Введение к работе
Актуальность темы. За последние 40 лет теория пространств с общими нелинейными скобками Пуассона стала ареной актуальных исследований, тесно взаимодействующих с различными областями математики и математической физики, такими как теория гамильтоновых систем, интегрируемость и приводимость, теория сингу-лярностей, теория квантования, спектральная теория (см., например, [12], [23], [26], [40], [67], [72]).
Изучение вырожденных скобок Пуассона восходит к работам Софуса Ли, который, в качестве частного случая, развил также теорию линейных скобок на векторных пространствах; сегодня они называются скобками Ли-Пуассона и играют фундаментальную роль в различных задачах математической физики. Дальнейший рост интереса к вырожденным пуассоновых структурам был связан с обнаружением многочисленных физических моделей, в частности, моделей, обладающих группами симметрии или связями, в которых пуассоновы многообразия появляются в качестве фазовых пространств, описывающих динамику. Здесь одним из важнейших примеров является скобка Дирака, которая применяется для изучения систем со связями. Другой мотивацией для изучения вырожденных пуассоновых структур стало развитие теории редукций и некоммутативной интегрируемости гамильтоновых систем, начатое в работах [18], [58], [59].
Интересные пуассоновы структуры были получены при решении задачи гамиль-тонизации уравнений движения, описывающих важные физические системы, например, для уравнения Вонга классической частицы в поле Янга-Миллса [65], для кова-риантных ВМТ-уравнений заряженной релятивистской частицы со спином [24], для уравнения движения твердого тела [2], [15]). Задача гамильтонизации для важного класса линеаризованных гамильтоновых динамик изучалась в работах [54], [57] и, например, для модели Хиггса и уравнений Зайберга-Виттена в [22]. Большой класс примеров нелинейных скобок Пуассона полиномиального типа возникают при изучении алгебр симметрии интегрируемых и суперинтегрируемых систем, в частности, резонансных алгебр (см., например, [2], [9], [16], [19], [20], [21], [49], [50], [51], [52]).
В контексте хорошо известной задачи о связи между вырожденной лагранжевой и гамильтоновой формулировками классической механики, пуассоновы структуры можно также получить из пресимплектических структур [38], [46]. Геометрический способ построения (пре)симплектических структур на расслоениях с помощью связ-ностей, который называется методом спаривания, был предложен Стернбергом [69] и получил дальнейшее развитие в работе [47]. Кроме того, в работе [66], процедура спаривания была распространена на некоторый специальный класс векторных пуассоновых расслоений (коприсоединенных расслоений, ассоциированных с главными расслоениями) и были введены калибровочные структуры Ли-Пуассона.
Отметим, что пуассонова геометрия связана еще с целым рядом интересных гео-метрико-дифференциальных объектов таких, как локальные алгебры Ли [14], алгеб-роиды Ли и группоиды Ли [56], и структуры Дирака [29]. Геометрически, пуассоново многообразие можно трактовать как объединение симплектических многообразий (симплектических листов), обычно различных размерностей, которые согласуются друг с другом некоторым гладким образом. Другими словами, общее пуассоново многообразие является сингулярным слоением симплектическими многообразиями в смысле [68], [70]. Например, в случае структуры Ли-Пуассона симплектические
листы являются коприсоединенными орбитами, несущими симплектическую структуру, называемую формой Кириллова [13].
В отличие от случая симплектических многообразий, локальная структура общих пуассоновых многообразий оказывается очень непростой. Важный вклад в понимание этой структуры был сделан Вайнстайном в работе [80]. Теорема Вайнстайна о локальном расщеплении дает локальную нормальную форму пуассоновой структуры и приводит к важному понятию локальной трансверсальной пуассоновой структуры. В той же работе была сформулирована знаменитая задача линеаризации, которая положила начало многочисленным глубоким исследованиям [17], [27], [28], [33], [39], [61], [64], [82], [84], [85].
В частности, важные результаты относительно локальной линеаризации пуассоновой структуры, как в аналитическом так и в гладком случаях, были получены Конном в работах [27], [28]. Доказательство теоремы Конна о гладкой линеаризации содержит в высшей степени нетривиальные аналитические рассуждения, основанные на объединении метода Ньютона и аппроксимирующей схемы Нэша-Мозера. Только недавно в работе [33] было предложено геометрическое доказательство теоремы Конна, которое опирается на метод гомотопии Мозера и результаты о собственных групоидах и интегрируемости алгеброидов Ли [30], [31].
Одним из первых глобальных результатов в пуассоновой геометрии является теорема о симплектической реализации произвольного пуассонова многообразия, доказанная Карасевым [10] (локально см. также в [80]) и разработанная на этой основе теория соответствия между пуассоновыми многообразиями и симплектическими группоидами [11], [81].
В 1977 году, в терминах исчисления Схоутена для поливекторных полей, Лихнеро-вич в работе [55] дал "алгебро-дифференциальное"определение пуассоновой структуры, что послужило толчком систематического изучения пуассоновых когомологий. В частном случае симплектического многообразия, пуассоновы когомологий совпадают с когомологиями де Рама. Однако, в общем случае, даже для регулярных пуассоновых многообразий, вычисление пуассоновой когомологий является сложной задачей. Первые результаты в этом направлении были получены в работах [8], [53] и затем в [44], [71], [83]. В сингулярном случае, в работе [63] были вычислены ростковые пуассоновы когомологий для двумерной пуассоновой структуры, обладающей простыми сингулярностями в смысле [1].
