Эллиптические алгебры Одесский Александр Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

1. Алгебры с тремя образующими 14

2. Алгебра Qn(, rj) 23

1. Конструкция 23

2. Основные свойства алгебры Qn(,г) 24

3. Бозонизация алгебры Qn(,v) 25

4. Представления алгебры Qn(,r]) 28

5. Симплектические листы 29

6. Свободные модули, образующие и соотношения 30

3. Основные свойства алгебр Qn,k(->v) 32

4. Эллиптическая Д-матрица Белавина и алгебра Qn,k(,v) 34

5. Алгебры Qn,k{-,f]) и обменные алгебры 37

1. Гомоморфизмы алгебры Qn,k(,v) в динамические обменные алгебры 37

2. Гомоморфизм обменной алгебры в алгебру Qn^{,v) 41

Приложение

• Основные свойства алгебры Qn(,г)
• Симплектические листы
• Эллиптическая Д-матрица Белавина и алгебра Qn,k(,v)
• Гомоморфизм обменной алгебры в алгебру Qn^{,v)

Введение к работе

Актуальность исследования

• Один из основных методов при изучении точно решаемых моделей в кванто вой и статистической физике это метод обратной задачи теории рассеяния. В основе этого метода лежит изучение представлений так называемой алгебры L-операторов, которая строится по каждому фиксированному решению квантового уравнения Янга-Бакстера (квантовой R-матрице). Известны различные классы решений этого уравнения, которые, в соотвествии с характером зависимости от спектральных параметров, называются рациональными, тригонометрическими и эллиптическими. Наиболее сложными и интересными являются эллиптические решения; рациональные и тригонометрические часто можно рассматривать как вырождения эллиптических.

Изучение алгебраических структур, связанных с рациональными и тригонометрическими R-матрицами привело в 80-х годах к появлению бурно развивающейся области математики: теории квантовых групп. Эту теорию можно охарактеризовать как q-аналог обычной теории групп и алгебр Ли и их представлений: используются аналогичные методы (подалгебра Картана, операторы рождения и уничтожения), но все формулы q-деформируются. При q — • 1 новая теория переходит в классическую теорию групп и алгебр Ли.

Эллиптические решения уравнения Янга-Бакстера устроены сложнее тригонометрических и рациональных: кроме появления эллиптических функций, соответствующая R-матрица имеет гораздо больше ненулевых элементов. Последнее обстоятельство приводит к тому, что классические методы не работают и соответствующие алгебраические структуры имеют принципиально другое устройство.

Первый шаг к пониманию этих структур был сделан Скляниным в начале 80-х годов. Он рассмотрел простейшую эллиптическую R-матрицу — так называемую R-матрицу Бакстера. Исследование соответствующей алгебры L-операторов привело к построению семейства ассоциативных алгебр, заданных 4 образующими и б квадратичными соотношениями. Алгебра этого семейства зависит от 2 комплексных параметров: т и г), причем Imr 0. При г) = 0 алгебра вырождается в кольцо многочленов. Склянин предположил, что при любых т,г] алгебра имеет те же размеры, что и алгебра многочленов. Кроме того, алгебры, отвечающие 1 п парам (т,т]), (г, г) + 1), (7-,77 +г), (г + 1,г)), (—, —) изоморфны. Поэтому класс т т изоморфизма алгебры зависит от эллиптической кривой В = С/Гт (где Гт С С целочисленная решетка, порожденная 1 и т) и образа rj Є .

ф В дальнейшем выяснилось, что более общие эллиптические R-матрицы при водят к аналогичным алгебрам с любым числом образующих. Эти алгебры получили название эллиптических, поскольку их структурные константы являются эллиптическими функциями параметра г) (с модулярным параметром г). Теория эллиптических алгебр тесно связана с различными областями математики и математической физики: интегрируемые системы, многообразия модулей расслоений на эллиптической кривой, некоммутативная геометрия и др. Настоящая работа посвящена теории эллиптических алгебр и ее приложениям.

Цели работы

Целью настоящей работы является построение и изучение эллиптических алгебр.

Особое внимание уделяется описанию методов, которые используются при их изучении, поэтому мы начинали с простейшего нетривиального случая: алгебры с тремя образующими. Мы также строим и изучаем представления эллиптических алгебр. Другая важная задача: описание связей эллиптических алгебр с различными областями математики, в том числе описаны приложения к изучению эллиптических R-матриц.

Научная новизна

Построен широкий класс эллиптических алгебр с любым числом образующих. Развиты методы, позволяющие исследовать их структуру. В частности, гипотеза Склянина о размерах его алгебры с четырьмя образующими доказана для эллип- 4 тических алгебр с любым числом образующих. Описана структура симплектиче ских листов эллиптических алгебр в квазиклассическом пределе. Также построены семейства бесконечномерных представлений «квантовых алгебр», отвечающие Ф этим листам. Изучен случай, когда ту Є — С/Г есть точка конечного порядка.

Оказалось, что этот случай аналогичен случаю qN — 1 в теории квантовых групп. В качестве приложения к теории точно решаемых моделей построен аналог классического соответствия между XYZ и RSOS моделями (vertex-face correspondence) для произвольных эллиптических R-матриц.

Практическая ценность

О приложении к теории интегрируемых систем и точно решаемых моделей уже было сказано выше. Другая Б CL?K Н сіл область: деформационное квантование, для которого эллиптические алгебры являются важным источником примеров. Упомянем также приложения к некоммутативной геометрии: явное построение широ кого класса некоммутативных многообразий. Весьма интересными представляются связи с теорией многообразий модулей голоморфных расслоений на эллиптической кривой. Оказалось, что квазиклассический предел эллиптических алгебр и соответствующая структура симплектических листов имеет естественную интерпретацию в терминах многообразий модулей.

