Содержание к диссертации
Введение
1. Метод д-одевания 22
1.1. Первоначальная формулировка метода 22
1.1.1. Иерархия КП 27
1.1.2. Система Дарбу-Захарова-Манакова 30
1.2. Различные нормировки и система общего положения 31
1.2.1. Вырождение системы общего положения 36
1.3. Система Веселова-Новикова и ее редукции 39
1.3.1. Редукции в терминах (^-проблемы 43
1.4. Дискретные и разностные переменные 47
1.4.1. Дискретная и q-разностная иерархия КП 48
1.4.2. Дискретная и q-разностная система общего положения 49
1.4.3. Дискретная и q-разностная система Дарбу-Захарова-Манакова 50
1.5. Дуальная -проблема и тождество Хироты 56
2. Убывающие решения и размерные редукции 61
2.1. Специальные случаи нелокальной-проблемы 62
2.2. Выделение решений со специальными свойствами 67
2.2.1. Малые убывающие решения (непрерывный спектр) 67
2.2.2. Размерные редукции 70
2.3. Метод 5-одевания и уравнение Буссинеска 72
2.3.1. Непрерывный спектр 77
2.3.2. Солитонный сектор 82
3. Билинейное тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера 101
3.1. Обращение оператора д в единичном круге 105
3.1.1. Оператор д с нулевым индексом 109
3.2. Рациональные деформации граничных условий 115
3.3. Свойства билинейного тождества 119
3.4. Детерминантная формула для действия мероморфных петель на ядро Коши 125
3.5. т-функция для однокомпонентного случая 133
4. Метод -одевания и интегрируемые иерархии I. Производя щие дискретные уравнения 143
4.1. Однокомпонентный случай 145
4.1.1. Уравнения для потенциала 147
4.1.2. Модифицированные уравнения 159
4.1.3. Уравнение многообразия особенностей 166
4.1.4. Связь различных уровней иерархии 171
4.2. Общие матричные уравнения для многокомпонентного случая 173
4.2.1. Уравнения на потенциал 177
4.2.2. Матричные модифицированные уравнения 187
4.2.3. Матричное уравнение многообразия особенностей . 192
4.2.4. Общая картина многокомпонентной иерархии 194
4.3. Иерархия Дэви-Стюартсона 197
4.3.1. Линейные задачи 199
4.3.2. Векторные модифицированные уравнения ДС 201
4.4. Система Дарбу 203
4.5. Иерархия двумерной цепочки Тоды 206
4.5.1. Уравнения 2БТЬ-иерархии 207
4.5.2. Модифицированные дискретные уравнения 2DTL . 213
4.5.3. Дискретные Мебиус-инвариантные уравнения 2DTL . 214
5. Метод 5-одевания и интегрируемые иерархии II. От дискретного случая к непрерывному 217
5.1. Скалярная иерархия КП 218
5.1.1. Иерархия КП: уравнения, преобразования Дарбу и Бэк-лунда 224
5.1.2. Модифицированная иерархия КП 228
5.1.3. Иерархия Мебиус-инвариантных уравнений КП . 232
5.1.4. Связь между различными уровнями иерархии 234
5.1.5. Преобразование Комбескура 237
5.1.6. r-функция и формулы сложения 240
5.2. Многокомпонентная иерархия КП 246
5.2.1. Система Дарбу 250
5.2.2. Иерархия ДС 252
5.2.3. О редукциях 257
5.2.4. т-функция и замкнутая 1-форма для многомерного случая 267
5.3. Группа петель Г и иерархия 2DTL 270
5.3.1. Формулы сложения для иерархии 2DTL 280
6. О развитии метода и некоторых приложениях 283
6.1. Редукции и проективная геометрия 283
6.1.1. Определение класса редукций и элементарные свойства 284
6.1.2. Явный вид редукций и геометрический смысл 290
6.1.3. Производящая форма S для редукции произвольного порядка 301
6.2. Неизоспектральные симметрии 305
6.2.1. Тригонометрические потоки 307
6.2.2. Преобразования Мебиуса 311
6.2.3. Симметрийные редукции и система Калоджеро-Мозера 312
6.3. Квазиклассический метод ^-одевания 313
6.3.1. Бездисперсионная иерархия КП 316
6.3.2. Бездисперсионная иерархия 2DTL 321
Заключение 327
Литература 332
Публикации автора по теме диссертации 346
- Дискретная и q-разностная система Дарбу-Захарова-Манакова
- Детерминантная формула для действия мероморфных петель на ядро Коши
- Общие матричные уравнения для многокомпонентного случая
- Связь между различными уровнями иерархии
Введение к работе
Теория солитонов и метод обратной задачи, с которыми связана настоящая диссертация, являются сейчас важным разделом математической физики, которому посвящено множество публикаций и монографий (см., например, [76]). В результате развития теории солитонов получено большое количество новых интегрируемых систем, обладающих замечательными математическими свойствами и имеющих множество приложений. Одним из важных методов в современной теории солитонов является метод d-одевания, предложенный В.Е. Захаровым и СВ. Манаковым [111, 112]. Этот метод позволяет конструировать интегрируемые уравнения одновременно с широким классом их решений. Настоящая диссертация посвящена развитию метода 9-одевания. Основное внимание уделено исследованию схемы конструирования интегрируемых уравнений и расширению ее возможностей, а также изучению свойств возникающих интегрируемых систем (непрерывных и дискретных симметрии, редукций). Получены новые интегрируемые системы и редукции, имеющие интересные приложения, в частности, к непрерывной и дискретной геометрии.
