Содержание к диссертации
Введение
I Математическое моделирование волноводно-резонансных свойств диэлектрика . 26
1 Математическая постановка задачи 26
2 Дисперсионное уравнение для мод круглого цилиндрического волновода с импеданстюй боковой поверхностью 27
3 Задачи о собственных колебаниях магнитного типа вблизи критических частот в круглом и коаксиальном импедансных волноводах 30
4 Исследование кольцевого диэлектрического резонатора. 32
5 Исследование коаксиального мсталло-диэлектрического резонатора 34
6 Определение геометрических параметров резонатора по его электродинамическим характеристикам 37
7 Схема метода Галеркина для расчета электромагнитного поля в волноводе, заполненном диэлектрической средой. 41
II Математическое моделирование волноводных свойств киральной среды . 50
1 Коэффициент прохождения электромагнитной волны через киральный слой 50
2 Нахождение постоянной распространения волны в цилиндрическом волноводе с заполнением из киральной среды . 55
III Математическое моделирование волноводно-резонансных свойств киральной среды . 63
1 Исследование волноводно-резонанспых свойств киральной среды, заполняющей круглый волновод на конечном участке его длины 63
2 Построение приближенного решения 69
3 Свойства приближенного решения 73
4 Вычислительные формулы для коэффициентов системы полноводных уравнений и численный метод решения задачи 82
Основные результаты диссертации. 87
- Задачи о собственных колебаниях магнитного типа вблизи критических частот в круглом и коаксиальном импедансных волноводах
- Определение геометрических параметров резонатора по его электродинамическим характеристикам
- Нахождение постоянной распространения волны в цилиндрическом волноводе с заполнением из киральной среды
- Построение приближенного решения
Введение к работе
Активное освоение сверхвысокоча,стотного диапазона длин волн и потребности практики вызвали необходимость теоретических и экспериментальных исследований электромагнитных волноводно-резо-нансных процессов.
Математическое моделирование и вычислительный эксперимент представляют мощный инструмент анализа этих процессов. В прикладной электродинамике замена физического эксперимента вычислительным особенно эффективна, так как уравнения Максвелла и граничные условия дают достаточно точные модели электродинамических явлений.
Широкое внедрение численных методов решения краевых задач электродинамики, опирающееся на современную математическую базу и вычислительную технику, привело к созданию эффективных математических моделей волноводно-резонансных процессов.
Диссертация посвящена рассмотрению математических моделей, построенных с помощью строгого метода решения краевых волновод-ных задач - неполного метода Галсркипа, и моделей эквивалентных граничных условий импедансного типа, описывающих азимутально-гофрированную и неидеалыю проводящую граничную поверхности.
В диссертации решаются актуальные вопросы разработки и математического обоснования созданных на основе этих моделей наиболее общих и универсальных вычислительных алгоритмов, позволяющих исследовать волноводно-резонансньте процессы и физические свойства сред, описываемых материальными уравнениями, связывающими векторы электрической и магнитной индукции с: векторами напряженности как
электрического, так и магнитного полей.
Импсдансная модель эквивалентных граничных условий оказывается весьма эффективной при исследовании высокодобротных волноводно-диэлектрических резонансов (ВДР) в направляющих системах с потерями и нерегулярной границей.
Задача уменьшения потерь в различных волноведущих и резонансных структурах является традиционно важной, актуален поиск физических явлений и эффектов, приводящих к подобному уменьшению.
Определенные возможности дает использование аномалии затухания волн Hon в круглом волноводе. Выбирая радиус достаточно большим, можно получить сколь угодно малое затухание [48]. Такой путь используется при создании линий дальней волновой связи и представляет интерес для СВЧ-энсргетики. Однако он имеет один существенный недостаток: волновод используется в многомодовом режиме, то естъ, в условиях возможности распространения большого количества паразитных волн - в силу неизбежного наличия нерегулярностей волновода (изгибы, стыки, деформации) рабо1 іая волна типа Нп трансформируется в паразитные волны, имеющие значительное затухание. В разул ьтате общие потери возрастают и выигрыша в затухании не происходит. Поэтому возникает проблема подавления паразитных мод, иными словами - разряжения спектра собственных волн круглого волновода. Один из путей ее решения - использование кольцевых волноводов, а также мелкопериодических гофр на внутренней поверхности волновода.