Аппробация работы

Результаты работы многократно докладывались на международных конференциях, в том числе:

International NATO Conference "Integrable structures of exactly solvable two- dimensional models of quantum field theory", Kiev, 2000 Щ Colloque-Workshop "Developpements recents en theorie de Lie et Poisson", Universite de Reims, 27-28 juin 2001 Workshop "Classification Problems in the theory of Integrable Systems", SISSA, Triest, October 1-5, 2002 Universite de Saint-Etienne, Journees d algebre, 31 janvier-1 fevrier 2003 "Recent Advances in the Theory of Quantum Integrable System", International Workshop, 25-28 March 2003, LAPTH, Annecy-le-Vieux, France XV Coloquio Latinoamericano de Algebra, Ex-Hacienda Cocoyoc, Мог. Mexico, July 20-26, 2003 Colloque CNRS (GDR SG-MAT), Universite de Bourgogne, Universite Blaise Pascal (Clermont-Ferrand II) "Quantification par deformation et algebres elliptiques", Dijon, 8-12 mars 2004 Workshop "Hopf Algebras, Quantification (in the largest sense), bialgebras, associators, topological invariants", CIRM (Marseille, Luminy), March 29th- April 3rd, 2004, а также на семинарах и в университетах.

Публикации

По теме диссертации опубликован один обзор и двадцать одна статья (в том числе двадцать в рецензируемых изданиях).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Приложений (А, В, С, D, Е, F, G) и Заключения. Объем диссертации 126 страниц, список литературы содержит 56 наименований ПБВ-алгебры

В работе [5], посвященной изучению XYZ-модели и представлениям соответствующей алгебры матриц монодромии, Е. К. Склянин ввел семейство ассоциативных алгебр с 4 образующими и 6 квадратичными соотношениями, которые теперь называются алгебрами Склянина (см. также Приложение D.1). Алгебры из этого семейства естественным образом нумеруются двумя непрерывными параметрами: эллиптической кривой и точкой на ней и представляют собой плоскую деформацию кольца многочленов от 4 переменных в классе Ж 0-градуированных ассоциативных алгебр. С другой стороны в работе [26] возникло семейство алгебр с 3 образующими (и 3 квадратичными соотношениями), обладающее теми же свойствами. В дальнейшем выяснилось (см. (см. [9-11,15-25]) что такие алгебры существуют для любого числа образующих. Алгебры о которых идет речь представляют собой ассоциативные алгебры следующего вида. Пусть V — линейное пространство над полем С размерности п. Пусть L С V 8 V подпространство размерности . Построим алгебру А с пространством образующих V и пространством определяющих соотношений L, т.е. A = T V/(L), где T V — тензорная алгебра пространства V, a (L) — двусторонний идеал, порожденный L. Ясно, что алгебра А является Ж 0-градуированой, поскольку идеал (L) однородный. Имеем: А = С Є Ах Є А2 Ф ..., где Аг = V, А2 = V 0 V/L, А3 = V 8 V g V/V ®L + L®V и т.д.

Определение. Будем говорить, что алгебра А является ПБВ-алгеброй (или удовлетворяет условию Пуанкаре-Биркгофа-Витта), если dimAa = п(п + 1)... (п + а - 1)

а\ ть(ть — 1) Таким образом ПБВ-алгебра — это алгебра с п образующими, ква дратичными соотношениями и имеющая такие же размерности градуированных компонент, как и кольцо многочленов от п переменных.

Такие алгебры возникают в различных областях математики: теория интегрируемых систем [5,6,43,44], многообразия модулей [21], деформационное квантование [34], некоммутативная геометрия [26-32,45], когомологии алгебр [35-40], квантовые группы и Л-матрицы [5,6,41,46-48]. См. об этом Приложение D.

Каких-то классификационных результатов в теории ПБВ-алгебр (при п 3) не существует, поэтому мы будем заниматься конкретными примерами. Известные нам примеры можно условно разбить на 2 класса: рациональные и эллиптические алгебры. Приведем примеры рациональных алгебр:

1. Косые многочлены. Это алгебра с образующими {ХІ\ І = 1,..., п} и соотно- шениями: XiXj = q jXjX где г j, q ф 0.

Легко проверить, что мономы {х"1 .. .x%n;ai,... ,ап Є Z o} составляют базис алгебры косых многочленов, отсюда следует условие ПБВ. Поскольку qij — п(п — 1) любые числа не равные 0, мы получили —- — параметрическое семейство алгебр.

2. Проективизация алгебр Ли. Пусть Q — алгебра Ли размерности п — 1 с базисом {х\,..., xn i}. Построим алгебру с п образующими {с, Х\,..., n-i} и соотношениями: СХІ — ХІС, XiXj — XjXi = c[Xi,Xj].

Условие ПБВ вытекает из теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для алгебры Q.

3. Алгебра Дринфельда. В [42] была предложена новая реализация квантовой алгебры токов Uq(sl2) (см. также [41]). Именно, были введены образующие хк ,hk (к Є Z), аналогичные обычному базису алгебры Ли s - При этом, элементы х удовлетворяют квадратичным соотношениям:

Хк+1Х1 Я. х\ хк+1 — Я хкХ1+\ Х1+\Хк \Ч , Аналогичным соотношениям удовлетворяют элементы хк . Алгебра Drn(q) С t/g(sl2), порожденная a;J",... ,ж+, п Є N, q Є С является ПБВ-алгеброй.

В эллиптическом случае алгебра зависит от двух непрерывных параметров: эллиптической кривой и точки г] € . Именно такие алгебры и являются предметом обзора. Их структурные константы являются эллиптическими функциями от і] с модулярным параметром т. Наш основной пример: алгебры Qn,k(,v) Здесь п 3 — число образующих, к — натуральное число, взаимно простое с п, причем 1 к п. Определим алгебру Qn,k(,v) образующими {ХІ;І Є Z/nZ} и соотношениями:

V flj-i+r(fc-i)(Q) _ (2)

Структура этих алгебр зависит от разложения числа n/А; в цепную дробь, поэтому вначале изучается простейший случай к = 1, а затем мы переходим к общему случаю. Заметим, что принадлежность алгебр Qn,k(,v) к классу ПБВ-алгебр доказана лишь при общих параметрах и г\ (см. §2.6, §3). Мы предполагаем, однако, что это так при всех и г). Возможный путь доказательства этой гипотезы: построение аналога функциональной реализации (см. §2.1) при произвольном к, используя конструкции из §5.