Метод одевания берет начало с работ Захарова и Шабата [83, 107], в которых была предложена схема конструирования интегрируемых уравнений
7 и одновременно вычисления их решений. Эта схема основана на факторизации интегрального оператора на прямой в произведение двух операторов Вольтерра. Дальнейшее развитие метод одевания получил в работе [109], где в схему метода одевания была введена задача Римана-Гильберта.
Метод (9-одевания возник в результате двух важных наблюдений, сделанных при изучении обратной задачи рассеяния для L-операторов уравнений КШ и КП2. В 1981 году С. В. Манаков показал [68], что обратная задача для L-оператора КП2 (зависящего от времени одномерного оператора Щре-дингера) в классе убывающих потенциалов сводится к нелокальной задаче Римана. В 1983 году Абловиц, Бар Яаков и Фокас [1] обнаружили, что обратная задача для L-оператора КШ (оператора теплопроводности) сводится к d-проблеме на комплексной плоскости. Осознание общей структуры, стоящей за этими двумя результатами, привело СВ. Манакова и В. Е. Захарова к формулировке метода ^-одевания [111, 112].
Метод ^-одевания представляет собой метод конструирования решений интегрируемых уравнений, используя вспомогательную линейную задачу в плоскости комплекной переменной (нелокальную ^-проблему), сводящуюся к линейным интегральным уравнениям. В общем случае решения строятся локально в окрестности некоторой точки пространства-времени, и их глобальное поведение не фиксировано.
Одновременно метод d-одевания является методом построение интегрируемых (2+1)-мерных уравнений, так как если уравнение вкладывается в схему этого метода, для него существует бесконечное количество симметрии
и представление в виде условий совместности (что обычно и подразумевается под интегрируемостью в этом случае).
В работах [111, 112] было показано, что формализм метода д-одевания применим к уравнениям КП1, КП2. Было также замечено, что метод одевания позволяет строить широкий класс частных решений, зависящий от функциональных параметров, в явной форме. Этот класс соответствует вы-рожденным ядрам интегральных уравнений нелокальной d-проблемы, в него входят, в частности, решения в виде набора плоских солитонов.
Технически, уравнения КШ и КП2 в методе ^-одевания [111, 112] определялись тройкой функций вспомогательной (спектральной) переменной, кото-
^ рые входят в показатели экспонент, определяющих зависимость ядра нело-
кальной «^-проблемы от пространственных и временных переменных. Для КП1 это функции К^Х) = іА, К2(Х) = іА2, К3{\) = ІА3; для КП2 #i(A) = iA, І^2(А) = А2, і^з(А) = іА3. Было также выяснено, что введение дополнительных переменных tn с Кп(Х) = гАп+3 (или Кп(Х) = (гА)п+3 для КП2)
ш соответствует высшим уравнениям КП. В работах [111, 112] было также по-
строена интегрируемая система (система Захарова- Манакова), соответствующая функциям Кі(Х), имеющим один простой полюс в различных точках. Имея в виду многочисленные приложения ^-метода к геометрии, возникшие в последнее время, достаточно символично, что первая же новая интегри-
9 руемая система, сконструированная в рамках метода d-одевания, оказалась
геометрической по природе. Позднее выяснилось, что в скалярном случае система Захарова-Манакова совпадает с системой Дарбу, описывающей си-
9 стемы сопряженных поверхностей и хорошо известной в геометрии.
Возник естественный вопрос, какая интегрируемая система соответствует произвольной тройке рациональных функций -Kj(A), и, в частности, какие уравнения возникают в случае общего положения, когда эти функции имеют произвольное число простых несовпадающих полюсов. Схема конструирования интегрируемых (2+1)-мерных уравнений, предложенная в работах [111, 112], использовала кольцо операторов (кольцо Захарова-Манакова), позволяющих размножать решения нелокальной d-проблемы. Изучение общих свойств линейного пространства решений, получаемых с помощью этого кольца, показывало, что произвольной тройке рациональных функций должна соответствовать интегрируемая система, но выписать эту систему в явном виде не удавалось. Ключом к решению этой задачи стало наблюдение о существовании различных нормировок нелокальной d-проблемы, сделанное в работе автора и СВ. Манакова [123]. В этой работе было показано, что, наряду с канонической нормировкой, с той же степенью корректности определена и нормировка нелокальной d-проблемы на произвольную рациональную функцию Используя специальный набор решений ^-проблемы, в работе [123] удалось построить интегрируюмую систему, соответсвующую ситуации общего положения (функции Ki(X) имеют произвольное число простых несовпадающих полюсов). Эта система представляет собой модификацию известной интегрируемой системы N волн. Оказалось, что система общего положения формально лагранжева, для нее было найдено действие и выписаны простейшие интегралы движения [123]. В принципе, произвольная
система, интегрируемая методом ^-одевания, может быть получена из системы общего положения вырождение, при котором простые полюса функций Ki(X) сливаются и превращаются в кратные. Это также должно означать, что системы, интегрируемые методом d-одевания, лагранжевы, и действие для них получается предельным переходом (вырождением) из действия системы общего положения. В работе [123] на примере уравнения КП было показано, что процедура предельного перехода действительно работает для действия, и (известный) лагранжиан КП был получен предельным переходом из лагранжиана системы общего положения (системы типа N волн).
