Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблемы построения статистической механики для систем с непустым сингулярным множеством 21
1.1. Уравнение Лиувилля в статистической механике 21
1.2. Особые точки преобразования Лежандра 25
1.3. Преобразование Лежандра слаборелятивистских систем 33
1.4. Равновесные распределения для систем с вырождающейся массой 43
1.5. Лагранжианы, зависящие от высших производных 48
Глава 2. Функциональная гипотеза Боголюбова в слаборелятивистском случае 67
2.1. Функциональная гипотеза 67
2.2, Уравнения эволюции средних величин 71
2.3. Локалыю-равновесные распределения для слаборелятивистских систем 74
2.4. Уравнения гидродинамики первого приближения 79
2.5. Вырождение гидродинамических связей 87
2.6. Уравнения гидродинамики второго приближения 91
2,7. Слаборелятивистское уравнение Власова 94
2.8, Слаборелятивистское уравнение Больцмана 101
Глава 3, Линейное квантование динамических систем и квантовые кинетические уравнения 109
3.1. Линейное квантование динамических систем 109
3.2. Квантовая цепочка ББГКИ 117
3.3. Квантование вблизи сингулярного множества 120
3.4. Функция Вигнера и правило квантования 123
3.5. Особые свойства квантования Вейля 139
Глава 4. Метод линейных инвариантов в задаче спектрального анализа полиномиальных квантовых гамильтонианов 148
4.1. Законы сохранения для квантовых полиномиальных гамильтонианов 148
4.2. Асимптотика спектра при больших числах заполнения 151
4.3. Специальные полиномы в задачах квантовой оптики 157
4.4. Представления неклассических коммутационных соотношений 158
4.5. Соответствие «квантовые гамильтонианы - кинетические уравнения» 179
Заключение 188
Список литературы 192
- Равновесные распределения для систем с вырождающейся массой
- Локалыю-равновесные распределения для слаборелятивистских систем
- Квантование вблизи сингулярного множества
- Соответствие «квантовые гамильтонианы - кинетические уравнения»
Введение к работе
В настоящей работе исследуются проблемы, возникающие на пути построения классической и квантовой статистической механики для систем, обладающих нетривиальным сингулярным множеством в фазовом пространстве. Сингулярное множество определяется в работах [89,100,107,111,112] как множество точек, в которых происходит вырождение гессиана динамической системы (т.е. вырождение якобиана преобразования Лежандра). Это означает, что в таких точках не существует взаимно-однозначного соответствия между скоростями и каноническими импульсами. Оказывается, что в этом случае некоторые положения классической статистической схемы должны быть видоизменены, чтобы можно было рассматривать с единых позиций как вырожденные, так и невырожденные в динамическом смысле системы.
Не следует думать, что вырожденные динамические системы являются патологическим случаем в физике, и рассмотрение таких систем представляет чисто абстрактный интерес и служит лишь математическим украшением теории. Многие модели реальных физических объектов, вообще говоря, обладают непустым сингулярным множеством. Таковы, например, системы слаборелятивистских взаимодействующих частиц [37,110], которые возникают при описании горячей плазмы [130, 68, 100], моделировании распространения пучков релятивистских заряженных частиц [66], в задачах эволюции звездных скоплений [1, 44], а также в некоторых задачах ядерной физики [149]. К вырожденным системам можно отнести и некоторые модели анизотропных кристаллов [34]. Сюда же относится широкий класс систем, описываемый полиномиальными гамильтонианами, которые представляют часто используемые модели систем с локальным многочастичным взаимодействием, например, описывающих взаимодействие излучения с веществом [115]. Кроме того, класс динамических систем с лагранжианами, зависящими от высших производных [58], также содержит примеры нетривиальных сингулярных множеств [104]. Перечисленные примеры показывают, что «патологические» системы довольно широко распространены, и необходимость их изучения является актуальной задачей, связанной с дальнейшим развитием физики высоких энергий.
В классических курсах статистической механики и термодинамики [9, 47, 70, 73, 75] как правило, молчаливо предполагается, что динамические траектории частиц определены всюду в фазовом пространстве системы. Равновесные статистические распределения зависят только от энергии системы как целого, и если энергия или гамильтониан определены всюду в фазовом пространстве, то тем самым определена и равновесная термодинамика. Это приводит к тому, что создается несколько идеализированное представление об общей схеме статистической механики: кажется, что достаточно задать функцию Лагранжа или Гамильтона системы тел, и после этого все макроскопические величины, характеризующие систему, мо-
9 гут быть, в принципе, определены, если не аналитически, то хотя бы численно. Однако задания лагранжиана или гамильтониана, например, в виде аналитических функций фазовых переменных, в общем случае недостаточно для построения термодинамики системы. Оказывается, что вырождение траекторий в микромире имеет последствия и в определении средних значений динамических величин, и, более того, требует дополнить определение фазового пространства системы. Исследованию и обобщению классической статистической схемы на случай вырождающихся систем, примеры которых приведены выше и будут подробно проанализированы в дальнейшем, и посвящена эта работа.
Основной задачей статистической механики, как классической, так и квантовой, является определение свойств макроскопической системы как целого на основе микроскопического представления о законах взаимодействия между составляющими ее отдельными частицами. Эти представления, в зависимости от детализации физических гипотез относительно характера взаимодействия между телами, могут быть как предельно простыми (например, система материальных точек без внутренней структуры, которые движутся в пространстве, не сталкиваясь друг с другом), так и достаточно сложными, учитывающими взаимодействие тел не только в виде локального столкновения, но и посредством введения понятий коллективного взаимодействия, которое может быть анизотропным, зависеть от скорости рассматриваемой частицы и т.д. Однако независимо от того, каков уровень внутренней сложности описываемой системы, метод ее исследования средствами статистической механики универсален: этот метод использует аппарат функций распределения, развитый в теории вероятностей. Наблюдаемые на практике параметры сплошной среды, каковой чаще всего представляется экспериментатором система многих частиц, трактуются им как результат осреднения множественных микроскопических воздействий, т.е. являются моментами функции распределения частиц по скоростям. Таким образом, вывод уравнений движения сплошной среды на основе динамики микроскопических ее составляющих и есть задача статистической механики.
В работах основоположников статистической механики Джеймса Максвелла и Людвига Больцмана были впервые получены уравнения, описывающие идеальный газ и газ с короткодействующим бинарным межчастичным потенциалом. Эти уравнения, полученные более ста лет назад, не потеряли актуальности и сегодня. Именно уравнение Больцмана является основным инструментом теоретического анализа самых разноплановых задач [147]: от проблем нестационарного обтекания тела в газовой динамике и описания химически реагирующих смесей до теории ядерных реакторов и релятивистских квантовых газов. При численных расчетах большинство используемых моделей также представляют собой дискретизацию уравнения Больцмана [2,144].
