Введение к работе
Актуальность темы. Один из главных подходов к изучению конечных примитивных групп подстановок основан на их реализации как групп автоморфизмов графов (каждая примитивная группа допускает такую реализацию). В связи с этим большой интерес представляет класс TV конечных связных графов, допускающих вершинно-примитивные группы автоморфизмов. В алгебре и комбинаторике существенную роль играет, кроме того, подкласс jppe_trans класса TV, состоящий из графов с вершинно-примитивными реберно-транзитивными группами автоморфизмов. Класс j^pe-trans; в свою очередь, содержит важный под-
/т^/Т"^ 771 171 *-* 1 *-*
класс J- Р , состоящий из графов минимальной валентности для конечных вершинно-примитивных групп. Связный граф Г называется графом минимальной валентности для вершинно-примитивной группы автоморфизмов G, если Г имеет наименьшую валентность среди всех связных графов А, таких что V(A) = V(V) и G < Aut(A). Вершинно-примитивные графы минимальной валентности для конечных примитивных групп подстановок доставляют наиболее естественные их реализации в качестве групп автоморфизмов графов.
Для изучения класса TV в работах В.И. Трофимова1, М. Гиудичи, Ч. Ли, Ч. Прэгер и А. Сереша2 был предложен подход, связанный с изучением предельных графов для класса TV. Если С — произвольный класс конечных связных вершинно-примитивных графов, то предельными для С называются бесконечные связные графы, у которых каждый шар изоморфен шару некоторого графа из С. Класс предельных для С графов обозначается через lim(C). Описание lim(C) доставляет описание типичного локального строения графов из С. Вопрос о строении графов из lim(TV) был поставлен В.И. Трофимовым3.
В силу сказанного выше, также представляет интерес изучение строения графов из lim(TVe~trans) и lim(TVmm)2. Заметим, что, как показано в работе2, строение графов из lim(TVe~trans) во многом определяет строение произвольных графов из lim(TV).
В работе М. Гиудичи, Ч. Ли, Ч. Прэгер, А. Сереша и В.И. Трофимова2
Трофимов В.И. О действии примитивных групп// Алгебра и логика. 1989. Т. 28. №3. С. 337-369.
2Giudici М., Li С.Н., Praeger С.Е., Seress A., Trofimov V. On limit graphs of finite vertex-primitive graphs// J. Comb. Theory. Ser. A. 2007. V. 114. P. 110-134.
3Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2002, вопрос 12.89.
было начато систематическое изучение класса lim(TV). При этом была показана важность подклассов TV на-, TV as-, TV pa класса TV, опреде-мых следующим образом. Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве V и v Є V. Группа G называется примитивной группой i/A-типа, если она содержит регулярную абелеву нормальную подгруппу. Группа G называется примитивной группой Лб'-типа, если она почти проста, т.е. Inn(T) < G < Aut(T) для некоторой конечной неабелевой простой группы Т. Наконец, группа G называется примитивной группой РЛ-типа, если G имеет единственную минимальную нормальную подгруппу N = Тк, где Т — некоторая конечная неабелева простая группа, к > 2, и стабилизатор Nv элемента v в N проектируется на (нетривиальные) собственные подгруппы прямых простых факторов группы N. Для X є {НА, AS, РА} через TVx обозначается класс графов, допускающих вершинно-примитивную группу Х-типа, через j:j>e-trans обозначается подкласс класса TVx-, состоящий из графов, допускающих реберно-транзитивную вершинно-примитивную группу X-типа, а через р'р71 обознается подкласс класса j?j>etrans; состоящий из графов минимальной валентности для вершинно-примитивных групп X-типа.
В указанной работе2 доказано, что
lim(TV) = \\m{TVHA) U \\m(TVAs) U \im(TVPA),
lim(TVe-trans) = \im(TVejflrans) u Ит(ТГе^гапз) U \im(TVefJFans) и
lim(TVmm) = lim(TV^X) U \im(TV^p) U \im(TV^).