Для достижения высокой добротности резонатора можно выбрать в
качестве рабочего определенный тип колебаний (например, использование мод типа "шепчущей галереи" ).
Большое значение в плане уменьшения потерь в СВЧ-системах имеет оптимизация формы волноводов и резонаторов. Здесь можно выдалить два направления поисков. Первое заключается в создании такой конфигурации, при которой электромагнитное поле "повисает" в пространстве, минимально касаясь стенок и наводя в них уменьшенные поверхностные токи. В качестве примера молено привести скругление углов прямоугольного волновода. Второе направление поисков состоит в подборе формы таким образом, чтобы обеспечивалось эффективное разрежение спектра собственных волн, в частности подавление низших типов волн.
Большого внимания заслуживает идея использования для уменьшения потерь гофрированных (гребенчатых) волноводов и резонаторов. Теоретически и экспериментально было показано [14], что потери НЕц-волны в волноводе, в котором период и глубина гофр достаточно велики ( порядка четверти длины волны ), уменьшаются примерно на порядок. Этот эффект получил название эффекта аномально малого затухания.
И, наконец, еще один путь создания волноводов и резонаторов с малыми потерями заключается в использовании диэлектрических вставок специальной формы, то есть, в переходе от металлических к металлодиэлектрическим системам. Идея такого подхода состоит в том, чтобы введением диэлектрической вставки вызвать перераспределение собственного поля, приводятцее к отжатию последнего от металлических стенок и уменьшению потерь В них.
Учет потерь в стенках волновода (резонатора) делает соответствующие граничные условия несамосопряженными, что обуславливает актуальность применения несамосопряженных краевых задач для расчета реальньгх электродинамических систем.
Как правило, такие задачи решались методами теории возмущений и, следовательно, потери учитывались приближенно. При исследовании волноводно-резокапенъгх процессов требования к точности решения соответствующих задач Штурма-Лиувилля с несамосопряженными граничными условиями третьего рода возрастают.
Рассматриваемый в диссертации метод редукции этих задач к задаче Коши позволяет проводить их решение с заданной точностью.
В 80-е годы XX века активно начали изучаться электродинамические свойства искусственных композиционных материалов. К таким материалам относятся и киральные среды, содержащие зеркально-асимметричные элементы.
В настоящее время большой интерес представляет изучение процессов распространения и рассеяния электромагнитного поля на киральных структурах [6], [19], [20]. Это связано, прежде всего, со специфическими свойствами рассеяния электромагнитных волн на объектах с кираль-ными включениями.
Явление киральности как проявление асимметрии правого и левого наблюдается в различных областях науки, в том числе, в физике. Например, известному ученому Луи Пастеру удалось молекулярной асимметрией объяснить природу оптической активности кристаллов. Это послужило началом изучения оптических свойств гиротропных сред.
Киральная среда моделируется, чаще всего, из отрезков металлических или керамических спиралей, расположенных в изотропной среде [61], [72]. Одним из самых важных свойств киральной среды является оптическая активность, выражающаяся в поведении поляризации воли в такой среде. А именно, при прохождении плоско-поляризованной электромагнитной волны через киралъную среду, наблюдается поворот плоскости поляризации этой волны [б]. Некоторую аналогию можно провести с магнитной оптической активностью, когда вращение плоскости поляризации вызвано внешним магнитным полем.
Главным отличием, с математической точки зрения, киралытой среды от обычной изотропной является форма материальных уравнений: векторы электрической и магнитной индукций связаны как с напряженностью электрического, так и магнитного полей.
Такой вид материальных уравнений делает перспективным разработку и применение математического аппарата, хорошо себя зарекомендовавшего при изучении распространения электромагнитных колебаний в гиротропных волноводах, при исследовании физических свойств волноведущих структур с киральным заполнением.