В связи с тем, что метод <9-одевания дает процедуру получения лагранжиана интегрируемой системы, возникла следующая интересная задача. При изучении изоспектральных (при фиксированном уровне энергии) деформаций двумерного оператора Шредингера было найдено новое интегрируемое уравнение - уравнение Веселова-Новикова [96]. Лагранжиан для него найти не удавалось. Встал вопрос, нельзя ли получить этот лагранжиан предельным переходом из лагранжиана системы общего положения. Процедура интегрирования уравнения Веселова-Новикова методом <9-одевания была уже известна, но в ней пара точек с особенностями (ноль и бесконечность), технически равноправные, использовались несимметрично, и с самого начала вводилась сильная редукция, состоящая в занулении магнитного поля в двумерном операторе Шредингера. Для использования предельного перехода возникла необходимость вывести нередуцированную систему с использованием различных нормировок (в нуле и на бесконечности). В результате воз-
никла система Веселова-Новикова на две функции, связанная с двумерным оператора типа оператора Дирака [120]. Редукциями этой системы являются уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова (новое уравнение). Лагранжиан системы Веселова-Новикова легко находился и без предельного перехода, но оказалось, что при редукции, соответствующей модифицированному уравнению ВН, из него получается лагранжиан этого уравнения, а при редукции, соответствующей уравнению ВН, лагранжиан вырождается. Таким образом, стоявшая первоначально задача (нахождение лагранжиана уравнения ВН) решена не была. Однако, были получены новые интересные уравнения (система ВН и уравнение мВН), которые через некоторое время нашли важные приложения в геометрии и сейчас широко используются [53, 87]. Следует заметить, что при выводе этих уравнений существенно использовались различные нормировки нелокальной д-проблемы.
В связи с заметным интересом к дискретным интегрируемым системам в 90-х годах, возник вопрос о месте дискретных переменных в методе д-одевания. В первой работе автора в этом направлении [126] было показано, как включить дискретные (разностные) операторы в кольцо Захарова-Манакова, и с использованием этого кольца был построен дискретный аналог КП иерархии, а также дискретный аналог системы общего положения (системы типа N волн).
Продолжением работы по изучению интегрируемых дискретных систем в рамках метода <9-одевания стала статья [129]. В этой работе были впервые
12 построены дискретный и q-разностный аналоги системы Дарбу-Захарова-Манакова (ДЗМ). Была найдена интерпретация различных типов преобразований симметрии для системы ДЗМ (преобразования Бэклунда, Дарбу, Комбескура), известных (в непрерывном случае) из геометрии, в спектральных терминах (на языке ^-проблемы). Были построены также некоторые решения дискретной и q-разностной системы ДЗМ.
Безусловно, задача о дискретизации системы ДЗМ была поставлена не случайно. Поскольку в непрерывном случае эта система играет важную роль в геометрии и интенсивно изучалась, была надежда, что и ее дискретный аналог имеет геометрический смысл. Через два года Долива и Сантини пришли к той же системе из геометрических соображений [18]. Геометрическая интерпретация ее оказалась неожиданно простой: она описывает систему дискретных поверхностей, состоящих из плоских четырехугольников. После того, как выяснилось, что возникшая в работе [18] система уже проинтегрирована методом 5-одевания [129], этод метод стал широко использоваться в работах по дискретной геометрии [13, 19], включая конструкции, введенные в работах [128, 129] (дискретные переменные в методе 5-одевания, функция Копій-Бейкера-Ахиезера в методе d-одевания). В геометрическом контексте функция Коши-Бейкера-Ахиезера (матричная) играет фундаментальную роль: она задает компоненты радиус-вектора, задающего систему поверхностей.
В работе [126] были сделаны наблюдения о том, что построение общего решения рассматриваемых полностью дисретных интегрируемых систем
сводится к линейной алгебре и возникающие формулы для решений связаны
с детерминантной формулой типа формулы для т-функции Мивы [72]. Были
выписана формулы для таких решений в терминах функции Коши-Бейкера-
Ахиезера (КБА). Автор использует название, предложенное в работе Грине-
вича и Орлова [37], в которой была введена функция (ядро) Коши-Бейкера-
Ахиезера на римановой поверхности. В рамках метода d-одевания эта функ-
ция связана с решением нелокальной d-проблемы с нормировкой (Л — //)-1
('плавающая нормировка'). Эти наблюдения послужили для автора толчком
к дальнейшему изучению свойств функции Коши-Бейкера-Ахиезера, как в
рамках метода d-одевания, так и в контексте интегрируемых иерархий, ре-
^ зультаты которого были сформулированы в работе [128]. В этой работе было
введено тождество Хироты для функции КБА. Было показано, что, стартуя с этого тождества, можно воспроизвести все необходимые элементы схемы конструирования интегрируемых нелинейных уравнений, применяемые в методе <9-одевания (кольцо Захарова-Манакова и свойства линейного про-
т странства, в котором оно действует). В то же время, тождество Хироты для
фунции Коши-Бейкера-Ахиезера не является объектом, специфическим для метода d-одевания, оно воспроизводится и в методе конечнозонного интегрирования и может быть помещено в более общий контекст подхода Сато и Сегала-Вильсона, в котором функция КБА является хорошо определенным
+ объектом. Таким образом, тождество Хироты связывает метод 5-одевания
с другими методами теории интегрируемых систем и позволяет поместить результаты, полученные с его помощью, в более широкий контекст.
