Введение к работе
Актуальность темы. В классической механике нормальные формы представляют собой мощный инструмент исследования динамических систем в окрестности особенностей. Теория нормальных форм получила свое развитие благодаря работам Пуанкаре, Дюляка, Биркгофа, Черри, а также более подзним работам Мозера, Зигеля, Брюно и других авторов. Эта теория изучает простые формы, к которым можно привести систему дифференциальных уравнений в окрестности особенности (неподвижной точки, периодического решения, инвариантного тора) с помощью замены переменных.
Такие нормализующие замены переменных рассматриваются в классе формальных степенных рядов или сходящихся рядов (аналитических функций). В связи с этим, при изучении нормальных форм различают формальную теорию и вопросы сходимости. Заметим, что формальная теория довольно проста. Доказательство сходимости намного сложнее и требует использования изощренной техники, близкой по духу к теории КАМ.
Первые результаты о нормальных формах принадлежат Пуанкаре и Дюляку. Они относятся к системам дифференциальных уравнений общего вида:
Х{ -ГдЯд,..., Хп), % 1,...,71, yVj
где F{ - комплексно-аналитичные функции в нуле. Требуется найти ана-литичную замену переменных
yi = Yi(x1,...,xn), (2)
определенную в малой окрестности положения равновесия, которая бы приводила систему уравнений (1) к наиболее простому виду.
В дальнейшем получил развитие гамильтонов вариант этой теории. В нем требуется, чтобы нормализующие преобразования сохраняли гамильтонову структуру, т.е. являлись каноническими. Нормальные формы гамильтоновых систем исследовались в 20-е, 30-е годы XX века Биркгофом 1, Черри и другими авторами. Во всех этих работах аналитич-
1Биркгоф Дж. Д., Динамические системы. — М.: Гостехиздат, 1941.
ность не доказывается.
Теорема 1 (Биркгоф). Рассмотрим систему Гамильтона сп степенями свободы с каноническими переменнымир\}... ,рп,х\,... ,хп и гамильтонианом, являющимся формальным степенным рядом:
Я = Я2 + Я3 + ...,
причем,
Н2 = XiPiXi + ... + \прпхп, (3)
где Hk - однородные по р и х многочлены степени к с комплексными коэффициентами. Тогда существует формальная каноническая замена переменных, приводящая гамильтониан Я к такому виду 2 + 4?, + 4a + ..., что
{Н,Н2} = 0. (4)
Гамильтониан, удовлетворяющий (4), называется нормальной формой. В этом выражении
№g}=e(;
dFdG dFdG
ч dpj dxj dxj dpj J
есть стандартная скобка Пуассона.
В классической механике имеют дело с вещественными гамильтонианами и заменами переменных. Поэтому для приложений важно переформулировать теорему 1 в вещественном варианте.
Теорема 2 (Биркгоф, вещественный вариант). Рассмотрим систему Гамильтона с п степенями свободы с каноническими переменными pi,... ,рп, Х\}... , хп и гамильтонианом
Я = Н2 + Яз + ...,
где Hk - однородные по р и х многочлены степени к с вещественными коэффициентами. Предположим, что Н2 можно привести линейной канонической (вообще говоря, комплексной) заменой к виду (3). Тогда существует формальная вещественная каноническая замена переменных, переводящая данную систем/у в такую систему с вещественным гамильтонианом T-L = Н2 + *Нз + % + , что {%, Н2} = 0.
Первый результат о сходимости нормализующего преобразования в гамильтоновом случае был получен Мозером 2 для систем с одной степенью свободы и периодической зависимостью от времени (так называемых систем с полутора степенями свободы) вблизи гиперболического положения равновесия.
Теорема 3 (Мозер). Рассмотрим гамилътонову систему с полутора степенями свободы, с вещественно-аналитичньш гамильтонианом:
H(p,x,t) = H(p,x,t + T), Т>0.