Поэтому представляющее самостоятельный интерес изучение классов графов \\m(TVHA), Hm(JRP^jrans) и \шь(ТТна) является, вместе с тем необходимым, этапом изучения классов графов \\m(TV), lim(TVe~trans) и lim(TVmm).
Кроме того, в той же работе2 показано, что каждый граф из \im(TVна) является графом Кэли группы И1 для некоторого d. Напомним, что графом Кэли группы IIі, соответствующим конечной системе порождающих М, такой что М = —М и 0 ^ М, называется граф T^d^M с множеством вершин V{Yjd м) = ^ и множеством ребер E(J^zd м) = {{а? Ь} : а — Ъ Є М}. Граф Yja м назовем минимальным графом Кэли группы IIі', если множество М является орбитой наименьшей мощности на IIі \ {0} стабилизатора вершины 0 в группе Aut(r^d^).
Класс всех графов Кэли группы IIі обозначим через Cay(Zd), подкласс всех реберно-транзитивных графов класса Cay(Zd) обозначим через Caye_trans(Zd), а класс всех минимальных графов Кэли группы Zd обозначим через Caym*n(Zd). Помимо определенного самостоятельного интереса, изучение классов Caye_trans(Z'i) и Caymm(Zd) представляет интерес в связи с изучением классов X\m{TVe~trans) и X\m{TVmm\ поскольку каждый граф из Hm(jF'P'^|rans) (соответственно из Hm(jT'P^)) лежит в Caye_trans(Zd) (соответственно в Caym*n(Zd)) для некоторого d. В связи с этим актуальными являются следующие две задачи, рассмотрению которых посвящена настоящая диссертация.
1) Исследовать Caye"trans(Zd) П lim(^7^-jrans) для фиксированных
значений d.
2) Исследовать Caym*n(Zd)nlim(jr'P^) для фиксированных значений
d.
Заметим, что описание графов из Cnye~trans{Zd) П \\т(ТТе^ап8) (соответственно из Caymm(Zd) П \\т(ТТд) ) для всех d, не превосходящих некоторого положительного целого числа п, доставляет, в частности, описание класса всех графов валентности, не превосходящей 2п + 2, лежащих в lim(J7VH~^'ans) (соответственно в lim^V на)) .
Целью работы является исследование
графов, являющихся предельными для класса конечных графов, допускающих вершинно-примитивную реберно-транзитивную группу автоморфизмов 77Л-типа,
графов, являющихся предельными для класса графов минимальной валентности для вершинно-примитивных групп автоморфизмов НА-типа,
реберно-транзитивных и минимальных графов Кэли групп IIі (в их связи с а) и Ь) ).
Методы исследования. В основе используемого метода исследования реберно-транзитивных и минимальных графов Кэли групп IIі лежит установленная в диссертации связь таких графов с конечными подгруппами группы GL^(Z), позволившая, в частности, воспользоваться для
целей работы компьютерной системой GAP4'5. Кроме того, используются методы теории групп и теории графов.
Научная новизна. Результаты, полученные в работе, являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории групп и комбинаторике при изучении конечных примитивных групп и конечных вершинно-примитивных графов. Разработанные методы позволяют исследовать реберно-транзитивные и минимальные графы Кэли групп IIі.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях "Мальцевские чтения "(Новосибирск, 2005 г. и 2006 г.), на Международной школе-конференции по теории групп, посвященной 75-летию со дня рождения А.И.Старостина (Нальчик, 2006 г.), на международной конференции "Алгебра и ее приложения", посвященной 75-летию В.П. Шункова (Красноярск, 2007 г.), на 36-й, 37-й и 38-й Региональных молодежных конференциях ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2005-2007 гг.), и на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН. Исследования, проведенные в диссертации были поддержаны грантом РФФИ № 06-01-00378.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, содержащего формулировки основных результатов, шести глав, списка литературы из 21 наименования и списка основных используемых обозначений. Часть результатов технического характера вынесена в концы соответствующих глав в виде приложений. Общий объем диссертации составляет 122 страницы.