В связи с постоянно увеличивающимся интересом к применению киралышх сред в физике и технике СВЧ, чрезвычайно важным представляется развитие соответствующего математического аппарата, позволяющего эффективно численно решать краевые задачи для системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями киралытой среды.
Из научных проблем, решаемых в области электродинамики и
оптики киральных сред, наиболее актуальны две основные: нахождение параметров киральной среды по физическим параметрам среды -элементов частиц и по параметрам ее пространственной структуры, а также решение задач излучения, дифракции и распространения волн в киральных средах, антенных и волноведущих структурах при условии, что материальные уравнения для киральных сред известны.
Задачи о собственных колебаниях магнитного типа вблизи критических частот в круглом и коаксиальном импедансных волноводах
Рассмотрим НЕ-модьт, то есть собственные колебания Нтп магнитного типа вблизи критических частот круглого волновода с импедапсиой боковой поверхностью. Уравнение (48), характеризующее эти колебания, можно получить иначе. Будем считать, что вблизи критических частот для Нтп- колебаний поперечные компоненты магнитного поля малы, а на поверхности волновода задано граничное условие импсдансного типа (43). Тогда имеем двумерную математическую задачу на собственные значения. Требуется найти решение и (г, ф) = Hz{r) р) , уравнения Гельмголъца: Отсюда следует, что дисперсионное уравнение для нахождения собственных значений А имеет вид (53). Таким образом, исследование собственных колебаний магнитного типа вблизи критических частот круглого волновода с импедансной боковой поверхіюстью сводится к третьей краевой задаче на собственные значения для уравнения Бесселя в круге. Аналогично, задача о собственных колебаниях магнитного типа вблизи критических частот коаксиального импедансного волновода г Є [a, b], на боковых поверхностях которого заданы граничные условия: Как известно, аксиально-симметричный диэлектрический волновод кольцевого поперечного сечения т Є [а,а + 6\ может быть заменен цилиндрическим болнободом, на боковой поверхпости которого при г — а ставится эквивалентное граничное условие импедансного типа (43) с импедансом, соответствующим плоскопараллельной диэлектрической пластинке [14]: с — є1 + іє" - диэлектрическая проницаемость материала, к— волновое число в среде с проницаемостью є . Условием применимости указанных импеданспых граничных условий является соотношение кб ;з 1 Из (57) следует, что Rn(Xr) — Jn(Ar) , а из граничных условий находим дисперсионное уравнение для А: функции Мп(г) : следующее из ее явного представления. Соотношение (62) есть так называемое дифференциально-параметрическое свойство функции Mn(z) , го есть, возможность представления се производной в виде некоторого полинома Р от самой функции и ее аргументов. Займемся решением (61). Будем считать аргумент Mn(z) и правую часть h зависящими от некоторого параметра t Є [0,1] , причем Л(0) = 0, h(l) = /і!. Итак, Mn{z(t)) = h(t) . Дифференцируя (61) not и учитывая, что корни уравнения Mn(z) = 0 совпадают с решениями Jn(z) = 0 і приходим к задаче Коши: in,m : Jn(?n,m)
Параметризацию h(t) можно выбрать достаточно произволтліо, например, h(t) — h t . Так, в интересующем нас случае круглого диэлектрического резонатора приходим к задаче Коши: уравнение, находим искомое А = /3/а и добротность поперечного резонанса по известной формуле Q = . ЧЛ . На рис. 1 приведены графики зависимости величины этой добротности от значения кб (для двух различных значений мнимой части диэлектрической проницаемости). Рассматривались колебания Нт,п (т 21.