Следует отметить, что первый шаг, связывающий метод ^-одевания с подходом Сато и Сегала-Вильсона, был сделан в работе Кэррола и Коно-пельченко [10], где в рамках метода d-одевания было получено стандартное тождество Хироты для функции Бейкера-Ахиезера. Вывод в рамках метода <9-одевания тождества Хироты для функции КБА, введенного в работе [128], дан в работе [129]. Для этого вывода существенно наблюдение, что решение нелокальной ^-проблемы, нормированное на (А — /х)-1 (ядро КБА), одновременно решает нелокальную д-проблему по А и дуальную проблему по д. Это же наблюдение было независимо сделано Манаковым и Зенчуком [118] и использовалось при изучении редукций интегрируемых систем в терминах
^ метода 5-одевания.
В связи с важностью функции Коши-Бейкера-Ахиезера и билинейного тождества для нее, автором (совместно Б.Г. Конопельченко) были предприняты усилия по изучению тождества Хироты самого по себе, вне контекста метода ^-одевания, и анализа функциональных уравнений для функции
т Коши-Бейкера-Ахиезера, возникающих из этого тождества [132, 133]. Ди-
намика функции Коши-Бейкера-Ахиезера, задаваемая тождеством Хироты, связана с группой петель (гладких функций на кривой без нулей); ее можно рассматривать как основной объект интегрируемой иерархии. Для тождества Хироты можно поставить начальную задачу и показать, что для пре-
+ образований, определяемых рациональными петлями, эта задача решается
явно, средствами линейной алгебры. Решение дается детерминантной формулой для преобразования функции Коши-Бейкера-Ахиезера, соответству-
ющего произвольной рациональной петле [128] (фактически эта формула решает интегрируемые дискретные уравнения при произвольной начальной точке грассманиана явно, средствами линейной алгебры). Таким образом, решение начальной задачи для тождества Хироты существует (по крайней мере, в подгруппе рациональных петель). Кроме того, в работе [119] было показано, что решение единственно. Эти утверждения показывают, что тождество Хироты является содержательным объектом и его можно изучать в отрыве от конструктивных методов построения решений.
Детерминантная формула позволяет ввести т-функцию для рациональных петель и дает детерминантную форму теорем сложения для нее. Найдена также формула, выражающая тау-функцию через ядро Коши-Бейкера-Ахиезера в терминах вариационной 1-формы. Показано, что стартуя с билинейного тождества Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера (без отсылки к ^-проблеме), можно получить картину динамики на грассманиане и ввести стандартные объекты.
Особую роль играют функциональные (дискретные) уравнения на ядро Коши-Бейкера-Ахиезера, возникающие из тождества Хироты, которые отвечают элементарным рациональным петлям (т.е. петлям, имеющим простой ноль и простой полюс). Эти уравнения в компактной форме содержат всю информацию об соответствующей интегрируемой иерархии и дают различные типы производящих уравнений иерархии. В работах [132, 133, 119] из функционального уравнения для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующего КП иерархии, получены теорема сложения для тау-функции, дис-
кретное уравнение для потенциала и линейные задачи для него (первый уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций первого уровня и линейные задачи для него (второй уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций второго уровня (КБА-функция, проинтегрированная с произвольными весами) (третий уровень), преобразования Миуры 3->2->1.
Наибольший интерес представляет уравнение третьего уровня. Это новое
Мёбиус-инвариантное дискретное уравнение (discrete Schwarzian КР; discrete
КР singular manifold equation) которое недавно получило геометрическую
интерпретацию, связанную с классической теоремой Менелая, известной с
^ глубокой древности [57].
Дискретные производящие уравнения дают уравнения иерархий (КП иерархия, многокомпонентной КП иерархия, иерархия двумерной цепочки Тоды) в частных производных. Разложение по параметрам введенных дискретных уравнений генерирует в виде уравнений в частных производных
КП иерахию для потенциала
мКП иерархию для волновых функций
иерархию уравнений многообразия особенностей (Мебиус-инвариантных уравнений) для волновых фунций второго уровня.
В терминах иерархии в форме PDE дискретные уравнения интерпретиру-
Ф ются как алгебраический принцип суперпозиции для трех преобразований
Бэклунда.
В монографии [119] рассмотрены также соответствующие уравнения для
17 многокомпонентной КП иерархии и иерархии двумерной цепочки Тоды. Пре-имуществом подхода, базирующегося на тождестве Хироты для функции Коши-Бейкера-Ахиезера, является то, что многокомпонентный случай рассматривается в основном аналогично однокомпонентному и требует лишь минимальной модификации. Спецификой общего многокомпонентного случая является наличие существенно дискретных переменных (типа дискрет-ной переменной цепочки Тоды). В многокомпонентном случае возникает также новый класс уравнений - векторные модифицированные уравнения. В связи с этим общая картина многокомпонентного случая достаточно сложна, и в монографии [119] сделана попытка описать лишь ее основные элементы.
<ф При изучении Мебиус-инвариантных дискретных уравнений интегрируе-
мых иерархий обнаружилось, что преобразование Мёбиуса на третьем уровне КП иерахии отвечает специальной неизоспектральной симметрии, связанной с бинарным преобразованием Дарбу [137]. Была найдена интерпретация этой симметрии в терминах тождества Хироты и построены рациональные и
- тригонометричесие неизоспектральные потоки [137, 138]. Симметрийные ре-
дукции иерархии по этим потокам приводят к возникновению рациональной и тригонометрической системы Калоджеро-Мозера.
В рамках метода 5-одевания была также развита эффективная техника исследования редукций интегрируемых систем. При изучении системы
4 Веселова-Новикова было выяснено, что редукции, выделяющие уравнение
Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова соответствуют простым линейным условиям на ядро нелокальной ^-проблемы,
18 сохраняющимся при динамике по нечетным временам иерархии [36, 120]. Дальнейшее развитие исследование редукций в рамках метода 5-одевания получило в работе [115], где было показано, что уравнения Ламе, хорошо известные в геометрии и описывающие N-ортогональные системы координат, получаются в результате сходной редукции. В работе [116] был изучен общий класс условий на ядро нелокальной ^-проблемы, определяющих редукции. В монографии [119] введены условия на ядро Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующие редукциям.
Недавно автором совместно с Е.В. Ферапонтовым [140] было обнаружено, что целый класс редукций многокомпонентной иерархии КП, низшими
^ представителями которого в двухкомпонентном случае являются редукции,
выделяющие уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова, а в многокомпонентном случае - егоровская редукция и уравнения Ламе, тесно связан с проективной дифференциальной геометрией.
~ Было показано, что рассматриваемый класс редукций характеризуется
весьма простым свойством, а именно, существованием дифференциального оператора Dn порядка п (порядок редукции), преобразующего волновые функции линейных операторов иерархии в волновые функции дуальных операторов. Это свойство достаточно для явного вычисления редукций. В дву-
ф мерном случае (иерархия Дэви-Стюартсона) L-опрератором является опера-
тор Дирака
0хФ2 = 0Фі, 0„Фі=7Ф2,
играющий важную роль в диффенциальной геометрии и математической физике; дуальный оператор имеет вид
0**5 = 7*1, дуъ\ = №\.
Основное наблюдение, связывающее редукции с геометрией, состоит в том, что редукция порядка п совпадает с проективно-геометрическими уравнени-ями Гаусса-Кодацци, описывающими специальные классы конгруэнции прямых в проективном пространстве р2п_1; которое представляет собой про-ективизированное ядро преобразования Dn. Во втором порядке возникают И^-конгруэнции в пространстве Р3, принадлежащие линейному комплексу. Третий порядок соответствует изотропным конгруэнциям в Р5. Был рас-смотрен также многокомпонентный случай, дифференциальные операторы, связывающие волновые функции линейных уравнений системы Дарбу
i,j = l,...,N;i^j,H дуальных линейных уравнений
получены соответствующие редукции и рассмотрена их геометрическая ин
терпретация. С использованием уравнений для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера,
отвечающих редукциям, были построены производящие формы для редук-
# ций произвольного порядка. Эти формы полностью определяют редукцию и
играют критическую роль в геометрической интерпретации.
Недавно был предложен квазиклассический метод д-одевания, полученный в длинноволновом пределе из обычного метода [54, 55, 56]. Этот метод
20 дает возможность конструировать уравнения бездисперсионных интегриру-емых иерархий и их решения, стартуя с нелинейного уравнения Бельтрами в комплексной плоскости. С использованием этого метода, автором совместно с Б.Г. Конопельченко и Л. Мартинесом Алонсо были получены производящие уравнения для бездисперсионной КП и 2DTL иерархий в терминах потенциала, в терминах действия и в терминах бездисперсионного аналога ядра Коши-Бейкера-Ахиезера (аналоги первого, второго и третьего уровня иерархии в обычном случае).
Изложение настоящей диссертации в основном следует историческому развитию метода д-одевания.
щ Первая глава начинается с первоначальной формулировки метода д-
одевания, предложенного Захаровым и Манаковым. Затем рассмотрены различные нормировки и система общего положения, система Веселова-Новикова и ее редукции. Конец главы посвящен введению дискретных и д-разностных переменных в методе d-одевания и возникающим дискретным интегриру-
щ емым системам. В рамках 5-метода введено ядро Коши-Бейкера-Ахиезера
(плавающая нормировка) и доказано тождество Хироты для него.
Во второй главе развита техника, позволяющая выделять малые убывающие решения (непрерывный спектр) и решения, стационарные по какому-либо времени, в терминах условий на ядро ^-проблемы. Подробно расмотре-
V ны соответствующие задачи для различных случаев уравнения Буссинеска.
В третьей главе тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера
рассматривается самостоятельно, вне контекста ^-метода. Сформулирована
21 начальная задача для тождества Хироты (рассматриваемого как уравнение). Получены детерминантные формулы для преобразований ядра КБА. Рассмотрен вопрос о введении т-функции.
В четвертой главе из билинейного тождества Хироты выводятся производящие дискретные уравнения интегрируемых иерархий. Рассмотрены иерархия КП, многокомпонентная иерархия КП и иерархия двумерной цепочки Тоды.
В пятой главе изучается переход от дискретных производящих уравнений к непрерывному случаю и различные типы уравнений, возникающих при этом переходе.
В шестой главе рассмотрены некоторые приложения и дальнейшее развитие метода <9-одевания.
Сначала изучается класс редукций многокомпонентной иерархии КП, имеющий важные приложения приложения к проективной дифференциальной геометрии.