Вывод уравнения Больцмана, описывающего эволюцию одночастичной функции распределения в результате парного столкновения частиц системы, является классической задачей статистической механики, и дан с различной степенью подробности практически в каждом учебнике по этой теме. Лежащая в его основе гипотеза молекулярного хаоса, т.е. отсутствия корреляции между частицами до и после столкновения, является центральным местом теории, поэтому системы с нелокальным взаимодействием, строго говоря, не могут быть описаны в рамках такого подхода. Детальный анализ физических гипотез, которые явно или неявно предполагаются справедливыми для изучаемой совокупности частиц, содержится в книге А.А. Власова [33]. Математически строгий вывод классическою уравнения Больцмана на основе цепочки ББГКИ был сделан Н.Н. Боголюбовым [17] в предположении короткодействующего потенциала взаимодействия между частицами и малой их концентрации. Возникает вопрос: какое уравнение придет на смену уравнению Больцмана, если классическое взаимодействие дополнить релятивистскими эффектами, и в какой мере можно сохранить при его выводе предположения классической теории?
Первый шаг в построении релятивистской кинетической теории был сделан в 1911г. Юттнером [153], который использовал теорию относительности для получения релятивистского обобщения равновесного распределения Максвелла. Он же впоследствии вывел равновесное релятивистское распределение для фермионов и бозонов в квантовом случае [154].
Релятивистское бесстолкновительное кинетическое уравнение было получено Уолке-ром в [133]. Релятивистское уравнение Больцмана (т.е. кинетическое уравнение с учетом релятивистского закона столкновения двух точечных частиц) было выведено в работе Лихне-ровича и Марро [77] и исследовано де Гроотом и сотрудниками в книге [47]. Полученное уравнение представляет собой формальное обобщение классического кинетического уравнения на случай, когда скорости частиц принадлежат пространству Лобачевского. В этой формальности, однако, присутствует ошибочная гипотеза, не формулируемая, впрочем, явно: считается возможным записывать законы сохранения для системы из двух сталкивающихся частиц в системе их центра масс. Но, как показано во многих работах по т.н. релятивистской теории прямых взаимодействий [37,155], для взаимодействующих частиц не существует такой точки, которой можно было бы приписать скорость системы как целого, поэтому выведенные релятивистские кинетические уравнения относятся, строго говоря, к модели идеального релятивистского газа с классическим взаимодействием (т.е. без учета его запаздывания в силу конечности скорости света). В связи с этим вывод кинетического уравнения, учитывающего как эффекты релятивистской кинематики, так и запаздывания взаимодействия в приближении парных столкновений, является актуальной теоретической задачей.
В настоящей работе выводится уравнение Больцмана в т.н. слаборелятивистском (или постгалилеевом, по терминологии автора, либо постнютоновом, как оно определяется в некоторых других работах [44, 48]) приближении, когда учитываются поправки порядка
0\у /сік Галилей-инвариантным классическим уравнениям движения, где v - скорость тела, а с - скорость света. Само постгалилеево приближение стало активно изучаться после того, как был получен отрицательный ответ на решение задачи Дирака о построении релятивистски-инвариантного гамильтониана (или лагранжиана) для двух взаимодействующих частиц. Этот результат, известный как теорема о невзаимодействии [69], состоит в том, что система частиц может иметь релятивистски-инвариантное описание с помощью функций от канонически сопряженных координат и импульсов только в отсутствие взаимодействия. В то же время в постгалилеевом приближении такое описание возможно. С практической точки зрения во многих случаях бывает достаточно использовать это приближение для получения поправок к классическому движению с требуемой точностью.
В работах И.П. Павлоцкого [109,110] показано, что учет членов порядка о|с ] в постгалилеевом приближении парного взаимодействия препятствует выполнению гипотезы о молекулярном хаосе, т.е. не позволяет представить столкновительный член в кинетическом уравнении в классическом виде. В то же время существует возможность приблизить кинетическое уравнение для разреженных слаборелятивистских систем к уравнению Больцмана. Соответствующий метод основан на выводе уравнения Больцмана методом Боголюбова и состоит в том, что члены с классическим взаимодействием группируются с образованием традиционного столкновительного члена, а члены порядка 0(е— J учитываются в рамках уравнений цепочки с помощью бинарной функции распределения. Этот подход был реализован в работах автора [94,96, 97,107]. При этом запаздывание взаимодействия интерпретируется как макроскопическая неоднородность, и потому может быть учтено при решении уравнения Больцмана методом Чэпмена-Энскога [49, 145] в виде поправки в уравнении первого (но не нулевого) приближения. Это приводит к тому, что в уравнениях вязкой гидродинамики появляются дополнительные члены порядка 0\с~ J, линейные по градиентам гидродинамических параметров. Однако при выводе уравнений гидродинамики для релятивистской системы взаимодействующих частиц более корректно было бы исходить не из классических кинетических уравнений, которые являются приближенными в силу различных гипотез, положенных в их основу, и, возможно, не имеющих релятивистских обобщений, а из общих эволюционных уравнений относительно высших корреляционных функций системы, т.е. из цепочки Боголюбова.
Программа вывода уравнений гидродинамики из «первых принципов», т.е. из микроскопических уравнений движения в лагранжевой или гамильтоновой формах, была сформулирована в основополагающих работах Н.Н. Боголюбова [ 11,18] в 1946-1948гг. В этих работах для систем классических частиц с парным потенциалом взаимодействия, зависящим от разности координат, был построен аппарат -частичных функций распределения, удовлетворяющих эволюционному уравнению, называемому цепочкой (или иерархией) ББГКИ (Боголюбов-Борн-Грин-Кирквуд-Ивон). В зависимости от способа обрыва цепочки на каком-либо уровне (т.е. при расцеплении корреляций высших порядков через низшие), из нее можно получить замкнутые уравнения относительно функций распределения. В частности, расцепление бинарной корреляционной функции позволяет получить кинетические уравнения Больцмана и Власова. Методы решений конкретных кинетических уравнений имеют индивидуальные особенности, также как и получаемые из этих уравнений макроскопические законы сохранения (уравнения гидродинамики). Цепочка же является эффективным инструментом для исследования класса гидродинамических уравнений в целом.