п = 2) типа "шепчущей галереи". Диэлектрическая проницаемость соответствовала диэлектрической проницаемости полупровод-пика ( Ііе(є) = 9.5 ). Как видно из графиков, существует оптимальное значение Ы , при котором величина добротности максимальна. При фотовоздействии меняется Im s, а, следовательно, и величина Qmn.x , что ПОЗВОЛЯСТ Применять кольцєвьіє іюлупроводниковьгє рєзоіш торы, например, в качестве фотомодуляторов. Рассмотрим двумерный коаксиальный резонатор, представляющий из себя диэлектрическое кольцо г Є [а — 6, а] и аксиально- симметричный азимутально-гребенчатый экран радиуса г = Ь . Высота гребенки D, период гофра d, действительная часть поверхностного импеданса металла ReZs . В приближении импеданспой модели [14] граничные условия задачи (59) запишем для импеданса: где WQ - волновое сопротивление вакуума и импеданса Ya , определяемого по формуле (60). Метод решения этой задачи во многом аналогичен метода используемому в предыдущем пункте. Введем обозначения: Mn{z) = g[], Г = - , Ге = . Заметим, что уравнение Бесселя для Rn{z) , записанное в терминах M n{z) = -Ml{z) - \Mn{z) - (і - n2/z2) , то есть, Mn(z) обладает уже встречавшимся нам ДП-свойством. Тогда (59) примет вид: В полной аналогии с изложенным в предыдущем пункте, параметризуем каждое из граничных условий системы (65), например, следующим способом: Путем дифференцирования (66), считая известным собственное значение Ао задачи:
Определение геометрических параметров резонатора по его электродинамическим характеристикам
До сих пор мы искали поперечные волновые числа резонатора, считая известными его геометрические характеристики (например, радиус и длину резонатора), а также свойства материала, из которого он изготовлен (поверхностный импеданс). Зададимся обратной целью: зная собственные частоты резонатора, вычислить его геометрические параметры. Рассмотрим цилиндрический резонатор радиуса а, высоты / с импедансиыми стенками. В большинстве случаев для импеданеов (43) можно записать соотношения: у = — Z ZH. К граничным условиям иа боковой поверхности: необходимо добавить граничные условия на торцах резонатора: Электрический и магнитнь[й вектор-потенциалы Герца П , П удовлетворяют прежнему уравнению (45), но искать их следует в виде [21]: Примем 7 — 7о + lii где 7о — х соответствует продольному волновому числу цилиндрического резонатора без потерь, 7і С І7о[-Преобразуем (76) к виду: Частота v колебаний в резонаторе определяется с очень высокой точностью. Зная , используя (77), (63), можно оцепить радиус а. Самая грубая асимптотика решения(бЗ) имеет вид: 0 = / — /30/г, а так как к = и, учитывая, что ка — и (Ла) + (ja) — у ft2 + (7а) = а = Параметры резонатора: I = 2а= 7.6 см. Экспериментальные данные взяты из [21]. Данная задача носит исключительно модельный характер. Разумеется, радиус волновода легко измеряется непосредственно. Однако задачу можно ставить иначе. Зная геометрию волновода, получить оценки поверхностного импеданса стенок, то есть исследовать и с высокой точностью определить физические свойства материала. Подобную методику можно применить к уточнению скорости света. (например, типа "шепчущей галереи") добротность очень велика, резонансная частота измеряется очень точно, что позволяет уточнить последние значащие цифры скорости света. Рассмотрим прямолинейный цилиндрический волновод постоянного поперечного сечения SQ С идеально проводящей боковой поверхностью Esu. Предположим, что среда, заполняющая волновод на ограниченном участке его длины, характеризуется тензорами диэлектрической проницаемости: гиротропного тела заполнение волновода однородно и изотропно (характеризуется константами є$, цо). Нашей целью является алгоритм для определения амплитуд отраженных и прошедших волн, рассеянных гиротропным включением, при падении на него произвольной волны незаполненного волновода.
