) -модулю, либо 27-мерному неприводимому GF (4)Щ(8) -модулю; (6) р = 43, G = U%(7) или U%(7): 2, каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 42-мерному неприводимому GF(2)U%(7)-модулю, каждый 3-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 42-мерному неприводимому GF(3)U%(7)-модулю, каждый 7-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен неприводимому GF(49)U (7)-модулю размерности 3, б, 15 (два модуля), 21, 24, 33, 36, 42, 75 или 105;
(7) р = 73, G = Ьз(8), Ьз(8): 2, L3(8): 3 или L3(8): б, каждый 2-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен либо одному из двух квазиэквивалентных 3-мерных неприводимых GF (8) Ь%(8)-модулей, либо одному из четырех 9 -мерных неприводимых GF(8)Ь%(8)-модулей (разбитых на две Aut(G)-орбиты), либо одному из четырех 24-мерных неприводимых GF (8) Ь%(8)-модулей (разбитых на две Aut(G)-орбиты), либо одному из двух квазиэквивалентных27-мерных неприводимыхGF(2)Ь%(8)-модулей, либо одному из двух квазиэквивалентных27-мерных неприводимых GF(8)Ь%(8)-модулей, либо одному из четырех 72-мерных неприводимых GF(8)L%(8)-модулей (разбитых на две Aut(G )-орбиты), каждый 3-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 72-мерному неприводимому GF(3)L%(8)-модулю, каждый 7-главный фактор группы G как G -модуль изоморфен 72-мерному неприводимому GF(7)Ь%(8)-модулю.