Применение метода ББГКИ-иерархий к различным физическим системам определило в основном развитие статистической механики во второй половине XX века. Этот подход развивался многими авторами, и всех практически невозможно перечислить. Поэтому ниже приведены ссылки на работы, оказавшие основное влияние на выбор автором темы настоящего исследования. Так, Коэн в [64] анализировал разложение решения цепочки для унарной функции распределения в ряд по степеням плотности для случая классического разреженного газа. Системы классических и квантовых заряженных частиц с позиций редуцированных функций распределения рассматривались Р. Балеску в [9, 10, 11]. Применение цепочки ББГКИ к электролитам было сделано Резибуа [120]. Анализ кластерных разложений в теории кристаллического состояния проводился в [8, 32]. Проблемы построения теории жидкостей с помощью цепочки ББГКИ исследовались в [10, 54, 62, 119]. Обобщение метода редуцированных функций распределения на квантовый случай проведено Н.Н. Боголюбовым и Н.Н. Боголюбовым (мл.) в [19], где была получена цепочка для квантовых статистических операторов. Исследование динамических систем в состояниях вблизи равновесия, когда возможно использование гидродинамических переменных для анализа макроскопических процессов, проведено в работах Н.Г. Иноземцевой и Б.И, Садовникова [55, 56]. Ими также дан анализ основных достижений и трудностей метода цепочек ББГКИ применительно к различным задачам классической статистической механики в обзоре [55]. Большая часть процитированных работ имеет методологическое значение. Они, как и первоначальные работы [17, 18], посвящены выводу кинетических уравнений из микроскопической механики частиц. В частности, в работе [56] содержится анализ дальнодействующих динамических корреляций,
13 которые не принимались в расчет при построении оригинальной теории [17,18], что привело к появлению расходимостей в третьем (т.н. барнеттовском) приближении уравнения Больц-мана [52]. Рассматриваемое в [56] расцепление высших корреляций и обрыв цепочки на двухчастичной функции позволяет устранить расходимости, но зато приводит к гораздо более сложной системе нелокальных уравнений гидродинамики, затрудняющих проведение явных вычислений, за исключением некоторых простых случаев (типа газа твердых сфер).
В настоящей работе рассматривается именно классическая схема Боголюбова, обобщенная на случай вырождающихся динамических систем. Поэтому полученное в работе слаборелятивистское уравнение Больцмана пригодно только для газа малой плотности в пренебрежении дальними динамическими корреляциями, вызванными сильно скоррелирован-ными многочастичными взаимодействиями. Следует сказать, что вывод уравнений гидродинамики из классической цепочки важен и сам по себе, поскольку непосредственно из цепочки не удалось получить выражений для коэффициентов переноса: будучи прямым следствием обратимого во времени уравнения Лиувилля, цепочка не содержит диссипатив-ных членов. В то же время она позволяет исследовать особенности, возникающие при выводе уравнений вязкой гидродинамики, которые не проявляются в редуцированных кинетических уравнениях. Более того, в случае, когда гамильтониан системы является произвольной функцией координат и импульсов частиц (в частности, когда сопряженные переменные не разделены), возникает ряд эффектов, отсутствующих при традиционном выводе гидродинамики из цепочки. В частности, гессиан системы может вырождаться, что приводит к особым состояниям локально-равновесного распределения, и, кроме того, возникают дополнительные диссипативные потоки в уравнениях эволюции макроскопических величин. Эти эффекты исследованы автором в работах [90,92,93,94,95,96,97,100,107].
Вырождение преобразования Лежандра для целого ряда физически актуальных задач, кратко упомянутых выше, представляет серьезную математическую проблему при построении статистической механики таких систем. Новизна настоящей диссертации в том, что в ней впервые проведено исследование особых точек в фазовом пространстве системы, в которых динамическая траектория не определена, и предложен способ продолжения траектории на основе инвариантов движения. Подробно исследованы два практически важных случая: это слаборелятивистские лагранжианы Дарвина [48] и Фока-Фихтенгольца [137], а также модели динамических систем с высшими производными [102, 104]. Оба эти случая представляют различные нелокальные эффекты (запаздывание взаимодействия или наличие внутренней структуры у «точечной» частицы), которые описываются посредством некоторых локальных моделей. Исследование этих моделей привело к обобщению важных понятий статистической механики, которые в классическом случае представлялись достаточно хоро- шо изученными: фазовое пространство системы, преобразование Лежандра, функциональная гипотеза Боголюбова и локально-равновесные распределения. Это существенный методологический аспект диссертации, который позволяет увидеть новые взаимосвязи между традиционными инструментами статистической механики.
Вторая часть диссертации посвящена исследованию некоторых особенностей построения статистической квантовой механики систем с непустым сингулярным множеством на примере систем с запаздыванием взаимодействия, рассмотренным в первой части. Определение классических траекторий для систем с сингулярным множеством является необходимым условием для проведения квантования динамических величин. Однако само квантование (т.е. запись уравнения Шредингера) для таких систем определено неоднозначно, поскольку операторы координаты и импульса в гамильтониане не разделены. Это обстоятельство приводит к необходимости исследовать такой специфический аспект квантования, как правило расстановки опеаторов некоммутирующих величин. Результаты, полученные в связи с этим исследованием, проводимым на примере слаборелятивистских систем, позволили выявить важное свойство связи квантования и квазивероятности (функции Вигнера), которое имеет место и для нерелятивистских моделей. На такую связь в частном случае было указано еще Ф.А. Березиным [14]. Таким образом, в рассматриваемых моделях проявляется «двойная» неоднозначность правила квантования: во-первых, это неоднозначность в построении символа функции от оператора - напр., G = exp[i7#J, даже если сам оператор Н не зависит от способа расстановки некоммутирующих операторов, и, во-вторых, неоднозначность, вызванная собственно зависимостью Н от правила квантования.
Исследование взаимовлияния указанных эффектов проводится впервые в настоящей работе. В ней предложен класс линейных квантований, обобщающий примеры, рассмотренные Ф.А. Березиным в [14], и позволяющий проводить анализ зависимости статистических свойств системы от правила квантования ее гамильтониана в рамках единого формализма, который включает большинство из часто употребляемых квантований. В работе В.П. Масло-ва и М.В. Карасева [59, 60] приводятся некоторые примеры различных квантований, которые изучаются с точки зрения теории квазиклассического квантования динамических систем [51]. Метод комплексного ростка [85], разработанный В.П. Масловым и О.Ю. Шведовым, позволяет исследовать также и квазиклассические системы с вырожденным гессианом. Это случай в некотором смысле обратный к рассматриваемому в настоящей работе, где вырождение лагранжиана означает обращение гессиана для функции Гамильтона в бесконечность на сингулярном множестве. Поскольку классическая траектория в такой точке не определена, то использование метода продолжения траектории на основе первых интегралов позволя-
15 ет также сформулировать правило квантования системы в окрестности сингулярного множества, в частности, обнаружить новые точки поворота.