За последние 10 лет было проведено много исследований, посвященных полулокальной пуассоновой геометрии, т.е. геометрии в окрестности сингулярного симплектического листа ненулевой размерности пуассонова многообразия [25], [32], [37], [41], [42], [43], [45], [60], [62]. В работах [48], [53] было показано, что инфинитезималь-ные свойства листа полностью определяются его транзитивным алгеброидом Ли, который, в частности, приводит к понятию редуцированной линейной голономии листа [41], [42], [45]. В работе [48] было показано, что обращение в нуль второй группы когомологий транзитивного алгеброида Ли симплектического листа гарантирует формальную эквивалентность пуассоновых структур вблизи этого листа. В недавней работе [34], было доказано, что условие такого типа также достаточно для стабильности компактного симплектического листа в смысле работы [80]. Кроме того, как было показано в [32], явления жесткости и гибкости, известные в симплектической
геометрии, также имеют место в контексте пуассоновои геометрии и теории сингулярных слоений. Все эти результаты ориентированы на изучение нормальных форм пуассоновои структуры вблизи сингулярных симплектических листов, что является предметом активных исследований в настоящее время.
Цель работы. Диссертация посвящена развитию новых дифференциально-геометрических методов изучения (вырожденных) пуассоновых структур и их применению в теории гамильтоновых систем.
Научная новизна и теоретическое значение результатов. В диссертации получены следующие новые результаты и введены новые понятия в теории скобок Пуассона и гамильтоновых систем.
Развит новый геометрический метод построения пуассоновых структур спаривания на расслоениях общего типа.
Получена полулокальная теорема расщепления пуассоновои структуры над вложенным (сингулярным) симплектическим листом. Введено понятие полулокальной трансверсальной пуассоновои структуры.
Получены критерии полулокальной пуассоновои эквивалентности и описание соответствующих когомологических препятствий.
Дано описание нового класса пуассоновых структур на расслоениях Ли-Пуассона, ассоциированных с транзитивными алгеброидами Ли.
Введено понятие линеаризованной пуассоновои структуры над сингулярным симплектическим листом.
Доказана теорема о нормальной форме и теорема линеаризации для пуассоновои структуры над симплектическим листом компактного и полупростого типа.
Получены геометрические и аналитические критерии гамильтонизации проектируемой динамики на общих пуассоновых расслоениях. Дано описание возможности гамильтонизации в терминах пуассоновых структур спаривания.
Построен гамильтонов формализм для линеаризованной гамильтоновой динамики над сингулярным симплектическим листом пуассонова многообразия.
Эти результаты составляют основное содержание диссертации и выносятся на защиту.
Апробация работы. Основные результаты работы были доложены на 9 международных конференциях.
Июнь 2000 — Международная конференция "Poisson 2000", CIRM, Люмини,
Франция.
Июль 2002 — XXI Международная конференция "Геометрические Методы в Физике", Беловежа, Польша.
Май 2004 — XI Международная конференция "Симметрии в Физике", Чешский Технический Университет, Прага, Чешская Республика.
Июль 2005 — Летняя школа и конференция по пуассоновой геометрии, ICTP, Триест, Италия.
Июнь 2005 — II Международная конференция по сверхинтегрируемым системам в классической и квантовой механике, Дубна, Россия.
Август 2006 — Международный математический конгресс, Мадрид, Испания.
Июль 2008 — XXVII Международная конференция "Геометрические методы в физике", Беловежа, Польша.
Июль 2009 — XIII Международная конференция "Методы симметрии в физике", Дубна, Россия.
Июнь 2010 — VIII Международная конференция AMS-SMM, Беркли, Калифорния, США.
Публикации. Содержание диссертации отражено в 12 научных публикациях, в том числе, в 9 статьях в научных журналах из перечня ВАК:
Ю.М. Воробьев, Гамилътоновы структуры систем в вариациях и симплекти-ческие связности, Мат. Сборник 191 (4), 3-38 (2000).
Ю.М. Воробьев, О линеаризованных пуассоновых структурах, Мат. Заметки 70 (4), 535-543 (2001).
Yu. Vorobjev, On Poisson realizations of transitive Lie algebroids, J. of Nonlinear Math. Phys. 11, 43-48 (2004).
Ю.М. Воробьев, О линеаризации гамилътоновых систем на пуассоновых многообразиях, Мат. Заметки 78(3), 323-330 (2005).
Ю.М. Воробьев, Линеаризуемостъ пуассоновых структур на сингулярных сим-плектических листах, Мат. Заметки 80 (6), 825-837 (2006).
Yu. Vorobiev, Averaging of Poisson structures, American Inst, of Phys. 1079, 235-240 (2008).
Ю.М. Воробьев, Препятствия к эквивалентности пуассоновых структур вблизи симплектического листа полупростого и компактного типа, Функц. Анализ и Его Прил. 42 (2), 81-84 (2008).
G. Davila Rascon, R. Flores Espinoza, and Yu. Vorobiev, Euler equations on so(4) as a nearly integrable Hamiltonian system, Qualitative Theory of Dynamical Systems 7 (1), 129-146 (2008).
G. Davila Rascon and Yu. Vorobiev, A Hamiltonian approach for skew-product
dynamical systems, Russian J. of Math. Phys. 15 (1), 35-44 (2008);
а также в статьях, помещенных в коллективные монографии:
Yu. Vorobjev, Coupling tensors and Poisson geometry near a single symplectic leaf. In: Lie Algebroids and Related Topics in Differential Geometry, Banach Center PubL, Polish Acad. Sci., Warsaw, 2001, vol. 54, pp. 249-274.
Yu. Vorobjev, Poisson structures and linear Euler systems over symplectic manifolds. Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, 137-239.
Yu. Vorobjev, Poisson equivalence over symplectic leaf, Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, 241-277.
Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором или при решающем участии автора.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, семи глав и списка литературы (169 литературных источников); имеет объем 196 страниц.