Алгебры Qn,k{,v) являются, как нам кажется, типичным примером эллиптических алгебр, однако далеко не исчерпывают всего их запаса. Простейший пример алгебры, не принадлежащей к этому классу (и даже не являющейся деформацией кольца многочленов), строится так. Пусть группа (Z/2Z)2 с образующими д\,д2 действует автоморфизмами на алгебре Qi(,rj) следующим образом: 9І(ХІ) — г+2, 92(ХІ) = (—1). Эта же группа действует на алгебре 2 х 2-матриц:

9i(l) = I I 7 I , Ыт) =( I 7 I ] • Отсюда получа ем действие на тензорном произведении ассоциативных алгебр Q4(,??) ® Mat2-Пусть Q L(, 77) С QA{, 77)®Mat2 состоит из элементов, инвариантных относительно действия группы. Легко проверить, что Q±(,ri) имеет такие же размерности градуированных компонент, что и Q (,v) и поэтому является ПБВ-алгеброй. Другой пример ПБВ-алгебры (с 3 образующими) см. в конце §1.

Опишем теперь одну из основных конструкций ПБВ-алгебр. Пусть \(х,у) — мероморфная функция 2 переменных. Построим ассоциативную градуированную алгебру Т\ следующим образом. Как линейное пространство Т\ = C0F1 ©F2(B..., где JFi = {f(u)} — пространство мероморфных функций 1 переменной, Fa = {f(ui,... ,иа)} — пространство симметричных мероморфных функций о; переменных. Пространство Fa является естественным расширением симметрической степени SaFi. Умножение в алгебре Т\ задается следующим образом: для / Є FQ, д Є Fp произведение / д Є Fa+p имеет вид: аїрі аЄЗа+із i i a a+l j a+P (3) В частности, для f,g Є Fi имеем: / д(щ, и2) = /(щ)д(и2)Х(щ, и2) + /(и2)д(щ)Х(и2, щ). (4) Легко проверить, что умножение ассоциативно при любом А(х, у). Пусть теперь Х(х,у) = X qy щЄ q еС . Пусть F,(n) = {1,и,... ,и"-1} С Fx х-у — пространство многочленов степени меньше п. Пусть Fa = SaFi с Fa — пространство симметричных полиномов а переменных степени меньше п по каждой переменной. Легко проверить, что Fan) FJ$n) С F™fi. Поэтому Т = ®aFin) есть подалгебра в Т\. Кроме того, при = 1 алгебра Тх есть кольцо полиномов S F{1\ поскольку в этом случае Х(х,у) = 1. Поэтому при общем q алгебра J7 1 есть ПБВ-алгебра. Эта алгебра изоморфна алгебре Дринфельда Dvn(q), причем изоморфизм имеет вид ик \- я+1. Алгебра Qn{, v) получается аналогично, только полиномы заменяются на тэта-функции (см. §2.1). Похожая конструкция [20,23] позволяет построить квантовые многообразия модулей М.(,В) [49] (см. Приложение D.3) для любой Борелевской подгруппы В. Построение алгебр Qn,k( v) при к 1 и вообще квантовых многообразий модулей А4(,Р) для параболической подгруппы Р более сложно и использует обменные алгебры (см. §5 и [24]) или эллиптические і?-матрицьі (см. §4).

Содержание работы

Опишем теперь содержание работы. В §1 описываются простейшие эллиптические ПБВ-алгебры: алгебры с тремя образующими. Эти алгебры изучались во многих работах, см., например, [26,27]. Этот параграф носит иллюстративный характер: мы хотим объяснить некоторые методы изучения эллиптических алгебр на простейшем примере. Основное внимание в обзоре уделено алгебрам Qn(,r)). Им посвящен §2. Дана явная конструкция этих алгебр, построены естественные семейства представлений (подробнее эти представления изучаются в [22]), описаны симплектические листы соответствующей Пуассоновой алгебры (напомним, что Qn(,0) есть кольцо многочленов п переменных).

Алгебры Qn,k{i,n) при к 1 устроены гораздо сложнее и подробное описание их свойств выходит за рамки работы (см. [11,21]). Их основные свойства описаны в §3. В §4 описана связь этих алгебр с эллиптическими .R-матрицами Белавина. В §5 установлена связь алгебр Qn,k{, v) с так называемыми обменными алгебрами (см. (24), (25)). В Приложениях А,В,С приведены нужные нам обозначения и свойства -функций одного и нескольких переменных. В Приложении D дан краткий обзор связей эллиптических алгебр с другими областями математики. Мы постарались сделать эту часть независимой от основного текста.

В приложении Е изучаются алгебры Замолодчикова для эллиптических R-матриц Белавина. Для них найдены гомоморфизмы в обменные алгебры и гомоморфизмы обменных алгебр в алгебры Замолодчикова. Формулы аналогичны результатам главы 5 для алгебр Qn,k{,v) В приложении F изучаются эллиптические алгебры более общего вида, чем Qn,k(,v)- Для системы корней А полупростой алгебры Ли и доминантного веса п строится семейство алгебр QnAi iV)- Эти алгебры являются деформацией некоторой подалгебры универсальной обертывающей алгебры алгебры токов для алгебры Ли, отвечающей системе корней А.

В приложении G изучаются алгебры Qn,k{, ц) в случае, когда г\ — точка конечного порядка, т. е. Nr) Є Г для некоторого N Є N. В этом случае алгебра Qn,k{i v) конечномерна как модуль над своим центром. Находятся образующие нового центра, а также Пуассонова структура на нем. Кроме того, строятся Д-матрицы, являющиеся эллиптическим аналогом Д-матриц киральной модели Потса.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В заключение несколько слов о том, что не вошло в работу, но непосредственно связано с еч, темой. В [15] изучаются рациональные вырождения алгебр Qn,k{, v)i когда эллиптическая кривая вырождается в объединение нескольких экземпляров QP1 или в СР1 с двойной точкой.