Если квантование динамической системы проведено, то далее может быть применена стандартная схема построения квантовой статистической механики, разработанная Н.Н. Боголюбовым и Н.Н. Боголюбовым (мл.) [19]. Введенные ими статистические операторы комплексов частиц (т.е. следы матрицы плотности системы) зависят от квантования настолько, насколько от него зависит гамильтониан, но, как указывалось выше, существуют также статистические операторы, определяемые и самим правилом квантования. Таковой является функция Вигнера [35], которая была введена как метод «почти классического» вычисления средних значений от квантовых операторов. Большое число работ, использующих в качестве инструмента аппарат функций Вигнера, относится к эффекту туннелирования (см., напр., [49, 79]). В частности, в работе Ю.Е. Лозовика [79] с помощью функции Вигнера определялось время туннелирования волновых пакетов.
Отличие функции Вигнера от классической функции распределения в фазовом пространстве состоит в том, что функция Вигнера может не быть положительно определенной, и потому не всегда может интерпретироваться как вероятностное распределение. То, что квазивероятность зависит от квантования, было, в общем-то, понятно и раньше (см., напр., [115]), по детальные исследования такой зависимости не проводились. Может показаться, что проблемы выбора квантования не существует в фейнмановском формализме, но в [14, 16] было показано, что это не так. Некоторые частные примеры, рассмотренные в [16], показали наличие значительных чисто технических трудностей даже для простых моделей типа частицы во внешнем поле, поэтому построение метода, позволяющего учитывать возможность произвольного линейного квантования системы, имеет самостоятельную теоретическую значимость.
Существует большое число работ, в которых исследуются свойства функции Вигнера. Это обусловлено практической привлекательностью метода, позволяющего проводить анализ уравнений эволюции квантовых средних от операторов наблюдаемых, не обращаясь непосредственно к уравнению Шредипгера, особенно в случае многих частиц. При этом практически единственным случаем является определение функции Вигнера как преобразования Вейля матрицы плотности системы [10, 19, 46]. Такое определение предполагает, в свою очередь, использование только вейлевского правила квантования. В частности, наиболее близкие к теме настоящего исследования задачи рассмотрены в книге де Гроота и Сатторпа [46]. В ней проведено преобразование Вейля матрицы плотности для слаборелятивистского гамильтониана Дарвина, и получены соответствующие уравнения эволюции квантовых средних от динамических операторов системы. В настоящей работе уравнение Вигнера вы-
16 водится для случая произвольного линейного квантования и произвольной динамической системы с бинарным взаимодействием в приближении (л с~ .
Далее, в работах В.И. Манько [80, 81, 83] рассматривается преобразование функции Вигнера, приводящее к положительно определенной функции (т.н. маргинальному распределению), из которой можно в случае квантования Вейля получить и матрицу плотности по результатам непосредственных измерений. В настоящей работе показана выделенность квантования Вейля как единственного эрмитового из рассматриваемого класса линейных квантований, для которого по измеримому маргинальному распределению можно построить функцию Вигнера и матрицу плотности. Наряду с точно решаемым случаем гармонического осциллятора рассматривается произвольное линейное квантование и некоторых других систем, для которых можно провести явные вычисления и также получить квантование Вейля как единственного, для которого существует равновесное распределение Вигнера. Эти результаты приводят косвенные доводы в пользу квантования Вейля как единственно приемлемого для динамических систем.
Далее в диссертации изучается класс полиномиальных гамильтонианов в терминах вторичного квантования. Широкий круг вопросов квантовой физики, таких как теория твердого тела, теория сверхтекучести и сверхпроводимости, теория взаимодействия излучения с веществом, решаемых в рамках моделей вторичного квантования, имеет как теоретическое, так и большое практическое значение. Значительная часть базовых моделей, используемых в этих областях, принадлежит классу полиномиальных квантовых гамильтонианов. Таковы, например, модели, описывающие взаимодействие одномодового излучения с бесконечной системой бозонов (квантовая теория затухания), взаимодействие излучения с системой двухуровневых атомов, эффекты самофокусировки, комбинационное рассеяние, многофотонное поглощение и излучение, и др.
Основы математического формализма метода вторичного квантования были заложены в работах Н.Н. Боголюбова [19], В.А. Фока [139], Ф.А. Березина [14], Вольфа, Глаубера и Сударшана [42, 43]. Дальнейшее развитие метода связано с использованием представления когерентных состояний гармонического осциллятора для описания статистических свойств суперпозиции когерентного и хаотического полей. Развитие метода когерентных состояний в квантовой теории излучения связано с работами Глаубера [42, 43], использовавшего это представление для описания совместного поведения системы бозонов. В отличие от представления чисел заполнения Фока, в представлении когерентных состояний известной величиной считается фаза излучения, а число квантов в состоянии с данной фазой произвольно. Математические аспекты метода вторичного квантования и использования переполненных
17 систем векторов были развиты затем Ф.А.Березиным [14], после чего этот подход стал плодотворно применяться во многих задачах квантовой оптики. Подробный обзор результатов применения когерентных состояний в этой области и исчерпывающая библиография содержатся в книге Я.Перины [115]. Теория когерентных состояний для системы бозонов изложена в монографиях [82, 111]. В настоящее время метод когерентных состояний активно используется при исследовании нелинейных оптических явлений и т.н. неклассических состояний поля излучения (многофотонное комбинационное рассеяние, генерация сжатого света [115, 126] и др.). В работе И.Я. Арефьевой и И.В. Воловича [5] когерентные состояния рассматриваются при исследовании квазиклассического предела квантовых групп. В настоящей работе исследуется возможность обобщения метода когерентных состояний на случай, когда операторы рождения и уничтожения, в терминах которых записывается модельный гамильтониан в некоторых квантовооптических задачах, удовлетворяют некоторому классу нелинейных коммутационных соотношений.