Предположим, что точка р = х = 0 является гиперболическим положением равновесия этой системы. Тогда существует неавтономная вещественно-аналитическая каноническая замена переменных, приводящая H(p,x,t) к автономному виду:
%{р) х) = h(px) = \\рх + \2{рх)2 + .... (5)
Ясно, что гамильтониан вида (5) является нормальной формой в смысле теоремы 1 в случае одной степени свободы. Требование гиперболичности в этой теореме существенно: известно, что нормальная форма системы с полутора степенями свободы вблизи устойчивого равновесия расходится.
Также Мозер 3 рассмотрел систему с двумя степенями свободы около положения равновесия типа седло-фокус, а именно, случай собственных значений гамильтониана вида
Ai,2,3,4 = ±а ± ib, a, b є Ш
и установил сходимость ее нормализующего преобразования.
Дальнейшее развитие теории нормальных форм можно найти у Брю-но 4. Им были получены достаточные условия сходимости и расходимости нормализующего преобразования, а также обобщение формальной теории.
2Moser J., The analytical invariants of an area-preserving mapping near a hyperbolic fixed point. Comm. Pure Appl. Math., 1956, 9(4), 673-692.
3Moser J. On the generalization of a theorem of Liapounoff // Comm. Pure Appl. Math. 1973.V. 11. P. 257-271.
4Брюно А.Д., Аналитическая форма дифференциальных уравнений I, Труды ММО 25, 1971, 119— 262.
Брюно А.Д., Аналитическая форма дифференциальных уравнений II, Труды ММО, 26, 1972, 199— 239.
Приведем краткий обзор известных результатов, связанных с квантовой формальной теорией нормальных форм.
Одна из основных идей квантовой нормализации состоит в следующем. Псевдодифференциальному оператору сопоставляется функция на фазовом пространстве заменой производных на импульсы. Такая функция называется символом оператора. Символ приводится к нормальной форме каноническим преобразованием. После этого, данному каноническому преобразованию сопоставляется унитарный оператор, называемый интегральным оператором Фурье, который соответствует каноническому преобразованию символа с точностью до малых поправок. Эти результаты имеются в работах Егорова, Хормандера, Дуистермаата. На основе этих идей строились нормальные формы вблизи устойчивого или неустойчивого положений равновесия Беллиссардом, Виттотом, Сьострандом, Грерардом и другими авторами. Более общие результаты имеются у Янтченко и Сьо-странда.
Также отметим работы Карасева, который строил нормальные формы и исследовал алгебры, порожденные ими, используя метод Маслова квантового усреднения. Этот метод был в общей алгебраической форме разработан Масловым и Карасевым 5
Цели и задачи работы. Разработать общий алгебраический подход для изучения нормальных форм квантовых наблюдаемых. Ввести для квантовых наблюдаемых такие понятия как самосопряженность (эрмито-вость), аналитичность и неавтономность. На основе данного подхода доказать квантовые аналоги важнейших теорем классической формальной теории нормальных форм (в том числе, теоремы 1,2). Доказать квантовый аналог теоремы 3.
Методы исследования. В работе квантование рассматривается с алгебраической точки зрения, а не с позиции уравнений с частными производными. В общей форме этот подход, называемый теорией некоммутативных структур, разработан Д.В. Трещевым в локальном6 и глобальном
5Карасев М.В., Маслов В.П., Асимптотическое и геометрическое квантование, УМН, 1984, 39:6(240), 115-173.
6Д. Трещев, Квантовые наблюдаемые: алгебраический аспект, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 250, 2005, 226-261.
случаях. Заметим, что данный подход близок по духу к идеям некоммутативной геометрии и геометрического квантования. Развитие этих теорий связано с работами Конна, Березина, Кириллова, Костанта и других авторов.
Квантовые наблюдаемые рассматриваются как элементы некоторой некоммутативной алгебры формальных рядов. Динамика на алгебре наблюдаемых задается лиевским коммутатором. Автоморфизмы, сохраняющие одновременно структуры ассоциативной алгебры и алгебры Ли квантовых наблюдаемых, являются квантовыми аналогами классических канонических преобразований.