В этом параграфе мы не будем детально излагать свойства и обоснование рассматриваемой схемы, остановимся только на самых важных моментах, доказательство необходимых положений проведем позднее для случая частичного заполнения волновода киральной средой. В качестве способа возбуждения выберем нормальную волну бесконечно удаленного участка, распространяющ необходимо добавить граничные условия на торцах резонатора: Электрический и магнитнь[й вектор-потенциалы Герца П , П удовлетворяют прежнему уравнению (45), но искать их следует в виде [21]: Примем 7 — 7о + lii где 7о — х соответствует продольному волновому числу цилиндрического резонатора без потерь, 7і С І7о[-Преобразуем (76) к виду: Частота v колебаний в резонаторе определяется с очень высокой точностью. Зная , используя (77), (63), можно оцепить радиус а. Самая грубая асимптотика решения(бЗ) имеет вид: 0 = / — /30/г, а так как к = и, учитывая, что ка — и (Ла) + (ja) — у ft2 + (7а) = а = Параметры резонатора: I = 2а= 7.6 см. Экспериментальные данные взяты из [21]. Данная задача носит исключительно модельный характер. Разумеется, радиус волновода легко измеряется непосредственно. Однако задачу можно ставить иначе. Зная геометрию волновода, получить оценки поверхностного импеданса стенок, то есть исследовать и с высокой точностью определить физические свойства материала. Подобную методику можно применить к уточнению скорости света. (например, типа "шепчущей галереи") добротность очень велика, резонансная частота измеряется очень точно, что позволяет уточнить последние значащие цифры скорости света. Рассмотрим прямолинейный цилиндрический волновод постоянного поперечного сечения SQ С идеально проводящей боковой поверхностью Esu. Предположим, что среда, заполняющая волновод уюся из —сю. В такой постановке задача заключается в решении системы уравнений Максвелла: (п о - нормаль к Е50), и условиями сопряжения на границе Са киралыгой пробки, заключающимися в требовании непрерывности тангенциальных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей, условиями на бесонечности: где Em(M),Hm(M) etflm- - нормальные волны пустого волновода, соответствующие бесконечно удаленным участкам волновода. Эту задачу будем называть задачей (А) . Для решения задачи нам удобно воспользоваться разложением векторов напряженности электрического и магнитного полей на продольные и поперечные и выразить продольные компоненты через поперечные. Воспользовавшись введенными ранее обозначениями, разобьем уравнения (78) на "поперечные":
Нахождение постоянной распространения волны в цилиндрическом волноводе с заполнением из киральной среды
Задача об определении постоянной распространения сводится к краевой задаче для уравнений Максвелла: (114) и (ИЗ), имеем для определения поперечных компонент векторов напряженности электрического и магнитного полей систему уравнений: + Рассматриваемая волноводиая система регулярна вдоль оси z, поэтому можно написать: — /Г, Г-постоянная распространения. Обозначая Л — —ЇГ, запишем систему (115) в виде: определения постоянных распространения мы получаем задачу па собственные значения. Задача нахождения собственных значений для системы уравнений (116) состоит в отыскании тех значений Л, для которых существует нетривиалыюе решение этой системы, а значит и системы (110) с однородным граничным условием. В соответствии с основной идеей метода Галеркина ищем решение уравнений (Пб) в виде: где Л;У и В - неизвестные коэффициенты. Система \ЕпітНпЛ состоит из вектор- функций, представляющих поперечные части нормальных волн цилиндрического волновода следующим образом: ге" - для электрических волн, "т" - для магнитных волн: Ме, Мт - нормировочные множители, (р, п)- номер волны Ерп ИЛИ Нр,1} Jfp (vn )-0) Р [fin ) = 0- Чтобы значения I Е электрического и магнитного полей систему уравнений: + Рассматриваемая волноводиая система регулярна вдоль оси z, поэтому можно написать: — /Г, Г-постоянная распространения. Обозначая Л — —ЇГ, запишем систему (115) в виде: определения постоянных распространения мы получаем задачу па собственные значения. Задача нахождения собственных значений для системы уравнений (116) состоит в отыскании тех значений Л, для которых существует нетривиалыюе решение этой системы, а значит и системы (110) с однородным граничным условием. В соответствии с основной идеей метода Галеркина ищем решение уравнений (Пб) в виде: где Л;У и В - неизвестные коэффициенты. Система \ЕпітНпЛ состоит из вектор- функций, представляющих поперечные части нормальных волн цилиндрического волновода следующим образом: ге" - для электрических волн, "т" - для магнитных волн: Ме, Мт - нормировочные множители, (р, п)- номер волны Ерп ИЛИ Нр,1} Jfp (vn )-0) Р [fin ) = 0- Чтобы значения I Е, Я были точными решениями системы уравнений Максвелла, необходимо, чтобы после подстановки этих значений система уравнений (110) удовлетворялась тождественно, что, в свою очередь, влечет требование ортогональности левых частей (ПО) ко всем вектор-функциям EmUHmt (m = 1, ...,N). приходим к тождествам: Подставляя в (120) разложения (117), получим систему линейных алгебраических уравнений порядка 2N относительно А и В : сечения вычисляется аналитически для любых типов полей Б и Н.
Потребовав обращения определителя этой системы в ноль, приходим к уравнению вида: Д(А) = 0, из которого находим А. Для решения полученного уравнения используем бинарный итерационный корректор-процесс, основанный на использовании метода редукции к задаче Коши с производной по параметру с уточнением решения этой задачи по методу Ньютона-Рафсона. Проведены вычисления комплексных значений постоянных распространения некоторых мод для волноводов прямоугольного и кругового поперечного сечения. Исследовалось влияние геометрических параметров на постоянные распространения {"у/к) волн прямоугольного волновода. Расчет проводился при значениях: є = 3.5,/І = 2.2, = 0.3, ка = 3, где є и ц - электрическая и магнитная проницаемость среды, -киралыгый адмитанс, а и Ь - размеры узкой и широкой стенок волновода соответственно. В таблице 1 представлены результаты счета для четырех различных значений размера широкой стенки волновода [31] при разном чисте нормальных волн, использованных в разложении. В таблицах 2 и 3 представлены значения постоянных распространения волн прямоугольного и круглого волноводов соответственно при различных значениях киралыюго адмитанса. Для прямоугольного волновода постоянная распространения, Я были точными решениями системы уравнений Максвелла, необходимо, чтобы после подстановки этих значений система уравнений (110) удовлетворялась тождественно, что, в свою очередь, влечет требование ортогональности левых частей (ПО) ко всем вектор-функциям EmUHmt (m = 1, ...,N). приходим к тождествам: Подставляя в (120) разложения (117), получим систему линейных алгебраических уравнений порядка 2N относительно А и В : сечения вычисляется аналитически для любых типов полей Б и Н. Потребовав обращения определителя этой системы в ноль, приходим к уравнению вида: Д(А) = 0, из которого находим А. Для решения полученного уравнения используем бинарный итерационный корректор-процесс, основанный на использовании метода редукции к задаче Коши с производной по параметру с уточнением решения этой задачи по методу Ньютона-Рафсона. Проведены вычисления комплексных значений постоянных распространения некоторых мод для волноводов прямоугольного и кругового поперечного сечения. Исследовалось влияние геометрических параметров на постоянные распространения {"у/к) волн прямоугольного волновода. Расчет проводился при значениях: є = 3.5,/І = 2.2, = 0.3, ка = 3, где є и ц - электрическая и магнитная проницаемость среды, -киралыгый адмитанс, а и Ь - размеры узкой и широкой стенок волновода соответственно. В таблице 1 представлены результаты счета для четырех различных значений размера широкой стенки волновода [31] при разном чисте нормальных волн, использованных в разложении. В таблицах 2 и 3 представлены значения постоянных распространения волн прямоугольного и круглого волноводов соответственно при различных значениях киралыюго адмитанса. Для прямоугольного волновода постоянная распространения рассматриваемой моды при = 0 соответствует волне HQI. Исследовалось влияние киралыюго адмитанса. При его увеличении мнимая часть постоянной распространения указанной моды уменьшается.