Основным методом исследования спектра гамильтонианов квантовой оптики (и ряда других квантовых моделей) является теория возмущений. Однако в таком подходе не всегда удается точно указать границу применимости приближения, а также исследовать асимптотическое поведение собственных значений в случае нелинейного взаимодействия. В работах автора [30, 31, 50, 101] построена математически строгая теория анализа асимптотики спектров квантовых гамильтонианов полиномиального типа, и предложен конструктивный метод такого анализа, основанный на отыскании всех линейных инвариантов модели. Оказалось, что многие модельные гамильтонианы, используемые для описания комбинационного рассеяния, имеют неограниченный снизу спектр, что препятствует их применению к исследованию термодинамического равновесия системы. Это означает, что при высокой когерентности и интенсивности излучения можно ожидать превышение асимптотического предела оптической прочности кристалла: из-за неограниченности спектра при отрицательных значениях энергии появляется формальная возможность закачивания бесконечной энергии в фононную моду, что можно интерпретировать как разрушение образца.
Исследование спектра полиномиальных квантовых гамильтонианов привело в настоящей работе к построению системы неклассических ортогональных полиномов, с которыми связаны собственные функции оператора Гамильтона на конечномерном инвариантном подпространстве, выделяемом законами сохранения. Важным аспектом теории является определение асимптотического поведения спектра оператора, для чего был применен метод нормировки собственных значений по аналогии с тем, как это делается для классических ортогональных полиномов (В.И. Аптекарев, [3, 4]), после чего для нахождения главной асим-
18 птотикн собственных значений исследуются следы степеней матрицы оператора в представлении чисел заполнения.
Заметим, что если число взаимодействующих квазичастиц в гамильтониане больше двух, то такой гамильтониан нельзя привести к диагональному виду с помощью канонического преобразования. Это означает, что квазичастицы (одного сорта, если система полностью интегрируема), в терминах которых гамильтониан диагонален, не являются бозонами. В то же время собственные значения оператора числа квазичастиц совпадают со спектром гамильтониана. Возникшая в [101] проблема диагонализации гамильтонианов, нелинейных по операторам рождения и уничтожения квазичастиц, привела к рассмотрению неклассических коммутационных соотношений и их представлений в пространстве чисел заполнения. Появилась необходимость распространить представление когерентных состояний, развитое для бозонного поля, на случай более общих коммутационных соотношений. В настоящей работе рассматривается построение переполненной системы векторов для неклассических коммутационных соотношений между операторами рождения и уничтожения. Выводятся формулы для ковариантных символов векторов и операторов в этом представлении, и доказывается существование меры в комплексной плоскости, с которой эти символы корректно определены. Неклассические коммутационные соотношения возникают во различных задачах квантовой оптики [156], что привело к большому количеству работ в области теории представлений квантовых алгебр [22, 23, 24, 29]. В качестве обзора по теории алгебр с нелинейными перестановочными соотношениями приведем книгу М.В. Карасева и В.П. Маслова [59]. В настоящей работе рассматриваются когерентные состояния для квазибозонного (по терминологии автора, см. [87]) представления неклассических коммутационных соотношений и доказывается свойство их минимальной неопределенности.
Другим важным результатом проводимого исследования гамильтонианов квантовой оптики явилось сопоставление полиномиальных квантовых гамильтонианов и кинетических уравнений типа химической кинетики (и те, и другие имеют общую классификацию по числу имеющихся у них линейных инвариантов), что позволило построить первые дискретные модели уравнения Больцмана для смесей с правильным числом законов сохранения.
Построение дискретных моделей кинетических уравнений является важной прикладной задачей. Одно из главных требований к таким моделям состоит в том, чтобы они обладали теми же законами сохранения, что и исходное кинетическое уравнение, т.е. чтобы дискретизация не меняла микроскопическую динамику, лежащую в основе кинетического уравнения. Одним из основных кинетических уравнений, используемых при моделировании широкого класса задач газовой динамики [147], химической кинетики [36], [121], некоторых задач квантовой статистической механики [123, 47], является уравнение Больцмана. В по-
19 следние годы исследования дискретных моделей уравнения Больцмана ведутся очень активно (см., напр., [26, 67, 148] и цитированную там литературу). В литературе широко обсуждаются модели для смесей, допускающие обмен энергией между разными компонентами, и построение таких моделей - актуальная проблема, имеющая большое прикладное значение.
Построение адекватной дискретной модели уравнения Больцмана хотя бы для случая двух компонент связано с преодолением трудности т.н. лишних инвариантов (например, энергии отдельных компонент), которые присутствуют в дискретной модели, но отсутствуют в исходном кинетическом уравнении. При проведении численных расчетов лишние инварианты могут привести к неправильной гидродинамике, поскольку традиционно используемое при ее выводе локально-равновесное распределение будет в этом случае отличаться от мак-свелловского.
В настоящей работе исследуется класс кинетических уравнений типа химической кинетики, которые обобщают уравнение Больцмана на случай реакций более высоких порядков, чем парные столкновения. Обобщение понимается в том смысле, что для изучаемых уравнений, как и для уравнения Больцмана, справедлива //-теорема. Нетривиальным результатом, полученным в диссертации, является построение определенного соответствия между кинетическими уравнениями из рассматриваемого класса и полиномиальными квантовыми гамильтонианами, описывающими процессы локального взаимодействия частиц в терминах операторов рождения и уничтожения. Именно, если каждому классическому акту столкновения, моделируемому кинетическим уравнением, поставить в соответствие квантовый гамильтониан, описывающий тот же процесс на квантовом уровне (как уничтожение частиц, вступающих в столкновение, и рождение продуктов этой реакции), то такой гамильтониан будет обладать теми же законами сохранения в терминах операторов числа частиц, что и кинетическое уравнение в терминах функций распределения. Определение такого соответствия можно сформулировать следующим образом. Кинетическое уравнение и квантовый гамильтониан будем называть соответствующими друг другу, если законы сохранения для квантового гамильтониана в терминах операторов чисел заполнения те же самые, что и законы сохранения для кинетического уравнения в терминах плотностей распределения частиц данного типа.
Особую роль в кинетических уравнениях играют законы сохранения, линейные по плотностям частиц. В частности, для уравнения Больцмана именно они являются основными макроскопическими величинами при переходе к сплошной среде, когда выписываются уравнения гидродинамики относительно средних значений плотности, импульса и энергии. С другой стороны, для пространственно-однородного уравнения Больцмана эти законы сохранения полностью определяют качественное поведение системы: Я-теорема обосновывает
20 стремление системы к стационарному состоянию, параметры которого определяются соответствующими законами сохранения.
Аналогия, предлагаемая в настоящей работе в качестве принципа соответствия между законами сохранения для квантовых гамильтонианов и кинетических уравнений позволяет написать обобщение дискретных моделей уравнения Больцмана как на случай распадов и рождений частиц, так и для включения в рассмотрение столкновений более высокого порядка (тройных и далее). Это обобщение вьщеляет класс уравнений химической кинетики, для которых также справедлива Я-теорема и проявляет еще одну грань взаимосвязи микроскопического и макроскопического описаний.
Равновесные распределения для систем с вырождающейся массой
Рассмотрим некоторые простейшие системы, для которых можно в явном виде найти равновесные распределения. Первой задачей является записать правильное уравнение Лиувилля для систем с непустым сингулярным множеством. Как следует из Теоремы 2.1, фазовое пространство системы разбивается сингулярными поверхностями J = 0 па области, которые частицы либо не могут покинуть, либо, напротив, при достижении границы покидают область безвозвратно. Пусть в простейшем случае (как, напр., на Фиг. 2.1) фазовое пространство разбито поверхностью SQ на классическую у+ (J 0) и виртуальную у (J 0) области, в каждой из которых справедливо обычное уравнение Лиувилля (1.9). Поскольку же по физическому смыслу функция распределения не может быть отрицательна, то область у" запрещена.
Тогда областью определения р является у х R, и мы имеем Здесь (vn) - скалярное произведение N-частичной скорости на компоненту нормали к SD, лежащую пространстве скоростей. Это - условие зеркального отражения от сингулярного множества. А. Рассмотрим сначала случай, когда лагранжиан имеет вид На графиках Фиг. 4.1. видно, что различия между моделями проявляются в области высоких температур. Слаборелятивистское приближение довольно быстро становится качественно неадекватным, модель идеального газа и модель статсуммы без учета ограничения доступной области в фазовом пространстве дают похожие результаты, которые значительно отличаются от полученных в рамках математически корректной процедуры (4.7). R
Приведем точную нормировку функции распределения слаборелятивистской системы одинаковых одноименно заряженных частиц в пространстве скоростей. Обозначим через ZQ{P) статистическую сумму идеального релятивистского газа в R", полагая для краткости массы частиц единичными, а также и с = \ [92]: Тогда, используя представление модифицированной функции Бесселя в виде [12] и вычисляя интеграл от функции, содержащей скалярное произведение, в сферической системе координат по правилу [117] получаем для случая двух частиц, энергия которых E(q,v) определяется выражением (3.13), следующий результат [92]: Этот результат обобщает случай (4.3) с квадратичным лагранжианом на более сложную зависимость энергии свободного движения от скоростей. Аналогичное, только более громоздкое выражение, получается для случая N частиц (см. [92]). Таким образом, рассмотренные примеры показывают, что в каждом конкретном случае требуется детальный анализ микроскопической динамики, на основе которого затем строится статистическая механика и термодинамика. Необходимая последовательность действий состоит в определении «областей непрозрачности» в фазовом пространстве и вычислении для них статистической суммы системы.
Локалыю-равновесные распределения для слаборелятивистских систем
Программа вывода уравнений гидродинамики из ((первых принципов», т.е. из микроскопических уравнений движения в лагранжевой или гамильтоновой формах, была сформулирована в основополагающих работах Н.Н. Боголюбова [17, 18] в 1946-1948гг. В этих работах для систем классических частиц с парным потенциалом взаимодействия, зависящим от разности координат, был построен аппарат s -частичных функций распределения, удовлетворяющих эволюционному уравнению, называемому цепочкой (или иерархией) ББГКИ (Боголюбов-Борн-Грин-Кирквуд-Ивон). В зависимости от способа обрыва цепочки на каком-либо уровне (т.е. при расцеплении корреляций высших порядков через низшие), из нее можно получить замкнутые уравнения относительно функций распределения. В частности, расцепление бинарной корреляционной функции позволяет получить кинетические уравнения Больцмана и Власова. Расцепление тернарной функции распределения, применявшееся в [56], приводит к более сложным уравнениям. Методы решений конкретных кинетических уравнений имеют индивидуальные особенности, также как и получаемые из этих уравнений макроскопические законы сохранения (гидродинамика). Цепочка же является эффективным инструментом для исследования класса гидродинамических уравнений в целом.
Применение метода ББГКИ-иерархий к различным физическим системам определило в основном развитие статистической механики во второй половине XX века. Этот подход развивался многими авторами, и всех практически невозможно перечислить. Поэтому ниже приведены ссылки на работы, оказавшие основное влияние на выбор автором темы настоящего исследования. Так, Коэн в [64] анализировал разложение решения цепочки для унарной функции распределения в ряд по степеням плотности для случая классического разреженного газа. Системы классических и квантовых заряженных частиц с позиций редуцированных функций распределения рассматривались Р. Балеску в [9,10,11]. Применение цепочки ББГКИ к электролитам было сделано Резибуа [120]. Анализ кластерных разложений в теории кристаллического состояния проводился в [8, 32]. Проблемы построения теории жидкостей с помощью цепочки ББГКИ исследовались в работах [10, 54, 62, 119]. Обобщение метода редуцированных функций распределения на квантовый случай проведено Н.Н. Боголюбовым и Н.Н. Боголюбовым (мл.) в [19], где была получена цепочка для квантовых статистических операторов. Анализ основных достижений и трудностей метода цепочек ББГКИ применительно к различным задачам классической статистической механики дан в обзоре [55]. Большая часть процитированных работ имеет методологическое значение. Они, как и первоначальные работы [17, 18], посвящены выводу кинетических уравнений из микроскопической механики частиц.
Однако непосредственно из цепочки не удалось получить выражений для коэффициентов переноса, поскольку, будучи прямым следствием обратимого во времени уравнения Лиувилля, цепочка не содержит диссипативных членов. В то же время она позволяет исследовать особенности, возникающие при выводе уравнений вязкой гидродинамики, которые не проявляются в редуцированных кинетических уравнениях. Более того, в случае, когда гамильтониан системы является произвольной функцией координат и импульсов частиц (в частности, когда сопряженные переменные не разделены), возникает ряд эффектов, отсутствующих при традиционном выводе гидродинамики из цепочки. В частности, гессиан системы может вырождаться, что приводит к особым состояниям локально-равновесного распределения, и, кроме того, возникают дополнительные диссинативные потоки в уравнениях эволюции макроскопических величин. Эти эффекты исследованы автором в работах [90, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 100, 107], и описаны в следующих параграфах этой Главы.
Ниже кратко излагаются основные положения функциональной гипотезы Боголюбова [17, 18], обобщенной на случай систем с многократным взаимодействием, зависящим от координат и импульсов частиц в декартовом фазовом пространстве и описывается метод, позволяющий исследовать общую структуру уравнений гидродинамики.
Одной из центральных задач статистической механики является нахождение коэффициентов переноса, связывающих (в линейной теории) термодинамические потоки с градиентами параметров, характеризующих конкретную систему (обычно это масса, полный импульс и энергия). Эти связи, будучи подставленными в законы сохранения, приводят к уравнениям вязкой гидродинамики и теплопроводности. Исходным пунктом при выводе законов сохранения являются динамические уравнения (в гамильтоновой или лагранжевой формах) и основанное на них уравнение Лиувилля относительно функции распределения частиц системы в фазовом пространстве.
Рассматривается система из N тождественных частиц без внутренней структуры, заключенных в объеме Q, гамильтониан которых представляется в виде суммы величин унарного, бинарного и т.д. типов, симметричных относительно перестановки индексов, нумерующих частицы: Здесь x/=(q,,p,) -фазовая координата і-ой частицы, q,,p;e/Jrt, и -размерность координатного пространства. Такое усложнение вида гамильтониана оправданно, т.к. в Главе I были описаны некоторые модели с тернарным взаимодействием - например, гамильтониан Фока [138] в слаборелятивистском приближении общей теории относительности. Если слагаемые в гамильтониане (1.1) инвариантны относительно сдвига по координатам, то тем же свойством обладают и стационарные решения цепочки (1.4), которые будем обозначать Fs . В частности, Fj однородна по [qij, F2 зависит только от модуля разности ч"і2І-ІЧі-Ч2І и Т-Д- Вблизи равновесного состояния функции распределения модифицируются; вводится параметр неоднородности /J, имеющий порядок отношения радиуса действия межмолекулярных сил к характерному размеру макроскопической неоднородности, и дополнительная модифицированная координата г - /iqi. Значение fi = 0 отвечает пространственно-однородному состоянию. Функции распределения переопределяются следующим образом: Далее для краткости тильду опускаем. Вместо (1.4) получаем модифицированную цепочку: Здесь обозначение скобки Пуассона сохранено для канонических переменных д, р; по а подразумевается суммирование от 1 до п. Слагаемое с //—-— - в (1.5) представляет основное отличие от классической цепочки, выведенной для случая, когда гамильтониан представляется в виде суммы унарной энергии свободного движения, зависящей только от импульсов, и бинарной энергии взаимодействия, зависящей только от координат.
Квантование вблизи сингулярного множества
Рассмотрим пример квантования динамической системы, имеющей нетривиальные точки поворота, согласно подходу, описанному в главе I. Пусть имеется одномерный ангармонический осциллятор с особенностью, задаваемый лагранжианом Импульс такой динамической системы равен а энергия Классическая область движения (где импульс сонаправлен скорости) - это интервал (-1, і). Граничные точки трактуются как точки поворота. Особые точки преобразования Лежандра определяются условием д = ±\. В неособых областях фазового пространства имеем выражения для скорости и энергии через координату и импульс: Квазиклассическое квантование такой системы в духе Бора-Зоммерфельда означает равенство интегрального инварианта Пуанкаре-Картана целому числу постоянных Планка: В частности, если энергия системы 1/2, то правило квантования (3.3) дает трансцендентное уравнение для собственных значений оператора энергии В рассматриваемой модели существенно то, что, в отличие от гармонического осциллятора, значения энергии ограничены, т.к. решения трансцендентных уравнений (3.4), (3.5) имеются не при всех п. Именно, в (3.4) отсутствует начальная часть спектра, т.к. решение есть только при и 4/3яй, а в (3.5), напротив, при 0 п 4/Зяй. Таким образом, в окрестности особой точки собственные значения оператора энергии не представляются в виде «энергия гармонического осциллятора плюс малая поправка». Найдем теперь волновые функции такой системы в окрестности особой точки. Проведем для этого квантование динамической системы (3.2) с помощью ядра квантования (1.11). Произвольное эрмитово квантование (1.13) гамильтониана (3.2) в неособой области приводит к оператору Гамильтона с одним неопределенным параметром (вторым моментом a i функции симметризации): Будем интересоваться поведением волновой функции у/\х) вблизи особой точки х = ±1. Для этого сделаем в (3.6) замену переменных z \-x и рассмотрим решение уравнения Шредингера Ну/ - Еу/ при z - +0. Имеем из (3.6) Исключая из этого уравнения первую производную преобразованием 9 где С - произвольная постоянная, а Л есть решение квадратного уравнения Л -Л+а=0.
Покажем, что существует такое решение уравнения Шредингера (3.7), при котором волновая функция в окрестности особой точки и поток через границу стремятся к нулю, т.е. сингулярное множество квантовой системы, как и в классическом случае, является I 7 абсолютно непроницаемым. Выберем Л=—J—+2ст2 и положим для простоты С = 0 (при С 0 результат получается аналогично). Тогда получаем Этот результат иллюстрирует гипотезу о том, что особые точки преобразования Лежандра могут быть интерпретированы как точки классического отражения, которым в квантовом случае отвечают абсолютно непроницаемые точки поворота. Для оценки возможности эмпирического определения правила квантования рассмотрим квазиклассическое приближение для гамильтониана вида Н =f{q) + р g (q). Соответствующий оператор имеет вид Для построения стационарного решения уравнения Шредингера с оператором (3.13) в виде асимптотического разложения по степеням ft (квазиклассическое приближение [51, 124]), представим, как это обычно делается, уравнение Ну = Ец/ в виде p = Приравнивая в уравнении Шредингера члены при одинаковых степенях Й, получаем (до членов третьего порядка): Видно, что зависимость от момента ап войдет в волновую функцию в «-ом порядке приближения, если этот момент содержится в самом операторе Гамильтона. Момент &2 дает поправку в фазу волновой функции, а поправка к амплитуде имеет уже третий порядок, и зависит от 03. Если же, как в рассматриваемом примере, гамильтониан не зависит от 03, то высшие поправки по й не зависят от правила квантования, если не считать зависимости от первого момента. Поэтому экспериментально установить эти поправки вряд ли возможно. В то же время требование эрмитовости однозначно определяет а\ =1/2, чего вполне достаточно для квазиклассического приближения. Последовательно интегрируя систему (3.14), получаем: Также может быть проинтегрировано и выражение для $2 00» дающее поправку в фазу функции. В первом порядке по h \]/(х) » ±AL expl — SQ . Пели квантование эрмитово, то амплитуда волновой функции имеет вид Таким образом, матрица плотности зависит только от тех моментов функции симметризации, которые входят в оператор Гамильтона. Функция Вигнера была введена с целью построить альтернативное описание квантовых свойств системы в терминах классических величин и в классическом фазовом пространстве.