Алгебры Qn,k(,v) получаются при квантовании тех компонент многообразий модулей Л4(Р, 8) (см. Приложение D.3), которые изоморфны CPn_1. Квантование qt других компонент приводит к эллиптическим алгебрам более общего вида. Эти алгебры построены в [20,23] для случая, когда Р — Борелевская подгруппа произвольной группы G (см. также приложение F). В [24] изучается случай, когда Р С GLm — произвольная параболическая подгруппа GLm.

Симплектические листы Пуассонового многообразия, отвечающего алгебре Qn,k{ i n) в окрестности г} = 0, изучаются в [21].

Соответствующие Пуассоновы алгебры принадлежат к классу алгебр с регу лярной структурой симплектических листов, изученных в [50].

Основные свойства алгебры Qn(,г)

Такие алгебры возникают в различных областях математики: теория интегрируемых систем [5,6,43,44], многообразия модулей [21], деформационное квантование [34], некоммутативная геометрия [26-32,45], когомологии алгебр [35-40], квантовые группы и Л-матрицы [5,6,41,46-48]. См. об этом Приложение D. Каких-то классификационных результатов в теории ПБВ-алгебр (при п 3) не существует, поэтому мы будем заниматься конкретными примерами. Известные нам примеры можно условно разбить на 2 класса: рациональные и эллиптические алгебры. Приведем примеры рациональных алгебр: 1. Косые многочлены. Это алгебра с образующими {ХІ\ І = 1,..., п} и соотно шениями: XiXj = q jXjX где г j, q ф 0. Легко проверить, что мономы {х"1 .. .x%n;ai,... ,ап Є Z o} составляют базис алгебры косых многочленов, отсюда следует условие ПБВ. Поскольку qij — п(п — 1) любые числа не равные 0, мы получили —- — параметрическое семейство алгебр. 2. Проективизация алгебр Ли. Пусть Q — алгебра Ли размерности п — 1 с базисом {х\,..., xn i}. Построим алгебру с п образующими {с, Х\,..., n-i} и со отношениями: СХІ — ХІС, XiXj — XjXi = c[Xi,Xj]. Условие ПБВ вытекает из теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для алгебры Q. 3. Алгебра Дринфельда. В [42] была предложена новая реализация квантовой алгебры токов Uq(sl2) (см. также [41]). Именно, были введены образующие хк ,hk (к Є Z), аналогичные обычному базису алгебры Ли s - При этом, элементы х удовлетворяют квадратичным соотношениям: , Аналогичным соотношениям удовлетворяют элементы хк . Алгебра Drn(q) С t/g(sl2), порожденная a;J",... ,ж+, п Є N, q Є С является ПБВ-алгеброй. В эллиптическом случае алгебра зависит от двух непрерывных параметров: эллиптической кривой и точки г] . Именно такие алгебры и являются предметом обзора. Их структурные константы являются эллиптическими функциями от і] с модулярным параметром т. Наш основной пример: алгебры Qn,k(,v) Здесь п 3 — число образующих, к — натуральное число, взаимно простое с п, причем 1 к п. Определим алгебру Qn,k(,v) образующими {ХІ;І Є Z/nZ} и соотношениями:

Структура этих алгебр зависит от разложения числа n/А; в цепную дробь, поэтому вначале изучается простейший случай к = 1, а затем мы переходим к общему случаю. Заметим, что принадлежность алгебр Qn,k(,v) к классу ПБВ-алгебр доказана лишь при общих параметрах и г\ (см. 2.6, 3). Мы предполагаем, однако, что это так при всех и г). Возможный путь доказательства этой гипотезы: построение аналога функциональной реализации (см. 2.1) при произвольном к, используя конструкции из 5. Алгебры Qn,k{,v) являются, как нам кажется, типичным примером эллиптических алгебр, однако далеко не исчерпывают всего их запаса. Простейший пример алгебры, не принадлежащей к этому классу (и даже не являющейся деформацией кольца многочленов), строится так. Пусть группа (Z/2Z)2 с образующими д\,д2 действует автоморфизмами на алгебре Qi(,rj) следующим образом: 9І(ХІ) — г+2, 92(ХІ) = (—1). Эта же группа действует на алгебре 2 х 2-матриц: ем действие на тензорном произведении ассоциативных алгебр Q4(,??) Mat2-Пусть Q L(, 77) С QA{, 77)Mat2 состоит из элементов, инвариантных относительно действия группы. Легко проверить, что Q±(,ri) имеет такие же размерности градуированных компонент, что и Q (,v) и поэтому является ПБВ-алгеброй. Другой пример ПБВ-алгебры (с 3 образующими) см. в конце 1. Опишем теперь одну из основных конструкций ПБВ-алгебр. Пусть \(х,у) — мероморфная функция 2 переменных. Построим ассоциативную градуированную алгебру Т\ следующим образом. Как линейное пространство Т\ = C0F1 F2(B..., где JFi = {f(u)} — пространство мероморфных функций 1 переменной, Fa = {f(ui,... ,иа)} — пространство симметричных мероморфных функций о; переменных. Пространство Fa является естественным расширением симметрической степени SaFi. Умножение в алгебре Т\ задается следующим образом: для / Є FQ, д Є Fp произведение / д Є Fa+p имеет вид: В частности, для f,g Є Fi имеем: Легко проверить, что умножение ассоциативно при любом А(х, у). Пусть теперь Х(х,у) = X qy щЄ q еС . Пусть F,(n) = {1,и,... ,и"-1} С Fx — пространство многочленов степени меньше п. Пусть Fa = SaFi с Fa — пространство симметричных полиномов а переменных степени меньше п по каждой переменной. Легко проверить, что Fan) FJ$n) С Ffi. Поэтому Т = aFin) есть подалгебра в Т\. Кроме того, при = 1 алгебра Тх есть кольцо полиномов S F{1\ поскольку в этом случае Х(х,у) = 1. Поэтому при общем q алгебра J7 1 есть ПБВ-алгебра. Эта алгебра изоморфна алгебре Дринфельда Dvn(q), причем изоморфизм имеет вид ик \- я+1. Алгебра Qn{, v) получается аналогично, только полиномы заменяются на тэта-функции (см. 2.1). Похожая конструкция [20,23] позволяет построить квантовые многообразия модулей М.(,В) [49] (см. Приложение D.3) для любой Борелевской подгруппы В. Построение алгебр Qn,k( v) при к 1 и вообще квантовых многообразий модулей А4(,Р) для параболической подгруппы Р более сложно и использует обменные алгебры (см. 5 и [24]) или эллиптические і?-матрицьі (см. 4). Содержание работы Опишем теперь содержание работы. В 1 описываются простейшие эллиптические ПБВ-алгебры: алгебры с тремя образующими. Эти алгебры изучались во многих работах, см., например, [26,27]. Этот параграф носит иллюстративный характер: мы хотим объяснить некоторые методы изучения эллиптических алгебр на простейшем