Построение приближенного решения
Приближенное решение системы (127) ищем в виде конечных разложений: Выразим скачок поля на границе киральной среды через поперечные компоненты ноля, учитывая, что вне киральной вставки = 0, а є = Єо Получим систему для определения коэффициентов разложений A (z) и B(Z), В дальнейшем называемую системой волноводных уравнений. Потребуем, чтобы приближенное решение удовлетворяло тому же основному энергетическому соотношению (33), что и точное решение. Для этого достаточно, чтобы удовлетворялись следующие интегральные соотношения, аналогичные (130): (144) которые после подстановки выражений продольных воспользовавшись условиями ортогональности вектор-функций (16), а также разложения для скачков (146), получим искомую систему волноводных уравнений в следующем виде: + Получим граничные условия для системы волноводных уравнений (147). Для этого потребуем, чтобы для приближенных значений полей также выполнялись соотношения, аналогичные (138)- (139): где PrJ и Х - коэффициенты разложений при z —» ±оо вектора t по системе вектор-функций Ent, связанные с А„ соотношениями: Подставляя в (148)-(149) разложение магнитного поля (140) и используя (150), получим для амплитудных коэффициентов на бесконечности следующие условия : В силу условий сопряжения для поперечных компонент полей, соответствующие соотношения будут выполняться и при z — viz — d: а приближенные значения коэффициентов отражения и прохождения определяются из условий : Задачу определения поля Н , Е из решения краевой задачи (147), (152), (140), (141), будем называть задачей (В) . Это краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами, имеющими достаточно удобный вид для программирования при численном решении. Остановимся на некоторых свойствах построенной задачи. Нашей целью будет установить разрешимость этой задачи и показать, что се решение удовлетворяет некоторым условиям ограниченности, равномерным по N. Сформулируем соответствующее положение.
Теорема Пусть задача (А) разрешима и компоненты ее решения I Е, Н вместе с первыми производными принадлежат пространству L/2 (U). Тогда, региение задачи (В) сходится в среднем, к решению задачи (Л). Доказательство: Соотношения (143) дают: їЛг г г, а, значит, JV n - означает нормальную (по отношению к заполняющей пробке) соетавляюнгуто поля; отметим еще раз, что она всегда равна нулю на боковой поверхности волновода, в силу бесконечной проводимости компонент через поперечные (141), Учитывая представления для скачков полей (142), видим, что в полученной системе в качестве неизвестных фигурируют только поперечные компоненты поля. Подставляя конечные суммы (140) в (145), выполняя почленное интегрирование и воспользовавшись условиями ортогональности вектор-функций (16), а также разложения для скачков (146), получим искомую систему волноводных уравнений в следующем виде: + Получим граничные условия для системы волноводных уравнений (147). Для этого потребуем, чтобы для приближенных значений полей также выполнялись соотношения, аналогичные (138)- (139): где PrJ и Х - коэффициенты разложений при z —» ±оо вектора t по системе вектор-функций Ent, связанные с А„ соотношениями: Подставляя в (148)-(149) разложение магнитного поля (140) и используя (150), получим для амплитудных коэффициентов на бесконечности следующие условия : В силу условий сопряжения для поперечных компонент полей, соответствующие соотношения будут выполняться и при z — viz — d: а приближенные значения коэффициентов отражения и прохождения определяются из условий : Задачу определения поля Н , Е из решения краевой задачи (147), (152), (140), (141), будем называть задачей (В) . Это краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами, имеющими достаточно удобный вид для программирования при численном решении. Остановимся на некоторых свойствах построенной задачи. Нашей целью будет установить разрешимость этой задачи и показать, что се решение удовлетворяет некоторым условиям ограниченности, равномерным по N. Сформулируем соответствующее положение. Теорема Пусть задача (А) разрешима и компоненты ее решения I Е, Н вместе с первыми производными принадлежат пространству L/2 (U). Тогда, региение задачи (В) сходится в среднем, к решению задачи (Л). Доказательство: Соотношения (143) дают: їЛг г г, а, значит, JV n - означает нормальную (по отношению к заполняющей пробке) соетавляюнгуто поля; отметим еще раз, что она всегда равна нулю на боковой поверхности волновода, в силу бесконечной проводимости стенок последнего. Из (134), (136) следует, что