Поскольку, однако, для этого пришлось пожертвовать вероятностным смыслом меры, по которой находятся средние значения квантовых операторов, то возникла необходимость детально исследовать свойства этой новой функции, которую стали также называть квазивероятностью, чтобы подчеркнуть ее отличия от классических и квантовых статистических операторов. Особый интерес представляет переход к классическому пределу ft -»0, поскольку квантовые уравнения в терминах функции Вигнера имеют квазиклассический вид. Интерес к функции Вигнера не только методологический. Хотя формально квазивероятность строится по матрице плотности, но вместо квантового уравнения Лиувилля или уравнения Шредингера для нее получается уравнение типа классического уравнения Власова, описывающего движение частицы в самосогласованном ноле, что позволяет получить решение квантовой задачи, используя разработанные методы решения классических задач. С другой стороны, нелокалыгасть интегрального оператора в уравнении Вигнера затрудняет постановку граничных условий, что становится существенным при численном решении. Анализ преимуществ и недостатков вигнеровского описания зависит от конкретных задач, к которым применяется этот подход. Ниже рассмотрены наиболее часто встречаемые случаи.
Соответствие «квантовые гамильтонианы - кинетические уравнения»
Построение дискретных моделей кинетических уравнений является важной прикладной задачей. Одно из главных требований к состоит в том, чтобы они обладали теми же законами сохранения, что и исходное кинетическое уравнение, т.е. чтобы дискретизация не меняла микроскопическую динамику, лежащую в основе кинетических уравнений. Одним из основных кинетических уравнений, используемых при моделировании широкого класса задач газовой динамики [147], химической кинетики [36, 121], некоторых задач квантовой статистической механики [28, 123] является уравнение Больцмана. В последние годы исследования дискретных моделей уравнения Больцмана (далее ДМУБ) ведутся достаточно активно [67, 148]. В литературе широко обсуждаются модели для смесей, допускающие обмен энергией между разными компонентами, и построение таких моделей -актуальная проблема, имеющая большое прикладное значение.
Построение адекватной ДМУБ хотя бы для случая двух компонент связано с преодолением трудности т.н. лишних инвариантов (например, энергии отдельных компонент) [148], которые присутствуют в дискретной модели, но отсутствуют в исходном КУ. При проведении численных расчетов это приводит к неправильной гидродинамике, поскольку традиционно используемое в ней локально-равновесное распределение будет в этом случае отличаться от максвелловского. На основе метода исследования спектра квантовых гамильтонианов с использованием подпространства линейных законов сохранения в настоящей работе разработан эффективный метод построения дискретных моделей уравнений химической кинетики для смесей без лишних инвариантов.
В этом параграфе исследуется класс кинетических уравнений типа химической кинетики, которые обобщают уравнение Больцмана на случай реакций более высоких порядков, чем парные столкновения. Обобщение понимается в том смысле, что для изучаемых уравнений, как и для уравнения Больцмана, справедлива Я-теорема. Нетривиальным результатом, полученным в настоящей диссертации, является построение определенного соответствия между кинетическими уравнениями из рассматриваемого класса и полиномиальными квантовыми гамильтонианами, описывающими процессы локального взаимодействия частиц в терминах операторов рождения и уничтожения. Именно, если каждому классическому акту столкновения, моделируемому кинетическим уравнением, поставить в соответствие квантовый гамильтониан, описывающий тот же процесс на квантовом уровне (как уничтожение частиц, вступающих в столкновение, и рождение продуктов этой реакции), то такой гамильтониан будет обладать теми же законами сохранения в терминах операторов числа частиц, что и кинетическое уравнение в терминах функций распределения.
Кинетическое уравнение и квантовый гамильтониан будем называть соответствующими друг другу, если законы сохранения для квантовых гамильтонианов в терминах операторов чисел заполнения те же самые, что и законы сохранения для кинетических уравнений в терминах плотностей распределения частиц данного типа.
Особую роль в кинетических уравнениях играют законы сохранения, линейные по плотностям частиц. В частности, для уравнения Больцмана именно они являются основными макроскопическими величинами при переходе к сплошной среде, когда выписываются уравнения гидродинамики относительно средних значений плотности, импульса и энергии [47, 75]. С другой стороны, для пространственно-однородного уравнения Больцмана эти законы сохранения полностью определяют качественное поведение системы: Я-теорема обосновывает стремление системы к стационарному состоянию, параметры которого определяются соответствующими законами сохранения.
Предлагаемая в диссертации в качестве принципа соответствия аналогия между законами сохранения для квантовых гамильтонианов и кинетических уравнений позволяет написать обобщение дискретных моделей уравнения Больцмана как на случай распадов и рождений частиц, так и для включения в рассмотрение столкновений более высокого порядка (тройных и далее). Это обобщение выделяет класс уравнений химической кинетики, для которых также справедлива Н- теорема. Простейшим примером кинетических уравнений являются уравнения баланса плотностей частиц в пространственно-однородном случае при бинарных столкновениях, переводящих частицы из одного сорта в другой, в предположении, что вероятность перехода пропорциональна плотности сталкивающихся частиц. Такова, например, четырехкомпонентная модель Максвелла-Бродуэлла: Ее обобщением является дискретная модель уравнения Больцмана (ДМУБ) [147]: Здесь »є R - вектор /j-мерного линейного пространства с положительными компонентами, В = By = /? 0 - положительные константы (сечений столкновения) для реакции вида (i,j) - (к,т). Суммирование в (5.1) ведется по всем реакциям, в которых участвует і -ое вещество. Для этой системы, как и для уравнения Больцмана, справедлива //-теорема: функционал убывает в силу системы (5.1), т.е. dSldt йО. Легко проверить, что ]А,Л, сохраняется для системы (5.1), если для всех ненулевых сечений столкновений выполняется / +ptm=fJt +/ij. Сделаем теперь преобразования [31], позволяющие увидеть алгебраическую структуру этих законов сохранения. Каждой реакции с ненулевым сечением Bj сопоставим два вектора etj и ejcmeZp, у которых на местах, отмеченных индексами, стоят единицы, а остальные элементы - нули. Тогда условие существования линейных законов сохранения / + цт = //, + ц. записывается в виде (p,e,j - ) = 0. Эта формула имеет тот же вид, что и для законов сохранения (1.4) и (1.7) квантовых и классических систем. Таким образом, между квантовыми гамильтонианами и кинетическими уравнениями может быть установлено соответствие, основанное на существовании одинаковых по форме законов сохранения. Напомним, что квантовый гамильтониан, моделирующий точечное столкновение двух частиц (типов кит), в результате которого получаются частицы типов / и j (и обратно), имеет вид