Для построения автоморфизмов в работе используется квантовый аналог метода Депри-Хори, когда каноническое преобразование наблюдаемых строится как сдвиг вдоль гамильтонова векторного поля.
По аналогии с квантовыми наблюдаемыми вводятся классические наблюдаемые. Они образуют коммутативную алгебру степенных рядов с лиевской скобкой Пуассона. Можно вести гомоморфизм, действующий из алгебры квантовых наблюдаемых в алгебру классических наблюдаемых. Этот гомоморфизм называется усреднением. Благодаря ему, классические теоремы получаются из своих квантовых аналогов как следствия.
Используя данный алгебраический подход, в работе изучаются нормальные формы квантовых наблюдаемых. А именно, дается ответ на вопрос, к какому виду можно приводить элементы алгебры наблюдаемых с помощью автоморфизмов.
Вопросы представления наблюдаемых в виде операторов на L2(Mn) остаются за рамками работы. Впрочем, это представление очевидно для полиномиальных по импульсам наблюдаемых.
При доказательстве квантового аналога теоремы 3 не используется разложение по степеням постоянной Планка. Вместо этого используется метод квадратичной сходимости, что дает оценки, близкие по духу к классическим, и обеспечивает аналитичность.
Научная новизна. Подход к изучению квантовых нормальных форм является новым. Некоторые результаты формальной теории были
7Трещёв Д.В., Некоммутативные структуры, Тр. МИАН, 2007, 259, 203—242.
получены ранее другими авторами в иной постановке и в меньшей общности. Результаты об аналитичности нормальной формы получены впервые.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для вычислении спектра оператора Шредингера.
Рассмотрим наблюдаемую с устойчивым положением равновесия в нуле. Формальная нормальная форма такой наблюдаемой позволяет находить асимптотику для собственных значений оператора Шредингера из нижней части спектра. Аналитичная нормальная форма (для устойчивого равновесия только в случае одной степени свободы) в виду локальности, также может дать информацию лишь о нижней части спектра. Однако с ее помощью можно построить локальные переменные действие-угол. Если построить глобальное продолжение этих переменных, то можно получить информацию о всем спектре оператора Шредингера. Более подробно эти наводящие соображения изложены в работе Трещева8.
Кроме того, результаты об аналитичности дают информацию о структуре разложений нормальных форм в ряды по степеням постоянной Планка. Конечно, разложения даже аналитичных наблюдаемых по степеням постоянной Планка факториально расходятся. Однако аналитичность позволяет получать количественные оценки роста коэффициентов этих рядов и, в частности, доказать, что имеет место расходимость класса Жевре 1.
Результаты, выносимые на защиту:
Предложен алгебраический подход для изучения квантовых аналогов нормальных форм Биркгофа. В рамках данного подхода доказаны квантовые аналоги основных фактов из классической формальной теории нормальных форм.
Введено понятие и исследованы свойства неавтономных квантовых наблюдаемых. Доказан квантовый аналог теоремы Мозера об аналитичности нормальной формы для неавтономной системы с одной степенью
8Д. Трещев. Квантовые наблюдаемые: алгебраический аспект // Труды Матем. ий-та им. В. А. Стеклова. 2005. Т. 250. С. 226-261.
свободы и периодической зависимостью от времени вблизи гиперболического положения равновесия.
Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы доказаны на математическом уровне строгости.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:
Семинар „Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством акад. РАН В.В.Козлова, чл.-корр. РАН Д.В.Трещева и проф. С.В.Болотина, 2007 г.
Семинар „Избранные задачи классической и квантовой механики" под рук. чл.-корр. РАН Д.В.Трещева, 2005 г.
Международная конференция „14th International Workshop on Dynamics and Control", Москва, Звенигород, 2007 г.
Семинар отдела математической физики МИАН им. В.А. Стеклова под руководством В.С.Владимирова и И.В. Воловича, 2008 г.
Методический семинар кафедры ФН-1 „Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в трех печатных работах, две из которых входят в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы из 40 наименований. Общий объем диссертации 96 страниц.