Симплектические листы

Напомним, что Qn(,0) есть кольцо многочленов 5 6П)С(Г). При фиксированной эллиптической кривой = С/Г получаем семейство алгебр Qn(,v)i которое является плоской деформацией кольца многочленов. Соответствующую Пуассоно-ву алгебру обозначим qn(). Это семейство Пуассоновых алгебр, зависящих от , т.е. от модулярного параметра т. Изучим симплектические листы этой алгебры. Для этого заметим, что гомоморфизм ассоциативных алгебр ipp в пределе г] — О дает гомоморфизм Пуассоновых алгебр. Именно, обозначим ЬРгП Пуассонову алгебру, КОТОраЯ СОСТОИТ ИЗ ЭЛеМеНТОВ ВИДа falt...,ap(ul, j Мр) !1 ... ерр, где аі,...,ар 0 fai,...,ap — мероморфные функции, а скобка Пуассона имеет вид: где афр. Из Предложения 6 в пределе 77 — 0 получаем: Пусть {ві(и);і Є Z/nZ} базис в пространстве 6„ С(Г), {ХІ\І Z/nZ} — соответствующий базис в пространстве элементов степени 1 алгебры Qn(,il) (которое изоморфно 0П)С(Г)). Для эллиптической кривой С О "-1, вложенной с помощью тэта-функций порядка п (это множество точек с координатами (9Q(Z) : ... : On-i(z))) обозначим Ср многообразие р-хорд, т.е. объединение проективных пространств размерности р— 1, проходящих через р точек . Пусть К{СР) Пусть 2р п, тогда можно показать, что dimK(Cp) = 2р и К{Ср-\) есть многообразие особенностей К(СР). Из предложения 7 и невырожденности скобки Пуассона в bPtn при 2р п и еа Ф 0 вытекает, что неособая часть многообразия К(СР) есть 2р-мерный симплектический лист Пуассоновой алгебры qn{) Пусть п нечетно. Можно показать, что уравнение, определяющее многообразие К(СП _ I ) ИМееТ ВИД С = О, ГДЄ С — ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛеН ПеремеННЫХ ХІ 2 степени п. Этот многочлен есть центральная функция алгебры qn{). Пусть п четно. Многообразие К(СП — 2 ) определяется уравнениями Ci = О, Многочлены С\ и Сг центральны в алгебре qn{S). 6. Свободные модули, образующие и соотношения Пусть г) — точка бесконечного порядка. Предложение 8. Пусть Vi,...,vn Є С находятся в общем положении. Тогда модуль MVlt_tVn порожден г о,...,о и свободен над алгеброй Qn(,v) Доказательство. По построению модуль МГ1 ,...,„„ имеет те же размерности гра дуированных компонент, что и алгебра Qn(,v)- Покажем, что он порожден век тором v = «о,...,0. Пусть fi = Ца46(г - va) (9(z + Vx + ... + vn - vt - c). Ясно, что fi Є 0П)С(Г) для 1 і п.

Поэтому fi — элементы степени 1 алгебры Qn(,v)- Из формулы (15) вытекает, что fov ф О и пропорционален 0,...,1,...,0 = е&. Аналогично, легко построить элементы /i;ai ,..., „ е п,с(Г), та кие ЧТО fi-au... и пропорционален Wai,...,ai+i,..., „ Имеем: fi;ai,...,an — Y[ i9{z-vp-{2ai+.. .+2an-nap)rj)-9(z+v1+.. .+vn-vi+{n-2)(a1+.. .+ап)п-с). Таким образом все uaiv„jan получаются из v действием элементов степени 1 алге ТЬ(ТЬ — 1) Предложение 9. Алгебра Qn(,r)) определена п образующими и ква дратичными соотношениями. Доказательство. Из доказательства Предложения 8 вытекает, что алгебра Qn(, rj) порождена элементами степени 1. Из построения элементов /i;Ql,...,Q„ видно, что между ними имеются квадратичные соотношения вида где Ci,j-,ai,...,an Є С . Для доказательства этого соотношения надо применить его к вектору uaiv..)Qn. Покажем, что из этих квадратичных соотношений следуют все остальные. Пусть соотношение имеет вид Yl at at-i ai = а 0. Разложим элементы af по базису {fi}- Соотношение приобретет вид 2щ .. .Щ fi = 0. Теперь разложим Ъ% по базису {fj.0 і 0}, где 1 стоит на г-м месте. Продолжая эту процедуру мы в итоге запишем соотношение в виде Scii,....i /iiiai,...,an/i2;ei,...,aia-l,...,o„--./tt = - Ясн0 что эт0 СООТНОШЄНИЄ ВЬІТЄКаЄТ из соотношений (16). Предложение 10. Соотношения в алгебре Qn(,v) имеют вид: Доказательство. Воспользуемся формулой для умножения в алгебре Qni il) (2.1). Поскольку %i = 9i(z), соотношение (17) примет вид: Это соотношение сразу следует из соотношения (30) (см. Приложение А). Пусть снова = С/Г — эллиптическая кривая, г/ Є . Пусть п и к — взаимно простые натуральные числа, причем 1 к п.