Затем рассмотрены неизоспектральные симметрии, связанные с преобразованием Мебиуса, и симметрийные редукции.
В конце главы сформулирован квазиклассический метод ^-одевания и получены производящие уравнения для бездисперсионных иерархий.
Дискретная и q-разностная система Дарбу-Захарова-Манакова
Как мы уже отмечали, возникновение метода d-одевания было связано с изучением малых убывающих решений (решений непрерывного спектра) для уравнения КП. Развитая затем Захаровым и Манаковым схема метода д-одевания позволяет конструировать решения локально, не фиксируя асимптотику. Возникает вопрос о том, как в рамках этой схемы обеспечить глобальное существование решений и выделить малые убывающие решения. Кроме того, важно уметь находить решения, удовлетворяющие условиям, совместным с динамикой (редукциям). В частности, для перехода к (1+1)-мерным уравнениям необходимо выполнить размерную редукцию, т.е., найти решения, стационарные по некоторому времени. Соответствующая техника была развита в работах [125, 124, 127]
Выделение специальных классов решений в рамках метода д-одевания производится в терминах условий на ядро нелокальной -проблемы и приводит к возникновению различных типов задач в комплексной плоскости.
В начале главы мы рассмотрим основные типы таких задач, которые будут использоваться в дальнейшем.
Затем мы введем технику выделения решений непрерывного спектра и характеризации размерных редукций в рамках метода д-одевания.
Оставшаяся часть главы посвящена изучению непрерывного спектра и со-литонного сектора для различных случаев уравнения Буссинеска. Основное внимание будет уделено уравнению нелинейной струны, которое представляется наиболее интересным с физической точки зрения случаем уравнения Буссинеска. В линейном пределе это волновое уравнение с дисперсией. В известной работе [64] было показано, что задача Коши для уравне ния нелинейной струны может приводить к возникновению особенностей, и были приведены некоторые интегральные оценки. Поведение солитонов уравнения нелинейной струны достаточно необычно, они могут распадаться или образовывать сингулярность за конечное время (явление коллапса). Коллапс солитонов для уравнения Буссинеска был обнаружен около двадца-ти лет назад [77] (см. также [28]). Мы приведем систематическое изучение непрерывного спектра и солитонного сектора. Изложение этой части следует в основном работе [139].
В наиболее важных случаях ядро ЩХ, ) представляет собой обобщенную функцию с носителем, принадлежащим некоторому многообразию в С2. Это означает, что ядро содержит -функции, локализованные на соответствующем многообразии, или, другими словами, что мера интегрирования в one-раторе д R сосредоточена на этом многообразии. Оператор д R в этом случае хорошо определен. d-проблема со сдвигом В типичной ситуации это многообразие представляет собой накрытие плоскости комплексной переменной А, определяемое уравнением где / - некоторая функция в С2. Уравнение (2.1) задает многозначную функцию сдвига \х = Ці(Х, А). Ядро задачи (1.3) в этом случае имеет вид Мы будем называть этот случай д-проблемой со сдвигом . Нелокальная задача Римана Другой важный частный случай задачи (1.3) - нелокальная задача Римана. Пусть 7 = А(), Є М - ориентированная кривая в комплексной плоскости (возможно, несвязная), и ядро задачи (1.3) локализовано на произведении пары этих кривых в плоскостях переменных А и ц. Другими словами, где 5у(\) - -функция, локализованная на кривой у. Решение х задачи (1.3) с ядром (2.2) мероморфно вне у и имеет на у граничные значения х+, х - Ре гуляризуя &у, из задачи (1.3) с ядром (2.2) мы получим нелокальную задачу Римана где интегрирование производится по кривой 7 Задача Римана со сдвигом Комбинация двух приведенных выше специальных случаев приводит к задаче Римана со сдвигом (задаче Карлемана) Функция \i = / f(A), определяющая сдвиг, определена в этом случае на кривой j (A, fi Є 7)
Детерминантная формула для действия мероморфных петель на ядро Коши
Спектральные данные Яу распадаются на две части: коротковолновой части отвечает гипербола (2.43), а длинноволновой - отрезок вещественной оси (точнее, его двулистное накрытие); см. рис. 2.2. При а = 1 гипербола соответствует устойчивой части спектра (показатель экспоненты (6.82) при у чисто мнимый), а отрезок вещественной оси - неустойчивой части (показатель вещественный). При а = і ситуация обратная, т.е., при а = 1 имеется длинноволновая неустойчивость, а при а = і - коротковолновая (что соответствует выводам, полученным из закона дисперсии). Рассмотрим солитонный сектор уравнения нелинейной струны
Поведение солитонов уравнения нелинейной струны достаточно необычно. Фактически, имеются два солитонных сектора: обычные солитоны, движущиеся со скоростью, ограниченной сверху, и конфигурации связанных солитонов, образующие сингулярность за конечное время. Но даже обычные 83 солитоны демонстрируют в этом случае необычное поведение; при некоторых значениях параметров они неустойчивы относительно малых возмущений и могут распадаться на два солитона или два сингулярных солитона (что также означает образование сингулярности).
Образование сингулярности (коллапс солитонов) было впервые продемонстрировано А.Ю. Орловым [37] около двадцати лет назад, но это явление до сих пор не очень широко известно даже в солитонном сообществе. Ниже мы проведем систематическое рассмотрение солитонного сектора уравнения нелинейной струны.