Определим алгебру Qn,fc( ??) образующими {xf, і Є Z/nZ} и соотношениями: Известно (см. 4) что при общих и г] это ПБВ-алгебра. Мы предполагаем, что это так при всех и ту. Центр алгебры Qn,k(iV) ПРИ общих и ту есть кольцо многочленов от с = (71, А; Ч- 1) элементов степени п/с (см. [21]). Гипотетически, это так при всех и ту, где ту точка бесконечного порядка. Если г) Є — точка конечного порядка, то алгебра Qn,k(,v) конечномерна над своим центром (см. [17]). Следующие свойства легко проверяются: 1- Qn,k(, 0) = С[х\,..., хп] коммутативна. 2. 5n,n_i(, г?) = C[xi,..., хп] коммутативна при всех т]. 3- Qn,k{,rj) Qn#(,rj), где кк = 1 (mod п). 4. Отображения Xi t- ХІ+\ И ij I- // (где /І — примитивный корень из 1 степени п) задают автоморфизмы алгебры Qntk(,v) Из результатов 5 (см. предложение 11) вытекает, что пространство образующих алгебры Qn,k(iV) естественно изоморфно пространству тэта-функций @п/ ;(Г) (см. Приложение В). Кроме того, это пространство образующих двойственно пространству 0П/П_ (Г) (см. предложение 14). Описание этой двойственности между пространствами тэта-функций см. в Приложении С. Алгебра Qn i iV) не является алгеброй Хопфа и не имеет коумноження. Существуют, однако, гомоморфизмы алгебры Qn,k(,v) в тензорные произведения других алгебр такого же вида (см. [11], 3). Для описания этих гомоморфизмов нам понадобятся обозначения Приложения В. Кроме того, обозначим Lm(S, rj) = С ф Ого,о(Г) ф 02т,т (Г) ф ... й о-градуированную алгебру с умножением , заданным формулой: / g(z) — f(z + /3rj)g(z), где /3 — степень д. Из 2 мы знаем, что Ln(, (п — 2)77) есть факторалгебра алгебры Qn(,rj).

Пусть А — ассоциативная алгебра и G С Aut А. Обозначим AG С А подалгебру, состоящую из элементов, инвариантных относительно G. Существует следующие гомоморфизмы алгебр: образующие переходят в элементы бистепени (1,1).

Эллиптическая Д-матрица Белавина и алгебра Qn,k(,v)

Известно (см. 4) что при общих и г] это ПБВ-алгебра. Мы предполагаем, что это так при всех и ту. Центр алгебры Qn,k(iV) ПРИ общих и ту есть кольцо многочленов от с = (71, А; Ч- 1) элементов степени п/с (см. [21]). Гипотетически, это так при всех и ту, где ту точка бесконечного порядка. Если г) Є — точка конечного порядка, то алгебра Qn,k(,v) конечномерна над своим центром (см. [17]). Следующие свойства легко проверяются: 1- Qn,k(, 0) = С[х\,..., хп] коммутативна. 2. 5n,n_i(, г?) = C[xi,..., хп] коммутативна при всех т]. 3- Qn,k{,rj) Qn#(,rj), где кк = 1 (mod п). 4. Отображения Xi t- ХІ+\ И ij I- // (где /І — примитивный корень из 1 степени п) задают автоморфизмы алгебры Qntk(,v) Из результатов 5 (см. предложение 11) вытекает, что пространство образующих алгебры Qn,k(iV) естественно изоморфно пространству тэта-функций @п/ ;(Г) (см. Приложение В). Кроме того, это пространство образующих двойственно пространству 0П/П_ (Г) (см. предложение 14). Описание этой двойственности между пространствами тэта-функций см. в Приложении С. Алгебра Qn i iV) не является алгеброй Хопфа и не имеет коумноження. Существуют, однако, гомоморфизмы алгебры Qn,k(,v) в тензорные произведения других алгебр такого же вида (см. [11], 3). Для описания этих гомоморфизмов нам понадобятся обозначения Приложения В. Кроме того, обозначим Lm(S, rj) = С ф Ого,о(Г) ф 02т,т (Г) ф ... й о-градуированную алгебру с умножением , заданным формулой: / g(z) — f(z + /3rj)g(z), где /3 — степень д. Из 2 мы знаем, что Ln(, (п — 2)77) есть факторалгебра алгебры Qn(,rj).

Пусть А — ассоциативная алгебра и G С Aut А. Обозначим AG С А подалгебру, состоящую из элементов, инвариантных относительно G. Существует следующие гомоморфизмы алгебр: образующие переходят в элементы бистепени (1,1). ( / n — }J— 1 \ / n \\Tk Lnk [,—-p VJ Qk ,v {, -j v) J , гДе l = d(ni,..., np_2) и образующие переходят в элементы бистепени (1,1). В) Qnjk{S,n) - \Qa,a (, V) Labn Ы, - VJ 2б,/3 ( , ) j , ЩЄ a = d(ni, ...,ПІ_І), Ь = d(nm,...,np), а = d(m,... ,п _2), Д = d(ni+2,... ,np) для некторого г. Образующие переходят в элементы бистепени (1,1,1). Опишем отображение в) геометрически (описание отображений а) и б) аналогично). Пусть f(zi,...,zp) Є 6n/fc(r). Для некоторого г (1 і р) фиксируем Zi, тогда / как функция z\,...,Zi-\ лежит в пространстве, изоморфном а/а(Г). Аналогично, как функция Zi+i,... ,zp, f лежит в пространстве, изоморфном Ой/0(Г). Таким образом, при фиксированном Zi, имеем / Є а/а(Г) g Qb/p(T). Возникает семейство линейных отображений П/А;(Г) — Оа/а(Г) Об//з(Г). Учитывая зависимость от Zi получим линейное отображение 0„/ (Г) — 0о/а(Г) Опаб,о(Г) S &//?(Г). Гомоморфизм в) отвечает этому отображению (пространство образующих алгебры Qn,k{,fi) есть n/fc(r), пространство образующих алгебры г /„п — а — Ь\ _ ._. . Lnab [С, Г] J ЄСТЬ 0„аЬ,о(Г) И Т.Д.). 4.

Эллиптическая і?-матрица Бе лавина и алгебра Пусть V — векторное пространство размерности п. Для каждого и Є С обозначим V(u) векторное пространство, канонически изоморфное V. Пусть Л-мероморфная функция 2 переменных со значениями в End(V g V). Нам будет удобно рассматривать R(u, v) как линейное отображение: Напомним, что уравнением Янга-Бакстера называется условие коммутативности следующей диаграммы: уравнения Янга-Бакстера называется Д-матрицей. Пусть {ХІ; г — 1,..., п} — базис в пространстве V, {х{(и)} — соответствующий базис в пространстве V(u). Пусть R??(u,v) — матричный элемент і?-матрицы R(u, v), т.е. R(u, v): Xi(u) 8 Xj(v) — Rff(u, v)xp{v) g xa(u). Пусть Д-матрица R(u,v) удовлетворяет соотношению R(u,v)R(v,u) — 1. Ясно, что в алгебре Замолодчикова элементы {хіг (щ)... Х{т(ит); 1 ц,..., гт п} линейно независимы при общих щ,...,ит. Таким образом, алгебры Замолодчикова являются бесконечномерными аналогами ПБВ-алгебр. Напомним, что классической г-матрицей называется Пуассонова структура вида: {#;(«), Xj(v)} — Гі?(и,у)ха(и)хр(у). Ясно, что алгебра Замолодчикова является квантованием этой Пуассоновой структуры, если Д-матрица зависит от дополнительного параметра h и соотношения (19) имеют вид Уравнение Янга-Бакстера имеет эллиптические решения, которые называются і?-матрицами Белавина. Пусть п, к Є N взаимно просты, причем 1 к п. Для каждых пик существует двупараметрическое семейство і?-матриц Rn,k{, ), зависящее от эллиптической кривой = С/Г и точки г/ Є . Именно: проверить, что aetRn ic,г])(u — v) — 0o(v -it+ 77) ... n_!(u -u + rj) Таким образом, оператор (,7))(-7)) имеет ядро. Пусть Ьщк(,г]) С V g V, тііті — 1) ЬПік(,г]) = keTRntk(,T])(-ri). Согласно [9] dim(Ln,k(,ri)) = , причем при rj = 0 имеем Ln fc(,0) = A2V. Пусть Qn,k{,r)) = T V/(Ln k(,r))) — алгебра с образующими {ХІ;І Є Z/nZ} и определяющими соотношениями Ьп к(,т]). Алгебра Qn,k(iV) имеет такие же размерности градуированных компонент, как и кольцо многочленов S V (см. [9]). Из формулы для (,77)( - v) вытекает, что определяющие соотношения в алгебре Qn,k(,,n) имеют вид: В частности, мы видим, что Qn,i(, v) — Qn{, v), если rj Є — точка бесконечного порядка. Из соотношений (20) вытекает, что Qn,k{,v) — Qn,k (,v) гДе кк = 1 (mod п). Кроме того, Qn,n_i(,rj) коммутативна при всех ,7]. Ясно также, что Qn,k(,Q) коммутативна. 1. Гомоморфизмы алгебры Qn,k{,ii) в динамические обменные алгебры Алгебры Qn (,T]) при произвольном к имеют представления, аналогичные гомоморфизмам рр (см. 2.3, (11)) в случае к — 1. Но структура алгебры, аналогичной BPtn{rj) при к — 1, оказывается более сложной при к 1. Пусть при 1 а q. Ясно, что такое разложение существует и единственно. Напомним, что 1 к п, причем пик взаимно просты. Пусть d(mi,..., mt) — det М, где М = (rriij) — t х t матрица с элементами ГПЦ = т», m i+i = mi+i = —1, Гоц = 0 при \г — j\ 1. При t — 0 положим d(0) = 1. Ясно, что п = d(nb ..., nq), к = d(ri2,...,ng). Предложение 11. Существует гомоморфизм алгебры Qn,k{ ,fi) в алгебру Сп,к{ П), порожденную коммутативной подалгеброй {f(yi,.--,yq)} голоморфных функций q переменных и элементом е с определяющими соотношениями: е/(Уі, ,%) = /G/i + Щ, Алгебра Cnik(r]) имеет семейство модулей LVlt_..tVq с базисом {va;a Є Z 0} и действием: eva = va+1, f(yu ..., yq)va = f(vx - ащ, ...,vq- anq)va. Отсюда получаем: Предложение 12. Алгебра Qn,k{ i n) имеет семейство модулей LUlt,..jUq с базисом {va;a Є Z 0} и действием: XiVa = Wi(ui — arji,...,ug — ar)q)va+i, где Щ Є 6n/fc(r) и щ = (d(m,..., nff) - d(ni,..., rij-i) - d(nj+i,..., 71,))77. В частности, мы получили, что алгебра 3n,fc(,?7) имеет семейство линейных модулей, зависящих от точки q, а пространство образующих алгебры Qn,k(,v) изоморфно &п/к(Т). Пусть Cmiv..)TO9;n)fc(,?7) — алгебра, порожденная коммутативной подалгеброй

Гомоморфизм обменной алгебры в алгебру Qn^{,v)