Для изучения солитонных решений уравнения нелинейной струны, мы воспользуемся детерминантной формулой (2.14). Для уравнения КП в движущейся системе отсчета (2.30) из этой формулы получим (см. подобное выражение для КП в книге [76]) Для того, чтобы получить решения уравнения Буссинеска (2.32), необходимо, чтобы пары (Afc, fik) удовлетворяли условию размерной редукции (2.33) где А ф /ij. Надо также удовлетворить условиям вещественной редукции (2.37).
Необходимо наложить некоторые ограничения, чтобы формула (2.44) давала решения, не имеющие особенностей по крайней мере при некоторых значениях у (у в нашем рассмотрении играет роль динамической переменной, времени ). Эти ограничения и выделяют солитонный сектор. Мы будем использовать условие
В этом случае показатели экспонент, содержащие х, вещественны, и при у = 0 можно обеспечить отсутствие особенностей выбором коэффициентов. Это условие вместе с условием размерной редукции (2.33) определяет спектральную локализацию солитонного сектора, т.е., кривую, на которой должны лежать точки Aj, щ (см. рис. 2.3). Эта кривая состоит из двух частей: отрезка мнимой оси и гиперболы. Рассмотрим простейшие решения, связанные с этими частями.
При положительных с это выражение не имеет нулей в начальный момент, и соответствующее ему решение несингулярно и убывает на бесконечности. Но затем в некоторый момент времени у этого выражения появляются нули, и у решения возникают особенности. Проиллюстрируем этот процесс несколькими рисунками, отвечающими некоторому специальному выбору параметров (с = —20, = 1). На графике 2.4 изображены линии в плоскости х,у, на которых детерминант равен нулю. Общий вид решения дается рисунком 2.5. Рисунок 2.6 иллюстрирует развитие особенности (динамика рассматривается по отношению к переменной у). На рис. 2.7 изображено решение после формирования особенности. Затем решение ведет себя как два сингулярных
Общие матричные уравнения для многокомпонентного случая
В первой главе в рамках метода d-одевания мы получили билинейное тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера. Было показано, что, стартуя с этого тождества, можно воспроизвести все необходимые элементы схемы конструирования интегрируемых нелинейных уравнений, применяемые в методе d-одевания (кольцо Захарова-Манакова и свойства линейного пространства, в котором оно действует). В то же время, тождество Хироты для фунции Коши-Бейкера-Ахиезера не является объектом, специфическим для метода d-одевания, оно воспроизводится и в методе конечнозонного интегрирования и может быть получено в более общем подходе Сато и Сегала-Вильсона, в котором функция КБА является хорошо определенным объектом. Таким образом, тождество Хироты связывает метод d-одевания с другими методами теории интегрируемых систем и позволяет поместить результаты, полученные с его помощью, в более широкий контекст. Важным отличием тождества Хироты для функции Коши-Бейкера-Ахиезера от стандартного тождества Хироты является одновременное рассмотрение двух дуальных линейных пространств (дуальных точек грассманиана), определяемых одной функцией двух комплексных переменных - функцией КБА.
В этой главе мы введем ядро Коши-Бейкера-Ахиезера и билинейное тождество для него в рамках задачи об обращении d-оператора в круге, связь которой с подходом Сато и Сегала-Вильсона была продемонстрирована Вит-теном [104], и изучим некоторые общие свойства билинейного тождества. Особую роль будут играть дискретные прелбразования ядра КБА, задаваемые рациональными петлями.
Сначала мы рассмотрим вопрос об обращении d-оператора в единичном круге (или, в более общем случае, в некотором наборе областей комплексной плоскости). Оператор д действует из пространства функций, гладких почти всюду, в пространство обобщенных функций. Для того, чтобы обратный оператор был определен, необходимо поставить некоторые граничные условия. Стандартное ядро Копій (пропагатор Дирака в терминах работы [104]) (Л — /Li)-1 определяет обратный оператор для оператора Ф\5 который задает отображение из пространства обобщенных функций в пространство решений -проблемы, аналитичных вне круга и убывающих на бесконечности. Граничное условие, соответствующее стандартному ядру Коши, можно записать в терминах проекционного оператора, действующего на окружности.
Мы будем рассматривать одновременно пару взаимно дуальных граничных условий и изучим случай, когда оператор В имеет нулевой индекс и ядро конечной размерности. Случай граничных условий, соответствующих нулевому индексу, рассматривался Виттеном [104], который показал, что пространство допустимых граничных значений в этом случае соответствует точке бесконечномерного грассманиана [80], [103]. Для полной пары взаимно дуальных граничных условий, приводящих к конечномерному ядру оператора д, мы введем ядро Коши как ядро обратного оператора и изучим его свойства. В простейшем случае нулевой размерности ядра оператора 5, обратный оператор однозначно определен на всем пространстве и ядро Коши х(А, ц) является функцией, аналитичной по обеим переменным вне диагонали А = ц и имеющей на диагонали простой полюс с единичным вычетом. Любая такая функция определяет некоторое обращение оператора В, причем двумя способами - как оператор по А и как оператор по ц. Мы получим граничные условия, соответствующие этим двум (дуальным) случаям.
Мы введем понятие деформации граничных условий под действием петли (функции на границе). При деформации пространство допустимых граничных значений просто умножается на петлю д, а дуальное пространство на д г, при этом дуальность пары граничных условий сохраняется. Мы покажем, что для деформаций ядра Коши возникает билинейное тождество Хироты. Таким образом, билинейное тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера возникает не только в методе d-одевания, но и в более общем случае [104], [80], [103], который включает в себя и решения, получаемые методом d-одевания, и конечнозонные решения [59].
Затем мы рассмотрим билинейное тождество Хироты само по себе, как уравнение. Мы покажем, что для этого уравнения можно поставить начальную задачу, которая для мероморфных петель решается явно методами ли-нейной алгебры, и найдем детерминантную формулу для решения. В од-нокомпонентном случае эта формула дает возможность ввести понятие т-функции для рациональных петель.
Пары дуальных граничных условий, при которых оператор В определяет взаимно однозначное отображение, и соответствующие ядра Коши рассмотрены в разделе 1. Раздел 2 посвящен случаю, когда оператор д имеет нулевой индекс и ядро конечной размерности. Деформации пары взаимно дуальных граничных условий, определяемые группой петель, обсуждаются в разделе 3. Показано, что эти деформации описываются билинейным тождеством Хироты для ядра Коши.
Связь между различными уровнями иерархии
В предыдущей главе мы ввели понятие ядра Коши-Бейкера-Ахиезера в контексте задачи об обращении оператора д в области (или наборе областей в многокомпонентном случае), определили деформации ядра КБА под действием группы петель на границе области, и получили тождество Хироты, описывающее деформации ядра. Тождество Хироты и динамика ядра КБА под действием группы петель будут для нас основными объектами при изучении интегрируемых иерархий.
В однокомпонентном случае, соответствующем иерархии КП, ядро КБА определено в единичном круге, и группа петель Г представляет собой группу гладких функций (без нулей) на единичной окружности. Результаты рассмотрения деформаций под действием рациональных петель указывают на то, что нулевой индекс задачи об обращении оператора д сохраняется только для петель с нулевым индексом (числом вращений фазы при обходе единичной окружности), и мы в однокомпонентном случае будем рассматривать только такие петли. Кроме того, как мы выяснили в предыдущей главе, динамика, связанная с подгруппой петель нулевого индекса, аналитичных в круге, тривиальна, и сводится просто к калибровочному преобразованию ядра Коши-Бейкера-Ахиезера. Поэтому нетривиальная динамика в одноком-понентном случае сводится к группе петель Г+, где Г+ определяется как группа петель, аналитических и не имеющих нулей вне круга и равных 1 на бесконечности, и именно эта группа определяет иерархию КП.
В многокомпонентном случае мы рассмотрим ядро КБ А, определенное на копиях единичного круга, когда имеется N компонент петли, заданных на (копиях) единичной окружности. В этом случае для корректного определения динамики достаточно равенства нулю суммарного индекса всех компонент петли, и нетривиальная динамика (с точностью до калибровочной) сводится к группе петель, для которой каждая компонента аналитична и не имеет нулей вне единичного круга, на бесконечности Для этой группы мы будем использовать обозначение Г ; переменные будем называть индексными (существенно дискретными) переменными. Груп т- пе Pjy соответствует многокомпонентная иерархия КП.
В этой главе мы получим производящие уравнения интегрируемых иерархий, связанные с элементарными рациональными петлями. Сначала мы рассмотрим иерархию КП, затем - многокомпонентную иерархию КП с нулевы-ми индексными переменными (группа Г+ ), производящие уравнения которой представляют собой матричное обобщение уравнений иерархии КП. И, наконец, мы рассмотрим полный двухкомпонентный случай, в котором есть одна независимая индексная переменная. Этот случай соответствует иерархии двумерной цепочки Тоды. Как мы покажем в главе 5, иерархию 2DTL можно связать с общей однокомпонентной группой петель Г (без требования о равенстве нулю индекса).
Уравнения, которые мы получим, можно рассматривать и сами по себе, как интегрируемые дискретные системы; их общее решение дается детер-минантной формулой для преобразования ядра КБА под действием рациональных петель (глава 3).
В первой части мы рассмотрим интегрируемые дискретные уравнения, которые следуют из тождества Хироты для функции КБА, определенного на границе единичного круга в комплексной плоскости. Динамика в этом случае задается рациональной подгруппой группы Г+, где Г+ определяется как группа петель, аналитических вне круга и равных 1 на бесконечности. Небольшое отличие от стандартных обозначений (см. [81]) состоит в том, что мы работаем в окрестности 0, а не бесконечности. Мы рассмотрим в деталях уравнения, соответствующие набору петель с одним нулем и полюсом в единичном круге (такие петли мы будем называть элементарными рациональными петлями). Эти уравнения были выведены и довольно кратко обсуждались в работе [133]. Замкнутые интегрируемые дискретные уравнения возникают для произвольной тройки элементарных рациональных петель. Эти уравнения можно рассматривать как принципы суперпозиции преобразований, определяемых элементарными рациональными петлями, или как уравнения на решетке, которая образуется при итерировании элементарных преобразований.
Мы получим три различных типа интегрируемых дискретных уравнений, которые связаны, соответственно, с КП иерархией в обычной форме (в терминах потенциала), модифицированной КП иерархией и иерархией уравнений типа уравнения многообразия особенностей для КП иерархии. Эти уравнения возникают для различных функций, связанных с ядром КБА, удовлетворяющим тождеству Хироты (3.30) (где ядро КБА является функцией двух комплексных переменных и функционалом петли).