Пусть q Є N, fj,\,..., Цді, (j, Є С. Определим ассоциативную алгебру Yqi(,n; fix,... ,/Лді) следующим образом. Алгебра Yqi(, д; і,... ,/у) порождена образующими {е(мі,..., uqi); щ,..., uq Є С} и определяющими соотношениями: бесконечного числа переменных {е(г і,..., uqi); щ,... ,ид Є С}. Можно проверить, что алгебра Yqt(, /л; цъ ..., /у) есть плоская деформация этой алгебры. при 1 а q . Ясно, что такое разложение существует и единственно. О связи Qn,k{, v) где A = Щ, №а — (d(n[,..., n _x) — d(n a+l,..., п д1)т]. Этот гомомор физм имеет вид: где {ХІ;І Є Z/nZ} — образующие алгебры Qn,k(,v) {wa ,& Є Z/nZ} — базис в пространстве тэта-функций 0П/П_ (Г) (см. Приложение В). Доказательство. Применим ф к разности между левой и правой частью соотношений в алгебре Yqi(, (л; fix,..., Hgi). Мы должны проверить полученное соотношение в алгебре Qntk(,r]). Имеем Используя тождество (35) из Приложения В и соотношения (18) в алгебре Qn,k(,v) легко проверить, что это выражение равно 0. Пусть Г С С — целочисленная решетка, порожденная 1 и г Є С, причем Imr 0. Пусть п Є N, с Є С. Обозначим через 0П)С(Г) пространство целых функций одной переменной, удовлетворяющих соотношениям: f(z + 1) = f(z), f(z + r) = (-l)ne-2 n - f(z). Известно, что (ііт0П;С(Г) = n, всякая функция / є Оп,с(Г) имеет ровно п нулей по модулю Г (с учетом кратности) и сумма этих нулей равна с по модулю Г. ( g(g-l) \ 27гг I az+ — Т) I Пусть d(z) = Y, ( l)Qe V z / . Ясно, что 9{z) Є Єі,0(Г). Из сказанного вытекает, что 0(0) = 0 и это единственный нуль по модулю Г. Легко проверить, что 6(—z) = —e 2mze{z). Кроме того, известно, что 6(z) следующим образом раскладывается в бесконечное произведение: Определим линейные операторы Т]_ и Tj , действующие в пространстве п п функций одной переменной: 2тгг Легко видеть, что Ті Ті = є п Ті Ті. Легко проверить, что пространство О п—і (Г) инвариантно относительно операторов Ті п Ті . Ограничение этих операторов на пространство 0 п _ і (Г) у существует и единственно. О связи Qn,k{, v) где A = Щ, №а — (d(n[,..., n _x) — d(n a+l,..., п д1)т]. Этот гомомор физм имеет вид: где {ХІ;І Є Z/nZ} — образующие алгебры Qn,k(,v) {wa ,& Є Z/nZ} — базис в пространстве тэта-функций 0П/П_ (Г) (см. Приложение В). Доказательство. Применим ф к разности между левой и правой частью соотношений в алгебре Yqi(, (л; fix,..., Hgi). Мы должны проверить полученное соотношение в алгебре Qntk(,r]). Имеем Используя тождество (35) из Приложения В и соотношения (18) в алгебре Qn,k(,v) легко проверить, что это выражение равно 0. Пусть Г С С — целочисленная решетка, порожденная 1 и г Є С, причем Imr 0. Пусть п Є N, с Є С. Обозначим через 0П)С(Г) пространство целых функций одной переменной, удовлетворяющих соотношениям: f(z + 1) = f(z), f(z + r) = (-l)ne-2 n - f(z). Известно, что (ііт0П;С(Г) = n, всякая функция / є Оп,с(Г) имеет ровно п нулей по модулю Г (с учетом кратности) и сумма этих нулей равна с по модулю Г. ( g(g-l) \ 27гг I az+ — Т) I Пусть d(z) = Y, ( l)Qe V z / . Ясно, что 9{z) Є Єі,0(Г). Из сказанного вытекает, что 0(0) = 0 и это единственный нуль по модулю Г. Легко проверить, что 6(—z) = —e 2mze{z). Кроме того, известно, что 6(z) следующим образом раскладывается в бесконечное произведение: Определим линейные операторы Т]_ и Tj , действующие в пространстве п п функций одной переменной: 2тгг

Легко видеть, что Ті Ті = є п Ті Ті. Легко проверить, что пространство О п—і (Г) инвариантно относительно операторов Ті п Ті . Ограничение этих операторов на пространство 0 п _ і (Г) удовлетворяет соотношениям: Т = Т? = 1. Пусть Тп — группа с образующими а, Ь, р. и определяющими соотноше расширение группы Гп = Г/пГ (Z/nZ)2: элемент р, порождает нормальную подгруппу Сп = Z/nZ и Гп/Сп = Гп. Формулы а - Т]_ , b м- Т , р, (-» умножение на е п задают неприводимое представление группы Гп в пространстве в п __ \ (Г). П 2 Выберем базис {да; а Є Z/nZ} в пространстве 0 п _ і (Г), в котором наши one раторы действуют следующим образом: T\QQl = е nQa\T\ @а — @а+\- Ясно, что это можно сделать однозначно, с точностью до умножения на общую константу. Функции 6a(z) имеют вид: Нам понадобятся довлетворяет соотношениям: Т = Т? = 1. Пусть Тп — группа с образующими а, Ь, р. и определяющими соотноше расширение группы Гп = Г/пГ (Z/nZ)2: элемент р, порождает нормальную подгруппу Сп = Z/nZ и Гп/Сп = Гп. Формулы а - Т]_ , b м- Т , р, (-» умножение на е п задают неприводимое представление группы Гп в пространстве в п __ \ (Г). П 2 Выберем базис {да; а Є Z/nZ} в пространстве 0 п _ і (Г), в котором наши one раторы действуют следующим образом: T\QQl = е nQa\T\ @а — @а+\- Ясно, что это можно сделать однозначно, с точностью до умножения на общую константу. Функции 6a(z) имеют вид: Нам понадобятся некоторые тождества: Доказательство. Легко проверить, пользуясь соотношениями (26), что обе части равенства принадлежат пространству в /„ _ -,\ (Г). Кроме того, ясно, что п\ т нули обеих частей совпадают: это п2 точек ——г; а, /? Є Ъ по модулю Г. Зна \п п ) чит, обе части равенства отличаются умножением на константу, которую молено вычислить, разделив (27) на 9(z) и переходя к пределу z — 0. Пусть 00101,02 Є з,о(Г). Для z, г) Є С, а Є Z/3Z имеем: